Απλή Αρµονική Ταλάντωση και Αρµονική Ταλάντωση Παρακολουθώντας τη συζήτηση που διεξάγεται όλες αυτές τις ηµέρες νοµίζω ότι φθάσαµε σε κάποια συµπεράσµατα πολύ σηµαντικά και αρκετά πιο πέρα από τις αρχικές τουλάχιστον εκτιµήσεις. Θα προσπαθήσω να συνοψίσω κάποια από αυτά θέλοντας να κωδικοποιήσω, κυρίως για µένα, κάποια ιδιαίτερα σηµαντικά στοιχεία. Ταυτόχρονα θα διατυπώσω κάποιες ενστάσεις σε θέσεις φίλων και συναδέλφων. Α) Ξεκινώ από το βασικό συµπέρασµα: Ο ορισµός της ΑΑΤ µέσω της εξίσωσης χ=αηµ(ωt+φ) είναι λανθασµένος, αφού µε την ίδια εξίσωση περιγράφονται και άλλες κινήσεις που δεν έχουν τα χαρακτηριστικά της ΑΑΤ. Κίνηση µε εξίσωση χ=αηµ(ωt+φ) µπορούν να εκτελούν: i) Ο απλός αρµονικός ταλαντωτής. ii) iii) iv) Ο εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής µε απόσβεση στη µόνιµη κατάσταση και ανεξάρτητα από τις αρχικές συνθήκες που του επιβλήθηκαν. Ο εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής µε απόσβεση ευθύς εξαρχής µόλις του επιβληθούν κατάλληλες αρχικές συνθήκες. Ο εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση µε κατάλληλες όµως αρχικές συνθήκες. Προσωπικά αντί του όρου Απλή Αρµονική Ταλάντωση, θα προτιµούσα το χαρακτηρισµό Ελεύθερη Αρµονική Ταλάντωση χωρίς απόσβεση για τους λόγους που έχω αναφέρει σε προηγούµενη ανάρτησή µου. Τι νέο, τουλάχιστον για µένα, προέκυψε από την εξέλιξη της συζήτησης; Κάθε κίνηση που υπακούει στην εξίσωση χ=αηµ(ωt+φ) είναι αρµονική ταλάντωση αλλά όχι απαραίτητα Απλή Αρµονική Ταλάντωση (ΑΑΤ). Όπως µας ανέφερε πειστικότατα ο Διονύσης και µέσω του ΙP, µόνο οι κινήσεις που προκύπτουν από συνισταµένη δύναµη ΣF=-Dx έχουν τα χαρακτηριστικά της ΑΑΤ, δηλαδή µόνο για αυτές ορίζεται η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης και η ολική διατηρείται σταθερή. Στο σηµείο αυτό θέλω να συνοψίσω ότι:
Σε µια αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση χ=αηµ(ωt+φ) για την οποία δε γνωρίζουµε αν προκύπτει από συνισταµένη δύναµη ΣF=-Dx, συνεπώς δε µπορούµε να ξέρουµε αν είναι αρµονική, δε δικαιούµαστε να χρησιµοποιούµε : ) Τη σταθερά επαναφοράς D, µέγεθος συνδεδεµένο µε τη συνισταµένη δύναµη ΣF=-Dx ) Την αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης, αφού σε αρµονικές ταλαντώσεις που προέρχονται από χρονο-εξαρτώµενες δυνάµεις η διατήρηση της ενέργειας του ταλαντωτή δεν έχει νόηµα. Σε αρµονικές ταλαντώσεις από χρονο-εξαρτώµενες δυνάµεις, ο ταλαντωτής έχει µόνο κινητική ενέργεια, αφού η du δυναµική προκύπτει από χωρο-εξαρτώµενη δύναµη ( F = ) dx Αλήθεια πως µας φαίνεται η ιδέα, σε µια αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση χ=αηµ(ωt+φ), στην ακρότατη θέση της τροχιάς x=± A, η ενέργεια του ταλαντωτή να µηδενίζεται; Αφού στην ακρότατη µηδενίζεται η ταχύτητα, προφανώς θα µηδενίζεται και η κινητική του ενέργεια, άρα θα µηδενίζεται η ενέργεια του ταλαντωτή. Β) Πρέπει να γίνει σαφές ότι κίνηση µε εξίσωση χ=αηµ(ωt+φ) η οποία προέρχεται από χρονο-εξαρτώµενη δύναµη και κίνηση µε εξίσωση χ=αηµ(ωt+φ) η οποία προέρχεται από χωρο-εξαρτώµενη δύναµη ΣF=-Dx είναι διαφορετικές κινήσεις σε πολύ βασικές έννοιες όπως η ενέργεια που τις χαρακτηρίζει. Τι και αν έχουν ίδιες εξισώσεις χ=αηµ(ωt+φ) και υ=ωασυν(ωt+φ)..η κίνηση είναι το αποτέλεσµα, η αιτία όµως που την προκαλεί είναι διαφορετική, άρα της προσδίδει διαφορετικές ιδιότητες. Η ταύτιση δύο κινήσεων απλά και µόνο από την εξίσωση που τις περιγράφει, τουλάχιστον είναι ελλιπές συµπέρασµα. Ας µου επιτραπεί ένα παράδειγµα ίσως όχι άµεσα συνδεδεµένο µε τη Φυσική: Οι παιδίατροι λένε: «Δεν έχει σηµασία ο πυρετός, σηµασία έχει η αιτία που τον προκαλεί.» Γ) Πολύς λόγος έγινε για την κινηµατική προσέγγιση µιας κίνησης. Θεωρώ αυτονόητο ότι κάθε τι έχει την αξία του στο µέτρο των απαιτήσεων που θέτεις. Σε επίπεδο εισαγωγής στις κινήσεις, δηλαδή σε επίπεδο της Α Λυκείου, η κινηµατική προσέγγιση προφανώς και έχει αξία. Σε επίπεδο όµως µελέτης µιας πιο ιδιαίτερης κίνησης, η δυνατότητα κατανόησης µπορεί να προκύψει µόνο από τη δυναµική µελέτη της κίνησης. Πρέπει να µάθουµε τα παιδιά να συνδέουν την κίνηση µε την αιτία που την προκαλεί. Δυστυχώς κάτι τέτοιο δεν το πετυχαίνουµε σε ικανοποιητικό βαθµό µε αποτέλεσµα σε κάποιες πιο ειδικές, αλλά απαραίτητες κινήσεις, να ακούµε τραγελαφικά. Αναφέρω απλά παραδείγµατα γνωστά σε όλους: ) Φορτισµένο σωµατίδιο κινείται υπό την επίδραση της απωστικής δύναµης που δέχεται από άλλο ακλόνητο οµώνυµα φορτισµένο σωµατίδιο. Σύµφωνα µε την συντριπτική πλειοψηφία των µαθητών, καθώς αποµακρύνεται εκτελεί επιβραδυνόµενη
κίνηση..αφού διαθέσεις µια ώρα για να τους εξηγήσεις υπό ποια προϋπόθεση η κίνηση είναι επιταχυνόµενη και ότι υπάρχει επιταχυνόµενη µη οµαλά κίνηση, που στην προκειµένη περίπτωση είναι επιταχυνόµενη µε επιτάχυνση που διαρκώς ελαττώνεται µέχρι να µηδενιστεί και να αποκτήσει το σωµατίδιο µέγιστη ταχύτητα, κάνεις το ατόπηµα να ρωτήσεις: Γιατί η πιο πάνω κίνηση είναι επιταχυνόµενη; Οπότε λαµβάνεις την απάντηση: Διότι αυξάνεται η ταχύτητά του Δηλαδή το αποτέλεσµα στο µυαλό των µαθητών λειτουργεί ως αιτία. Φταίνε οι µαθητές; Φταις εσύ που δεν τα διδάσκεις σωστά; Μήπως είναι τόσο δύσκολο; Τα παιδιά τελειώνουν την Α Λυκείου, χωρίς να µάθουν να συνδέουν την αιτία, δηλαδή τη δύναµη, µε το αποτέλεσµα, δηλαδή την κίνηση. Στο Γυµνάσιο και στο βωµό του να κάνουµε τη Φυσική προσιτή, άρα αγαπητή στο σύνολο των µαθητών, δε διδάσκεται πλέον ο ος Νόµος του Νεύτωνα. Στην Α Λυκείου διδάσκουµε αποσπασµατικά, δε φτάνουν οι ώρες Φυσικής για να συνδέσουµε έννοιες, όπως αιτία της κίνησης, αποτέλεσµα δηλαδή είδος κίνησης και ενεργειακή προσέγγιση της κίνησης. Ρωτάς τους µαθητές: Πότε εφαρµόζεις την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας; Σου απαντούν: Όταν το άθροισµα κινητικής και δυναµικής παραµένει σταθερό. Πότε εφαρµόζεις την Αρχή Διατήρησης της Ορµής; Όταν το άθροισµα των ορµών των σωµάτων του συστήµατος παραµένει σταθερό. Για άλλη µια φορά το αποτέλεσµα στο µυαλό των µαθητών λειτουργεί ως αιτία. Πιστεύω ότι η συνεχής εκµάθηση ασκήσεων µε τυποποιηµένους, άρα απλουστευµένους τρόπους, δεν καθιστά τους µαθητές ικανούς να γνωρίζουν τις προϋποθέσεις για να ισχύει αυτό που χρησιµοποιούν. Πόσοι µαθητές σε ασκήσεις Η/Μ επαγωγής είναι σε θέση να περιγράψουν το είδος της κίνησης που εκτελεί η ράβδος; Αλλά και πόσοι από εµάς επιµένουµε να κατανοήσουν το είδος της κίνησης; Μήπως προτιµάµε συνταγές όπως: «αποκτά οριακή ταχύτητα όταν µηδενίζεται η συνισταµένη δύναµη, πάµε να τη βρούµε». Δοκιµάστε να δώσετε παραλλαγή της κλασικής εκδοχής, όπου η ράβδος εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα κάτω µε τέτοια αρχική ταχύτητα ώστε FL ( o) > mg και ρωτήστε: προς τα που θα κινηθεί η ράβδος; Οι περισσότεροι θα απαντήσουν αβίαστα προς τα πάνω Αφού τους εξηγήσετε ότι το σώµα κινείται στη φορά της αρχικής ταχύτητας και όχι της συνισταµένης δύναµης, ρωτήστε το είδος της κίνησης που εκτελεί. Αν στο προηγούµενο µάθηµα τους έχετε εξηγήσει το είδος της κίνησης µέχρι να αποκτήσει οριακή ταχύτητα στην κλασική εκδοχή που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί κατακόρυφα ξεκινώντας από την ηρεµία, όλο χαρά θα σας απαντήσουν: επιταχυνόµενη µε ελαττούµενη επιτάχυνση.(προφανώς στη συγκεκριµένη περίπτωση, εκτελεί επιβραδυνόµενη αφού η συνισταµένη δύναµη είναι αντίρροπη της κίνησης) 3
Λέω και πάλι, θεωρώ σηµαντικότατο, να µάθει ο µαθητής να περιγράφει την κίνηση από τα αίτια που την προκαλούν. Τουλάχιστον, τελειώνοντας το σχολείο, να έχουν µάθει ότι κάθε αποτέλεσµα, οφείλεται σε µια αιτία. Να έχουν µάθει, ότι διαφορετικές αιτίες προκαλούν διαφορετικά αποτελέσµατα. Ίδιο αποτέλεσµα από διαφορετικές αιτίες είναι κάτι, που τουλάχιστον στην κλασική Φυσική που καλούµαστε να διδάξουµε, δε το συναντάµε. Η θεωρεία του χάους µπορεί να περιµένει Δ) Σε πόσο σηµαντικά λάθη µπορεί όµως να µας οδηγήσει ένας λανθασµένος ορισµός; Οµολογώ ότι στην αρχή της συζήτησης δεν το είχα συνειδητοποιήσει Η παρέµβαση του Διονύση και του Γιάννη του Κυριακόπουλου µε βοήθησαν να δω πράγµατα που ήταν µπροστά µου για χρόνια αλλά δεν τα έβλεπα. Ας επιχειρήσουµε λοιπόν να απαντήσουµε σε µερικές ερωτήσεις που αφορούν το παραπάνω σύστηµα σωµάτων. ) Το σύστηµα των δύο σωµάτων τι είδους κίνηση εκτελεί, αν το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο και το πάνω σώµα m δεν ολισθαίνει σε σχέση µε το κάτω m ; Το σύστηµα των δύο σωµάτων εκτελεί Απλή Αρµονική Ταλάντωση υπό την επίδραση της χωρο-εξαρτώµενης δύναµης του ιδανικού ελατηρίου. Αν ονοµάσουµε T τη στατική τριβή που δέχεται το πάνω σώµα m από το κάτω m και T τη στατική τριβή που δέχεται το κάτω σώµα m από το πάνω m, όπου T = T, για το σύστηµα των δύο σωµάτων ισχύει: Σ F = Fελ + T + T = Fελ = kx Άρα το σύστηµα των δύο σωµάτων εκτελεί Απλή Αρµονική Ταλάντωση µε: D= k = ( m + m ) ω 4
Από την πιο πάνω σχέση υπολογίζουµε την κυκλική συχνότητα : ω= k m + m Προσοχή: Η συνισταµένη δύναµη στο σύστηµα m + m η ΣF= Dx είναι χωροεξαρτώµενη δύναµη από τη φύση των πραµάτων και όχι από µια µαθηµατική αντικατάσταση. ) Το κάθε σώµα χωριστά τι κίνηση εκτελεί; Το πάνω σώµα m όσο χρόνο είναι ακίνητο σε σχέση µε το κάτω, εκτελεί κίνηση της µορφής χ=αηµ(ωt+φ), η οποία όµως δεν προκύπτει από χωρο-εξαρτώµενη δύναµη, άρα δεν πληροί τις προϋποθέσεις για να εκτελεί ΑΑΤ, ούτε έχει τα χαρακτηριστικά αυτής. Το πάνω σώµα m όσο χρόνο είναι ακίνητο σε σχέση µε το κάτω, εκτελεί κίνηση της µορφής χ=αηµ(ωt+φ), η οποία προκύπτει από χρονο-εξαρτώµενη δύναµη, που δεν είναι άλλη από τη στατική τριβή T, συνεπώς εκτελεί αρµονική ταλάντωση, όχι όµως ΑΑΤ. Για να εκτελεί το πάνω σώµα m ΑΑΤ όσο χρόνο είναι ακίνητο σε σχέση µε το κάτω, θα έπρεπε η στατική τριβή που είναι υπεύθυνη για την κίνησή του να συνδεθεί µε δυναµική ενέργεια, δηλαδή ούτε λίγο ούτε πολύ να συµπεριφέρεται ως συντηρητική. Το κάτω σώµα m όσο χρόνο είναι σε επαφή µε το m οπότε δέχεται τη δύναµη T, όπου T = T, εκτελεί κίνηση της µορφής χ=αηµ(ωt+φ), η οποία όµως δεν πληροί τις προϋποθέσεις για να εκτελεί ΑΑΤ, ούτε έχει τα χαρακτηριστικά αυτής. Το κάτω σώµα m όσο χρόνο είναι σε επαφή µε το m εκτελεί αρµονική ταλάντωση, όχι όµως ΑΑΤ. Τα δύο σώµατα µαζί, ως σύστηµα ακολουθούνε την κίνηση και συµµετέχουν στα χαρακτηριστικά της ΑΑΤ µόνο δηµιουργώντας µια µεγαλύτερη συνολική µάζα συστήµατος. Ξεχωριστά το καθένα δεν εκτελεί ΑΑΤ, αλλά µαζί ως σύστηµα, ναι. Αν γίνει µια κρούση και φύγει το πάνω σώµα m, τότε µόλις το κάτω m µείνει µόνο του και πάψει να δέχεται την T, υπό την επίδραση της δύναµης του ελατηρίου, δύναµης χωρο-εξαρτώµενης, αρχίζει να εκτελεί ΑΑΤ µε D= k, ίδια θέση ισορροπίας µε την ΑΑΤ του συστήµατος (ή τη Θ.Ι της δικής του αρµονικής ταλάντωσης), αλλά µε διαφορετική κυκλική συχνότητα από την αντίστοιχη της ΑΑΤ του συστήµατος, αφού: D k m = = ω ' ω ' = k m 3) Ποιες είναι οι σταθερές D και D για την ταλάντωση που εκτελεί το κάθε σώµα; Θυµίζω που έχει καταλήξει η συζήτηση µέχρι τώρα: 5
Σε µια αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση χ=αηµ(ωt+φ) για την οποία γνωρίζουµε ότι δεν έχει προκύψει από χωρο-εξαρτώµενη δύναµη καθώς και σε µια αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση χ=αηµ(ωt+φ) για την οποία δε γνωρίζουµε αν προκύπτει από συνισταµένη χωρο-εξαρτώµενη δύναµη ΣF=-Dx και κατά συνέπεια δε µπορούµε να ξέρουµε αν είναι απλή αρµονική, δε δικαιούµαστε να χρησιµοποιούµε : Τη σταθερά επαναφοράς D, µέγεθος συνδεδεµένο µε χωρο-εξαρτώµενη συνισταµένη δύναµη ΣF=-Dx Στο παραπάνω παράδειγµα µε τα δύο σώµατα το ένα πάνω στο άλλο, είµαστε σε θέση να γνωρίζουµε ότι η κίνησή τους αν θεωρηθούν ξεχωριστά το ένα από το άλλο, οφείλεται αποκλειστικά σε στατική τριβή για το πάνω σώµα m και εν µέρει σε στατική τριβή για το κάτω m. Άρα είναι λάθος να αποδώσουµε στο κάθε σώµα ξεχωριστά σταθερά επαναφοράς, αφού η κίνηση του κάθε σώµατος ξεχωριστά δεν οφείλεται σε συνισταµένη χωρο-εξαρτώµενη δύναµη. Από πού δηµιουργείται αυτό το λάθος;;; Μα προφανώς από το λανθασµένο ορισµό της ΑΑΤ, ως της κίνησης που η αποµάκρυνση δίνεται από τη σχέση χ=αηµ(ωt+φ) και µόνο δηλαδή από τον κινηµατικό ορισµό της ΑΑΤ που έχουµε τόσο στο βιβλίο κατεύθυνσης της Γ Λυκείου, όσο και στο βιβλίο Γενικής Παιδείας της Β Λυκείου. Κάποιος θα πει: Ναι αλλά τα σχολικά δεν έχουν άσκηση που ζητάει κάτι τέτοιο, οπότε. Μπορεί τα σχολικά να µην έχουν τέτοια άσκηση, έχουν όµως όλα τα υπόλοιπα. Κάθε βιβλίο συλλογής ασκήσεων, που σέβεται τον εαυτό του, φρόντισε να έχει τουλάχιστον µια τέτοια άσκηση. Από πότε όλα τα βοηθήµατα Φυσικής έχουν τουλάχιστον µια τέτοια άσκηση; Μετά το 00. Η απάντηση βρίσκεται στο 4ο θέµα των εξετάσεων αποφοίτων µε δέσµες, τελευταία χρονιά για τις δέσµες το 00. Θέµα 4ο (00) Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωµένο σε οριζόντιο επίπεδο. Στο άλλο άκρο του συνδέεται σταθερά σώµα Α µάζας Μ=3kg. Πάνω στο σώµα Α είναι τοποθετηµένο σώµα Β µάζας m=kg και το σύστηµα ισορροπεί µε το ελατήριο συσπειρωµένο από το φυσικό του µήκος κατά y =0,4m. Στη συνέχεια εκτρέπουµε το 6
σύστηµα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y =0,8m από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουµε ελεύθερο τη χρονική στιγµή t=0. α. Να υπολογίσετε την κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης του συστήµατος και τη σταθερά επαναφοράς D κάθε µιας µάζας ξεχωριστά. β. Να δείξετε ότι το σώµα Β θα εγκαταλείψει το σώµα Α και να βρείτε τη θέση και την ταχύτητα του τότε. Δίνεται g=0m/s. Τα συµπεράσµατα δικά σας Υ.Γ: Η αναζήτηση λαθών καθώς και των αιτίων που τα προκαλούν, δεν αποτελεί µοµφή προς τους συγγραφείς των βιβλίων, αφού τα ίδια λάθη έχουµε κάνει οι περισσότεροι από εµάς στη διδασκαλία µας. Η αναζήτηση αποτελεί προσπάθεια αυτά τα λάθη να µη ξαναγίνουν. Ας διδάξουµε την ύλη που µας καθορίζουν, όσο πιο κοντά στην αλήθεια γίνεται. Ας εφοδιάσουµε, στο µέτρο που ο καθένας µπορεί, τους µαθητές µας µε κριτική σκέψη, δοµηµένη σε σωστούς ορισµούς. Έχω ξαναγράψει: Δε νιώθω ευθύνη για λάθη που έκανα σε θέµατα που δε γνώριζα, αφού..τα διδάχθηκα και εγώ λάθος. Δε µπορώ όµως να σφυρίζω αδιάφορα, όταν κάποιος µου υποδεικνύει τα λάθη και µου δείχνει τον τρόπο να γίνω καλύτερος δάσκαλος Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gmail.com 7