ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών Συντονισμός έκδοσης: Χρίστος Παρπούνας, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων Έκδοση 2011 ISBN 978-9963-0-4584-6 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αντιστοιχία-Συνάρτηση Εξερεύνηση Στο βιβλιάριο υγείας κάθε παιδιού υπάρχει το διπλανό διάγραμμα που παρουσιάζει τη φυσιολογική ανάπτυξη ενός αγοριού από τη γέννηση του μέχρι τους 36 μήνες. Όταν το ύψος του παιδιού, καθώς μεγαλώνει, βρίσκεται μεταξύ των καμπυλών Α και Γ, τότε το παιδί θεωρείται φυσιολογικό. Να ερμηνεύσετε το διάγραμμα; Διερεύνηση 1 Με βάση την πιο πάνω εξερεύνηση τι ύψος πρέπει να έχει ένα παιδί στους 24 μήνες, για να θεωρείται φυσιολογικό; Να μελετήσετε τον πιο κάτω πίνακα και να εξηγήσετε κατά πόσο η ανάπτυξη ενός παιδιού με βάση τις πιο πάνω γραφικές παραστάσεις ήταν φυσιολογική. Μήνας Γένν. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Ύψος 53 57 60 65 70 73 76 78 79 80 81 82 83 84 1 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Διερεύνηση 2 Έξι παιδιά μιας γειτονιάς σημείωσαν την ηλικία τους και το ύψος τους στον πιο κάτω πίνακα και στο αντίστοιχο βελοειδές διάγραμμα. Κάποιοι αριθμοί έχουν σβηστεί. Μπορείτε να τους συμπληρώσετε; Αυξάνεται το ύψος των παιδιών όσο αυξάνεται η ηλικία σύμφωνα με τα πιο πάνω στοιχεία; Τι ύψος έχει το παιδί με ηλικία 6 ετών; Παίρνω το ένα παιδί με ηλικία 9 ετών, τι ύψος έχει; Μπορείτε να πείτε τι ύψος έχει ένα παιδί ηλικίας πιο πάνω δεδομένα; ετών χρησιμοποιώντας τα Διερεύνηση 3 Ένας ποδηλάτης στη δίωρη προπόνησή του κινείται με σταθερή ταχύτητα κάθε λεπτά. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα. Πόση απόσταση διένυσε ο ποδηλάτης ύστερα από μια ώρα; Πόσο χρόνο χρειάζεται, για να διανύσει ; 2 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Στη διπλανή μηχανή εισάγουμε ένα αριθμό. Η μηχανή μετατρέπει τον αριθμό μέσω ενός κανόνα σε αριθμό Να βρείτε τις τιμές των αριθμών σε σχέση με τους αριθμούς, συμπληρώνοντας τον πιο κάτω πίνακα: αριθμοί 0 1 3 αριθμοί 30 Διατεταγμένο Ζεύγος (6,41) Να βρείτε ποιο θα είναι το αποτέλεσμα που θα μας δώσει η μηχανή, αν βάλουμε στη μηχανή διαδοχικά τους αριθμούς και ; Τι πρέπει να ξέρετε Αντιστοιχία λέγεται ένας κανόνας που συνδέει τα στοιχεία ενός συνόλου με τα στοιχεία ενός συνόλου. Ο κανόνας αυτός ονομάζεται με κάποιο γράμμα του λατινικού αλφαβήτου π.χ.. Το ονομάζεται σύνολο αφετηρίας. Το ονομάζεται σύνολο άφιξης. Συμβολικά έχουμε: Η σχέση μεταξύ των στοιχείων των δυο συνόλων Α και Β, εκτός από το βελοειδές διάγραμμα που φαίνεται πιο πάνω, μπορεί να δοθεί και με άλλους τρόπους: περιγραφικά και συμβολικά: Περιγραφικά Συμβολικά Το γ αντιστοιχίζεται με το 2 και το 3. και Το δ δεν αντιστοιχίζεται με κανένα στοιχείο του Β. Το β αντιστοιχίζεται με το 6. Το ε αντιστοιχίζεται με το 3. σαν σύνολο διατεταγμένων ζευγών: { }. Το σύνολο ονομάζεται γράφημα της αντιστοιχίας. 3 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Συνάρτηση είναι ειδική περίπτωση αντιστοιχίας, στην οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α απεικονίζεται σε μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. Αυτή η σχέση μεταξύ των στοιχείων των δυο συνόλων Α και Β μπορεί να δοθεί: με βελοειδές διάγραμμα: Το σύνολο { } ονομάζεται Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης. Το σύνολο { } ονομάζεται Πεδίο Τιμών της συνάρτησης, ή εικόνα του, και αποτελείται από τις εικόνες των στοιχείων του και συμβολίζεται με. περιγραφικά ή συμβολικά, όπως φαίνεται στον πιο κάτω πίνακα: Περιγραφικά Συμβολικά Διαβάζεται Το κ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 7. Η τιμή της συνάρτησης του κ είναι ίση με 7. Το μ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 9. Η τιμή της συνάρτησης του μ είναι ίση με 9. Το τ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 6. Η τιμή της συνάρτησης του τ είναι ίση με 6. Το γ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 1. Η τιμή της συνάρτησης του γ είναι ίση με 1. 4 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Δραστηριότητες Παραδείγματα Να εξετάσετε ποιές από τις πιο κάτω αντιστοιχίες είναι συναρτήσεις. Λύση: i. ii. iii. iv. i. Η αντιστοιχία είναι συνάρτηση, γιατί κάθε στοιχείο του συνόλου Α (πεδίο ορισμού της συνάρτησης ) απεικονίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. ii. Η αντιστοιχία δεν είναι συνάρτηση γιατί το στοιχείο β απεικονίζεται στο 5 και στο 4. Για να ήταν συνάρτηση θα έπρεπε να απεικονίζεται σε ένα μόνο στοιχείο του συνόλου Β. iii. Η αντιστοιχία δεν είναι συνάρτηση γιατί το στοιχείο γ δεν απεικονίζεται σε στοιχείο του συνόλου Β. Για να ήταν συνάρτηση θα έπρεπε κάθε στοιχείο του συνόλου Α να απεικονίζεται σε ένα στοιχείο του συνόλου Β. iv. Η αντιστοιχία είναι συνάρτηση, γιατί κάθε στοιχείο του συνόλου Α απεικονίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. Πιο κάτω δίνεται η γραφική παράσταση του συνόλου των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ. Να εξετάσετε κατά πόσο οι συντεταγμένες των σημείων ορίζουν συνάρτηση, με σύνολο αφετηρίας το σύνολο των τετμημένων και σύνολο άφιξης το σύνολο των τεταγμένων. 5 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Λύση: Δεν είναι συνάρτηση γιατί στην τιμή αντιστοιχούν δύο τιμές του, και. Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε εύκολα αν μετακινήσουμε το μολύβι μας κάθετα πάνω στον άξονα των τετμημένων. Θα διαπιστώσουμε ότι καθώς περνάει από το, θα καλύψει δύο σημεία, το Γ(1,2) και το Δ(1,0). Τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τετμημένη αλλά διαφορετική τεταγμένη. 1. Να εξετάσετε κατά πόσο τα πιο κάτω βελοειδή διαγράμματα ορίζουν συνάρτηση: (α) (β) (γ) (δ) 2. Δίνεται το διπλανό βελοειδές διάγραμμα: (α) Είναι η αντιστοιχία συνάρτηση; (β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα (γ) Να τοποθετήσετε τα σημεία ( ) σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. 6 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

3. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συνόλων σημείων. Να εξετάσετε κατά πόσο οι συντεταγμένες των σημείων ορίζουν συνάρτηση, με σύνολο αφετηρίας το σύνολο των τετμημένων και σύνολο άφιξης το σύνολο των τεταγμένων. (α) (β) (γ) 4. (α) Να παραστήσετε το γράφημα { }. i. με τη χρήση πίνακα τιμών ii. με τη χρήση βελοειδούς διαγράμματος iii. με τη χρήση γραφικής παράστασης (β) Ορίζει συνάρτηση η αντιστοιχία που δίνεται με τους πιο πάνω τρόπους; Να εξηγήσετε. 7 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

5. Η Κατερίνα αμείβεται 30 ευρώ την εβδομάδα για την επίβλεψη των παιδιών μιας οικογένειας. i. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τα χρήματα που αμείβεται η Κατερίνα σε συνάρτηση με τον αριθμό των εβδομάδων που εργάζεται. Εβδομάδες, 1 2 3 4 5 Αμοιβή, ii. Να δώσετε έναν τύπο που να εκφράζει την πιο πάνω συνάρτηση. 6. Ο πίνακας παρουσιάζει τους ποδοσφαιριστές της Εθνικής Κύπρου με τις περισσότερες συμμετοχές. Στη στήλη Πρώτη εμφάνιση καταγράφεται η χρονιά που έκαναν την πρώτη τους εμφάνιση στην ομάδα. # Όνομα Πρώτη εμφάνιση Συμμετοχές Εν ενεργεία το 2011 1 Γιάννης Οκκάς 1997 101 Ναι 2 Πάμπος Πίττας 1987 82 Όχι 3 Νίκος Παναγιώτου 1994 75 Οχι 4 Γιώργος Θεοδώτου 1996 70 Οχι 5 Γιαννάκης Γιαγκουδάκης 1980 68 Όχι 6 Μάριος Χαραλάμπους 1991 60 Οχι 7 Μιχάλης Κωνσταντίνου 1998 60 Ναι 8 Γιασεμής Γιασεμάκης 1998 55 Οχι 9 Δημήτρης Ιωάννου 1991 50 Οχι 10 Γιώργος Σαββίδης 1982 47 Όχι Είναι η αντιστοιχία, που συνδέει τη χρονιά που έκαναν πρώτη εμφάνιση οι ποδοσφαιριστές με τον αριθμό συμμετοχών τους, συνάρτηση; Να εξηγήσετε. 7. Μια εταιρεία παραγωγής φυσικών χυμών έχει υπολογίσει ότι από κάθε κιλό πορτοκάλια που παίρνει από τον παραγωγό, παράγει 0,4 λίτρα χυμό. i. Πόσα λίτρα χυμό θα παράξει, αν πάρει από τον παραγωγό 500 κιλά πορτοκάλια; ii. Να εκφράσετε την ποσότητα (σε λίτρα χυμού) που παράγεται, ως συνάρτηση της ποσότητας των κιλών πορτοκαλιών (με τη χρήση τύπου). iii. Πόσα κιλά πορτοκάλια πρέπει η εταιρεία να χρησιμοποιήσει, ώστε να παράξει 300 λίτρα χυμό; 8 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Γραμμική Συνάρτηση Ευθεία Εξερεύνηση Η διπλανή γραφική παράσταση δείχνει τη θερμοκρασία του νερού καθώς το θερμαίνουμε σε μία κατσαρόλα σε σχέση με το χρόνο θέρμανσης (σε λεπτά). Να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται η θερμοκρασία του νερού κατά τη διάρκεια των 5 λεπτών που δείχνει η γραφική παράσταση. Τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά; Διερεύνηση 1 Η μηχανή δέχεται αριθμούς και τους μετατρέπει σε αριθμούς, σύμφωνα με τον κανόνα. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τέσσερις τυχαίες τιμές του και να υπολογίσετε τα αντίστοιχα με βάση τον τρόπο λειτουργίας της μηχανής. 9 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήστε το λογισμικό GeoGebra ή το Cabri II plus για τις πιο κάτω κατασκευές: Να τοποθετήσετε τα σημεία σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Βρίσκονται τα σημεία στην ίδια ευθεία; Να πάρετε δύο τυχαία σημεία Α, Β και να τα τοποθετήσετε στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, Β είναι συνευθειακά με τα προηγούμενα σημεία; Τι πρέπει να συμβαίνει για να ανήκουν τα σημεία Α και Β στην ίδια ευθεία με τα αρχικά σημεία. Αν τοποθετήσουμε στη μηχανή τον αριθμό το αντίστοιχο σημείο που θα προκύψει, θα ανήκει στην ίδια ευθεία με τα αρχικά σημεία; Διερεύνηση 2 Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο, όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Τι θα συμβεί αν σημειώσουμε πολύ περισσότερα σημεία που προκύπτουν από τη μηχανή στους άξονες; Τι σχήμα θα κατασκευαστεί αν γίνουν άπειρα αυτά τα σημεία. Να εξετάσετε κατά πόσο οι συντεταγμένες των σημείων αυτών ορίζουν συνάρτηση. Διερεύνηση 3 Να συμπληρώσετε τον πίνακα και να τοποθετήσετε τα σημεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων με βάση τις πληροφορίες της μηχανής. Είναι τα σημεία συνευθειακά; (Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήστε το λογισμικό GeoGebra ή το Cabri II plus) 10 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Τι πρέπει να ξέρετε Μια συνάρτηση της μορφής, όπου, ονομάζεται γραμμική συνάρτηση. H γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο είναι μια ευθεία γραμμή. Για παράδειγμα η παριστάνεται στη διπλανή γραφική παράσταση με ευθεία γραμμή. Αντίστροφα κάθε ευθεία γραμμή (εκτός από την ευθεία που είναι κάθετη στον άξονα των ) μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση με τύπο. Παραδείγματα Δραστηριότητες Να εξετάσετε ποια από τα σημεία A(0,-1), B(1,1), Γ(-1,0) και Δ(-4,5) ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης Λύση: Τεχνολογία: Γραφική Λύση Να ανοίξετε το λογισμικό GeoGebra. Στο πεδίο «Εισαγωγή» να καταχωρήσετε την εξίσωση της ευθείας και να πατήσετε ENTER. Στο πεδίο «Εισαγωγή» να καταχωρήσετε διαδοχικά τα σημεία «A=(0,-1)», «B=(1,1)», «Γ=(-1,0)» και «Δ=(-2,5)», πατώντας κάθε φορά ENTER. Από τη γραφική παράσταση δίπλα συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Α και Β ανήκουν στην ευθεία ενώ τα σημεία Γ και Δ δεν ανήκουν στην ευθεία. Αλγεβρική λύση: Τοποθετούμε στον πιο κάτω πίνακα τις τετμημένες ( ) των σημείων Α, Β, Γ και Δ. Υπολογίζουμε τις τιμές και ελέγχουμε κατά πόσο αυτές ταυτίζονται με τις αντίστοιχες τεταγμένες ( ) των σημείων. 11 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

1 = Συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Α και Β ανήκουν στην ευθεία, ενώ τα σημεία Γ και Δ δεν ανήκουν στην ευθεία. Γενικά όταν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μίας συνάρτησης, τότε το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ή η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το συγκεκριμένο σημείο. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση τέμνει τους άξονες. Λύση: Η συνάρτηση διέρχεται από ένα σημείο πάνω στον άξονα των τετμημένων (τέμνει τον άξονα των τετμημένων). Το σημείο αυτό έχει τεταγμένη Για Άρα, η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο. Η συνάρτηση, επίσης, περνά από ένα σημείο πάνω στον άξονα των τεταγμένων (τέμνει τον άξονα των τεταγμένων). Το σημείο αυτό έχει τετμημένη. Για. Άρα, η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των τεταγμένων στο σημείο. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο. Λύση: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι ευθεία γραμμή. Δύο σημεία ορίζουν μια ευθεία. Επομένως, αρκεί να βρούμε δύο σημεία της ευθείας για να κατασκευάσουμε τη γραφική της παράσταση. 0 2 2 8 12 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Να βρείτε την εξίσωση της γραμμικής συνάρτησης που περνά από τα σημεία και (1,5). Λύση: Τα σημεία επαληθεύουν την εξίσωση της γραμμικής συνάρτησης. Κάθε γραμμική συνάρτηση μπορεί να γραφεί στη μορφή. Χρησιμοποιώντας τα σημεία που δίνονται, υπολογίζουμε τις άγνωστες παραμέτρους και ώστε να γίνει συγκεκριμένη η εξίσωση της ζητούμενης συνάρτησης. Το ανήκει στην ευθεία Άρα, η εξίσωση της ζητούμενης γραμμικής συνάρτησης είναι. 1. Να γράψετε την συνάρτηση με τύπο στην μορφή όπου. 2. Δίνεται η συνάρτηση. i. Να βρείτε 5 σημεία που ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. ii. Να εξετάσετε κατά πόσο τα σημεία ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. 3. Να εξετάσετε κατά πόσο τα δεδομένα που δίνονται στον πιο κάτω πίνακα συνδέονται με γραμμική σχέση. -2 0 2 4 1 5 9 13 4. Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο, και να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα για διάφορες τιμές του β. 13 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

1 (0,1) i. Nα παρατηρήσετε πώς μεταβάλλεται το σημείο τομής της συνάρτησης με τον άξονα των τεταγμένων καθώς αλλάζει το. ii. Να αποδείξετε ότι το σημείο (0,β) ανήκει πάντοτε στη γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης με εξίσωση (όπου. 5. Ένα τμήμα ενός Γυμνασίου επισκέπτεται ένα μουσείο, που χρεώνει είσοδο για κάθε μαθητή. Για τη μεταφορά των μαθητών στο μουσείο, η εταιρεία των λεωφορείων χρεώνει συνολικά. Να βρείτε και να περιγράψετε τον τύπο που να υπολογίζει το κόστος της επίσκεψης των μαθητών. 6. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο. 7. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες της γραμμικής συνάρτησης με τύπο και να κατασκευάσετε τη γραφική της παράσταση. 8. Να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσεις των πιο κάτω γραμμικών συναρτήσεων: i. ii. iii. iv. v. 9. Να βρεθεί ο τύπος της γραμμικής συνάρτησης που περνά από τα σημεία: i. ii. 10. Δίνεται η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης. Να βρείτε: i. Τα σημεία τομής της συνάρτησης με τους άξονες. ii. Δύο άλλα σημεία που ανήκουν στην ευθεία. iii. Δύο σημεία που δεν ανήκουν στην ευθεία iv. Το τύπο της συνάρτησης. 14 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Ειδικές Περιπτώσεις Ευθείας Διερεύνηση Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο i. Να μετακινήσετε το δρομέα β, ώστε να πάρει την τιμή 0. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας; Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τους άξονες; Να μετακινήσετε το δρομέα α και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει. ii. Να μετακινήσετε το δρομέα β ώστε να πάρει την τιμή 2 και το δρομέα α, ώστε να πάρει την τιμή 0. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας; Ποιο είναι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της ευθείας αυτής; Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τον άξονα των y; Να μετακινήσετε το δρομέα και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει. Ποια εξίσωση έχει ο άξονας των x; iii. Να πατήσετε το κουμπί, για να μην φαίνεται η ευθεία και ακολούθως να πατήσετε το κουμπί, για να εμφανιστεί μια άλλη ευθεία. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας; Ποιο είναι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της ευθείας αυτής; Ορίζει η ευθεία αυτή συνάρτηση; Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τον άξονα των ; Να μετακινήσετε το δρομέα κ και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει. Ποια εξίσωση έχει ο άξονας των ; 15 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Τι πρέπει να ξέρετε Η γραφική παράσταση της την αρχή των αξόνων (ορίζει συνάρτηση) είναι ευθεία που περνά από π.χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης περνά από την αρχή των αξόνων. Η γραφική παράσταση της στον άξονα των στο σημείο (ορίζει σταθερή συνάρτηση) είναι ευθεία κάθετη π.χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κάθετη στον άξονα των στο σημείο Η γραφική παράσταση της ευθείας κάθετη στον άξονα των στο σημείο. (δεν ορίζει συνάρτηση) είναι ευθεία π.χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κάθετη στον άξονα των τετμημένων στο σημείο Ο άξονας των έχει εξίσωση. Ο άξονας των έχει εξίσωση (δεν ορίζει συνάρτηση). 16 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Δραστηριότητες Παραδείγματα Να βρείτε τους τύπους των πιο κάτω γραφικών παραστάσεων: (α) (β) (γ) Λύση: (α) Είναι της μορφής. Περνά από το Άρα είναι η (β) Είναι της μορφής, γιατί περνά από το. Περνά όμως και από το. Άρα είναι η. (γ) Είναι της μορφής. Περνά από το Άρα είναι η 1. Να αντιστοιχίσετε τις γραφικές παραστάσεις με τις εξισώσεις των ευθειών. Α. i. ii. iii. Β. iv. v. Γ. vi. 17 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

2. Να βρείτε τους τύπους των ευθειών που σχηματίζουν το διπλανό τρίγωνο: 3. Δίνεται η συνάρτηση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο. i. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της. ii. Να υπολογίσετε την τιμή του. 4. Δίνεται η συνάρτηση. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. iii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία που διέρχεται πάντοτε από το σημείο: iv. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (1, 2), τότε: v. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (2,1), τότε: vi. vii. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (-1, 2), τότε: Αν α = 3, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο: 18 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Κλίση Γραμμικής Συνάρτησης- Ευθείας Εξερεύνηση Σε μια σχολή για δεξιότητες με πατίνι (skateboard), οι μαθητές πρέπει να εξασκηθούν σε μια από τις τέσσερεις διαφορετικές ράμπες που φαίνονται πιο κάτω. Α. Β. Γ. Δ. 2m 3m 2m 4m 3m 2m 4m 6m O διευθυντής της σχολής, για λόγους ασφάλειας, είπε στους αρχάριους μαθητές να επιλέξουν τη ράμπα που είναι λιγότερο ανηφορική. Να βρείτε ποια είναι αυτή και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Διερεύνηση 1 Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο:. 19 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Να μετακινήσετε τους δρομείς α και β για να κατασκευάσετε την εξίσωση της ευθείας που φαίνεται στην πρώτη στήλη του πίνακα. Ακολούθως να μετακινήσετε επίσης τα σημεία Α και Β, για να συμπληρώσετε τον πίνακα: Εξίσωση Σημείο Σημείο Οριζόντια Κατακόρυφη ευθείας Α Β μεταβολή μεταβολή Να παρατηρήσετε τον πιο πάνω πίνακα και να απαντήστε τις πιο κάτω ερωτήσεις: Αλλάζει ο λόγος:, όταν πάρουμε διαφορετικά σημεία για την ίδια ευθεία; Συνδέεται ο λόγος: με κάποιο στοιχείο του τύπου της ευθείας; 20 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Διερεύνηση 2 Να επιλέξετε τρία σημεία Α,Β,Γ πάνω στην ευθεία. Να βρείτε την κλίση της ΑΒ της ΑΓ και της ΒΓ. Τι παρατηρείτε; Τι πρέπει να ξέρετε Έστω ότι θέλουμε να μετακινηθούμε από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β μιας ευθείας της μορφής. Τότε θα έχουμε μια οριζόντια μετακίνηση (μεταβολή) και μια κατακόρυφη μετακίνηση (μεταβολή). Κλίση μιας ευθείας είναι ο λόγος της κατακόρυφης μεταβολής, (από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β της ευθείας), προς την οριζόντια μεταβολή. Η κλίση συμβολίζεται με το γράμμα λ, δηλαδή αυτό είναι ο ρυθμός μεταβολής της ευθείας. Αν η εξίσωση δίνεται στη μορφή τότε. Για την ευθεία και Α,Β όπως στο διπλανό σχήμα, δηλαδή ο συντελεστής του. 21 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Δραστηριότητες Παραδείγματα Να βρείτε την κλίση των ευθειών που έχουν εξίσωση: i. ii. iii. iv. Λύση: i. ii. iii.. iv. ( ) v. (άξονας των x) Να βρείτε την κλίση και την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία και Λύση: Βρίσκουμε πρώτα την κλίση: Τοποθετούμε τα σημεία και σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Φέρουμε ευθεία που περνά από τα δύο σημεία. Υπολογίζουμε το λόγο της κατακόρυφης προς την οριζόντια μεταβολή. η εξίσωση της ευθείας δίνεται στην μορφή με. Άρα. Για τον προσδιορισμό του β παίρνουμε ένα σημείο πάνω στην ευθεία π.χ. το και το αντικαθιστούμε στην εξίσωση (αφού την επαληθεύει). Έτσι έχουμε: Η εξίσωση της ευθείας δίνεται από τον τύπο: ή 22 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

Να δείξετε ότι δεν ορίζεται η κλίση της ευθείας τις κλίσεις των ευθειών,.. Στη συνέχεια να εξετάσετε Λύση: Έστω ότι η ευθεία περνά από δύο σημεία κλίση της υπολογίζεται ως εξής:. Η Η ευθεία είναι της μορφής άρα η κλίση της δεν ορίζεται. Η ευθεία (άξονας των y) είναι της μορφής. Άρα η κλίση της δεν ορίζεται. 1. Να βρείτε την κλίση των ευθειών: i. ii. iii. 2 iv. v. vi. 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αν : i. περνά από τα σημεία Α( 0, 0) και Β( 0, -3). ii. περνά από το σημείο Γ( -1, 3) και έχει κλίση λ =3. iii. περνά από το σημείο και έχει κλίση. iv. περνά από το σημείο και έχει κλίση. 3. Στις πιο κάτω προτάσεις δίνονται γραμμικές συναρτήσεις με τύπο της μορφής. Να αναγνωρίσετε την κλίση, και την παράμετρο και να εξηγήσετε τη σημασία τους σε κάθε περίπτωση. i. Ο πληθυσμός μιας πόλης δίνεται από την σχέση, όπου το αντιπροσωπεύει τον πληθυσμό και το αντιπροσωπεύει το χρόνο σε έτη από το 2000 μέχρι σήμερα. ii. Ένας σταλακτίτης μεγαλώνει σύμφωνα με τη σχέση, όπου αντιπροσωπεύει το μήκος του σταλακτίτη σε και τον χρόνο σε έτη από την πρώτη μέτρηση του μήκους του σταλακτίτη. iii. Το κέρδος σε ευρώ από την πώληση προϊόντων δίνεται από τη σχέση. iv. Μια τηλεφωνική εταιρεία χρεώνει τους πελάτες της με βάση τη σχέση, όπου είναι η μηνιαία χρέωση σε ευρώ και ο χρόνος ομιλίας σε λεπτά. 23 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

4. Αντιστοιχήστε κάθε εικόνα της στήλης Α με μία πρόταση της στήλης Β και δικαιολογήστε την απάντηση σας. Α Β α. i. Η κλίση δεν ορίζεται β. ii. Θετική κλίση ( ) γ. iii. Αρνητική κλίση ( ) iv. Μηδενική κλίση ( ) δ. 5. Στη διπλανή γραφική παράσταση παρουσιάζεται ο τραπεζικός λογαριασμός του Κώστα σε ένα έτος. i. Να εξηγήσετε πόσα είχε στην αρχή του χρόνου ο λογαριασμός και πώς μεταβάλλεται από μήνα σε μήνα. ii. Ποια είναι η κλίση της συνάρτησης και τι αντιπροσωπεύει. iii. Να βρείτε την εξίσωση της συνάρτησης. 24 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

6. Ο Μάριος γέμισε τη μοτοσυκλέτα του με 5 λίτρα βενζίνη. Στη γραφική παράσταση φαίνεται ότι απέμειναν 3 λίτρα βενζίνης στη μοτοσυκλέτα, όταν ο Μάριος κάλυψε 40 χιλιόμετρα. i. Να βρείτε την κλίση της συνάρτησης. ii. Να εξηγήσετε την σημασία της. iii. Πόσα χιλιόμετρα θα καλύψει με τα 5 λίτρα βενζίνης; Δραστηριότητες ενότητας 1. Να εξετάσετε, αν οι πιο κάτω αντιστοιχίες είναι συναρτήσεις: i. { } ii. iii. iv. 2. H σχέση που συνδέει τους βαθμούς Φαρενάιτ ( ) με τους βαθμούς Κελσίου ( ) είναι. Αν οι ενδείξεις ενός θερμομέτρου Φαρενάιτ ήταν κατά σειρά ποιες ήταν οι αντίστοιχες θερμοκρασίες ενός θερμομέτρου Κελσίου; 25 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

3. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει το ύψος μιας φασολιάς σε μια περίοδο τριών εβδομάδων. Στην αρχή το ύψος του φυτού ήταν 5. Εβδομάδα 0 1 2 3 Ύψος (σε cm) 5 8 11 14 4. Να γράψετε μια εξίσωση που να εκφράζει το ύψος ( ) του φυτού συναρτήσει του αριθμού των εβδομάδων ( ). Να προβλέψετε το ύψος του φυτού ύστερα από δέκα εβδομάδες 5. Τα πιο κάτω διατεταγμένα ζεύγη αναπαριστούν τη σχέση μεταξύ του χρόνου μελέτης της Ελένης στα Μαθηματικά, στα Φυσιογνωστικά και στα Νέα Ελληνικά με τα αντίστοιχα αποτελέσματα στις εξετάσεις των μαθημάτων. Για παράδειγμα το διατεταγμένο ζεύγος δηλώνει ότι με 6 ώρες μελέτη στα Μαθηματικά πήρε βαθμό 68 στις εξετάσεις. Να εξετάσετε κατά πόσο η σχέση αυτή είναι συνάρτηση. { } 6. Ο Αλέξης φεύγει από το σπίτι με τα πόδια για το σχολείο. Η διαδρομή του Αλέξη περιγράφεται από τη σχέση όπου είναι η απόσταση από το σχολείο σε μέτρα και είναι ο χρόνος του σε λεπτά. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση που περιγράφει την πιο πάνω σχέση. 7. Η εταιρεία που ανέλαβε τη φωτογράφηση της τελετής αποφοίτησης του σχολείου Α χρεώνει για το βασικό πακέτο και για κάθε επιπρόσθετη φωτογραφία. Να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση, όπου είναι το συνολικό κόστος και ο αριθμός των επιπρόσθετων φωτογραφιών, για να κατασκευάσετε έναν πίνακα που να παρουσιάζει το συνολικό κόστος παραγγελίας μέχρι επιπρόσθετων φωτογραφιών. 8. (α) Να εξετάσετε κατά πόσο τα δεδομένα του πιο κάτω πίνακα συνδέονται με γραμμική σχέση. (β) Αν ναι, να υπολογίσετε την κλίση, να βρείτε το σημείο τομής της γραμμικής συνάρτησης με τον άξονα των τεταγμένων και να γράψετε την εξίσωσή της. 2 3 5 8 12 5 8 14 23 35 26 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

9. Να αντιστοιχίσετε τις γραφικές παραστάσεις της πρώτης στήλης με τις περιγραφές της δεύτερης στήλης του πίνακα και να επεξηγήσετε σε κάθε περίπτωση τι αναπαριστά η κλίση της γραφικής παράστασης. Γραφική παράσταση. Περιγραφή Α. Ι. Ένας υπάλληλος πληρώνεται την ώρα και επιπλέον για κάθε προϊόν που κατασκευάζει κάθε ώρα. Β. ΙΙ. Ένα άτομο πληρώνει την εβδομάδα σε ένα φίλο του, για να αποπληρώσει ένα δάνειο αξίας. Γ. ΙΙΙ. Ένας επαγγελματίας οδηγός εισπράττει καθημερινά για φαγητό και επιπλέον για κάθε χιλιόμετρο που καλύπτει. Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Σε ένα ζαχαροπλαστείο ο βοηθός ζαχαροπλάστης ετοιμάζει 6 γλυκά την ώρα. Ο ζαχαροπλάστης ετοιμάζει 10 γλυκά την ώρα, αλλά ξεκινά να εργάζεται δύο ώρες μετά από το βοηθό ζαχαροπλάστη. Οι δύο ζαχαροπλάστες πρέπει να ετοιμάσουν συνολικά 92 γλυκά. Σε πόσες ώρες, από τη στιγμή που θα ξεκινήσει να εργάζεται ο βοηθός ζαχαροπλάστης, θα έχουν τελειώσει; Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης, η οποία υπολογίζει τον αριθμό των γλυκών που ετοιμάζονται σε ώρες. 27 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

2. Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου δύο αυτοκινήτων Α και Β. i. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει την ταχύτητα με το χρόνο για τα δύο αυτοκίνητα και να αναφέρετε κατά πόσο αυτή είναι γραμμική. ii. Να περιγράψετε την κίνηση των δύο αυτοκινήτων (με ποια ταχύτητα ξεκινά το καθένα, με ποιο ρυθμό μεταβάλλεται η ταχύτητα τους, σε ποια χρονική στιγμή έχουν την ίδια ταχύτητα, ποιο αυτοκίνητο κινείται πιο γρήγορα και σε ποιό χρονικό διάστημα). 3. Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο: Bgym_En4sel27_PO_PT.ggb Να μετακινήσετε το σημείο Α και να βρείτε: i. Τις τιμές και ii. Το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης. iii. Το Πεδίο Τιμών της συνάρτησης. 28 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

4. Μιχάλης και ο Αντώνης αναχωρούν με το ποδήλατο από το σπίτι τους για το σχολείο την ίδια ώρα. Οι αποστάσεις (σε μέτρα) των θέσεων του Μιχάλη και του Αντώνη από το σχολείο συναρτήσει του χρόνου (σε λεπτά) δίνονται από τους τύπους και. Με τη βοήθεια κατάλληλης γραφικής παράστασης, να βρείτε ποιος από τους δύο θα φτάσει πρώτος στο σχολείο. Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή που τα δύο αγόρια θα ισαπέχουν από το σχολείο; 5. Να εξετάσετε κατά πόσο οι πιο κάτω γραφικές παραστάσεις αναπαριστούν συνάρτηση. (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) 29 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.