A A N A B P Y T A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Σωλήνας U Γ U= B Θ.Ι. B Κατακόρυφος ισοπαχής σωλήνας σχήματος U περιέχει ιδανικό υγρό, δηλαδή, υγρό που σε κάθε επιφάνεια ασκεί δυνάμεις κάθετες στην επιφάνεια. Όταν το υγρό ισορροπεί η ελεύθερη επιφάνειά του είναι οριζόντια και στο ίδιο ύψος. Τη χρονική στιγμή t πιέζουμε το υγρό στο αριστερό σκέλος του σωλήνα, κατά μήκος A, και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Από την εμπειρία μας περιμένουμε μια ταλαντωτική κίνηση του υγρού και θα αποδείξουμε ότι αυτή είναι απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος A. Όλα τα μόρια του υγρού έχουν την ίδια ταχύτητα, οπότε η κινητική του ενέργεια είναι: K S Εξ.() όπου είναι η πυκνότητα του υγρού, S είναι η διατομή του σωλήνα και είναι το μήκος του υγρού. Αν U είναι η βαρυτική δυναμική ενέργεια του υγρού όταν αυτό ισορροπεί τότε η βαρυτική δυναμική ενέργεια σε μια τυχαία θέση,, είναι: U U S U S Εξ.() Οπότε, η δυναμική ενέργεια αντιστοιχεί σε δυναμική ενέργεια αρμονικού ταλαντωτή με μάζα και σταθερή επαναφοράς, αντίστοιχα: M S D S που δημιουργούν ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα Εξ.(3). Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Δεκέμβριος 5
Δυναμική στο σύστημα του υγρού Έστω το σύστημα του υγρού με μάζα M S. Οι εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα του υγρού που δεν είναι κάθετες στον άξονά του, έχουν συνισταμένη ίση με: W S, το βάρος της σκιασμένης στήλης. Γ U= B Θ.Ι. B Δ W Από το ο νόμο του Newton για το σύστημα του υγρού: S a S a με Καθώς το υγρό ταλαντώνεται, δε βρίσκεται σε υδροστατική ισορροπία οπότε δεν ισχύει ότι B στο ίδιο ύψος έχουμε την ίδια πίεση: Η ταλάντωση δεν αποτελεί παράδειγμα σταθερής ροής (stead flow) οπότε δεν ισχύει και η εξίσωση του Bernoulli: B hb h Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Δεκέμβριος 5
Η πίεση κατά μήκος του υγρού + π+h= h θ π+h Στο σχήμα βλέπουμε το υγρό σε κάποια τυχαία θέση, με απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του. Το μήκος του υγρού είναι. Θέτοντας το στη θέση ισορροπίας του υγρού και στο αριστερό σκέλος του σωλήνα, τη συγκεκριμένη στιγμή, το υγρό καταλαμβάνει χώρο μέσα στο σωλήνα από τη θέση έως και τη θέση. Κάθε μικρό κομμάτι υγρού, μήκους dl και μάζας dm Sdl, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση dm Sdl. με γωνιακή συχνότητα : F Έστω ένα μικρό κομμάτι υγρού στο αριστερό ευθύ σκέλος του σωλήνα, σε κάποια θέση μεταξύ και h. Τότε: F dm S S dl Εξ.() Sdl Έστω ένα μικρό κομμάτι υγρού στο δεξί ευθύ σκέλος του σωλήνα, σε κάποια θέση μεταξύ h και. Τότε: F dm S dl Εξ.(5) Sdl S Τέλος, έστω ένα μικρό κομμάτι υγρού στο καμπύλο μέλος του σωλήνα, στη γωνιακή θέση. Τότε: F dm S S Sdl dl Εξ.(6) Έτσι, στο αριστερό σκέλος του σωλήνα, στο πάνω μέρος η πίεση ισούται με την ατμοσφαιρική και αυξάνεται καθώς κατεβαίνουμε προς τα κάτω. Το ίδιο γίνεται και στο δεξί σκέλος του σωλήνα. Μέγιστη πίεση έχουμε στη βάση του σωλήνα και σε θέση που η γωνία είναι τέτοια ώστε: Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Δεκέμβριος 5 3
Τώρα που καταλάβαμε πώς έχουν τα πράγματα θα προσπαθήσουμε να ολοκληρώσουμε τη μαθηματική περιγραφή μεταφέροντας το μηδέν του άξονα στην κορυφή του σωλήνα: π/ - / π / -/ /+ -/+ θ -φ φ Για τις μεταβολές στην πίεση, αφού και, ξαναγράφουμε σε συνάρτηση με την τεταγμένη : dl dl dl,,, Εξ.(7) Ολοκληρώνοντας τις Εξ.(7), για την πίεση έχουμε: Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Δεκέμβριος 5
Από τους άπειρους συνδυασμούς διαστάσεων του σωλήνα θα επιλέξουμε ενδεικτικά ένα, πχ. Θα ορίσουμε νέες αδιάστατες μεταβλητές μήκους: και Η ατμοσφαιρική πίεση είναι μια προσθετική σταθερή που δεν επηρεάζει την ταλάντωση του υγρού και έτσι, αντί της συνολικής πίεσης αρκεί να μελετήσουμε τη συμπεριφορά μόνο της υδροστατικής πίεσης:. Σε κατάσταση ισορροπίας του υγρού,, η μέγιστη πίεση εμφανίζεται στην κορυφή του σωλήνα,. Δηλαδή, ma. Για να απαλλαχτούμε από σταθερές όπως η πυκνότητα του υγρού και η επιτάχυνση της βαρύτητας, προτείνουμε να μελετήσουμε τη νορμαλισμένη ποσότητα: ma Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Δεκέμβριος 5 5
Διάγραμμα της υδροστατικής πίεσης μέσα στο υγρό κατά μήκος του σωλήνα, για διάφορες απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας. Σημειώστε ότι η μέγιστη υδροστατική πίεση ελαττώνεται καθώς αυξάνεται η απομάκρυνση. Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Δεκέμβριος 5 6