Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΩΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑ 8ο Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΩΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Οι περισσότερες από τις λύσεις που οι πιο µεγάλοι γεωµέτρες έδωσαν στα προβλήµατα της δυναµικής βασίζονται σε αρχές που κανένας έως τώρα δεν απέδειξε µε ένα γενικό τρόπο, όπως για παράδειγµα αυτή της διατήρησης της ζώσας δύναµης. Jean le Rond d Alembert ος (18 αιώνας) Στην Κλασική Μηχανική, η ενέργεια εµμφανίζεται µμε δυο διαφορετικές µμορφές, τη δυναµμική και την κινητική. Η δυναµμική ενέργεια ενός σώµματος εκφράζει τη δυναµμική του κατάσταση που ορίζεται στην εκάστοτε θέση του στο χώρο από την αλληλεπίδρασή του µμε το υφιστάµμενο πεδίο δυναµμικού. Στην αρχική της θεώρηση η δυναµμική ενέργεια ήταν αντιληπτή ως λανθάνουσα ενέργεια ισχύος εξαρτώµμενη από τη θέση του σώµματος στο χώρο. Η κινητική ενέργεια ενός σώ- µματος είναι ενεργό χαρακτηριστικό της κίνησής του στο χώρο και στην αρχική της θεώρηση ήταν αντιληπτή ως δρώσα ενέργεια κίνησης. Με την πάροδο του χρόνου έγινε σαφές ότι η έννοια της ενέργειας υπεισέρχεται καταλυτικά στην προσπάθεια κατανόησης των φυσικών φαινοµμένων. Έγινε επίσης αντιληπτό ότι η αρχή διατήρησης της µμηχανικής ενέργειας, ως άθροισµμα της δυναµμικής και της κινητικής ενέργειας, βρίσκεται σε λογική ανταπόκριση µμε την οµμογένεια του χρόνου και ίσως αυτός είναι ο λόγος που καθιστά αυτή την έννοια θεµμελιακή στην Κλασική Μηχανική. Η σπουδαιότητα αναζήτησης φυσικών µμεγεθών που διατηρούνται αναλλοίωτα κατά τη διάρκεια της κίνησης των σωµμάτων στο χώρο, µμε άλλα λόγια η ανακά- λυψη αρχών διατήρησης, ήταν αναγνωρισµμένη από την εποχή του Νεύτωνα και σε αυτό το ζητούµμενο η ενέργεια, ως φυσική έννοια και µμαθηµματική έκφραση, ανταποκρίνεται και µμάλιστα ξεπερνά τα όρια της Κλασικής Μηχανικής.

188 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 8.1. Η κλασική θεώρηση της έννοιας της κινητικής ενέργειας. Στην ιστορική της θεώρηση, η κινητική ενέργεια ενός σώµματος ήταν αντιληπτή ως δρώσα ενέργεια κίνησης και ζητούµμενο ήταν να αποσαφηνιστεί η σχέση της µμε το παραγόµμενο έργο από τις ασκούµμενες στο σώµμα δυνάµμεις κατά µμήκος της τροχιάς του στο χώρο. Ο Leibniz, εισάγοντας τον όρο ζώσα δύναµμη (vis viva), παρωχηµμένη πλέον όµμως ασφαλώς προποµμπός της έννοιας της κινητικής ενέρ- γειας, ήρθε σε αντιπαράθεση µμε τον Νεύτωνα. Ο λόγος ήταν ότι ο Νεύτωνας θε- ωρούσε ότι το ενεργό χαρακτηριστικό της κίνησης κάθε σώµματος δίνεται από το γινόµμενο της µμάζας του µμε την ταχύτητά του, ενώ ο Leibniz υποστήριζε ότι το χαρακτηριστικό αυτό δίνεται από το γινόµμενο της µμάζας του µμε το τετράγω- νο της ταχύτητάς του. Τελικά, ο Lagrange, µμε το περίφηµμο θεώρηµμα της ζώσας δύναµμης, έδειξε ότι το έργο που δέχεται κάθε σώµμα από τις ασκούµμενες σε αυτό δυνάµμεις κατά την κίνησή του, εφόσον δεν υπάρξουν απώλειες, είναι ίσο µμε το µμισό της επαύξησης της ζώσας δύναµμης που προκύπτει από το γινόµμενο της µμάζας του µμε το τετράγωνο της ταχύτητάς του. 1 Έτσι, οδηγηθήκαµμε στην αποδοχή του ορισµμού της κινητικής ενέργειας όπως τον υπέδειξε ο Lagrange. Η κινητική ενέργεια µμιας σηµμειακής µμάζας ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο, κάθε χρονική στιγµμή της κίνησής της, ως εξής: Κ(t) := 1 m < x(t), x(t) > = 1 m x(t). Εισάγοντας την ορµμή της σηµμειακής µμάζας, κατά την κίνησή της στο χώρο, η κι- νητική της ενέργεια εκφράζεται ισοδύναµμα ως εξής: Κ(t) = 1 m p(t). Προφανώς, η τιµμή της κινητικής ενέργειας µμιας σηµμειακής µμάζας εξαρτάται από το σύστηµμα αναφοράς στο οποίο εκφράζεται η ταχύτητά της. Στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς, όπου ισχύουν οι νόµμοι του Νεύτωνα, αληθεύουν δυο ση- µμαντικά θεωρήµματα που αναδεικνύουν, αφενός τη σχέση της κινητικής ενέρ- γειας µμιας σηµμειακής µμάζας µμε το παραγόµμενο έργο από τις ασκούµμενες σε αυ- τήν δυνάµμεις κατά τη µμετατόπισή της στο χώρο, αφετέρου το ότι η χρονική πα- ράγωγος της κινητικής ενέργειας εκφράζει την κινητική ισχύ που παρέχουν στη σηµμειακή µμάζα οι ασκούµμενες σε αυτήν δυνάµμεις κατά την κίνησή της σε ένα πεδίο δυνάµμεων. 1 O Joseph Louis Lagrange (1736-1813) και o Leonhard Euler (1707-1783) είναι οι θεµμελιωτές της Αναλυτικής Μηχανικής. Ο Leibniz, αµμφισβητώντας επίσης τα πειραµματικά συµμπεράσµματα του Καρτέσιου ως προς τη διατήρηση της ορµμής ενός σώµματος, υποστήριζε ότι η λογική και το πείραµμα δείχνουν ότι, αν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµμεις, η ποσότητα που διατηρείται σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης των σωµμάτων δεν είναι το γινόµμενο της µμάζας µμε την ταχύτητα, αλλά της µμάζας µμε το τετράγωνο της ταχύτητας, (Δοκίµμια Δυναµμικής, 1691).

ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 189 Θεώρηµα. Η αρχή της µεταβολής της κινητικής ενέργειας. Όταν µία σηµειακή µάζα κινείται στο χώρο υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάµεων, η µεταβολή της κινητικής της ενέργειας σε δεδοµένο χρονικό διάστηµα ισούται µε το ανάστροφα παραγόµενο έργο, σε αυτό το χρονικό διάστηµα, από τις ασκούµενες δυνάµεις κατά µήκος της τροχιάς της. Απόδειξη. Το παραγόµμενο έργο από το πεδίο δυνάµμεων κατά µμήκος της τρο- χιάς της σηµμειακής µμάζας υπολογίζεται µμεταξύ δύο χρονικών στιγµμών ως εξής: ( ) W( F) t = < F(x(t)), t x(t) > = < mx(t), x(t) > t 1 = 1 m t d < x(t), x(t) > t 1 = t 1 ( ) = 1 m d x(t) = 1 m x(t ) x(t 1 ) t 1 t ( ) = Κ(b) Κ(a). Η κινητική ισχύς που προσδίδει στη σηµμειακή µμάζα το πεδίο δυνάµμεων ορίζεται ως το εσωτερικό γινόµμενο της ασκούµμενης δύναµμης µμε την ταχύτητά της: P(t) = < F, x(t) >. Θεώρηµα. Η χρονική παράγωγος της κινητικής ενέργειας µιας σηµειακής µάζας κατά την κίνησή της στο χώρο συµπίπτει µε την κινητική ισχύ που της παρέχει η ασκούµενη δύναµη : P(t) = dκ(t) Απόδειξη. Η χρονική παράγωγος της κινητικής ενέργειας υπολογίζεται ως εξής: dk(t) = d ( 1 m< x(t), x(t) > ) = < mx(t), x(t) > = < F, x(t) > = P(t).. 8.. Η κλασική θεώρηση της έννοιας της δυναμικής ενέργειας. Στην ιστορική της θεώρηση, η δυναµμική ενέργεια ενός σώµματος ήταν αντιληπτή ως λανθάνουσα ενέργεια ισχύος εξαρτώµμενη από τη θέση του στο χώρο. Με την εισαγωγή της έννοιας του πεδίου δυναµμικού, συγκεκριµμένα της συνάρτησης δυναµμικού που ορίζεται ως βαθµμωτή συνάρτηση στο χώρο, µμπορεί να αποσα- φηνιστεί η έννοια της δυναµμικής ενέργειας που αποκτά ένα σώµμα, σε κάθε θέση στο χώρο, από την αλληλεπίδρασή του µμε το υφιστάµμενο πεδίο δυναµμικού. Η συνάρτηση δυναµμικού αποδίδει σε κάθε σηµμείο του χώρου, µμε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, µμια αριθµμητική τιµμή δυναµμικού: U : 3. Η σταθερά αυτή εξαλείφεται κατά τη θεώρηση του πεδίου δυναµμικού: F : 3 3, F(x) = U(x), x 3.

190 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Αυτό που έχει σηµμασία δεν είναι αυτή καθαυτή η αποδιδόµμενη τιµμή δυναµμικού σε κάθε σηµμείο του χώρου, αλλά η διαφορά των τιµμών δυναµμικού µμεταξύ των σηµμείων του χώρου, από την οποία εξαλείφεται η προσθετική σταθερά που πα- ρεισφρέει στη συνάρτηση δυναµμικού. Εξάλλου, ξέρουµμε ότι στα πεδία δυναµμι- κού, κατά τη µμετατόπιση ενός σώµματος στο χώρο κατά µμήκος µμιας διαδροµμής, το παραγόµμενο έργο δεν εξαρτάται παρά µμόνο από τα άκρα της διαδροµμής: όπου W γ ab ( F) = U(a) U(b) F(x) = U(x) και γ ab :[t 1,t ] 3, γ (t 1 ) = a, γ (t ) = b. Για την απόδοση τιµμής δυναµμικού σε κάθε σηµμείο του χώρου, ξεκινώντας από µμια θέση όπου το δυναµμικό θα θεωρηθεί ως µμηδενικό, 1 ακολουθούµμε ένα δρόµμο που ξεκινά από αυτή τη θέση και καταλήγει µμε οποιονδήποτε τρόπο στο δεδο- µμένο σηµμείο του χώρου. Υπολογίζοντας κατά µμήκος αυτού του δρόµμου το παρα- γόµμενο έργο από το πεδίο δυναµμικού, προκύπτει η τιµμή δυναµμικού που θα απο- δοθεί στο εκάστοτε σηµμείο του χώρου, στο επιλεγµμένο σύστηµμα αναφοράς: U(x) := W γ ( F) = U. Σε ένα πεδίο δυναµμικού, κάθε σηµμειακή µμάζα θα αποκτήσει στην εκάστοτε θέ- ση όπου θα βρεθεί την αντίστοιχη δυναµμική ενέργεια ανάλογα µμε τη µμάζα της. Η διαφορά της δυναµμικής ενέργειας µμιας σηµμειακής µμάζας, µμεταξύ δυο θέσεων στο χώρο, ορίζεται ως η µμεταβολή του έργου που παράγει το πεδίο δυναµμικού κατά τη µμετατόπισή της από τη µμια θέση στην άλλη, ακολουθώντας οποιονδή- ποτε δρόµμο στο χώρο που έχει αυτή την αρχή και αυτό το πέρας. Το κύριο θεώρηµμα ως προς τη δυναµμική ενέργεια, που αναδεικνύει το ρόλο των ισοδυναµμικών επιφανειών κάθε πεδίου δυναµμικού, διατυπώνεται ως εξής: Θεώρηµα. Η αρχή της µεταβολής της δυναµικής ενέργειας. Όταν µία σηµειακή µάζα µετατοπιστεί σε ένα πεδίο δυναµικού από µια θέση σε κάποια άλλη τότε η µεταβολή της δυναµικής της ενέργειας θα είναι ίση µε τη διαφορά της τιµής της στην τελική θέση από την τιµή της στην αρχική θέση και αυτό ισχύει ανεξάρτητα από τη διαδροµή που οδηγεί από την αρχική στην τελική θέση. Απόδειξη. Ο υπολογισµμός του παραγόµμενου έργου από το πεδίο δυναµμικού κα- τά τη µμετατόπιση της σηµμειακής µμάζας σε οποιαδήποτε διαδροµμή, µμε τη δεδο- µμένη αρχή και το δεδοµμένο πέρας, υποδεικνύει ότι: γ 1 Η επιλογή αυτή θα εξαρτηθεί από το που θα τοποθετηθεί το σύστηµμα αναφοράς στο χώρο.

ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 191 t W( F) = < U(x(t)), γ (t) > = du = U(a) U(b). t 1 Πόρισµα. Όταν µία σηµειακή µάζα µετατοπιστεί σε ένα πεδίο δυναµικού από µια θέση σε άλλη της ίδιας ισοδυναµικής επιφάνειας τότε η µεταβολή της δυναµικής της ενέργειας είναι µηδέν. b a 8.3. Η μηχανική ενέργεια και η αρχή της διατήρησής της. Από την άθροιση της κινητικής ενέργειας και της δυναµμικής ενέργειας που απο- κτά ένα σώµμα κατά την αλληλεπίδρασή του µμε ένα πεδίο δυναµμικού ορίζεται η µμηχανική του ενέργεια ως συνάρτηση της θέσης και της ταχύτητάς του. Συγκε- κριµμένα, η συνάρτηση µμηχανικής ενέργειας µμιας σηµμειακής µμάζας ορίζεται στο καρτεσιανό γινόµμενο του χώρου των θέσεων µμε το χώρο των ταχυτήτων της: E : 3 3, E(x, x) = U(x) + K( x). Η συνάρτηση αυτή αποδίδει σε κάθε σηµμείο του καρτεσιανού γινοµμένου του χώρου των θέσεων και του χώρου των ταχυτήτων της σηµμειακής µμάζας, δηλα- δή σε κάθε ενδεχόµμενη θέση και κάθε ταχύτητά της, µμια αριθµμητική ενεργειακή τιµμή. Η τιµμή αυτή προκύπτει από την άθροιση της τιµμής της δυναµμικής της ενέρ- γειας στην εκάστοτε θέση της και της τιµμής της κινητικής της ενέργειας για την εκάστοτε ταχύτητα µμε την οποία διέρχεται από αυτήν τη θέση. Στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς, η κίνηση µμιας σηµμειακής µμάζας, µμε δε- δοµμένη αρχική θέση και ταχύτητα, ορίζεται µμονοσήµμαντα από την αντίστοιχη λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα: m d x + U (x) = 0. Κατά τη διάρκεια της κίνησης κατά µμήκος της τροχιάς της, η µμηχανική ενέργεια της σηµμειακής µμάζας, διατηρώντας σταθερή αριθµμητική τιµμή, εκδηλώνεται µμα- κροσκοπικά ως µμετατροπή της δυναµμικής σε κινητική ενέργεια και αντίστροφα, αναδεικνύοντας µμια σπουδαία αρχή διατήρησης που ισχύει στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς και της οποίας η σηµμασία ξεπερνά τα όρια της Κλασικής Μηχανικής και διαδραµματίζει κύριο ρόλο στη Φυσική. 1 Θεώρηµα. Η αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας. Κατά τη διάρκεια της κίνησης µιας σηµειακής µάζας υπό την επίδραση ενός πεδίου δυναµικού, η ενεργειακή της τιµή διατηρείται σταθερή κατά µήκος της τροχιάς της. 1 Από τη στιγµμή που ο Lagrange, µμε το θεώρηµμα της ζώσας δύναµμης, ανέδειξε το ρόλο της κινητι- κής ενέργειας, απέµμενε η αναγνώριση του ρόλου της δυναµμικής ενέργειας, και ήταν θέµμα χρόνου να γίνει η άθροισή τους και να αναδειχθεί ο ρόλος της µμηχανικής ενέργειας.

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Απόδειξη. Στα σηµμεία της τροχιάς της σηµμειακής µμάζας, που ορίζεται από δεδο- µμένη αρχική θέση και ταχύτητα, η χρονική παράγωγος της συνάρτησης ενέρ- γειας που ορίζεται στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων, είναι µμηδενική: de ( x(t), x(t) ) = d(u + K) ( x(t), x(t) ) = du(x(t)) + dk( x(t)) = = 3 U dx i x i + 3 K x i dx i = < U(x), x(t) > + < m x(t), x(t) > = = < m x(t), x(t) > + < m x(t), x(t) > = 0 de ( x(t), x(t) ) = 0. Τα ισοσταθµμικά σύνολα της συνάρτησης µμηχανικής ενέργειας µμιας σηµμειακής µμάζας καλούνται ισοενεργειακά σύνολα και ορίζονται ως εξής: S Eo (E) ={(x, x) 3 3 / E(x, x) = E o }, E o. Ο 6- διάστατος χώρος των θέσεων και ταχυτήτων µμιας σηµμειακής µμάζας διαµμε- ρίζεται έτσι σε ισοενεργειακά σύνολα που αντιστοιχούν στις διάφορες ενεργει- ακές της τιµμές και τα οποία γενικά είναι 5- διάστατες λείες υπερεπιφάνειες. Η εξίσωση του Νεύτωνα που διέπει την κίνηση της σηµμειακής µμάζας µμπορεί να διατυπωθεί ισοδύναµμα στον 6- διάστατο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων ως σύστηµμα διπλάσιου πλήθους διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: 1 m dx i = E(x, y), m dy i E(x, y) =, i = 1,,3. y i x i Η λύση αυτού του συστήµματος των διαφορικών εξισώσεων, για δεδοµμένη αρχι- κή θέση και ταχύτητα, ορίζει µμονοσήµμαντα µμια τροχιά µμε σταθερή ενεργειακή τιµμή, η οποία αναπαριστά τη δυναµμική εξέλιξη της σηµμειακής µμάζας στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων. Η τροχιά αυτή, όπως δηλώνει η αρχή διατήρησης της µμηχανικής ενέργειας, µμαζί µμε όλες τις τροχιές ίδιας ενεργειακής τιµμής, εξελίσσε- ται στο αντίστοιχο ισοενεργειακό υποσύνολο του χώρου των θέσεων και ταχυ- τήτων της σηµμειακής µμάζας. Η προβολή κάθε σηµμείου της στον τρισδιάστατο χώρο θέσεων υποδεικνύει τη θέση την οποία καταλαµμβάνει τη δεδοµμένη χρο- νική στιγµμή η σηµμειακή µμάζα στο χώρο και η προβολή στον τρισδιάστατο χώρο των ταχυτήτων υποδεικνύει την ταχύτητά µμε την οποία διέρχεται τη δεδοµμένη χρονική στιγµμή από αυτή τη θέση. Έτσι, στα ισοενεργειακά σύνολα αποκτά εν- διαφέρουσα έκφραση ο διαφορικός λογισµμός για τη µμελέτη της δυναµμικής και της κινηµματικής των σωµμάτων. 1 Σε σχέση µμε τους προηγούµμενους συµμβολισµμούς, θέτουµμε πλέον σε αυτές τις εξισώσεις: y =x.

ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 193 8.4. Η κινητική ενέργεια ενός συστήματος σημειακών μαζών. Όταν Ν σηµμειακές µμάζες, m 1,...,m, κινούνται ως ενιαίο σύστηµμα στο χώρο τότε η κινητική του ενέργεια ορίζεται κάθε χρονική στιγµμή αθροίζοντας τις κινητικές ενέργειες των συστατικών του στοιχείων. Θεωρώντας τα διανύσµματα θέσης των σηµμειακών µμαζών στον ευκλείδειο χώρο, η κινητική ενέργεια του συστή- µματός τους υπολογίζεται ως εξής: Κ(t) = Κ i (t) = 1 m i r i (t). Προφανώς, η τιµμή της κινητικής ενέργειας ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών εξαρτάται από το σύστηµμα αναφοράς στο οποίο λογίζονται οι ταχύτητές τους. Στο σύστηµμα αναφοράς που ακολουθεί την κίνηση του αδρανειακού κέντρου, η κινητική ενέργεια του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών έχει ως εξής: Κ (t) = Κ i (t) = 1 m i ri (t). Η κινητική ενέργεια ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών δεν συµμπίπτει µμε την κινητική ενέργεια του αδρανειακού του κέντρου που λογίζεται ως εξής: 1 r o (t) = 1 m m r i i (t) Κ o (t) = 1 m r o (t). Εισάγοντας την ορµμή κάθε σηµμειακής µμάζας, προκύπτει η ισοδύναµμη έκφραση της κινητικής ενέργειας του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών: Κ(t) = 1 p i (t). Επειδή το άθροισµμα των ορµμών των σηµμειακών µμαζών συµμπίπτει µμε την ορµμή του αδρανειακού τους κέντρου, προκύπτει: m i Κ o (t) = 1 m p o (t) = 1 m pi (t). Η στροφική κινητική ενέργεια του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών, δηλαδή η κινητική του ενέργεια ως προς το αδρανειακό κέντρο, υπολογίζεται ως εξής: Κ (t) = 1 p i (t). m i 1 Στο αδρανειακό κέντρο θεωρούµμε συµμπυκνωµμένη όλη τη µμάζα του συστήµματος: m = m 1 +...+ m και χρησιµμοποιούµμε τα διανύσµματα θέσης των σηµμειακών µμαζών ως προς το αδρανειακό κέντρο: ri (t) = r i (t) r o (t) r i (t) = r i (t) r o (t), i = 1,...,.

194 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Θεώρηµα König. Επιµερισµός σε µεταφορική και στροφική κινητική ενέργεια. Η κινητική ενέργεια κάθε συστήµατος σηµειακών µαζών επιµερίζεται σε µεταφορική κινητική ενέργεια που εκφράζει την κινητική ενέργεια του αδρανειακού του κέντρου σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς και σε στροφική κινητική ενέργεια που εκφράζει την κινητική ενέργεια σε ένα σύστηµα αναφοράς επικεντρωµένο στο αδρανειακό του κέντρο : Κ(t) = Κ o (t) + Κ (t). Απόδειξη. Ένας απλός υπολογισµμός υποδεικνύει ότι: Κ(t) = 1 m i < r i (t), r i (t) > = 1 m i < r o (t) + ri (t), r (t) + ri (t) > = o = 1 m i < r o (t), r o (t) > + m i < r o (t), ri (t) > + 1 m i < ri (t), ri (t) > = k = 1 m r o (t) + 1 m i ri (t) = Κ o (t) + Κ (t). 8.5. Η κινητική ισχύς ενός συστήματος σημειακών μαζών. Όταν Ν σηµμειακές µμάζες κινούνται ως ενιαίο σύστηµμα σε ένα πεδίο δυνάµμεων, οι ασκούµμενες στα συστατικά του στοιχεία εσωτερικές και εξωτερικές δυνάµμεις του προσδίδουν κινητική ισχύ η οποία επιµμερίζεται ως εξής: όπου P(t) = P εσ (t) + P εξ (t) P εσ (t) = < f i, r i (t) > και P εξ (t) = < F i, r i (t) >. Σε αντίθεση προς την κινητική ισχύ που παρέχουν οι εξωτερικές δυνάµμεις στο σύστηµμα των σηµμειακών µμαζών, η κινητική ισχύς που προσδίδουν σε αυτό οι εσωτερικές δυνάµμεις δεν εξαρτάται από το σύστηµμα αναφοράς στο οποίο λογί- ζονται οι ταχύτητες των σηµμειακών µμαζών που κινούνται στο πεδίο δυνάµμεων. 1 Αξιοσηµμείωτο είναι ότι ο τρίτος νόµμος του Νεύτωνα δεν επιβάλλει το µμηδενισµμό της εσωτερικής κινητικής ισχύος στα συστήµματα σηµμειακών µμαζών. Συνεπώς, οι εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης έχουν δυνατότητα παραγωγής έργου, άρα παροχής εσωτερικής κινητικής ισχύος στο σύστηµμα των σηµμειακών µμαζών. 1 Ένας απλός υπολογισµμός αποδεικνύει την αλήθεια αυτού του ισχυρισµμού: < f i, r i (t) > = < f i, r o (t) + ri (t) > = < f i, r o (t) > + < f i, ri (t) > = < f i, ri (t) >.

ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 195 Θεώρηµα. Κινητική ισχύς ενός συστήµατος σηµειακών µαζών. Η κινητική ισχύς ενός συστήµατος σηµειακών µαζών που υφίσταται την επίδραση ενός πεδίου δυνάµεων επιµερίζεται σε εξωτερική και εσωτερική κινητική ισχύ και εκφράζει τη χρονική παράγωγο της κινητικής του ενέργειας όπως υπολογίζεται στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς: dκ(t) = P εσ (t) + P εξ (t). Απόδειξη. Ένας απλός υπολογισµμός υποδεικνύει ότι: dk(t) = d ( 1 m i < r i (t), r i (t) > ) = < m i r i (t), r i (t) > = = < F i + f i, r i (t) > = < F i, r i (t) > + < f i, r i (t) > = P εξ + P εσ. Πόρισµα. Κινητική ισχύς κλειστών συστηµάτων σηµειακών µαζών. Οι εσωτερικές δυνάµεις αλληλεπίδρασης έχουν δυνατότητα παραγωγής έργου, άρα παροχής εςωτερικής κινητικής ισχύος στα συστήµατα σηµειακών µαζών, και στα κλειστά συστήµατα, όπου δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις, η χρονική παράγωγος της κινητικής τους ενέργειας υποδεικνύει την εσωτερική τους κινητική ισχύ : dκ(t) = P εσ (t). Συνεπώς, ακόµμη και αν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµμεις, αυτό δεν αρκεί για να διατηρηθεί σταθερή η κινητική ενέργεια ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών κατά την κίνησή τους στο χώρο. Αν οι σηµμειακές µμάζες διατηρούν σταθερές τις µμεταξύ τους αποστάσεις κατά τη διάρκεια της κίνησης τους στο χώρο τότε οι εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης δεν έχουν δυνατότητα παραγωγής έργου και συνακόλουθα παροχής εσωτερικής κινητικής ισχύος, οπότε στην περίπτωση αυτή η στροφική κινητική ενέργεια διατηρείται σταθερή όπως υποδεικνύει η θεωρία των στερεών σωµμάτων. 1 Αν οι σηµμειακές µμάζες κατά τη διάρκεια της κίνησής τους διατηρούν σταθερή τη µμεταξύ τους απόσταση τότε οι εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης δεν παρέχουν εσωτερική κινητική ισχύ. 1 Βλ. Κεφάλαιο Γ: Η θεωρία των στερεών σωµμάτων.

196 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 8.6. Παραδείγματα και υπολογιστική πρακτική του 8ου μαθήματος. Τα παραδείγµματα που ακολουθούν έχουν σκοπό την υπολογιστική εξοικείωση µμε την αρχή διατήρησης της µμηχανικής ενέργειας σε πεδία δυναµμικού και τον υπολογισµμό της µμεταφορικής και στροφικής κινητικής ενέργειας συστηµμάτων σηµμειακών µμαζών που κινούνται σε πεδία δυναµμικού.. Ø Παράδειγμα 1. Μηχανική ενέργεια στο ομογενές πεδίο βαρύτητας. Ένα αντικείµμενο µμοναδιαίας µμάζας βάλλεται µμε αρχική ταχύτητα µμέτρου 10 m/s από τη θέση Α, όπως υποδεικνύεται στο σχήµμα, και διαγράφοντας υπό την επί- δραση του βάρους του, µμε αµμελητέες τριβές, την παραβολική τροχιά που υπα- γορεύει ο νόµμος της βαλλιστικής κίνησης, καταλήγει στο έδαφος. Ζητούµμενο είναι, αφού κάνετε µμε προσοχή τις αναγκαίες µμετρήσεις στο σχήµμα, µμε την προσέγγιση που παρέχουν οι πρακτικές δυνατότητές σας µμέτρησης, να συνάγετε τα ενεργειακά χαρακτηριστικά της βαλλιστικής αυτής κίνησης στις υποδεικνυόµμενες θέσεις A, B, S, C, της τροχιάς που αναπαρίσταται γραφικά στις καρτεσιανές συντεταγµμένες του επιπέδου της κίνησης, και να διασταυρώσετε τα αποτελέσµματά σας αναπτύσσοντας τη θεωρητική σας ανάλυση.1 Η νευτώνεια αρχή του ντετερµμινισµμού δηλώνει ότι η γνώση της αρχικής θέσης και της αρχικής ταχύτητας της βολής αρκούν και η αντίστοιχη λύση της εξίσω- σης του Νεύτωνα θα υποδείξει την τροχιά της βαλλιστικής κίνησης στο χώρο. Εντούτοις, η αρχή διατήρησης της µμηχανικής ενέργειας οδηγεί πιο άµμεσα στο να δοθούν απαντήσεις σε ερωτήµματα που αφορούν στα ενεργειακά χαρακτηρι- στικά της κίνησης, λαµμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσµματα των µμετρήσεων σας. Αν η διαβάθµμιση των αξόνων στο σχήµμα εκληφθεί µμε µμονάδα µμήκους 1m, από τη µμέτρηση προκύπτει το ύψος της θέσης βολής: 1m. Έτσι, στην αρχική θέση Α, η δυναµμική ενέργεια έχει τιµμή g J και η κινητική ενέργεια 50J και αθροίζοντας προκύπτει η τιµμή της µμηχανικής ενέργειας (g+50)j, η οποία θα διατηρηθεί στα- θερή σε όλη την τροχιά, σύµμφωνα µμε την αρχή της διατήρησής της. 1 Αλλά, όσο και αν προσέξετε στις µμετρήσεις σας, µμια µμικρή µμεταβολή στο πρώτο ή στο δεύτερο δε- καδικό ψηφίο θα προκαλέσει σηµμαντικές αποκλίσεις στα τελικά αριθµμητικά συµμπεράσµματά σας. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 197 Η θέση C είναι συµμµμετρική και σε ίδιο ύψος µμε τη θέση Α, άρα εκεί οι τιµμές της δυναµμικής και κινητικής ενέργειας είναι αντίστοιχα ίδιες µμε αυτές στη θέση Α. Η θέση Β, σύµμφωνα µμε τις µμετρήσεις µμας είναι σε ύψος,6m, άρα εκεί η τιµμή της δυναµμικής ενέργειας θα είναι,6g J και συνεπώς η τιµμή της κινητικής ενέργειας θα είναι (50 1,6g)J, αφού η αρχή της διατήρησής της δηλώνει ότι πρέπει να κα- λυφθεί η διαφορά µμέχρι τη σταθερή τιµμή της µμηχανικής ενέργειας (g+50)j. Η θέση S, σύµμφωνα µμε τις µμετρήσεις µμας είναι σε ύψος 3,5m, και εκεί η δυναµμική ενέργεια έχει τη µμεγαλύτερή τιµμή 3,5g J, µμε τιµμή κινητικής ενέργειας (50,5g)J. Από τις γνωστές πλέον τιµμές της κινητικής ενέργειας σε αυτές τις θέσεις, υπο- λογίζονται οι αντίστοιχες τιµμές του µμέτρου της ταχύτητας: υ Β = (50 1,6g) m/s, υ S = (50,5g) m/s, υ C = 10m/s. Για τον προσδιορισµμό της εξίσωσης της παραβολής στις συντεταγµμένες του επιπέδου κίνησης αρκεί η γνώση τριών σηµμείων της: z = ax + bx + c : a 0,1, b 1, c 1. Έτσι, µμπορούµμε να µμάθουµμε τη γωνία βολής στην αρχική θέση Α, υπολογίζοντας την κλίση της εφαπτοµμένης σε αυτό το σηµμείο της παραβολής: z = ax + bx + c dz = (ax+ b)dx dz dx = ax+ b tanϕ 1 ϕ 45o. Γνωρίζοντας τη γωνία βολής και το µμέτρο της αρχικής ταχύτητας, προκύπτουν οι συντεταγµμένες της θέσης και της ταχύτητας της σηµμειακής µμάζας, κάθε χρο- νική στιγµμή, από τη λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα: x(t) = (υ o cosϕ)t 7t m x(t) = (υ o cosϕ) 7 m/s z(t) = z(0) + (υ o sinϕ)t gt / (1+ 7t g t /)m z(t) = (υ o sinϕ) gt (7 g t) m/s Με προσεγγιστικό σφάλµμα οφειλόµμενο στην αδυναµμία ακριβούς µμέτρησης, δια- πιστώνουµμε ότι η τιµμή της µμηχανικής ενέργειας πλησιάζει την τιµμή (g+50)j. Γραφική παράσταση της χρονικής µμεταβολής των τιµμών της δυναµμικής και κινητικής ενέργειας.

198 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ø Παράδειγμα. Κινητική ενέργεια ενός ζεύγους σημειακών μαζών. Δύο σηµμειακές µμάζες m 1 και m κινούνται ως ζεύγος σε ένα πεδίο δυνάµμεων και κάθε στιγµμή η θέση τους στον ευκλείδειο χώρο υποδεικνύεται από τα αντίστοι- χα διανύσµματα θέσης και η θέση του αδρανειακού κέντρου εντοπίζεται ως εξής: r o (t) = 1 m r1 m 1 + m 1 (t) + m r (t) ( ). Εντοπισµμός της θέσης του αδρανειακού κέντρου στον ευκλείδειο χώρο. Το ότι οι σηµμειακές µμάζες συµμπεριφέρονται ως ζεύγος σηµμαίνει ότι, εκτός από την αλληλεπίδρασή τους µμε το πεδίο δυνάµμεων, υφίστανται τις αµμοιβαίες εσω- τερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης, οι οποίες θα υπεισέλθουν στις εξισώσεις της κίνησης στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς: m 1 r 1 (t) = f 1 + F 1 και m r (t) = f 1 + F. Ο τρίτος νόµμος υπαγορεύει την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάµμεων: f 1 + f 1 = 0 άρα η κίνηση του αδρανειακού κέντρου υπακούει στην εξίσωση: (m 1 + m ) r o (t) = F 1 + F. Αν το ζεύγος των σηµμειακών µμαζών είναι κλειστό, δηλαδή όταν δεν υφίστανται εξωτερικές δυνάµμεις, το αδρανειακό κέντρο εκτελεί ευθύγραµμµμη οµμαλή κίνηση και οι σηµμειακές µμάζες, αλληλεπιδρώντας µμεταξύ τους όπως υπαγορεύει ο τρί- τος νόµμος, εκτελούν την κίνησή τους σύµμφωνα µμε τις εξισώσεις: m 1 r 1 (t) = f 1 και m r (t) = f 1.

ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 199 Η µμελέτη των κινήσεων ενός ζεύγους σηµμειακών µμαζών ανάγεται, όπως ξέρου- µμε, στη µμελέτη της κίνησης µμια ιδεατής σηµμειακής µμάζας, της ανηγµμένης µμάζας, που η θέση της στο χώρο εντοπίζεται κάθε στιγµμή µμε το ακόλουθο διάνυσµμα: ρ(t) = r (t) r 1 (t) = r (t) r 1 (t). Η ανηγµμένη µμάζα του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών ορίζεται ως εξής: µ = m 1 m m 1 + m και η θεώρησή της οδηγεί στην ακόλουθη ενδιαφέρουσα έκφραση της στροφι- κής κινητικής ενέργειας του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών: 1 K (t) = p 1 (t) + p (t) = 1 m 1 m µ ρ(t) = K µ (t). Η κινητική ενέργεια του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών ορίζεται ως εξής: K(t) = K 1 (t) + K (t) = p 1 (t) + p (t) m 1 m και αποσυντίθεται στη στροφική κινητική ενέργεια και τη µμεταφορική κινητική ενέργεια, δηλαδή την κινητική ενέργεια του αδρανειακού κέντρου: K o (t) = p 1 (t) + p (t) (m 1 + m ) όπως ακριβώς υπαγορεύει ο νόµμος König : Κ(t) = Κ o (t) + Κ (t). Η χρονική µμεταβολή της κινητικής ενέργειας του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών υποδεικνύει την κινητική ισχύ που παρέχουν σε αυτό οι ασκούµμενες εξωτερικές και εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης: dk(t) = P εξ (t) + P εσ (t). 1 Από τον ορισµμό του διανύσµματος θέσης της ανηγµμένης µμάζας προκύπτει: r1 (t) = r 1 (t) r o (t) = m ρ(t) = µ ρ(t) και r (t) = r m 1 + m (t) m r o (t) = 1 ρ(t) = µ ρ(t), άρα: m 1 + m K (t) = K 1 (t) + K (t) = 1 m r 1 1 (t) + 1 m r (t) = 1 m 1 m (m 1 + m ) ρ(t) + 1 m m 1 (m 1 + m ) ρ(t) = Kµ (t). Θυµμίζουµμε την αντίστοιχη έκφραση της ιδιοστροφορµμής του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών: Ω (t) = µ ρ(t) ρ(t).

00 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ø Παράδειγμα 3. Δύο σηµμειακές µμάζες m 1 και m κινούνται ως ζεύγος σε ένα πεδίο δυνάµμεων, αντίρροπα η µμια προς την άλλη σε παράλληλους κύκλους, και κάθε στιγµμή οι θέσεις τους στον ευκλείδειο χώρο εντοπίζονται ως εξής: 1 r 1 (t) = (cost, sint, h) και r (t) = (cost, sin t, h), h > 0. Η κινητική ενέργεια του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών υπολογίζεται ως εξής: K(t) = 1 m 1 r 1 (t) + 1 m r (t) = m 1 + m και η σταθερότητά της σηµμαίνει ότι το άθροισµμα της εσωτερικής και εξωτερικής ισχύος που παρέχουν οι εσωτερικές και εξωτερικές δυνάµμεις είναι µμηδενικό: dk(t) = 0 P εξ (t) + P εσ (t) = 0. Εισάγοντας την ανηγµμένη µμάζα που η θέση της στο χώρο εντοπίζεται ως εξής: ρ(t) = r (t) r 1 (t) = (0, sin t, h) προκύπτει η έκφραση της στροφικής κινητικής ενέργειας: K (t) = 1 µ ρ(t) = µcos t. Η µμεταφορική κινητική ενέργεια υπολογίζεται ως εξής: K o (t) = 1 (m + m ) m r 1 1 (t) + m r (t) = 1 (m 1 + m m 1 m (cos t sin t) 1 m 1 + m m 1 + m και όπως είναι αναµμενόµμενο επαληθεύεται ο νόµμος König : Κ(t) = Κ o (t) + Κ (t). Ø Παράδειγμα 4. Δυο σηµμειακές µμάζες m 1 και m κινούνται ως ζεύγος αντί- στοιχα στον ισηµμερινό και στο µμεσηµμβρινό µμιας σφαίρας µμοναδιαίας ακτίνας και οι θέσεις τους εντοπίζονται κάθε στιγµμή στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: r 1 (t) = (cost, sint, 0), r (t) = (sint, 0, cost). Η κινητική ενέργεια του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών υπολογίζεται ως εξής: K(t) = 1 m 1 r 1 (t) + 1 m r (t) = m 1 + m 1 Βλ. Μάθηµμα 5 ο, Παράδειγµμα. Βλ. Μάθηµμα 5 ο, Παράδειγµμα 3.

ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 01 και η σταθερότητά της σηµμαίνει ότι το άθροισµμα της εσωτερικής και εξωτερικής ισχύος που παρέχουν οι εσωτερικές και εξωτερικές δυνάµμεις είναι µμηδενικό. Εισάγοντας την ανηγµμένη µμάζα που η θέση της στο χώρο εντοπίζεται ως εξής: ρ(t) = r (t) r 1 (t) = (sin t cos t, sin t, cos t) προκύπτει η έκφραση της στροφικής κινητικής ενέργειας: K (t) = 1 µ ρ(t) = µ 1 sint. Η µμεταφορική κινητική ενέργεια υπολογίζεται ως εξής: K o (t) = 1 (m + m ) m r 1 1 (t) + m r (t) = 1 m 1 + m + 1 1 m 1 + m m 1 + m sint και όπως είναι αναµμενόµμενο επαληθεύεται ο νόµμος König : Κ(t) = Κ o (t) + Κ (t). Παράδειγμα 5. Τρεις όµμοιες σηµμειακές µμάζες κινούνται ως ενιαίο σύστηµμα και κάθε στιγµμή οι θέσεις τους στον ευκλείδειο χώρο εντοπίζονται ως εξής: r 1 (t) = e t (cost, sint,1), r (t) = e t (cost, sint, 0), r 3 (t) = e t (cost, sint, 0). Οι ταχύτητές τους υπολογίζονται στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς ως εξής: r 1 (t) = e t (cost +sint, sint cost,1), r (t) = e t (cost +sint, sint cost, 0), r 3 (t) = e t (cost +sint, sint cost, 0). Η πρώτη σηµμειακή µμάζα διαγράφει ελικοειδή τροχιά σε µμια κωνική επιφάνεια, η δεύτερη κινείται στην προβολή της πρώτης στο οριζόντιο επίπεδο και η τρίτη κινείται αντιδιαµμετρικά προς αυτήν, ενώ το αδρανειακό τους κέντρο εντοπίζε- ται κάθε στιγµμή στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: r o (t) = 1 3m m ri i (t) = 1 3 e t cost, sint,1,,3 ( ). Η κίνηση του συστήµματος των τριών σηµμειακών µμαζών.

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η ταχύτητα του αδρανειακού κέντρου στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς είναι: r o (t) = 1 ( 3 e t cost + sint, sint cost, 1) και η ορµμή του συµμπίπτει µμε την ολική ορµμή των σηµμειακών µμαζών: p o (t) = p i (t) = me t cost + sint, sint cost,1,,3 ( ). Η κινητική ενέργεια του συστήµματος των τριών σηµμειακών µμαζών είναι η εξής: K(t) = 1,,3 m i r i (t) = 7 me t και διασπάται σε µμεταφορική και στροφική σύµμφωνα µμε το νόµμο König : Κ(t) = Κ o (t) + Κ (t). Η µμεταφορική κινητική ενέργεια, δηλαδή η κινητική ενέργεια του αδρανειακού κέντρου στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς, υπολογίζεται ως εξής: K o (t) = 1 (m + m + m) m r 1 1 (t) + m r (t) + m 3 r 3 (t) = 1 1 m 1 + m + m 3 me t. Η στροφική κινητική ενέργεια, δηλαδή η κινητική ενέργεια του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών στο σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού κέντρου, προ- κύπτει ως διαφορά της µμεταφορικής από την ολική κινητική ενέργεια ή επίσης µμε απευθείας υπολογισµμό στο σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού κέντρου: 1 K (t) = 1 m i ri (t) = 3me t.,,3 Επίσης, µμε απευθείας υπολογισµμό στο σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού κέντρου προκύπτει η ιδιοστροφορµμή του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών: Ω (t) = ri (t) p i (t) =,,3 1 Στο σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού κέντρου προκύπτει: r1 (t) = r 1 (t) r o (t) = 3 e t (cost, sint, 1) r 1 (t) = 3 e t (sint +cost, sint cost, 1) r (t) = r (t) r o (t) = 3 e t (cost, sint, 1 / ) r (t) = 3 e t (sint +cost, sint cost, 1/ ) r (t) = r (t) r o (t) = 4 3 e t (cost, sint, 1 / 4) r (t) = 4 3 e t (sint + cost, sint cost, 1 / 4) Υπολογίζοντας την ολική στροφορµμή και αυτή του αδρανειακού κέντρου θα προκύψει: Ω(t) = Ω o (t) + Ω (t).

ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 03 8.7. Προβληματισμοί, ερωτήματα και ασκήσεις του 8 ου μαθήματος. Τα ερωτήµματα και οι ασκήσεις που ακολουθούν έχουν σκοπό την υπολογιστική εξοικείωση µμε τις έννοιες της κινητικής, της δυναµμικής και της µμηχανικής ενέρ- γειας. Για την επεξεργασία τους απαιτείται καλή γνώση βασικών εννοιών και τεχνικών του Διανυσµματικού Λογισµμού. 1. Πώς θα σχολιάζατε τον ισχυρισµμό ότι στην αρχή διατήρησης της µμηχανικής ενέργειας αντικατοπτρίζεται η οµμογένεια του χρόνου;. Η αρχή διατήρησης της µμηχανικής ενέργειας ισχύει στα αδρανειακά συστή- µματα αναφοράς. Μπορείτε να το αποδείξετε; Τι θα λέγατε ως προς την αλήθεια ή όχι αυτής της αρχής στα µμη αδρανειακά συστήµματα αναφοράς; 3. Οι αρχές της µμεταβολής της κινητικής και της δυναµμικής ενέργειας ισχύουν στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς. Τι θα λέγατε ως προς την αλήθεια ή όχι αυτών των αρχών στα µμη αδρανειακά συστήµματα αναφοράς; 4. Όταν δυο παρατηρητές, σε διαφορετικά αδρανειακά συστήµματα αναφοράς, υπολογίσουν την κινητική ενέργεια µμιας σηµμειακής µμάζας ή ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών θα καταλήξουν στο ίδιο αριθµμητικό συµμπέρασµμα; Πώς υπει- σέρχονται σε αυτό το ζήτηµμα οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί; 5. Η κινητική ισχύς µμιας σηµμειακής µμάζας ή ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών εκφράζει τη χρονική παράγωγο της κινητικής τους ενέργειας στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς. Τι θα λέγατε ως προς την αλήθεια ή όχι αυτής της σχέσης στα µμη αδρανειακά συστήµματα αναφοράς; 6. Πώς θα εξηγήσετε το ότι ο τρίτος νόµμος του Νεύτωνα δεν διασφαλίζει τη µμη παραγωγή έργου από τις εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης στα συστήµματα σηµμειακών µμαζών και έτσι αυτές έχουν δυνατότητα παροχής εσωτερικής κινη- τικής ισχύος; Αν αυτό δεν συνέβαινε, θα µμπορούσαµμε να µμιλήσουµμε για µμια αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας και συγκεκριµμένα της στροφικής κινητικής ενέργειας σε συστήµματα σηµμειακών µμαζών; 7. Η κινητική ισχύς που παρέχουν στα συστήµματα σηµμειακών µμαζών οι εσωτε- ρικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης δεν εξαρτάται από την επιλογή του αδρανεια- κού συστήµματος αναφοράς. Μπορείτε να το αποδείξετε; 8. Εξετάστε τα ερωτήµματα του παραδείγµματος 5 ως προς τα ενεργειακά χαρα- κτηριστικά του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών και κάντε τη σύγκριση των αριθµμητικών αποτελεσµμάτων µμε εκείνα που θα προκύψουν αν οι θέσεις των τριών σηµμειακών µμαζών εντοπίζονται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: r 1 (t) = 1 t (cost, sint, 1), r (t) = 1 t (cost, sint, 0), r3 (t) = 1 (cost, sint, 0). t

04 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 9. Υπολογίστε την κινητική ενέργεια και τη στροφορµμή µμιας σηµμειακής µμάζας και δώστε τη φυσική ερµμηνεία των χρονικών τους παραγώγων, όταν κάθε χρο- νική στιγµμή η θέση της εντοπίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: x(t ) = (sin t, sin t, 0). 10. Ένα αντικείµμενο µμοναδιαίας µμάζας βάλλεται από µμια θέση στο χώρο µμε αρ- χική ταχύτητα 10 m/s, όπως υποδεικνύεται στο σχήµμα, και διαγράφοντας υπό την επίδραση του βάρους του, µμε αµμελητέες τριβές, την τροχιά που υπαγορεύει ο νόµμος της βαλλιστικής κίνησης, καταλήγει στο έδαφος. Αν η διαβάθµμιση των αξόνων στο σχήµμα εκληφθεί µμε µμονάδα µμήκους 1m. Από τα αποτελέσµματα των µμετρήσεων σας στο σχήµμα, µμε σφάλµμα οφειλόµμενο στην αδυναµμία ακριβούς µμέτρησης, δώστε την εξίσωση της παραβολικής τροχιάς της βαλλιστικής αυτής κίνησης, υπολογίστε τη δυναµμική, την κινητική και τη µμηχανική ενέργεια της σηµμειακής µμάζας και σχεδιάστε τα γραφήµματά τους. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ