Θέµα 4 : Προσοµοίωση και ανάλυση πλαισίων

Θέµα 4 : Προσοµοίωση και ανάλυση πλαισίων 1. Εισαγωγή στη συµπεριφορά των πλαισίων 1.1 Σκοπός Η ανάλυση αποσκοπεί στον προσδιορισµό της κατανοµής των εσωτερικών δυνάµεων και των αντίστοιχων παραµορφώσεων µιας κατασκευής υποκείµενης σε καθορισµένη φόρτιση. Η πραγµατοποίηση του σκοπού αυτού απαιτεί την υιοθέτηση κατάλληλων προσοµοιωµάτων που ενσωµατώνουν παραδοχές για τη συµπεριφορά της κατασκευής, και συγκεκριµένα για τα στοιχεία και τους κόµβους της. Ο βασικός σκοπός της διάλεξης αυτής είναι να δώσει λύση στο πρόβληµα της προσοµοίωσης και ανάλυσης των κατασκευών. 1.2 Σχέση φορτίου-µετακινήσεων για πλαίσια Η απόκριση της κατασκευής στις φορτίσεις µπορεί να εκφρασθεί µέσω της σχέσης µεταξύ µιας παραµέτρου φόρτισης και µιας ενδεικτικής παραµέτρου µετατόπισης. Ένα παράδειγµα συµπεριφοράς ενός τυπικού πλαισίου υπό αυξανόµενη φόρτιση φαίνεται στο Σχήµα 1. Η παράµετρος φορτίσεως λ είναι συνηθέστερα ένας συντελεστής που εφαρµόζεται σε όλες τις δράσεις, έτσι ώστε να παράγει µονοτονική και αναλογική αύξηση στη συνολική φόρτιση της κατασκευής, ενώ η παράµετρος µετατόπισης λαµβάνεται ως η πλευρική µετατόπιση του τελευταίου ορόφου. Η καµπύλη που προκύπτει µπορεί να θεωρηθεί ότι χαρακτηρίζει τη συνολική συµπεριφορά της κατασκευής. Στη συγκεκριµένη περίπτωση, η κλίση της καµπύλης είναι ένα µέτρο της πλευρικής ακαµψίας του πλαισίου. Load parameter λ Linear elastic response Load Displacement Peak load Frame Linear limit where geometric and/or joint and/or material non-linearities become apparent Displacement parameter Σχήµα 1 - Σχέση φορτίου-µετακινήσεων πλαισιακής κατασκευής Παρατηρείται ότι η απόκριση της κατασκευής είναι οιονεί γραµµική µέχρι ένα συγκεκριµένο σηµείο (το γραµµικό όριο). Όταν προσεγγισθεί το γραµµικό όριο, η θετική κλίση του ανοδικού κλάδου της καµπύλης σταδιακά µειώνεται λόγω του συνδυασµού τριών ειδών µη γραµµικότητας: γεωµετρική µη γραµµικότητα, µη γραµµική συµπεριφορά των κόµβων και µη γραµµική συµπεριφορά του υλικού. Η µη γραµµική συµπεριφορά των κόµβων εµφανίζεται σε σχετικά µικρά φορτία. Η γεωµετρική µη γραµµικότητα εκφράζει την επιρροή της παραµορφωµένης κατάστασης της κατασκευής στην κατανοµή των εσωτερικών δυνάµεων. Συνήθως, εµφανίζεται αρκετά πριν την έναρξη της διαρροής του υλικού, δηλ. της µη γραµµικής συµπεριφοράς του υλικού. Πέραν αυτής, η απόκριση καθίσταται σταδιακά µη γραµµική, καθώς το φορτίο αυξάνεται µέχρι τη µεγίστη τιµή του. Όταν προσεγγιστεί το µέγιστο φορτίο, απαιτείται -για λόγους ισορροπίας- η µείωση του µεγέθους των φορτίων καθώς οι παραµορφώσεις µεγαλώνουν. Η κλίση της καµπύλης (δηλ. η ακαµψία) είναι µηδενική στο µέγιστο φορτίο και µετά γίνεται αρνητική, υποδεικνύοντας ότι η κατασκευή είναι πλέον ασταθής. Το µέγιστο φορτίο είναι το σηµείο όπου επίκειται η κατάρρευση του φορέα εάν δεν υπάρξει πιθανότητα µειώσεως των φορτίσεων.

2. Προσοµοίωση πλαισίων και βασικές έννοιες από την στατική 2.1 Προσοµοίωση των κτιριακών κατασκευών για την ανάλυση Η ανάλυση διεξάγεται σε ένα προσοµοίωµα που βασίζεται σε διάφορες παραδοχές σχετικά µε το στατικό µοντέλο, τη γεωµετρική συµπεριφορά της κατασκευής και των µελών της, καθώς και τη συµπεριφορά σε επίπεδο διατοµής και συνδέσεων. Όταν γίνει η ανάλυση, πρέπει να πραγµατοποιηθεί ένας αριθµός ελέγχων του πλαισίου και των στοιχείων του (µέλη και κόµβοι). Οι έλεγχοι αυτοί εξαρτώνται από τον τύπο της ανάλυσης που εφαρµόσθηκε και τον τύπο διαστασιολόγησης (π.χ. οριακή κατάσταση) που χρησιµοποιείται. 2.1.1 Σύλληψη του φορέα Η διάταξη των δοµικών στοιχείων πρέπει να βασίζεται στις απαιτήσεις για την προοριζόµενη χρήση του κτιρίου, καθώς και στην αντίσταση στις δράσεις που µπορεί να συµβούν. Οι ακόλουθες κατηγορίες δοµικών στοιχείων πρέπει να προσδιορίζονται: 1. κύρια δοµικά στοιχεία: περιλαµβάνουν κύρια πλαίσια, τις συνδέσεις και τις θεµελιώσεις τους, τα οποία αποτελούν τις οδούς µέσω των οποίων τα κατακόρυφα και οριζόντια φορτία που δρουν στο κτίριο µεταφέρονται στο έδαφος 2. δευτερεύοντα δοµικά στοιχεία: όπως δευτερεύουσες δοκοί ή τεγίδες, τα οποία µεταβιβάζουν τα φορτία στα κύρια δοµικά στοιχεία 3. λοιπά στοιχεία: στοιχεία που µόνο µεταβιβάζουν φορτία στα κύρια ή δευτερεύοντα δοµικά στοιχεία. Π.χ. επενδύσεις, επικαλύψεις και ελαφρά χωρίσµατα. Σε περιπτώσεις που αυτές οι τρεις κατηγορίες στοιχείων υπόκεινται σε διαφορετικές απαιτήσεις ασφαλείας, θα πρέπει να προσοµοιώνονται χωριστά, εάν αυτό είναι απαραίτητο. 2.1.2 Χωρική συµπεριφορά Εναλλακτικά προς την ανάλυση της κυρίως κατασκευής ως τρισδιάστατος φορέας, η κατασκευή µπορεί να αναλυθεί ως δύο σειρές ανεξαρτήτων επιπέδων πλαισίων κατά δύο οριζόντιες διευθύνσεις υπό ορθή περίπου γωνία µεταξύ τους (Σχήµα 2), υπό την προϋπόθεση ότι κάθε τέτοιο επίπεδο πλαίσιο έχει επαρκή στήριξη εκτός επιπέδου ώστε να εξασφαλίζεται η πλευρική ευστάθειά του. Σχήµα 2 - Μετατροπή τρισδιάστατου πλαισίου σε επίπεδα πλαίσια 2.1.3 Αντίσταση σε οριζόντια φορτία Όταν η διαµόρφωση του φορέα είναι τέτοια ώστε το κτίριο να είναι ευαίσθητο σε πιθανή εκκεντρότητα της οριζοντίου φορτίσεως ως προς το κέντρο ακαµψίας της κατασκευής σε στρέψη, θα πρέπει να ληφθούν επίσης υπόψη οι συνέπειες της εφαρµογής µέρους µόνο της οριζοντίου φορτίσεως. 2.1.4 Αλληλεπίδραση εδάφους - κατασκευής Το αν η αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής πρέπει να ληφθεί υπόψη ή όχι, εξαρτάται από το πόσο σηµαντικές είναι οι συνέπειες των καθιζήσεων της θεµελιώσεως λόγω της φορτίσεως του εδάφους στις εσωτερικές δυνάµεις και ροπές των δοµικών στοιχείων. Η ακόλουθη µέθοδος προτείνεται για την εξέταση της αλληλεπιδράσεως εδάφους-κατασκευής: 2

Ως πρώτο βήµα, η κατασκευή µπορεί να αναλυθεί υποθέτοντας ότι το έδαφος είναι άκαµπτο. Από την ανάλυση αυτή, θα καθοριστεί η φόρτιση επί του εδάφους και οι αντίστοιχες καθιζήσεις. Οι καθιζήσεις που προκύπτουν επιβάλλονται στην κατασκευή υπό την µορφή επιβεβληµένων παραµορφώσεων και έτσι προσδιορίζονται οι συνέπειες επί των εσωτερικών δυνάµεων και ροπών. Εάν οι συνέπειες είναι σηµαντικές, η αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής πρέπει να ληφθεί υπόψη. Αυτό µπορεί να γίνει χρησιµοποιώντας ισοδύναµα ελατήρια για την προσοµοίωση της εδαφικής συµπεριφοράς. Προτείνεται ότι όταν η αντίσταση της κατασκευής δεν ελαττώνεται άνω του 5%, η αλληλεπίδραση µπορεί να θεωρηθεί αµελητέα και να παραληφθεί κατά τη µελέτη. Αυτό το κριτήριο είναι το ίδιο µε αυτό που δίνεται στην ταξινόµηση των άκαµπτων συνδέσεων. 2.1.5 Προσοµοίωση των πλαισίων 1. Τα µέλη και οι κόµβοι πρέπει να προσοµοιώνονται για την ανάλυση κατά τρόπον ο οποίος να αντικατοπτρίζει ικανοποιητικά την αναµενόµενη συµπεριφορά τους υπό την αντίστοιχη φόρτιση. 2. Η βασική γεωµετρία ενός πλαισίου πρέπει να παριστάνεται από τους κεντροβαρικούς άξονες των µελών. 3. Είναι συνήθως επαρκές τα µέλη να παριστάνονται από γραµµικά στοιχεία τοποθετηµένα στους κεντροβαρικούς τους άξονες, αγνοώντας την αλληλοεπικάλυψη του πραγµατικού πλάτους των µελών. 4. Εναλλακτικά, το πραγµατικό πλάτος όλων ή µερικών µελών µπορεί να λαµβάνεται υπόψη στους κόµβους µεταξύ µελών. 2.1.6 Πλαισιακή Σύνδεση και Κόµβοι Στον Ευρωκώδικα 3, ο όρος πλαισιακή σύνδεση χρησιµοποιείται για τη διάκριση µεταξύ των διαφόρων τρόπων µε τους οποίους η συµπεριφορά των συνδέσεων µπορεί να ληφθεί υπόψη στην καθολική ανάλυση. Αναγνωρίζεται ότι γενικά, λόγω της παραµόρφωσης των συνδέσεων, οι ελαστικές γραµµές των µελών είναι ασυνεχείς στους κόµβους. Ανάλογα µε τις συνέπειες της ασυνέχειας αυτής, διακρίνονται οι παρακάτω περιπτώσεις: Η ασυνέχεια µπορεί να αγνοηθεί, δηλ. οι κόµβοι θεωρούνται άκαµπτοι και το πλαίσιο µπορεί να αναλυθεί ως συνεχές. Αυτό ονοµάζεται συνεχής πλαισιακή σύνδεση. Η ασυνέχεια µπορεί να ληφθεί υπόψη θεωρώντας ένα αρθρωτό µοντέλο. Έτσι, επωφελούµενοι από τις πιθανές στροφές, δε χρειάζεται να εξετάσουµε την καµπτική αντίσταση των κόµβων. Αυτό ονοµάζεται απλή πλαισιακή σύνδεση. Η ασυνέχεια στους κόµβους µπορεί επίσης να ληφθεί υπόψη χρησιµοποιώντας ηµι-συνεχή πλαισιακή σύνδεση. Στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιείται ένα προσοµοίωµα για τους κόµβους στο οποίο η σχέση ροπής-στροφής εξετάζεται µε µεγαλύτερη ακρίβεια. Η χρήση συνεχούς ή απλής πλαισιακής σύνδεσης πρέπει να δικαιολογείται µέσω καταλλήλου επιλογής του τύπου συνδέσεως ( άκαµπτη και απλή σύνδεση, βάσει της σχετικής ταξινόµησης). Σηµειώνεται ότι ενώ είναι πιθανή η επιλογή ενός µόνο τύπου πλαισιακής σύνδεσης για τους κόµβους δοκού-υποστυλώµατος στην ανάλυση αρκετών τυπικών πλαισίων, η χρήση διαφορετικών τύπων πλαισιακής σύνδεσης για τα µέλη της ιδίας κατασκευής µπορεί επίσης να θεωρηθεί πιθανή. 2.1.7 Τριγωνικές κατασκευές Οι τριγωνικές κατασκευές πρέπει γενικά να προσοµοιώνονται ως αρθρωτές έστω και αν τα εξωτερικά µέλη (π.χ. άνω και κάτω πέλµα δικτυωµάτων) είναι στην πράξη συνεχή, εκτός των περιπτώσεων που αναφέρονται στον Ευρωκώδικα 3, Μέρος 1-1. 2.2 Θεώρηση ατελειών Πρέπει να λαµβάνονται κατάλληλα µέτρα για την κάλυψη των επιδράσεων των πρακτικών ατελειών στην ανάλυση, κατά τη µελέτη συστηµάτων δυσκαµψίας και τη διαστασιολόγηση των µελών. Οι πρακτικές ατέλειες, οι οποίες περιλαµβάνουν παραµένουσες τάσεις, είναι γεωµετρικές ατέλειες όπως έλλειψη κατακορυφότητας, έλλειψη ευθυγράµµισης, έλλειψη προσαρµογής µεταξύ των µελών και αναπόφευκτες εκκεντρότητες που παρατηρούνται στην υλοποίηση των συνδέσεων. Μέριµνα για τις ατέλειες αυτές µπορεί να ληφθεί µε τη χρήση κατάλληλων ισοδυνάµων γεωµετρικών ατελειών µε τιµές που αντανακλούν τις επιδράσεις όλων των τύπων ατελειών. Ο Ευρωκώδικας 3 Μέρος 1-1 3

ασχολείται µε τις ατέλειες αυτές απαιτώντας να περιλαµβάνονται στην καθολική ανάλυση των πλαισίων δύο είδη ατελειών: αρχικές ατέλειες πλευρικών µετατοπίσεων (ατέλειες πλαισίων), και ατέλειες µελών, όπου είναι αναγκαίο. Οι επιδράσεις των ατελειών µελών µπορούν να παραλείπονται όταν αναλύονται πλαίσια χωρίς πλευρική µετατόπιση. Για πλαίσια µε πλευρική µετατόπιση, τα οποία έχουν λυγηρά υποστυλώµατα, µπορεί να απαιτείται η ενσωµάτωση ατελειών µελών στην ανάλυση. 2.3 Μέλη πλαισίου Ένα πλαίσιο αποτελείται από µέλη και κόµβους (βλ. Σχήµα 3). Τα µέλη είναι στοιχεία µε µήκος πολύ µεγαλύτερο του ύψους τους, ενώ οι κόµβοι είναι περιοχές όπου δύο ή περισσότερα µέλη συνδέονται. Τα µέλη ταξινοµούνται αναλόγως του είδους φορτίσεως που υφίστανται. ιακρίνονται σε δοκούς, εάν η κάµψη είναι το κυρίαρχο φαινόµενο, υποστυλώµατα (θλιβόµενα στοιχεία) ή εφελκυόµενα στοιχεία, εάν η αξονική δύναµη κυριαρχεί και δοκούς-υποστυλώµατα, εάν συνυπάρχουν σηµαντικά καµπτικά και αξονικά φορτία. Οι δοκοί, οι δοκοί-υποστυλώµατα και οι κόµβοι τους αποτελούν τα κύρια στοιχεία των πλαισιωτών κατασκευών. Μέλη υποκείµενα µόνο σε εφελκυσµό ονοµάζονται εφελκυόµενα µέλη. Τέτοια µέλη εµφανίζονται σε συστήµατα δυσκαµψίας, σε δικτυώµατα και σε κατασκευές µε αναρτηµένα τµήµατα (χρησιµοποιώντας π.χ. ελκυστήρες). Οι δοκοί-υποστυλώµατα χρησιµοποιούνται ως µία γενικευµένη περίπτωση που περιλαµβάνει µέλη υποκείµενα σε συνδυασµό κάµψης και αξονικού εφελκυσµού. Για τυπικά πλαίσια είναι σύνηθες να διατάσσονται τα µέλη έτσι ώστε να αποφεύγεται η εµφάνιση σηµαντικών στρεπτικών δυνάµεων. Σ αυτήν την περίπτωση, οι στρεπτικές δυνάµεις, αν και ποτέ δε λείπουν τελείως, µπορούν να αγνοηθούν στην καθολική ανάλυση. Για τις περιπτώσεις όπου αναµένεται σηµαντική στρέψη, θα πρέπει να χρησιµοποιηθούν κατάλληλες µέθοδοι για τον προσδιορισµό της στα µέλη όπου εµφανίζεται (εφόσον δεν έχει ήδη ληφθεί υπόψη στην καθολική ανάλυση) και τα µέλη αυτά να διαστασιολογηθούν ανάλογα. Beam Joint Beam-column Σχήµα 3 - Πλαίσιο και µέλη πλαισίου 2.3.1 οκοί Οι περισσότερες δοκοί σχεδιάζονται έτσι ώστε να µεταφέρουν φορτία που προκαλούν κάµψη ως προς τον ισχυρό κύριο άξονα της διατοµής µόνον. Αυτή είναι η λεγόµενη κάµψη εντός επιπέδου, η οποία συνήθως είναι η καθοριστική για τη διαστασιολόγηση των δοκών πλαισίων. Επειδή πάντοτε παρατηρούνται αναπόφευκτες αρχικές ατέλειες στη γεωµετρία της δοκού και αθέλητες µικρές εκκεντρότητες των φορτίων, κάποια στρέψη θα εµφανίζεται πάντοτε κατά την κάµψη εντός επιπέδου. Καθώς τα φορτία αυξάνονται, οι παραµορφώσεις εκτός επιπέδου είναι πιθανόν να µεγαλώσουν σε τέτοιο βαθµό ώστε να προσεγγισθεί το όριο χρησιµότητας της δοκού. Τότε πραγµατοποιείται αστοχία της δοκού λόγω στρεπτο-καµπτικού λυγισµού. Για τα περισσότερα τυπικά πλαίσια, αυτός το τύπος αστοχίας µπορεί συχνά να αποφευχθεί µε τη χρήση κατάλληλων πλευρικών περιορισµών του θλιβοµένου πέλµατος (ο περιορισµός εξασφαλίζεται στο επίπεδο του ορόφου ή από την ίδια την πλάκα του ορόφου λόγου χάριν). Οι δοκοί είναι κατασκευασµένες από ελάσµατα, τα οποία µπορεί να είναι µερικές φορές ευαίσθητα σε τοπικό λυγισµό. Ο τοπικός λυγισµός, σε συνδυασµό µε τον στρεπτοκαµπτικό λυγισµό, µπορεί να αποτελέσουν το αίτιο αστοχίας κάποιων σιδηρών δοκών σε µία κατασκευή. ιαξονική κάµψη εµφανίζεται 4

όταν υπάρχει κάµψη της διατοµής του µέλους ως προς τον ισχυρό και τον ασθενή άξονα ταυτοχρόνως. Όπως στην περίπτωση της κάµψεως εντός επιπέδου, κάποια στρέψη εµφανίζεται αναπόφευκτα. Ωστόσο, η διαξονική κάµψη είναι σπάνια στις δοκούς και η στρέψη µπορεί συνήθως να αγνοηθεί στα µέλη των περισσότερων τυπικών πλαισίων. Τέλος, η πλαστικοποίηση της διατοµής, όταν αυτή λαµβάνει µέρος, δύναται να επιταχύνει τα φαινόµενα που αναφέρθηκαν ανωτέρω. 2.3.2 Μέλη υποκείµενα σε αξονικά φορτία: υποστυλώµατα - εφελκυόµενα µέλη Μέλη υποκείµενα σε αξονική θλίψη, όπως υποστυλώµατα και θλιπτήρες, µπορούν να ταξινοµηθούν αναλόγως του µήκους τους. Ενώ ένα κοντό θλιβόµενο µέλος (π.χ. βάθρο) αστοχεί λόγω συνθλίψεως, ένα µακρύ ή λυγηρό θλιβόµενο µέλος αστοχεί λόγω λυγισµού. Το φορτίο συνθλίψεως εµφανίζεται όταν λαµβάνει χώρα πλήρης πλαστικοποίηση σε θλίψη ολοκλήρου της διατοµής του µέλους. Το φορτίο αστοχίας ενός θλιβόµενου µέλους που αστοχεί λόγω λυγισµού εξαρτάται από τη λυγηρότητα του µέλους και, κατά συνέπεια, το φορτίο λυγισµού του µέλους µπορεί να είναι σηµαντικά χαµηλότερο του φορτίου συνθλίψεως. Οι παραµένουσες τάσεις έχουν µικρή επίδραση στο φορτίο σύνθλιψης, ωστόσο προκαλούν µείωση του φορτίου λυγισµού. Οι εκκεντρότητες της φόρτισης και η έλλειψη ευθυγράµµισης µειώνουν το φορτίο αστοχίας κάτω του φορτίου σύνθλιψης και µειώνουν το φορτίο λυγισµού. Οι σχέσεις του Ευρωκώδικα 3 για την αντίσταση σε λυγισµό ονοµαστικά ευθύγραµµων µελών λαµβάνουν µέριµνα για τις αρχικές ατέλειες καµπυλότητας των µελών (δηλ. έλλειψη ευθυγράµµισης) και τις παραµένουσες τάσεις που εµφανίζονται µετά την παραγωγή και/ή επεξεργασία των µελών. Η αντίσταση σχεδιασµού εφελκυοµένων µελών βασίζεται στη διαρροή της πλήρους διατοµής και/ή στη θραύση της καθαρής διατοµής. Μεγάλη προσοχή πρέπει να δοθεί όπου απαιτείται πλάστιµη συµπεριφορά. Κεκλιµένα σχοινιά, καλώδια και λυγηροί ελκυστήρες πιθανόν να απαιτούν ειδική αναλυτική αντιµετώπιση, διότι η συµπεριφορά τους, η οποία επηρεάζεται ιδιαίτερα από το βέλος κάµψεως λόγω ιδίου βάρους, είναι µη γραµµική. 2.3.3 οκοί - υποστυλώµατα Μέλη υποκείµενα ταυτόχρονα σε σηµαντική κάµψη και αξονική θλίψη ονοµάζονται δοκοί-υποστυλώµατα. Τέτοια µέλη είναι τα κατακόρυφα µέλη µιας πλαισιακής κατασκευής. Μέλη υποκείµενα ταυτόχρονα σε σηµαντική κάµψη και αξονικό εφελκυσµό µπορούν επίσης να περιληφθούν στην κατηγορία αυτή. Στην πραγµατικότητα, τα περισσότερα µέλη εντάσσονται στην κατηγορία των δοκών-υποστυλωµάτων. Οι δοκοί αποτελούν την ειδική περίπτωση όπου οι αξονικές δυνάµεις µπορούν να αµεληθούν και τα υποστυλώµατα είναι η ειδική περίπτωση όπου οι καµπτικές ροπές δεν είναι σηµαντικές. 2.3.4 Κόµβοι Ιστορικά ήταν κοινή πρακτική να θεωρούνται οι κόµβοι είτε άκαµπτοι είτε αρθρωτοί. Η πρακτική αυτή ακολουθείται και σήµερα. Είναι όµως δυνατόν να προσοµοιωθεί η συµπεριφορά των κόµβων ακριβέστερα. Οι κύριες δυνάµεις που πρέπει να µεταφέρει ένας κόµβος µεταξύ δύο µελών είναι η διατµητική δύναµη και, όταν ο κόµβος δεν είναι αρθρωτός, η εντός επιπέδου καµπτική ροπή. Επίσης, πρέπει να µεταφέρονται οι αξονικές δυνάµεις οι οποίες είναι σηµαντικές για υποστυλώµατα και δοκούς-υποστυλώµατα (αλλά αµελητέες για δοκούς), καθώς και κάθε εκτός επιπέδου καµπτική ροπή και/ή διατµητική δύναµη, όπως και κάθε στρεπτική καταπόνηση. 2.4 Βασικές αρχές της στατικής ανάλυσης Το βασικό µέληµα στη διαµόρφωση του προσοµοίωµατος µιας προς ανάλυση κατασκευής είναι να οριστεί η διάταξη των µελών. Καθώς τα µέλη που αποτελούν τις τυπικές κατασκευές, αποτελούνται κατά κανόνα από ευθύγραµµα στοιχεία µεταξύ των σηµείων σύνδεσης µε τα άλλα µέλη (κόµβοι), η γεωµετρία της κατασκευής ορίζεται συνήθως από τις ανεξάρτητες συντεταγµένες των κόµβων. Από αυτές τις βασικές γεωµετρικές πληροφορίες καθορίζονται οι βαθµοί ελευθερίας της κατασκευής. Στο στάδιο αυτό απαιτούνται κάποιες συµπληρωµατικές πληροφορίες σχετικά µε την χαλάρωση των περιορισµών σε συγκεκριµένες περιοχές της κατασκευής. Οι πληροφορίες αυτές σχετίζονται κυρίως µε την προσοµοίωση των συνθηκών στήριξης και πιθανόν της εν γένει συµπεριφοράς σε κάποιες άλλες περιοχές της κατασκευής (συνήθως στους κόµβους), όπου επιτρέπεται σχετική µετατόπιση (π.χ. πλευρική µετακίνηση) ή στροφή (π.χ. σε αρθρωτούς κόµβους). 5

Οι βαθµοί ελευθερίας, που συνήθως ορίζονται ως οι µετατοπίσεις και στροφές των κόµβων, χρησιµοποιούνται στο προσοµοίωµα για να περιγράψουν την παραµορφωµένη κατάσταση της κατασκευής λόγω των φορτίσεων. Όταν οι κόµβοι προσοµοιώνονται ως ξεχωριστά στοιχεία, συνήθως αυξάνεται ο αριθµός των βαθµών ελευθερίας. Εφόσον η γεωµετρία του φορέα έχει καθορισθεί, είναι απαραίτητο να ορισθούν οι ιδιότητες του υλικού (π.χ. νόµοι συµπεριφοράς του υλικού για τον χάλυβα που επιλέγεται) και ο χαρακτήρας των φορτίσεων. Εν συνεχεία, µε τη βοήθεια της προκαταρκτικής ανάλυσης, καθορίζονται οι διατοµές των µελών και οι ιδιότητες των κόµβων. Η επίλυση οποιουδήποτε προβλήµατος στατικής ανάλυσης προϋποθέτει ότι οι µεταβλητές (δυνάµεις, παραµορφώσεις) ικανοποιούν τρεις βασικές αρχές ή φυσικούς νόµους, οι οποίοι είναι: Ισορροπία: οι εσωτερικές δυνάµεις των µελών και των κόµβων πρέπει να ικανοποιούν τις εξισώσεις στατικής (ή δυναµικής) ισορροπίας µε τις εξωτερικά επιβαλλόµενες φορτίσεις, σε ολόκληρο τον φορέα. Συµβιβαστό των παραµορφώσεων: οι παραµορφώσεις των µελών πρέπει να είναι γεωµετρικά συµβατές µε τις επικόµβιες µετακινήσεις και στροφές (συµπεριλαµβανοµένων των στηρίξεων), δηλαδή η στατική συνέχεια πρέπει να διατηρείται σε ολόκληρο τον φορέα. Καταστατικοί νόµοι: οι εσωτερικές δυνάµεις των µελών και των κόµβων (τάσεις) και οι παραµορφώσεις αυτών πρέπει να ικανοποιούν τους νόµους συµπεριφοράς του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασµένα. Ο θεµελιώδης νόµος συµπεριφοράς για ένα υλικό είναι η σχέση τάσεωνπαραµορφώσεων η οποία ενσωµατώνει την τιµή του µέτρου ελαστικότητας, το όριο διαρροής και την πλαστιµότητα του υλικού. Σε εξελιγµένες µεθόδους στατικής ανάλυσης µπορούν να χρησιµοποιηθούν και άλλοι νόµοι που προκύπτουν από τη σχέση τέτοιων παραµορφώσεων προκειµένου να ενισχυθεί η συµπεριφορά και η αντοχή των µελών και των κόµβων υπό συνδυασµένες καµπτικές, διατµητικές και αξονικές φορτίσεις. Ο κορµός οιασδήποτε µεθόδου στατικής ανάλυσης είναι η προσοµοίωση των δοµικών στοιχείων έτσι ώστε να αντιπροσωπεύεται η συµπεριφορά των βασικών στοιχείων (µέλη και κόµβοι). Για τα µέλη, το µοντέλο εκφράζει τις σχέσεις µεταξύ των µετακινήσεων και στροφών των ακραίων κόµβων τους µε τις δυνάµεις που ασκούνται στο µέλος (εσωτερικές δυνάµεις του µέλους). Αυτές οι σχέσεις ικανοποιούν τις τρεις βασικές αρχές της ισορροπίας, του συµβιβαστού των παραµορφώσεων και τους καταστατικούς νόµους σε όλες τις διατοµές κατά µήκος του µέλους. Το δοµικό στοιχείο που αντιπροσωπεύει τον κόµβο (εφ όσον χρησιµοποιείται ένα τέτοιο στοιχείο) ικανοποιεί τις ίδιες αρχές µε ένα µέλος, µε τη διαφορά ότι οι καταστατικοί νόµοι που χρησιµοποιούνται βασίζονται εν µέρει σε εµπειρικές και/ή ηµι-εµπειρικές σχέσεις οι οποίες επαληθεύονται από πειραµατικά δεδοµένα. Το µέσον που χρησιµοποιείται στις περισσότερες τεχνικές αναλύσεις µέσω Η/Υ για την απεικόνιση της συµπεριφοράς στοιχείων πλαισίων είναι το µητρώο ακαµψίας. Με αυτόν τον τρόπο, η επίλυση του προβλήµατος της στατικής ανάλυσης εκπληρώνει την απαίτηση ικανοποίησης της ισορροπίας και του συµβιβαστού στους κόµβους. Σηµειώνεται επίσης ότι ένα µέλος πλαισίου µπορεί να απεικονισθεί µε περισσότερα από ένα στοιχεία στο στατικό µοντέλο. Πολλά προγράµµατα ανάλυσης που χρησιµοποιούνται σήµερα, θεωρούν τους κόµβους είτε αρθρωτούς είτε άκαµπτους. Ωστόσο, είναι συνήθως δυνατό να εισαχθούν στοιχεία κόµβων (π.χ. στην περίπτωση ηµισυνεχούς πλαισιακής συνδέσεως) καθώς επίσης και µοντέλα συµπεριφοράς αυτών. Συγκεκριµένα, η επιρροή των µετατοπίσεων των θεµελίων µπορεί να ερευνηθεί αποδίδοντας στους κόµβους των στηρίξεων κατάλληλες ιδιότητες. Θεωρώντας ότι οι κόµβοι στα άκρα µιας δοκού είναι ουσιαστικά προεκτάσεις της ίδιας της δοκού, είναι δυνατόν να ορίσουµε ένα ισοδύναµο στοιχείο που περιλαµβάνει τις ιδιότητες των συνδέσεων. Αυτή η τεχνική είναι χρήσιµη για υπολογισµούς µε το χέρι και συγκεκριµένα για τη µελέτη της εντός επιπέδου ευσταθείας ενός πλαισίου ή ενός µεµονωµένου µέλους που περιλαµβάνει τη συµπεριφορά των συνδέσεων. 6

Θέµα 5 : Κατηγορίες πλαισίων και προσοµοίωση κόµβων 1. Κατηγορίες πλαισίων 1.1 Εξασφαλισµένα και µη εξασφαλισµένα Όταν υπάρχει εξασφάλιση χρησιµοποιείται συνήθως για να προλάβει ή τουλάχιστον να περιορίσει τη µεταθετότητα σε πολυώροφα πλαίσια. Συνηθέστεροι τύποι συστηµάτων εξασφάλισης είναι δικτυώµατα ή τοιχώµατα (Σχήµα 1). Trusses Shear wall Σχήµα 1 - Συνήθη συστήµατα εξασφάλισης Για να µπορεί να χαρακτηρισθεί ένα πλαίσιο εξασφαλισµένο πρέπει να διαθέτει ένα σύστηµα ασφάλισης αρκετά άκαµπτο. Σε ένα δικαιολογηµένα εξασφαλισµένο πλαίσιο, είναι δυνατόν να αναλυθεί χωριστά το πλαίσιο και το σύστηµα εξασφάλισης ως ακολούθως: Το πλαίσιο χωρίς το σύστηµα εξασφάλισης µπορεί να αντιµετωπισθεί ως πλευρικά δεδοµένο και να αναλυθεί µόνο για κατακόρυφα φορτία. Το σύστηµα εξασφάλισης παραλαµβάνει όλα τα οριζόντια φορτία που δρουν στο πλαίσιο, τα κατακόρυφα φορτία που δρουν στο σύστηµα εξασφάλισης και τις δράσεις λόγω αρχικών ατελειών µετάθεσης από το πλαίσιο και το ίδιο το σύστηµα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι, σε ένα σύστηµα εξασφάλισης τύπου δικτυώµατος, µερικά µέλη συµµετέχουν και στο σύστηµα εξασφάλισης καθώς και στο ίδιο το πλαίσιο (χωρίς εξασφάλιση). Πλαίσια χωρίς σύστηµα εξασφάλισης ή µε σύστηµα εξασφάλισης που δεν παρέχει αρκετή ακαµψία ώστε το πλαίσιο να χαρακτηρίζεται εξασφαλισµένο, κατατάσσονται στην κατηγορία των µη εξασφαλισµένων. Σε όλες τις περιπτώσεις µη εξασφαλισµένων πλαισίων, ένα ενιαίο στατικό σύστηµα αποτελούµενο από το πλαίσιο και το σύστηµα εξασφάλισης αν υπάρχει, θα αναλύεται για τα κατακόρυφα και τα οριζόντια φορτία ταυτόχρονα καθώς επίσης και για τις δράσεις αρχικών ατελειών. 1.1.1 Κριτήρια κατάταξης πλαισίων σε εξασφαλισµένα και µη εξασφαλισµένα Η ύπαρξη ενός συστήµατος εξασφάλισης σε ένα πλαίσιο δεν εγγυάται ότι η πλαισιωτή κατασκευή ανήκει στην κατηγορία των εξασφαλισµένων. Μόνον όταν το σύστηµα εξασφάλισης µειώνει τις οριζόντιες µετατοπίσεις κατά 80% τουλάχιστον θεωρείται ότι το πλαίσιο είναι εξασφαλισµένο. Εάν δεν υπάρχει σύστηµα εξασφάλισης: το πλαίσιο είναι µη εξασφαλισµένο. Εάν υπάρχει σύστηµα εξασφάλισης, ισχύουν τα ακόλουθα : όταν Ψ br > 0,2 Ψ unbr : το πλαίσιο είναι µη εξασφαλισµένο όταν Ψ br 0,2 Ψ unbr : το πλαίσιο είναι εξασφαλισµένο, όπου Ψ br είναι η πλευρική ευκαµψία της κατασκευής µε το σύστηµα εξασφάλισης Ψ unbr είναι η πλευρική ευκαµψία της κατασκευής χωρίς το σύστηµα εξασφάλισης. 7

1.2 Μεταθετά και αµετάθετα πλαίσια Ο όρος αµετάθετα πλαίσια αφορά κατασκευές των οποίων η απόκριση του πλαισίου σε συνεπίπεδες οριζόντιες δυνάµεις είναι επαρκώς άκαµπτη ώστε να µπορούν να αγνοηθούν τυχόν πρόσθετες δυνάµεις και ροπές εξαιτίας της οριζόντιας µετατόπισης των κόµβων. Οι συνολικές επιρροές δευτέρας τάξεως (δηλ. οι P- επιρροές µετάθεσης) µπορούν να αγνοηθούν σε ένα αµετάθετο πλαίσιο. Εάν οι συνολικές επιρροές δευτέρας τάξεως δεν µπορούν να αγνοηθούν, το πλαίσιο ονοµάζεται µεταθετό. Braced frame Unbraced frame (may be sway if bracing is very flexible) (may be non-sway if it is insensitive to horizontal loads) Σχήµα 2 - Εξασφαλισµένο και µη εξασφαλισµένο πλαίσιο Συνήθως, ένα πλαίσιο µε σύστηµα εξασφάλισης κατατάσσεται ως αµετάθετο, ενώ ένα µη εξασφαλισµένο πλαίσιο κατατάσσεται ως µεταθετό. Όµως, πρέπει να σηµειωθεί ότι είναι δυνατόν θεωρητικά ένα µη εξασφαλισµένο πλαίσιο να συµπεριφέρεται ως αµετάθετο (αυτή είναι συνήθως η περίπτωση ενός µονώροφου κτιριακού πλαισίου), ενώ ένα εξασφαλισµένο πλαίσιο να συµπεριφέρεται ως µεταθετό (πιθανή περίπτωση για πολυώροφα κτιριακά πλαίσια) (βλ. Σχήµα 2). Σε πλαίσια που ανήκουν στην κατηγορία των αµετάθετων, χρησιµοποιείται σχεδόν πάντα ανάλυση πρώτης τάξεως. Σε πλαίσια που ανήκουν στην κατηγορία των µεταθετών, πρέπει να χρησιµοποιείται ανάλυση δευτέρας τάξεως. ιαδικασίες επαναληπτικού τύπου σε ελαστική ανάλυση πρώτης τάξεως είναι συνήθως επαρκείας για το σκοπό αυτό. Επιπλέον, σε περίπτωση που η κατασκευή πληροί ορισµένες συνθήκες, µπορεί να χρησιµοποιηθεί ανάλυση πρώτης τάξεως (χωρίς επαναληπτική διαδικασία), είτε κάνοντας µια διόρθωση στις δράσεις στα άκρα µελών ώστε να ληφθούν υπόψη τα συνολικά φαινόµενα δευτέρας τάξεως, είτε αναλύοντας για κατακόρυφα φορτία και επιδράσεις λόγω µεταθετότητας (που προσαυξάνονται στο σχεδιασµό) χωριστά. Πρέπει να σηµειωθεί ότι συστήµατα εξασφάλισης που είναι τα ίδια πλαίσια (ή υποπλαίσια) πρέπει επίσης να κατηγοριοποιούνται ως µεταθετά ή αµετάθετα. 1.2.1 Κριτήρια κατηγοριοποίησης µεταθετού και αµετάθετου Η κατάταξη µιας πλαισιωτής κατασκευής (ή συστήµατος εξασφάλισης) σε µεταθετή ή αµετάθετη κατηγορία βασίζεται στην τιµή του λόγου του συνολικού κατακόρυφου φορτίου σχεδιασµού V Sd που δρα στον φορέα προς την ελαστική κρίσιµη τιµή V cr που προκαλεί πλευρική αστάθεια (λυγισµική αστοχία µεταθετού τύπου). Προφανώς, όσο πλησιέστερα είναι η τιµή του φορτίου που εφαρµόζεται στο κρίσιµο φορτίο, τόσο µεγαλύτερος ο κίνδυνος αστάθειας και τόσο µεγαλύτερες οι συνολικές επιρροές δευτέρας τάξεως στην κατασκευή (επιρροές P- ). Η κατηγοριοποίηση γίνεται ως ακολούθως : V Sd / V cr 0,1 η κατασκευή θεωρείται αµετάθετη V Sd / V cr > 0,1 η κατασκευή θεωρείται µεταθετή Η κατάταξη µπορεί να γίνει και µε τον ακόλουθο τρόπο: 8

Vcr λ cr = 10 η κατασκευή θεωρείται αµετάθετη V Sd Vcr λ cr = < 10 η κατασκευή θεωρείται µεταθετή V Sd 2. Ατέλειες 2.1 Ατέλειες σε πλαίσια Η επίδραση των ατελειών στο συνολικό πλαίσιο πρέπει να ληφθεί υπόψη στη γενική ανάλυση υπό τη µορφή ισοδυνάµων γεωµετρικών ατελειών, π.χ. µία αρχική µετάθεση (βλ. σχήµα 4(a)). Οι δράσεις και ροπές που απορρέουν χρησιµοποιούνται για το σχεδιασµό µελών. Οι ατέλειες πλαισίων αποτελούν πρόσθετη φόρτιση που χρησιµοποιείται σε συνδυασµό µε όλους τους κρίσιµους συνδυασµούς που δρουν στο πλαίσιο. Οι αρχικές ατέλειες µετάθεσης δρουν σε όλες τις οριζόντιες διευθύνσεις αλλά χρειάζεται να ληφθούν υπόψη µόνο κατά µία διεύθυνση κάθε φορά. Ειδική προσοχή πρέπει να δοθεί σε περιπτώσεις αντισυµµετρικής µετάθεσης σε δύο αντίθετες όψεις που µπορεί να προκαλέσουν στρεπτικές επιδράσεις. Οι συνολικές αυτές ατέλειες µπορούν να ληφθούν εισάγοντας ισοδύναµα πλευρικά φορτία στα επίπεδα ορόφων. Οι ακόλουθες παράγραφοι περιγράφουν δύο δυνατούς τρόπους για την εισαγωγή ατελειών σε πλαίσια. N L e o,d Φ Φ (a) (b) Σχήµα 4 - (a) Συνολικές ατέλειες πλαισίων (b) Τοπικές ατέλειες µελών 3. Προσοµοίωση κόµβων στην ανάλυση πλαισίων 3.1 Παραδοσιακή µεθοδολογία Το βασικό στοιχείο της µεθοδολογίας αυτής είναι ότι οι κόµβοι µεταξύ των µελών θεωρούνται είτε άκαµπτοι είτε αρθρωτοί. Η µεθοδολογία αυτή είναι ειδικότερα κατάλληλη για πλαισιωτούς φορείς που είναι εξασφαλισµένοι και αµετάθετοι και όπου οι κόµβοι µεταξύ δοκών-στύλων δεν απαιτείται να µεταφέρουν ροπή. Οι κόµβοι που πρέπει να µεταφέρουν ροπή είναι συνήθως µέρος του συστήµατος εξασφάλισης και ως τέτοιοι πρέπει να είναι αρκετά εύκαµπτοι. 9

Είναι επίσης χρήσιµη όταν χρησιµοποιείται η µεθοδολογία της ροπής ανέµου. Στη µεθοδολογία αυτή, οι κόµβοι δοκών-στύλων θεωρούνται ότι δε µεταφέρουν ροπές για κατακόρυφες φορτίσεις, αλλά ότι µεταφέρουν ροπές µόνο για την περίπτωση φόρτισης ανέµου. Όµως, δεν είναι ευκρινές εάν η µεθοδολογία αυτή είναι συµβατή µε τον Ευρωκώδικα 3 Μέρος 1-1. Μπορεί να θεωρηθεί ως ένας απλός τρόπος για να ληφθεί υπόψη η πραγµατική συµπεριφορά ηµι-άκαµπτων κόµβων που αναλύεται στη συνέχεια. 3.2 Η ηµι-άκαµπτη µεθοδολογία 3.2.1 Κατάταξη µε βάση την ακαµψία Η στροφική συµπεριφορά των πραγµατικών κόµβων πρέπει να κατανοηθεί ως ενδιάµεση µεταξύ των δύο ακραίων καταστάσεων άκαµπτου και αρθρωτού κόµβου, αντίστοιχα. Στην ενότητα 5 Κόµβοι, η διαφορά έννοιας µεταξύ κόµβου και σύνδεσης έχει εξηγηθεί. Ακολούθως, χρησιµοποιούνται επεξηγηµατικά παραδείγµατα κόµβων δοκών-στύλων. Οι στροφές που προκύπτουν σε έναν τυπικό κόµβο δοκού-στύλου πλαισίου, λόγω φορτίου στην δοκό για παράδειγµα, φαίνονται στο Σχήµα 6. Όταν όλα τα τµήµατα του κόµβου είναι αρκετά άκαµπτα, δεν υπάρχει σχεδόν διαφορά µεταξύ των στροφών στα άκρα των µελών που συνδέονται στον κόµβο αυτό. Ο κόµβος τότε µπορεί να θεωρηθεί ως άκαµπτος (Σχήµα 6a). Ένας άκαµπτος κόµβος έχει µία συνολική στροφή σαν στερεό η οποία είναι και η συνήθως στροφή που συναντάται στις µεθόδους αναλύσεως πλαισιωτών φορέων. Εάν ο κόµβος έχει πολύ µικρή ακαµψία, τότε η δοκός θα συµπεριφερθεί ως αµφιαρθρωτή, οποιαδήποτε κι αν είναι η συµπεριφορά των λοιπών συνδεοµένων µελών (Σχήµα 6b). Ο κόµβος τότε µπορεί να θεωρηθεί ως αρθρωτός, όπου η σχετική στροφή µεταξύ της δοκού και του στύλου είναι σχεδόν η ίδια όπως και στην περίπτωση της αµφιαρθρωτής δοκού. (a) Rigid (b) Pinned (c) Semi-rigid Σχήµα 6 - Κατάταξη κόµβων ανάλογα µε την ακαµψία τους Σε ενδιάµεσες περιπτώσεις (µη-µηδενική ακαµψία κόµβου), η ροπή που µεταφέρεται προκαλεί µια διαφορά µεταξύ των απόλυτων στροφών των δύο συνδεοµένων µελών (Σχήµα 6c). Ο κόµβος τότε ονοµάζεται ηµιάκαµπτος. Ο απλούστερος τρόπος προσοµοίωσης ενός κόµβου στη γενική ανάλυση είναι µε ένα στροφικό ελατήριο (σπείρα) µεταξύ των άκρων των συνδεοµένων µελών. Στον κόµβο δοκού-στύλου που φαίνεται στο σχήµα, το ελατήριο τοποθετείται στο άκρο της δοκού. Η στροφική ακαµψία του ελατηρίου S j είναι η παράµετρος που συνδέει τη ροπή που µεταφέρεται M j µε τη σχετική στροφή F j, που είναι η διαφορά των απόλυτων στροφών των δύο συνδεοµένων µελών. Όσο µεγαλύτερη η ακαµψία του κόµβου σε σύγκριση µε αυτήν του συνδεόµενου µέλους, τόσο πιο άκαµπτος είναι ο κόµβος. Οι τρεις κατηγορίες κόµβων προσοµοιώνονται ως φαίνεται στο σχήµα 7. 10

M M M j j j S infinite j S j = 0 S = M / j j Φ F F F (a) Rigid joint ( Φ = 0, M = 0 ) j (b) Pinned joint ( M = 0, Φ = 0 ) (c) Semi-rigid joint ( M = 0, Φ = 0 ) j j j j j Σχήµα 7 - Προσοµοίωση συµπεριφοράς κόµβων διαφορετικών κατηγοριών Σε ένα πλαίσιο µε ηµι-άκαµπτους κόµβους τα φορτία θα προκαλέσουν ροπή κάµψεως M j και σχετική στροφή Φ j µεταξύ συνδεοµένων µελών. Η ροπή και η σχετική στροφή συνδέονται µε ένα νόµο ελαστικότητας που εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της σύνδεσης. Τούτο φαίνεται στο Σχήµα 7, όπου υποτίθεται µία γραµµική ελαστική συµπεριφορά για τον κόµβο. Το αποτέλεσµα λόγω ηµι-άκαµπτων κόµβων είναι να τροποποιηθούν όχι µόνο οι µετατοπίσεις αλλά επίσης η κατανοµή και το µέγεθος των εσωτερικών δράσεων στην κατασκευή. 3.2.2 Κατάταξη κόµβων ανάλογα µε την ολκιµότητά τους Ανάλογα µε την ολκιµότητα ή την στροφική ικανότητά τους οι κόµβοι κατατάσσονται (βλ. Ενότητα 5 Κόµβοι ) κατά ανάλογο τρόπο όπως οι διατοµές µελών, σύµφωνα µε την ικανότητά ους να αντέχουν πρόωρη τοπική αστάθεια, και ειδικότερα, πρόωρη ψαθυρή αστοχία (ειδικότερα λόγω αστοχίας των κοχλιών). Η ολκιµότητα (ή έλλειψη ολκιµότητας) των κόµβων σε ένα πλαίσιο µπορεί να παίξει ρόλο σχετικά µε το είδος της γενικής ανάλυσης που επιτρέπεται να χρησιµοποιηθεί. Μία πρακτική εφαρµογή κατάταξης κόµβων είναι να εξετασθεί εάν µπορεί να γίνει πλαστική γενική ανάλυση µέχρι τον σχηµατισµό µηχανισµού κατάρρευσης της κατασκευής µε πιθανό σχηµατισµό πλαστικών αρθρώσεων σε µερικούς κόµβους. 3.2.3 Κατάταξη κόµβων ανάλογα µε την αντοχή τους Εκτός από την κατάταξη των κόµβων µε βάση την ακαµψία ή την ολκιµότητά τους, µπορεί να γίνει κατάταξη κόµβων ανάλογα µε την αντοχή τους. Ως προς την αντοχή τους, οι κόµβοι κατατάσσονται σε πλήρους αντοχής ή µερικής αντοχής σύµφωνα µε το εάν η αντοχή τους είναι τουλάχιστον ίση ή µικρότερη από αυτήν του συνδεόµενου µέλους µε τη µικρότερη αντοχή. Εάν ο κόµβος είναι σύνδεση συνέχειας δοκού, η σύγκριση γίνεται µε την αντοχή της δοκού σε κάµψη. Σε έναν τυπικό κόµβο δοκού-στύλου, η σύγκριση γίνεται µε το µέλος που έχει τη µικρότερη αντοχή σε κάµψη στη θέση του κόµβου. Επιπλέον, όταν ο κόµβος δεν µπορεί να αναπτύξει σηµαντικές ροπές, τότε κατατάσσεται στην κατηγορία των αρθρωτών κόµβων. Η χρήση κατηγοριοποίησης ως προς την αντοχή συµπληρώνει αυτήν ως προς την ολκιµότητα κατά τη γενική πλαστική ανάλυση. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί, ώστε να προβλεφθεί η πιθανότητα σχηµατισµού πλαστικής άρθρωσης σε κόµβους κατά τη γενική ανάλυση. Όταν χρησιµοποιούνται κόµβοι πλήρους αντοχής, συνήθως υποτίθεται ότι δε σχηµατίζονται πλαστικές αρθρώσεις. Όµως, για να είναι αυτό εξασφαλισµένο, απαιτείται να χρησιµοποιείται κόµβος µε αντοχή 11

προσαυξηµένη κατά 20%. Τούτο είναι καλό προληπτικά γιατί συχνά είναι δύσκολος ο σχεδιασµός κόµβου πλήρους αντοχής που είναι ταυτοχρόνως όλκιµος. Οι αντοχές των µελών από την άλλη είναι συχνά σηµαντικότερα υψηλότερες από την τιµή σχεδιασµού. Αρθρώσεις µπορούν να σχηµατισθούν σε κόµβους µερικής αντοχής. Όταν σχηµατίζεται πλαστική άρθρωση σε κόµβο µερικής αντοχής, ώστε να επιτρέπεται αύξηση των φορτίων µε τον κόµβο να δρα ως πλαστική άρθρωση όταν φθάσει την πλαστική αντοχή του σε κάµψη, ο κόµβος πρέπει επίσης να είναι όλκιµος. Ευτυχώς, είναι εύκολο συνήθως να σχεδιαστούν κόµβοι µερικής αντοχής που είναι όλκιµοι. Η χρήση όλκιµων κόµβων µερικής αντοχής επιτρέπει τον εύκολο προσδιορισµό θέσεων σχηµατισµού πλαστικών αρθρώσεων σε δοκούς ορόφων για παράδειγµα, και τούτο επιτρέπει τη χρήση µιας πολύ απλής άκαµπτηςπλαστικής διαδικασίας για το σχεδιασµό δοκών σε εξασφαλισµένα µη µεταθετά πλαίσια ειδικότερα. 3.3 Εκλογή µοντέλου κόµβου για την ανάλυση Το κατά πόσον η συµπεριφορά κόµβων λαµβάνεται ή όχι µε ακριβή τρόπο στη γενική ανάλυση έχει σχέση µε τον τύπο του πλαισίου που προσοµοιώνεται για ανάλυση. Οι τρεις τύποι πλαισίων είναι το απλό, το συνεχές και το ηµι-συνεχές σύστηµα πλαισίωσης που αντιστοιχούν σε αρθρωτούς κόµβους, άκαµπτους κόµβους και ηµι-άκαµπτους κόµβους στα αντίστοιχα µοντέλα. Κόµβοι που προσοµοιώνονται ως άκαµπτοι ή αρθρωτοί στην ανάλυση πρέπει επίσης να σχεδιαστούν ως τέτοιοι ώστε να ικανοποιούν τα κριτήρια των κατηγοριών άκαµπτου και αρθρωτού κόµβου αντίστοιχα. Το ηµι-άκαµπτο µοντέλο µπορεί να είναι λίγο ή πολύ περίπλοκο. Οι κόµβοι µπορούν να προσοµοιωθούν σαν στροφικά ελατήρια µε σχέση ροπής-στροφής που κυµαίνεται από γραµµική ελαστική έως µη γραµµική ώστε να επιτρέπει ολκιµότητα κόµβων σε ένα βαθµό. Η χρήση ενός γραµµικού ελαστικού µοντέλου γενικής ανάλυσης απαιτεί τη συµπεριφορά των κόµβων να προσοµοιωθεί ως γραµµική-ελαστική επίσης. Για ελαστική-τέλεια πλαστική ανάλυση χρειάζεται ένα διγραµµικό µοντέλο κόµβου. Γι αυτό, ο τύπος της ανάλυσης που χρησιµοποιείται έχει σηµαντικό βάρος στο βαθµό πολυπλοκότητας του µοντέλου κόµβου που θα χρησιµοποιηθεί, ειδικά όταν χρησιµοποιείται πλαστική ανάλυση και επιτρέπεται ο σχηµατισµός αρθρώσεων στους κόµβους. Ένα µη γραµµικό µοντέλο κόµβου σηµαίνει ότι τα αποτελέσµατα διαφορετικών αναλύσεων δεν µπορούν να επαλληλησθούν. 12

Θέµα 6: Επιλογή µεθόδου ανάλυσης και συνέπειες στο σχεδιασµό 1. Γενικές σκέψεις σχετικά µε την επιλογή ανάλυσης 1.1 Επιλογή µεταξύ ανάλυσης πρώτης τάξεως και ανάλυσης δευτέρας τάξεως Στο προκαταρκτικό στάδιο της µελέτης πρέπει να ληφθεί µία απόφαση σχετικά µε το αν η κατασκευή θα έχει ή όχι δικτυωτούς συνδέσµους ακαµψίας. Αυτό καθορίζει το πώς θα ληφθούν υπόψη στην ανάλυση οι επιδράσεις των κατακόρυφων και των οριζοντίων δυνάµεων (συµπεριλαµβανοµένων αυτών που οφείλονται σε αρχικές ατέλειες). Από τη στιγµή που καθορισθεί το στατικό σύστηµα, ξεκινά η προκαταρκτική ανάλυση για τα µέλη και τις ιδιότητες των συνδέσεων. Η προκαταρκτική ανάλυση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να καθορισθεί εάν το πλαίσιο θα έχει ή όχι πλευρική µετατόπιση. Εναλλακτικά, αυτό µπορεί να επαληθευτεί αργότερα. Βάσει αυτής της πληροφορίας, µπορεί να επιλεγεί µία κατάλληλη µέθοδος καθολικής ανάλυσης για τον προσδιορισµό των εσωτερικών δυνάµεων και ροπών. Για τα περισσότερα τυπικά πλαίσια, είναι επαρκής ανάλυση πρώτης τάξεως. Αν και µπορεί πάντοτε να χρησιµοποιηθεί ανάλυση δευτέρας τάξεως, ελαστική ή πλαστική, (κάτω όµως από συγκεκριµένες συνθήκες ταξινοµήσεως µελών και κόµβων), υπάρχουν περιπτώσεις όπου: ανάλυση πρώτης τάξεως επαρκεί, χωρίς να υπάρχει ανάγκη να ληφθούν υπόψη φαινόµενα δευτέρας τάξεως όταν V Sd / V cr 0,25, µπορεί να χρησιµοποιηθεί ελαστική ανάλυση πρώτης τάξεως για την ανάλυση πλαισίων µε πλευρική µετατόπιση, µε κάποιες διορθώσεις ώστε να ληφθούν υπόψη φαινόµενα δευτέρας τάξεως, όταν αυτά είναι σηµαντικά. άκαµπτη-πλαστική ανάλυση πρώτης τάξεως µπορεί να χρησιµοποιηθεί όταν V Sd /V cr 0,20 και υπό την προϋπόθεση ότι όλες οι εσωτερικές δυνάµεις και ροπές µεγεθύνονται κατά 1/(1- V Sd /V cr.). Αυτή η περίπτωση αποτελεί ουσιαστικά εφαρµογή της µεθόδου Merchant-Rankine [1]. Προκειµένου να γίνει η επιλογή αυτή, είναι απαραίτητο να προσδιορισθεί ο βαθµός κατά τον οποίο τα φαινόµενα δευτέρας τάξεως τροποποιούν την κατανοµή των εσωτερικών δυνάµεων (δηλ. αν οι πλευρικές µετακινήσεις (P- ) και ατέλειες/παραµορφώσεις (P-δ) µελών είναι σηµαντικές). Υπενθυµίζεται ότι οι πλευρικές µετακινήσεις έχουν την πιο καθοριστική επίδραση σε ένα πλαίσιο µε πλευρική µετατόπιση. Ενώ οι επιδράσεις των ατελειών και παραµορφώσεων των µελών µπορεί να είναι σηµαντικές για σχετικά λυγηρά µέλη σε πλαίσια µε πλευρική µετατόπιση, είναι απίθανο να είναι σηµαντικές σε πλαίσια χωρίς πλευρική µετατόπιση. Προκειµένου να εξεταστεί η επίδραση της πλευρικής µετατόπισης, θα πρέπει να προσδιοριστεί ο κρίσιµος φορτικός συντελεστής λ cr, δηλ. ο λόγος µεταξύ του συνολικού κατακόρυφου φορτίου που θα προκαλούσε εντός επιπέδου πλευρική αστάθεια του πλαισίου και των πραγµατικών κατακόρυφων φορτίων σχεδιασµού. (Ο Ευρωκώδικας 3 Μέρος 1-1 χρησιµοποιεί το αντίστροφο αυτού του συντελεστού, που είναι 1/λ cr = V Sd / V cr, για την αξιολόγηση αυτή). Από τη στιγµή που έχει γίνει η προκαταρκτική διαστασιολόγηση των υποστυλωµάτων, µπορεί να γίνει εκτίµηση της τιµής V Sd / V cr για τα υποστυλώµατα που είναι πιο κρίσιµα από πλευράς φορτίσεως. Αυτή η προκαταρκτική εκτίµηση απαιτείται να επαληθευτεί όταν περατωθεί η ανάλυση του φορέα. 13

Προσεγγιστική µέθοδος για τον υπολογισµό του συντελεστού αυτού για πολυώροφα κτίρια µπορεί να εφαρµοσθεί. Ωστόσο η µέθοδος αυτή δεν είναι κατάλληλη για τυπικά µονώροφα βιοµηχανικά κτίρια. Για την περίπτωση αυτή πρέπει να γίνει αναφορά σε κάποιο παράδειγµα ή στη βιβλιογραφική παραποµπή [1]. Όταν η τιµή του λ cr είναι επαρκώς µεγάλη, δηλ. λ cr 10 (ή αν ο λόγος V Sd / V cr είναι επαρκώς µικρός 0,1) το πλαίσιο ταξινοµείται ως πλαίσιο χωρίς πλευρική µετατόπιση και συνεπώς είναι αρκετή ανάλυση πρώτης τάξεως. Όταν το πλαίσιο κατατάσσεται στην κατηγορία πλαισίων µε πλευρική µετατόπιση, απαιτείται ανάλυση δευτέρας τάξεως. Ωστόσο, για αρκετές κατασκευές επιτρέπεται να χρησιµοποιηθεί ανάλυση πρώτης τάξεως, υπό την προϋπόθεση ότι οι εσωτερικές δυνάµεις και ροπές επαυξάνονται κατάλληλα ώστε να ληφθούν υπόψη φαινόµενα δευτέρας τάξεως (δηλ. µε έναν έµµεσο τρόπο). Η παραµόρφωση των µελών ενδέχεται να έχει επίδραση σε σχετικά λυγηρά µέλη τύπου δοκούυποστυλώµατος πλαισίων µε ή χωρίς πλευρική µετατόπιση. Αν και η χρήση λυγηρών µελών σε πλαίσια δεν είναι συνήθης, είναι σκόπιµο να ελεγχθεί εάν η επιρροή της παραµορφώσεως των µελών πρέπει να ληφθεί υπόψη ή όχι. Ο EC3 αναφέρεται στην ανάγκη να ελέγχεται η σπουδαιότητα των ατελειών των µελών για συγκεκριµένους τύπους δοκών-υποστυλωµάτων σε πλαίσια µε πλευρική µετατόπιση µόνον. Εξαιτίας της απουσίας ειδικών απαιτήσεων σχετικά µε την επίδραση της παραµορφώσεως των µελών λόγω της φορτίσεως, ο έλεγχος για τη σπουδαιότητα των αρχικών ατελειών µπορεί επίσης να χρησιµοποιηθεί ως µία εκτίµηση της σπουδαιότητας τοπικών φαινοµένων δευτέρας τάξεως (P- δ) για ένα µέλος. Η διαδικασία που χρησιµοποιείται για τον εντοπισµό των λυγηρών µελών είναι παραπλήσια µε αυτήν που χρησιµοποιείται για την ταξινόµηση των πλαισίων σε πλαίσια µε ή χωρίς πλευρική µετατόπιση. Η διαφορά είναι ότι ο συντελεστής που χρησιµοποιείται τώρα είναι 1/λ cr = N Sd / N cr για µέλη τύπου δοκού-υποστυλώµατος µόνον. Όταν N Sd / N cr 0,25 για κάθε τέτοιο µέλος, τότε είναι απαραίτητο να εισάγονται ατέλειες µελών (τουλάχιστον για αυτά τα µέλη) στην καθολική ανάλυση και να χρησιµοποιείται γενική ανάλυση δευτέρας τάξεως. Κατά τον υπολογισµό του N cr (το φορτίο Euler ) χρησιµοποιείται ως µήκος λυγισµού το πραγµατικό µήκος του µέλους. Η ατέλεια που θα χρησιµοποιηθεί σχετίζεται µε τον τύπο του µέλους και την αντίστοιχη καµπύλη λυγισµού. 1.2 Επιλογή µεταξύ ελαστικών και πλαστικών µεθόδων ανάλυσης Ο µελετητής πρέπει επίσης να αποφασίσει εάν θα χρησιµοποιήσει ελαστική ή πλαστική µέθοδο ανάλυσης. Η πλαστική µέθοδος ανάλυσης είναι κατάλληλη µόνο υπό συγκεκριµένες συνθήκες σχετικά µε τις ιδιότητες του χάλυβα, την ταξινόµηση της διατοµής των µελών και την πλαστιµότητα των συνδέσεων. Οι έλεγχοι για την επάρκεια των µελών µετά την ανάλυση εξαρτώνται από τη µέθοδο ανάλυσης που χρησιµοποιήθηκε. Για παράδειγµα, όταν χρησιµοποιείται ανάλυση δευτέρας τάξεως, δεν απαιτείται συνήθως να ελεγχθεί η εντός επιπέδου ευστάθεια του πλαισίου ή των µελών του. Η επιλογή καθολικής ανάλυσης εξαρτάται συνεπώς, όχι µόνο από τις απαιτήσεις του EC3, αλλά και από τις προσωπικές επιλογές του µελετητή, ανάλογα µε την περίσταση, το διαθέσιµο λογισµικό κλπ. Θα πρέπει λοιπόν να βρεθεί µία ισορροπία µεταξύ του υπολογιστικού φόρτου που θα αφιερωθεί στην καθολική ανάλυση και του φόρτου που θα απαιτηθεί για τους λοιπούς ελέγχους των οριακών καταστάσεων (βλ. Σχήµα 1). Τα κριτήρια που πρέπει να ικανοποιούνται για την εφαρµογή µιας συγκεκριµένης µεθόδου αναλύσεως και οι συνέπειες στη διαστασιολόγηση αναλύονται στις επόµενες παραγράφους. Με αυτή τη γνώση, ο µελετητής θα είναι σε θέση να κάνει την καλύτερη επιλογή µεταξύ των εργαλείων που έχει στη διάθεσή του. Είναι σαφές ότι η επιλογή µεθόδου ανάλυσης εξαρτάται, σε σηµαντικό βαθµό, από τη µέθοδο διαστασιολόγησης που θα χρησιµοποιηθεί. Για παράδειγµα, η εφαρµογή πλαστικής µεθόδου διαστασιολόγησης υπόκειται σε περιορισµούς και απαιτεί συγκεκριµένες µεθόδους ανάλυσης. Όποια και αν είναι η µέθοδος διαστασιολόγησης που χρησιµοποιείται, είναι ιδιαιτέρως σηµαντικό να προσδιορισθεί εάν τα φαινόµενα δευτέρας τάξεως πρέπει να ληφθούν υπόψη. Για την πλειοψηφία των τυπικών επιπέδων πλαισίων µπορεί να εφαρµοσθεί οποιαδήποτε µέθοδος ανάλυσης. 14

sophistication of global analysis Share of effort Global analysis ULS checks simplification of global analysis Σχήµα 1 Κατανοµή υπολογιστικού φόρτου µεταξύ καθολικής ανάλυσης και ελέγχων στην οριακή κατάσταση αστοχίας (ULS) Το ζήτηµα της συνολικής ισορροπίας της κατασκευής, αναφορικά µε την ανύψωση, ανατροπή και ολίσθηση, δεν αντιµετωπίζεται εδώ. Η συνολική ισορροπία µπορεί συνήθως να επαληθευτεί χωρίς πρόσθετη προσοµοίωση της κατασκευής, ελέγχοντας τις αντιδράσεις από την καθολική ανάλυση του φορέα και τις αντίστοιχες αντοχές των θεµελιώσεων. 15