Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση ισορροπίας τους, ώστε τα νήµατα να σχηµατίζουν µε την κατακόρυφη διεύθυνση την ίδια γωνία φ και τα αφήνουµε ελεύθερα, οπότε τα σφαιρίδια συγκρούονται στην θέση ισορροπίας τους. Eάν η κρούση των δύο σφαιριδίων είναι ελαστική, να βρείτε: i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και ii) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε το σφαιρίδιο µάζας να ακινητοποιείται αµέσως µετά την κρούση. Ποια είναι στην περί πτωση αυτή η µέγιστη εκτροπή από την κατακόρυφη διεύθυνση του νήµατος που συγκρατεί το σφαιρίδιο µάζας 1, µετά την κρούση; ΛΥΣΗ: i) Κατά το πρόβληµα στις αρχικές θέσεις των σφαιριδίων τα νήµατα σχηµατίζουν την ίδια γωνία φ µε την κατακόρυφο διεύθυνση, οπότε οι ταχύτη τες µε τις οποίες φθάνουν ταυτόχρονα στο κατώτατο σηµείο Κ των τροχιών τους είναι αντίθετες, το δε κοινό τους µέτρο v θα βρεθεί εάν εφαρµόσουµε για το καθένα από αυτά το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, Έτσι θα έχουµε την σχέση: Σχήµα 1 0 + 0 = v / - g(l - L"#) v = gl(1 - "#)
v = 4gLµ (" / ) v= glµ (" / ) (1) Επειδή µετά την κρούση τα σφαιρίδια φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις, οι ταχύτητές τους αµέσως µετά την κρούση αντιστρέφονται (σχήµα 1) και συµφω να µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα ισχύει η σχέση: 1 v - v = - 1 v+ v 1 v = v 1 / = ) ii) Aς δεχθουµε ότι οι µάζες 1, των δύο σφαιριδίων έχουν τιµές που εξασ φαλίζουν ότι το σφαιριδιο µάζας αµέσως µετά την κρούση ακινητοποιείται. Eάν v 1 είναι η ταχύτητα του σφαιριδίου µάζας 1 αµέσως µετά την κρούση (σχήµα ), τότε σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής για το σύστηµα των δύο σφαιριδίων θα έχουµε την σχέση: 1 v - v = 0-1 v 1 v 1 = ( - 1 )v / 1 Σχήµα Εξάλλου επειδή η κρούση των δύο σφαιριδίων είναι ελαστική, η συνολική κινητική τους ενεργειά δεν µεταβάλλεται και αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: 1 v + v = v 1 1 + 0 1 v + v = 1 v 1 1 v + v = 1 ( - 1 ) v / 1 1 + = ( - 1 ) / 1 1 + 1 = 1-1 + 3 1 = / 1 = 3 (4) Eάν φ 1 είναι η µέγιστη εκτροπή του νήµατος που συγκρατεί το σφαιρίδιο µάζας 1 µετά την κρούση, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει η σχέση: 1 v 1-1 g(l - L"# 1 ) = 0 + 0 v 1 = gl(1 - "# 1 )
(1).(4) ( - 1 ) v / 1 = 4gLµ (" 1 / ) (3 1-1 ) 4gLµ (" / )/ 1 = 4gLµ (" 1 / ) µ (" 1 / ) = µ(" / ) P.M. fysios Δύο δίσκοι Δ 1 και Δ µε αντίστοιχες µάζες 1 και είναι στερεωµένοι στις άκρες ενός κατακόρυφου ιδανικού ελα τηρίου σταθεράς. Το σύστηµα ισορροπεί ώστε ο δίσκος Δ να εφά πτεται σε οριζόντιο έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εφαρµό ζουµε στο κέντρο του δίσκου Δ 1 κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα κάτω, της οποίας το µέτρο έχει επιλεγεί, ώστε αν το σύστηµα αφε θεί ελεύθερο ο δίσκος Δ µόλις να χάνει την επαφή του µε το οριζόν τιο έδαφος. i) Nα βρείτε σε συνάρτηση µε τον χρόνο τον ρυθµό µεταβολής της ορ µής και της κινητικής ενέργειας του δίσκου Δ 1. ii) Nα βρείτε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την δύναµη που δέχεται ο δίσκος Δ από το έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) i) Πριν την εφαρµογή της δύναµης F ο δίσκος Δ 1 ισορροπούσε στην θέση Ο (στάθµη ε 0 ) και το ελατήριο ήταν συµπιεσµένο κατά α από την φυσική του κατάσταση και ισχύει η σχέση: 1 g = α α = 1 g/ (1) Σχήµα 3 Σχήµα 4 Όταν επί του δίσκου Δ 1 εφαρµόζεται η δύναµη F αυτός ισορροπεί σε νέα θέση που βρίσκεται κάτω από την Ο (στάθµη ε 1 ) σε απόσταση x 0 από αυτήν (σχήµα 3)
και ισχύει η σχέση: F = x 0 x 0 = F/ () Aς δεχθούµε ότι το µέτρο της δύναµης F είναι τέτοιο, ώστε όταν αυτή αποσυρ θεί ο δίσκος Δ οριακά να χάνει την επαφή του µε το οριζόντιο έδαφος. Αυτό σηµαίνει ότι ο µεν δίσκος Δ 1 εκτελεί κατακόρυφη απλή αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης το Ο και σταθερά ταλάντωσης, ο δε δίσκος Δ ισορροπεί επί του εδάφους και την στιγµή που ο Δ 1 βρίσκεται στην ανώτατη θέση του (στάθµη ε στο σχήµα 4) η δύναµη επαφής του δίσκου Δ µε το έδαφος µηδενίζε ται. Εποµένως την στιγµή αυτή ο δίσκος Δ ισορροπεί οριακά υπό την επίδραση του βάρους του g και της δύναµης F " από το ελατήριο, δηλαδή η F " την στιγµή αυτή είναι αντίθετη του βάρους g, δηλαδή έχει φορά προς τα πάνω, οπότε το ελατήριο είναι τεντωµένο κατά β από την φυσική του κατάσταση (σχήµα 4) και θα ισχύει η σχέση: g = β β = g/ Όµως από το σχήµα (4) προκύπτει ότι α+β= x 0, η οποία µε βάση τις σχέσεις (1), () και γράφεται: 1 g + 1 g = F F = ( 1 + )g (4) Aν λάβουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που το σύστηµα αφήνε ται ελευθερο, δηλαδη την στιγµή που αποσύρεται η δύναµη F και ως θετική φόρα στην κατακόρυφη διεύθυνση την προς τα κάτω, τότε η εξίσωση κίνησης του δίσκου Δ 1 θα έχει την µορφή: () x = x 0 µ (" + #/) x = F "# & ' (4) ) x = ( 1 + )g "#& ' ) (5) Eξάλλου κάθε στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του δίσκου Δ 1 είναι ίσος µε την συνισταµένη δύναµη που δέχεται, δηλαδή µπορουµε για τις αλγεβρικές τιµές των δύο αυτών διανυσµάτων να γράψουµε την σχέση: dp d = F(x) = -x (5) dp d = -g( 1 + )"#& ' ) (6) Ας δεχθούµε ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών και +d η κινητική ενέργεια του δίσκου Δ 1 µεταβάλλεται κατά dk. Εφαρµόζοντας κατά τον χρόνο d για τον δίσκο Δ 1 το θεώρηµα έργου-ενέργειας παίρνουµε την σχέση: dk = dw F(x) = F(x)dx dk = -xdx
dk d = -x dx d = -xv (7) όπου dx η µεταβολή του µεγέθους x κατά τον χρόνο d, v η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του δίσκου την στιγµή και dk/d o αντίστοιχος ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου. Όµως για την αλγεβρική τιµή της ταχύτη τας του δίσκου Δ 1 ισχύει η σχέση: () v = x 0 "µ ( + #) = -x 0 "µ v = - F " µ (4) ' v = - g( 1 + ) " µ ' (8) H (7) µε βάση την (6) και (8) γράφεται: dk d = g ( 1 + ) " µ ' ()* " # ' (9) ii) Eπειδή στην διάρκεια της ταλάντωσης του δίσκου Δ 1 ο δίσκος Δ ισορροπεί, µπορουµε να γράψουµε για τον Δ την σχέση: F " - N + g = 0 N = F " + g (10) Σχήµα 5 όπου N η δύναµη επαφής του δίσκου Δ µε το έδαφος και F ελ η αλγεβρική τιµή της δύναµης F " που δέχεται ο δίσκος αυτός από το ελατήριο (η δύναµη F " αλ λάζει φορά στην διάρκεια που ο δίσκος Δ 1 ταλαντεύεται). Όµως ισχύει: (5) F " = 1 g + x & F " = 1 g + g( 1 + )#( ' ) + 1 *