3 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ

3 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 004. Η οµογενής ράβδος ΑΒ του σχήµατος έχει µήκος =m, βάρος W=00N και µπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα, που διέρχεται από σηµείο Ο. Στη ράβδο ασκούνται οι εξωτερικές δυνάµεις F, F και F 3 µε µέτρα F =50N, F =40N και F 3 =30N αντίστοιχα. Αν φ=30 ο να υπολογίσετε το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών των δυνάµεων που ασκούνται στη ράβδο ως προς τον άξονα περιστροφής της. Επειδή η ράβδος θεωρείται οµογενής, η δύναµη του βάρους της θα ασκείται στο µέσον σηµείο Κ. Το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών ως προς το σηµείο Ο θα είναι: τ = τ F + τ F + τ W + τ F3. Για να υπολογίσουµε τη ροπή της δύναµης F ως προς το σηµείο Ο, αναλύουµε την F στην οριζόντια F x και την κατακόρυφο F y συνιστώσα. Ισχύει τ Fx =0 (διότι ο φορέας της διέρχεται από το σηµείο Ο) και τ Fy =+ Fy ( /3) = + F sin φ ( /3) ή τ Fy = 50 0. 5 = 00 N m τ F = τ Fx + τ F y = 00 Nm. 3 Η αλγεβρική τιµή της ροπής για τη δύναµη F είναι τ F = F( ΓΟ) W όπου (ΓΟ)= (ΑΒ) (ΑΓ) (ΟΒ)= /4 /3= 5/=5m, οπότε τ F = 40 5 = 00 Nm. Η ροπή της δύναµης F είναι αρνητική διότι, αν στη ράβδο ασκούταν µόνο η δύναµη αυτή, η ράβδος θα περιστρεφόταν κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Η ροπή του βάρους έχει την αλγεβρική τιµή τ =+ W ( Ο ) όπου (ΚΟ)= (ΚΒ) (ΟΚ)= / /3= /6=m, οπότε τ W =+ W = 00 = 00 Nm. Τέλος, η 6 αλγεβρική τιµή της ροπής για τη δύναµη F 3 είναι τ F3 = F3( /3 / 4) = F3( /) ή τ F3 = 30 = 30 Nm. Εποµένως, το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου θα είναι τ = τ F + τ F + τ W + τ F3 = + 00 00 + 00 30 = 70 Nm.. Η οµογενής σανίδα ΑΒ του σχήµατος µήκους ΑΒ==8m και βάρους W=000N στηρίζεται στα σηµεία Γ και, που απέχουν από το άκρο Α αποστάσεις d =m και d =5m αντίστοιχα. Ένας άνθρωπος βάρους W =000N στέκεται στο άκρο του Α. α) Αν η σανίδα ισορροπεί οριζόντια, να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τις δυνάµεις που ασκούνται σε αυτή. β) Μέχρι ποίου σηµείου µπορεί να προχωρήσει ο άνθρωπος πάνω στη σανίδα, ώστε αυτή να µην ανατραπεί;

α) Στη σανίδα ασκούνται οι εξής δυνάµεις: το βάρος της W, που ασκείται στο µέσον της (σηµείο Κ) επειδή η ράβδος θεωρείται οµοιογενής. Οι δυνάµεις F Γ και F από τα στηρίγµατα. Η δύναµη που ασκεί ο άνθρωπος στη σανίδα που είναι ίση µε το βάρος το W. Επειδή η σανίδα ισορροπεί, ισχύει ότι F = 0 ή FΓ + F = W + W (σχέση ) και τ = 0. Αν λάβουµε τις ροπές ως προς το σηµείο εφαρµογής µιας από τις άγνωστες δυνάµεις λ.χ. τη F Γ προκύ- πτει: τ W =+ Wd, τ F Γ = 0, τ W = W ( Κ Γ ) = W ( d) και τ F = F ( d d ). Εποµένως, τ = 0 = τ W + τ FΓ + τ W + τ F = Wd + 0 W ( d ) + F ( d d) 8 0 = 000 + 0 000( ) + F (5 ) F = 500 N. Από τη σχέση υπολογίζουµε ότι F Γ = 500 N. β) Καθώς ο άνθρωπος προχωρά από το σηµείο Γ προς το σηµείο Β, η δύναµη που δέχεται η σανίδα από το υποστήριγµα Γ ελαττώνεται. Ας υποθέσουµε ότι όταν ο άνθρωπος φθάσει σε ένα σηµείο Ζ, που απέχει απόσταση x από το άκρο Β, η σανίδα αρχίζει να ανατρέπεται. Τη στιγµή εκείνη χάνει οριακά την επαφή της µε το υποστήριγµα Γ και εποµένως η δύναµη F Γ µηδενίζεται. Για τη στιγµή αυτή, λίγο πριν ανατραπεί ισχύει τ = 0 (βλέπε σχήµα). Λαµβάνοντας τις ροπές ως προς σηµείο έ- χουµε: τ W = W ( d ), τ F = 0 και τ W = W ( Ζ ), οπότε τ W + τ F + τw = W ( d ) + 0 W ( Ζ ) = 0 8 000(5 ) + 0 000( Ζ ) = 0 Ζ = m. Αλλά ( Ζ)=( Β) (ΒΖ)=( d ) x οπότε x=( d ) ( Ζ)=(8 5) x=m. 3. Ο τροχός του σχήµατος, µάζας M=g και ακτίνας R=0.5m στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω=00rad/s γύρω από τον άξονα ΖΖ. Τη χρονική στιγµή t 0 =0 αρχίζει να ασκείται στο τροχό σταθερή δύναµη F εφαπτοµενική σε αυτόν, µε αποτέλεσµα τη χρονική στιγµή t=5s ο τροχός να σταµατήσει. α) Να υπολογιστεί η γωνιακή επιβράδυνση του τροχού. β) Να προσδιορισθεί το µέτρο της δύναµης F. γ) Να σχηµατισθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης ω(t). Μπορείτε από τη γραφική αυτή παράσταση να υπολογίσετε τη γωνία στροφής του τροχού µέχρι να σταµατήσει; ( ίνεται ότι η ροπή αδρανείας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι=½MR.) α) Από το θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης λαµβάνουµε ότι τ = Ia (σχέση ). Επειδή τ = τ F = FR και I = MR είναι σταθερά µεγέθη, προκύπτει ότι ο τροχός θα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α.

Από τον ορισµό της γωνιακής επιτάχυνσης a dω ω ω 0 0 00 = = a = = 0 rad/s d t t t 5 0 Το αρνητικό πρόσηµο δηλώνει ότι η γωνιακή ταχύτητα θα µειώνεται (δηλαδή θα έχουµε γωνιακή επιβράδυνση µέτρου α=0rad/s ). 0 t MRa 0.5 0 β) Από τη σχέση λαµβάνουµε FR = MR a F = = = 0 N. γ) Η γωνιακή ταχύτητα µειώνεται µε τη σχέση ω = ω α ή ω = 00 0t. Η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήµα. Για ένα πολύ µικρό (στοιχειώδες) χρονικό διάστηµα dt (όπου θεωρούµε ω=σταθ) και από τον ορισµό της γωνιακής ταχύτητας έχουµε d θ ω = ή dθ = ω d t όπου dθ είναι η γωνία στροφής του d t τροχού στο χρόνο dt. Συνεπώς το σκιασµένο εµβαδόν στο διάγραµµα ω t δίνει την τιµή της dθ και ολόκληρο το εµβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση θα ισούται αριθµητικά µε τη γωνία στροφής του τροχού, από τη στιγµή που ασκείται η δύ- 00 5 ναµη F µέχρι να σταµατήσει: θ = = 50 rad. 4. Γύρω από τον τροχό του σχήµατος, µάζας M=4g και ακτίνας R=0.m είναι τυλιγµένο αβαρές σχοινί, στο ελεύθερο άκρο του οποίου ασκείται σταθερή οριζόντια δύναµη µέτρου F=N. Αν ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, να υπολογισθούν α) η επιτάχυνση του κέντρου Κ του τροχού, η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού και η επιτάχυνση του σηµείου εφαρµογής της δύναµης F. β) Οι τιµές του συντελεστή στατικής τριβής για τις οποίες ο τροχός θα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( ίνεται ότι η ροπή αδρανείας του τροχού ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του είναι Ι=½MR και g=0m/s.) α) Στην οριζόντια διεύθυνση ασκούνται στον τροχό οι εξής δυνάµεις: η δύναµη F από το σκοινί στο σηµείο Γ του τροχού και η στατική τριβή T στο σηµείο Α, που έχει φορά προς τα αριστερά. Από τη µεταφορική κίνηση του τροχού λαµβάνουµε τη σχέση : F = ma F T = ma, ενώ από τη στροφική του κίνηση έχουµε 0.. Εφόσον ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ισχύει a = ar, οπότε F + T = Ma σχέση. Από τις 3 4F 4 σχέσεις και προκύπτει F = Ma a = = = 4 m/s σχέση 3. Το µέτρο 3M 3 4 της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχού υπολογίζεται από τη σχέση a 4 a = ar a = = = 0 rad/s. Η επιτάχυνση α Β του σηµείου Β είναι ίση µε την εφαπτοµενική επιτάχυνση α Γ του σηµείου Γ, δηλαδή ισχύει η σχέση α Β =α Γ. Επειδή ο τροχός κυλίεται χωρίς R 0. να ολισθαίνει, θα ισχύει κάθε στιγµή = ω R οπότε για το σηµείο Α θα έχουµε u ua = u ω R = u u = 0, ενώ για το σηµείο Γ uγ = u + ω R = u + u = u. Ia FR TR MR a F T MRa τ = + = + =

Το σηµείο Κ θα κινείται µε επιτάχυνση µέτρου a d uγ d( u ) d u aγ = d t = d t = d t = a. Εποµένως, το σηµείο Γ, άρα και το σηµείο Β, έχει διπλάσια επιτάχυνση από το κέντρο του τροχού: a = = a = 8 m/s. B a Γ, ενώ το σηµείο Γ µε επιτάχυνση µέτρου β) Αν θέσουµε τη σχέση 3 στη σχέση λαµβάνουµε T = F ma = 4 4 = 4 N, άρα α- T 4 χωρίς να ολισθαίνει, θα πρέπει να ισχύει T < µ N = µ Mg µ > = µ > 0.. Mg 4 0 αρχ = mu + mu = mω = mω τελ = mu + mu = mω m( 6 ω ) τελ ω ω = m 4 4. Από τη σχέση προκύπτει µε αντικατάσταση = = 4 m τελ = 4 αρχ. Η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήµατος θα είναι = τελ αρχ = 3 αρχ 4 d u = d t φού προκύπτει T<0 σηµαίνει ότι η στατική τριβή θα έχει φορά προς τα δεξιά και όχι προς τα αριστερά, όπως τη θεωρήσαµε αρχικά!! Άρα το µέτρο της στατικής τριβής είναι T=4N. Για να κυλίεται ο τροχός β) Η αρχική κινητική ενέργεια του συστήµατος είναι = 3mω = 3 0 (0) = 6000 Joue. και η τελική εκφράζεται από τη σχέση 5. Άνθρωπος κάθεται µε τεντωµένα µε τα χέρια σε περιστρεφόµενη καρέκλα. Σε κάθε χέρι κρατά από ένα βαράκι και περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω. α) Πόσο θα µεταβληθεί η κινητική ενέργεια κατά τη σύµπτυξη των χεριών του; β) Από πού προέρχεται αυτή η µεταβολή; (Υποδείξεις: οι τριβές του συστήµατος θεωρούνται αµελητέες. Οι ροπές αδράνειας του ανθρώπου µαζί µε τα βάρη ως προς τον άξονα περιστροφής µε τεντωµένα τα χέρια και σε σύµπτυξη είναι Ι και Ι αντίστοιχα. Σύµπτυξη εννοούµε τη κλίση κατά 90 ο των βραχιόνων προς τα πάνω µε κατεύθυνση τους ώµους). α) Έστω ω είναι η αρχική γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του ανθρώπου µε τεντωµένα τα χέρια, L αρχ είναι η αρχική στροφορµή του συστήµατος και ω η τελική γωνιακή ταχύτητα του ανθρώπου. Επειδή στο σύστηµα άνθρωπος βάρη δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές, η στροφορµή του διατηρείται και ισχύει L αρχ =L τελ ή Iω και τελική) θα είν αι σχέσης λαµβάνουµε I ω = Iω = σχέση. Οι κινητικές ενέργειες του ανθρώπου(αρχική I ω = I ω και τ αρχ = ελ Iω τελ I I I I = = τελ αρχ I I I I τελ αρχ =. αρχ = I I ω ω. Εξ αιτίας της I β) Εφόσον I > I, θα έχουµε αύξηση της κινητικής ενέργειας κατά φορές της αρχικής, η οποία I προέρχεται από την ενέργεια που ξόδεψε ο άνθρωπος για να συµπτύξει τα χέρια του.

6. Να µελετηθεί αν η κινητική ενέργεια του συστήµατος δυο µαζών ως προς ακίνητο παρατηρητή (σύστηµα αναφοράς είναι το έδαφος) και η κινητική ενέργεια του συστήµατος ως προς κινούµενο παρατηρητή µε ταχύτητα u M (σύστηµα αναφοράς το κέντρο µάζας ΚΜ) είναι ίσες. Σχήµα : ακίνητος παρατηρητής Σχήµα : κινούµενος παρατηρητής η περίπτωση: ο ακίνητος παρατηρητής (σχήµα ) βλέπει τα σώµατα να κινούνται µε ταχύτητες u και u, ενώ το κέντρο µάζας των (ΚΜ) να κινείται µε ταχύτητα u M = m u + m u m + m. Για τον παρα- τηρητή, το σύστηµα έχει κινητική ενέργεια = mu + m u. η περίπτωση: ο κινούµενος παρατηρητής (σχήµα ) βλέπει τα σώµατα να κινούνται µε ταχύτητες v και v. Για τον παρατηρητή, το σύστηµα έχει κινητική ενέργεια = mv + m v (η κινητική ενέργεια που µετράει ο κινούµενος παρατηρητής µε ταχύτητα u M καλείται εσωτερική κινητική ενέργεια του συστήµατος). Επειδή u = v + u M και u = v + u M, οι κινητικές ενέργειες Κ και Κ δεν είναι ίσες. Για να είναι ίσες θα πρέπει u = v και u v, οπότε u = 0. Αυτό ισχύει 0 = m v + m v = ( m + m )u u M M =0. = M στις περιπτώσεις όπου τα σώµατα είναι ακίνητα ή τα σώµατα κινούνται έτσι, ώστε P ολ = 0, οπότε 7. Σώµα µάζας m=0g κινείται σε οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγµή t 0 =0 έχει ταχύτητα u =0m/s και δέχεται την επίδραση µιας δύναµης F µε διεύθυνση που σχηµατίζει µε το επίπεδο κίνησης γωνία φ=45 ο και µέτρο που εκφράζεται σε συνάρτηση του χρόνου Ft () = 0 t. Η δύναµη F βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο µε την ταχύτητα u. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος και επιπέδου είναι µ=0., να υπολογίσετε α) την ταχύτητα του σώµατος τη χρονική στιγµή t =s, β) το έργο της συνισταµένης δύναµης που δέχεται το σώµα για το χρονικό διάστηµα t 0 =0 µέχρι t =s και γ) τους ρυθµούς µεταβολής της ορµής του σώµατος τις χρονικές στιγ- µές t 0 =0 µέχρι t =4s. α) Το σώµα κινείται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο για όσο χρονικό διάστηµα ισχύει η σχέση F y <F g ή F(t)sinφ<F g 0 t < 00 t < 5s. Αυτό σηµαίνει ότι τη χρονική στιγµή t=5s, το σώµα αποσπάται από το επίπεδο. Αναλύουµε τη δύναµη F σε δυο συνιστώσες και ισχύει F y =F(t)sinφ=0t και F x =F(t)cosφ=0t. Για την τριβή ολίσθησης έχουµε T=µΝ T=µ(F g F y ) T=0.(00 0t) ή T=0 t. Για t=5s προκύπτει T=0, δηλαδή το σώµα αποσπάται από το έδαφος, οπότε Ν=0 (αναµενόµενο αποτέλεσµα).

Εφαρµόζοντας το θεώρηµα ώθησης ορµής, στη διεύθυνση της κίνησης και για το χρονικό διάστηµα t=0 s προκύπτει J + Ω + Ω = J J+Ω Ω = J 0 + 6 υπολογίζονται από τις γραφικές παραστάσεις: Ω Fx = 40 = 40Ns και ΩT = = 6Ns. Οπότε mu + 40 6 = mu 0 0+ 40 6 = 0 u u =.4m/s. β) Το έργο της F υπολογίζεται από το θεώρηµα µεταβολής της κινητικής ενέργειας, δηλαδή W F = = mu mu Fx Τ Fx Τ (βλέπε σχήµα). Τα µέτρα των ωθήσεων ή W F = m( u u) 0(.4 0 ) 68.8Joue = =. (Υπόδειξη: W = W + W W F x, επειδή η συνιστώσα F είναι κάθετη προς τη µετατόπιση). φορά προς τα αριστερά). Τη χρονική στιγµή t =4s είναι ( F ) = 4 0= 78N, οπότε J t t= 4 E =0 F Fx Fy = y J γ) Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής t έ χει τη διεύθυνση της κίνησης, οπότε θα είναι ίσος µε τη συνι- J σταµένη δύναµη στη διεύθυνση x, = ( F) x, αλλά (F) x = Fx T = 0 t (0 t) = t 0. Τη t J gm/s χρονική στιγµή t 0 =0 είναι (F) x = 0N, οπότε 0 t = s (το α ρνητικό πρόσηµο δείχνει gm/s = 78 (µε φορά προς τα δεξιά). s t=0 x 8. Ανελκυστήρας κινείται προς τα πάνω µε σταθερή ταχύτητα u=m/s. Όταν η οροφή του απέχει 30m από τη στέγη του φρεατίου (σηµείο Α), αφήνεται να πέσει µπαλάκι του τένις από σηµείο Β, που απέχει απόσταση 0m από το σηµείο Α. Το µπαλάκι αναπηδά ελαστικά στην οροφή του ανελκυστήρα. α) Σε ποιο σηµείο h του φρεατίου θα συναντήσει το µπαλάκι τον ανελκυστήρα; β) πόσο θα είναι το ύψος της αναπήδησης h και γ) σε ποιο ύψος θα ξανασυναντήσει το µπαλάκι τον α- νελκυστήρα; ( ίνεται g=9.8m/s ). : α) Η αρχική απόσταση του ανελκυστήρα από το µπαλάκι είναι s=0m. Ο χρόνος που διαρρέει µέχρι να συναντήσει την οροφή του ανελκυστήρα είναι: s ut =+ gt u u s ± 4 g g + g t = t =.8s. Κατά τη διάρκεια του χρόνου t, ο ανελκυστήρας θα έχει διανύσει απόσταση ut =3.64m και εποµένως το σηµείο συνάντησης θα είναι σε ύψος h = 30 3.64 = 6.36m κάτω από το σηµείο Α.

β) Μέσα στο χρόνο t, το µπαλάκι θα έχει αποκτήσει ταχύτητα u =gt =7.85m/s. Επειδή η µάζα του α- νελκυστήρα είναι κατά πολύ µεγαλύτερη, το κέντρο µάζας του συστήµατος θα κινείται µε την ταχύτητα του ανελκυστήρα, δηλαδή u M =m/s. Ως προς το κέντρο µάζας, η ταχύτητα που θα έχει το µπαλάκι την ώρα της σύγκρουσης θα είναι u = u + u = 9.85m/s. Στην περίπτωση της ελαστικής κρούσης, η µπάλα αλλάζει κατεύθυνση κατά 80 ο και έχει το ίδιο µέτρο ταχύτητας (9.85m/s), στο οποίο όµως προστίθεται και η σχετική κίνηση του ανελκυστήρα προς τα πάνω (m/s). Έτσι µετά την αναπήδηση, το u µπαλάκι θα έχει ταχύτητα u =.85m/s και θα φθάσει σε ύψος h = = 4.33m. Το σηµείο αυτό g απέχει απόσταση 6.35 4.33=.0m από το σηµείο Α. Στο σηµείο αυτό αρχίζει το µπαλάκι τη δεύτερη κάθοδό του. γ) Μελετάµε τώρα το φαινόµενο ακριβώς µετά από την πρώτη συνάντηση. Ο χρόνος ανόδου t (για το u u( h) = u.85 µπαλάκι) δίνεται από τη σχέση g t. Για u( h ) = 0 προκύπτει t = = =.3s. g 9.8 Ο χρόνος καθόδου (για το µπαλάκι) δίνεται από τη σχέση s = g t. Όσο διαρκεί το φαινόµενο, ο ανελκυστήρας θα έχει ανέβει κατά u( t ). Θέτω ( ) και θα πρέπει s = s ( ) g t = h u t + t (M) M t t + t s = h u t+ t u + + ( u t h t + 0.408 t 4. = 0 g g ) = 0 t =.83s. Εποµένως, ο συνολικός χρόνος (ανόδου και καθόδου) για τη δεύτερη συνάντηση θα είναι Τ= t + t =.83+.=4.03s. Ο ανελκυστήρας θα έχει ανέβει κατά h = u T = 4.03= 8.06s. Η δεύτερη συνάντηση θα γίνει ψηλότερα κατά 8.06m της προηγούµενης, δηλαδή 6. 35 8, 06 = 8.9m κάτω από το σηµείο Α.