ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ

ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Στην παράγραφο αυτή θα εφαρµόσουµε ιδιότητες των διανυσµάτων, για να βρούµε την µέγιστη και ελάχιστη τιµή παραστάσεων µε µία, δύο και περισσότερες µεταβλητές. Κεντρική ιδέα της αντιµετώπισης τέτοιων προβληµάτων είναι η ανισότητα Cauchy-Schwarz αβ α β α β και η ανισότητα α β α+β α +β. Εφαρµογές. Να προσδιορίσετε την µέγιστη τιµή της παράστασης ( ) f = + 4 Λύση Έστω u=, v= τότε f( ) = u v f = u v= u v συν u, v = 3 συνω θα έχουµε fma = 3. Όµως ( ) ( ) Τότε αφού u v u v () µε [ 0, ]., όπου ω= ( u, v), 0 ω< 90.. Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης ( ) = + ( ) + + ( ) f, y 3 y y 30 Λύση Θεωρούµε τα σηµεία A( 0,3 ), B( 30,0 ), M(, y ) Τότε AM + MB AB f, y = AM + MB AB ή ( ) ή f(, y) 3 + 30 = 338 Ασκήσεις. Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιµή της παράστασης i) f(, y) = + y + y+ + + y 6 4y+ 3+ 5 ii) y= 5 + 0+ 5 3+ 64+ 5 40+ 00+ 5 8+ 6 y= + + 3 + + 3+ + iii) ( ) ( )

iv) ( ) ( ) ( ) f, y y y = + αβ + α +β +, α, β R v) Να προσδιορίσετε τη µέγιστη τιµή της ( ) f = + 4 (). Να λύσετε το σύστηµα + y = y( + z) + + y= yz 3 + 8y + 8y+ 8z= + + 4z (Σ) 3. Να προσδιορίσετε τη µέγιστη τιµή των παραστάσεων: i) f( ) = 4συν + + 4ηµ + ii) ( ) f = + 4, 0 iii) y= + 7+ iv) y= 5ηµ συν v) y= 5 7ηµ 4συν vi) A(, y, z) = 8+ 6y 5z όταν vii) f( α ) = 3α+ + α+ 3+ 7 5α + y + z = 5 (Ε.Μ.Ε. 984)

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΙΣΟΤΗΤΕΣ Με την βοήθεια των ιδιοτήτων των διανυσµάτων και µε χρήση α β α+β α +β, αβ α β α β βρίσκουµε ανισότητες και ισότητες. Εφαρµογές. Να αποδείξετε ότι Απόδειξη 3 + + 3 4+ () R 3 5 Η () γράφεται 4 7 + + + + () 3 3 3 3 3 7 + + + + 3 9 3 9 3 (3) Θεωρούµε τα σηµεία M(,0 ), A, 3 3, B, 3 3 Είναι AM = + +, 3 9 MB = + 3 9 Όµως 7 AM + MB AB = + + = 3 3 3 3 3 Ώστε ισχύει η (), άρα και η (). Το ίσον ισχύει, αν και µόνο αν, το Μ ανήκει στο τµήµα ΑΒ, δηλαδή αν AM=κMB ( κ R ) + 3 3 = = + = + = 3 3 6 3 3. Να αποδείξετε ότι: ( ) f, y = + y + + + + y + 6+ 9+ + y + 4y+ 5+ + + + + 3 y 4 y 5 3 () Απόδειξη 3

Παρατηρούµε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f, y = + + y + + 3 + y + + + y + ( ) ( ) + 3 + + y () Θεωρούµε τα διανύσµατα: + α= y, + 3 β= y, + γ= y, + δ= y Είναι : f, y = α + β + γ + 3δ = α + δ + β + δ + γ + δ ( ) ( ) ( ) ( ) α δ +β δ + γ δ = ( ) + + + + ( ) + ( ) = 3 Το ίσον ισχύει αν α + δ = α δ, β + δ = β δ, γ + δ = γ δ δηλαδή αν δ=α, οπότε =, y=. Τότε f(,) = + + = 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδείξετε τις παρακάτω ανισότητες: i) Αν α, β,, y R : ( ) ( ) + y + α +β + y + + y αβ >α + αβ ii) ( ) ( ) α+γ +β + α γ +β α +β, α, β, γ R iii) 40+ 40+ 30+ 9+ 0+ 09> 6. Να αποδείξετε ότι: i) β( α β ) + β( γ β) α γ α>β, γ>β, ii) 5+ 5+ 8 7 * α, β, γ R + iii) + 4+ 3 + + + +... + + ν iv) ( ) ( ) ( ) 3 ν πότε ισχύει το ίσον σε καθεµία; 4

3. Οµοίως α) i) γ α +β, α+β γ 0 ii) 4 4 α +β 4 γ 8 iii) 8 8 α +β 6 γ 8 β) Αν κ, λ, µ θετικοί ακέραιοι και ΑΒΓ τρίγωνο να αποδείξετε ότι : κ +λ +µ µλσυνα+ µκσυνβ+ κλσυνγ 4. Θεωρούµε το σύστηµα διανυσµάτων u ν ν = y, ν * ν Ν για τις συντεταγµένες του ισχύουν: Αν ν να αποδείξετε ότι ν+ + ν = yν () y = + y u 7 ν. 4 ν+ ν ν ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να επιλύσετε τις εξισώσεις α) β) ΛΥΣΗ + 4+ 5+ + + 0 = 7 () + 4y + y = () 7 α) Η () γράφεται ( + ) + + ( + ) + 3 = 7 Θεωρούµε τα σηµεία M(,0 ), A(,), B(, 3). Τότε είναι: AM + MB AB ή ( + ) + + ( + ) + 3 + 4 = 7 Το ίσον ισχύει αν και µόνο αν AM=κMB + 3 7 =κ 3 = = + 4 β) Έστω u= y, v= 4. Τότε u = + y, v = 7 uv= + 4y u v = 7 + y οπότε Ακόµα ( ) 5

+ 4y < 7 + y ή Εποµένως η () είναι αδύνατη. + 4y < + y 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να επιλύσετε τις εξισώσεις i) ii) + + 3+ + + 9= + + 3 = +. Έστω α β γ και y z. Να αποδείξετε ότι: α) Αν α+β= + y και + = + α β y, τότε α=, β= y. β) Αν α+β+γ= + y+ z και + + = + + α β γ y z τότε α=, β= y, γ= z. ν ν ν ν 3. Αν η ισότητα + y =α +β ισχύει για ν=,, να αποδείξετε ότι ισχύει για κάθε ν Ν, όπου, y, α, β R. 4. Να επιλύσετε το σύστηµα + + + +... + + 00 = 00 + 00 + +... + 00 = 00 00 5. Αν ισχύει 5ηµ + συν + = y y+ 5 δείξτε ότι εφ = 5 6

ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Οι διανυσµατικές εξισώσεις είναι εξαιρετικά χρήσιµες, τόσο στην επίλυση γεωµετρικών προβληµάτων, όσο και στην επίλυση προβληµάτων Μηχανικής. Οι µέθοδοι που ακολουθούµε είναι οι εξής: ) Αλγεβρική (αντικατάσταση των συντεταγµένων των διανυσµάτων) ) Γεωµετρική 3) ιανυσµατική: Χρησιµοποιούµε αποκλειστικά ιδιότητες διανυσµάτων π.χ. πολλαπλασιάζουµε µε διάνυσµα τα µέλη της εξίσωσης. Προσοχή: Η προσεταιριστική ιδιότητα δεν ισχύει γενικώς για το εσωτερικό γινόµενο των α, β, γ α β γ α β γ. Εποµένως δεν έχει έννοια η παράσταση ( ) ν α, δηλαδή ( ) ( ) * ν Ν, ν 3. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 3. Έστω u=, v = 35. Λύση Έστω. Τότε = 5 v= 3 = 4 5 + = 35. Να προσδιορίσετε διάνυσµα ώστε u = 4, D D όπου =, =. Άρα D D D D = D D. Έστω α 0 και + α +λ= 0 () Λύση Έστω oy. α, α= α = λ R. Να επιλύσετε την διανυσµατική εξίσωση οι συντεταγµένες των α, σε ορθοκανονικό σύστηµα 7

Τότε η () γράφεται: ( ) + + α +α +λ= 0 ή +α + +α =α +α λ= α λ ( ) ( ) +α + +α = α λ ( ) ( ) i) ii) iii) = α λ<0 = α λ= 0 = α λ> 0 (, ) κ α α και () Η () αδύνατη. ή +α = 0 Τότε η () έχει µοναδική λύση = α διότι είναι ( ) Τότε τα διανύσµατα έχουν άκρα κύκλο Σ( κ, R) µε R= α λ ενώ αρχή ένα σηµείο ο. 3. Αν α β, να λύσετε την εξίσωση ( ) α β=γ Λύση Είναι ( α ) β=γ + ( α ) β=γ () Θα βρούµε πρώτα το εσωτερικό γινόµενο α και στη συνέχεια το. Από την () έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) α + α β =α γ α + α αβ=α γ α γ α = +αβ Έτσι η () δίνει ( ) α γ =γ α β =γ β +αβ α +αβ =α γ 8

ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Ι Έστω Ο, Α, Β, Γ σηµεία. Η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τα Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά, είναι να υπάρχουν κ, λ, µ όχι όλοι 0 µε κ+λ+µ= 0και κοα+λοβ+µογ= 0 (Τα κ, λ, µ δεν ορίζονται µονοσήµαντα, π.χ. κ, λ, µ). ΕΙ ΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Έστω Α, Γ µε A Γ. Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα σηµείο Β να ανήκει * στον φορέα της ΑΓ είναι να υπάρχει κ R : OB=κΟΑ+ ( κ) ΟΓ ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε Α, Β των ΒΓ, ΓΑ τέτοια ώστε ΓΑ =κ, ΑΒ ΓΒ =λ ΒΑ Αν Μ το σηµείο τοµής των ΑΑ, ΒΒ να αποδείξετε ότι λοα+κ OB+ΟΓ OΜ=, Ο σηµείο του χώρου. λ+κ+ Απόδειξη ΟΓ+κOB ΟΑ =ΟΓ+ΓΑ ΟΑ = κ+ ΟΓ+λOΑ ΟΒ = () λ+ Επειδή Α, Μ, Ακαι Β, Μ, Β συνευθειακά υπάρχουν κ, λ OΜ=κΟΑ + ( κ) ΟΑ OΜ=λΟΒ + ( λ) ΟΒ () 9

κ ΟΑ + κ ΟΑ=λ ΟΒ + λ ΟΒ ( ) ( ) λλ κκ κ λ κ ΟΑ+ +λ ΟΒ+ ΟΓ= 0 +λ +κ +κ +λ Επειδή Α, Β, Γ δεν είναι συγγραµµικά και λλ κκ κ λ κ + +λ + = 0 +λ +κ +κ +λ θα είναι λλ κ = 0 +λ κκ +κ +λ λ = 0 κ =, λ = +κ κ+λ+ κ+λ+ κ λ = 0 +κ +λ λοα+κ OB+ΟΓ Όµως OΜ=κΟΑ + ( κ) ΟΑ OΜ= κ+λ+ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Αν Gτο σηµείο τοµής των διαµέσων τριγώνου ΑΒΓ τότε. Έστω ΑΑ, ΒΒ οι διχοτόµοι των αοα+βοβ+γογ τότε OI=. α+β+γ ΟΑ+ OB+ΟΓ Ο G= 3 A, B του ΑΒΓ αντίστοιχα και Ι το έκκεντρο 3. Αν Η το σηµείο τοµής των υψών ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ του ΑΒΓ τότε εφαοα+εφβοβ+εφγογ α) ΟΗ= εφα+εφβ+εφγ εφβοβ + εφγογ β) ΟΗ= εφα+εφβ+εφγ 0