Κεφάλαιο 7 ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Κεφάλαιο 7 ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται μέθοδοι ανάλυσης στάσιμων και περιοδικών αποκρίσεων δυναμικών συστημάτων. Αυτές οι μέθοδοι είναι πολύ χρήσιμες για την αντιμετώπιση, με συστηματικό τρόπο, περίπλοκων προβλημάτων ευστάθειας πλωτών κατασκευών, για καταστάσεις ισορροπίας ή για καταστάσεις μόνιμης περιοδικής κίνησης. Επεξηγείται ο τρόπο χάραξης του πορτραίτου φάσεων του συστήματος και δίνονται απλά παραδείγματα. Για την εξέταση ευστάθειας ταλαντωτικής απόκρισης, χρησιμοποιούνται οι εκθέτες Floquet του μονοδρομικού πίνακα και εναλλακτικά, η απεικόνιση Pocaré. Το κεφάλαιο έχει εισαγωγικό χαρακτήρα στην ευρεία περιοχή της μελέτης ευστάθειας μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων. 7.. Ευστάθεια στάσιμων λύσεων Ας θεωρήσουμε διαστάσεων δυναμικό σύστημα, το οποίο περιγράφεται από τις παρακάτω συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (σ.δ.ε.) πρώτης τάξης: (,, ) ( )...,,,...,..., ( ) (7.) Ο χώρος ο οποίος προσδιορίζεται με βάση τις μεταβλητές,,,...,, ονομάζεται «χώρος φάσεων» του εν λόγω δυναμικού συστήματος. Κάθε σημείο του χώρου αυτού, αντιπροσωπεύει μία συγκεκριμένη (στιγμιαία) κατάσταση του δυναμικού συστήματος. Θα προσδιορίζουμε το τυχαίο σημείο του χώρου φάσεων με το διάνυσμα θέσης (,,..., ) T, σε αναφορά με προεπιλεγμένο σύστημα αξόνων. Ένα τυχόν σημείο ( t ) θα μπορούσε να θεωρηθεί ως αρχική συνθήκη για την επίλυση του συστήματος εξισώσεων (7.). Καθώς η κατάσταση του συστήματος μεταβάλλεται στο χρόνο (γι αυτό άλλωστε και το σύστημα ονομάζεται «δυναμικό»), μετά την πάροδο ενός χρονικού διαστήματος t, η κατάσταση του συστήματος θα αντιπροσωπεύεται πλέον από μία νέα θέση ( t, ). Μπορούμε λοιπόν να εκλάβουμε αυτή την αλλαγή κατάστασης ως μετακίνηση κάποιου «υλικού» σημείου (,..., ) T, εντός του χώρου φάσεων. Αυτή η μετακίνηση παράγει μια καμπύλη τροχιά (είναι το αντίστοιχο μιας γραμμής ροής στον φυσικό χώρο). Σε πιο μακροσκοπική θεώρηση, θα μπορούσαμε ν αναρωτηθούμε ποια θα ήταν η εικόνα αν μελετούσαμε την εξέλιξη του συνόλου των σημείων του χώρου φάσεων. Αντιλαμβανόμαστε ότι, εντός του χώρου αυτού, η συνολική κατάσταση δεν θα είναι στατική αλλά θα υπάρχει ροή, η κατεύθυνση της οποίας θα εξαρτάται από τα τοπικά χαρακτηριστικά του χώρου φάσεων, όπως αυτά προσδιορίζονται από τη δομή των εξισώσεων που τον διέπουν. Δηλαδή, οι εξισώσεις (7.) παράγουν ένα διανυσματικό πεδίο επί του χώρου φάσεων. Το γράφημα που δείχνει συνολικά τα ποιοτικά χαρακτηριστικά όλων των διαφορετικών τύπων τροχιών στο χώρο φάσεων του εξεταζόμενου δυναμικού συστήματος, ονομάζεται «πορτραίτο φάσεων» του δυναμικού συστήματος. Τα σημεία ισορροπίας (ή όπως ονομάζονται αλλιώς τα σταθερά ή στάσιμα σημεία) του ανωτέρω δυναμικού συστήματος ευρίσκονται εκεί όπου οι χρονικές παράγωγοι των μεταβλητών,,...,, δηλαδή τα αριστερά μέρη του συστήματος (7.), μηδενίζονται: (..., ),, 7

(..., ),, (,,..., ) (7.) Παράδειγμα 7. Τα σημεία ισορροπίας του συστήματος (, ), (, ), (, ). Ο μη γραμμικός όρος 3 είναι η τριάδα ζευγών ( y) +, y y, : 3 είναι υπεύθυνος για την ύπαρξη περισσοτέρων της μιας θέσεων ισορροπίας. Ένα δυναμικό σύστημα το οποίο περιγράφεται από πλήθος k συνήθων διαφορικών εξισώσεις τάξης (,, k) η καθεμιά τους, μπορεί εύκολα ν αναχθεί σε σύστημα (7.). Παράδειγμα 7. Η λεγόμενη εξίσωση του Dug ως σύστημα της μορφής (7.), ως ακολούθως: k πρωτοτάξεων σ.δ.ε. όπως το a + b c + 3 cosωt εκφράζεται μέσω της αντικατάστασης 3 ( cosω ) b + c + t a (7.3) Παράδειγμα 7.3 H εξίσωση του γραμμικού ταλαντωτή χωρίς διέγερση αλλά με απόσβεση, + k + ω, γράφεται στη μορφή (7.) ως ακολούθως: k ω (7.4) Η ροή στο χώρο (εν προκειμένω επίπεδο) φάσεων (, ) την οποία παράγει το ανωτέρω σύστημα παρουσιάζεται στο σχήμα 7.. Παρατηρήστε την εξέλιξη συνόλου σημείων τα οποία ευρίσκονται εντός της κυκλικής επιφάνειας η οποία σημειώνεται στο άνω αριστερό άκρο του διαγράμματος (Acheso, 997). Με την πάροδο του χρόνου, παρατηρείται συστολή της επιφάνειας ενώ παράλληλα, ο κύκλος μεταβάλλεται σε έλλειψη η οποία κινείται σπειροειδώς προς το σημείο (, ). Η μείωση της επιφάνειας εξηγείται λόγω της απώλειας ενέργειας μέσω μηχανισμού απόσβεσης. Πιο συγκεκριμένα, ας θεωρήσουμε την οριζόντια και την κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας της ροής (την οποία ονομάζουμε «φασική ροή»), αντίστοιχα u, v. Η απόκλιση της φασικής ροής υπολογίζεται, κατά τα γνωστά, από την έκφραση u v U + k. Διαπιστώνουμε ότι, για το δυναμικό σύστημα που εξετάζουμε, η απόκλιση είναι μονίμως αρνητική ποσότητα. Αυτό σημαίνει συνεχή συστολή καθώς κινούμαστε προς την καταβόθρα που εμφανίζει η ροή στο σημείο (, ). Παρατηρείστε ότι το σημείο αυτό «έλκει» τα σημεία τριγύρω του (στην ειδική περίπτωσή μας μάλιστα, έλκει όλα τα σημεία του επιπέδου). Σημεία του χώρου φάσεων που έχουν την ιδιότητα να έλκουν τα σημεία που βρίσκονται στη γειτονιά τους (ή και μακρύτερα) χαρακτηρίζονται ως «σημειακοί ελκυστές». 7

Σχήμα 7. Η σταδιακή συρρίκνωση επιφάνειας υποδηλώνει απώλεια ενέργειας. Η εξέταση της ευστάθειας αποκρίσεων ενός δυναμικού συστήματος αφορά, σε πρώτη ανάλυση, τη συμπεριφορά στη γειτονιά των σημείων ισορροπίας του. Συγκεκριμένα, πρέπει ν αποσαφηνιστεί εάν διαταραχές από τη θέση ισορροπίας τείνουν με το χρόνο να εκλείψουν ή τείνουν ν αυξηθούν (ουσιαστικά δηλαδή πρέπει να διαπιστωθεί εάν το θεωρούμενο στάσιμο σημείο του χώρου φάσεων «έλκει» ή «απωθεί»). Αυτή η ανάλυση πρέπει να γίνει για όλα τα σημεία ισορροπίας (ή τουλάχιστον για τα σημεία εκείνα για τα οποία υπάρχει ενδιαφέρον). Συχνά, η συμπεριφορά στη γειτονιά ενός σημείου ισορροπίας γίνεται ευκολότερα κατανοητή εάν διενεργήσουμε τοπική γραμμικοποίηση του συστήματος γύρω από το σημείο αυτό. Αν και υπάρχουν περιπτώσεις όπου το γραμμικοποιημένο σύστημα δεν μας επιτρέπει να αποφανθούμε για την ευστάθεια στο εξεταζόμενο σημείο, εντούτοις στις περισσότερες περιπτώσεις αυτή η μέθοδος είναι αποτελεσματική. Στο σύστημα (7.) ας υποθέσουμε ότι μας ενδιαφέρει η ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας του οποίου η θέση προσδιορίζεται από το διάνυσμα ( ) Τ,,..., πάροδο του χρόνου, τυχόντος γειτονικού του σημείου (,,..., ). Μελετάμε τη μετακίνηση, με την, το οποίο έστω ότι απέχει αρχικά,,..., από το εξεταζόμενο σημείο ισορροπίας. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι: κατά ( ) T +, +,..., + (7.5) Με αντικατάσταση της (7.5) στην (7.) και ανάπτυξη κατά Taylor των συναρτήσεων αναφορά με το σημείο (,,..., ), προκύπτει για την τυχούσα :,,..., σε ( + ) ( +, +,..., + ) (,,..., ) t + + +... + + O ( ( ((( (,,...,,,,..., ) όπου το O ( ) συμβολίζει το σύνολο των όρων τάξης τουλάχιστον ίσης με την τάξη που εμφανίζεται εντός του ορίσματός του (εν προκειμένω + 3 (7.6) ). Δεδομένου ότι τα είναι μικρά μεγέθη, τα γινόμενά τους είναι πολύ 7

73 μικρά και επομένως σε πρωτοτάξια προσέγγιση είναι δυνατό να παραληφθούν. Η γραμμικοποιημένη μορφή της εξίσωσης γίνεται τελικά: + + +... (7.7) και άρα η μετακίνηση του σημείου που μας ενδιαφέρει διέπεται σε πρώτη προσέγγιση από τη σχέση:......... (7.8) και σε διανυσματική μορφή: A (7.9) Ο πίνακας......... A είναι ο λεγόμενος Ιακωβιανός πίνακας ( Jacoba matr ) ο οποίος αντιστοιχεί στο σημείο ισορροπίας ( )...,,,. Αποτελεί το πολυδιάστατο ανάλογο της παραγώγου ( ). Ως γνωστόν, για τη μονοδιάστατη περίπτωση, το πρόσημο της παραγώγου ( ) καθορίζει αν υπάρχει ευστάθεια (αρνητικό πρόσημο σημαίνει ευστάθεια). Αυτό θα το αντιληφθείτε εύκολα παρατηρώντας ότι η εξίσωση ( ) a ( ( έχει τη λύση c e at + και επομένως, το πρόσημο του a (δηλαδή της παραγώγου της συνάρτησης ) καθορίζει αν η διαταραχή καταλήγει στο μηδέν ή στο άπειρο. Στο γραμμικοποιημένο πολυδιάστατο σύστημα, έχει ενδιαφέρον να προσδιορίσουμε τις ιδιαίτερες εκείνες διευθύνσεις, οι οποίες ορίζονται από ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο ισορροπίας (ακόμη και για ασταθή σημεία) και έχουν την ακόλουθη ιδιότητα: Aν η διαταραχή προσδιορίζει σημείο επί μιας εξ αυτών, τότε με τη ροή η μετακίνηση αυτού του σημείου παραμένει αποκλειστικά επί της ιδίας αυτής ευθείας. Δεδομένου του εκθετικού χαρακτήρα της λύσης που διέπει τη μετακίνηση του σημείου μας, τα ανωτέρω μεταφράζονται στον προσδιορισμό ενός σταθερού διανύσματος v το οποίο καθορίζει τη διεύθυνση και το οποίο πληρεί την ακόλουθη σχέση: v e λt (7.) Το διάνυσμα v με τις ιδιαίτερες αυτές ιδιότητες ονομάζεται, ως γνωστόν, ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A και η αντιστοιχούσα τιμή του εκθέτη λ ονομάζεται ιδιοτιμή ( egevalue ) του v. Ένα -διάστατο σύστημα διαθέτει ιδιοδιανύσματα ( egevectors ), v, και ιδιοτιμές, λ. Με αντικατάσταση στην (7.7) λαμβάνουμε:

λt λt λ e v A e v ή v A v λ ή ( A Ι) v λ (7.) Όπως είναι γνωστό, η ικανοποίηση της (7.), για όλα τα v, συνεπάγεται ότι η ορίζουσα του πίνακα ( A λ Ι) είναι μηδέν. Η συνθήκη αυτή προσδιορίζει τη λεγόμενη χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα, η οπoία επομένως μπορεί γενικά να επιλυθεί ώστε να προσδιοριστούν οι ιδιοτιμές λ. Ακολούθως, απ την τελευταία σχέση (7.8) υπολογίζεται το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιοτιμή. Αν τα πραγματικά μέρη όλων των ιδιοτιμών είναι αρνητικά, τότε βάσει της (7.8) η κίνηση επί της ευθείας θα είναι προς το σημείο ισορροπίας αφού το θα τείνει προς το μηδέν. Το αντίθετο θα συμβαίνει αν κάποιο πραγματικό μέρος ιδιοτιμής είναι θετικό. Παράδειγμα 7.4 Για το σύστημα του παραδείγματος 7., να εξεταστεί η ευστάθεια των σημείων ισορροπίας και να βρεθούν τα ιδιοδιανύσματα. Θέτουμε:, y Τα δεξιά μέρη είναι: 3 ( ) ( ) y, +,, y y Ο Ιακωβιανός πίνακας λαμβάνει τη μορφή: A + 3 Εξετάζουμε το σημείο ισορροπίας (, ): Δεδομένου ότι A, η χαρακτηριστική εξίσωση προκύπτει απ τη σχέση: A λ Ι που καταλήγει στην ( λ + )( λ + ). Οι ιδιοτιμές που αντιστοιχούν στο (, ) είναι: λ -, λ -, δηλαδή η μετακίνηση είναι προς το σημείο ισορροπίας το οποίο φαίνεται επομένως να «έλκει» την τροχιά. Συμπεραίνεται ότι το σημείο είναι ευσταθές. Τα αντιστοιχούντα ιδιοδιανύσματα είναι με βάση την (7.9): ( ) v Για την λ : ( ) v Άρα v και v οποιοδήποτε. ( ) v Για την λ -: ( ) v Άρα v και v οποιοδήποτε. Επομένως, τα δύο ιδιοδιανύσματα συμπίπτουν με τους κύριους άξονες. Για τα σημεία (, ) και (-, ) προκύπτει ταυτόσημος Ιακωβιανός πίνακας: + 3 A. Η χαρακτηριστική εξίσωση που προκύπτει είναι: A - λι ( λ )( λ + ) και επομένως οι ιδιοτιμές λαμβάνουν τις τιμές: λ, λ. 74

Σχήμα 7. Πορτραίτο φάσεων για το δυναμικό σύστημα του παραδείγματος 7.4. Εύκολα προκύπτει ότι αμφότερα τα σημεία είναι ασταθή: Έλκουν μεν κατά τη διεύθυνση του ενός ιδιοδιανύσματος τους, απωθούν όμως στην άλλη. Τα ιδιοδιανύσματα αυτά, εκφρασμένα στα τοπικά συστήματα συντεταγμένων με κέντρα επί των σχετικών σημείων ισορροπίας, είναι τα ακόλουθα (δες και σχήμα 7.): ( ) v Για την λ :, άρα ( ) v v και v οποιοδήποτε. () v Για την λ : () v, άρα v οποιοδήποτε και v. Στο σχήμα 7. δείχνεται το πορτραίτο φάσης που αντιστοιχεί στο ανωτέρω σύστημα. Τα παχύτερα βέλη υποδηλώνουν τις κατευθύνσεις των ιδιοδιανυσμάτων. Οι διακεκομμένες δείχνουν χαρακτηριστικές τροχιές του δυναμικού συστήματος. Ο μαύρος κύκλος υποδηλώνει σημείο ευσταθούς ισορροπίας ενώ ο λευκός κύκλος υποδηλώνει ασταθές σημείο. Παράδειγμα 7.5 Να χαραχθεί το πορτραίτο φάσεων του παρακάτω δυναμικού συστήματος (Strogat, 994): + y y 4 y (7.) Τα στάσιμα σημεία είναι τα ζεύγη λύσεων του αλγεβρικού συστήματος: + y 4 y Τα ζεύγη αυτά είναι: (, ), ( 6, 6). Εξετάζουμε την ευστάθεια του σημείου (, ): 75

λ Α λi λ + λ 6. 4 λ Οι ιδιοτιμές είναι λ, λ 3. Τα ιδιοδιανύσματα είναι, αντίστοιχα (να το επαληθεύσετε): v, v 4 Δηλαδή, στην περίπτωση αυτή, τα ιδιοδιανύσματα δεν συμπίπτουν με τους άξονες και y όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, και μάλιστα, δεν είναι καν κάθετα μεταξύ τους. Η γενική λύση στη γειτονιά του ευσταθούς σημείου ισορροπίας είναι επομένως: t t c e + c e 3 4 y (7.3) Εξετάζουμε τώρα το δεύτερο σημείο ισορροπίας, με τοπική γραμμικοποίηση και υπολογισμό της αντιστοιχούσας Ιακωβιανής Α : Α 4 6 Σχήμα 7.3 Πορτραίτο φάσεων για το σύστημα του παραδείγματος 7.5. Οι ιδιοτιμές προκύπτουν από την χαρακτηριστική εξίσωση Α λ Ι η οποία έχει τη μορφή ( λ )( λ ) + + 8. Οι ιδιοτιμές είναι συζυγείς μιγαδικές, με αρνητικό πραγματικό μέρος: 76

± ι 3 λ,. Αφού οι ιδιοτιμές είναι μιγαδικές, και τα ιδιοδιανύσματα θα εμφανίζουν μιγαδικές συντεταγμένες! Δεδομένου ότι η γενική λύση στην περιοχή του σημείου ισορροπίας είναι: v t t c λ e c λ e y + v v v (τα c, c είναι επίσης μιγαδικά) είναι φανερό ότι η λύση αυτή θα βασίζεται σε γραμμικό συνδυασμό όρων ( a± β )t e. Ως γνωστόν, από τον γνωστό τύπο του Euler, αυτοί οι όροι γράφονται επίσης ως: ( α + β ) t αt e e ( cos βt + s βt ) όπου α είναι το πραγματικό μέρος των συζυγών ιδιοτιμών και β το α t α t μιγαδικό. Από αυτό συνάγεται ότι, η λύση θα περιέχει συνδυασμό όρων e cos β t και e s β t. Δεδομένου ότι το α είναι αρνητικό, η συμπεριφορά που προκύπτει θα είναι συρρικνούμενη ταλάντωση, η οποία στο επίπεδο φάσεων θα εμφανίζεται ως σπειροειδής κίνηση προς το ευσταθές σημείο ισορροπίας (σχήμα 7.3). Άσκηση 7. Να δείξετε ότι το σύστημα του παραδείγματος 7.5 είναι, κατουσίαν, μια εξίσωση μη γραμμικού ταλαντωτή της μορφής: + 6 + (7.4) Λύση 7. + y + y, y 4 Άσκηση 7. y 4 ( ) or + 6 + Να δείξετε ότι η γραμμικοποιημένη εξίσωση γύρω από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας του συστήματος 7.5 είναι: + + 6 (7.5) Λύση 7. Η τοπική λύση αντιπροσωπεύει σπειροειδή κίνηση και δίνεται από τη σχέση: t t s γ γ e 3 t+ e cos 3 t (7.6) όπου γ, γ είναι πραγματικοί αριθμοί που καθορίζονται με βάση τις αρχικές συνθήκες 7.. Ευστάθεια περιοδικών λύσεων Ας θεωρήσουμε το παρακάτω δυναμικό σύστημα: ( ) (7.7) 77

και ας υποθέσουμε ότι έχει τη μόνιμη περιοδική απόκριση t) ( t T ) s ( s + όπου Τ είναι η περίοδος. Η συμπεριφορά στη γειτονιά της ανωτέρω μόνιμης απόκρισης μπορεί να βρεθεί με τοπική γραμμικοποίηση. Καταρχάς, μία τροχιά στη γειτονιά της s μπορεί να περιγραφεί απ το διάνυσμα: ( ; ) ( t ) t + (7.8) ; Όπου είναι κάποιο αρχικό σημείο της τροχιάς, είναι αντίστοιχο αρχικό σημείο επί της μόνιμης λύσης και είναι η απόσταση ανάμεσα στα δύο αυτά σημεία. ( t) αντιπροσωπεύει τη χρονική εξέλιξη της απόστασης.επομένως: ( t) ( t; + ) ( t ; ) (7.9) Μετά την πάροδο χρόνου μιας περιόδου, η απόσταση θα έχει γίνει (σχήμα 7.4): ( T ) ( T; + ) ( T ; ) (7.) Σχήμα 7.4 Τροχιές στη γειτονιά περιοδικού ελκυστή για δύο σημεία που αρχικά ευρίσκονταν κοντά. Με ανάπτυξη κατά Taylor, ως προς την αρχική απόσταση, και διατηρώντας μόνο το γραμμικό όρο προκύπτει: ( T; ) ( ) T (7.) ( Τ; ) Ο πίνακας ( ) Φ Τ, ο οποίος είναι φανερό πως καθορίζει αν η απόσταση θα μεγαλώσει ή θα μικρύνει μετά από παρέλευση μιας περιόδου, ονομάζεται μονοδρομικός πίνακας. Η σχέση (7.7) μπορεί να γραφεί και ως ακολούθως: ( t ; ) [ ( t )] (7.) ; 78

Με παραγώγιση ως προς προκύπτει ότι: t ( t; ) ( ) ( t ) ; (7.3) Δεδομένου ότι ( ; ) ( t; ), έπεται ότι: I. Για αρχικό σημείο κείμενο επί της μόνιμης απόκρισης, η (7.3) γράφεται ως: t ( t; ) ( ) ( t; ) (7.4) Επομένως, ο πίνακας Φ ( t) πληροί τη σχέση: Φ, Φ ( ) Ι (7.5) Φ όπου: ( ) (7.6) Ο μονοδρομικός πίνακας έχει ιδιοτιμές µ, µ,..., µ. Μία από αυτές, ας πούμε χωρίς άρση της γενικότητας η µ, είναι ίση με.. Οι λοιπές,, ιδιοτιμές, καθορίζουν την τοπική ευστάθεια του συστήματος. Η μόνιμη περιοδική απόκριση s είναι ευσταθής αν µ ι <, για όλα τα,,...,. Ενίοτε, χρησιμοποιούμε τους λεγόμενους «χαρακτηριστικούς εκθέτες» ή «εκθέτες Floquet», σ ι, οι οποίοι ορίζονται σ t από τη σχέση: µ e ι. ι Σημείωση: Η ύπαρξη μιας ιδιοτιμής ίσης με τη μονάδα δικαιολογείται ως εξής: Ας θεωρήσουμε σημείο Α επί της περιοδικής τροχιάς ( lmt-cycle ), καθώς και διαταραχή του σημείου αυτού Α, η οποία κείται επί της εφαπτομένης της τροχιάς στο σημείο Α (σχήμα 7.5). Αν η απόσταση ΑΑ ' είναι τάξης ε, η απόσταση του Α από την περιοδική τροχιά είναι τουλάχιστον ε (μπορείτε να βρείτε γιατί;). Άρα, σε πρώτη προσέγγιση, το σημείο αυτό θα κείται επίσης επί της περιοδικής τροχιάς. Αυτό σημαίνει πως, μετά την πάροδο μιας περιόδου, το σημείο Α επιστρέφει στην ίδια θέση (όπως φυσικά και το Α ) και άρα η απόσταση ΑΑ ' ούτε μεγαλώνει ούτε μικραίνει. Αυτό βεβαίως σημαίνει ότι η αντιστοιχούσα ιδιοτιμή είναι ίση με.. 79

Σχήμα 7.5 Η απόσταση σημείου επί εφαπτομένης περιοδικής τροχιάς από την περιοδική τροχιά, είναι ανώτερης τάξης από την απόσταση του ιδίου σημείου από το σημείο επαφής. 7... Εξέταση ευστάθειας με απεικόνιση Pocaré Ας θεωρήσουμε πάλι το -διάστατο δυναμικό σύστημα (7.) και ας ορίσουμε μια «τομή» του μ ένα «επίπεδο» Σ το οποίο έχει διάσταση. Το μόνο που πρέπει να προσέξουμε είναι, το Σ να κόβει πραγματικά τις τροχιές και να μη είναι παράλληλο προς κάποιες από αυτές (λέμε το επίπεδο Σ να είναι κάθετο προς τη «ροή» που δημιουργούν οι τροχιές στο χώρο φάσεων). Η απεικόνιση Pocaré είναι μια απεικόνιση από το Σ στο Σ κατά την οποία, το σημείο τομής μιας τροχιάς με το Σ απεικονίζεται στο επόμενο σημείο στο οποίο η ίδια τροχιά επανατέμνει το Σ μετά από μια ανακύκλωση (σχήμα 7.5). Επομένως, η απεικόνιση Pocaré ορίζεται ως: ( ) + P (7.7) µ µ Με την απεικόνιση Pocaré μπορούμε να μετατρέψουμε προβλήματα εξέτασης ευστάθειας περιοδικών αποκρίσεων (δηλαδή κλειστών τροχιών) σε προβλήματα εξέτασης σταθερών σημείων μιας απεικόνισης. Για παράδειγμα, στο σχήμα 7.6, μπορούμε να αποφανθούμε για την ευστάθεια της κλειστής τροχιάς εξετάζοντας την ευστάθεια του σταθερού σημείου Σ. Πράγματι, ας θεωρήσουμε αρχικό σημείο τροχιάς πάνω στο Σ και σε μικρή απόσταση από το σημείο Σ της κλειστής τροχιάς. Ας προσδιορίσουμε το σημείο αυτό ως Σ +. Μετά από μία ανακύκλωση (δηλαδή μία περίοδο) το σημείο αυτό θ απεικονιστεί στο (Seyel, ): + Σ ( ) Σ P + (7.8) Με ανάπτυξη κατά Taylor του δεξιού μέλους ως προς το και διατήρηση μόνο των πρωτοτάξεων όρων προκύπτει ότι: Σ + Σ ( ) + P P (7.9) Σ 8

Σχήμα 7.6 Επίδειξη της τομής Pocaré. όπου P είναι πίνακας (-) (-) ο οποίος είναι ουσιαστικά η γραμμικοποιημένη στην περιοχή του Σ απεικόνιση Pocaré. Δεδομένου ότι το P (7.3) Σ απεικονίζεται στον εαυτό του, θα ισχύει ( ) Σ Σ P Σ και άρα: Το αν αυξάνει ή μικραίνει η απόσταση μετά την πρώτη ανακύκλωση εξαρτάται από τις ιδιοτιμές λ του πίνακα σημείου P. Αυτό δικαιολογείται ως ακολούθως: Σ Ας εκφράσουμε την αρχική απόσταση συναρτήσει των ιδιοδιανυσμάτων Σ : Σ v του σταθερού ν v (7.3) Αντικατάσταση στην (7.3) δίνει: P Σ ν ι ι v ι ν ι ι λ v ι ι (7.3) Μετά από k ανακυκλώσεις της γραμμικοποιημένης απεικόνισης Pocaré, η (7.3) θα οδηγήσει στην παρακάτω έκφραση της απόστασης: ν k k ( λ ) v (7.33) Επομένως, αν ισχύει για όλα τα λ ότι λ <, η απόσταση θα τείνει στο μηδέν και το σταθερό σημείο επί του Σ θα είναι ευσταθές. Άρα, η κλειστή τροχιά θα είναι ευσταθής, αν και μόνο αν, λ < για όλα τα,,...,. Τα λ ονομάζονται χαρακτηριστικοί πολλαπλασιαστές ή πολλαπλασιαστές Floquet. Εν γένει, προσδιορίζονται με αριθμητικές μεθόδους και σπανιότερα αναλυτικά. Παράδειγμα 7.6 8

Δυναμικό σύστημα περιγράφεται, σε πολικές συντεταγμένες, από τo παρακάτω ζεύγος διαφορικών εξισώσεων: θ ( ) r r r (7.34) Να αποδειχθεί ότι το σύστημα διαθέτει μια μοναδική κλειστή τροχιά και να εξεταστεί η ευστάθειά της. Θα βρούμε, καταρχάς, τη μαθηματική έκφραση κατάλληλης απεικόνισης Pocaré του ανωτέρω συστήματος: Ας θεωρήσουμε κάποιο σημείο, r, τομής μιας τροχιάς του συστήματος με το επίπεδο Σ το οποίο κόβει εγκαρσίως τη ροή. Μετά από μία ανακύκλωση ( θ π ), το σημείο αυτό θα απεικονιστεί στο σημείο r, το οποίο προσδιορίζεται μετά από επεξεργασία της διαφορικής εξίσωσης ως προς r: r r ( r ) t (7.35) ή r r r Οπότε, r ( r ) π 4π + e π θ (7.36) e r (7.37) r Άρα, η απεικόνιση Pocaré έχει τη μορφή: ( r) π e P (7.38) 4π + e r Σταθερό σημείο της ανωτέρω υπάρχει εκεί όπου: ( ) r P r (7.39) ή e 4π 4π ( e ) r (7.4). Άρα: r (7.4) Γραμμικοποιούμε στη γειτονιά του σημείου r : 8

Θέτοντας προς r γίνεται: ( + ) ( ) r +, όπου το είναι απειροστή ποσότητα, πρoκύπτει ότι η διαφορική εξίσωση ως [ ] r + (7.4) Παραλείποντας τους όρους ανωτέρας τάξεως παίρνουμε τελικά: (7.43) και τελικά, η τοπική λύση είναι: t ( t) e (7.44) Επομένως, η πρώτη τομή του επιπέδου Σ, μετά από χρονικό διάστημα t π (αυτό το χρονικό διάστημα προκύπτει γιατί η φάση και ο χρόνος είναι εδώ ανάλογα καθώς θ t θ + θ ) θα δώσει την απόσταση 4π 4π e. Επομένως, ο χαρακτηριστικός πολλαπλασιαστής θα είναι e. Δεδομένου ότι.87 < συνάγεται ότι η μόνιμη περιοδική απόκριση είναι τελικά ευσταθής. Βιβλιογραφία/Αναφορές Acheso, D. (997) From calculus to chaos, Oor Uversty Press, ISBN -9-8557. Seyel, R. () Practcal burcato a stablty aalyss, 3 r eto, Sprger, ISBN 978--449-739-3. Strogat, S.H (994) Nolear yamcs a chaos, wth applcatos to physcs, bology, chemstry a egeerg, Perseus Books, ISBN --54344-3 4π e 83