2.7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ

ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ 33.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Ανάλυση διανύσματος σε δυο κάθετες συνιστώσες y x Α Γ x Δ Β y Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα κατασκευάζουμε πρώτα στην αρχή του διανύσματος τους δύο κάθετους άξονες xx και yy.κατόπιν φέρνουμε κάθετες πάνω σε κάθε άξονα τη ΒΓ στον xx και τη ΒΔ στον yy. Τα διανύσματα ΑΓ και ΑΔ είναι οι δύο κάθετες συνιστώσες του διανύσματος πάνω στους άξονες xx και yy. Μέτρα Συνιστωσών θ συνθ και ημθ

34 ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Στο διπλανό σχήμα αναλύσαμε τα διανύσµατα ΑΒ,ΓΔ και ΕΖ σε δύο κάθετες συνιστώσες αλλά τα διανύσµατα µμπερδεύτηκαν! Μπορείτε να βρείτε ποιες είναι οι Σωστές από τις παρακάτω σχέσεις. ΑΒ ΓΔ ΕΖ Z Α Β Γ Δ γ + ζ α + ε α + ζ ε + ζ β + γ α + ζ β + ζ ε + δ γ + δ α + ε α + δ A γ + ζ α γ β Γ δ B Δ E ε ζ ) Σωστή είναι το Β. ) Σωστή είναι το Β,γιατί τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία(α) και δεν είναι ΓΒ ΒΓ(Γ). 3) Σωστή είναι το Γ. 4) Σωστή είναι το Α.. Μια δύναμη μέτρου 5 Νt αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες και. Αν 4 Νt τότε... Α: Νt Β: Νt Γ: 3 Νt Δ: 4 Νt Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση + Δ 5Nt 4Nt Β Γ 5 4 + 5 6 Πυθαγόρειο θεώρημα Αντικαθιστούμε τις δοθείσες τιμές. Αρα η σωστή απάντηση είναι το Γ. 9 3Νt

ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ 35 3. Μια δύναμη αναλύεται σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες και µε μέτρα 5 και αντίστοιχα. Τότε... Α: 5 Β: 3 Γ: 7 : 8 Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. + Δ 5Nt Nt Β Γ + 5 69 3Nt Πυθαγόρειο θεώρημα Αντικαθιστούμε τις δοθείσες τιμές. Αρα η σωστή απάντηση είναι το B. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ Να αναλύσετε τα παρακάτω διανύσµατα σε άθροισμα δύο καθέτων συνιστωσών. Το παρακάτω σχήμα δείχνει την ανάλυση των διανυσμάτων του παραπάνω σχήματος σε δύο κάθετες συνιστώσες.

36 ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΑΣΚΗΣΗ O Kωστάκης κάνει τσουλήθρα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν ο Κωστάκης ζυγίζει 7 κιλά, να βρείτε το μέτρο της δύναμης Β που τον κάνει να κινείται. Β Β.. συν45 Β 7. 9,9 kg Μέτρο συνιστώσας από τον τύπο συνθ ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε υπόγειο τελεφερίκ οι ράγες σχηµατίζουν µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία 6. Το βαγόνι των επιβατών ζυγίζει (µαζί µε τους επιβάτες) 3 τόνους και σύρεται πάνω στις ράγες από την κορυφή µε ένα συρµατόσχοινο.

ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ 37 Ποιο είναι το µέτρο της δύναµης που πρέπει να ασκείται από το συρµατόσχοινο στο βαγόνι, για να κινείται µε σταθερή ταχύτητα προς τα πάνω; Β Β. ημ6 3.,866 598 kg Μέτρο συνιστώσας από τον τύπο ημθ ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένας κυνηγός για να φτιάξει μια παγίδα, χρησιµοποιεί δύο σανίδες ίσου µήκους και τις τοποθετεί στο έδαφος, ώστε να σχηµατίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. Στην κορυφή του τριγώνου τοποθετεί πέτρα βάρους N. Ποιο είναι το µέτρο της δύναµης που δέχεται κάθε σανίδα από το βάρος της πέτρας;

38 ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ B B B B. συν45. Μέτρο συνιστώσας από τον τύπο συνθ B B.,77 4,4 N Η γωνία θ είναι 45 λόγω του ισοσκελούς τριγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 5 Ένας σκιέρ γιγαντιαίου άλµατος κατεβαίνει την εξέδρα που σχηµατίζει µε τον ορίζοντα γωνία 3. Αν το βάρος του έχει µέτρο 8 N, ποιο είναι το µέτρο της δύναµης που τον µετακινεί κατά µήκος της εξέδρας; B B B B B. ημ3 8. 4 N Η δύναμη που μετακινεί τον σκιέρ είναι η συνιστώσα B του βάρους Β,που είναι παράλληλη προς την εξέδρα Μέτρο συνιστώσας από τον τύπο Β Βημθ

ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ 39 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Β ΜΕΡΟΥΣ Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A 9 ). Στην προέκταση της ΑΒ θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ ΑΒ. Να υπολογίσετε την σχέση των εφ ΑΓΒ, εφαγδ. Πώς μπορούμε να σχεδιάσουμε γωνία ω τέτοια ώστε εφω 5 εφ ΑΓΔ; Δ Β A Γ εφ ΑΓΒ εφ ΑΓΔ ΑΒ Παρατηρούμε ότι η σχέση των εφαγβ και εφαγδ είναι εφαγδ ΑΓ εφαγβ. ΑΔ ΑΒ ΑΒ Για να σχεδιάσουμε γωνία ω έτσι ώ- εφ ΑΓΒ στε να είναι εφω 5εφΑΓΒ προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΔ4 ΑΒ ΑΓ ΑΓ ΑΓ. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ 5 cm, ΒΓ cm και φέρνουμε το ύψος του ΑΔ. Αν γνωρίζουμε ότι ΒΔ 7 cm, να υπολογίσετε: α) τη γωνία Β, β) το ύψος ΑΔ, γ) τη γωνία Γ, δ) τη γωνία ΒΑΔ, ε) τη γωνία ΔΑΓ. ΒΔ 7 α ) συνβ,47 Β ΑΒ 5 β) ΑΔ ΑΒ ΒΔ 6 ΑΔ 5 7 5 49 76 B Γ ΑΔ 76 3,7 cm Δ ΑΔ 3,7 γ) εφγ, Γ 46 ΔΓ 3 δ) ΒΑΔ 9 6 8 ε) 9 46 44 ΔΑΓ. Θεωρούμε έναν κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ 3 cm. Από ένα σημείο Α εκτός του κύκλου φέρνουμε την εφαπτομένη ΑΤ 4cm. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ΤΑΟ και ΤΟΑ. β) Να βρείτε ένα σημείο Β του κύκλου έτσι ώστε TOB 6. A Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς του συνημιτόνου και της εφαπτομένης. Επίσης το πυθαγόρειο θεώρημα και το γεγονός ότι οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.

3 ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΟ 3 α) εφταο,75 ΤΑ 4 οπότε 37 36,85 ΤΑΟ 9 9 37 53 ΤΟΑ ΤΑΟ β) Για να είναι TOB 6 πρέπει το τρίγωνο ΤΟΒ να είναι ισόπλευρο, δηλαδή ΤΟΟΒΤΒ3 cm Τ O α) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της εφαπτομένης. Επίσης το γεγονός ότι οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. β) Για να είναι η επίκεντρη 6 το τρίγωνο πρέπει να είναι ισόπλευρο. Α 3. Αν είναι ω 45 και φ 6 να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) Α ημω.συνφ - συν ω + συνω.ημφ ημ45.συν6.. 6 +,863,43 ( ημφ + συνω) ( συνφ ) β ) Β ημω α) Α ημω.συνφ - συν ω + συνω.ημφ συν 45 +. +. + 3 συν45.ημ6 6,44 +,449 β) Β ( ημφ + συνω) ( συνφ ημω) ( ημ6 + συν45 ) ( συν6 ημ45 ) 3 +,73 +,44,44,474 +,43,57 α) Αντικαθιστούμε τις τιμές των ω και φ Α- ντικαθιστούμε από τους πίνακες τις τιμές των ημ45, συν6, συν45 και ημ6. Κάνουμε τις πράξεις και τέλος αντικαθιστούμε με προσέγγιση χιλιοστού τις ρίζες και κάνουμε τις πράξεις. β) Ομοίως.

ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ 3 4. Να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: α) Α εφ 45.ημ6.εφ3.εφ 6 3 β) B εφ 45 + εφ 6 ημ3.συν6 εφ 45. 4 α) Α εφ 45.ημ6.εφ3.εφ 6. β) B 3. 3 εφ 4 3 3 45. 3 3 3.3 ( 3).3, 5 + εφ 6 6 3 ( 3). + 3 +, 5 6 ημ3.συν6 εφ 45 α) Αντικαθιστούμε από τους πίνακες τις τιμές των εφ45, ημ6, εφ3 και εφ6. Κάνουμε τις πράξεις. β) Αντικαθιστούμε από τους πίνακες τις τιμές των εφ45, εφ6, ημ3 και συν6. Κάνουμε τις πράξεις. 3. + 4 4 4 5. Σε ένα από τα πιο εντυπωσιακά παιχνίδια στη Θάλασσα ένα ταχύπλοο έλκει ένα κολυμβητή δεμένο με αλεξίπτωτο με δύναμη μέτρου 5 N. Αν η γωνία που σχηματίζει το σκοινί με το οριζόντιο επίπεδο είναι 5, να υπολογίσετε τις κάθετες συνιστώσες της δύναμης. συνθ 5.συν5 5.,643 964,5 Ν,6 ΑΒ εφ39,6,8,975 m ΑΒ + ΑΓ,6 +,975 3,575 m 5 ημθ 5.ημ5 και 5.,766 49 Ν 6. Ένα σπασμένο δέντρο σχηματίζει ορθογώνιο τρίγωνο με το έδαφος. Το σπασμένο κομμάτι σχηματίζει με το έδαφος γωνία 39, ενώ το άλλο κομμάτι είναι, 6 m. Να βρείτε το ύψος που είχε αρχικά το δέντρο. ΑΓ,6 A εφ39 εφ39 ΑΒ ΑΒ 39,6 m B Γ Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της εφαπτομένης και λύνουμε την εξίσωση ως προς ΑΒ.

3 ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ 7. Δίνεται τρίγωνο ΚΛΜ με γωνίες 37 και 53 K M α) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΚΛΜ; β) Γνωρίζοντας ότι ΚΛ 5 m, να υπολογίσετε: i) την ΚΜ και ii) την ΛΜ. α) 37 53 9 Κ + Μ + ΚΛ ΚΛ ) i) ημ53 ΚΜ ΚΜ ημ53 β ΚΜ ii) εφ53 ΛΜ 5,799 5,37 3,9 m. ΛΚ ΛΜ ΛΜ 8,84 m. ΚΛ εφ53 α) Επειδή οι γωνίες Κ, Μ είναι συμπληρωματικές το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο στην γωνία Λ. β) i) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του ημιτόνου και λύνουμε την εξίσωση ως προς ΚΜ. ii) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της εφαπτομένης και λύνουμε την εξίσωση ως προς ΛΜ. 8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε την διάμεσο ΑΜ και την προεκτείνουμε κατά τμήμα ΜΝ ΑΜ. Να αποδείξετε ότι : α) ΑΒ ΓΝ α) ΑΒ ΓΝ β) ΑΝ β) ΑΝ ΑΒ + ΑΓ ΑΒ + ΑΓ γ) ΑΜ ΑΒ + ΑΓ. α) Αληθεύει γιατί το τετράπλευρο ΑΓΝΒ που δημιουργείται είναι παραλληλόγραμμο και οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες άρα τα δύο διανύσματα έχουν ίσα μέτρα, ίσες διευθύνσεις λόγω της παραλληλίας και ίδιες φορές. β) Κανόνας παραλληλογράμμου. γ) Χρησιμοποιούμε την προηγούμενη ισότητα. AN ΑΒ + ΑΓ γ) ΑΜ. 9. Σε μία σήραγγα ενός ορυχείου το βαγόνι μεταφοράς υλικού σύρεται σε ράγες που σχηματίζουν με το οριζόντιο έδαφος γωνία 48. Το βαγόνι ζυγίζει Ν μαζί με τα ορυκτά με τα οποία είναι γεμάτο. Να βρείτε πόση δύναμη ασκεί το συρματόσκοινο στο βαγόνι για να κινείται με σταθερή ταχύτητα προς τα πάνω. Η συνιστώσα κατά την φορά κίνησης του βαγονιού στην οποία αναλύεται το βάρος του βαγονιού μαζί με τα υλικά είναι:. ημ48.,743 486 Ν

ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ 33 o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΜΕΡΟΥΣ Β. Με βάση το διπλανό σχήμα να συμπληρώσετε B τις προτάσεις: α) Η είναι η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας Β. β) Η..είναι η προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας Γ. A γ) Η ΑΓ είναι η προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας δ) Η ΑΒ είναι η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας... Χρησιμοποιώντας το διπλανό σχήμα συνδέστε κάθε τριγωνομετρικό αριθμό της στήλης (Α) με το αντίστοιχο λόγο της στήλης (Β). Στήλη Α Στήλη Β ΔΒ ΑΒ ημ Β ΑΔ ΑΒ ΑΓ συν Γ ΒΓ ΑΒ ΑΓ ημ φ ΑΔ ΑΓ ΒΓ ΑΔ ημ ω ΓΔ ΑΓ 3. Η γωνία ω στο παρακάτω σχήμα ανήκει σε τρία ορθογώνια τρίγωνα: στο., στο.. και στο.. Θέλουμε να υπολογίσουμε το συνω. α) Σε ποιο από τα τρία τρίγωνα θα το υπολογίσετε;. β) Πόσο είναι το συνω;. γ) Αν επιλέγατε ένα άλλο τρίγωνο για να το υπολογίσετε το συνω θα ήταν ίσο, μεγαλύτερο ή μικρότερο από αυτό που βρήκατε στο (β) ερώτημα; Δικαιολογήστε την απάντηση σας Γ

34 ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ω 4. Στο διπλανό σχήμα η υποτείνουσα ισούται με: 3 3 A :3συν56, Β :3ημ56, Γ :, Δ : συν56 ημ56 Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. 5. Δίνονται τα σχήματα: Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Γωνία θ 4 53 8 48 37 8 συνθ ημθ o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΜΕΡΟΥΣ Β. Να συμπληρώσετε το σύμβολο «<» ή το «>» στις παρακάτω περιπτώσεις: α) ημ54...ημ35, β) συν49 συν9, γ) ημ48.. ημ84, δ) συν8 συν38, ε) εφ38..εφ6 στ) εφ89.εφ. Τα παρακάτω έξι τρίγωνα έχουν γίνει κατά λάθος όλα ίσα, ενώ δεν είναι. Μπορείτε να βρείτε ποια από αυτά έχουν ίσες γωνίες;

ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ 35 3. Να υπολογίσετε το x στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα: 4. Χρησιμοποιώντας τις πληροφορίες του διπλανού σχήματος, να βρείτε 5 8 47 65 ημίτονο,4,47,73,9 συνημίτονο,9,88,68,4 τα μήκη x, y και z. Δίνονται: 3 o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΜΕΡΟΥΣ Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: ημίτονο 3 45 6 συνημίτονο εφαπτομένη. Χρησιμοποιώντας τους τριγωνομετρικούς αριθμούς 3, 45 και 6, να επαληθεύσετε ότι: α) συν6 συν 3 -ημ 3, β) ημ6 ημ3 συν3 γ) συν6 συν 3 -, δ) συν6 - ημ 3, ε) εφ 45 εφ3 εφ6, στ) ημ 3 +ημ 6 εφ 45. 3. Αν ισχύει η σχέση εφ 45 + συν 6 x ημ45 συν45 εφ6, να βρείτε την τιμή του x. 4. Το τελεφερίκ ενός χιονοδρομικού κέντρου, αναχωρεί από υψόμετρο m και φτάνει σε υψόμετρο 8 m. Κινείται με ταχύτητα 3 m/s. Το συρματόσχοινο του τελεφερίκ σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 3. Η διαδρομή διαρκεί περισσότερο από 9 λεπτά; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

36 ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ 4 o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΜΕΡΟΥΣ Β 5. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να γράψετε δύο ίσα και δύο αντίθετα διανύσματα. 6. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και Ο το κέντρο του. Να συμπληρώσετε τις φράσεις: α) Τα διανύσματα ΑΟ και ΓΟ είναι.. β) Τα διανύσματα ΟΒ και ΔΟ είναι... γ) Τα διανύσματα ΔΑ και ΒΓ είναι 7. Για το ίδιο σχήμα να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση: α) Με ΔΑ + ΔΓισούται το διάνυσμα: Α: ΑΒ, Β: ΒΔ, Γ: ΔΒ, Δ: ΓΑ,Ε: ΑΓ β) Με ΔΑ ΔΓ ισούται το διάνυσμα: Α: ΑΓ, Β: ΓΑ, Γ: ΔΒ, Δ: ΔΑ,Ε: ΒΔ 8. Δίνεται το τυχαίο τετράπλευρο του διπλανού σχήματος. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση Α: ΑΔ + ΑΓ ΒΓ + ΒΔ Β: ΑΔ + ΒΓ ΑΓ + ΒΔ Γ: ΑΔ + ΒΔ ΑΓ + ΒΓ Δ: ΑΒ + ΒΓ ΑΓ + ΓΔ Ε: ΑΔ ΑΓ ΒΓ + ΒΔ 9. Να ενώσετε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ των διπλανών σχημάτων με διανύσματα έτσι, ώστε: α) το άθροισμά τους να ισούται με ΑΔ. β) το άθροισμά τους να ισούται με ΓΖ. γ) το άθροισμά τους να ισούται με.