1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύνοψη Παρατίθεται το υπόβαθρο βασικών γνώσεων που απαιτούνται για την κατανόηση και την περιγραφή της κίνησης και της δυναμικής ενός εν πτήσει τυπικού αεροσκάφους. Περιλαμβάνουν τη θεμελιώδη δομή και αεροδυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους, τις κύριες προϋποθέσεις και απαιτήσεις για τη δομή του και τις διάφορες φάσεις στις οποίες περιέρχεται κατά τη διάρκεια μιας πτήσης. Επίσης, περιγράφονται τα βασικά γεωμετρικά μεγέθη του αεροσκάφους και οι συμβολισμοί, υπό τα οποία καταστρώνονται οι εξισώσεις κίνησης και χρησιμοποιούνται κατά την έκταση του παρόντος συγγράμματος. Προαπαιτούμενη γνώση Σε επιστημονικό επίπεδο απαιτούνται βασικές ουσιώδεις γνώσεις μηχανικής ρευστών και αεροδυναμικής. Συμπληρωματικά, απαιτούνται έννοιες μηχανικής, δυναμικής και μαθηματικών σε στοιχειώδες επίπεδο. Τεχνικά, απαιτούνται γνώσεις της δομής, των βασικών συνιστωσών και της λειτουργίας ενός τυπικού αεροσκάφους. 1. Βασικές έννοιες αεροδυναμικής και δυνάμεις στο αεροσκάφος Η αεροδυναμική αποτελεί ένα από τα πεδία της μηχανικής των ρευστών και ασχολείται με την αλληλεπίδραση του αέρα κυρίως, με ένα κινούμενο σώμα. Το αεροσκάφος είναι μία τέτοια περίπτωση, καθώς εκμεταλλεύεται τη σχετική του κίνηση με την ατμόσφαιρα για να πετάξει. Σε αυτό το υποκεφάλαιο, μελετώνται τα φυσικά φαινόμενα και τα μέσα τα οποία χρησιμοποιούν οι μηχανικοί για την επίτευξη της πτήσης. Συγκεκριμένα, ακολουθεί αναφορά στις αεροτομές και τη βασική θεωρία γύρω από το θέμα, όπως και οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα ιπτάμενο αεροσκάφος σε διάφορες καταστάσεις πτήσης (οριζόντια, ανοδική κ.ά.). Εν τέλει παρουσιάζονται οι παραδοχές και οι υποθέσεις υπό τις οποίες αναπτύσσεται το μεγαλύτερο μέρος της ανάλυσης στο υπόλοιπο σύγγραμμα. 1.1. Φυσική λειτουργία αεροτομής πτέρυγας Η τομή μιας πτέρυγας από επίπεδο παράλληλο του επιπέδου συμμετρίας του αεροσκάφους, ονομάζεται αεροτομή (airfoil) πτέρυγας, όπως ορίζεται στο [1]. Υπό μια δισδιάστατη θεώρηση, η αεροτομή ορίζεται ως το γεωμετρικό σχήμα το οποίο όταν εκτίθεται σε ρεύμα αέρα, αναπτύσσει ανωστικές δυνάμεις, λόγω της ανισορροπίας στην κατανομή της πίεσης μεταξύ της πάνω και κάτω πλευράς του. Η χρησιμότητα αυτής της ιδιότητας χρίζει την αεροτομή ως καθοριστικό εργαλείο σε αμέτρητες εφαρμογές στη σύγχρονη βιομηχανία και την καθημερινή μας ζωή. Από τις πτέρυγες των αεροσκαφών και τις βαθμίδες των συμπιεστών μέχρι τον εξαερισμό κτιρίων και την άρδευση, η αεροτομή αποτελεί αναντικατάστατο κομμάτι στις πλείστες περιπτώσεις. Μία απλοϊκή περιγραφή του τρόπου λειτουργίας, μπορεί να είναι η εξής: Η κυρτότητα της αεροτομής, «αναγκάζει» τη ροή να αποκτήσει μεγαλύτερη ταχύτητα στη μία πλευρά σε σχέση με την άλλη, ούτως ώστε, να διατηρηθεί η ενέργεια του ρευστού, καθώς έχει μεγαλύτερη απόσταση να διανύσει στην πλευρά αυτή. Αυτό το φαινόμενο περιγράφεται από την εξίσωση του Bernoulli: όπου Ε: ολική ενέργεια, V: ταχύτητα ροής, E = V2 2 + p + U + gz (1.1) ρ
p: στατική πίεση, ρ: πυκνότητα, U: εσωτερική ενέργεια, g: επιτάχυνση βαρύτητας, z: υψομετρική διαφορά ή στάθμη. Στην περίπτωση των αερίων και ειδικά στις συνθήκες πτήσης ενός αεροσκάφους, αμελείται η επίδραση της βαρύτητας και η εσωτερική ενέργεια. Πολλαπλασιάζοντας με την πυκνότητα, προκύπτει η έκφραση της ολικής πίεσης, ως το άθροισμα δυναμικής (Q) και στατικής (p) πίεσης: p 0 = ρ V2 2 + p (1.2) Επομένως, η διαφορά ταχύτητας μεταξύ άνω και κάτω επιφάνειας προκαλεί ανισορροπία της πίεσης μεταξύ των δύο πλευρών, η οποία δημιουργεί τη δύναμη της άνωσης. Ασφαλώς όμως, εφόσον η αεροτομή είναι ένα στερεό που αλληλεπιδρά με ρεύμα συνεκτικού ρευστού, είναι αναμενόμενη η ύπαρξη μίας δύναμης αντίστασης η οποία ονομάζεται οπισθέλκουσα. Οι δυνάμεις αυτές φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα, όπως παρουσιάζεται στο [2]: Σχήμα 1.1 Δυνάμεις και κατανομή πίεσης σε αεροτομή τοποθετημένη σε ρεύμα αέρα. όπου L (Lift): δύναμη άνωσης ή άνωση, D (Drag): δύναμη αντίστασης ή οπισθέλκουσα, M (Moment): ροπή, U: ταχύτητα ροής. Η δύναμη της οπισθέλκουσας έχει την ίδια διεύθυνση με την ταχύτητα της ροής, ενώ η άνωση είναι κάθετη στην οπισθέλκουσα. Στο Σχήμα 1.2 παρουσιάζονται τα γεωμετρικά μεγέθη και η ορολογία που εμπλέκονται στην ανάλυση των αεροτομών.
Σχήμα 1.2 Ορολογία αεροτομών Ο ορολογία αυτή έχει ως εξής: ακμή προσβολής ή πρόσπτωσης: το σημείο με τη μεγαλύτερη καμπυλότητα στο μπροστά μέρος της αεροτομής, ακμή εκφυγής: το σημείο με τη μεγαλύτερη καμπυλότητα στο πίσω μέρος της αεροτομής, χορδή (c): η ευθεία που ενώνει τις ακμές προσβολής και εκφυγής, μέση γραμμή ή γραμμή καμπυλότητας (camber line): ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από την πάνω και την κάτω επιφάνεια της αεροτομής, πάχος (t): η κατανομή του ποικίλει κατά μήκος της χορδής. Μετράται με δύο τρόπους, είτε κάθετα στη μέση γραμμή είτε κάθετα στη χορδή, άνω επιφάνεια ή επιφάνεια αναρρόφησης: γενικά η μέση ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από αυτή της ροής, ενώ η στατική πίεση είναι μικρότερη, κάτω επιφάνεια ή επιφάνεια πίεσης: γενικά η μέση ταχύτητα είναι μικρότερη από αυτή της ροής, ενώ η στατική πίεση είναι μεγαλύτερη, γωνία πρόσπτωσης (α): η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα της ταχύτητας της ροής με τη χορδή, S: πτερυγική επιφάνεια, b: εκπέτασμα, γωνία κατωρεύματος (ε): η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της ελεύθερης ροής και της διεύθυνσης της ροής στην ακμή εκφυγής. 1.1.1. Χαρακτηριστικά απόδοσης αεροτομών Συντελεστές Άνωσης, Αντίστασης, Ροπής Για την περιγραφή των χαρακτηριστικών μιας αεροτομής, όπως για παράδειγμα την ικανότητα δημιουργίας άνωσης σε δεδομένο ρεύμα αέρα, θεσπίστηκαν συγκεκριμένοι συντελεστές οι οποίοι σχετίζονται με τη γεωμετρία της και μεταβάλλονται ανάλογα με τις διάφορες συνθήκες στις οποίες περιέρχεται η αεροτομή. Οι συντελεστές αυτοί είναι σε αδιάστατη μορφή και έτσι παρέχουν με απλό και εύχρηστο τρόπο τη δυνατότητα καταγραφής των αποδόσεων και της συμπεριφοράς μιας συγκεκριμένης αεροτομής για σκοπούς τυποποίησης, σύγκρισης ή έρευνας. Οι συντελεστές αυτοί χρησιμοποιούν τη δυναμική πίεση Q, η οποία ορίζεται ως:
Q = ρ V2 2 [ N m 2 = Pa] (1.3) Ουσιαστικά, η δυναμική πίεση Q αποτελεί μια έκφραση της κινητικής ενέργειας της ροής. Επιπλέον, χρησιμοποιούν βασικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά του αεροσκάφους, όπως η επιφάνεια πτερύγων S και το μήκος χορδής της πτέρυγας c. Γενικά, οι αδιάστατοι συντελεστές που χρησιμοποιούνται στα πλαίσια του παρόντος συγγράμματος αδιαστατοποιούνται με όμοιο τρόπο, ανάλογα με το αν χαρακτηρίζουν την αδιαστατοποίηση δυνάμεων ή ροπών. Οι τρεις βασικότεροι συντελεστές είναι οι συντελεστές άνωσης, οπισθέλκουσας και ροπής, οι οποίοι ορίζονται στις εξισώσεις (1.4)-(1.6) αντίστοιχα. C L = L QS (1.4) C D = D (1.5) QS C M = M (1.6) QSc Επίσης, ορίζεται ο συντελεστής πίεσης: C p = p p (1.7) Q όπου p, η ατμοσφαιρική πίεση. Τυπικά διαγράμματα της εξάρτησης των συντελεστών αυτών από τη γωνία πρόσπτωσης παρουσιάζονται στα σχήματα 1.3 και 1.4. Σχήμα 1.3 Συντελεστές άνωσης και αντίστασης αεροτομής συναρτήσει της γωνίας πρόσπτωσης
Σχήμα 1.4. Συντελεστές πίεσης και ροπής αεροτομής συναρτήσει της γωνίας πρόσπτωσης Στην υποηχητική πτήση με την οποία και ασχολούμαστε, τα φαινόμενα συμπιεστότητας δεν είναι ιδιαίτερα έντονα και γενικά οι γωνίες πρόσπτωσης είναι μικρές. Γι αυτό συνήθως θεωρείται ότι η εξάρτηση του συντελεστή άνωσης από τη γωνία πρόσπτωσης, είναι γραμμική και εκφράζεται υπό τη μορφή: C L = C L α (α α 0) (1.8) όπου C Lα = C L : κλίση καμπύλης άνωσης, α α0: γωνία πρόσπτωσης μηδενικής άνωσης. Ο συντελεστής οπισθέλκουσας CD,συνδέεται με τον συντελεστή άνωσης CL, μέσω της σχέσης: 2 C D = C Dmin + k C L (1.9) όπου ο συντελεστής CDmin, αντιστοιχεί σε μηδενική άνωση και k είναι ένας συντελεστής που εξαρτάται κυρίως από τη γεωμετρία της πτέρυγας. 1.1.2. Αεροδυναμικά κέντρα αναφοράς Τα αεροδυναμικά κέντρα αναφοράς ορίζονται ως σημεία της αεροτομής στα οποία ισχύουν συγκεκριμένες συνθήκες οποίες αφορούν τις δυνάμεις που ασκούνται στην αεροτομή. Τα σημεία αυτά χρησιμοποιούνται ως σημεία αναφοράς για διάφορες αναλύσεις, για τον καθορισμό γεωμετρικών μεγεθών κ.ά.
Σχήμα 1.5. Αεροδυναμικά κέντρα αναφοράς Δύο τέτοια σημεία, είναι το αεροδυναμικό κέντρο ac και το κέντρο πίεσης cp. Η συνισταμένη δύναμη F της άνωσης και της αντίστασης μπορεί να αναλυθεί σε δύο άλλες συνιστώσες, σύμφωνα με τον Cook [3]. Τη δύναμη λόγω καμπυλότητας της πτέρυγας Fc και τη δύναμη λόγω της γωνίας πρόσπτωσης Fα. Όπως φαίνεται και στο σχήμα (1.5), οι δύο αυτές δυνάμεις, μπορούν επίσης να αναλυθούν σε συνιστώσες άνωσης και αντίστασης, ενώ ισχύει: F = F α + F c (1.10) Η δύναμη λόγω καμπυλότητας Fc είναι σταθερή και εφαρμόζεται στο μέσο της χορδής, ενώ για συμμετρική αεροτομή, μηδενίζεται. Η δύναμη λόγω της γωνίας πρόσπτωσης Fα, εφαρμόζεται στο ¼ της χορδής. Το αεροδυναμικό κέντρο ac, ορίζεται ως το σημείο ως προς το οποίο η ροπή Μ, είναι ανεξάρτητη της γωνίας πρόσπτωσης. Για χαμηλούς αριθμούς Mach βρίσκεται στο 25% της χορδής (c/4) ή πολύ κοντά σε αυτό. Το κέντρο πίεσης cp, είναι το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης δύναμης F και επομένως το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η ροπή. Κινείται μεταξύ του αεροδυναμικού κέντρου και του μέσου της χορδής ανάλογα με τη γωνία πρόσπτωσης, με την ταχύτητα του ρεύματος του αέρα και με τη γεωμετρία της αεροτομής. Έτσι, για χαμηλές ταχύτητες και μεγάλες γωνίες πρόσπτωσης, το κέντρο πίεσης βρίσκεται πιο κοντά στο αεροδυναμικό κέντρο, ενώ για μεγάλες ταχύτητες και μικρές γωνίες πρόσπτωσης βρίσκεται πιο κοντά στο μέσο της χορδής. Η θέση του, δηλαδή, εξαρτάται από την αναλογία των Fc και Fa. 1.1.3. Κυκλοφορία και στρόβιλοι Η διαφορά πίεσης που δημιουργείται μεταξύ της πάνω και κάτω επιφάνειας της αεροτομής προκαλεί την κυκλοφορία της ροής γύρω από την αεροτομή, όπως αναφέρει ο Crawford [4]. Η κυκλοφορία Γ, ορίζεται ως το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της ταχύτητας «περιμετρικά» της αεροτομής και η θετική φορά της φαίνεται στο σχήμα 1.6: Γ = U dl C (1.11)
Σχήμα 1.6 Ορισμός της κυκλοφορίας Η τιμή της κυκλοφορίας γύρω από την αεροτομή, ώστε η προκύπτουσα ροή να έχει φυσική υπόσταση, καθορίζεται από τη συνθήκη Kutta σύμφωνα με την οποία για μόνιμες συνθήκες ροής, η ροή στην ακμή εκφυγής πρέπει να είναι ομαλή. Δηλαδή στην ακμή εκφυγής η πίεση της πάνω επιφάνειας πρέπει να ισούται με την πίεση της κάτω επιφάνειας όπως δείχνει το σχήμα 1.7, όπου o δείκτης ΤΕ ορίζει την ακμή εκφυγής (Trailing Edge). Σχήμα 1.7 Συνθήκη Kutta στην ακμή εκφυγής Σημείο ανακοπής, ορίζεται ως το σημείο στο οποίο η ταχύτητα μηδενίζεται. Τότε από την εξίσωση (1.1), συνεπάγεται ότι η ολική πίεση ισούται με τη στατική. Θεωρητικά, για μία αεροτομή σε μη-συνεκτικό πεδίο ροής, η μορφή των γραμμών ροής θα ήταν όπως στο σχήμα 1.8.(α). Η διαφορά πίεσης θα μετακινούσε το πίσω σημείο ανακοπής στην πάνω επιφάνεια της πτέρυγας. Στην πραγματικότητα όμως, λόγω της συνεκτικότητας του, ο αέρας δεν κάνει αυτή τη στροφή στην ακμή εκφυγής. Εφόσον εξ ορισμού η κυκλοφορία πρέπει να παραμένει σταθερή στην επιφάνεια ελέγχου του σχήματος 1.6, δημιουργείται ένας αντίθετος στρόβιλος, ο οριακός στρόβιλος (bound vortex). Έτσι, η ροή είναι ομαλή στην ακμή εκφυγής όπως ορίζει η συνθήκη Kutta και ο αρχικός στρόβιλος μετακινείται προς τα πίσω όπως δείχνει το σχήμα 1.8.(b). Τότε το πίσω σημείο ανακοπής βρίσκεται στην ακμή εκφυγής.
Σχήμα 1.8 Δημιουργία οριακού στροβίλου (α) Μη συνεκτική ροή (b) Πραγματική ροή (c) Σημεία ανακοπής Υπό την υπόθεση μη-συνεκτικής ροής, σύμφωνα με το θεώρημα Kutta- Joukowski η σχέση μεταξύ της άνωσης που παράγει η πτέρυγα και της κυκλοφορίας προκύπτει: L = ρuγb [N] (1.12) Η ανωτέρω ανάλυση αναφέρεται στις αεροτομές υπό μια δισδιάστατη οπτική. Σε μία πραγματική πτέρυγα όμως, το πεδίο ροής που σχηματίζεται όταν τοποθετηθεί σε ένα ρεύμα αέρα είναι πιο πολύπλοκο και έχει τρισδιάστατα χαρακτηριστικά. Εφόσον η πτέρυγα έχει πεπερασμένο εκπέτασμα, δεδομένης της διαφοράς πίεσης άνω και κάτω επιφάνειας και της τάσης της ροής να τις εξισώσει, στο άκρο της δημιουργείται ο στρόβιλος της κορυφής εκφυγής (trailing tip vortex). Αυτός ο στρόβιλος, είναι συνάρτηση της κυκλοφορίας και εξασθενεί πίσω από την πτέρυγα λόγω της συνεκτικότητας και της τύρβης. Σχήμα 1.9 Δημιουργία των στροβίλων των ακμών εκφυγής 1.1.4 Γωνία κατωρεύματος (downwash angle) Κατ αρχήν πρέπει να οριστούν οι έννοιες ανώρευμα και κατώρευμα. Όπως αναλύθηκε στην εισαγωγή του υποκεφαλαίου 1.1, η λειτουργία της πτέρυγας βασίζεται ουσιαστικά στη δημιουργία άνωσης εκτρέποντας το ελεύθερο ρεύμα του αέρα. Η παρεμβολή της πτέρυγας προκαλεί μεταβολή της ταχύτητας του αέρα σε σχέση με την ταχύτητα του ελεύθερου ρεύματος. Ποιοτικά, όπως παριστάνεται στα σχήματα 1.2 και 1.8, η φυσική λειτουργία της αεροτομής διαχωρίζει το πεδίο ροής στην πάνω και κάτω επιφάνεια της αεροτομής με το σημείο ανακοπής ως αναφορά, σύμφωνα με το [4].
Σχήμα 1.10 Κατανομή ταχυτήτων οριακού στροβίλου σε ανώρευμα/κατώρευμα Σχήμα 1.11 Κατανομή ταχυτήτων σε ανώρευμα/κατώρευμα. Πρόσθετη επίδραση στροβίλων κορυφών εκφυγής Απομονώνοντας μόνο την επίδραση του οριακού στροβίλου στο κατώρευμα, η οποία είναι και η σημαντικότερη, η γραφική απεικόνιση των ταχυτήτων ως απόρροια αυτού του διαχωρισμού φαίνεται στο σχήμα 1.10, επιβάλλοντας το διαχωρισμό τους σε δύο περιοχές, χαρακτηριζόμενες αντίστοιχα ως ανώρευμα και κατώρευμα, ανάλογα με τη φορά της ταχύτητας. Η μετάβαση μεταξύ των δύο ρευμάτων, γίνεται στο αεροδυναμικό κέντρο της αεροτομής.
Σχήμα 1.12 Φαινόμενα ανωρεύματος/κατωρεύματος σε τρισδιάστατη πτέρυγα Η πρόσθετη επίδραση του στροβίλου της ακμής εκφυγής φαίνεται στο σχ. 1.11. Η παράσταση των φαινομένων του ανωρεύματος και του κατωρεύματος στις τρεις διαστάσεις, όπως την παρουσιάζει ο Nelson [5], φαίνεται στο σχ. 1.12. Η γωνία κατωρεύματος επηρεάζει τη γωνία πρόσπτωσης της πτέρυγας, καθώς η μέση σχετική ταχύτητα του ανέμου που χρησιμοποιείται για τη δημιουργία της άνωσης αλλάζει διεύθυνση. Η γωνία πρόσπτωσης αποτελείται από το άθροισμα της τοπικής γωνίας πρόσπτωσης iw και της προκύπτουσας γωνίας πρόσπτωσης αfrl που αντιστοιχεί με τη γωνία κατωρεύματος. Περαιτέρω ανάλυση παρουσιάζεται στο υποκεφάλαιο 2.1, του κεφαλαίου 2. Για ένα πρόχειρο υπολογισμό της γωνίας κατωρεύματος ε, εφαρμόζεται η θεωρία του δίσκου ορμής. Μία συνήθης, απλοποιημένη μορφή της θεωρίας που εμπλέκει τη γωνία αυτή είναι η εξής: Θεωρείται ένας κυλινδρικός όγκος ελέγχου με διάμετρο το εκπέτασμα της πτέρυγας, b. Η ταχύτητα της ελεύθερης ροής ορίζεται ως V. Η εκτροπή της διεύθυνσης της ροής λόγω κατωρεύματος δημιουργεί μια κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας w. Υποτίθεται ότι η αντίσταση D είναι μικρή και άρα η συνολική δύναμη που ασκείται στην πτέρυγα F, ισούται περίπου με την άνωση L. Επίσης, υποτίθεται σχετικά μικρή τη γωνία κατωρεύματος (ε < 10 ).
Σχήμα 1.13 Θεωρία δίσκου ορμής στην πτέρυγα Η δύναμη F ισούται με την παράγωγο της ορμής: F = dp dt = m dw dt + dm dt w (1.13) Αν η w θεωρηθεί σταθερή, προκύπτει: m = ρav F = ρaεv 2 ε tan ε = w V (1.14) dw { dt = 0 Όταν στο δεξί μέλος της εξίσωσης (1.13) αντικατασταθούν οι εκφράσεις στην αγκύλη της εξίσωσης (1.14), λαμβάνοντας υπόψη ότι η δύναμη F είναι ουσιαστικά η άνωση L, λόγω της μικρής αντίστασης (L F) και ορίζοντας ως ΑR τον λόγο επιμήκους της πτέρυγας, τότε προκύπτει η γωνία κατωρεύματος ως εξής: ρ L = C L 2 V2 S ε = 2C L πar { A = πb2 4 AR = b2 S (1.15) 1.2. Δυνάμεις στο αεροσκάφος Βασικό θεμέλιο της μηχανικής και της δυναμικής του αεροσκάφους και της όποιας σχετικής ανάλυσης, αποτελεί η αναγνώριση των βασικών ασκούμενων δυνάμεων στο αεροσκάφος και η διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας. Στην περίπτωση του αεροσκάφους αυτή η διατύπωση μεταβάλλεται ανάλογα με την κατάσταση πτήσης του αεροσκάφους. Οι βασικές καταστάσεις πτήσης που θα θεωρηθούν, όπως καταγράφονται από τους Etkin & Reid [6], αποτελούν τις διάφορες περιπτώσεις πτήσης σταθερής ταχύτητας (οριζόντια, ανοδική ή καθοδική), επιταχυνόμενη κίνηση και περιστροφή. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, οι παρακάτω τέσσερις δυνάμεις είναι κοινές: Η άνωση (L): παράγεται κατά την κίνηση του αεροσκάφους από τις αεροδυναμικά διαμορφωμένες συνιστώσες του αεροσκάφους (κυρίως από την πτέρυγα). Το βάρος (W-Weight): η δύναμη της βαρύτητας με φορά προς τη γη.
Η ώση (T-Thrust): η δύναμη που ασκούν οι κινητήρες του αεροσκάφους. Η οπισθέλκουσα (D): η δύναμη που αντιτίθεται στην κίνηση του αεροσκάφους. Είναι δηλαδή αντίθετη της ώσης και κάθετη με την άνωση. Σχήμα 1.14 Οι βασικές δυνάμεις που ασκούνται στο αεροσκάφος 1.2.1. Οριζόντια πτήση με σταθερή ταχύτητα (steady level flight) Στην οριζόντια πτήση, το αεροσκάφος πετά σε σταθερό ύψος. Αυτό συνεπάγεται ότι το μέτρο της δύναμης άνωσης L ισούται με το μέτρο της δύναμης της βαρύτητας και το μέτρο της οπισθέλκουσας D ισούται με το μέτρο της ώσης T του κινητήρα: L = 1 (1.16) 2 ρsv2 C L = mg D = 1 2 ρsv2 C D = T Από τις σχέσεις (1.16) σε συνδυασμό με τις σχέσεις (1.8), (1.9) προκύπτουν τα εξής βασικά συμπεράσματα: Η ταχύτητα του αεροσκάφους είναι αντιστρόφως ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του συντελεστή άνωσης. V = (2mg)/(ρSC L ) (1.17) To αεροσκάφος πρέπει να διατηρεί μία ελάχιστη ταχύτητα Vs προκειμένου να αποφύγει την απώλεια στήριξης. V S = (2mg)/(ρSC Lmax ) (1.18) Στην (1.18), ο CLmax αντιστοιχεί στη μεγίστη τιμή του συντελεστή άνωσης, συνήθως για γωνία πρόσπτωσης α=10 0. Η ταχύτητα VDmin στην οποία η οπισθέλκουσα είναι ελάχιστη, δίδεται από τη σχέση: k V Dmin = (2mg)/(ρS) ( ) 1/4 (1.19) C Dmin 1.2.2. Ομαλή πτήση (Ανοδική ή καθοδική) υπό σταθερή γωνία ίχνους πτήσης γ Το αεροσκάφος κινείται με σταθερή ταχύτητα. Στο σχ. 1.15 παρουσιάζεται η περίπτωση της ανοδικής πτήσης ή αναρρίχησης (climb) υπό αρνητική γωνία ίχνους πτήσης γ (flight path angle). Σε αυτή την περίπτωση, από την ισορροπία των δυνάμεων, προκύπτουν οι σχέσεις:
Σχήμα 1.15 Δυνάμεις στην ομαλή ανοδική πτήση T D Wsinγ = 0 και L Wcosγ = 0 (1.20) Οπότε προκύπτει: tan γ = T D (1.21) L Επίσης, αν θεωρηθεί μικρή γωνία ίχνους πτήσης: tan γ sin γ γ (1.22) (T D)V R/C = Vsin γ (1.23) L Έτσι, ο ρυθμός ανόδου (R/C - Rate of Climb) είναι ανάλογος περίπου με τη διαθέσιμη περίσσεια ισχύος T - D. Η περίπτωση της καθοδικής πτήσης υπό θετική γωνία ίχνους πτήσης γ είναι εντελώς ανάλογη και προκύπτει από τις εξισώσεις (1.20)- (1.23) με απλή αλλαγή πρόσημου της γ. 1.2.3. Ομαλή περιστροφή Σε αυτή την περίπτωση οι δυνάμεις ώσης T και αντίστασης D είναι ίσες μεταξύ τους και το αεροσκάφος κινείται σε κυκλική τροχιά με ακτίνα στροφής R και υπό μία γωνιά στροφής φ (Σχ. 1.16). Τότε ασκείται στο αεροσκάφος μια φυγόκεντρος δύναμη «προς τα έξω», η οποία εξισορροπείται από την αντίθετης φοράς, οριζόντια συνιστώσα της άνωσης. Σχήμα 1.16 Δυνάμεις κατά την ομαλή περιστροφή
Άρα: Lsinφ = φυγόκεντρος δύναμη = mv2 (1.24) R Lcos φ = W = mg (1.25) tan φ = V2 Rg, V = Rω tan φ = Vω (1.26) g Σημειώνεται ότι ο μέγιστος συντελεστής άνωσης, αντιστοιχεί σε ελάχιστη ακτίνα περιστροφής. W S R min = 1 2 ρgc Lmax sin φ (1.27) max όπου φmax < 30 και W/S η φόρτιση της πτέρυγας. Επίσης, ορίζεται η παράμετρος φόρτισης Ν: N = L (1.28) mg Η έννοια της παραμέτρου φόρτισης είναι η συσχέτιση της στιβαρότητας και της μηχανικής αντοχής της πτέρυγας (αλλά και της δομής του αεροσκάφους γενικότερα), με το επίπεδο των αεροδυναμικών δυνάμεων στο αεροσκάφος. Αποδεικνύεται ότι: R = V2 g tan φ = V 2 (1.29) g Ν 2 1 Η σημασία της σχέσης (1.29) βρίσκεται στο γεγονός ότι συσχετίζει την ικανότητα ελιγμών του αεροσκάφους με την ταχύτητα και την αντοχή του. Για να εκτελέσει ένα αεροσκάφος π.χ. «κλειστή στροφή» με μικρή ακτίνα R, πρέπει να διαθέτει υψηλή αντοχή, όπως φαίνεται από τον παράγοντα φόρτισης στον παρονομαστή της σχέσης (1.29). 2. Βασικές συνιστώσες, συστήματα αεροσκάφους και μηχανισμοί ελέγχου πτήσης Οι βασικές συνιστώσες ενός αεροσκάφους και η λειτουργικότητά τους εικονίζονται στο σχήμα 1.17. Ένα αεροσκάφος, εκτός από την απαιτούμενη ισχύ ώστε να υπερνικήσει τις δυνάμεις της βαρύτητας και τις αντιστάσεις του αέρα για να πετάξει, χρειάζεται τα μέσα για τον έλεγχο της πορείας του. Για την ικανότητα της εκτέλεσης και τον έλεγχο των διάφορων φάσεων πτήσης και των διάφορων ελιγμών, είναι αναγκαία η προσάρτηση επιπλέον επιφανειών και συστημάτων πέραν των πτερύγων.
Σχήμα 1.17 Βασικές συνιστώσες τυπικού αεροσκάφους και η χρησιμότητά τους 2.1. Ορισμοί και λειτουργίες βασικών συνιστωσών τυπικού αεροσκάφους Αρχικά παρουσιάζονται οι βασικές συνιστώσες οι οποίες συναντώνται σε ένα τυπικό αεροσκάφος, δεδομένου ότι υπάρχουν διαφορές μεταξύ των διάφορων τύπων και μοντέλων αεροσκαφών. 2.1.1. Πτέρυγες Η πρωταρχική λειτουργία της πτέρυγας, είναι η παροχή της απαιτούμενης άνωσης. Η μεταβολή της άνωσης που παρέχει η πτέρυγα μπορεί να επιτευχθεί με τη μεταβολή της στάσης του αεροσκάφους και συνεπώς της γωνίας πρόσπτωσης. Στο σχήμα 1.18 παρουσιάζονται τα βασικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά της πτέρυγας, σύμφωνα με τη σημειολογία του [6]: c : μέση χορδή, b: εκπέτασμα πτέρυγας. Βάσει αυτών των μεγεθών, ορίζεται η μέση πτερυγική επιφάνεια: S = c b (1.30) και ο λόγος επί μήκους: AR = b c = b2 S (1.31)
Σχήμα 1.18 Γεωμετρία πτέρυγας Στο σχήμα 1.18 ορίζονται επίσης, τα εξής μεγέθη: c0: μήκος χορδής στη ρίζα της πτέρυγας, ct: μήκος χορδής στην κορυφή της πτέρυγας, κ: ποσοστό (%) του μήκους χορδής, Λκ: γωνία οπισθόκλισης. 2.1.2. Επιφάνειες ελέγχου Οι επιφάνειες ελέγχου ή πηδάλια ελέγχου, ενός τυπικού αεροσκάφους, παρουσιάζονται στο σχήμα 1.19. και ορίζονται ως εξής: Πηδάλιο ανόδου-καθόδου (elevator): πτερύγιο τοποθετημένο κατά μήκος του οριζόντιου ουραίου σταθερού πτερυγίου με σκοπό τον έλεγχο της πρόνευσης (pitch). Πηδάλιο εκτροπής ή διεύθυνσης(rudder): πτερύγιο τοποθετημένο κατά μήκος του κάθετου ουραίου σταθερού πτερυγίου με σκοπό τον έλεγχο της εκτροπής (yaw). Πηδάλια περιστροφής ή κλίσης (ailerons): πτερύγια τοποθετημένα στην ακμή εκφυγής της κύριας πτέρυγας, κατά τη διεύθυνση του εκπετάσματος. Ο ρόλος τους είναι να παρέχουν τη δυνατότητα εκτέλεσης ελιγμών περιστροφής (roll) και για τον λόγο αυτό εκτρέπονται κατά αντίθετη φορά (το πτερύγιο της μίας πτέρυγας προς τα πάνω για εκτροπή του πτερυγίου της άλλης πτέρυγας προς τα κάτω). Γενικά, μια θετική δράση ελέγχου από τον πιλότο του αεροσκάφους προκαλεί θετική απόκριση του αεροσκάφους, ενώ μια θετική απόκλιση μιας επιφάνειας ελέγχου προκαλεί αρνητική απόκριση στο αεροσκάφος.
Σχήμα 1.19 Συμβολισμός επιφανειών ελέγχου Έτσι, με βάση το σχήμα 1.19, οι φορές ορίζονται ως εξής: Ως προς την πρόνευση ή άνοδο-κάθοδο (pitch): θετική δύναμη έλξης στο χειριστήριο θετική μετατόπιση του χειριστηρίου προς τα πίσω η ακμή εκφυγής του πηδαλίου ανόδου-καθόδου κινείται προς τα επάνω (αρνητικά) η κεφαλή ή ρύγχος (nose) του αεροσκάφους κινείται προς τα επάνω (απόκριση θετική). Ως προς την εκτροπή ή διεύθυνση (yaw): θετική εφαρμογή δύναμης στο δεξιό ποδωστήριο θετική κίνηση προς τα μέσα του δεξιού ποδωστηρίου Η ακμή εκφυγής του πηδαλίου διεύθυνσης κινείται προς τα δεξιά (αρνητικά) Η κεφαλή του αεροσκάφους εκτρέπεται δεξιά (απόκριση θετική). Ως προς την περιστροφή ή κλίση ή διατοιχισμό (roll): θετική δεξιά εφαρμογή δύναμης στο χειριστήριο θετική μετατόπιση του χειριστηρίου δεξί πηδάλιο κλίσης (starboard aileron) πάνω, αριστερό πηδάλιο κλίσης (board aileron) κάτω (αρνητική φορά) κλίση δεξιάς πτέρυγας προς τα κάτω απόκριση δεξιάς περιστροφής θετική. Οι γωνίες εκτροπής των πηδαλίων σύμφωνα με τη σημειολογία που χρησιμοποιεί ο Nelson [5], συμβολίζονται ως εξής: δe (η): γωνία εκτροπής πηδαλίου ανόδου-καθόδου, δr (ζ): γωνία εκτροπής πηδαλίου εκτροπής, δa (ξ): γωνία εκτροπής πηδαλίου κλίσης (aileron). Τα ελληνικά γράμματα σε παρένθεση αφορούν εναλλακτικούς συμβολισμούς σε μερικά βιβλία επί του θέματος. 2.1.3. Κινητήρες Οι κινητήρες παρέχουν την απαιτούμενη ώση ώστε να υπερνικηθεί η αεροδυναμική αντίσταση. Η ώση του κινητήρα Τ ελέγχεται από τη μετατόπιση του μοχλού ισχύος (μανέτα/throttle lever) δp. Θετική μετατόπιση του μοχλού ισχύος θεωρείται η προς τα εμπρός κίνηση του, η οποία προκαλεί θετική αύξηση της ισχύος. Για ένα κινητήρα
turbojet η σχέση μεταξύ της ώσης και της γωνίας του μοχλού ισχύος μπορεί να προσεγγιστεί από μια συνάρτηση μεταφοράς της μορφής: T(s) δ p (s) = k τ (1.32) 1 + st τ όπου kτ είναι μια κατάλληλη σταθερά κέρδους και tτ είναι η χρονική σταθερά της καθυστέρησης που συνήθως είναι της τάξης των δύο-τριών δευτερολέπτων. 2.2. Γεωμετρία αναφοράς του αεροσκάφους Η γεωμετρική περιγραφή που θα χρησιμοποιηθεί στην παρούσα ανάλυση, αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι της διαδικασίας μοντελοποίησης. Έτσι, με βάση το σχήμα 1.20, ορίζονται οι εξής παράμετροι αναφοράς: Σχήμα 1.20 Γεωμετρία αναφοράς του αεροσκάφους μέση αεροδυναμική χορδή (Mean Aerodynamic Chord-MAC): S S S S c = c y 2 dy c y dy κανονική μέση χορδή (Standard Mean Chord-SMC): c = S S S S c ydy (1.33) (1.34) dy όπου s = b/2 είναι το ήμισυ του εκπετάσματος (semi-span) και cy είναι η τοπική χορδή στη συντεταγμένη (κατά την έννοια του εκπετάσματος) y. Στα περισσότερα αεροσκάφη, τα c και c, έχουν σχεδόν το ίδιο μήκος, οπότε μπορεί να επιλεγεί οποιοδήποτε εκ των δύο για την ανάλυση. Ορίζονται επίσης, τα ακόλουθα μεγέθη: hc ή hc : θέση του κέντρου βάρους (cg - centre of gravity location) συναρτήσει του c ή του c, μετρούμενη από την ακμή προσβολής της χορδής αναφοράς. Συνήθως ισχύει 0.1 h 0.4. lt: μοχλοβραχίονας ροπής οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου (tail moment arm). Ορίζεται ως η διαμήκης απόσταση ανάμεσα στο κέντρο βάρους cg του αεροσκάφους και στο αεροδυναμικό κέντρο του οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου (tailplane-horizontal tailplane) όπως φαίνεται στο σχήμα 1.20. To τελευταίο σημείο με ικανοποιητική
ακρίβεια βρίσκεται στο τέταρτο της μέσης χορδής της πτέρυγας του οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου. Κάποιες φορές η διαμήκης ροπή του οριζόντιου σταθερού πτερυγίου μετράται ως προς το αεροδυναμικό κέντρο της πτέρυγας. VΗ: λόγος όγκου οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου (tail volume ratio): V H = S tl t (1.35) Sc όπου St είναι η συνολική επιφάνεια του οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου. Ανάλογα μεγέθη ορίζονται και για το κάθετο σταθερό ουραίο πτερύγιο (finvertical tail). Αυτά συμβολίζονται αντίστοιχα με lf και VF (Σχήμα 1.21). lf: μοχλοβραχίονας ροπής κάθετου σταθερού ουραίου πτερυγίου (fin moment arm). Ορίζεται ως η διαμήκης απόσταση ανάμεσα στο κέντρο βάρους cg του αεροσκάφους και στο αεροδυναμικό κέντρο του κάθετου σταθερού ουραίου πτερυγίου. To τελευταίο σημείο με ικανοποιητική ακρίβεια βρίσκεται στο τέταρτο της μέσης χορδής της πτέρυγας του κάθετου σταθερού ουραίου πτερυγίου (Σχήμα 1.21). Κάποιες φορές η διαμήκης ροπή του κάθετου σταθερού πτερυγίου μετράται ως προς το αεροδυναμικό κέντρο (ac) της πτέρυγας. VF: λόγος όγκου κάθετου σταθερού ουραίου πτερυγίου (fin volume ratio). V F = S fl f (1.36) Sb όπου SF είναι η συνολική επιφάνεια του κάθετου σταθερού ουραίου πτερυγίου. Σχήμα 1.21 Μεγέθη γεωμετρίας αναφοράς κάθετου σταθερού ουραίου πτερύγιου Βιβλιογραφία/Αναφορές [1] Γεώργιος Α. Γεωργαντόπουλος & Χρίστινα Γ. Γεωργαντοπούλου, Η Μηχανική Πτήσης του Αεροσκάφους σε ερωτήσεις. Αθήνα, Ελλάδα: Συμεών, 2005. [2] Δημήτριος Σ. Μαθιουλάκης, Ιωάννης Σ. Αναγνωστόπουλος & Δημήτριος. Γ. Τουζόπουλος, "Θεωρία Λεπτών Αεροτομών," σε Βιομηχανική Ρευστομηχανική. Αθήνα: Τμήμα Μηχ. Μηχ., Τομέας Ρευστών, ΕΜΠ, 2006. [3] Michael V. Cook, Flight Dynamics Principles - A Linear Systems Approach to Aircraft Stability and Control, 2nd ed. Oxford, UK: Elsevier Ltd, 2007.
[4] Bill Crawford. (2009) Two and Three Dimensional Aerodynamics. [5] Robert C. Nelson, Flight Stability and Automatic Control, 2nd ed. Singapore: WCB/McGraw-Hill, 1998. [6] Bernard Etkin & Lloyd D. Reid, Dynamics of Flight: Stability and Control, 3rd ed. Toronto, Canada: John Wiley & Sons, Inc., 1996.