Αρδεύσεις (Εργαστήριο)

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολοικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Αρδεύσεις (Εραστήριο) Ενότητα 5 : Υδροδυναμική Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης

ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ.. ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ.. Εισαωή Στην Υδροστατική εξετάσαμε τα ρευστά σε ισορροπία, όπου η μόνη σημαντική ιδιότητα ήταν το βάρος. Σ αυτό το κεφάλαιο θα περιράψουμε και άλλες έννοιες που θα μας χρειαστούν ια τη μελέτη των ρευστών σε κίνηση. Η ροή των ρευστών είναι πολύπλοκη και δεν υπόκειται πάντα σε ακριβή μαθηματική ανάλυση. Αντίθετα με τα στερεά, τα σωματίδια ενός ρέοντος ρευστού μπορούν να κινηθούν με διαφορετικές ταχύτητες και διαφορετικές επιταχύνσεις. Τρεις σημαντικές αρχές στη ροή των ρευστών είναι οι εξής : α. Η αρχή της διατήρησης της μάζας από την οποία προκύπτει η εξίσωση της συνέχειας. β. Η αρχή της κινητικής ενέρειας, από την οποία προκύπτουν ορισμένες εξισώσεις ροής.. Η αρχή της ορμής, πάνω στην οποία θεμελιώνονται οι εξισώσεις με τις οποίες υπολοίζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται από τα κινούμενα ρευστά... Η ροή των ρευστών Η ροή των ρευστών μπορεί να είναι μόνιμη ή μη μόνιμη, ομοιόμορφη ή ανομοιόμορφη, στρωτή ή τυρβώδης, μονοδιάστατη, δισδιάστατη ή τρισδιάστατη και στροβιλή ή αστρόβιλη. Πραματική μονοδιάστατη ροή ενός ασυμπίεστου ρευστού πραματοποιείται όταν η διεύθυνση και το μέτρο της ταχύτητας είναι τα ίδια σε όλα τα σημεία. Όμως μονοδιάστατη ανάλυση της ροής είναι αποδεκτή, όταν ως κύρια κατεύθυνση αυτής λαμβάνεται η κατά μήκος της κεντρικής ραμμής ροής και όταν οι ταχύτητες και επιταχύνσεις, που είναι κάθετες στη ραμμή ροής είναι αμελητέες. Σε τέτοιες περιπτώσεις οι μέσες τιμές της ταχύτητας, της πίεσης και του υψομέτρου θέσης θεωρούνται ότι αντιπροσωπεύουν τη ροή στο σύνολό της και δευτερεύουσες μεταβολές αμελούνται. Για παράδειμα η ροή σε καμπύλους σωλήνες αναλύεται με τη βοήθεια των αρχών της μονοδιάστατης ανάλυσης, παρά το εονός ότι η κατασκευή έχει τρεις διαστάσεις και η ταχύτητα ποικίλει κατά πλάτος μιας τυχούσας διατομής κάθετης προς τη ροή.

Δισδιάστατη ροή πραματοποιείται όταν τα ρευστά σωματίδια κινούνται σε επίπεδο ή σε παράλληλα επίπεδα και το διάραμμα των ραμμών ροής είναι το ίδιο σε κάθε επίπεδο. Σε ροή ιδεατού ρευστού όπου δεν υπάρχουν διατμητικές τάσεις και συνεπώς δεν υπάρχουν και ροπές δεν μπορεί να υπάρξει και περιστροφική κίνηση των σωματιδίων του ρευστού ύρω από το κέντρο μάζας του. Μία τέτοια ιδεατή ροή, που μπορεί να παρασταθεί με ένα δίκτυο ροής, ονομάζεται αστρόβιλη ροή.... Μόνιμη ροη Μόνιμη ροή πραματοποιείται όταν, σε κάθε σημείο, η ταχύτητα διαδοχικών σωματιδίων του ρευστού σε διαδοχικούς χρόνους είναι ίδια. Έτσι, η ταχύτητα είναι σταθερή σε σχέση με το χρόνο ε σημείο σε σχέση με το χρόνο ή 0, αλλά μπορεί να μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο ή σε σχέση με την απόσταση. t Από αυτό συμπεραίνουμε ότι και άλλες μεταβλητές της ροής θα είναι ανεξάρτητες του χρόνου, όπως η πυκνότητα, η πίεση, η παροχή, η θερμοκρασία κ.λπ. δηλαδή θα ισχύει ρ Q 0, 0, 0, 0 κ.λπ.. Τα περισσότερα προβλήματα ροής στην πράξη, t t t t εμφανίζονται σε συνθήκες μόνιμης ροής. Για παράδειμα, η ροή σε σωλήνες μεταφοράς υρών με σταθερό ενερειακό ύψος και η εκροή από οπές με σταθερά ενερειακά ύψη είναι παραδείματα μόνιμης ροής. Αυτές οι ροές μπορεί να είναι ομοιόμορφες ή ανομοιόμορφες. Η πολυπλοκότητα της μη μόνιμης ροής, ξεφεύει από το σκοπό ενός βιβλίου εισαωικού στη ρευστομηχανική. Η ροή είναι μη μόνιμη, όταν οι συνθήκες ροής σε ένα σημείο μεταβάλλονται σε συνάρτηση με το χρόνο, δηλαδή είναι όταν 0. t... Ομοιόμορφη ροη Ομοιόμορφη ροή πραματοποιείται όταν το μέτρο και η διεύθυνση της ταχύτητας δεν μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο μέσα στο ρευστό δηλ. όταν 0. s Από αυτό συμπεραίνεται ότι κι άλλες μεταβλητές της ροής δε μεταβάλλονται με την y ρ Q απόσταση, όπως 0, 0, 0, 0, 0 0 κ.λπ.. s s s s s s Η ροή υρών με πίεση μέσα από μακριούς σωλήνες με σταθερή διάμετρο είναι ομοιόμορφη ροή, ανεξάρτητα από το αν η ροή αυτή είναι μόνιμη ή μη μόνιμη.

Ανομοιόμορφη ροή πραματοποιείται όταν η ταχύτητα, το βάθος, η πίεση κ.λπ. μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο μέσα στη ροή του ρευστού, ή 0. s.. Οι ραμμές ροής Οι ραμμές ροής, ή ροϊκές ραμμές, είναι ιδεατές καμπύλες σχεδιασμένες μέσα στο ρευστό, που δείχνουν την κατεύθυνση της κίνησης στα διάφορα τμήματα ροής του ρευστού. Η εφαπτομένη σε ένα σημείο της καμπύλης παριστάνει τη στιμιαία διεύθυνση της ταχύτητας των σωματιδίων του ρευστού σε αυτό το σημείο. Η μέση διεύθυνση της ταχύτητας μπορεί με τον ίδιο τρόπο να παρασταθεί με εφαπτόμενες στις ραμμές ροής. Αφού η συνιστώσα του διανύσματος της ταχύτητας η κάθετη προς τη ραμμή ροής είναι μηδέν, είναι προφανές ότι δεν μπορεί να υπάρξει ροή εκάρσια προς τις ραμμές ροής... Οι σωλήνες ροής Σωλήνας ροής, ή ροϊκός σωλήνας ονομάζεται ένα στοιχειώδες τμήμα του ρέοντος ρευστού που περιέχεται μέσα σ' ένα σύνολο ραμμών ροής που περικλείει τη ροή. Αν η διατομή του ροϊκού σωλήνα είναι αρκετά μικρή, τότε τον ονομάζουμε ροϊκό νήμα και η ταχύτητα του κεντρικού σημείου κάθε διατομής θεωρείται σαν μέση ταχύτητα της διατομής στο σύνολό της...5 Τα δίκτυα ροής Τα δίκτυα ροής σχεδιάζονται ια να καθορίσουν το διάραμμα ροής σε περιπτώσεις δισδιάστατης ροής ή ακόμη και σε περιπτώσεις τρισδιάστατης ροής. Το δίκτυο ροής αποτελείται από : α. Ένα σύστημα ραμμών ροής, επιλεμένων έτσι ώστε η παροχή να είναι η ίδια μεταξύ κάθε διαδοχικού ζεύους ραμμών και β. Ένα άλλο σύστημα ραμμών κάθετων στις ραμμές ροής επιλεμένο έτσι ώστε η απόσταση μεταξύ των καθέτων ραμμών να ισούται με την απόσταση μεταξύ των ειτονικών ραμμών ροής. Ένας άπειρος αριθμός ραμμών ροής απαιτείται ια την πλήρη περιραφή της ροής ια δεδομένες οριακές συνθήκες. Ωστόσο, στην πράξη χρησιμοποιούμε ένα μικρό αριθμό τέτοιων ραμμών ροής εφόσον βέβαια εξασφαλίζουμε αποδεκτή ακρίβεια... Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Η εξίσωση συνέχειας προκύπτει από την αρχή διατήρησης της μάζας. Για μόνιμη ροή, η μάζα που περνάει απ' όλες τις διατομές ενός ρεύματος ρευστού στη μονάδα του χρόνου είναι η ίδια ια όλες τις διατομές.

Αυτή είναι : ρ ρ = σταθερή ή g ρg ρ ( σε μονάδες βάρους) Για ασυμπίεστα ρευστά όπου ρ = ρ ια κάθε πρακτικό σκοπό, η εξίσωση ίνεται: Q = σταθερή (σε m /s ) όπου και, είναι η διατομή σε m και η μέση ταχύτητα ροής σε m/s στη διατομή, και και, είναι η διατομή σε m και η μέση ταχύτητα ροής σε m/s στη διατομή. Οι μονάδες παροχής που χρησιμοποιούνται συνηθέστερα είναι τα m /s και τα l/s... Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Η εξίσωση ενέρειας προκύπτει από την εφαρμοή της αρχής διατήρησης ενέρειας σε ροή ρευστού. Η ενέρεια που υπάρχει σε ένα ρέον ρευστό απαρτίζεται από την εσωτερική ενέρεια και τις ενέρειες που οφείλονται στην πίεση, στην ταχύτητα και στη θέση. H ολ. H δυν. H πιεσ. H κιν. m mgz m m mgz ρ ν τα δύο μέλη στην παραπάνω εξίσωση διαιρεθούν με mg προκύπτει η ολική ενέρεια ανά μονάδα βάρους ρέοντος ρευστού από τη σχέση: h z g Στη διεύθυνση της ροής η αρχή διατήρησης της ενέρειας συνοψίζεται σε μία ενική εξίσωση ως εξής: (ενέρεια στη διατομή ) + (ενέρεια που προστίθεται ) - (ενέρεια που χάνεται ) - (ενέρεια που αφαιρείται ) = (ενέρεια στη διατομή ) Αυτή η εξίσωση, ια μόνιμη ροή ασυμπίεστου ρευστού, όπου η μεταβολή εσωτερικής ενέρειας είναι αμελητέα, παίρνει τη συκεκριμένη μορφή : P P z H H L H z ρg g ρg g Αυτή είναι η εξίσωση του ernoulli, ή λέμε ότι εκφράζει το θεώρημα του ernoulli. Πρακτικά, σε όλα τα προβλήματα που σχετίζονται με τη ροή υρών χρησιμοποιείται η εξίσωση αυτή σαν βάση.

.. Το ύψος κινητικής ενέρειας Το ύψος κινητικής ενέρειας, ή ύψος ταχύτητας, παριστάνει την κινητική ενέρεια ανά μονάδα βάρους που υπάρχει σε ένα συκεκριμένο σημείο. Αν η ταχύτητα σε μια διατομή ήταν ομοιόμορφη, τότε το ύψος ταχύτητας υπολοισμένο με αυτή την ομοιόμορφη ή μέση ταχύτητα θα ήταν η πραματική κινητική ενέρεια ανά μονάδα βάρους του ρευστού. Αλλά ενικά η κατανομή της ταχύτητας είναι ανομοιόμορφη. Η πραματική κινητική ενέρεια βρίσκεται με ολοκλήρωση του διαφορικού της κινητικής ενέρειας από ραμμή ροής σε ραμμή ροής. Για την απλούστευση των υπολοισμών, στην εξίσωση ενέρειας και συκεκριμένα στον παράοντα της κινητικής ενέρειας, εφαρμόζεται συντελεστής, α, ο οποίος ονομάζεται συνορθώσεως της κινητικής ενέρειας και επομένως η κινητική ενέρεια δίνεται από τη σχέση : h κιν. α μεση g Μελέτες έχουν δείξει ότι ια ομοιόμορφη κατανομή της ταχύτητας είναι α = 0, ια τυρβώδη ροή είναι α =,0 έως,5 και ια στρωτή ροή είναι α =,00. Στους περισσότερους υπολοισμούς στη μηχανική των ρευστών ο συντελεστής συνορθώσεως της κινητικής ενέρειας α λαμβάνεται ίσος με,0 χωρίς αυτό να προκαλεί σοβαρό λάθος στο αποτέλεσμα, εφόσον το ύψος κινητικής ενέρειας είναι ενικά ένα μικρό ποσοστό του ολικού ύψους ενέρειας... Εφαρμοή της εξίσωσης ενέρειας Η εφαρμοή της εξίσωσης ενέρειας, ια την επίλυση των διαφόρων προβλημάτων ροής, θα πρέπει να είναι ορθολοική και συστηματική. Η διαδικασία, που είναι σκόπιμο να ακολουθείται είναι η εξής:. Σχεδιάζεται το σύστημα με εκλοή και ονομασία όλων 5των εξεταζομένων διατομών της ροής.. Εφαρμόζεται η εξίσωση ενέρειας κατά τη διεύθυνση της ροής. Εκλέεται ένα επίπεδο αναφοράς ια κάθε εξίσωση που ράφεται. Είναι σκόπιμο το επίπεδο αναφοράς να είναι αρκετά χαμηλό ια να μην προκύπτουν αρνητικά πρόσημα και έτσι να αποφεύονται τα λάθη.. Υπολοίζεται η ενέρεια στη διατομή. Η ενέρεια εκφράζεται σε μέτρα ρευστού, ή σε j/n. (ενέρεια ανά μονάδα βάρους ρέοντος ρευστού ). Όπως και στην εξίσωση συνέχειας, το θεωρείται ότι είναι η μέση ταχύτητα της διατομής με αποδεκτή ακρίβεια.. Προστίθεται (σε μέτρα ρευστού) κάθε ενέρεια που προσφέρεται από μηχανές. 5. Αφαιρείται (σε μέτρα ρευστού) κάθε απώλεια ενέρειας της ροής. 6. Αφαιρούμε (σε μέτρα ρευστού) κάθε ενέρεια, που απορροφάται από μηχανές ( όπως οι υδροστρόβιλοι ).

7. Εξισώνεται αυτό το άθροισμα των ενερειών με το άθροισμα του ύψους πίεσης, του ύψους κινητικής ενέρειας και του υψόμετρου θέσης στη διατομή. 8. Αν τα δύο ύψη κινητικής ενέρειας είναι άνωστα, τα συσχετίζονται μεταξύ τους με τη βοήθεια της εξίσωσης συνέχειας... Η ραμμή ενέρειας Η ραμμή ενέρειας είναι μια ραφική απεικόνιση της ενέρειας σε κάθε διατομή κατά μήκος της ροής. Σε σχέση με ένα δεδομένο επίπεδο αναφοράς, η συνολική ενέρεια (σαν μήκος σε μέτρα ρευστού), μπορεί να σχεδιαστεί σε κάθε αντιπροσωπευτική διατομή και η ραμμή που προκύπτει με αυτό τον τρόπο είναι πολύ χρήσιμη σε πολλά προβλήματα ροής. Η ραμμή ενέρειας θα κλίνει (πέφτει) στην κατεύθυνση της ροής με εξαίρεση τα σημεία όπου προσθέτεται ενέρεια από μηχανές... Η πιεζομετρική ραμμή Η πιεζομετρική ραμμή βρίσκεται κάτω από τη ραμμή ενέρειας κατά μια ποσότητα ίση με το ύψος της κινητικής ενέρειας στη διατομή. Οι δύο ραμμές είναι παράλληλες ια όλες τις διατομές ίσου εμβαδού. Η τεταμένη μεταξύ του άξονα της ροής και της πιεζομετρικής ραμμής είναι το ύψος πίεσης στη διατομή...5 Η εξίσωση ποσότητας κινήσεως Η μαθηματική διατύπωση του νόμου της διατηρήσεως της ποσότητα κινήσεως, που βασίζεται στο δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, είναι νωστή στη μηχανική των ρευστών σαν ''εξίσωση της ποσότητας κινήσεως". Η εξίσωση αυτή, μαζί με τις εξισώσεις συνέχειας και ενέρειας, χρησιμοποιείται ια την επίλυση των προβλημάτων της Εφαρμοσμένης Υδραυλικής που δεν ήταν δυνατό να επιλυθούν μόνον με τις εξισώσεις συνεχείας και ενερείας. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μπορεί να διατυπωθεί ενικότερα ως εξής : F dm dt δηλαδή, το διανυσματικό άθροισμα ΣF, όλων των εξωτερικών δυνάμεων που ενερούν σε μια μάζα ρευστού ισούται με την τιμή της χρονικής μεταβολής του διανύσματος της ραμμικής ποσότητας κινήσεως, Μ, της μάζας του ρευστού. Οι εξωτερικές δυνάμεις αποτελούνται από τους παρακάτω δύο τύπους : (α) Από τις επιφανειακές δυνάμεις, που περιλαμβάνουν: i) Τις κάθετες προς τα όρια της επιφάνειας δυνάμεις πιέσεως και ii) Τις παράλληλες προς τα όρια της επιφάνειας δυνάμεις τριβής, Fτ, λόω της συνεκτικότητας.

(β) Από τις σωματικές ή δυνάμεις δυναμικού, Fg, όπως είναι οι δυνάμεις βαρύτητας, ηλεκτρομανητικού πεδίου κ.λπ. Το διάνυσμα της ποσότητας κινήσεως, Μ, ισούται με τη μάζα του ρευστού επί το διάνυσμα της ταχύτητας δηλαδή Μ = m. Επομένως ΣF dm dt d(m) dt ρqd Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταμένων, ια σταθερή ασυμπίεστη ροή παραπάνω εξίσωση παίρνει την αναλυτική μορφή : ΣFx Fx Fτx Fgx β ρ Q (x x) ΣFy Fy Fτy Fgy β ρ Q (y y ) ΣFz Fx Fτz Fgz β ρ Q (z z ) Για μονοδιάστατη ροή είναι: ΣF F Fτ Fg β ρ Q ( ) Ο συντελεστής β ονομάζεται συντελεστής συνορθώσεως της ποσότητας κινήσεως ο οποίος οφείλεται στην ανομοιόμορφη κατανομή της ταχύτητας και ο οποίος είναι πάντοτε μεαλύτερος από τη μονάδα. Για στρωτή ροή είναι β =,, ενώ ια τυρβώδη ροή είναι β =,0.Στην πράξη παίρνεται β =...6 Χρησιμοποίηση των εξισώσεων ποσότητας κινήσεως Γενικά, οι εξισώσεις της ποσότητας κινήσεως χρησιμοποιούνται ια την επίλυση των παρακάτω δύο τύπων προβλημάτων:. Για τον προσδιορισμό των συνισταμένων δυνάμεων που εξασκούνται τα όρια ενός αωού από τη ροή ενός ρευστού, εξαιτίας της μεταβολής της ταχύτητας κατά τη διεύθυνση ή και κατά την ένταση. Τέτοια προβλήματα συναντώνται στις ωνίες σωληνωτών αωών, στους συνδέσμους βαθμιαίας μεταβολής της διαμέτρου σωληνωτού αωού, στις προσκρούσεις του νερού σε στερεά αντικείμενα όπως είναι οι πλάκες, τα πτερύια κ.λπ... Για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών των ανομοιόμορφων ροών όταν λαμβάνουν χώρα απότομες μεταβολές των διατομών ροής. Τέτοια προβλήματα συναντώνται στις απότομες διαπλατύνσεις των κλειστών και ανοικτών αωών, στα υδραυλικά άλματα των ανοικτών αωών κ.λπ..

Στις περιπτώσεις αυτές που παρατηρείται απώλεια σημαντικού ποσού ενέρειας χρησιμοποιείται πρώτα η εξίσωση της ποσότητας κινήσεως ια τον καθορισμό των χαρακτηριστικών της ροής και έπειτα χρησιμοποιείται η εξίσωση ενερείας ια τον υπολοισμό του ποσού της απώλειας της ενέρειας κατά τη διαδικασία της ροής... Η ΙΣΧΥΣ ΤΗΣ ΑΝΤΛΙΑΣ Η ισχύς υπολοίζεται με πολλαπλασιασμό του αριθμού των N του ρευστού ανά s (ρ.g.q), επί την ενέρεια H σε j/n. Η εξίσωση της ισχύος ράφεται: P ρ g Q H N [ m m s j j N s ]

.5. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Άσκηση η Όταν 800 lit ανά λεπτό ρέουν σε ένα σωλήνα διαμέτρου 0,0 m, ο οποίος κατάντη στενεύει σε σωλήνα 0,5 m, να υπολοιστούν οι μέσες ταχύτητες στους δύο σωλήνες. Λύση. Είναι : Q (m / s) 800 = 60 lit/s = 0.0 - m / s Άρα: 0 0.0 0.0 = 0, m/s και 5 =,68 m/s.π.0,0.π.0,5 Άσκηση η Λάδι σχετικής πυκνότητας 0,750 ρέει σε ένα σωλήνα διαμέτρου 50 mm με πίεση,05 bar. Αν η συνολική ενέρεια σε σχέση με ένα δεδομένο επίπεδο αναφοράς,50 m κάτω από το κέντρο του σωλήνα είναι 8 m, βρείτε την παροχή του λαδιού σε m /s. Λύση. Η ενέρεια ανά Ν λαδιού είναι : Η = ( δυναμική ενέρεια ) + ( ενέρεια πίεσης ) + ( ύψος κινητικής ενέρειας ) Άρα : 8 m =,50 m +,05.0 5 0,75. 980 Pa N/m + 9,8 m/s,50 m,05.0 5 0,75. 980 N/m N/m 8 m. 9,8 m/s = 5,00 m /s 5,00 m/s Οπότε

Q =. π. 0,5 m.5 m/s = 0.088 m / s Άσκηση η Η ισχύς ενός στροβίλου εκτιμάται σε 50 KW όταν η παροχή νερού είναι 0,60 m /s. Υποθέτοντας απόδοση n = 87 %, ποίο είναι το ύψος της ενέρειας που εφαρμόζεται στο στρόβιλο : Λύση. Αν ανάντη του στροβίλου επιβάλλεται ισχύς Pαν., η αποδιδόμενη από το στρόβιλο ισχύς θα είναι P. n ρ. g. H. n σε W (Watts ) P στρ. αν. Άρα : 50.0 J/s (000. 9,8) N/m. 0,60 m /s.h. 0,87 H 88 J /N 88 m Άσκηση η Ένας σωλήνας, που μεταφέρει πετρέλαιο σχετικής πυκνότητας 0,877, αλλάζει σε μέεθος από 50 mm στη διατομή Ε σε 50 mm στη διατομή R. Η διατομή Ε είναι m χαμηλότερα από την R και οι πιέσεις είναι 0,9 bar και 0,6 bar αντίστοιχα. Αν η παροχή είναι 0,5 m / sec, να υπολοιστεί η απώλεια ενέρειας κατά την κατεύθυνση της ροής. Λύση. Από την εφαρμοή της εξίσωσης συνέχειας στις διατομές Ε και R και προκύπτει : 0,5 8,50 m/s και 0,5 R 0,9 m/s 0,5., 0,5., Από την εφαρμοή της εξίσωσης ενέρειας μεταξύ των διατομών Ε και R και προκύπτει : h H ΔΗ H Ε-R R,0 ΔH R (h.g R R J/N,00 5 R 8,50 0,90.0 ) 0 g.9,8 0,877.980 J/N =,0 m 0,9 0,60.0.9,8 0,877.980 5

Άσκηση 5 η Ροή ασυμπίεστου ρευστού πυκνότητας ρ, πραματοποιείται δια μέσου του μετρητή enturi που φαίνεται στο σχήμα, και έχει διαμέτρους D = 00 mm και D = 50 mm στις διατομές και αντίστοιχα. Υποθέτοντας ομοιόμορφη ροή στις διατομές και και αμελώντας τις απώλειες ενέρειας μεταξύ των διατομών και, να βρεθεί η διαφορά πίεσης -, όταν η παροχή είναι 500 lit/s. Αριθμητική εφαρμοή ια την περίπτωση ροής νερού. Από την εξίσωση συνέχειας μεταξύ των διατομών και και προκύπτει: Q Q Q πd πd Q Q πd και Q πd Για να υπολοιστεί, στη συνέχεια η διαφορά πιέσεων μεταξύ των διατομών και, εφαρμόζεται η εξίσωση ενερείας με οριζόντιο επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που περνάει από τον άξονα του μετρητή enturi, αμελώντας τις απώλειες ενέρειας μεταξύ των διατομών και. Επομένως : h h z z.g g και επειδή z =z είναι και οπότε :.g g ( g ) ρ Τελικά με αντικατάσταση των ταχυτήτων από την εξίσωση συνεχείας προκύπτει: = 8.ρ.Q π. ( D D ) Αριθμητική εφαρμοή :

= = 8.000.0,5, 0. ( 0,5,57 atm = m H O 0,00 ) = 570 N/m 0,57 MPa Άσκηση 6η Νερό ρέει με φορά προς τα πάνω σε έναν κατακόρυφο μετρητή enturi 00 mm x 50 mm. Το διαφορικό μανόμετρο έχει απόκλιση,8 m υρού σχετικής πυκνότητας,5 όπως φαίνεται στο σχήμα. Ζητείται η παροχή σε m /s Λύση: Από την εξίσωση ενερείας με οριζόντιο επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που περνάει από το σημείο Α του μετρητή enturi, αμελώντας τις απώλειες ενέρειας μεταξύ των διατομών Α και Β προκύπτει: ΗΑ = ΗΒ z.g z g και επειδή zα = 0 και zβ = 0,57 m 0,57 + ().g g. ( ) ρ ρ. ( ) Από την εξίσωση συνέχειας μεταξύ των διατομών Α και Β και προκύπτει:.. Q = QΑ= QΒ () Από την εξίσωση () λόω της () προκύπτει:

. ( ) -.g.0,57 ρ ρ ( ) και επομένως: Q. ( ρ ) -.g.0,57 ρ. () ( ) Από την εξίσωση των μανομέτρων προκύπτει: (n,8). νερ.,8. υρ. m. νερ. =,8. υρ. m. νερ. (n,8). νερ. =,8. υρ. ( m - n,8). νερ.,8. υρ. 0,7. νερ. () οπότε τελικά : Q..,8. ( υρ. ρ 0,7. νερ. ( νερ. ) ) -.g.0,57 Για τα δεδομένα του προβλήματος : ΕΒ = 0,5., 0,077 m ΕΑ = 0,0., 0,070 m και υρ.=,5.νερ. Q 0,077..,8.,5. ( ρ νερ. ρ g 0,7. ρ νερ. - 0,77 ( 0,070 ) νερ. g ) -.g.0,57 Q 0,077.. 9,8. (,8.,5-0,7 0,077 - ( ) 0,070-0,57) 0,0 m /s lit/s

Άσκηση 7η Οριζόντιος κυκλικός αωός διαμέτρου D = 50 mm, καταλήει σε ακροφύσιο διαμέτρου d = 5 mm, όπως φαίνεται στο σχήμα δια μέσου του οποίου η υρή φλέβα νερού εκρέει στην ατμόσφαιρα. Η πίεση στη διατομή είναι 5 m. Ζητούνται : α. Η παροχή που εκρέει από τη φλέβα. β. Ποία είναι η δύναμη που ασκείται στα μπουλόνια. Λύση: α. Εκλέουμε το σταθερό πεπερασμένο όκο αναφοράς που ορίζεται από τα στερεά όρια του ακροφυσίου και τις διατομές και κάθετες προς τις ραμμές ροής σε περιοχές ομοιόμορφης ροής, και εφαρμόζουμε τις εξισώσεις συνεχείας και ενερείας στις διατομές αυτές. Εφαρμόζουμε την εξίσωση συνέχειας μεταξύ των διατομών και και βρίσκουμε: Q = Q = Q.D.d. d.q. π. π και D π.d.q π.d () Στη συνέχεια εφαρμόζουμε την εξίσωση ενερείας μεταξύ των διατομών και με οριζόντιο επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που περνάει από τον άξονα του αωού, αμελώντας τις απώλειες ενέρειας μεταξύ των διατομών και. Έχομε επομένως : h = h z z και επειδή.g g z = z = 0 καθώς επίσης και = atm = 0

.g g () ρ Λόω της () η () ράφεται: 6.Q π.d ρ 6.Q και επειδή π.d προκύπτει η σχέση : 6.Q π.d ρ 6.Q η οποία αν επιλυθεί ως προς Q δίνει : π.d Q π. 8.ρ.ρ d D =,. 0,5 0,097 lit /sec = 0,9. ) 5 0.5 8.000. ( ) 0,05 m π..d D 8.ρ. ( ) d /h π D 0,000097. D 8.ρ. ( ) d m /sec = m /sec β. Για τον υπολοισμό της δύναμης, που ασκείται στα μπουλόνια, εφαρμόζουμε την εξίσωση ποσότητας κινήσεως ια το σταθερό πεπερασμένο όκο αναφοράς που ορίζεται από τα στερεά όρια του ακροφυσίου και τις διατομές και, και επειδή η ροή είναι μονοδιάστατη έχουμε : ΣF F Fτ Fg N β ρ Q ( ) όπου ΣF είναι το διανυσματικό άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων, που ενερούν στην μάζα του ρευστού και Ν είναι η ολική δύναμη, που ασκείται από το νερό στο ακροφύσιο. Επομένως η αντίδραση, που ασκείται από το ακροφύσιο στο νερό, είναι - Ν. Επειδή αμελούνται οι απώλειες ενέρειας είναι Fτ = 0 και επειδή ο αωός είναι οριζόντιος είναι Fg = 0 Επομένως ΣF F - Ν = β.ρ. Q. ( - ) Είναι : F = - =, ιατί = atm= 0

Επίσης είναι β =.Q.Q Άρα Ν = F - ρ. Q. ( - ) και αφού και π.d π.d προκύπτει : N =,. 0,5 = 000 9,8 5 - ρ. Q. (,7-0,.Q π.d -,8.Q ) π.d N ρ.g.h..000.,097,.ρ.ρ - π.0 8. ( d D ( 0,05 - ) 0,5 ) Άσκηση 8η Δοχείο αδειάζει με τη βοήθεια του σίφωνα ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν η στάθμη του νερού στο δοχείο είναι +00,00 m και τα υψόμετρα του σίφωνα στις θέσεις Β, Γ και Δ είναι αντίστοιχα +00,00 m, +0,00 m και +96,00 m, να υπολοιστεί η ταχύτητα ροής στα διάφορα σημεία του σωλήνα. Αν το νερό είναι θερμοκρασίας 00 (υ =, kn/ m ), να βρεθεί το μεαλύτερο δυνατό υψόμετρο της θέσης Γ ια το οποίο δεν υπάρχει κίνδυνος σπηλαίωσης. Οι απώλειες ενέρειας να αμεληθούν. Λύση: Εφαρμόζουμε την εξίσωση ενερείας μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας Ε και της διατομής στη θέση Δ με οριζόντιο επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που περνάει από το Δ, αμελώντας τις απώλειες ενέρειας μεταξύ των διατομών Ε και Δ. Έχομε επομένως : hε = hδ z Ε ' g z Δ Δ Δ g και επειδή zε = 00 m, zδ = 96,00 m, Ε = Δ = atm = 0 και Ε = 0

προκύπτει 00 Δ 96 g Δ 8,86 m/s Από την εξίσωση συνεχείας και επειδή η διατομή του σωλήνα είναι σταθερή, βρίσκουμε ότι = Γ = Δ = = 8,86 m /s. Ο κίνδυνος σπηλαίωσης εμφανίζεται στο σημείο Γ όπου ο σωλήνας έχει το μεαλύτερο υψόμετρο θέσης, άρα τη μικρότερη πίεση. Εφαρμόζουμε την εξίσωση ενερείας μεταξύ της ελευθερης επιφάνειας Ε και της διατομής στη θέση Γ, αμελώντας τις απώλειες ενέρειας. Έχομε επομένως : ΗΕ = ΗΓ h ' ' ' Ε Ε Γ Γ h Γ και επειδή.g g zε = 00 m zγ = ( 00 + Η ) m, Ε = atm = 0, Ε = 0 και Γ = 8,86 m /s θα είναι: 00 + 0 + 0 (00 + Η ) + Γ Γ g Γ - ( Γ Η + g ) Επειδή Γ = Γαπόλ. - atm είναι: Γαπολ. ατμ. Γ ( Η + ).g Για να μην υπάρχει κίνδυνος σπηλαίωσης πρέπει ια τη δοσμένη θερμοκρασία, η απόλυτη πίεση στο σημείο Γ, να μην είναι μικρότερη από την τάση των ατμών, πρέπει δηλαδή να ισχύει Γαπόλ. υ =, kn / m Γαπολ. ατμ.. ( Η + Γ ).g ή Η ατμ. ρ.g υ Γ.g Στην τελευταία σχέση αν αντικατασταθούν: Γ = 8,86 m/sec, g = 9,8 m /s, υ =, kn/ m, ατμ. = 0,0 kn / m και ρ = 000 kg/ m, προκύπτει: Η 0,0, 000. 9,8 8,86. 9,8 = 6,08 m

Άσκηση 9η Το φορτίο που καταναλώνει ο στρόβιλος C - R είναι Δh C R πίεση είναι 5 bar. Αν οι απώλειες φορτίου από το R στο W είναι το στο C είναι α. η παροχή Q C Δh ζητούνται : C g β. Να σχεδιαστούν και η ραμμή ενέρειας και η πιεζομετρικη ραμμή. (60 N) m, ενώ στο η Δh R και από W g Λύση: α) Από την εξίσωση ενερείας μεταξύ των σημείων και W προκύπτει: C C z Δh z () στρ. g g g g Επειδή στο W είναι ελεύθερη επιφάνεια, είναι 0 και 0 Επομένως η () μετά την εκτέλεση των πράξεων ίνεται: z C Δh z 0 0 στρ. g g C z z Δh στρ. g g 0 () Από την εξίσωση συνεχείας προκύπτει:

Q S S οπότε C C C Q Q () S πd C C και Q Q () S πd () Επομένως η σχέση () ίνεται: z 6 Q 6 Q z Δh στρ. g π D g π D C 0 Q z z D C Δh D στρ. g π 6 Q π D C D z z D C D Δh στρ. g / Με αντικατάσταση των δεδομένων προκύπτει: Q π 0,0 0,60 5 5x0 75,00 5,00 60,00 9,8 980 0,0 0,60 / 0,98 m / s Από τις σχέσεις () και () υπολοίζονται οι ταχύτητες ροής: Q 0,98,9 m / s () πd, 0,0 C C και Q 0,98,79 m / s () πd, 0,60

β) Γραμμή ενερείας και πιεζομετρική ραμμή. Σημείο Τ. Ύψος Ενέρειας: h z C g 5 5x0 75,00 980,9 9,8 75,00 50,97 9,87 5,8 m Πιεζομετρικό φορτίο z h C g 75,00 50,97 5,8 9,87 5,97 m Σημείο C Ύψος Ενέρειας: h C h Δh C 5,8 g C,9 5,8 9,8 5,8 9,60 06, m Πιεζομετρικό φορτίο z C C h C C g 06, 9,87 96,7 m Σημείο R Ύψος Ενέρειας: h h Δh R C στρ. 06, 60,00 6, m Πιεζομετρικό φορτίο z R R h R g,79 6, 6, 0,58 5,66 m 9,8 Σημείο W Ύψος Ενέρειας: h W h R Δh,79 6, 9,8 6,,6 5,08 m Πιεζομετρικό φορτίο

z R R h R g,79 6, 9,8 6,,6 5,08 m

.6. ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Άσκηση η Αν η ταχύτητα σε ένα σωλήνα διαμέτρου D = ( +Ν) mm είναι = 0,50 m/s, ποία είναι η ταχύτητα σε μια φλέβα ρευστού διαμέτρου d= mm που εκρέει από ακροφύσιο προσαρμοσμένο στο σωλήνα. Άσκηση η. (Απάντηση ια N= 0: = 8m/s) Στο μετρητή enturi του σχήματος, η απόκλιση του υδράρυρου στο διαφορικό μανόμετρο είναι (0,6 +0,Ν)m. Να υπολοιστεί η παροχή του νερού μέσα στο μετρητή, αν δεν υπάρχουν απώλειες ενέρειας μεταξύ Α και Β. Άσκηση η Ο στρόβιλος του σχήματος έχει ισχύ N= 900 k m/s και η διαφορά πιέσεως στα σημεία Α και Β είναι (0,00 N) m. Να υπολοιστεί η παροχή που διέρχεται από τον υδροστρόβιλο όταν είναι D= 0,0 m, D= 0,60 m και Δz =0,90 m (Απάντηση ια N= 0: Q = 0,7 m /sec) (Απάντηση ια N= 0: Q = 0,9 m /s)

Προτεινόμενη Βιβλιοραφία. Μενέλαος Θεοχάρης, ΑΡΔΕΥΣΕΙΣ, Τ.Ε.Ι. Ηπείρου, Άρτα, 0.. Μενέλαος Θεοχάρης, Η ΑΡΔΕΥΣΗ ΜΕ ΣΤΑΓΟΝΕΣ, Τ.Ε.Ι. Ηπείρου, Άρτα, 998.. Θεοχάρης Μ.: " Αρδεύσεις - Στραίσεις ", Άρτα 998. Θεοχάρης Μ.: " Η Άρδευση με Σταόνες ", Άρτα 998 5. Θεοχάρης Μ.: " Αρδεύσεις - Στραίσεις, Εραστηριακές Ασκήσεις", Άρτα 998 6. Καρακατσούλης Π. : " Αρδεύσεις - Στραίσεις και Προστασία των Εδαφών ", Αθήνα 99. 7. Κωνσταντινίδης Κ. : "Η μέθοδος αρδεύσεως δια καταιονήσεως ", Θεσσαλονίκη - Αθήνα 975. 8. Μιχελάκης Ν. : "Συστήματα Αυτόματης Άρδευσης - Άρδευση με Σταόνες" 9. Daugerty - Franzini : "Υδραυλική" Τόμοι Ι, ΙΙ, Εκδόσεις Πλαίσιο, Αθήνα. 0. Davis- Sorensen :" Handbook of alied Hydraulics" hird edition McGra-Hill ook Comany, 969.. Ουζούνης Δ. "Θεωρητική και Πρακτική Μέθοδος της Άρδευσης με Σταόνες" Εκδόσεις Γαρταάνη, Θεσσαλονίκη 997.. Τερζίδης Γ. : "Μαθήματα Υδραυλικής ", Τόμοι Ι,ΙΙ, ΙΙΙ, Θεσσαλονίκη 986.. Τερζίδης Γ. - Παπαζαφειρίου Ζ. : " Γεωρική Υδραυλική " Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη 997.. Τζιμόπουλος Χ. : " Γεωρική Υδραυλική ", Τόμοι Ι, ΙΙ, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσ-σαλονίκη 98. 5. Τσακίρης Γ. : "Μαθήματα Εειοβελτιωτικών Έρων ", Αθήνα 6. Hansen. - Israelsen : "Αρδεύσεις. Βασικοί Αρχαί και Μέθοδοι. Μετάφραση από τους Α. Νικολαϊδη και Α. Κοκκινίδη ", Αθήνα 968.

Σημείωμα Αναφοράς Θεοχάρης Μενέλαος, (05). Αρδεύσεις (Εραστήριο). ΤΕΙ Ηπείρου. Διαθέσιμο από: htt://eclass.teie.gr/courses/xg0/ Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουρού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράωα Έρα.0 Διεθνές [] ή μεταενέστερη. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έρα τρίτων π.χ. φωτοραφίες, Διαράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έρων Τρίτων». [] htt://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/.0/deed.el Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έρο ια εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Επεξερασία: Δημήτριος Κατέρης Άρτα, 05