Ιδιότητες σφαιρικών πυρήνων στα πλαίσια της σχετικιστικής θεωρίας µέσου πεδίου.

Τµήµα ϕυσικής Αριστοτελείου πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης Ιδιότητες σφαιρικών πυρήνων στα πλαίσια της σχετικιστικής θεωρίας µέσου πεδίου. Θωµάς Πριµίδης Α.Ε.Μ.: 13565 Υπό την επίβλεψη του καθηγητή Γεωργίου Λαλαζήση Η ϑεωρία µέσου πεδίου(mean field theory) χρησιµοποιείται για τη µικροσκοπική περιγραφή των ιδιοτήτων ϐασικής κατάστασης πεπερασµένων πυρήνων σε όλο το εύρος του περιοδικού πίνακα[1]. Κάποιος µπορεί να διαλέξει µεταξύ της σχετικιστικής και της µη σχετικιστικής ϑεωρίας για να απαντήσει σε ερωτήµατα που αφορούν πολλές από τις ιδιότητες της πυρηνικής ύλης. Στην εργασία αυτή ϑα αναπαράγουµε τα αποτελέσµατα της σχετικιστικής ϑεωρίας µέσου πεδίου για τέσσερις ισοτοπικές αλυσίδες σφαιρικών, άρτιων-άρτιων πυρήνων: Ασβέστιο (Ca) Α=3-90, Οξυγόνο (O) Α=10-5, Κασσίτερος (Sn) Α=98-170 και Μόλυβδος (Pb) Α=190-50 Θα χρησιµοποιήσουµε τις τρεις δυνάµεις NL1, NL3 και NL-SH που εµφανίζονται στην ϐιβλιογραφία και η µέθοδος που χρησιµοποιούµε είναι η έκφραση της εξίσωσης Dirac σε πεπερασµένο ανάπτυγµα ιδιοκαταστάσεων αρµονικού ταλαντωτή. Relativistic mean field theory is used to describe the ground state properties of finite nuclei over the entire range of the periodic table. Both relativistic and non relativistic mean field theories can be used to answer questions about many of the properties of nuclear matter. In this paper we will produce the results of the relativistic mean field theory for four isotopic chains of spherical, even even nuclei: Calcium (Ca) A=3-90, Oxygen (O) A=10-5, Tin (Sn) A=98-170 and Lead (Pb) A=190-50. The calculations are carried out for three different sets of parameters taken from the literature, NL1, NL3 and NLSH and the method of solving is the expansion of the dirac equation in a finite set of eigenstates of the harmonic oscillator. 1

3 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Περιεχόµενα Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 5 Σχετικιστική θεωρία µέσου πεδίου 5 3 Συµµετρίες του προβλήµατος 8 4 Λεπτοµέρειες των υπολογισµών 10 5 Συσχετίσεις ζεύγους 1 6 Παράµετροι, σταθερές και διαστάσεις. 14 7 Αποτελέσµατα 15 7.1 Ασϐέστιο............................................ 15 7. Οξυγόνο............................................ 4 7.3 Κασσίτερος.......................................... 31 7.4 Μόλυβδος........................................... 40 8 Συµπεράσµατα 48 References 49 Κατάλογος Πινάκων 6.1 Οµάδες παραµέτρων της εξίσωσης Lagrange........................ 14 7.1 Αποτελέσµατα ασϐεστίου µε τη δύναµη NL1.......................... 0 7. Αποτελέσµατα ασϐεστίου µε τη δύναµη NL3.......................... 1 7.3 Αποτελέσµατα ασϐεστίου µε τη δύναµη NLSH......................... 7.4 Αποτελέσµατα οξυγόνου µε τη δύναµη NL1.......................... 9 7.5 Αποτελέσµατα οξυγόνου µε τη δύναµη NL3.......................... 9 7.6 Αποτελέσµατα οξυγόνου µε τη δύναµη NLSH......................... 30 7.7 Αποτελέσµατα κασσίτερου µε τη δύναµη NL1......................... 36 7.8 Αποτελέσµατα κασσίτερου µε τη δύναµη NL3......................... 37 7.9 Αποτελέσµατα κασσίτερου µε τη δύναµη NLSH........................ 38 7.10 Αποτελέσµατα µόλυβδου µε τη δύναµη NL1.......................... 45 7.11 Αποτελέσµατα µόλυβδου µε τη δύναµη NL3.......................... 46 7.1 Αποτελέσµατα µόλυβδου µε τη δύναµη NLSH......................... 47 Κατάλογος Σχηµάτων 7.1.1 Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο των ισοτόπων ασϐεστίου................ 15 7.1. Ακτίνα πρωτονίων και νετρονίων σύµφωνα µε τις οµάδες παραµέτρων NL1, NL3 και NLSH αντίστοιχα............................................ 16 7.1.3 Νετρονική επιδερµίδα των ισοτόπων ασϐεστίου........................ 17 7.1.4 Ενέργεια σύζευξης νετρονίων στα ισότοπα ασϐεστίου για κάθε οµάδα παραµέτρων.... 18 7.1.5 Ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων για την ισοτοπική αλυσίδα του Ασϐεστίου.... 19 7.1.6 ιανυσµατική πυκνότητα νετρονίων για ισότοπα του ασϐεστίου. Το ισότοπο Α=34 έχει σχεδόν υποδιπλάσια πυκνότητα στο κέντρο του από τα υπόλοιπα και ο διπλά µαγικός πυρήνας Α=48 εµφανίζει ένα σηµείο καµπής κοντά στα fm. Ο διπλά µαγικός Α=40 έχει τη µεγαλύτερη πυκνότητα στο κέντρο του.................................... 3 7..1 Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο των ισοτόπων οξυγόνου................ 4

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 4 7.. Ακτίνα πρωτονίων και νετρονίων σύµφωνα µε τις οµάδες παραµέτρων NL1, NL3 και NLSH αντίστοιχα............................................ 5 7..3 Νετρονική επιδερµίδα των ισοτόπων οξυγόνου........................ 6 7..4 Ενέργεια σύζευξης νετρονίων στα ισότοπα οξυγόνου για κάθε οµάδα παραµέτρων.... 7 7..5 Ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων για την ισοτοπική αλυσίδα του Οξυγόνου.... 8 7..6 ιανυσµατική πυκνότητα νετρονίων για ισότοπα του οξυγόνου. Παρατηρείστε την υποδιπλάσια πυκνότητα του διπλά µαγικού Α=10 και το µέγιστο των πυρήνων κοντά στην γραµµή κόρου Ϲεύγους νετρονίων, Α=0-.............................. 30 7.3.1 Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο των ισοτόπων κασσίτερου............... 31 7.3. Ακτίνα πρωτονίων και νετρονίων σύµφωνα µε τις οµάδες παραµέτρων NL1, NL3 και NLSH αντίστοιχα............................................ 3 7.3.3 Νετρονική επιδερµίδα των ισοτόπων κασσίτερου....................... 33 7.3.4 Ενέργεια σύζευξης νετρονίων στα ισότοπα κασσίτερου για κάθε οµάδα παραµέτρων... 34 7.3.5 Ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων για την ισοτοπική αλυσίδα του Κασσίτερου... 35 7.3.6 ιανυσµατική πυκνότητα νετρονίων για ισότοπα του κασσίτερου. Ο διπλά µαγικός πυρήνας Α=100 ξεκινάει από χαµηλές τιµές και έχει ένα ελάχιστο πυκνότητας κοντά στα.5 fm ενώ ο διπλά µαγικός Α=13 ξεκινάει από υψηλότερες και έχει ένα τοπικό ελάχιστο στα 1 fm.. 39 7.4.1 Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο των ισοτόπων µολύβδου................ 40 7.4. Ακτίνα πρωτονίων και νετρονίων σύµφωνα µε τις οµάδες παραµέτρων NL1, NL3 και NLSH αντίστοιχα............................................ 41 7.4.3 Νετρονική επιδερµίδα των ισοτόπων µολύβδου........................ 4 7.4.4 Ενέργεια σύζευξης νετρονίων στα ισότοπα µολύβδου για κάθε οµάδα παραµέτρων.... 43 7.4.5 Ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων για την ισοτοπική αλυσίδα του Μολύβδου.... 44 7.4.6 ιανυσµατική πυκνότητα νετρονίων για ισότοπα του µολύβδου. Παρατηρείστε το τοπικό ελάχιστο σε απόσταση 1.7 fm για Α=19 και 0. Ο διπλά µαγικός Α=08 έχει ένα πλατό πυκνότητας µέχρι τα 6 fm................................... 48

5 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ 1 Εισαγωγή Ξεκινώντας από τη µη σχετικιστική ϑεωρία µέσου πεδίου για αλληλεπιδράσεις µεταξύ νουκλεονίων που είναι εξαρτηµένες από την πυκνότητα, καταλήγει κανείς στις δυνάµεις τύπου Skyrme[3] και Gogny[4] που δίνουν εξαιρετικά αποτελέσµατα πολλών ιδιοτήτων, ειδικά της ενέργειας σύζευξης και της πυκνότητας για διπλά µαγικούς σφαιρικούς πυρήνες. Από την άλλη, µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει τη σχετικιστική ϑεωρία µέσου πεδίου(relativistic mean field theory, RMF) επιτυγχάνοντας έτσι µία σωστότερη περιγραφή του σπιν δίχως επιπλέον παραµέτρους. Η κατασκευή της σχετικιστικής ϑεωρίας µέσου πεδίου ήταν ένα ϐήµα επιπλέον σε µία αρχική πρόταση του Teller[5, 6, 7] και των συνεργατών του που πραγµατοποιήθηκε από τον Walecka[8, 9] και τους συνεργάτες του, για το πρόβληµα των πολλών σωµάτων. Συγκεκριµένα, οι τελευταίοι κατασκεύασαν µία σχετικιστική ϑεωρία κβαντικού πεδίου κάνοντας το πρώτο ϐήµα από µία Λαγκρανζιανή (Lagrangian) που περιέχει νουκλεονικούς και µεσονικούς ϐαθµούς ελευθερίας στην οποία εφάρµοσαν προσεγγίσεις σχετικιστικού µέσου πεδίου και χρησιµοποίησαν ως ενεργές παραµέτρους στα- ϑερές σύζευξης και άγνωστες µάζες µεσονίων ώστε να αναπαράγονται τα χαρακτηριστικά της πυρηνικής ύλης και µερικών πεπερασµένων πυρήνων. Συγκεκριµένα, µόνο λίγα από τα πειραµατικά γνωστά µεσόνια ϑεωρήθηκαν υπεύθυνα για τα µεσονικά πεδία αλλά παραλήφθηκαν και όροι ανταλλαγής και οι συνεισφο- ϱές των αντισωµατιδίων. Αν κανείς συγκρίνει την αριθµητική πολυπλοκότητα των ϕορµαλισµών Gogny και Skyrme ϑα δει ότι η σχετικιστική ϑεωρία µέσου πεδίου υπερισχύει στην απλότητά της λόγο της µοναδικής της εξάρτησης από τοπικές ποσότητες όπως οι τοπικές πυκνότητες ϱ(r) και τα τοπικά πεδία. Παράλληλα οι κατάλληλες προσαρµογές που γίνονται στις παραµέτρους επιτρέπουν την αποφυγή πολύπλοκων ϕαινο- µένων όπως η σύζευξη Breuckner, οι όροι Fock, η πόλωση του κενού και η ανταλλαγή επιπλέον µεσονίων ενώ ταυτόχρονα χάρη στην ορθή περιγραφή του σπιν, ο διαχωρισµός σπιν - στροφορµής έχει το σωστό µέγεθος. Η επιτυχία αυτής της µεθόδου εµφανίζεται στην εκπληκτική αναπαραγωγή πολλών ιδιοτήτων πεπερασµένων και άπειρου νουκλεονικού αριθµού πυρήνων. Στην εργασία µας ϑα αναπαράγουµε την ε- νέργεια σύνδεσης, τις ακτίνες νετρονίου, πρωτονίου και ϕορτίου, την νετρονική επιδερµίδα, την ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων και την ενέργεια σύζευξης νετρονίων. Γίνονται εκτεταµένοι αριθµητικοί υπολογισµοί µε κώδικες σχετικιστικής ϑεωρίας µέσου πεδιου. Στην ενότητα κατασκευάζουµε τη ϑεωρία από την αρχή της και στην ενότητα 3 συζητούµε για τις συµµετρίες που λαµβάνονται υπόψιν. Στην ενότητα 4 παράγουµε τις λύσεις του προβλήµατος και στην ενότητα 5 γίνεται αναφορά στις συσχετίζεις Ϲεύγους. Η ενότητα 6 περιέχει τις τιµές των παραµέτρων και των σταθερών που χρησιµοποιούµε και η ενότητα 7 τα αποτελέσµατα των υπολογισµών. Στο τέλος δίνουµε έναν σχολιασµό της ολικής δουλειάς που έχει γίνει. Σχετικιστική θεωρία µέσου πεδίου Το µοντέλο του Walecka και των συνεργατών του περιγράφει τα νουκλεόνια ως σπίνορες Dirac που αλληλεπιδρούν µε την ανταλλαγή µεσονίων. Τα µεσόνια που χρησιµοποιούνται είναι: Βαθµωτό µεσόνιο σ το οποίο συζευγνύεται µέσω ενός όρου Yukawa ψσψ δηµιουργώντας µία ισχυρή έλξη. Ισοβαθµωτό διανυσµατικό µεσόνιο ω το οποίο µέσω σύζευξης µε το διατηρούµενο ϕορτίο νουκλεονίων ψγ µ ψ δηµιουργεί µια αντίστοιχα ισχυρή άπωση. Ισοδιανυσµατικό µεσόνιο ρ το οποίο συζευγνύεται µε το ισοδιανυσµατικό ϱεύµα νουκλεονίων. Φωτόνιο το οποίο δηµιουργεί την ηλεκτροµαγνητική αλληλεπίδραση. Για το ξεκίνηµα τώρα της περιγραφής του συστήµατος του πυρήνα χρησιµοποιούµε την κλασσική µέθοδο Hartree. Τα Α σε αριθµό νουκλεόνια δηµιουργούν µία ορίζουσα Slater (Slater determinant) και κινούνται ανεξάρτητα στα µεσονικά πεδία. Η σχετικιστική ϑεωρία µέσου πεδίου περιλαµβάνει έναν αριθµό πεδίων q j τα δυναµικά των οποίων ορίζονται µέσω της Λαγρανζιανής πυκνότητας(lagranzian density) L(q, µ q, t) και της αρχής µεταβολών (variational principle)[10] ˆ ˆ δ dtl = δ d 4 xl(q, µ q, t) = 0

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 6 Αν ψ i, (ι, 1,..., A) είναι οι µονοσωµατιδιακοί σπίνορες (single particle spinors), τότε η Λαγκρανζιανή πυκνότητα ϑα είναι η L = ψ {iγ µ µ M} ψ i + 1 µ σ µ σ U(σ) g σ ψi ψ i σ 1 4 Ωµν Ω µν + 1 m ωω µ ω µ g ω ψi γ µ ψ i ω µ (.1) 1 R 4 µν R µν + 1 m ρ ρ µ ρ µ g ρ ψi γ µ τψ i ρ µ 1 4 F µν F µν e ψ i γ µ (1 τ 3) ψ i Α µ στην οποία τα σύµβολα µε ϐέλη είναι ισοδιανυσµατικές ποσότητες, A το πεδίο που δηµιουργεί το ϕωτόνιο, τ πίνακας ισοσπίν και νοείται το άθροισµα των i έως Α. Το δυναµικό U(σ) είναι αυτό στο οποίο κινείται το σ µεσόνιο[11] U(σ) = 1 m σσ + 1 3 g σ 3 + 1 4 g 3σ 4 (.) µε M, m σ, m ω, m ρ τη µάζα του νουκλεονίου και των σ, ω και ρ µεσονίων αντίστοιχα ενώ οι ποσότητες e g σ, g ω, g ρ, και 4π = 1 137 είναι οι σταθερές σύζευξης των σ, ω, ρ µεσονίων και του ϕωτονίου. Το µη γραµµικό δυναµικό U έχει σηµαντική συνεισϕορά στην κατάλληλη περιγραφή των ιδιοτήτων επιφανείας. Οι τανυστές των πεδίων για τα διανυσµατικά µεσόνια και το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο δίνονται από τις σχέσεις Ω µν = µ ω ν ν ω µ R µv = µ ρ v ν ρ µ g ρ ( ρ µ ρ v ) (.3) F µν = µ A ν ν A µ όπου τα σύµβολα µε ϐέλη αντιπροσωπεύουν διανύσµατα στον χώρο του ισοσπίν. Το αµέσως επόµενο ϐήµα είναι εύρεση των εξισώσεων κίνησης στα παραπάνω πεδία οι οποίες είναι είναι η εξίσωση Dirac για τα νουκλεόνια και οι εξισώσεις Klein-Gordon για τα µεσόνια. {γ µ ( i µ + g ω ω µ + g ρ τ ρ µ + e (1 τ ) 3) A µ + (M + g σ σ) } ψ i = 0 (.4) { ν ν + σ U(σ)} σ = g σ ρ s (.5) { ν ν + m ω} ω µ = g ω j µ (.6) { ν ν + m } ρ ρ µ = g ρ j µ (.7) ν ν A µ = ej ρ µ (.8) Στις παραπάνω σχέσεις, οι πηγές των πεδίων υπολογίζονται από το άθροισµα σε όλες της κατειληµµένες τροχιές της ορίζουσας Slater των ϐαρυονίων όπως παρακάτω. Η ϐαθµωτή πυκνότητα για το σ πεδίο ρ s (x) = A i=1 ψ i (x)ψ i (x) (.9) το ϐαρυονικό ϱεύµα για το ω πεδίο j µ (x) = A i=1 ψ i (x)γ µ ψ i (x) (.10) η πυκνότητα του ισοβαθµωτού ϱεύµατος για το ρ πεδίο j µ (x) = A ψ i (x)γ µ τψ i (x) (.11) i=1

7 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ και η πυκνότητα ϱεύµατος πρωτονίων για το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο j µ p (x) = A i=1 ψ i (x)γ µ (1 τ 3) ψ i (x) (.1) Η ϑεώρηση που κάνουµε σε αυτή την εργασία, όπως συµβαίνει και µε τις περισσότερες εφαρµογές, δεν λαµβάνει υπόψιν της τις συνεισϕορές των αντισωµατιδίων στις πηγές των µεσονικών πεδίων(no sea approximation). Επίσης, δεν λαµβάνει υπόψιν της την πόλωση του κενού. Αν κανείς σκεφτεί όµως ότι η RMF ϑεωρία είναι µία πλήρης κβαντική ϑεωρία, αυτή ϑα πρέπει να δίνει πλήρεις λύσεις κάτι που όµως δεν συµβαίνει σε περίπτωση συµπερίληψης των αντισωµατιδίων σε two-loop approximations. Οποιος όµως και αν είναι ο λόγος αυτής της µη εύρεσης συγκλίνουσας λύσης (µεθοδικός η ϑεωρητικός), µας επιβάλει να χρησιµοποιήσουµε την RMF ϑεωρία ως µια ϕαινοµενολογική προσέγγιση που δεν λαµβάνει υπόψιν την πόλωση του κενού. Εµείς ϑέλουµε να µελετήσουµε τις ιδιότητες της ϐασικής κατάστασης των πυρήνων οπότε ϑα ψάξουµε στατικές λύσεις των εξισώσεων (.4), (.5), (.6), (.7) και (.8). Σε αυτή την περίπτωση οι σπίνορες των νουκλεονίων είναι τα ιδιοδιανύσµατα ψ i της εξίσωσης Dirac και οι µονοσωµατιδιακές ενέργειες είναι οι ιδιοτιµές της, ε i. {ā ( i V ( r ) + βm ( r) + V ( r) } ψ i ( r) = ε i ψ i ( r) (.13) Η εξίσωση περιέχει την ενεργή µάζα M ( r) η οποία για πεπερασµένο αριθµό νουκλεονίων δεν είναι σταθερή αλλά εξαρτάται από το γραµµικό πεδίο σ( r), το δυναµικό V ( r), M ( r) = M + g σ σ( r) (.14) V ( r) = g ω ω 0 ( r) + g ρ τ ρ 0 ( r) + e 1 τ 3 A 0 ( r), (.15) και το διανυσµατικό δυναµικό V ( r) που παράγουν οι χωρικές συνιστώσες των διανυσµατικών πεδίων ω µ, ρ µ και A µ, V ( r) = g ω ω( r) + g ρ τ ρ( r) + e 1 τ 3 Ā( r) (.16). Οι όροι µε παύλα είναι διανύσµατα στον τρισδιάστατο χώρο και τα πεδία που αναφέραµε είναι οι λύσεις των µη οµογενών εξισώσεων Klein-Gordon, { } + m σ σ( r) = gσ ρ s ( r) g σ ( r) g 3 σ 3 ( r) { } + m ω ω µ ( r) = g ω j µ ( r) { } + m ρ ρ µ ( r) = g ρ j µ ( r) (.17) A µ ( r) = ej µ ρ ( r) οι πήγες των οποίων υπολογίζονται από την αντίστοιχη πυκνότητα και την αντίστοιχη κατανοµή ϕορτίου στο στατικό πυρήνα. Επειτα από όλη αυτή τη ϑεώρηση, µε αρχικό ϐήµα τη Λαγκρανζιανή πυκνότητα, καταλήξαµε στις εξισώσεις (.13) και (.17) οι οποίες αποτελούν κλειστό σύστηµα εξισώσεων. Η λύση του µπορεί να ϐρεθεί µε την ακόλουθη επαναληπτική διαδικασία: 1. Ξεκινούµε µε µία λογική εκτίµηση των µεσονικών πεδίων και λύνουµε την εξίσωση Dirac από την οποία λαµβάνουµε τους σπίνορες των νουκλεονίων.. Με δεδοµένους τους σπίνορες µπορούµε πλέον να υπολογίσουµε τις πυκνότητες και τα ϱεύµατα των σχέσεων (.9), (.10), (.11) και (.1) παίρνοντας υπόψιν ότι τα Α χαµηλότερα ενεργειακά επίπεδα είναι κατειληµµένα και αθροίζοντας ως προς αυτά. 3. Λύνοντας την εξίσωση Klein Gordon µε δεδοµένες τις παραπάνω πυκνότητες και τα παραπάνω ϱεύµατα, υπολογίζουµε τα µεσονικά πεδία και το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 8 4. Από τα µεσονικά πεδία και το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο µπορούµε τώρα να υπολογίσουµε τα δυναµικά V µ ( r) των σχέσεων (.15) και (.16) και την ενεργή µάζα από τη σχέση (.14). 5. Με αυτές τις ποσότητες τώρα µπορούµε να λύσουµε την εξίσωση Dirac για ακόµη µία ϕορά και να πάρουµε τους σπίνορες για την επόµενη επανάληψη της διαδικασίας µέχρι να επιτύχουµε την επιθυµητή ακρίβεια. 3 Συµµετρίες του προβλήµατος Η συµµετρία αντιστροφής του χρόνου και η σϕαιρική συµµετρία των επιλεγοµένων πυρήνων επιτρέπουν την απλούστευση των σχέσεων (.13) και (.17). Πιο συγκεκριµένα, η συµµετρία αντιστροφής χρόνου επιβάλει τη µη ύπαρξη ϱευµάτων στον πυρήνα και έτσι µας αποδεσµεύει από τους χωρικούς διανυσµατικούς όρους ω, ρ και Ā αφήνοντας µόνο τους αντίστοιχους χρονικούς ω 0, ρ 0 και A 0. Η αρχή διατήρησης του ϕορτίου επιτρέπει µόνο στον 3-συνιστάµενο όρο του ισοδιανυσµατικού ρ 00 να υπάρχει (ϑα το παρουσιάζουµε ως ρ 0 στα επόµενα). Από τα παραπάνω λοιπόν έχουµε ότι η εξίσωση Dirac ϑα περιέχει µόνο το δυναµικό V ( r) και την ενεργή µάζα M ( r) { iā + βm ( r) + V ( r)} ψ i ( r) = ε i ψ i ( r) (3.1) µε τις πυκνότητες { } + m σ σ( r) = gσ ρ s ( r) g σ ( r) g 3 σ 3 ( r) { } + m ω ω 0 ( r) = g ω ρ v ( r) { } + m ρ ρ 0 ( r) = g ρ ρ 3 ( r) (3.) A 0 ( r) = eρ p ( r) ρ s (x) = ρ v (x) = ρ 3 (x) = ρ p (x) = A ψ i ( r)ψ i ( r) i=1 A ψ i ( r)ψ i( r) i=1 A ψ i ( r)τ 3ψ i ( r) (3.3) i=1 A i=1 ψ i ( r)(1 τ 3) ψ i ( r) όπου µε ρ s συµβολίζουµε την ϐαθµωτή πυκνότητα, µε ρ v την διανυσµατική πυκνότητα, µε ρ 3 την ισοδιανυσµατική πυκνότητα (τη διαφορά µεταξύ της πυκνότητας νετρονίων και αυτής των πρωτονίων) και µε ρ p την πυκνότητα ϕορτίου. Σε πυρήνες µε ίσο νετρονικό και ατοµικό αριθµό, η πηγή του ρ µεσονικού πεδίου συνεισφέρει σε πολύ µικρό ϐαθµό όµως σε ϐαρείς πυρήνες, η περίσσεια νετρονίων πρέπει να λαµβάνεται σοβαρά υπόψιν. Αν τώρα λάβουµε υπόψιν και τη σφαιρική συµµετρία ϑα απλουστεύσουµε ακόµη περισσότερο το σύστη- µα εξισώσεων αφού έχουµε ότι οι πυκνότητες (3.3) και τα µεσονικά πεδία σ(r), ω 0 (r), ρ 0 (r) και A 0 (r) εξαρτώνται µόνο από την απόσταση r. Ο σπίνορας µε δείκτη i ϑα χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς αριθµούς της µονοσωµατιδιακής γωνιακής ορµής, j i και m i, από την οµοτιµία π i και από το ισοσπίν t i = ± 1 για νετρόνια και πρωτόνια αντίστοιχα. Εχει τη µορφή ψ i ( r, s, t) = ( fi (r)φ li j i m i (θ, φ, s) ig i (r)φ li j i m i (θ, φ, s) ) χ ti (t) (3.4)

9 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ µε χ ti τη συνάρτηση του ισοσπίν για το i-οστό νουκλεόνιο. Από τις παραπάνω µεταβλητές, η τροχιακή γωνιακή στροφορµή l i και l i εξαρτάται από το j i και την π i : l = j + 1 l = j 1 l = j 1 για π = ( 1) j+ 1 (3.5) l = j + 1 για π = ( 1) j 1 ενώ ο όρος Φ ljm είναι ένας δισδιάστατος σπίνορας µε κβαντικούς αριθµούς l, j, m. Φ ljm (θ, φ, s) = m s,m l < 1 m slm l lm > Y lmj (θ, φ) χ ms (s) (3.6) Πλέον λοιπόν, η εξάρτηση από τις γωνίες γίνεται αναλυτική και το σύστηµα καταλήγει σε ένα Ϲεύγος διαφορικών εξισώσεων µε παράµετρο την συντεταγµένη r για τις συναρτήσεις f(r) και g(r), τη µεγάλη και τη µικρή συνιστώσα του σπίνορα Dirac αντίστοιχα. ( (M (r) + V (r)) f i (r) + r k ) i 1 g i (r) = ɛ i f i (r) (3.7) r ( r + k ) i + 1 f i (r) (M (r) V (r)) g i (r) = ɛ i g i (r) (3.8) r όπου k i = ± ( j i + 1 ) για ji = l i 1. Τώρα, ϑα πρέπει να λύσουµε αυτές τις εξισώσεις για όλα τα κατειληµµένα επίπεδα i. Αν ϑεωρήσουµε ότι ένας ϕλοιός j είναι πλήρως κατειληµµένος από τη λύση ϐρίσκουµε τις σϕαιρικές πυκνότητες: ρ s (r) = i ρ v (r) = i n i (j i + 1) ( f i (r) g i (r) ) n i (j i + 1) ( f i (r) + g i (r) ) ρ c (r) = i ρ 3 (r) = i n i ( 1 t i n i t i (j i + 1) ( f i (r) + g i (r) ) ) ( (j i + 1) f i (r) + g i (r) ) (3.9) Οι όροι n i είναι οι αριθµοί κατάληψης και εισάγονται για να εκφράσουν τη σύζευξη στους ανοιχτού ϕλοιού πυρήνες(open shell nuclei). Οταν δεν λαµβάνεται η σύζευξη υπόψιν είναι 0 για επίπεδα άνω και 1 για επίπεδα κάτω του επιπέδου Fermi (Fermi surface). Παίρνοντας υπόψιν την BCS σύζευξη ωστόσο (κεφάλαιο 5 στη σελίδα 1), οι όροι n είναι ταυτόσηµοι µε τους παράγοντες BCS vi. Το άθροισµα στα κατειληµµένα επίπεδα µόνο, αντιπροσωπεύει τη µη συµπερίληψη των καταστάσεων αρνητικής ενέργειας (no sea approximation). Οι παραπάνω πυκνότητες είναι οι πηγές των πεδίων ϕ( r) = σ(r), ω 0 (r), ρ 0 (r) και A 0 (r) που εµφανί- Ϲονται στη µη οµογενή εξίσωση Klein-Gordon η οποία σε σφαιρικές συντεταγµένες έχει τη µορφή ( r ) r r + m φ φ(r) = s φ (r) (3.10) όπου m φ είναι οι µάζες των µεσονίων για ϕ=σ, ω, ϱ και 0 για το ϕωτόνιο. Ο όρος s φ είναι: g σ ρ s ( r) g σ ( r) g 3 σ 3 ( r) για τo σ πεδίο g ω ρ v ( r) για τo ω πεδίο s φ (r) g ρ ρ 3 ( r) για τo ρ πεδίο eρ p ( r) για τo πεδίο Coulomb (3.11)

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 10 Η εξίσωση (3.) µπορεί να λυθεί µε τη συνάρτηση του Green ˆ ϕ(r) = r dr G φ (r, r )s φ (r ) (3.1) 0 όπου για τα ισχυρά πεδία ισχύει G φ (r, r ) = 1 m φ 1 rr ( e m φ r r e m φ r+r ) (3.13) και για το πεδίο Coulomb G c (r, r ) = { 1/r αν r > r 1/r αν r < r (3.14) 4 Λεπτοµέρειες των υπολογισµών Για την επίλυση της εξίσωσης Dirac (3.1) και των εξισώσεων Klein-Gordon (3.10) εκφράζουµε τη µεγάλη και τη µικρή συνιστώσα των Dirac spinors σε ανάπτυγµα ιδιοκαταστάσεων του αρµονικού ταλαντωτή. Αυτή η ϐάση δεν µπορεί προφανώς να χρησιµοποιηθεί µε άπειρους όρους. Ο µέγιστος κύριος κβαντικός αριθµός N max, ο κβαντικός αριθµός της τελευταίας ιδιοκατάστασης του αρµονικού ταλαντωτή που χρησιµοποιείται στο ανάπτυγµα της ϐάσης δηλαδή, είναι τέτοιος ώστε να υπάρχει σύγκλιση των λύσεων για τις τροχιές που µας ενδιαφέρουν. Συµβολίζουµε το N max, N F για τα ϕερµιόνια spinors της εξίσωσης Dirac και N B για τα µποζόνια spinors των εξισώσεων Klein-Gordon. Στην περίπτωση σϕαιρικών πυρήνων, εκφράζουµε τα f i (r) και g i (r) σε όρους ακτινικού µέρους του σϕαιρικού αρµονικού ταλαντωτή µε ιδιοσυχνότητα ω 0 και µε µονάδες µήκους σε b 0 = /Mω 0 µε M τη µάζα του νουκλεονίου. f i (r) = g i (r) = n max n=1 ñ max ñ=1 f (i) n R nli (r) (4.1) g (i) ñ R ñ l i (r) όπου R nl = N nl b0 3 xl L l+1/ n...1 (x )e x / (4.),x = r/b 0 η ακτίνα σε µονάδες του πλάτους ταλάντωσης του ταλαντωτή, l, l από τη σχέση (3.5) και L m n (x ) είναι τα πολυώνυµα Laguerre[1]. Ο παράγοντας κανονικοποίησης είναι: (n 1)! N nl = (l + n 1 )! (4.3) Τα άνω όρια n max και ñ max είναι ακτινικοί κβαντικοί αριθµοί και υπολογίζονται από τους αντίστοιχους κύριους ϕλοιικούς κβαντικούς αριθµούς N max = (n max 1) + l i και Ñ max = (ñ max 1) + l i. Εχει ϕανεί ότι είναι απαραίτητο ο αριθµός Ñmax έως τον οποίο εκφράζεται το µικρό µέρος του σπίνορα σε όρους αρµονικού ταλαντωτή, να είναι µεγαλύτερος από τον αριθµό N max, έως τον οποίο εκφράζεται το µεγάλο µέρος του σπίνορα. Σε αντίθετη περίπτωση, ο τελευταίος όρος στο ανάπτυγµα του f i δεν συζευγνύεται µέσω του όρου σ της εξίσωσης Dirac µε την κατάσταση µε κβαντικό αριθµό ñ = n max + 1 στο ανάπτυγµα του g i, όπως ϑα πρέπει να συµβαίνει σε ένα άπειρο ανάπτυγµα, για το άνω όριο του οποίου ισχύει ñ max < n max. Αν τώρα αντικαταστήσουµε τις ανεπτυγµένες εκφράσεις των f i και g i στις εξισώσεις (3.7) και (3.8) καταλήγουµε στο συµµετρικό σύστηµα εξισώσεων ( An,n B n,ñ Bñ,n ϑñ,ñ ) ( f (i) n g (i) ñ ) = ɛ i ( f (i) n g (i) ñ ) (4.4)

11 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ διάστασης n max + ñ max και µε A n,n = N nli N n l i ˆ 0 dxe x x l+ L l i+1/ n 1 (x )L l i+1/ n 1 (x ) (M (b 0 x) + V (b 0 x)) (4.5) ˆ ϑñ,ñ = Nñ li Nñ l i 0 Bñ,n = Nñ li N n l i ˆ 0 dxe x x l+ L l i +1/ n 1 (x )L l i +1/ ñ 1 (x ) (M (b 0 x) V (b 0 x)) (4.6) dxe x x l i +1/ L l n 1 (x )L l i+1/ n 1 (x ) ( n + l 1 + κ i x ) (4.7) Το επόµενο ϐήµα είναι να υπολογίσουµε τις πυκνότητες ρ s, ρ v, ρ 3 και ρ p από τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα (4.4) ρ s,v (r) = i n i (j i + 1) ( nmax nn R nli (r)r n l i (r)f n (i) f (i) n max n nn Rñ li (r)rñ li (r)g (i) ñ g(i) ñ όπου το + δίνει την ϐαρυονική πυκνότητα ρ v και το δίνει τη ϐαθµωτή πυκνότητα ρ s. Παροµοίως για την ρ 3 και την ρ c. Η λύση, τώρα, της Klein-Gordon (3.10) επιτυγχάνεται πάλι µε ανάπτυξή της σε ένα πλήρες σύνολο καταστάσεων ϐασικής κατάστασης. Θα ασχοληθούµε µε την έκφραση των µποζονικών πεδίων. Χρησι- µοποιούµε τις ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή µε γωνιακή ορµή 0 και µε πλάτος ταλάντωσης b B = b 0 /. Αυτό το κάνουµε επειδή οι πυκνότητες είναι ανάλογες του e (r/b 0). Για τα µεσονικά πεδία ϕ(r)= σ(r), ω 0 (r) και ρ 0 (r) και για τα µη οµογενή µέρη s φ (r) έχουµε φ(r) = s φ (r) = n B n=1 n B n=1 ) (4.8) φ n R n (r) (4.9) s φ nr n (r) µε R n (r) = N ( ) n0 r 3 L1/ n 1 bb b e r /b B (4.10) B Ο τελικός όρος n B επιλέγεται σύµφωνα µε την παράµετρο αποκοπής N B = (n B 1). Οπως και πριν τώρα, αντικαθιστούµε τις εξισώσεις (4.9) στη σχέση (3.10) και καταλήγουµε στο σύστηµα εξισώσεων n B H nn φ n = s φ n (4.11) όπου H nn = δ nn n =1 ( b B ((n 1) + 3/) + ) m φ + δnn +1b B n(n + 1/) + δn n+1b B n (n + 1/) (4.1) Η εξίσωση λύνεται µε αναστροφή. Εκτός του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου που η εµβέλειά του είναι άπειρη, τα τεράστια µεσονικά πεδία µπορούν εύκολα να υπολογιστούν µε αυτή τη µέθοδο. Για το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο όµως λόγο της πολύ αργής σύγκλισης µέχρι τον όρο n B, χρησιµοποιούµε τη µέθοδο του Green.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 1 5 Συσχετίσεις ζεύγους Οι συσχετίσεις Ϲεύγους δεν συµπεριλαµβάνονται στη σχετικιστική ϑεωρία µέσου πεδίου µε την οποία ασχολούµαστε, είναι απαραίτητες όµως για την ποσοτική κατανόηση των πυρήνων ανοικτού ϕλοιού. Η συµπερίληψή τους ωστόσο στην RMF συνεπάγεται παραβίαση του αριθµού των σωµατιδίων. Για να τις συµπεριλάβουµε λοιπόν στη σχετικιστική µας περιγραφή ϑα πρέπει να παράγουµε ξανά την RMF µέσω µίας µεταβολής από ένα ενεργειακό συναρτησοειδές, µέθοδος παρόµοια µε αυτή για τις δυνάµεις Skyrme [13], [14] που εξαρτώνται από την πυκνότητα. Χρησιµοποιώντας το ενεργειακό συναρτησοειδές ˆ E = dr 3 H(r) (5.1) όπου H( r) = i ψ i {ā ( i V ( r) ) + βm ( r) + V ( r) } ψ i (5.) 1 1 + 1 ( σ) + U(σ) { ( ω 0 ) + m ω (ω 0 ) ( ω) m ω ω } { ( ρ 0 ) + m ρ ( ρ 0 ) ( ρ ) m ρ ρ } 1 { ( A 0 ) ( A) } και λαµβάνοντας υπόψιν τη συµµετρία αντιστροφής χώρου που αναφέραµε πριν αλλά και τη σύζευξη, ϐρίσκουµε για την ολική ενέργεια του συστήµατος του πυρήνα τα εξής: E(ψ i, ψ i, σ, ω 0, ρ 0, A 0, v i ) = E part + E σ + E ω + E ρ + E c + E pair + E CM AM (5.3) µε E part = i v i ˆ dr 3 ψ {ā ( ) i i V ( r) + βm ( r) + V ( r) } ψ i (5.4) ˆ E σ = ˆ E ω = ˆ E ρ = { } 1 dr 3 ( σ) + U(σ) (5.5) dr 3 { 1 ( ( ω 0 ) + m ω (ω 0 ) )} (5.6) ˆ E c = dr 3 1 { ( ρ 0 ) + m ρ ( ρ 0 ) } (5.7) dr 3 1 { ( A 0 ) } (5.8) ( ) E pair = G u i v i (5.9) i>0 E CM = 3 4 ω 0 = 3 4 41A 1 3 (5.10) r c και r p είναι η ακτίνα ϕορτίου και η ενεργή ακτίνα πρωτονίων αντίστοιχα. E part είναι η ενέργεια των νουκλεονίων που κινούνται στα πεδία τα οποία παράγουν τα µεσόνια, E σ, E ρ, και E c είναι η συνεισϕορά ενέργειας από τα µεσονικά πεδία και το πεδίο Coulomb, E pair είναι η ενέργεια σύζευξης όπου G είναι η σταθερά Ϲεύξης και v i και u i = 1 v i οι πιθανότητες κατάληψης. E CM είναι η διόρθωση ως προς το κέντρο µάζας η τιµή της οποίας είναι προσέγγιση σε δυναµικό µη σχετικιστικού αρµονικού ταλαντωτή. Από αυτές τις ποσότητες λοιπόν µπορούµε να παράγουµε όπως είπαµε την εξίσωση Dirac (3.1) µέσω των Dirac spinors και τις εξισώσεις Klein Gordon (3.10) µέσω του Coulomb και των µεσονικών πεδίων.

13 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Για τις αντίστοιχες πυκνότητες (3.3) έχουµε ότι ϑα εξαρτώνται από τους αριθµούς κατάληψης n i = v i (3.9) και µπορούµε τελικά να καταλήξουµε στις εξισώσεις BCS µέσω των αριθµών κατάληψης και της (5.1) ε i u i v i (u i v i ) = 0 (5.11) όπου το χάσµα και η σταθερά G της σχέσης (5.9) συνδέονται µε τη σχέση = G i>0 u i v i (5.1) Η λύση των εξισώσεων αυτών ϑα είναι η ( u ) i = 1 1 ± v i ε i λ (ε i λ) + (5.13) όπου υποθέτουµε ότι το χάσµα είναι σταθερό(προσέγγιση σταθερού χάσµατος, constant gap approximation). Εδώ πρέπει να σηµειώσουµε κάποια σηµαντικά κοµµάτια της µεθόδου µε την οποία λύνονται οι εξισώσεις της σχετικιστικής ϑεωρίας µέσου πεδίου. Η παράµετρος G δεν είναι γνωστή αριθµητικά συνεπώς πρέπει να την προσαρµόζουµε έτσι ώστε το χάσµα για κάθε ξεχωριστό πυρήνα να συµβαδίζει µε τα πειραµατικά δεδοµένα[15, 16]. Ετσι λοιπόν υπολογίζουµε και τους αριθµούς κατάληψης (5.13) µε τα χηµικά δυναµικά λ p και λ n να προσδιορίζονται από τον µαζικό και τον ατοµικό αριθµό του πυρήνα. Οταν υπάρχουν πειραµατικά δεδοµένα, το υπολογίζεται από τον τύπο των τριών σηµείων n (Z, N) = B(Z, N) + B(Z, N ) B(Z, N 1) ενώ για τις ϑεωρητικές προβλέψεις χρησιµοποιούµε τον τύπο (Z, N) = 4.8 N 1/3 Το άθροισµα που δίνει την ενέργεια σύζευξης (pairing energy)δεν συγκλίνει για άπειρους όρους. Αντιθέτως, κρατούµε τόσους όρους ώστε να ισχύει πάντα ε i λ (41A 1/3 ). Ο αριθµός εµφανίζεται για να υπάρχει συνάφεια των υπολογισµών της σχετικιστικής ϑεωρίας µέσου πεδίου µε τους υπολογισµούς της δύναµης Gogny από [17]. (Στην εργασία των τελευταίων, πράξεις µε δυναµικά πεπερασµένης εµβέλειας δείξανε ότι το χάσµα δεν είναι σταθερό αλλά µειώνεται για αυξανόµενη την ορµή.) Με γνωστό πλέον και το χάσµα, οι όροι της ενέργειας µπορούν να υπολογιστούν από τις εξισώσεις κίνησης (3.1) και (3.) και να µας δώσουν τις τελικές εξισώσεις που χρειαζόµαστε για τον υπολογισµό της ενέργειας του πυρήνα. E part = vi ε i (5.14) i E σl = g ˆ σ d 3 rρ s (r)σ(r) (5.15) E σnl = 1 ˆ { d 3 r 3 g σ(r) 3 + 1 } g 3σ(r) 4 (5.16) E ω = g ω E ρ = g ρ E c = e 8π ˆ ˆ d 3 rρ υ (r)ω 0 (r) (5.17) d 3 rρ 3 (r)ρ 00 (r) (5.18) ˆ d 3 rρ c (r)a 0 (r) (5.19) E pair = u i v i (5.0) i>0 E CM = 3 4 ω 0 = 3 4 41A 1 3 (5.1)

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 14 6 Παράµετροι, σταθερές και διαστάσεις. Οι υπολογισµοί που πραγµατοποιήσαµε γίνανε µε τρεις διαφορετικές οµάδες παραµέτρων οι οποίες παρουσιάζονται στον Πίνακα 6.1. Η οµάδες NL1, NL3 και NL_SH αναφέρονται αντίστοιχα στο µη γραµµικό µοντέλο των [18], [19] και [0]. Πίνακας 6.1: Οµάδες παραµέτρων της εξίσωσης Lagrange NL1 NL3 NLSH Μ 938,0 939,0 939,0 m σ 49,5 508,1941 56,0591 m ω 795,359 78,5010 783,0 m ρ 763,0 763,0 763,0 g σ 10,138 10,169 10,44355 g ω 13,85 1,8675 1,9451 g ρ 9,951 4,4744 4,3881 g -1,17-10,4307-6,9099 g 3-36,65-8,8851-15,83373 Οι µάζες δίνονται σε (MeV ) ενώ η σταθερά Ϲεύξης g ( σε fm 1) Οι αριθµοί N F και N B των ϕλοιών για ϕερµιόνια και µποζόνια επιλέγουµε να είναι 0 και 0 αντίστοιχα ενώ η σταθερά µήκους b 0 =.400fm 1. Τέλος, η ακτίνα ϕορτίου υπολογίζεται µε τη µέθοδο r c = rp + 0.64(fm) και η νετρονική επιδερµίδα δίνεται από τη διαφορά ακτίνας νετρονίων και πρωτονίων S = r n r p (6.1) όπου r p η ακτίνα πρωτονίων και r n η ακτίνα νετρονίων. Για κάθε στοιχείο ϑα παρουσιάσουµε και την ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων η οποία υπολογίζεται από τη διαφορά στην ενέργεια σύνδεσης δύο διαδοχικών άρτιων-άρτιων ισοτόπων S n = B(Z, N) B(Z, N ) (6.)

15 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ 7 Αποτελέσµατα 7.1 Ασβέστιο Σχήµα 7.1.1: Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο των ισοτόπων ασϐεστίου. Οσο αφορά την ενέργεια σύνδεσης του ασϐεστίου, το σχήµα 7.1.1 δείχνει την πολύ καλή αναπαραγωγή των πειραµατικών της τιµών. Και οι τρεις δυνάµεις είναι ικανοποιητικές µε την NL3 να έχει τη µεγαλύτερη ακρίβεια για Α=34-54 και την NL1 να είναι πάρα πολύ κοντά στις πειραµατικές τιµές για Α=34-40. Η ενέργεια σύνδεσης των αγνώστων µέχρι τώρα πυρήνων (Α>58) ελαττώνεται καθώς αυξάνεται το Ν και παρουσιάζει µία καµπή στα Α=60-64 πριν συνεχίσει τη σχεδόν γραµµική µείωση.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 16 Σχήµα 7.1.: Ακτίνα πρωτονίων και νετρονίων σύµφωνα µε τις οµάδες παραµέτρων NL1, NL3 και NLSH αντίστοιχα. Στο σχήµα 7.1. παρατηρούµε µία σηµαντική µείωση της ακτίνας νετρονίων για τους διπλά µαγικούς πυρήνες Ν=0 και Ν=8, όπως αναµένεται, ενώ όλες οι υπόλοιπες τιµές ακολουθούν µία γνησίως αύξουσα καµπύλη καθώς αυξάνεται ο µαζικός αριθµός. Και για τις τρεις οµάδες παραµέτρων, η ακτίνα πρωτονίων µειώνεται µέχρι τον διπλά µαγικό πυρήνα Ν=0, ϕτάνει σε ένα πλατό κοντά στα 3.4 fm µέχρι τον επόµενο διπλά µαγικό πυρήνα και έπειτα αυξάνεται, µε µικρότερη κλίση από αυτή της νετρονικής ακτίνας.

17 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Ασϐέστιο Σχήµα 7.1.3: Νετρονική επιδερµίδα των ισοτόπων ασϐεστίου. Οι παραπάνω διαφορές των ακτίνων ϕαίνονται καλύτερα στο µέγεθος της νετρονικής επιδερµίδας του πυρήνα στο σχήµα 7.1.3. Υπάρχει µία αµελητέα νετρονική επιδερµίδα στον πυρήνα Α=38, µόλις νετρόνια πριν τον διπλά µαγικό πυρήνα Α=40 και µία αξιοσηµείωτη µείωσή της στα 0. fm στον διπλά µαγικό πυρήνα Α=48. Εκτός από αυτά τα χαρακτηριστικά, η νετρονική επιδερµίδα µειώνεται για Α<38 και αυξάνεται για Α>38. Επίσης, στον πυρήνα Α=60 ϕαίνεται µία καµπή της ανοδικής πορείας των τιµών της νετρονικής επιδερµίδας. Τέλος, µέχρι και το ασϐέστιο-58, το πάχος της νετρονικής επιδερµίδας είναι περίπου το ίδιο για όλες τις δυνάµεις ενώ για πυρήνες περισσότερο πλούσιους σε νετρόνια (neutron rich nuclei) οι διαφορές είναι σηµαντικότερες.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 18 Οι ενέργεια σύζευξης του νετρονίου στο σχήµα 7.1.4 περιέχει ασυνέχειες, στους διπλά µαγικούς πυρήνες Α=40 και Α=48. Οι διάφορες δυνάµεις δίνουν παρόµοια συµπεριφορά της σύζευξης νετρονίου για Α>58 και για πυρήνες µεταξύ των δύο διπλά µαγικών. Στις υπόλοιπες περιοχές οι δυνάµεις NL3 και NLSH αναπαράγουν µε ίδιο περίπου τρόπο την ενέργεια σύζευξης νετρονίου ενώ αξιοσηµείωτη είναι η περιοχή µείωσης της κοντά στον µαγικό πυρήνα Α=8 και στον πυρήνα Α=60 ( νετρόνια δίπλα από τον διπλά µαγικό Α=58). Συνοπτικά δηλαδή, η συµπεριφορά που πήραµε για την ενέργεια σύζευξης είναι η αναµενόµενη. Τείνει στο µηδέν κοντά στους κλειστούς ϕλοιούς και γίνεται µέγιστη στο µέσο µεταξύ δύο κλειστών ϕλοιών. Σχήµα 7.1.4: Ενέργεια σύζευξης νετρονίων στα ισότοπα ασβεστίου για κάθε οµάδα παρα- µέτρων.

19 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Ασϐέστιο Σχήµα 7.1.5: Ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων για την ισοτοπική αλυσίδα του Ασϐεστίου. Τέλος, η ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων (neutron pair separation energy, S n ) παρουσιάζει ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον στους πυρήνες Α=36, 4, 50 και 6, σχήµα 7.1.5. Σε αυτούς τους µαζικούς αριθµούς υπάρχει µία απότοµη µείωση της ενέργειας διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων, ιδιαίτερα µε τις δυνάµεις NL3 και NLSH και ιδιαίτερα για Α=4, 50 και 6. Στους πυρήνες µεταξύ των προηγούµενων δηµιουργείται από ένα πλατό, λιγότερο εµφανές για την NL3 και αρκετά ξεκάθαρο για την NLSH ενώ η δύναµη NL1 δεν παρουσιάζει τόσο έντονη διακριτή (µη συνεχή) συµπεριφορά αλλά ακολουθεί µία πιο οµαλή µείωση. Τα σηµεία καµπής της ναι µεν είναι ευδιάκριτα αλλά δεν είναι τόσο ξεκάθαρα όσο για τις άλλες δυο δυνάµεις. Για Α>6 έχουµε πλατό κοντά στο 0 και συγκεκριµένα παρατηρούµε τα παρακάτω: 1) για τη δύναµη NL1 η ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων παίρνει αρνητικές τιµές για Α>6 ενώ για Α>7 και Α>80 έχουµε αρνητικές τιµές για τις οµάδες NLSH και NL3 αντίστοιχα,. Τα σηµεία αυτά

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 0 χαρακτηρίζονται ως η γραµµή κόρου Ϲεύγους νετρονίων (n drip line) ) υπάρχει τοπικό ελάχιστο και για τις τρεις δυνάµεις στον πυρήνα Α=66. Τέλος, στο µαγικό πυρήνα Α=8 ϐλέπουµε ότι υπάρχει άλλο ένα σηµείο καµπής µε όχι όµως τόσο έντονη µείωση της ήδη αρνητικής ενέργειας διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων. Οι τιµές παρουσιάζονται στους πίνακες 7.1, 7. και 7.3. Πίνακας 7.1: Αποτελέσµατα ασϐεστίου µε τη δύναµη NL1. A Εν. σύνδ./α(mev ) r n (fm) r p (fm) r p.exp (fm) r charge (fm) r exp charge (fm) S n(mev ) 3 6,349 3,00 3,573 3,66 34 7,15 3,4 3,465 3,556 4,139155 36 7,89 3,99 3,411 3,504 36,519814 38 8,53 3,393 3,398 3,491 31,77049 40 8,563 3,359 3,406 3,384 3,498 3,4776 8,908745 4 8,645 3,597 3,406 3,416 3,499 3,5081 0,57405 44 8,651 3,67 3,404 3,46 3,497 3,5179 17,565 46 8,643 3,73 3,403 3,403 3,496 3,4953 16,97869 48 8,600 3,646 3,397 3,384 3,49 3,4771 15,196705 50 8,505 3,907 3,417 3,45 3,510 3,5168 1,484191 5 8,377 4,010 3,431 3,53 10,337493 54 8,1 4,119 3,454 3,545 8,337359 56 8,049 4,18 3,487 3,578 6,8915 58 7,881 4,30 3,56 3,616 6,353669 60 7,715 4,387 3,564 3,65 5,761987 6 7,505 4,514 3,589 3,677,445058 64 7,67 4,651 3,605 3,693-0,01 66 7,039 4,770 3,6 3,708-0,540991 68 6,85 4,87 3,636 3,73-0,48745 70 6,65 4,960 3,65 3,739-0,35046 7 6,438 5,038 3,669 3,755-0,01546 74 6,63 5,110 3,686 3,771-0,075986 76 6,098 5,180 3,70 3,788-0,015711 78 5,941 5,50 3,719 3,804-0,069485 80 5,788 5,35 3,734 3,819-0,88388 8 5,637 5,407 3,749 3,833-0,83478 84 5,481 5,50 3,763 3,847-1,844368 86 5,31 5,601 3,778 3,86 -,804466 88 5,164 5,698 3,794 3,877-3,188048 90 5,013 5,789 3,811 3,894-3,40171

1 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Ασϐέστιο Πίνακας 7.: Αποτελέσµατα ασϐεστίου µε τη δύναµη NL3. A Εν. σύνδ./α(mev ) r n (fm) r p (fm) r p.exp (fm) r charge (fm) r exp charge (fm) S n(mev ) 3 6,394 3,157 3,491 3,581 34 7,45 3,199 3,408 3,501 41,7136 36 7,795 3,98 3,381 3,474 34,300574 38 8,18 3,38 3,375 3,469 31,641434 40 8,55 3,38 3,376 3,384 3,47 3,4776 9,74184 4 8,638 3,561 3,377 3,416 3,471 3,5081 0,78989 44 8,658 3,67 3,377 3,46 3,47 3,5179 18,153836 46 8,669 3,683 3,379 3,403 3,47 3,4953 17,813968 48 8,649 3,603 3,377 3,384 3,471 3,4771 16,36759 50 8,538 3,864 3,399 3,45 3,49 3,5168 11,75851 5 8,39 3,971 3,4 3,513 9,4991 54 8,4 4,066 3,445 3,537 8,554148 56 8,087 4,146 3,476 3,567 7,903316 58 7,943 4,15 3,508 3,598 7,84066 60 7,799 4,89 3,539 3,68 7,44796 6 7,598 4,403 3,561 3,649 3,14189 64 7,368 4,51 3,578 3,667 0,45653 66 7,149 4,599 3,597 3,685 0,31736 68 6,946 4,674 3,615 3,703 0,450018 70 6,756 4,745 3,633 3,7 0,5991 7 6,577 4,819 3,649 3,736 0,6744 74 6,409 4,896 3,664 3,75 0,69644 76 6,49 4,976 3,676 3,76 0,6640 78 6,096 5,057 3,688 3,774 0,5304 80 5,946 5,139 3,7 3,786 0,5376 8 5,797 5,4 3,71 3,797-0,349144 84 5,64 5,31 3,77 3,811-1,40593 86 5,484 5,397 3,745 3,89 -,347804 88 5,33 5,469 3,767 3,851 -,5809 90 5,183 5,535 3,79 3,874 -,5156

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ Πίνακας 7.3: Αποτελέσµατα ασϐεστίου µε τη δύναµη NLSH. A Εν. σύνδ./α(mev ) r n (fm) r p (fm) r p.exp (fm) r charge (fm) r exp charge (fm) S n(mev ) 3 6,333 3,17 3,453 3,545 34 7,09 3,181 3,381 3,474 4,451075 36 7,745 3,85 3,358 3,45 33,73174 38 8,166 3,363 3,355 3,449 31,47701 40 8,50 3,311 3,358 3,384 3,45 3,4776 9,7603 4 8,6 3,539 3,359 3,416 3,453 3,5081 1,14045 44 8,633 3,603 3,361 3,46 3,455 3,5179 18,6855 46 8,656 3,658 3,365 3,403 3,458 3,4953 18,37789 48 8,647 3,583 3,368 3,384 3,46 3,4771 16,901466 50 8,514 3,851 3,389 3,45 3,48 3,5168 10,61849 5 8,343 3,96 3,41 3,504 8,14893 54 8,177 4,049 3,437 3,59 7,71453 56 8,019 4,11 3,465 3,557 7,518716 58 7,873 4,185 3,494 3,585 7,586035 60 7,77 4,57 3,51 3,611 6,967747 6 7,55 4,366 3,541 3,63,937663 64 7,96 4,46 3,558 3,647 0,400153 66 7,08 4,534 3,576 3,664 0,31141 68 6,878 4,596 3,594 3,68 0,444615 70 6,688 4,663 3,611 3,699 0,470171 7 6,506 4,743 3,66 3,713 0,76459 74 6,33 4,835 3,638 3,75-0,0064 76 6,161 4,93 3,649 3,736-0,5838 78 5,998 5,04 3,659 3,746-0,403146 80 5,839 5,116 3,669 3,755-0,693484 8 5,68 5,09 3,679 3,765-1,945 84 5,5 5,306 3,69 3,776 -,13715 86 5,354 5,404 3,703 3,789-3,18745 88 5,193 5,491 3,719 3,804-3,544369 90 5,038 5,564 3,737 3,8-3,519146 Για λόγους πληρότητας παραθέτουµε και την πυκνότητα νετρονίων µερικών ισοτόπων του ασϐεστίου. Το ίδιο κάνουµε και για τα υπόλοιπα στοιχεία στις αντίστοιχες ενότητες.

3 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Ασϐέστιο Σχήµα 7.1.6: ιανυσµατική πυκνότητα νετρονίων για ισότοπα του ασϐεστίου. Το ισότοπο Α=34 έχει σχεδόν υποδιπλάσια πυκνότητα στο κέντρο του από τα υπόλοιπα και ο διπλά µαγικός πυρήνας Α=48 εµφανίζει ένα σηµείο καµπής κοντά στα fm. Ο διπλά µαγικός Α=40 έχει τη µεγαλύτερη πυκνότητα στο κέντρο του.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 4 7. Οξυγόνο Σχήµα 7..1: Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο των ισοτόπων οξυγόνου. Στην ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο του οξυγόνου παρατηρούµε ένα ακρότατο στον διπλά µαγικό πυρήνα του οξυγόνου-16 (Ζ=8, Ν=8), έπειτα από µία γρήγορη αύξησή που παρατηρείται για Α=10-16, σχήµα 7..1. Η δύναµη NL1 περιγράφει µε τον καλύτερο τρόπο την ενέργεια συνδέσεως για 1 A 4 και οι άλλες δύο δυνάµεις υπερεκτιµούν την ενέργεια κατά λίγες εκατοντάδες kev. Ολες οι δυνάµεις υπερεκτιµούν σχετικά πολύ την ενέργεια συνδέσεως για Α=6 και 8 και µέχρι τον πυρήνα µε Α=5 η ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο ακολουθεί ϕθίνουσα πορεία µέχρι τα.8 MeV.

5 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Οξυγόνο Σχήµα 7..: Ακτίνα πρωτονίων και νετρονίων σύµφωνα µε τις οµάδες παραµέτρων NL1, NL3 και NLSH αντίστοιχα. Η ακτίνα πρωτονίων και νετρονίων παρουσιάζεται στο σχήµα 7... Η ακτίνα των πρωτονίων παρουσιάζει ένα έντονο ελάχιστο για Α=14 µε τιµή λίγο χαµηλότερη των 3f m. Τα αποτελέσµατα των τριών δυνάµεων παρουσιάζουν διαφορές της τάξης των µερικών δεκάτων του Φέρµι αλλά και τα τρία έχουν µία περιοχή, 8<Α<4, στην οποία δηµιουργείται µία καµπή µε λίγο µεγαλύτερες τιµές µήκους. Μέσα σε αυτή την περιοχή σηµειώνουµε ότι υπάρχει ο διπλά µαγικός πυρήνας Α=36(Ζ=8, Ν=8). Ακόµη, υπάρχει ένα σηµείο καµπής για Α=18 και στα τρία διαγράµµατα. Τέλος, η ακτίνα πρωτονίων διατηρεί µία ϕθίνουσα κλίση µέχρι και λίγο µετά από το οξυγόνο-16 και αφού εµφανίσει ένα µικρό πλατό µέχρι το οξυγόνο-4, αρχίζει να αυξάνεται αργά µέχρι τα 3 fm.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 6 Σχήµα 7..3: Νετρονική επιδερµίδα των ισοτόπων οξυγόνου. Η νετρονική επιδερµίδα ξεκινάει µε µηδενικές τιµές και ακολουθεί γνησίως αύξουσα µεταβολή καθώς αυξάνεται ο µαζικός αριθµός, σχήµα 7..3. Τα δύο σηµεία καµπής της ακτίνας νετρονίων που δείξαµε πριν εµφανίζονται και στην τιµή της πυρηνικής νετρονικής επιδερµίδας.

7 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Οξυγόνο Η ενέργεια σύζευξης νετρονίου παρουσιάζει µεγάλο ενδιαφέρον, σχήµα 7..4. Ξεκινάει από υ- ψηλές τιµές για το οξυγόνο-10 και παρουσιάζει έ- να ολικό ελάχιστο στον διπλά µαγικό πυρήνα του οξυγόνου-16. Αµέσως µετά αυξάνεται και παρουσιάζει ακόµη ένα τοπικό ελάχιστο στο οξυγόνο-4. Στους πυρήνες µε Α=6 και 8 έχει σχεδόν ίδιες τιµές για όλες τις δυνάµεις και έπειτα συνεχίζει να αυξάνεται, παρουσιάζοντας ένα ακόµη τοπικό ελάχιστο στο Α=4 (NL3) και 44 (NL1, NLSH). Παρουσιά- Ϲουµε τα ισότοπα µε Α> µόνο για ϑεωρητικούς σκοπούς µιας και η γραµµή κόρου του οξυγόνου ϐρίσκεται κοντά στα Α=0-. Σχήµα 7..4: Ενέργεια σύζευξης νετρονίων στα ισότοπα οξυγόνου για κάθε οµάδα παρα- µέτρων.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 8 Σχήµα 7..5: Ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων για την ισοτοπική αλυσίδα του Οξυγόνου. Στο σχήµα 7..5 µπορούµε να δούµε την ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων για τα διάφορα ισότοπα του οξυγόνου. Χαρακτηριστικά είναι τα σηµεία γύρω από τον διπλά µαγικό πυρήνα Α=16. Βλέπουµε ότι για να αφαιρέσουµε νετρόνια από τον διπλά µαγικό πυρήνα χρειαζόµαστε ενέργεια κοντά στα 30 MeV και για να αποµακρυνθούµε ακόµη περισσότερο από τη σταθερότητα του Α=16 και να πάµε σε Α=1 χρειαζόµαστε ακόµη περισσότερη ενέργεια. Αυτή η επιπλέον ενέργεια είναι αναγκαία για να αντισταθµίσουµε την τάση του πυρήνα να γίνει από Ν=6, διπλά µαγικός µε Ν=8. Αντίστοιχα για να αφαιρέσουµε ένα Ϲεύγος νετρονίων από τον πυρήνα Α=18 και να τον κάνουµε διπλά µαγικό χρειαζόµαστε τρεις ϕορές λιγότερη ενέργεια από ό,τι για να αφαιρέσουµε την ίδια ποσότητα από τον Α=16. Οι τιµές της ενέργειας διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων παίρνουν σχεδόν µηδενικές τιµές για Α=30 και αρνητικές για Α>30. Επαναλαµβάνουµε οτι η γραµµή κόρου ϐρίσκεται αρκετά πριν το Α=30, στα Α=0-.

9 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Οξυγόνο Πίνακας 7.4: Αποτελέσµατα οξυγόνου µε τη δύναµη NL1. A Εν. σύνδ./α(mev ) r n (fm) r p (fm) r p.exp (fm) r charge (fm) r exp charge (fm) S n(mev ) 10,494 4,01 3,896 3,977 1 5,185 3,18 3,069 3,17 37,78339 14 7,079,94,743,857 36,898159 16 7,976 3,048,676,578,793,6991 8,505011 18 7,854 3,3,66,655,78,776 13,7676 0 7,576 3,43,654,77 10,137994 7,331 3,54,653,771 9,753379 4 7,065 3,65,661,779 8,94907 6 6,688 3,841,694,81 4,36844 8 6,301 3,999,749,863,538199 30 5,894 4,11,786,898 0,399643 3 5,467 4,465,799,911-1,8878 34 5,078 4,681,809,91 -,30333 36 4,71 4,86,8,933 -,686574 38 4,39 5,003,84,951-3,060568 40 4,093 5,115,863,973-3,161061 4 3,84 5,1,887,996-3,1150 44 3,579 5,313,91 3,018-3,1584 46 3,351 5,46,93 3,038-3,31668 48 3,14 5,546,947 3,054-3,431856 50,945 5,665,963 3,069-3,439445 5,767 5,781,976 3,08-3,385508 Πίνακας 7.5: Αποτελέσµατα οξυγόνου µε τη δύναµη NL3. A Εν. σύνδ./α(mev ) r n (fm) r p (fm) r p.exp (fm) r charge (fm) r exp charge (fm) S n(mev ) 10,56 3,831 3,691 3,777 1 5,59 3,148,94 3,049 37,511986 14 7,177,896,671,789 37,36416 16 8,07,997,617,578,736,6991 8,67993 18 7,936 3,7,608,655,78,776 13,697676 0 7,675 3,357,603,74 10,6387 7,456 3,43,606,76 10,5970 4 7,184 3,573,63,74 8,388598 6 6,814 3,749,657,775 4,745408 8 6,447 3,879,707,8 3,35799 30 6,039 4,093,739,853 0,65837 3 5,598 4,355,75,866 -,031058 34 5,0 4,566,763,876 -,8893 36 4,844 4,78,777,89 -,473674 38 4,51 4,84,796,908 -,599894 40 4,33 4,917,819,931 -,475894 4 3,976 4,98,844,954 -,331134 44 3,737 5,069,867,976 -,55684 46 3,508 5,184,885,994-3,054364 48 3,93 5,308,90 3,01-3,318 50 3,095 5,46,917 3,05-3,31119 5,913 5,54,931 3,039-3,4304

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 30 Πίνακας 7.6: Αποτελέσµατα οξυγόνου µε τη δύναµη NLSH. A Εν. σύνδ./α(mev ) r n (fm) r p (fm) r p.exp (fm) r charge (fm) r exp charge (fm) S n(mev ) 10,35 3,695 3,66 3,747 1 5,135 3,086,886,994 38,369954 14 7,133,867,636,755 38,3635 16 8,04,969,585,578,706,6991 8,8018 18 7,904 3,43,577,655,699,776 13,59349 0 7,65 3,319,575,697 10,736103 7,437 3,39,581,70 10,6157 4 7,17 3,559,601,71 7,417595 6 6,79 3,739,634,753 3,916113 8 6,345 3,863,677,794,71861 30 5,97 4,077,707,8 0,19378 3 5,473 4,353,719,834 -,66918 34 5,063 4,579,79,844 -,979597 36 4,694 4,753,741,855-3,1744 38 4,359 4,875,757,871-3,3316 40 4,06 4,95,777,89-3,5759 4 3,795 5,011,799,911-3,036546 44 3,549 5,094,818,99-3,04756 46 3,314 5,18,83,943-3,7098 48 3,091 5,357,843,954-4,070895 50,885 5,49,854,964-4,15746 5,695 5,61,864,974-4,0971 Σχήµα 7..6: ιανυσµατική πυκνότητα νετρονίων για ισότοπα του οξυγόνου. Παρατηρείστε την υποδιπλάσια πυκνότητα του διπλά µαγικού Α=10 και το µέγιστο των πυρήνων κοντά στην γραµµή κόρου Ϲεύγους νετρονίων, Α=0-.

31 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Κασσίτερος 7.3 Κασσίτερος Σχήµα 7.3.1: Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο των ισοτόπων κασσίτερου. Στην περίπτωση του κασσίτερου η ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο αναπαράγεται σε πολύ ικανοποιητικό ϐαθµό, ιδιαίτερα µε τις οµάδες παραµέτρων NL3 και NLSH, σχήµα 7.3.1. Παρατηρούµε µία αρχική αύξηση της τιµής της µέχρι τον πυρήνα Α=114 και έπειτα τη µείωσή της. Για Α>130 παρουσιάζεται µία µεγάλη και σχεδόν γραµµική µείωση της µέσης ενέργειας σύνδεσης ανά νουκλεόνιο

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 3 Σχήµα 7.3.: Ακτίνα πρωτονίων και νετρονίων σύµφωνα µε τις οµάδες παραµέτρων NL1, NL3 και NLSH αντίστοιχα. Από την άλλη, η ακτίνα νετρονίων και η ακτίνα πρωτονίων έχουν µία γνησίως αύξουσα τάση, σχήµα 7.3.. Ξεκινάνε πολύ κοντά στα 4.4 f m, µε την ακτίνα νετρονίων να είναι µικρότερη των πρωτονίων γίνονται περίπου ίσες για Α=10 (Ζ=50, Ν=5) και έπειτα η ακτίνα νετρονίων ξεπερνάει γραµµικά την τιµή της ακτίνας πρωτονίων.

33 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Κασσίτερος Σχήµα 7.3.3: Νετρονική επιδερµίδα των ισοτόπων κασσίτερου. Από τη διαφορά µεταξύ των δύο ακτίνων ϐλέπουµε ότι η νετρονική επιδερµίδα ακολουθεί µία ϕθίνουσα µεταβολή µέχρι τον πυρήνα Α=10 και µία γραµµική αύξουσα µεταβολή για Α>10 µε ένα σηµείο καµπής κοντά στο Α=18, σχήµα 7.3.3. Οι δυνάµεις NL3 και NLSH δίνουν σχεδόν ταυτόσηµα αποτελέσµατα ενώ η δύναµη NL1 δίνει µεγαλύτερο πάχος της νετρονικής επιδερµίδας για ισότοπα πλούσια σε νετρόνια.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 34 Στο σχήµα 7.3.4 παρατηρούµε µία περίπλοκη µεταβολή της ενέργειας σύζευξης των νετρονίων κα- ϑώς αυξάνεται η µάζα του πυρήνα. Καταρχάς και µε τις τρεις διαφορετικές δυνάµεις παρατηρούµε ένα ολικό ελάχιστο στον διπλά µαγικό πυρήνα Α=100 και τοπικά ελάχιστα στον πυρήνα µε Α=13 και στον πυρήνα µε Α=16. Τα ισότοπα µε Α=108 έχουν ε- νέργεια σύζευξης νετρονίου που είτε είναι σηµείο καµπής για τις οµάδες παραµέτρων NL3 και NLSH είτε είναι τοπικό µέγιστο για την NL1. Παρατηρείστε τη µετατόπιση του µεγίστου µεταξύ Α=144-15 για τις διαφορετικές οµάδες παραµέτρων. Αξιοπρόσεκτη είναι επίσης και η µεγάλη αύξηση της ενέργειας σύ- Ϲευξης νετρονίου µετά το τελευταίο ελάχιστο για την οµάδα παραµέτρων NL1. Για την NL3 η αύξηση είναι περίπου υποδιπλάσια ενώ για την NLSH υπάρχει πλατό περίπου στα 16 MeV. Σχήµα 7.3.4: Ενέργεια σύζευξης νετρονίων στα ισότοπα κασσίτερου για κάθε οµάδα πα- ϱαµέτρων.

35 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Κασσίτερος Σχήµα 7.3.5: Ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων για την ισοτοπική αλυσίδα του Κασσίτερου. Η ενέργεια διαχωρισµού Ϲεύγους νετρονίων έχει σηµαντικές διακυµάνσεις στους διπλά µαγικούς πυ- ϱήνες Α=100 και Α=13, σχήµα 7.3.5. Αυτό είναι αναµενόµενο από την αυξηµένη ενέργεια σύνδεσης που επιβάλει το κλείσιµο των αντίστοιχων ϕλοιών. Μία λιγότερο έντονη µεταβολή της ενέργειας διαχω- ϱισµού Ϲεύγους νετρονίων εµφανίζεται για Α=160-166. Επίσης, υπάρχει ένα αξιόλογα σταθερό πλατό στους πυρήνες Α=13-160 και για τις τρεις διαφορετικές οµάδες παραµέτρων. Η αρνητική κλίση στην περιοχή µεταξύ των δύο διπλά µαγικών πυρήνων εξηγείται από την όλο και ευκολότερη αφαίρεση Ϲεύγους νετρονίου µε αυξανόµενο τον µαζικό αριθµό. Τέλος, παρατηρείστε ότι αρνητικές τιµές παίρνουµε µονάχα µε τη δύναµη NL1.

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕΣΟΥ ΠΕ ΙΟΥ 36 Πίνακας 7.7: Αποτελέσµατα κασσίτερου µε τη δύναµη NL1. A Εν. σύνδ./α(mev ) r n (fm) r p (fm) r p.exp (fm) r charge (fm) r exp charge (fm) S n(mev ) 98 8,178 4,341 4,418 4,489 100 8,34 4,37 4,41 4,48 3,7874 10 8,403 4,435 4,43 4,495,898346 104 8,436 4,493 4,44 4,514 0,3171 106 8,464 4,547 4,46 4,533 19,860694 108 8,489 4,598 4,48 4,490 4,553 4,5605 19,634584 110 8,511 4,646 4,50 4,508 4,57 4,5785 19,404608 11 8,59 4,69 4,5 4,55 4,59 4,5948 19,09171 114 8,54 4,738 4,536 4,540 4,606 4,6099 18,86534 116 8,541 4,786 4,551 4,555 4,61 4,65 17,136376 118 8,533 4,83 4,564 4,570 4,634 4,6393 16,146517 10 8,518 4,876 4,577 4,583 4,646 4,6519 15,86403 1 8,495 4,916 4,589 4,594 4,658 4,6634 14,9854 14 8,467 4,95 4,601 4,605 4,67 4,6735 13,517094 16 8,437 4,986 4,613 4,614 4,68 4,6833 13,054808 18 8,404 5,0 4,66 4,63 4,695 4,691 1,698116 130 8,369 5,054 4,639 4,633 4,707 4,7019 1,3965 13 8,35 5,094 4,65 4,641 4,7 4,7093 10,89809 134 8,45 5,159 4,666 4,734 5,936359 136 8,151 5,7 4,679 4,747 3,733444 138 8,059 5,89 4,69 4,76 3,548137 140 7,968 5,349 4,705 4,773 3,467447 14 7,879 5,408 4,718 4,786 3,37957 144 7,79 5,466 4,733 4,8 3,15134 146 7,706 5,5 4,748 4,815,995108 148 7,61 5,575 4,766 4,833,91404 150 7,539 5,64 4,787 4,853,90349 15 7,459 5,67 4,809 4,876,964695 154 7,38 5,713 4,833 4,899 3,07918 156 7,308 5,755 4,857 4,93 3,18357 158 7,36 5,796 4,881 4,946 3,8979 160 7,165 5,838 4,90 4,967 3,07087 16 7,091 5,883 4,9 4,987,385065 164 7,01 5,93 4,94 5,004 0,81909 166 6,9 5,98 4,958 5,0-0,4856 168 6,834 6,04 4,977 5,04-0,93983 170 6,748 6,066 4,996 5,059-1,053109

37 ΘΩΜΑΣ ΠΡΙΜΙ ΗΣ Κασσίτερος Πίνακας 7.8: Αποτελέσµατα κασσίτερου µε τη δύναµη NL3. A Εν. σύνδ./α(mev ) r n (fm) r p (fm) r p (fm) r charge (fm) r exp charge (fm) S n(mev ) 98 8,16 4,33 4,406 4,479 100 8,9 4,365 4,406 4,478 3,7587 10 8,354 4,45 4,4 4,493 3,036111 104 8,393 4,477 4,443 4,514 0,816453 106 8,43 4,56 4,464 4,536 0,660918 108 8,46 4,57 4,484 4,490 4,555 4,5605 0,356816 110 8,487 4,617 4,501 4,508 4,57 4,5785 19,664596 11 8,505 4,659 4,515 4,55 4,585 4,5948 18,94658 114 8,515 4,70 4,58 4,540 4,598 4,6099 18,00489 116 8,515 4,745 4,541 4,555 4,611 4,65 17,03483 118 8,507 4,787 4,554 4,570 4,64 4,6393 16,08134 10 8,495 4,87 4,567 4,583 4,637 4,6519 15,560705 1 8,48 4,864 4,58 4,594 4,649 4,6634 15,18475 14 8,463 4,899 4,59 4,605 4,661 4,6735 14,90349 16 8,446 4,931 4,604 4,614 4,673 4,6833 14,6979 18 8,47 4,96 4,616 4,63 4,685 4,691 14,49396 130 8,406 4,993 4,68 4,633 4,697 4,7019 14,147591 13 8,375 5,031 4,64 4,641 4,709 4,7093 1,746091 134 8,97 5,096 4,655 4,73 6,76 136 8,0 5,16 4,671 4,739 3,668684 138 8,109 5,17 4,687 4,754 3,564387 140 8,019 5,7 4,703 4,771 3,635 14 7,93 5,319 4,71 4,788 3,70313 144 7,848 5,366 4,74 4,807 3,80451 146 7,768 5,41 4,76 4,87 3,9944 148 7,69 5,45 4,78 4,847 4,091654 150 7,616 5,494 4,8 4,866 4,3734 15 7,544 5,536 4,819 4,885 4,336741 154 7,475 5,578 4,836 4,90 4,379537 156 7,407 5,6 4,851 4,917 4,35589 158 7,34 5,66 4,866 4,931 4,78735 160 7,74 5,704 4,88 4,945 4,060558 16 7,05 5,744 4,894 4,959 3,4617 164 7,13 5,781 4,91 4,974,33933 166 7,055 5,813 4,97 4,99 1,518547 168 6,979 5,841 4,946 5,01 1,7986 170 6,904 5,868 4,965 5,09 1,668