BÀI GIẢNG MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Bê soạ: GV.Đỗ Thị Tuyết Hoa BÀI GIẢNG MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH (Dàh cho sh vê khoa Côg ghệ thôg t) ( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ ) ĐÀ NẴNG, NĂM 7

MỤC LỤC CHƯƠNG I NHẬP MÔN... 5.. Gớ thệu mô phươg pháp tíh... 5.. Nhệm vụ mô học... 5.3. Trìh tự gả bà toá trog phươg pháp tíh... 5 CHƯƠNG II SAI SỐ... 7.. Khá ệm... 7.. Các loạ sa số... 7.3. Sa số tíh toá... 7 CHƯƠNG III TÍNH GIÁ TRỊ HÀM... 9 3.. Tíh gá trị đa thức. Sơ đồ Hoocer... 9 3... Đặt vấ đề... 9 3... Phươg pháp... 9 3..3. Thuật toá... 9 3..4. Chươg trìh... 3.. Sơ đồ Hoocer tổg quát... 3... Đặt vấ đề... 3... Phươg pháp... 3..3. Thuật toá... 3.3. Kha trể hàm qua chuỗ Taylo... CHƯƠNG IV GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH... 4 4.. Gớ thệu... 4 4.. Tách ghệm... 4 3.3. Tách ghệm cho phươg trìh đạ số... 6 4.4. Chíh ác hoá ghệm... 7 4.4.. Phươg pháp cha đô... 7 4.4.. Phươg pháp lặp... 9 4.4.3. Phươg pháp tếp tuyế... 4.4.4. Phươg pháp dây cug...

CHƯƠNG V GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH... 6 5.. Gớ thệu... 6 5.. Phươg pháp Krame... 6 5.3. Phươg pháp Gauss... 7 5.3.. Nộ dug phươg pháp... 7 5.3.. Thuật toá... 7 5.4. Phươg pháp lặp Gauss - Sedel (tự sửa sa)... 8 5.4.. Nộ dug phươg pháp... 8 5.4.. Thuật toá... 3 5.5. Phươg pháp gảm dư... 3 5.5.. Nộ dug phươg pháp... 3 5.5.. Thuật toá... 3 CHƯƠNG VI TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG - VECTƠ RIÊNG... 34 6.. Gớ thệu... 34 6.. Ma trậ đồg đạg... 34 6.3. Tìm gá trị rêg bằg phươg pháp Đahlepsk... 35 6.3.. Nộ dug phươg pháp... 35 6.3.. Thuật toá... 37 6.4. Tìm vectơ rêg bằg phươg pháp Đahlepsk... 38 6.4.. Xây dựg côg thức... 38 6.4.. Thuật toá... 39 CHƯƠNG VII NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT... 4 7.. Gớ thệu... 4 7.. Đa thức ộ suy Lagrage... 4 7.3. Đa thức ộ suy Lagrage vớ các mố cách đều... 43 7.4. Bảg ộ suy Ayke... 44 7.4.. Xây dựg bảg ộ suy Ayke... 45 7.4.. Thuật toá... 46 7.5. Bảg Nộ suy Ayke (dạg )... 46 7.6. Nộ suy Newto... 48 7.6.. Sa phâ... 48 3

7.6.. Côg thức ộ suy Newto... 49 7.7. Nộ suy tổg quát (Nộ suy Hecmt)... 5 7.8. Phươg pháp bìh phươg bé hất... 53 CHƯƠNG VIII TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH... 57 8.. Gớ thệu... 57 8.. Côg thức hìh thag... 57 8.3. Côg thức Parabol... 58 8.4. Côg thức Newto-Cotet... 59 MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH THAM KHẢO... 6 TÀI LI ỆU THAM KHẢO... 68 4

CHƯƠNG I NHẬP MÔN.. Gớ thệu mô phươg pháp tíh Phươg pháp tíh là bộ mô toá học có hệm vụ gả đế kết quả bằg số cho các bà toá, ó cug cấp các phươg pháp gả cho hữg bà toá trog thực tế mà khôg có lờ gả chíh ác. Mô học ày là cầu ố gữa toá học lý thuyết và các ứg dụg của ó trog thực tế. Trog thờ đạ t học hệ ay thì vệc áp dụg các phươg pháp tíh càg trở ê phổ bế hằm tăg tốc độ tíh toá... Nhệm vụ mô học - Tìm ra các phươg pháp gả cho các bà toá gồm: phươg pháp (PP) đúg và phươg pháp gầ đúg. + Phươg pháp: chỉ ra kết quả dướ dạg một bểu thức gả tích cụ thể. + Phươg pháp gầ đúg: thườg cho kết quả sau một quá trìh tíh lặp theo một quy luật ào đó, ó được áp dụg trog trườg hợp bà toá khôg có lờ gả đúg hoặc ếu có thì quá phức tạp. - Xác địh tíh chất ghệm - Gả các bà toá về cực trị - Xấp ỉ hàm: kh khảo sát, tíh toá trê một hàm f() khá phức tạp, ta có thể thay hàm f() bở hàm g() đơ gả hơ sao cho g() f(). Vệc lựa chọ g() được gọ là phép ấp ỉ hàm - Đáh gá sa số : kh gả bà toá bằg phươg pháp gầ đúg thì sa số uất hệ do sự sa lệch gữa gá trị hậ được vớ ghệm thực của bà toá. Vì vậy ta phả đáh gá sa số để từ đó chọ ra được phươg pháp tố ưu hất.3. Trìh tự gả bà toá trog phươg pháp tíh - Khảo sát, phâ tích bà toá - Lựa chọ phươg pháp dựa vào các têu chí sau: + Khố lượg tíh toá ít + Đơ gả kh ây dựg thuật toá + Sa số bé 5

+ Khả th - Xây dựg thuật toá: sử dụg gô gữ gả hoặc sơ đồ khố (càg mị càg tốt) - Vết chươg trìh: sử dụg gô gữ lập trìh (C, C++, Pascal, Matlab, ) - Thực hệ chươg trìh, thử ghệm, sửa đổ và hoà chỉh. 6

CHƯƠNG II SAI SỐ.. Khá ệm Gả sử là số gầ đúg của * (* : số đúg), Kh đó gọ là sa số thực sự của Vì khôg ác địh được ê ta ét đế loạ sa số sau: * - Sa số tuyệt đố: Gả sử > du be sao cho Kh đó gọ là sa số tuyệt đố của - Sa số tươg đố :.. Các loạ sa số δ Dựa vào guyê hâ gây sa số, ta có các loạ sau: - Sa số gả thết: uất hệ do vệc gả thết bà toá đạt được một số đều kệ lý tưởg hằm làm gảm độ phức tạp của bà toá. - Sa số do số lệu ba đầu: uất hệ do vệc đo đạc và cug cấp gá trị đầu vào khôg chíh ác. - Sa số phươg pháp : uất hệ do vệc gả bà toá bằg phươg pháp gầ đúg. - Sa số tíh toá : uất hệ do làm trò số trog quá trìh tíh toá, quá trìh tíh càg hều thì sa số tích luỹ càg lớ..3. Sa số tíh toá Gả sử dùg số gầ đúg (, ) để tíh đạ lượg y, vớ y f( ) f(,,..., ) Trog đó : f là hàm khả v lê tục theo các đố số Kh đó sa số của y được ác địh theo côg thức sau: Sa số tuyệt đố: y f Sa số tươg đố: δy l f - Trườg hợp f có dạg tổg: y f ( ) ± ± ±... ± 7

8 f suy ra y - Trườg hợp f có dạg tích: *...* k k *...* * ) f ( y + ) l... (l ) l... l (l....... l f l m m m m + + + + + + + f l > δ δ y Vậy δ δ y - Trườg hợp f dạg luỹ thừa: y f() ) ( > α α l lf y l α f l α Suy ra. y αδ α δ Ví dụ. Cho 3. c.34; b.5; a Tíh sa số của: c b a y 3 ; c b a y 3 GảI c b a 3 ) c ( b ) ( a y 3 δ + δ + δ δ + δ δ c c b b a a 3 + + c) (b c b ) (a a c) (b ) (a y 3 3 3 δ + δ + ) c c b b ( c b a a a 3 y 3 + +

CHƯƠNG III TÍNH GIÁ TRỊ HÀM 3.. Tíh gá trị đa thức. Sơ đồ Hoocer 3... Đặt vấ đề Cho đa thức bậc có dạg tổg quát : p() a + a - +... + a - + a (a#) Tíh gá trị đa thức p() kh c (c: gá trị cho trước) 3... Phươg pháp Áp dụg sơ đồ Hoocer hằm làm gảm đ số phép tíh hâ (chỉ thực hệ phép hâ), phươg pháp ày được phâ tích hư sau: p() (...((a + a ) +a )+... +a - ) + a p(c) (...((a c + a )c +a )c+... +a - )c + a Đặt p a p a c + a p c + a p p c + a........ p p - c + a p(c) Sơ đồ Hoocer a a a... a - a p * c p * c... p -* c p -* c p p p... p - p p(c) Vd: Cho p() 6 + 5 4 + 3 - - Áp dụg sơ đồ Hoocer: Vậy p(-) -3 3..3. Thuật toá Tíh p(-) -5 - - - 4-8 6-3 - - 4-8 5-3 + Nhập vào:, c, các hệ số a (, ) 9

+ Xử lý: Đặt p a Lặp : p p * c + a + Xuất kết quả: p 3..4. Chươg trìh #clude <stdo.h> #clude <coo.h> ma ( ) { t, ; float c, p, a []; clrsr (); prtf ( Nhap ga tr ca th : ); scaf ( %f,&c); prtf ( Nhap bac da thuc : ); scaf ( %d,&); prtf ( Nhap các hệ số: \ ); for (, <; ++) { prtf ( a[%d], ); scaf ( %f, &a[]); } p a[]; for (, <; ++) p p*c + a[]; prtf ( Ga tr cua da thuc : %.3f, p); getch ( ); } 3.. Sơ đồ Hoocer tổg quát 3... Đặt vấ đề Cho đa thức bậc có dạg tổg quát : p() a + a - +... + a - + a (a # ) () Xác địh các hệ số của p(y + c), trog đó y: bế mớ, c: gá trị cho trước 3... Phươg pháp Gả sử: p(y+c) b y + b y - +... + b - y + b () Như vậy ta phả ác địh các hệ số b (, )

Xác địh b Xét y, từ () > p(c) b Xác địh b - p() (-c) p () + p(c) ( ) Trog đó p () : đa thức bậc - + c) y(by + by +... + b y + b ) b p (y + Đặt y+c ta có: ( c)(by + by +... + b y + b ) b p () + ( ) Đồg hất ( ) & ( ) suy ra: p () b y - + b y - +...+ b - y + b - Xét y, p (c) b - Tươg tự ta có: b - p (c),, b p - (c) Vậy b - p (c) ( -->), b a Vớ p (c) là gá trị đa thức bậc - tạ c Sơ đồ Hoocer tổg quát: a a a... a - a p * c p * c... p -* c p -* c p p p... p - p p(c)b p * c p * c... p - * c p p... p... p - p (c)b - Ví dụ: Cho p() 6 + 4 5 - + +. Xác địh p(y-)

Áp dụg sơ đồ Hoocer tổg quát : \p() 4 - - - - 3-4 p () - -3 4 - - -4 7 p () - 4-7 - -4 p 3 () - 4 - - 4-4 p 4 () -4 4-6 p 5 () -6 - -8 Vậy p(y-) y 6-8y 5 + y 4 - y +y- 3..3. Thuật toá - Nhập, c, a [] (, ) - Lặp k Lặp k : a a - * c + a - Xuất a (, ) 3.3. Kha trể hàm qua chuỗ Taylo Hàm f() lê tục, khả tích tạ ếu ta có thể kha trể được hàm f() qua chuỗ Taylor hư sau: f ( )( ) f ( )( f () f ( ) + +!! kh, ta có kha trể Maclorah: f () f () f () + +! f () +... +! Ví dụ: Cos + +...! 4! 6! 4 6 ) f +... + f +... + ( ) ( ) ( ()! )(! )

BÀI TẬP. Cho đa thức p() 3 5 + 8 4 + 5 a. Tíh p(3) b. Xác địh đa thức p(y-). Kha báo (địh ghĩa) hàm trog C để tíh gá trị đa thức p() bậc tổg quát theo sơ đồ Hoocer 3. Vết chươg trìh (có sử dụg hàm ở câu ) hập vào gá trị a, b. Tíh p(a) + p(b) 4. Vết chươg trìh hập vào đa thức p () bậc, p m () bậc m và gá trị c. Tíh p (c) + p m (c) 5. Vết chươg trìh ác địh các hệ số của đa thức p(y+c) theo sơ đồ Hoocer tổg quát 6. Kha báo hàm trog C để tíh gá trị các hàm e, s, cos theo kha trể Maclorah. 3

CHƯƠNG IV GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH 4.. Gớ thệu Để tìm ghệm gầ đúg của phươg trìh f() ta tế hàh qua bước: - Tách ghệm: ét tíh chất ghệm của phươg trìh, phươg trìh có ghệm hay khôg, có bao hêu ghệm, các khoảg chứa ghệm ếu có. Đố vớ bước ày, ta có thể dùg phươg pháp đồ thị, kết hợp vớ các địh lý mà toá học hỗ trợ. - Chíh ác hoá ghệm: thu hẹp dầ khoảg chứa ghệm để hộ tụ được đế gá trị ghệm gầ đúg vớ độ chíh ác cho phép. Trog bước ày ta có thể áp dụg một trog các phươg pháp: 4.. Tách ghệm + Phươg pháp cha đô + Phươg pháp lặp + Phươg pháp tếp tuyế + Phươg pháp dây cug * Phươg pháp đồ thị: Trườg hợp hàm f() đơ gả - Vẽ đồ thị f() - Nghệm phươg trìh là hoàh độ gao đểm của f() vớ trục, từ đó suy ra số ghệm, khoảg ghệm. Trườg hợp f() phức tạp - Bế đổ tươg đươg f() <> g() h() - Vẽ đồ thị của g(), h() - Hoàh độ gao đểm của g() và h() là ghệm phươg trìh, từ đó suy ra số ghệm, khoảg ghệm. * Địh lý : Gả sử f() lê tục trê (a,b) và có f(a)*f(b)<. Kh đó trê (a,b) tồ tạ một số lẻ ghệm thực (a,b) của phươg trìh f(). Nghệm là duy hất ếu f () tồ tạ và khôg đổ dấu trê (a,b). 4

Ví dụ. Tách ghệm cho phươg trìh: 3 - + 5 Gả: f() 3 - + 5 f () 3 -, f () <> ± / 3 Bảg bế thê: - / 3 / 3 + f () + - + f() y CĐ < + - CT Từ bảg bế thê, phươg trìh có ghệm < / 3 f(-)* f(-) <, vậy phươg trìh trê có ghệm (-, -) Ví dụ. Tách ghệm cho phươg trìh sau: + - 4 Gả: + - 4 - + 4 Aïp duûg phæåg phaïp âäöthë: 4 y y - + 4 4 Tæì âäö thë > phæåg trçh coï ghãûm (, ) 5

* Âëh lyï : (Sa säú) Gaí sæí α laì ghãûm âuïg vaì laì ghãûm gáö âuïg cuía phæåg trçh f(), cuìg àòm trog khoaíg ghãûm [ a,b] vaìf '() m kh a f () b. Kh âoï α m Vê du 3. Cho ghãûm gáö âuïg cuía phươg trìh 4 - - laì.. Haîy æåïc læåüg sa säú tuyãût âäú laìbao hãu? Gả: f () f (.). 4 -. - -,47 < f(.3).588 > ghãûm phæåg trçh (.,.3) f '() 4 3 - > 4*. 3-6.64 m (.,.3) Theo âëh lyï :.47/6.64.8 (vç - α <.8) 3.3. Tách ghệm cho phươg trìh đạ số Xét phươg trìh đạ số: f() a + a - + + a - + a () Địh lý 3: Cho phươg trìh () có m ma { a }, m ma { a }, Kh đó mọ ghệm của phươg trìh đều thoả mã: Địh lý 4: a m + m + a a Cho phươg trìh () có a >, a m là hệ số âm đầu tê. Kh đó mọ ghệm dươg của phươg trìh đều N + m a /, vớ a ma { a }, sao cho a <. Ví dụ 4. Cho phươg trìh: 5 5-8 3 + - + 6 Tìm cậ trê ghệm dươg của phươg trìh trê Gả: Ta có a -8 là hệ số âm đầu tê, ê m * Âëh lyï 5: a ma( 8, ) 8 Vậy cậ trê của ghệm dươg: N + 8 / 5 a 6

Cho phæåg trçh (), eït caïc âa thæïc: ϕ () f (/) a + a +... + a ϕ () f(-) (-) (a - a - + a - -... + (-) a ) ϕ 3 () f(-/) (-) (a - a - - + a - - -... + (-) a ) Gaí sæí N, N, N, N 3 laìcáû trã caïc ghãûm dæåg cuía caïc âa thæïc f(), ϕ (), ϕ (), ϕ 3 (). Kh âoï moü ghãûm dæåg cuía phtrçh () âãöu àòm trog khoaíg [/N, N ] vaìmoü ghãûm ám àòm trog khoaíg [-N,-/N 3 ] Vê duû 5. Xét phươg trìh 3 + - 5 N + 5 / 3 (âëh lyï4) ϕ () 3 + - 5 N khäg täö taû (a < ) ϕ () 3 - - 5 N + 5/3 (âëh lyï4) ϕ 3 () 3 - - 5 N 3 khäg täö taû (a < ) Váûy: moü ghãûm dæåg < + 5 / 3 moü ghãûm ám > - ( +5/3) - 8/3 4.4. Chíh ác hoá ghệm 4.4.. Phươg pháp cha đô a. Ý tưởg Cho phươg trìh f(), f() lê tục và trá dấu tạ đầu [a,b]. Gả sử f(a) <, f(b) < (ếu gược lạ thì ét f() ). Theo địh lý, trê [a,b] phươg trìh có ít hất ghệm µ. Cách tìm ghệm µ: Đặt [a, b ] [a, b] và lập các khoảg lồg hau [a, b ] (,, 3, ) [a, b ] Như vậy: [a, (a - + b - )/ ] ếu f((a - + b - )/) > [(a - + b - )/, b ] ếu f((a - + b - )/) < - Hoặc hậ được ghệm đúg ở một bước ào đó: µ (a - + b - )/ ếu f((a - + b - )/) - Hoặc hậ được dãy {a } và {b }, trog đó: 7

{a }: là dãy đơ đệu tăg và bị chặ trê {b }: là dãy đơ đệu gảm và bị chặ dướ ê lm a lm b µ là ghệm phươg trìh α Ví dụ 6. Tìm ghệm phươg trìh: + - 4 bằg ppháp cha đô Gả: - Tách ghệm: phươg trìh có ghệm (,) - Chíh ác hoá ghệm: áp dụg phươg pháp cha đô ( f() < ) Bảg kết quả: lm a α b. Thuật toá lm b a b a f ( b + +.5 -.5 -.375 +.438 +.46 +.39 -.383 +.387 -.385 -.386.387.386 Kết luậ: Nghệm của phươg trìh:.386 - Kha báo hàm f() (hàm đa thức, hàm sêu vệt) - Nhập a, b sao cho f(a)< và f(b)> - Lặp c (a+b)/ ếu f(c) > b c gược lạ a c trog kh ( f(c) > ε) /* a - b > ε và f(c)! */ ) 8

- Xuất ghệm: c 4.4.. Phươg pháp lặp a. Ý tưởg Bế đổ tươg đươg: f() <> g() Chọ gá trị ba đầu khoảg ghệm (a,b), tíh g( ), g( ),, k g( k- ) Như vậy ta hậ được dãy { }, ếu dãy ày hộ tụ thì tồ tạ gớ hạ lm η (là ghệm phươg trìh ) b. Ý ghĩa hìh học Hoàh độ gao đểm của đồ thị y và yg() là ghệm phươg trìh y y A y g() y A B C y C B µ µ Hìh a Hìh b Trườg hợp hìh a: hộ tụ đế ghệm µ Trườg hợp hìh a: khôg hộ tụ đế ghệm µ (phâ ly ghệm) Sau đây ta ét địh lý về đều kệ hô tụ đế ghệm sau một quá trìh lặp Địh lý (đều kệ đủ) Gả sử hàm g() ác địh, khả v trê khoảg ghệm [a,b] và mọ gá trị g() đều thuộc [a,b]. Kh đó ếu q > sao cho g () q< (a,b) thì: + Quá trìh lặp hộ tụ đế ghệm khôg phụ thuộc vào [a,b] + Gớ hạ lm η là ghệm duy hất trê (a, b) Lưu ý: - Địh lý đúg ếu hàm g() ác địh và khả v trog (-,+ ), trog kh đó đều kệ địh lý thoả mã. 9

- Trog trườg hợp tổg quát, để hậ được ấp ỉ với độ chíh ác ε cho trước, ta tế hàh phép lặp cho đế kh ấp ỉ lê tếp thoả mã: q + ε q Ví dụ 7. Tìm ghệm: 3 - - bằg phươg pháp lặp Gả: - Tách ghệm: phươg trìh có một ghệm (,) - Chíh ác hoá ghệm: 3 3 + ; ; 3 + Chọ g() 3 + g'() 3 3 ( + ) < (, ) c. Thuật toá > áp dụg phươg pháp lặp (chọ ) - Kha báo hàm g() - Nhập - Lặp: y g() 3 +.6.6.3.3.3.3.34.34.35.35.35 4-5 < ε -3 Nghệm phươg trìh.35 g() trog kh - y > ε - Xuất ghệm: (hoặc y)

4.4.3. Phươg pháp tếp tuyế a. Ý tưởg Chọ khoảg ghệm (a, b) Tếp tuyế tạ A (, f( )) cắt trục tạ đểm có hoàh độ, Tếp tuyế tạ A (, f( )) cắt trục tạ đểm có hoàh độ,, Tếp tuyế tạ A k ( k, f( k )) cắt trục tạ đểm có hoàh độ k, Cứ tếp tục quá trìh trê ta có thể tế dầ đế ghệm µ của phươg trìh. * Xây dựg côg thức lặp: Phươg trìh tếp tuyế tạ A k ( k, f( k )) y - f( k ) f ( k )*( - k ) Tếp tuyế cắt trục tạ đểm có toạ độ ( k+, ) Do vậy: f( k ) f ( k )*( k+ - k ) k+ b. Ý ghĩa hìh học k f ( k ) f '( ) k y f() A tếp tuyế A [ ] a µ b Địh lý (đều kệ hộ tụ theo Furê_đều kệ đủ) Gả sử [a,b] là khoảg ghệm của phươg trìh f(). Đạo hàm f (), f () lê tục, khôg đổ dấu, khôg têu dệt trê [a,b]. Kh đó ta chọ ấp ỉ ghệm ba đầu [a,b] sao cho f( )*f ( ) > thì quá trìh lặp sẽ hộ tụ đế ghệm. Ví dụ 8. Gả phươg trìh: 3 + - 5 bằg phươg pháp tếp tuyế Gả: - Tách ghệm: f() 3 + - 5

f () 3 + > lmf (), + lmf () + Phươg trìh trê có ghệm duy hất f()* f() (-3)*5 < Vậy phươg trìh có ghệm duy hất (, ) - Chíh ác hoá ghệm: c. Thuật toá f () 6 > (, ) f () > Thoả mã đều kệ hộ tụ Furê, áp dụg phươg pháp tếp tuyế Chọ vớ ( vì f(). f () > ) - Kha báo hàm f(), fdh() - Nhập - Lặp y y f(y)/fdh(y) trog kh - y > ε - Xuất ghệm: (hoặc y) f()/f ().385.65.94.5.5.56..56 Vậy ghệm.56 4.4.4. Phươg pháp dây cug a. Ý tưởg Gả sử [a, b] là khoảg ghệm phươg trìh f(). Gọ A, B là đểm trê đồ thị f() có hoàh độ tươg ứg là a, b. Phươg trìh đườg thẳg qua đểm A(a,f(a)), B(b, f(b)) có dạg: y f (a) f (b) f (a) b a a

Dây cug AB cắt trục tạ đểm có toạ độ (, ) Do đó: f (a) a f (b) f (a) b a (b a)f (a) a f (b) f (a) Nếu f(a)*f( ) <, thay b ta có khoảg ghệm mớ là (a, ) Nếu f(b)*f( ) <, thay a ta có khoảg ghệm mớ là (, b) Tếp tục áp dụg phươg pháp dây cug vào khoảg ghệm mớ ta được gá trị. Lạ tếp tục hư thế ta hậ được các gá trị 3, 4, càg tế gầ vớ gá trị ghệm phươg trìh. b. Ý ghĩa hìh học y A a D b C B Ví dụ 9. Gả phươg trìh 3 + - 5 bằg phươg pháp dây cug Gả: - Tách ghệm: Phươg trìh có ghệm (, ) - Chíh ác hoá ghệm: f() -3 <, f() 5 > 3

Bảg kết quả: a b f().333.379.385.386.333.379.385.386.386 -.447 -. -.3 -. Vậy ghệm phươg trìh:.386 c. Thuật toá - Kha báo hàm f() - Nhập a, b - Tíh a (b-a)f(a) / (f(b)-f(a)) - Nếu f()*f(a) < Lặp b a (b-a)f(a) / (f(b)-f(a)) trog kh - b > ε Ngược lạ Lặp a a (b-a)f(a) / (f(b)-f(a)) trog kh - a > ε - Xuất ghệm: 4

BÀI TẬP. Tìm ghệm gầ đúg các phươg trìh: a. 3 + 5 b. 3 c. s + /4 d. 4 4 bằg phươg pháp cha đô vớ sa số khôg quá -3. Tìm ghệm gầ đúg các phươg trìh: a. 3 + 5 b. 4 4 bằg phươg pháp dây cug vớ sa số khôg quá - 3. Tìm ghệm gầ đúg các phươg trìh: a. e + 7 b. 3 + 5 bằg phươg pháp tếp tuyế vớ sa số khôg quá -3 4. Dùg phươg pháp lặp tìm ghệm dươg cho phươg trìh 3 vớ sa số khôg quá -3 5. Tìm ghệm dươg cho phươg trìh: 3 + 6. Tìm ghệm âm cho phươg trìh: 4-3 + 75 7. Dùg các phươg pháp có thể để tìm ghệm gầ đúg cho phươg trìh sau: cos + 5 8. Vết chươg trìh tìm ghệm cho có dạg tổg quát: f() a + a - + + a - + a a. Áp dụg phươg pháp cha đô b. Áp dụg phươg pháp dây cug 9. Vết chươg trìh tìm ghệm cho phươg trìh e + 7 bằg phươg pháp tếp tuyế.. Vết chươg trìh ác địh gá trị, theo địh lý 3.. Vết chươg trìh tìm cậ trê của ghệm dươg phươg trìh đạ số theo địh lý 4. 5

CHƯƠNG V GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 5.. Gớ thệu Cho hệ phươg trìh tuyế tíh: a + a +... + a a + a + a +... + a a + a + a +... + a a + Hệ phươg trìh trê có thể được cho bở ma trậ: a a... a a + A + a a... a a +... a a... a a + Vấ đề: Tìm vectơ ghệm (,,..., ) * Phươg pháp: - Phươg pháp đúg (Krame, Gauss, kha că): Đặc đểm của các phươg pháp ày là sau một số hữu hạ các bước tíh, ta hậ được ghệm đúg ếu trog quá trìh tíh toá khôg làm trò số - Phươg pháp gầ đúg (Gauss Sedel, gảm dư): Thôg thườg ta cho ẩ số một gá trị ba đầu, từ gá trị ày tíh gá trị ghệm gầ đúg tốt hơ theo một qu tắc ào đó. Quá trìh ày được lặp lạ hều lầ và vớ một số đều kệ hất địh, ta hậ được ghệm gầ đúg. 5.. Phươg pháp Krame - Kha báo hàm Dt tíh địh thức ma trậ vuôg cấp - Nhập, a j (,; j, + ) - d Dt (A) - Xét + d + d # {d Dt(A ) ; d /d } 6

5.3. Phươg pháp Gauss 5.3.. Nộ dug phươg pháp - Bế đổ Ma trậ A về ma trậ tam gác trê a a... a a + A a a... a a +... a a... a a + a a... a a + A a'... a' a' +...... a' a' + Cách bế đổ A A : Thực hệ - lầ bế đổ Lầ bế đổ (làm cho a j ; j + ) bằg cách: dòg j dòg j + dòg * m (m -a j / a j ) - Tìm ghệm theo quá trìh gược: -... Ví dụ. Gả hệ phươg trìh - 3 5-3 5 - X - -3-7 -8 X - 3 4 8 5/3 5 7 3 X - 5 4 4/3 4 3 7 4 7 3-3 5-3 5-3 -7-8 -3-7 -8 3/3-4/3 -/3 3/3-4/3 -/3 7/3-7/3 /3 49/3 49/3 4 ; 3 ; ; Vậy ghệm hệ phươg trìh (,,, ) 5.3.. Thuật toá - Nhập, a j (,, j, + ) (hập trực tếp hoặc từ fle) 7

- Bế đổ A A (ma trậ tam gác trê) Lặp - Tìm j sao cho a j # + Xét a j Hoá đổ dòg và dòg j cho hau + Lặp j + m -a j /a Lặp k + a jk a jk + a k * m - Tìm ghệm a a j j + / a ( ) j + Lặp s lặp j + S S + a j * j (a + - s)/a - Xuất ( ) 5.4. Phươg pháp lặp Gauss - Sedel (tự sửa sa) 5.4.. Nộ dug phươg pháp Bế đổ hệ phươg trìh về dạg: B + g (,,..., ); g (g,g,...,g ) ; B {b j } Cách bế đổ: a +a +...+ a a + a +a +...+ a a +... Tổg quát: a +a +...+ a a + j (a + aj j)/a(j... (a + a j j ) / a j ) (j ) 8

(a + a j j) / a (j ) (*) j Cho hệ phươg trìh ấp ỉ ghệm ba đầu: (,,..., ) Thay vào (*) để tíh: (,,..., ) Tươg tự, tíh, 3 (a + a, j j j ) / a ( j k + k Tổg quát: (a + a j j ) / a ( j ) j Quá trìh lặp sẽ dừg kh thoả mã têu chuẩ hộ tụ tuyệt đố: k + k < ε ( k k k, ) Kh đó k (,,.., ) là ghệm của hệ phươg trìh Đều kệ hộ tụ: Hệ phươg trìh có ma trậ lặp B thoả mã: r ma b j j < hoặc r ma bj < j 3 j < j hoặc r b thì quá trìh sẽ hộ tụ đế ghệm. Ví dụ. Gả hệ phươg trìh 8 -, -, 3 + -, -, 3 +, 3 -, -, +,8 ) 9

B -, -, -, -, -, -, g (,.,.8) 3 Do r ma bj.3 < thoả mã đều kệ hộ tụ j Áp dụg Phươg pháp Gauss - Sedel: Chọ (,, ) Tươg tự tíh, 3... Bảg kết quả: thay vào có (,.,.8) 3..8.68.94.58.754.6.638.733.997.63.738..67.737..66.737..66 Nghệm hệ phươg trìh: (.737,.,.66) 5.4.. Thuật toá 7 6 3 Vì <, 3 - Nhập, a j (, j +) - Nhập ( ) - Lặp t lap { S lap j do f (j ) S S + a j * j y (a + - S ) / a f ( [] - [] > ε ) t 3

trog kh (t) y } - Xuất ( ) 5.5. Phươg pháp gảm dư 5.5.. Nộ dug phươg pháp Bế đổ hệ phươg trìh về dạg: a + - a - a -... - a a + - a - a -... - a ()... Cha dòg cho a # a + - a - a -... - a b + - b - b 3 -... - b + - b b 3 3 -... - ()... b + - b - b -... - Cho vectơ ghệm ba đầu (,,..., ) Vì khôg phả là ghệm ê: b + - b - b 3 3 -... - R,R,..., R b + - b - b 3 3 -... - R... b + - b - b -... - R R là các số dư do sự sa khác gữa vớ ghệm thực của hệ phươg trìh Tìm R s ma { R, R,... R } vaìlaìm trãût tãu phá tæíâoïbàòg caïch cho s mäüt säú ga δ s R s, ghéa laì s s + R s Tíh lạ các số dư : R s R R - b s * δ s R - b s * R s ( ) Cæï tãúp tuûc quaï trçh làûp trã cho âãú kh : R k < ε ( ) thç X k ( k, k,... k ) laì ghãûm cuía hã phtrçh. 3

Ví dụ 3. Gả hệ phươg trìh: - - 6 - - 7-8 Gả: Bế đổ về hệ phươg trìh tươg đươg,6 +, +, 3 -,3 +, +, 3 -,8 +, +, - 3 Cho (,,) R (.6,.7,.8) R 3 ma{r }, 3 3 3 + R 3. 8 R R + b.r.7 +..8. 78 3 3 R R + b3.r 3.6 +..8 R (.76,.78, ) Tươg tự ta có bảg kết quả:.76 3 R R R 3.6.7.8.8.76.78.78.9.8.9.8.7.96.4.9.99.7..99.3..99.... Vậy ghệm hệ phươg trìh (,, ) 5.5.. Thuật toá - Nhập, a j, - Bế đổ hệ phươg trìh () về dạg () 3

for (, <, ++) { for (j, j<+; j ++) f (! j) a[,] a[,j] a [,j]/a[,] } - Tíh r[] ba đầu ( ) for do { r[] a [, +] for j do r[] r [] - a[,j] * [j] } - Lap t /* cho thoat*/ /* Tìm r s ma { r[] } ( ) & tíh lạ s */ ma r[] ; k for do f (ma < r[] ) { ma r[]; k } [k] [k] + r[k] /* Tíh lạ R[] kểm tra khả ăg lặp tếp theo */ d r[k] for { r[] r[] - a[, k] * d f ( r[] > ε) th t /* cho lap*/ trog kh ( t ) - Xuất ghệm: [] ( ) Lưu ý: - Phươg pháp chỉ thực hệ được kh a #, ếu khôg phải đổ dòg - Quá trìh hộ tụ khôg phụ thuộc vào mà chỉ phụ thuộc vào bả chất của hệ phươg trìh. - Mọ hệ phươg trìh có gá trị rêg λ đều hộ tụ đế ghệm một cách hah chóg. - Nếu các phầ tử a càg lớ hơ các phầ tử trê dòg bao hêu thì quá trìh hộ tụ càg hah. 33

CHƯƠNG VI TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG - VECTƠ RIÊNG 6.. Gớ thệu Cho ma trậ vuôg cấp a a... a A a a... a... a a... a Tìm gá trị rêg, Vectơ rêg của ma trậ A Nghĩa là: tìm λ và sao cho : det (A - λe) ( E : Ma trậ đơ vị) (A - λe) Để tráh vệc kha trể địh thức (đò hỏ số phép tíh lớ) kh tìm λ ta có thể áp dụg phươg pháp Đahlepsk. Ở phươg pháp ày ta chỉ cầ tìm ma trậ B sao cho B đồg dạg vớ ma trậ A và B có dạg ma trậ Phơrêbemt. P p p... p - p............ Kh đó gá trị rêg của ma trậ A cũg là gá trị rêg của ma trậ B. 6.. Ma trậ đồg đạg 6... Địh ghĩa Ma trậ B gọ là đồg dạg vớ ma trậ A (B A) ếu tồ tạ ma trậ khôg suy bế M (det(m) ) sao cho B M - A M 6... Tíh chất: A B B A A B, B C A C A B gá trị rêg λ của A và B trùg hau. 34

6.3. Tìm gá trị rêg bằg phươg pháp Đahlepsk 6.3.. Nộ dug phươg pháp Thực hệ - lầ bế đổ: * Lầ bế đổ : Tìm M -, M sao cho A M - A M A và dòg của A có dạg:...... M -... a a... a... M - -j a j...... M a a a a a a a... M -j a a a j ếu j - ếu j # - A M - A M A * Lầ bế đổ : Chọ M -, M sao cho A M - A M A và dòg - của A có dạg:... A A, A A > A A (tíh chất). * Lầ bế đổ thứ - Ta hậ được ma trậ A - A và A - có dạg của P. Kh đó địh thức det (P-λE) (-) (λ - p λ - - - p - λ - p ) det (p-λe) λ - p λ - - - p - λ - p 35

Gả phươg trìh, suy ra λ Ví dụ. Tìm gá trị rêg của ma trậ: A 3 3 ta tìm: P p p P 3 Lầ : Chọ M - M - - A M - A M 5-5 Lầ : Chọ M - M 5-5 -5 5 A M - A M 7-4 8 P Gá trị rêg λ là ghệm phươg trìh: λ 3-7λ + 4λ - 8 (λ-) (λ-) (λ-4) λ ; λ; λ4 36

6.3.. Thuật toá - Nhập, a j (,j ) - Kha báo hàm hâ ma trậ vuôg cấp (C A B > c j ak bkj ) k - Lặp k - (phầ tử bế đổ : a k+ k ) /* Tíh ma trậ M, M (M la ma tra ghch dao cua M) */ for for j f k /* Gọ hàm hâ lầ */ f j {M[,j] ; M[,j] } else {M[,j] ; M[,j] } else { M[,j] a[k+,j] f (j k) M[,j] /a[k+,k] Lầ : vào A, M; ra B Lầ : vào M; B; ra A - Xuất a j (,j ) Thuật toá hâ ma trậ for (, < ; ++) for (j; j< ; j++) { } c[] [j] else M[,j] - a[k+,j]/a[k+,k] } for (k; k < ; k++) c[] [j] + a [] [k] * b [k] [j] 37

6.4. Tìm vectơ rêg bằg phươg pháp Đahlepsk 6.4.. Xây dựg côg thức Gọ y là vectơ rêg của ma trậ P A Ta có: (P - λe) y P y λe y M -. A. M. y λe y Nhâ vế cho M: M M -. A M y M λe y A M y λ E M y Đặt M y A λe (A - λe) Vậy M y là vectơ rêg của A P M.M...M.A.M.M. M M : Ma trậ M ác địh được ở lầ bế đổ thứ và M M M... M - Xác địh y (P-λE) y p - λ p... p - p y λ... y......... -λ y (p - λ)y + p y +... + p - y - + p y y - λy... y - - λy cho: y y - λ, y - λ y - λ,..., y λ - 38

Vậy y (λ -, λ -,..., λ, λ, ) Ví dụ. Tìm vectơ rêg của A A 3 Gả: Gọ y là vectơ rêg của ma trậ P A Ở ví dụ ta có: λ y (4,, ) λ y (,, ) λ 3 4 y 3 (6, 4, ) Tìm M: M M. M y M -5-5 -5 5 - - -5 5 4 - - -5 5 - - -5 5 6 3-4 Vậy vectơ rêg của A: (-,, ) (, -, ) 3 (,, ) 6.4.. Thuật toá Bổ sug thêm lệh trog thuật toá tìm trị rêg hư sau: 39

- Khở tạo B E - Lặp k - /* Tíh ma trậ M, M */ /* Gọ hàm hâ 3 lầ */ Lầ : vào A, M; ra B Lầ : vào M, B; ra A Lầ 3: vào B, M; ra B /* Gá lạ ma trậ BB */ - Xuất a j, b j 4

CHƯƠNG VII NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 7.. Gớ thệu Trog toá học ta thườg gặp các bà toá lê qua đế khảo sát và tíh gá trị các hàm y f() ào đó. Tuy hê trog thực tế có trườg hợp ta khôg ác địh được bểu thức của hàm f() mà chỉ hậ được các gá trị rờ rạc: y, y,..., y tạ các đểm tươg ứg,,...,. Vấ đề đặt ra là làm sao để ác địh gá trị của hàm tạ các đểm cò lạ. Ta phả ây dựg hàm ϕ () sao cho: ϕ ( ) y f ( ) vớ, ϕ () f () thuộc [a, b] và - Bà toá ây dựg hàm ϕ () gọ là bà toá ộ suy - Hàm ϕ () gọ là hàm ộ suy của f() trê [a, b] - Các đểm (, ) gọ là các mốc ộ suy Hàm ộ suy cũg được áp dụg trog trườg hợp đã ác địh được bểu thức của f() hưg ó quá phức tạp trog vệc khảo sát, tíh toá. Kh đó ta tìm hàm ộ suy ấp ỉ vớ ó để đơ gả phâ tích và khảo sát hơ. Trog trườg hợp đó ta chọ + đểm bất kỳ làm mốc ộ suy và tíh gá trị tạ các đểm đó, từ đó ây dựg được hàm ộ suy (bằg côg thức Lagrage, côg thức Newto, ). Trườg hợp tổg quát: hàm ộ suy ϕ() khôg chỉ thoả mã gá trị hàm tạ mốc ộ suy mà cò thoả mã gá trị đạo hàm các cấp tạ mốc đó. ϕ ( ) f ( ); ϕ ( ) f ( ); ϕ ( ) f ( ); ϕ ( ) f ( ); Nghĩa là ta tìm hàm ộ suy của f() thỏa mã bảg gá trị sau: 4

7.. Đa thức ộ suy Lagrage... y f( ) y y... y y' f ( ) y' y'... y' y' f ( ) y' y'... y' Gả sử f() hậ gá trị y tạ các đểm tươg ứg (, ), kh đó đa thức ộ suy Lagrage của f() là đa thức bậc và được ác địh theo côg thức sau: L p () y p () ( )( )...( () ( )( )...( )( + )...( ) )( )...( + ) Đặt W() ( - )( - )... ( - ) W() Suy ra: TS() ; MS W' ( ) - L () W() ( - y )W'( Ví dụ. Cho hàm f() thoả mã: Gả: 4 f( ) 3 - Tìm hàm ộ suy của f(), tíh f(5) Cách : W() ( - ) ( - ) ( - 4) W () (-) (-)(-4) -8 W () (-) (-3) 3 W () () (-) -4 ) W (4) 4 (3) () 4 3 L 3 () ( )( )( 4)( + + ) ( 8) 3( ) 4( ) TS() MS 4

( ( )( )( 4) + 4( )( 4) + ( )( 4)) 4 ( 4)( ( )( ) + 4( ) + ( )) 4 ( 4)(4 6 ) 4 Cách : L 3 () ( )( )( 4) ( )( 4) ( )( 4) + 3 ( )( )( 4) ( )( 3) ()( ) ( 4)(4 6 ) 4 7.3. Đa thức ộ suy Lagrage vớ các mố cách đều Gả sử hàm f() hậ gá trị y tạ các đểm tươg ứg (, ) cách đều một khoảg h. Đặt p ' ( t, kh đó: h - h*t - h * - h(t - ) h(-)...... - - h(t- (-)) - - h - + h(t -(+)) - + -h...... - h(t - ) - -h( - ) t(t ) *...* (t ( )(t ( + )) *...* (t ) ht) ( ) *...*( ) ** *...* ( ) + t(t ) *...* (t ) (t ) *!( )!*( ) L ( + ht) t(t -)... (t - ) L( + ht) t(t )...(t )! y( ) (t )!( )! ( ).y c t Ví dụ. Tìm hàm ộ suy của f() thoả mã: 43

4 f( ) 5 - Gả: Cách : W() ( - ) ( - 4) W () ( - ) ( - 4) -8 W () ( - ) ( - 4) -4 W (4) (4 - ) (4 - ) 8 5 L () ( )( 4)( + ) 8( ) ( )( 4) ( 4).8 5 ( )( 4) + ( + ) 8 4 ( ) 4( 4) (5( )( 4) + 4( 4) + ( )) 8 ( 48 + 4) (5 4 + ) 8 4 Cách : t(t )(t ) 5C C L(t) (! t t.c + ) t t(t )(t ) 5 4 ( + + ) t t t (5(t )(t ) + 4t(t ) + t(t ) (t 4t + ) 5t t + 5 5 Vậy L () 6 + 5 4 7.4. Bảg ộ suy Ayke 44

Kh tíh gá trị của hàm tạ một đểm c ào đó bất kỳ mà khôg cầ phả ác địh bểu thức của f(). Kh đó ta có thể áp dụg bảg ộ suy Ayke hư sau 7.4.. Xây dựg bảg ộ suy Ayke c- - - - d - c- - - d - - c- - d 3 - - - c- d W(c) (c- )( c- ) ( c- ) : Tích các phầ tử trê đườg chéo W ( ) ( - )( ) ( - - ) ( - + )... ( - ) (c - ) W ( ) ( - )( ) ( - - ) (c- )( - + )... ( - ) d (c- ) W ( ) : Tích các phầ tử trê dòg (,,,) f(c) L (c) W(c). (c f(c) W(c) y d y )W'( Ví dụ 3. Tíh f (3. 5) kh bết f() thoả mã 3 4 5 y 3 7 - ) Gả Xây dựg bảg ộ suy Ayke.5 - - -3-4 6.5 - - -3-9.5 - - 3 -.5-3 4 3 -.5-36 W(3.5).465 45

f(3.5) L 4 (3.5) 9 + 7 3 7.4.. Thuật toá - Nhập:,, y (, ), c - w ; s ; - Lặp { w w*(c - ) d c - Lặp j Nếu j! thì d d * ( - j ) s s + y /d } - Xuất kết quả: w * s 7.5. Bảg Nộ suy Ayke (dạg ) Xét hàm ộ suy của đểm:, L y y ( + y ) y ( ) y - y - - Hàm ộ suy của ha đểm, L () y - y - - Xét hàm p() có dạg: p() L () - L () - - 46

p( ) L ( ) ( ) - L ( ) ( ) y ( - ) - - P( ) y ( - ) - y P( ) -y ( - ) - y y Vậy p() là hàm ộ suy của 3 đểm,, Tổg quát: Hàm ộ suy của + đểm,,... L...- - () - - L... () L...- () - - - Bảg Nộ suy Ayke (dạg ) y L o () L o () L o ()... L o... () - y - y L o () - y L o () L o () - 3 y 3 L o3 () L o3 () L o3 ()............ y L o () L o () L o ()... L o... () - Ví dụ 4. Cho f() thoả mã: 3 4 5 y 4 5 7 8 Tíh f (.5) 47

Gả: Áp dụg bảg Ayke (dạg ) y L o () L o () L o L o3 - -.5 4 5 -.5 3 5 4.5 4.65.5 4 7 4.5 4.875 4.5.5 5 8 4.5 4.875 4.56 4.47.5 Vậy f(.5) 4.47 Chú thích : L (-.5) ((-.5) - 4(-.5)) / (-) 5 7.6. Nộ suy Newto 7.6.. Sa phâ Cho hàm f() và h là hằg số, kh đó: f() f ( + h) - f() được gọi là sa phâ cấp đối với bước h. f() [ f()] : sa phâ cấp Tổg quát: k f() [ k- f()] : sa phâ cấp k Cách lập bảg sa phâ: f( ) f( ) f( ) 3 f( ) f( ) y y f( ) y f( ) f( ) 3 y 3 f( ) f( ) f 3 ( )......... y f( -) f( ) 48

7.6.. Côg thức ộ suy Newto Gả sử hàm f() hậ gá trị y tạ các mốc cách đều một khoảg h. Kh đó hàm ộ suy Newto là một đa thức bậc được ác địh hư sau: L () C o ϕ () + C ϕ () +... + C ϕ () (*) Trog đó: ϕ () ; ϕ ( ) ; h. ϕ ( ) ( Lớp các hàm ϕ () có tíh chất sau: - ϕ ( ), - ϕ k () ϕ k- () * Xác địh các hệ số C (, ) Sa phâ cấp của L () : h ( )( ) ϕ ( ) ; h! )( )...(! () L () C ϕ () + C ϕ () + C ϕ () +... + C ϕ () C ϕ () + C ϕ () +... + C ϕ - () Sa phâ cấp của L () : () L () C ϕ () + C ϕ () +...+ C ϕ - ()... C ϕ () + C 3 ϕ () +... + C ϕ - () Sa phâ cấp của L () : ) () L () C ϕ () C Thay vào (*), (), (),..., () ta được: C L ( ) ; C L ( ) ; C L ( ) ;... ; C L ( ) 49

Vì L () f() ê: L ( ) f( ) ; L ( ) f( ) ; Vậy : L ( ) f( ) ; ; L ( ) f( ) L () f ( ( )( ) + f ( ) + f ( ) h h! ( )( )...( ) +... + f ( ) h! ) Ví dụ 5. Xây dựg hàm ộ suy Newto thoả mã: 3 4 5 y 4 5 7 8 Gả Lập bảg sa phâ: f( ) f( ) f( ) 3 f( ) 4 f( ) 4 3 5-4 7 5 8 - - -4 Hàm ộ suy Newto: ( )( ) ( L () + +! ( )( )( )( 3 ) 4 4! )( 3! )( ) 5

7.7. Nộ suy tổg quát (Nộ suy Hecmt) Xây dựg hàm ộ suy của f() thoả mã gá trị hàm và gá trị đạo hàm các cấp theo bảg gá trị sau:... y f( ) y y... y y' f ( ) y' y'... y' y ' f ( ) y'' y... y... y (k) f (k) ( ) y (k) y (k) y (k) Gả sử hàm ộ suy cầ tìm là đa thức bậc m: H m () k m + s (S : số gả thết được cho ở đạo hàm cấp ) H m () L() + W() H p () ( Vì H m ( ) L( ) + W() H p ( ) y ) Vớ: W() (- ) * (- )*...*(- ) p m - ( + ) Đạo hàm cấp : H m () L () + W() H p () + W ()H p () Xét tạ các đểm : H m ( ) L ( ) + W( ) H p ( ) + W ( )H p ( ) y > H p ( ) Đạo hàm cấp : H m () L () + W () H p () + W () H p () + W()H p () 5

Xét tạ các đểm : H m ( ) L ( ) + W ( ) H p ( ) + W ( ) H p ( ) + W( )H p ( ) y > H p ( ) Tươg tự: Đạo hàm đế cấp k suy ra H p (k-) ( ) Ta ác địh hàm H p () thoả mã:... H p ( ) h h... h H p ( ) h' h'... h'... H p (k-) ( ) h (k-) h (k-)... h (k-) Về bả chất, bà toá tìm hàm H p () hoà toà gốg bà toá tìm hàm H m (). Tuy hê ở đây bậc của ó gảm đ (+) và gả thết về đạo hàm gảm đ một cấp. Tếp tục gả tươg tự hư trê, cuố cùg đưa về bà toá tìm hàm ội suy Lagrage (khôg cò đạo hàm). Sau đó thay gược kết quả ta được hàm ộ suy Hecmt cầ tìm H m (). Ví dụ 6. Tìm hàm ộ suy của hàm f() thoả mã: 3 f( ) 4 f ( ) 5-3 Gả: Hàm ộ suy cầ tìm là đa thức H 4 () H 4 () L () + W() H () 5

W() (-)(-3) 3 4 +3 () L 4( )( 3 3) + ( 3) ( 7 + ) 3 7 H ' 4 ( ) + (3 8 + 3)H ( ) + W()H' ( ) 3 3 7 ' 4 () + 3H () 5 > H () 3 H 5 H ' () H () - 3 > H () 3 4 Tìm hàm H () thoả mã: 9 3 H ( ) /9 /3 H () 9 ( ) ( ) 6 + + ( ) 3 ( ) 9 Vậy H 4 () ( 7 +)/3 + (-)(-3)(-6 +)/9 7.8. Phươg pháp bìh phươg bé hất Gả sử có đạ lượg (vật lý, hoá học, ) và y có lê hệ phụ thuộc hau theo một trog các dạg đã bết sau: - y fa + b - y a + b + c Tuyế tíh - y a + bcos + cs - y ae b - y a b Ph tuyế tíh 53

hưg chưa ác địh được gá trị của các tham số a, b, c. Để ác địh được các tham số ày, ta tìm cách tíh một số cặp gá trị tươg ứg (, y ),,,, bằg thực ghệm, sau đó áp dụg phươg pháp bìh phươg bé hất. * Trườg hợp: y a + b Gọ ε sa số tạ các đểm ε y - a - b Kh đó tổg bìh phươg các sa số: S Mục đích của phươg pháp ày là ác địh a, b sao cho S là bé hất. Như vậy a, b là ghệm hệ phươg trìh: ε S a S b Ta có: S Σ(y + a + b - ay - b y + ab ) S a S b (a y + b ) (b y + a ) a + b a + b y y Gả hệ phươg trìh ta được: a, b * Trườg hợp y a + b + c Gọ ε sa số tạ các đểm ε y - a - b - c 54

55 Kh đó tổg bìh phươg các sa số: ε S Các hệ số a, b ác địh sao cho S là bé hất. Như vậy a, b, c là ghệm của hệ phươg trìh: a S + + y c b a a S + + 3 y c b a c S + + 3 y 4 c b a Gả hệ phươg trìh ta được a, b, c * Trườg hợp: y ae b Lấy Logart cơ số e ha vế: Ly la + b Đặt Y ly; A la; B b; X Ta đưa về dạg: Y A + BX Gả hệ phươg trìh ta được A, B > a e A, bb * Trườg hợp y a b Lấy Logart cơ số ha vế: Lgy lga + blg Đặt Y lgy; A lga; B b; X lg Ta đưa về dạg: Y A + BX Gả hệ phươg trìh ta được A, B > a A, bb Ví dụ 7. Cho bết các cặp gá trị của và y theo bảg sau:.65.75.85.95.5 y.96.6.7.9.58 Lập côg thức thực ghệm của y dạg ae b

Gả Ta có: y ae b Lấy Logart cơ số e ha vế: Ly la + b Đặt Y ly; A la; B b; X Ta đưa về dạg: Y A + BX X.65.75.85.95.5 Y ly -.4.6.8.5.46 ΣX ΣX ΣX Y ΣY 4.35 3.93.9.89 Phươg pháp bìh phươg bé hất: A, B là ghệm hệ phươg trìh A + B X Y A X + B X X Y 5A + 4.35B.89 4.35A + 3.93B.9 Gả hệ phươg trìh ta được: A -.69, B Suy ra: a e A ½, b B Vậy f() e 56

CHƯƠNG VIII TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 8.. Gớ thệu Xét hàm số f() lê tục trê [a,b], ếu ác địh được guyê hàm F() ta có côg thức tíh tích phâ: b a f ()d F(b) F(a) Nhưg trog đa số các trườg hợp ta khôg ác địh được guyê hàm của, hoặc khôg ác địh được bểu thức của f() mà chỉ hậ được các gá trị của ó tại hưg đểm rờ rạc. Trog trườg hợp hư vậy ta có thể sử dụg các côg thức gầ đúg sau để tíh tích phâ: - Côg thức hìh thag. - Côg thức Parabol - Côg thức Newto _Cotet 8.. Côg thức hìh thag Cha [a, b] thàh đoạ bằg hau vớ khoảg cách h (b - a)/ theo các đểm cha: a, a+h,..., b b f ( )d f ( )d + f ( )d +... + a f ( )d S a S là dệ tích gớ hạ bở đườg cog f(), a, b, và trục S S f() S a - b Xét trê [, ], ta em đườg cog f() là đườg thẳg 57

Tươg tự: S S hthag h (y + y) S h ( y + y )... S b h(y + y ) h Vậy: f ( )d ( y + y + y +... + y + 8.3. Côg thức Parabol a y ) Cha [a, b] thàh đoạ bằg hau vớ khoảg cách h (b - a)/ theo các đểm cha: a, a+h,..., b b a f ()d f ()d + 4 f ()d +... + f ()d Xét trê [, ] em đườg cog f() là Parabol (ộ suy bậc của 3 đểm,, ) f () L f ()d ( )( ) () y + y ( )( ) ( )( ) + y ( )( ) L () d Thay a, a + h, a+h vào, ta có: h f ()d (y + 4y + y 3 Tươg tự: ) ( ( )( ) + )( ) 58

4 h f ()d (y + 4y3 + y 3 f ()d 4 ) h (y + 4y + y) 3 b h Vậy: f ()d (y + 4y + y +... + y + 4y + y 3 a Ví dụ. Tíh J + Gả 5 ) d theo 3 cách 5 Π Cách : J arctg arctg5 / 4.588 Cách : cha [, 5] thàh 4 đoạ bằg hau (h) vớ các đểm cha 3 4 5 y / /5 / /7 /6 Côg thức hìh thag: J (/ + /5 +/ +/7 + /6) /.68 Cách 3: Côg thức Parabol: J (/ + 4/5 +/ +4/7 + /6) /3.59 8.4. Côg thức Newto-Cotet Cha [a, b] thàh đoạ bằg hau vớ khoảg cách h (b - a)/ vớ a; a + h,..., b. Đặt a + (b - a)t > d (b - a) dt Kh đó: b a a+h a + h... b t / /... f ()d (b a) f (a + (b a)t)dt (b a) Φ a (t)dt Vớ φ(t) f(a + (b - a)t Xem φ(t) là hàm ộ suy Lagrage của + đểm: t, t,..., t 59

Φ(t) L Kh đó: Đặt P (t )(t )...(t ) (t )(t )...(t ) (t) y + y +... ( )( )...( ) ( )( )...( ) (t )(t )...(t ) + y ( )( )...( ) Φ ( t)dt L (t) dt + (t )(t )... (t )(t )...(t ) dt + ( )( )...( )( )...( ) b Vậy: f ()d (b a) a y p Xét ( h b-a ) t t P dt ; P dt b y y h f ()d (b a)( + ) (y + y) Côg thức hìh thag a Lưu ý: Gá trị của P có thể tra trog bảg sau: P / / /6 4/6 /6 3 /8 3/8 3/8 /8 4 9/7 6/45 /5 6/45 9/7 5 9/88 5/95 5/44 5/44 5/95 9/88 6

BÀI TẬP. Kha báo (địh ghĩa) hàm trog C để tíh gầ đúg tích phâ ác địh của f() tr ê [a, b] (đố kểu co trỏ hàm) a. Dùg côg thức hìh thag b. Dùg côg thức Parabol c. Dùg côg thức Newto-cotet. Vết chươg trìh tíh gầ đúg tích phâ ác địh trê [a, b] của hàm f() cụ thể (sử dụg các hàm đã kha báo trog câu ). So sáh kết quả, hậ ét. 6

MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH THAM KHẢO. Tíh gầ đúg tích phâ ác địh # clude <stdo.h> # clude "coo.h" # clude "math.h" # defe PI 3.459 float d[];t ; double g(double ) { retur /(+*); } double tp(double (*f)(double),float a,float b) { t,; float s,h(b-a)/; s(f(a)+f(b))/; for (; <;++) s+f(a+*h); retur s*h; } vod hap(float *a, t *) { t ; prtf("\ Nhap bac da thuc: ");scaf("%d",); prtf("\ Nhap he so cua ham da thuc:\"); } for (;<*; ++) { prtf(" a[%d]",); scaf("%f",a+); } double f(double ) { float pd[]; t ; for(;<;++) pp*+d[]; retur p; } ma() { float a,b; char tt; 6

whle () { prtf("\ Nhap ca de th tch pha: "); scaf("%f%f",&a,&b); /*prtf("a "); scaf("%f",&a); prtf("b "); scaf("%f",&b);*/ prtf("\s%.3f",tp(s,,pi)); prtf("\s%.3f",tp(cos,,pi/)); prtf("\s3%.3f",tp(g,a,b)); hap(d,&); prtf("\s4%.3f",tp(f,a,b)); } } prtf("\\ Ba tep tuc ko(c/k)?"); ttgetch(); f (tt!'c') break;. Tm ghem ga dug cua phtrh da thuc bac bag PP cha do # clude <stdo.h> # clude "coo.h" # clude "math.h" # defe eps e-3 float f(float); vod hap(float *, t ); float d[]; t ; vod ma() { float a,b,c; char tt; whle () { prtf("\ Nhap bac phuog trh: ");scaf("%d",&); hap(d,); prtf("\ Nhap khoag ghem: "); scaf("%f%f",&a,&b); /* prtf("a "); scaf("%f",&a); prtf("b "); scaf("%f",&b);*/ f (f(a)*f(b)<) { c(a+b)/; whle (fabs(a-b) > e-3 && f(c)!) { prtf("\%.3f %.3f %.3f",a,b,f(c)); f (f(b)*f(c)>) bc; else ac; c(a+b)/; 63

ghem",a,b); } else } prtf("\\ Nghem phtrh: %.3f",c); f (f(a)*f(b)>) prtf(" ( %f, %f) khog pha la khoag else f (f(a)) prtf(" \ Nghem phtrh: %.3f",a); else prtf(" \ Nghem phtrh: %.3f",b); } prtf("\\ Ba tep tuc ko(c/k)?"); ttgetch(); f (tt!'c') break;} vod hap(float *a, t ) { t ; prtf("\ Nhap he so cua phuog trh:\"); for (;<; ++) { prtf(" a[%d]",); scaf("%f",a+); } } /* ham th ga tr da thuc*/ float f(float ) { float pd[]; t ; for(;<;++) pp*+d[]; retur p; } 3. PP tếp tuyế # clude "coo.h" # clude "math.h" # defe eps e-3 float f(float ); float fdh(float ); ma() { float a,b; char tt; whle () { prtf("\nhap ap ba dau: "); scaf("%f",&a); /*ba-f(a)/fdh(a); 64

prtf("\%.3f %.3f %f",a,-f(a)/fdh(a),b);*/ do { ba; ab-f(b)/fdh(b); prtf("\%.3f %.3f %f",b,-f(b)/fdh(b),a); } whle (fabs(a-b) > e-3 ); prtf("\nghem phtrh: %.3f",a); prtf("\tep tuc ko(c/k)?"); ttgetch(); f (tt'k' tt'k') break;} } float f(float ) { retur ep()-*+7; } float fdh(float ) { retur ep()-; } 4. Gả hệ phtrìh đạ số tuyế tíh bằg PP Gauss # clude <stdo.h> # clude "coo.h" # clude "math.h" vod hap(float *a, t,t m); vod uatmt(float *a, t,t m); ma() { float a[][]; float [],m,s; char tt; t,,j,k; whle () { prtf("\ Nhap "); scaf("%d",&); prtf("\ Nhap he so cua he phuog trh:\"); for (;<; ++) for (j;j<+;++j) { prtf(" pt[%d%d]",,j); scaf("%f",&m); a[][j]m; } 65

for (;<; ++) { prtf("\"); for (j;j<+;j++) prtf("%.3f ",a[][j]); } /* be do A ve ma tra tam gac tre */ for(;<;++) for(j+;j<;j++) { m-a[j][]/a[][]; for(k;k<+;k++) a[j][k]+a[][k]*m; } prtf("\"); for (;<; ++) { prtf("\"); for (j;j<+;j++) prtf("%.3f ",a[][j]); } /* tm ghem theo qtrh guoc */ for(;>;--) { sa[][+]; for(k+;k<;k++) s-a[][k]*[k]; []s/a[][]; } prtf("\nghem he phtrh:"); for(;<;++) prtf("%.3f ",[]); } prtf("\\ Ba tep tuc ko(c/k)?"); ttgetch(); f (tt!'c') break;} /* Ham hap mag a(m,)*/ vod hap(float *a, t,t m) { t,j; prtf("\ Nhap he so cua he phuog trh:\"); for (;<m; ++) for (j;j<;j++) { prtf(" pt[%d%d]",,j); scaf("%f",a+*+j); } } /* Ham uat mag a(m,)*/ vod uatmt(float *a, t,t m) { t,j; 66

} for (;<m; ++) { prtf("\"); for (j;j<;j++) prtf("%.3f ",*(a+*+j)); } 67

TÀI LI ỆU THAM KHẢO [] Đặg Quốc Lươg, Phươg pháp tíh trog kỹ thuật, Nhà uất bả ây dựg Hà ộ, [] Pha Vă Hạp, Gáo trìh Cơ sở phươg pháp tíh tập I,II. Trườg ĐH Tổg hợp Hà ộ, 99 [3] Cao quyết Thắg, Phươg pháp tíh và Lập trìh Turbo Pascal. Nhà XB gáo dục, 998 [4] Tạ Vă Đĩh, Phươg pháp tíh. Nhà XB gáo dục, 994 [5] Dươg Thủy Vỹ, Phươg pháp tíh. Nhà XB khoa học & kỹ thuật, [6] Pha Vă Hạp, Bà tập phươg pháp tíh và lập chươg trìh cho máy tíh đệ tử. Nhà XB đạ học và trug học chuyê ghệp, 978 [7] Ralsto A, A frst course umbercal aalyss. McGraw Hll, NewYork, 965 68