ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 ΚΕΑΛΑΙΟ 8 ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8. Μαγνήτες, πόλοι, αγνήτιση Στην κλασική ιστορική θεώρηση των αγνητικών φαινοένων ία αγνητισένη ράβδος χαρακτηρίζεται από δύο πόλους, ένα βόρειο ένα νότιο που φέρουν δύο ίσα α- ντίθετα αγνητικά φορτία Q. Μία σηαντική διαφορά ανάεσα στα ηλεκτρικά αγνητικά φορτία είναι ότι τα τελευταία αντίθετα ε τα πρώτα που πορούν να υπάρξουν όνα ως θετικά ή αρνητικά φορτία δεν πορούν να εφανιστούν ως αυθύπαρκτες εονωένες φυσικές οντότητες, δηλαδή είναι αδύνατος ο διαχωρισός των αγνητικών πόλων. Αν l είναι η απόσταση των πόλων ιας αγνητισένης ράβδου, τότε, η αγνητική διπολική ροπή δίνεται από τηνql. Η δύναη F που ασκείται σ' έναν πόλο ε φορτίο Q, όταν βρεθεί σ' ένα αγνητικό πεδίο ε αγνητική επαγωγή, είναι F = (8.) Q Έχοντας υπόψη τις (8.), (6.5) (6.5), πορούε να οδηγηθούε στο συπέρασα ότι αν η αγνητική ροπή IS ενός ικροσκοπικού κυκλικού βρόχου είναι ίση ε την 44

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ αγνητική (διπολική) ροπή Ql ενός στοιχειώδους ευθύγραου αγνήτη, τότε, το πεδίο του βρόχου ταυτίζεται ε το πεδίο του αγνήτη. Η πιο πάνω παρατήρηση πορεί να οδηγήσει σε ια δυαδική ενεργειακή διατύπωση που λαβάνει υπόψη είτε τον κινητικό χαρακτήρα των πηγών κινητική ενέργεια (βρόχος, κινούενα φορτία), είτε το στατικό χαρακτήρα των πηγών δυναική ενέργεια (ακίνητοι πόλοι του όνιου αγνήτη). Αρκετά προβλήατα του ηλεκτροαγνητισού πορούν να επιλυθούν ε ενεργειακές εθόδους, που ουσιαστικά βασίζονται στην πιο πάνω παρατήρηση. Η δράση των στοιχειωδών αγνητικών διπόλων περιγράφεται ε ένα διανυσατικό έγεθος M που ονοάζεται αγνήτιση. Αν i -στου ατοικού διπόλου που περιέχεται σ έναν πολύ ικρό όγκο ορίζεται από τη σχέση i είναι η ικροσκοπική αγνητική ροπή του V, η αγνήτιση M i i= M = li V V (8.) όπου N είναι ο αριθός των ατοικών διπόλων που περιέχονται στον όγκο V. Η αγνήτιση M, όπως φαίνεται από την (8.), εκφράζει την ανά ονάδα όγκου αγνητική ροπή. Στην περίπτωση ιας αγνητικής ράβδου ήκους l διατοής S, η έση τιή της αγνήτισης M για τον όγκο V N = Sl της ράβδου, δίνεται από την Q l M = (8.) V Η αγνήτιση M, που περιγράφει το αποτέλεσα όλων των ικροσκοπικών (ατοικών) αγνητών της ράβδου, που είναι προσανατολισένοι κατά την ίδια διεύθυνση, έχει έτρο Ql Q M = s ls = S = ρ, (8.4) όπου ρ s η επιφανειακή πυκνότητα του αγνητικού φορτίου αν θεωρηθεί οοιόορφα κατανεηένο στα δύο άκρα της ράβδου. 444

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 8. Σχέσεις εταξύ των διανυσάτων του αγνητικού πεδίου Σ' ένα αγνητικό υλικό η ένταση του αγνητικού πεδίου, προκύπτει, συναρτήσει της αγνητικής επαγωγής της αγνήτισης M, από τη σχέση = M (8.5) Η (8.5) οδηγεί στην = ( + M ), (8.6) ή M = + (8.7) Από τις (6.) (8.7) προκύπτει η M = +, (8.8) ή r = + M (8.9) Σ' ένα ισότροπο έσο όπου τα διανύσατα M έχουν την ίδια διεύθυνση, η αγνητική διαπερατότητα, όπως προκύπτει από την (8.8), είναι βαθωτό έγεθος. Σ' ένα ανισότροπο, όως, έσο (π.χ. σ' έναν κρύσταλλο), όπου τα M δεν έχουν εν γένει την ίδια διεύθυνση, η αγνητική διαπερατότητα είναι τανυστικό έγεθος. Σ ένα ισότροπο έσο, η σχετική αγνητική διαπερατότητα r, λόγω της (8.9), γράφεται = + χ, (8.) r όπου το αδιάστατο εγεθος χ που δίνεται από το λόγο M χ =, (8.) ονοάζεται αγνητική επιδεκτικότητα του έσου. Από την (8.5), αν λάβουε υπόψη την (6.), προκύπτει η = M = ρ, (8.) όπου ρ είναι η χωρική πυκνότητα του αγνητικού φορτίου. 445

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ή Αν πάρουε τη στροφή στα δύο έλη της (8.6) λάβουε υπόψη την (6.4) έχουε = + M, (8.) = J+ M (8.4) Η (8.5) πορεί να γραφεί τελικά υπό τη ορφή = ( J+ J ), (8.5) όπου ο όρος J = M, αντιπροσωπεύει ια υποθετική ισοδύναη πυκνότητα ρεύατος (δέσια χωρικά ρεύατα) Το διανυσατικό αγνητικό δυναικό A, δίνεται από τη σχέση J + J J S r A ds (8.6) r = dv + 4π V r S όπου ο όρος J = M n αντιπροσωπεύει ια υποθετική ισοδύναη επιφανειακή ρευατική πυκνότητα (δέσια επιφανειακά ρεύατα). Τα ρεύατα J J S που η παρουσία τους υποδηλώνει ανοοιογενή αγνήτιση ή ασυνέχεια στα όρια του υλικού, δεν αντιπροσωπεύουν αληθινά ρεύατα, αλλά ικροσκοπικές ετατοπίσεις των φορτίων σε ατοική κλίακα. 8. Σιδηροαγνητικά υλικά Ανάλογα προς την τιή της σχετικής αγνητικής διαπερατότητας λικά διακρίνονται στις παρακάτω τρεις βασικές κατηγορίες: r, τα διάφορα υ- α) ιααγνητικά υλικά: Στα υλικά αυτά η σχετική αγνητική διαπερατότητα είναι (λίγο) ικρότερη από τη ονάδα ( r <, π.χ. βισούθιο). β) Παρααγνητικά υλικά: Σ' αυτά η σχετική αγνητική διαπερατότητα είναι (λίγο) εγαλύτερη από τη ονάδα ( r >, π.χ. αλουίνιο). γ) Μαγνητικά, ή, σιδηροαγνητικά υλικά: Στα υλικά αυτά, όπου τα αγνητικά αποτελέσατα είναι ιδιαίτερα έντονα, η σχετική αγνητική διαπερατότητα είναι πολύ εγαλύτερη από τη ονάδα ( r >>, π.χ. σίδηρος κράατα του). Η διαπερατότητα των σιδηροαγνητικών υλικών δεν έχει σταθερή τιή, αλλά ε- ξαρτάται από την ένταση του επιβαλλόενου αγνητικού πεδίου την προηγούενη αγνητική ιστορία του υλικού. 446

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 8.4 Καπύλη αγνήτισης. Βρόχος υστέρησης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = ( ) (σχήα 8- (α)), παριστάνει την καπύλη αγνήτισης του υλικού. Από την καπύλη αγνήτισης πορεί επίσης να χαραχθεί η καπύλη = ( ), που δίνει τις τιές της σχετικής αγνητικής διαπερατότητας του r r σιδηροαγνητικού υλικού συναρτήσει της έντασης Η του αγνητικού πεδίου (σχήα 8- (β)). + s r εύκολη αγνήτιση δύσκολη αγνήτιση r,ax s O O (α) Σχήα 8- (β) Όπως ήδη αναφέρθηκε, οι τιές της αγνητικής διαπερατότητας εξαρτώνται όχι όνον από τις κάθε φορά τιές της επιβαλλόενης πεδιακής έντασης, αλλά από τη αγνητική προϊστορία του υλικού. Πράγατι, αν το επιβαλλόενο πεδίο αυξηθεί έχρι του κορεσού στη συνέχεια ελαττωθεί, τότε η αγνητική επαγωγή δεν ακολουθεί τον αρχικό δρόο (παρθενικός κλάδος) αλλά άλλον, διαφορετικό. Έτσι, κατά τον ηδενισό της πεδιακής έντασης, εξακολουθεί να υπάρχει ια παραένουσα αγνητική επαγωγή Β r (σχήα 8-). Για να ηδενιστεί η αγνητική επαγωγή, απαιτείται η επιβολή ενός αρνητικού πεδίου c, που ονοάζεται αποαγνητίζουσα (ή συνέχουσα) δύναη. Με περαιτέρω αύξηση της κατά την αρνητική διεύθυνση έχρι του αντιδιαετριακού σηείου A την εν συνεχεία ελάττωση της κατά την αρνητική διεύθυνση αύξηση κατά τη θετική διεύθυνση ξαναφθάνουε στο σηείο A. Το πιο πάνω φαινόενο ονοάζεται υστέρηση, ο διαγραφόενος βρόχος, βρόχος υστέρησης. 447

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ A r - c Ο c - r A Σχήα 8- A A r r Σχήα 8- Μερικές χαρακτηριστικές ιδιότητες που αναφέρονται στην καπύλη αγνήτισης τους βρόχους υστέρησης είναι οι εξής: α) Η τιή της αγνητικής επαγωγής που αντιστοιχεί σε ια τιή της αγνητικής έ- ντασης δεν είναι οναδική, αλλά εξαρτάται από τη αγνητική προϊστορία του υλικού β) Οι κορυφές A i, A i όλων των βρόχων βρίσκονται, πρακτικά, στον παρθενικό κλάδο αγνήτισης, 448

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 γ) Η παραένουσα αγνήτιση είναι σχεδόν ανάλογη της έγιστης τιής της αγνητικής επαγωγής του αντίστοιχου βρόχου (ιδιότητα νήης του σιδήρου), ισχύει δηλαδή η = (8.7) r r 8.5 Απώλειες υστέρησης Η ανά ονάδα όγκου δαπανώενη ενέργεια για τη αγνήτιση ενός σιδηροαγνητικού υλικού από ια αρχικά ααγνήτιστη κατάσταση O έχρι το σηείο κορεσού Α, δίνεται από το ολοκλήρωα w = d (8.9) C A D Ο E A S Σχήα 8-4 Η ενέργεια αυτή παριστάνεται από το εβαδόν εταξύ του τήατος ΟΑ του παρθενικού κλάδου αγνήτισης του άξονα (τήα OACO στο σχήα 8-4). Κατά την α- ποαγνήτιση από το σηείο A έχρι το σηείο D, ένα ποσό ενέργειας, που στο σχήα 8-4 παριστάνεται από το διπλά διαγραισένο εβαδό ACDA, αποδίδεται πίσω στη πηγή, ενώ το υπόλοιπο εβαδό ADOA παραένει στο σιδηροαγνητικό υλικό. 449

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Με ανάλογο σκεπτικό συπεραίνουε ότι κατά τη διαγραφή του πλήρους βρόχου ADA EA, το εβαδόν του βρόχου παριστάνει την ενέργεια που καταναλίσκεται (ανά ονάδα όγκου) λόγω υστέρησης υπό ορφή θερότητας. Έτσι, η ισχύς P των απωλειών υστέρησης, δίνεται από τη σχέση P = fvs, (8.9) όπου f η συχνότητα της κυκλικής εναλλαγής του αγνητικού πεδίου που επιβάλλεται στο υλικό, V ο όγκος του S το εβαδό του βρόχου υστέρησης. 8.6 ύναη έλξης ηλεκτροαγνήτη Αν αγνοηθεί η σκέδαση της αγνητικής ροής στο διάκενο του σχήατος 8-5, η ελκτική δύναη F που ασκείται στον οπλισό δίνεται από τη σχέση S F =, (8.) όπου S είναι η διατοή του διακένου η αγνητική επαγωγή του αγνητικού πεδίου στο διάκενο (που θεωρείται οοιόορφο). πυρήνας F N g οπλισός S Σχήα 8-5 Η ανά ονάδα επιφάνειας ασκούενη δύναη p (πίεση), λόγω της (8.) είναι 45

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 p = (8.) 8.7 Οριακές συνθήκες στις διαχωριστικές επιφάνειες Έστω η επιφάνεια διαχωρισού γγ του σχήατος 8-6, που διαχωρίζει τα έσα ε αγνητικές διαπερατότητες,αντίστοιχα. Από τις σχέσεις (6.) (6.) προκύπτουν οι οριακές συνθήκες στην επιφάνεια διαχωρισού = (8.) n n = K (8.) t t όπου n n είναι οι κάθετες συνιστώσες στη διαχωριστική επιφάνεια των αγνητικών επαγωγών, t t οι εφαπτοενικές συνιστώσες των εντάσεων, K η πυκνότητα του επιφανειακού ρεύατος που ρέει στη διαχωριστική επιφάνεια. Αν K =, όπως συνήθως συβαίνει τότε ισχύει η = (8.4) t t, n γ Γ t γ, Σχήα 8-6 45

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8.8 Μαγνητικά κυκλώατα Μαγνητικό κύκλωα είναι ένα σύστηα από σιδηροαγνητικά υλικά που οδηγούν τη αγνητική ροή σε κλειστές διαδροές. Για τον υπολογισό των αγνητικών εγεθών στα διάφορα τήατα ενός αγνητικού κυκλώατος αξιοποιούε τις αντιστοιχίες που υφίστανται ανάεσα στα ηλεκτρικά αγνητικά κυκλώατα. Έτσι, το ηλεκτρικό ρεύα I αντιστοιχίζεται προς την αγνητική ροή, η ΗΕ E προς τη ΜΕ (ή διάρρευα) F, η αντίσταση R προς τη αγνητική αντίσταση ότητα P κ.λ.π. Σ' έναν κλάδο αγνητικού κυκλώατος ΑΒ (σχήα 8-7), η πτώση της αγνητικής τάσης R, η αγωγιότητα P προς τη αγνητική αγωγι- U A, είναι ίση ε το γινόενο της ροής που διέρχεται από τον κλάδο A επί την αγνητική αντίσταση R A του κλάδου, ισχύει δηλαδή η Η (8.5), ε τη βοήθεια των (6.4) (6.6) γράφεται R U A R A = (8.5) A = A S dl ds (8.6) Έτσι, από την (8.6) προκύπτει ότι η αγνητική αντίσταση R ενός λεπτού ευθύγραου αγνητικού αγωγού ΑΒ, σταθερής διατοής S ήκους l, στον οποίο θεωρούε ότι οι τιές της έντασης της επαγωγής είναι σταθερές δίνεται από τη σχέση R l = (8.7) S Η αντίστροφη ποσότητα P της αγνητικής αντίστασης ονοάζεται αγνητική αγωγιότητα. P R =, (8.8) R 45

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 Οι γνωστές σχέσεις για τις συνδέσεις ηλεκτρικών αντιστάσεων εν παραλλήλω εν σειρά, ισχύουν για τις αγνητικές αντιστάσεις. Επίσης, οι αντίστοιχες αθηατικές διατυπώσεις των δύο νόων του Kirchhoff: είναι οι n Ii = (νόος ρευάτων) (8.9) i= n IR i i = E (νόος τάσεων), (8.) i= n i = (αφού = ) (8.) i= n iri = F (νόος διαρρεύατος) (8.) i= Αντίθετα, όως, ε τα ηλεκτρικά κυκλώατα, όπου οι αντιστάσεις R i είναι συνήθως σταθερές, στα αγνητικά κυκλώατα των σιδηροαγνητικών υλικών οι αγνητικές αντιστάσεις δεν είναι σταθερές, αφού η αγνητική τους διαπερατότητα δεν είναι σταθερή, αλλά εξαρτάται από την την ένταση του αγνητικού πεδίου σ' αυτά (η γραικά κυκλώατα). Επειδή η αναλυτική επίλυση των προβληάτων των αγνητικών κυκλωάτων, όπως θα δούε στα παραδείγατα που θα παρατεθούν στη συνέχεια του κεφαλαίου, δεν είναι πάντα δυνατή, η επίλυσή τους, συνήθως, γίνεται ε τη βοήθεια διαφόρων προσεγγιστικών (αναλυτικών, γραφικών, αριθητικών, πειραατικών) εθόδων. A Σχήα 8-7 45

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8.9 Παραδείγατα 8. Σ' ένα σιδηροαγνητικό υλικό, η αγνητική επαγωγή η ένταση του αγνητικού πεδίου συνδέονται ε τη σχέση = ( a + a + a ) () όπου a, a, a κατάλληλες σταθερές. Ζητούνται: α) Να υπολογιστεί η αγνήτιση M, η αγνητική διαπερατότητα η αγνητική επιδεκτικότητα χ του υλικού, β) Αν η ένταση του αγνητικού πεδίου στο πιο πάνω υλικό, σ' ένα ορθογώνιο σύστηα συντεταγένων Oxyz, δίνεται από τη σχέση 4+ sinβ y = x () 5 + cosβ z όπου β, β, σταθερές, να βρεθεί η πυκνότητα των χωρικών αγνητικών φορτίων. προκύπτει α) Από την () τη σχέση M =, () a M = + a + a (4) Η αγνητική διαπερατότητα, υπολογίζεται από την M = + την (4), ή κατ ευθείαν από την () την (5) = /, (6) δίνεται δε συναρτήσει της από την a = + a + a (7) Η αγνητική επιδεκτικότητα που υπολογίζεται από την (4) ή την (7), την 454

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 M χ = = r =, (8) έχει την έκφραση χ a = a a + + (9) β) Η πυκνότητα p των χωρικών αγνητικών φορτίων υπολογίζεται από την Έτσι, από την () την () προκύπτει ρ = = M () ρ 4 sin( β ) = = 5+ cos( ) x () + y βz δηλαδή, δεν υπάρχουν χωρικά διανεηένα αγνητικά φορτία. 8. Η διεύθυνση του αγνητικού πεδίου σε δύο οογενή ισότροπα έσα () () που διαχωρίζονται από ια επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια, σχηατίζει ε την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια γωνίες θ θ, αντίστοιχα. Αν το έσο () είναι αέρας ( = ), ενώ το έσο () σίδηρος ε σχετική αγνητική διαπερατότητα r = 6, ( = r ) ζητείται: α) Να υπολογιστεί η γωνία θ για τις ακόλουθες τιές της γωνίας θ : (ί) θ =,(ii) θ = 5 (iii) θ = 88. β) Να υπολογιστεί η γωνία θ για τις ακόλουθες τιές της γωνίας θ : (i) θ =,(ii) θ = (iii) θ = 9. Από την ισότητα = () n n των καθέτων συνιστωσών της αγνητικής επαγωγής την ισότητα = () t t των εφαπτοενικών συνιστωσών της έντασης του αγνητικού πεδίου στη διαχωριστική ε- πιφάνεια, αν λάβουε υπόψη τις σχέσεις 455

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ, θ = = r θ, Σχήα 8-8 n = cos θ, n = cos θ, t = sin θ t = sin θ, προκύπτουν οι σχέσεις = θ () cosθ cos sin θ sin θ = (4) Η (), επειδή = =, γράφεται cos θ = cos θ (5) Με διαίρεση κατά έλη των (4) (5) έχουε tan θ tan θ = (6) ή α) Από την (7) επειδή r = 6, προκύπτει tan θ = (7) tan θ r tan θ θ = tan 6 Η (8), για διάφορες τιές της γωνίας θ δίνει (8) θ = θ =, (9α) θ = 5 θ =, 84, (9β) θ = 88 θ =, 7 (9γ) 456

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 Από τις (9) παρατηρούε ότι η διεύθυνση του πεδίου στον αέρα είναι πρακτικά κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια, ακόα όταν η διεύθυνση του πεδίου στο σιδηρο- αγνητικό υλικό τείνει να γίνει εφαπτοενική στη διαχωριστική επιφάνεια. β) Η γωνία θ συναρτήσει της θ, όπως φαίνεται από την (8), δίνεται από την θ = tan (6 tan θ ) () Η () για διάφορες τιές της θ δίνει θ = θ = 89, 45, (α) θ = θ = 89,76, (β) θ = 9 θ = 9 (γ) Από τις () παρατηρούε ότι η διεύθυνση του πεδίου στο σιδηροαγνητικό υλικό είναι πρακτικά εφαπτοενική στη διαχωριστική επιφάνεια, ακόα όταν η διεύθυνση του πεδίου στον αέρα τείνει να γίνει κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια. 8. ίνεται δακτυλιοειδές που αποτελείται από δύο τήατα () () από σιδηροαγνητικό υλικό, όπως στο σχήα, ε έση ακτίνα r = c, διατοές S = 8 c S = 6 c, αντίστοιχα. Η καπύλη αγνήτισης του υλικού δίνεται από την όπου 6 = /, = για κ () = + για κ, () 6 = /, προσδιοριστέα σταθερά. Στο δακτυλιοειδές ελίσσεται πηνίο ε N σπείρες που διαρρέεται από ρεύα I. Για διάρρευα F = NI =.4 ΑΕ, βρέθηκε ότι: α) Τα σηεία (, ) (, ) της καπύλης αγνήτισης που αντιστοιχούν στα δύο τήατα () κα,ι () του δακτυλιοειδούς, βρίσκονται αριστερά δεξιά του σηείου ( κ, κ). β) Ο λόγος κ των ενεργειών W W του αγνητικού πεδίου στα δύο τήατα () () είναι κ =,657. Με τα πιο πάνω δεδοένα να υ- πολογιστούν τα σηεία λειτουργίας (, ), (, ) ( κ, κ) της καπύλης αγνήτισης. 457

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ () () r S S l l Σχήα 8-9 Αν θεωρήσουε ότι η αγνητική επαγωγή η ένταση του αγνητικού πεδίου έχουν σταθερή τιή στο καθένα από τα τήατα () (), τότε, σύφωνα ε το νόο του Apère (ή του διαρρεύατος) ισχύει η l π ( ), () NI = d = l + l = r + Β P κ P κ () Β Β P () κ Η Σχήα 8- όπου είναι οι εντάσεις στα τήατα () (), αντίστοιχα. Από την ισότητα των αγνητικών ροών (αγνοούε τη σκέδαση) στα δύο τήατα () (), έ- χουε 458

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 ή = S = = S, (4) S = =, (5) S 4 όπου οι επαγωγές στα τήατα () (), αντίστοιχα. Από την (5) παρατηρούε ότι <, εποένως το σηείο (, ) βρίσκεται αριστερά του ζεύγους ( κ, κ) το σηείο (, ) δεξιά του ζεύγους ( κ, κ). Έτσι, από τις () () παίρνουε Αντικατάσταση των (6) (7) στην () δίνει = = (6) 6 = + = + (7) 6 NI = π r + (8) ή, ε αριθητική αντικατάσταση των NI, r,, + ( ) =,779 (9) Η πυκνότητα της ενέργειας w του αγνητικού πεδίου στο τήα (), επειδή το ση- είο (, ) βρίσκεται στο γραικό τήα (τήα OP κ ) της καπύλης αγνήτισης, είναι (, w = = () Για την πυκνότητα w του αγνητικού πεδίου στο τήα () επειδή το σηείο ) βρίσκεται ετά το σηείο P κ (η γραική περιοχή) έχουε Η (), λόγω των (6) (7), γράφεται κ κ w = d = d + d () κ κ κ κ w = d + d = + + κ () 459

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ V Οι συνολικές ενέργειες W W των δύο τηάτων () (), αν V = πrs = πrs είναι οι αντίστοιχοι όγκοι, δίνονται από τις Από τις (), (), () (4) προκύπτει η W = wv = w πrs () W = wv = w πrs (4) W w S 8 κ = = = W w S κ κ κ + + 6 που ετά την αριθητική αντικατάσταση των κ,, γράφεται, (5) κ + ( )( + ) =, 9 (6) κ κ κ Τέλος, ία πρόσθετη εξίσωση πορεί να προκύψει αν λάβουε υπόψη ότι το σηείο (, ) πρέπει να ικανοποιεί τόσο την () όσο την (), ισχύουν δηλαδή οι σχέσεις κ κ = (7) κ = + (8) κ Αντικατάσταση της κ από την (7) στην (8) δίνει ή, ε αντικατάσταση των κ = (9) κ =, 9 κ () Από την επίλυση του συστήατος των τεσσάρων εξισώσεων (5), (9), (6) () υπολογίζονται οι τέσσερες άγνωστοι:,, κ. Προς το σκοπό αυτό, αν οι (5) () αντικατασταθούν στην (6), προκύπτει η δευτεροβάθια εξίσωση όπου 9x 8x 8,858 + =, () κ x = () 46

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 Από τις δύο λύσεις x =, 5 x =, 875 της () δεκτή είναι όνο η δεύτερη (γιατί πρέπει x = κ / < ), έχουε δηλαδή = κ, 875 () Η (), λόγω της (), γράφεται επίσης Αντικατάσταση των (5) (8) στην (9) δίνει =, 787 (4) =, 65 Τ, (5) οπότε από τις (5), () (4) υπολογίζονται οι τιές των, κ =, 46 Τ, κ =, 58 Τ =, 485 Τ (6) Τέλος, από την αντικατάσταση των (5) (6) στις (6), (7) (7) προκύπτει = 8, A/, = 655, 4 A/ κ = 69,5 A/ (7) 8.4 ίνεται η καπύλη αγνήτισης = ( ) ενός σιδηροαγνητικού υλικού (σχήα 8- (α)), από το οποίο είναι κατασκευάσένος ο πυρήνας του σχήατος 8-(β), όπου: S = = c, S = 5 c, l =, c, l = 45/ c l = c. Η αγνητική S g ροή στον πυρήνα για διάρρευα (ΜΕ ) F = NI = ΑΕ, είναι = Wb. Αν / 5 a 6 a = /, ζητείται: α) Η τιή a (ε την προϋπόθεση ότι πουθενά έσα στον πυρήνα δεν είναι > ) β) εδοένου ότι η καπύλη αγνήτισης δεξιά του σηείου Γ γίνεται παράλληλη προς την ευθεία =, να υπολογιστεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πυρήνα για = Wb =, 5 Wb, όταν ο αριθός N των ελιγάτων της διέγερσης είναι N = (το πεδίο να θεωρηθεί παντού οογενές). a 46

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Β α Γ ΙΙΙ Β α Α ΙΙ Ι α α Η (α) S c l l () D S () S (g) D l g F () l c S (β) Σχήα 8- α) Αν θεωρήσουε ότι R είναι η αγνητική αντίσταση των τηάτων CD C'D', R του τήατος CC' R g του διακένου DD', επειδή η αγνητεγερτική δύναη (ΜΕ ) είναι F (γ)) = NI, πορούε να πάρουε το παρακάτω ισοδύναο κύκλωα (σχήα 8-46

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 R F = NI + - R g R (γ) Σχήα 8- από το οποίο προκύπτει F = NI = ( R + R + R ) () g Η (), αν οι R, R, R g εκφραστούν σύφωνα ε την (8.7), γράφεται l NI = + + l l g S S S g, () όπου, είναι οι αγνητικές διαπερατότητες των τηάτων (), () (g), α- ντίστοιχα. Μετά την αριθητική αντικατάσταση των NI, l, l, lg, S, S, S g /, στην (), προκύπτει η σχέση που πρέπει να ικανοποιούν οι = 4π 7 4 + = 98 / () Ας σηειώσουε ότι στην ίδια ακριβώς σχέση καταλήγουε ε εφαρογή του νό- ου του Apère NI = dl = l + l + l = l + l + lg (4) g g g όταν αντικαταστήσουε τις επαγωγές,, g από τις = =, 5 Τ, (5) S = =, Τ (6) S 46

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ g = =, 5 Τ, (7) S g όπου οι δείκτες, g αναφέρονται στα τήατα (), () ( g ), αντίστοιχα. Επειδή δεν γνωρίζουε σε ποια σηεία της αγνητικής χαρακτηριστικής βρίσκονται τα τήατα () () του πυρήνα, προκειένου να υπολογίσουε τις διαπερατότητες, προχωρούε κάνοντας υποθέσεις για όλες τις δυνατές περιπτώσεις ελέγχουε αν ικανοποιείται η (). Έτσι Β Γ ΙΙΙ Β α Β Β Ι Α ΙΙ Η Η α Η (δ) Σχήα 8- i) Αρχικά εξετάζουε αν είναι δυνατό τα δύο τήατα του πυρήνα να λειτουργούν στη γραική περιοχή I (τήα OA στην καπύλη αγνήτισης). Στην περίπτωση αυτή οι δύο διαπερατότητες πρέπει να είναι ίσες, αφού a 6 I = = = = = = 5 Η/, (8) όπου I είναι η διαπερατότητα που αντιστοιχεί στα σηεία του τήατος (ΟΑ) της χαρακτηριστικής. Από την (8) έχουε I I I a 4 4 5 5 + = + = = =. Η/, (9) 6 5 464

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 δηλαδή οι δεν ικανοποιούν την () εποένως η πρώτη υπόθεση απορρίπτεται. Β α Γ ΙΙΙ Β Β Β α Ι Α ΙΙ θ Ι θ α Η Η α Η (ε) Σχήα 8- ii) Ας εξετάσουε στη συνέχεια αν είναι δυνατό τα δύο τήατα του πυρήνα να λειτουργούν στην περιοχή II (τήα ΑΓ) της αγνητικής χαρακτηριστικής. Στην περίπτωση αυτή όπως εύκολα προκύπτει από το σχήα 8- (ε) έχουε a a a = = a a a () ή I = = = 5 a a 6 Η/ () Η () ετά την αντικατάσταση των από τις (5) (6), αντίστοιχα, γράφεται 5 6 = =. / () I 465

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Οι διαπερατότητες για να ικανοποιούν τις () () πρέπει να έχουν τι- ές, όπως προκύπτει από την επίλυση του συστήατος των εξισώσεων () () την 6 6 = Η/ () 599 6 = Η/ (4) Από την (4) παρατηρούε ότι η διαπερατότητα = tan θ, είναι εγαλύτερη από θ υπόθεσης. 6 I = tan I = 5, γεγονός που ας οδηγεί στην απόρριψη της δεύτερης iii) Ερχόαστε, τέλος, να εξετάσουε την τρίτη περίπτωση όπου το ένα τήα του πυρήνα βρίσκεται στην περιοχή I (τήα OA ) το άλλο στην περιοχή II (τήα ΑΓ ). Επειδή, όπως φαίνεται από τις (5) (6) είναι > είναι φανερό ότι το εν τήα () του πυρήνα λειτουργεί στην περιοχή II της αγνητικής χαρακτηριστικής ενώ το () στην περιοχή I. Συνεπώς, η διαπερατότητα είναι 5 a 6 = I = = Η/, (5) a ενώ η ετά την αντικατάσταση της (5) στην (), πρέπει να είναι ίση ε 55 Από την (6) παρατηρούε ότι ισχύει η 6 = / (6) = 5 > = 55 > tan θ =, (7) I 6 6 6 Γ δηλαδή, όντως, το σηείο (, ) βρίσκεται στο τήα ΑΓ της καπύλης αγνήτισης άλιστα αρκετά κοντά στο σηείο Γ, εποένως η περίπτωση (iii) περιγράφει την αγνητική κατάσταση του συστήατος. Οι εντάσεις, g του αγνητικού πεδίου, εύκολα πια υπολογίζονται από τις (5), (6), (7), (5) (6) = = 49 A/, (8) = = 4 A/ (9) 466

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 Β α Γ ΙΙΙ Β ΙΙ Β α Ι Α Β θ Ι θ Γ Η α Η α Η (στ) Σχήα 8- g g = = 97887 A/ () Για τον καθορισό των a a, από το σχήα 8- (στ) έχουε a a =, a a a a ή ή ή a a =, a Ia a I = =, a a a I a I = () Με αριθητική αντικατάσταση των I, από τις (8), (5) (8) στην (), προκύπτει = 5 A/, () a 467

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ οπότε όπου = =,55 Τ () a I a β) Ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του πυρήνα, υπολογίζεται από τη σχέση Ψ N L = =, (4) I I Ψ = N είναι η πεπλεγένη ροή I το ρεύα του τυλίγατος. Στην περίπτωση όπου η ροή είναι επειδή το ρεύα I δίνεται από τη σχέση ε αντικατάσταση των (5) (6) στην (4), έχουε Όταν όως η ροή του πυρήνα αυξηθεί γίνει = Wb, (5) F I = = =,5 A, (6) N L = =, 97 (7), 5 =, 5 Wb, (8) αλλάζει η αγνητική κατάσταση του συστήατος. Για τον υπολογισό του συντελεστή αυτεπαγωγής L θα πρέπει να προσδιοριστεί η τιή του ρεύατος I του τυλίγατος. Προς το σκοπό αυτό υπολογίζονται αρχικά οι νέες τιές της αγνητικής επαγωγής στα διάφορα τήατα του πυρήνα = =, 75 T, (9) S = =, T, () S g = =, 75 T () S g Από τις (9) () παρατηρούε, ότι το τήα () του πυρήνα λειτουργεί στην περιοχή II της αγνητικής χαρακτηριστικής ( a < < a ), ενώ το τήα () στην περιοχή III ( > a ). Όπως φαίνεται από το σχήα 8-(ζ) για τα τήατα Γ ΑΓ έχουε, αντίστοιχα 468

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 a a = () a a a a = = a a a a () Αντικατάσταση των (), (), (9) () στις () () δίνει α Β Γ ΙΙΙ θ: tan θ = Β α Α ΙΙ Ι α α Η (ζ) Σχήα 8- = 97 A/ (4) = 689 Α/ (5) Επίσης, από την () προκύπτει g g = = 5968 A/ (6) Από το νόο του Apère λόγω των (4), (5) (6) έχουε NI = l + l + l, (7) g g I = 944, Α ή I = 47, Α (8) 469

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Συνεπώς, η νέα τιή του συντελεστή αυτεπαγωγής L είναι N, 5 L = = =, 68 I 47, Η ή L = 6, 8 (9) 8.5 ίνεται το αγνητικό κύκλωα του σχήατος 8- (α), όπου οι διαστάσεις είναι σε c για τις διατοές σε για τα ήκη. Η καπύλη αγνήτισης του σιδηροαγνητικού υλικού του κυκλώατος φαίνεται στο διάγραα του σχήατος 8- (β), όπου οι τιές κ κ αντιστοιχούν στο σηείο Κ του κόρου. Η σκέδαση θεωρείται αελητέα ενώ όλα τα τήατα του σιδηροαγνητικού υλικού λειτουργούν κάτω από τον κόρο. Ζητείται: α) Να υπολογιστεί η αγνητική ροή του διακένου, όταν το διάρρευα του σκέλους ΑΒ έχει σταθερή τιή F = F = 8 A β) Αν το διάρρευα δεν είναι σταθερό, αλλά εφανίζει ηιτονοειδή χρονική εταβολή σύφωνα ε τη σχέση Ft () = F cosωt, να υπολογιστεί η έγιστη η στιγιαία τιή της εξ' επαγωγής αναπτυσσόενης τάσης σ' ένα πηνίο ε N = σπείρες που τοποθετείται στο σκέλος Γ ( ίνεται ω = πf f = 5 z). Η 5 Z E Θ (4) (4) (4) (5) (5) e(t) (5) Γ (4) Α Β 9 F(t) (α) 47

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 Β(Τ) κ =. Τ K Η κ = Α/ (A/) (β) Σχήα 8- Αν RA, RA, R, R, R, R, RZE, RE Θ Γ ΘΓ ΘΗ ΗΖ R Γ είναι οι αντιστάσεις των αγνητικών κλάδων A, AΘ, ΒΓ, ΘΓ, ΘΗ, ΗΖ, ΖΕ (διάκενο), Ε Γ, αντίστοιχα, πορούε να σχηατίσουε το παρακάτω ισοδύναο κύκλωα Η R ΗΖ Ζ R ΖΕ Ε R Ε R ΘΗ R Γ Θ R ΘΓ Γ R ΑΘ R ΒΓ Α R ΑΒ F + - Β (γ) Σχήα 8- Αν,, είναι οι αγνητικές ροές στους κλάδους A, ΘΓ Η, αντίστοιχα, τότε, από τους βρόχους () () προκύπτουν οι εξισώσεις F = ( R + R + R ) + R () A ΑΘ Γ ΘΓ 47

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Επίσης, στον κόβο Θ έχουε R = ( R + R + R + R + R ) () ΘΓ ΘΗ Z Γ E ZE = + () Για τα τήατα του σιδηροαγνητικού υλικού η αγνητική διαπερατότητα, όπως φαίνεται από το σχήα 8- (β) είναι κ 4 = = 5 Η/, (4) κ ενώ για το διάκενο ΖΕ αντιστάσεις 4π 7 = = /. Έτσι, ε βάση την (8.7) υπολογίζονται οι 5 R A =, 68 Η -, R R, 4 5 ΑΘ = Γ = Η -, 5 R ΘΓ = 4, 6 Η -, (5α) R 5 ΘΗ = RΓ =, 55 Η -, R R E, 875 5 ΗΖ = = Η -, που όταν αντικατασταθούν στις () () δίνουν R ZE 99, 47 5 = Η -, (5β) F = 6,6 + 4, 6, (6) 5 5 4,6 = 7,45 (7) Από το σύστηα των εξισώσεων (), (6) (7) προκύπτει = Wb, (8) 7 9, 46 F α) Η ζητούενη ροή διακένου για F = F = 8 Α, όπως προκύπτει από τη (), είναι = Wb (9) 7 9, 7 F = Wb () 8, 894 F 6 g = = 4,94 Wb () β) Επίσης από τη (), για F = F cos ωt = 8 cos ωt Α, έχουε = = Wb () g 6 4, 94 cos( ωt) Η πεπλεγένη ροή Ψ ε το πηνίο στον κλάδο Γ είναι Ψ = N = = () 4,94 cos( ωt) 47

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 Η εξ επαγωγής αναπτυσσόενη τάση e (t) στο πηνίο, σύφωνα ε το νόο του Faraday, δίνεται από την ή et dψ = = dt ( ) ω4, 94 sin et ( ) = 4,685 sin ωt = 4,685 sin(4 s t) (4) ωt Η έγιστη τιή e ax, όπως φαίνεται από την (4), είναι e ax = 4, 685 V (5) 8.6 Να υπολογιστεί ο αριθός των ελιγάτων του πηνίου του σχήατος 8-(α) που διαρρέεται από ρεύα I = Α που δίνει στο διάκενο πυκνότητα ροής =, 5 Τ. ίνεται g l =, l = 6, l =, S =.6, S = S =, 8. Το σιδηροαγνητικό υλικό του αγνητικού πυρήνα έχει καπύλη αγνήτισης ( σχετική αγνητική διαπερατότητα) όπως στο σχήα 8-(β). Να θεωρηθεί, επίσης, ότι η αγνητική επαγωγή είναι οοιόορφη σε κάθε διατοή του πυρήνα του διακένου. g Η αγνητική ροή, που είναι σταθερή σε όλη τη διαδροή του πυρήνα, είναι = = = = S =, 5, 8 =, Wb, () g g g όπου οι δείκτες αναφέρονται στα τήατα του πυρήνα ε διατοές S S αντίστοιχα, ενώ ο δείκτης g αναφέρεται στο διάκενο. Οι αγνητικές επαγωγές, λόγω της () είναι, = = =, 75 Τ () S, 6, = = =, 5 Τ () S, 8 47

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ S S l N = ; I = A l g S g =S l (α) Σχήα 8- Από τον προσδιορισό των σηείων A, A C, C πάνω στην καπύλη αγνήτισης r ( ) την καπύλη r ( ) που αντιστοιχούν στις τιές της αγνητικής επαγωγής, αντίστοιχα, προκύπτουν εύκολα οι αντίστοιχες τιές της σχετικής αγνητικής διαπερατότητας r = 865 (4) r = 4 (5) Οι τιές αυτές πορούν επίσης να προκύψουν από τις τιές = 69 A/ = 9 Α/ (σηεία A C ) που αντιστοιχούν στα σηεία A C της αγνητικής χαρακτηριστικής, αντίστοιχα. Πράγατι, όπως φαίνεται από το σχήα 8-(β) έχουε, 75 = = = = 865 r r 69, 5 = = = = 4 r r 9 R, R Αν θεωρήσουε το ισοδύναο κύκλωα που περιλαβάνει τις εν σειρά αντιστάσεις διαρρεύατος R g των δύο τηάτων του πυρήνα του διακένου, έχουε από το νόο του 474

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 r (T) A = 865 r r 8 =.5 C Β = Β(Η) 6 = 4 r 4. =.75 A C.5 θ θ A C Η = 69 Η = 9 (β) Σχήα 8- (A/) F NI R R R g = = ( + + ), (6) ή l + l l lg l g F = NI = + + r S r S S g (7) Η (7), ετά την αντικατάσταση των (), (4), (5) των αριθητικών τιών των l, l, lg, S, S S g, δίνει F = NI = 9 ΑΕ (8) Από την (8), υπολογίζεται ο ζητούενος αριθός ελιγάτων N F 9 = = = 9 (9) I 475

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8.7 Κυλινδρικός αγωγός κυκλικής διατοής ακτίνας a, είναι τοποθετηένος έτσι, ώστε ο άξονάς του να ταυτίζεται ε τον άξονα Oz η κάτω βάση του να βρίσκεται στο επίπεδο Oxy ( z = ). Σ ένα σύστηα κυλινδρικών συντεταγένων ρϕ,,z η αγνητική διαπερατότητα του υλικού του αγωγού δίνεται από τη σχέση a + ρ l = a l z, όπου l είναι το ήκος του αγωγού η αγνητική διαπερατότητα του κενού. Ζητείται ο υπολογισός της αγνητικής αντίστασης R A του αγωγού (Α η κάτω Β η πάνω βάση). Θεωρούε το στοιχειώδη αγωγό του σχήατος που έχει διατοή ds = ρd ρdϕ ήκος dz. Η αγνητική αντίσταση R του στοιχειώδους αυτού αγωγού είναι dz dz R = = (,) ρ z ds a + ρ l ρdρdϕ a l z () z Β α ρ l z dρ Α Ο φ y x dφ Σχήα 8-4 Από την ολοκλήρωση της () από z = έως z = l, προκύπτει η αντίσταση R του αγωγού που έχει βάση ds = ρd ρdϕ ήκος l 476

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 a l al R = ( l z) dz = ( a + ρ) lρdρdϕ () ( a + ρρ ) dρdϕ Η αγνητική αγωγιότητα P του πιο πάνω αγωγού είναι P = = ( ) R al a +ρρ d ρ d ϕ Από την παράλληλη σύνδεση όλων των πιο πάνω αγωγιοτήτων, προκύπτει η ολική αγωγιότητα P A του αγωγού. Έτσι, από τη διπλή ολοκλήρωση της () πάνω σ' όλη τη διατοή του αγωγού έχουε π a π A = ( + ρρ ) ρ ϕ = P a d d al 9 Η ζητούενη αγνητική αντίσταση a l () (4) R R A προκύπτει από την (4) είναι = = 9 l (5) A PA π a 8.8 Το αγνητικό κύκλωα του σχήατος 8-5 (α) διεγείρεται από ένα σταθερό διάρρευα F = NI στη θέση Α. Τα διάφορα τήατα του κυκλώατος έχουν ήκη διατοές: l =, 5, S = 5 c, l =, 4, S = 5 c, l =, 8, S = c, l =,6, S = S = c. Στο σχήα 8-5 (β) έχει σχεδιαστεί η αγνητική χαρακτηριστική του σιδηροαγνητικού υλικού του σχήατος (α), που προέκυψε από τα παρακάτω πειραατικά ζεύγη τιών Β(Tesla),,4,6,8,,, (A/) 8 47 6 76 4 5 75 Αν η αγνητική επαγωγή στο διάκενο έχει τιή =, 5 Τ, ζητούνται: α) Η τιή της αγνητικής επαγωγής στο τήα EF. β) Η τιή της αγνητεγερτικής δύναης (ΜΕ ) F = NI. γ) Αν το σιδηροαγνητικό υλικό θεωρηθεί αρχικά ααγνήτιστο, να υπολογιστεί η πυκνότητα της ενέργειας του αγνητικού πεδίου στο τήα EF, ετά την επιβολή της ΜΕ. 477

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ, Β, Η, Β, Η E Ι Α l, Β, Η F = NI l C, Β, Η S l S S l D l F S (α) Σχήα 8-5 Β(Τ).5. =.8.75 P =.5 =.44.5 P P = 57 = 475 = 85 5 5 Η(A/) (β) Σχήα 8-5 α) Ας θεωρήσουε ότι,, είναι οι αγνητικές ροές στα τρία σκέλη του πυρήνα. Η ροή, αφού αγνοείται η σκέδαση, είναι ίση ε τη ροή στο διάκενο, δηλαδή S = S () Από την (), επειδή S = S (ή από την ισότητα των καθέτων συνιστωσών της αγνητικής επαγωγής) έχουε = =, 5 Τ () 478

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 Η ένταση του αγνητικού πεδίου στο τήα () του κυκλώατος βρίσκεται από την καπύλη του σχήατος 8-5 (β), στην οποία ορίζεται το σηείο Ρ για τιή της αγνητικής επαγωγής = =, 5 Τ. Η τιή που αντιστοιχεί στο σηείο P είναι = 57 Α/ () Η ένταση του αγνητικού πεδίου στο διάκενο υπολογίζεται εύκολα από την, 5 = = = 97887, 6 A/ (4) 7 4π Αν στη συνέχεια εφαρόσουε το νόο του Apère στον κλειστό δρόο EFD, έχουε l l l = (5) Από την (5) ε αντικατάσταση των () (4) των αριθητικών τιών των l, l, l, προκύπτει η ένταση του πεδίου στον κλάδο (EF) = 84, 8 A/ (6) Η αγνητική επαγωγή στον κλάδο EF, βρίσκεται από την καπύλη του σχήατος 8-5 (β) αφού από την (6) προσδιορίσουε το σηείο P στη αγνητική χαρακτηριστική =, 8 T (7) β) Πριν προχωρήσουε στον υπολογισό της ΜΕ, υπολογίζουε τη αγνητική επαγωγή την ένταση στον κλάδο DA του κυκλώατος. Στον κόβο του κυκλώατος από τον πρώτο κανόνα του Kirchhoff (νόος των ροών στα αγνητικά κυκλώατα), έχουε ή = + (8) S = S + S (9) Αντικατάσταση των (), (7) των αριθητικών τιών των διατοών S, S S στην (9) δίνει =, 44 Τ () Από τη αγνητική χαρακτηριστική του σχήατος 8-5(β) για = =, 44 Τ, βρίσκουε (σηείο P ) = 475 Α/ () 479

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Με εφαρογή του νόου του διαρρεύατος (Apère) στον κλειστό δρόο AEFDA, έ- χουε NI = l + l () Με αντικατάσταση των (6), () των αριθητικών τιών των ηκών l l στην (), προκύπτει F = NI = 567, 4 ΑΕ () γ) Η πυκνότητα w της ενέργειας του αγνητικού πεδίου στον κλάδο EF, δίνεται από την έκφρασή της για η γραικά έσα w = d, (4) υπολογίζεται προσεγγιστικά από τη έτρηση του διαγραισένου εβαδού του σχήατος 8-5(β), απ όπου βρίσκεται w 8 J/ (5) 8.9 ίνεται το αγνητικό κύκλωα του σχήατος που διεγείρεται από δύο διαρρεύατα F = N I F = NI. Η αγνητική χαρακτηριστική = ( ) του υλικού του κυκλώ- ατος (Σχ. 8-6α) δίνεται από τα παρακάτω πειραατικά ζεύγη τιών Β(Tesla),5,6,7,8,9,,,,,4 (A/) 55 7 9 55 5 5 8 Ζητείται να υπολογιστεί η αγνητική επαγωγή στους τρεις κλάδους του κυκλώατος για τα ακόλουθα αριθητικά δεδοένα: S = S =5 c, S = c, l = c, l = 4 c, l = c, F NI = =44 AE, F = NI =8 AE. Av U ab είναι η διαφορά του αγνητικού δυναικού εταξύ των σηείων a b, από το νόο του διαρρεύατος στους δύο δρόους abca adba, τον πρώτο κανόνα του Kirchhoff (νόος ροών) στον κόβο a έχουε NI = l + Uab, () 48

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 l a l F = N I Ι c d Ι l F = N I b (α) Σχήα 8-6 όπου Για την επίλυση του συστήατος των εξισώσεων αυτών σχεδιάζονται οι χαρακτηριστικές NI = l + Uab, () = +, () U = l (4) ab ( NI l) = ( U ab ), ( NI l) = ( U ab ) για τους τρεις κλάδους του κυκλώατος. ( l) = ( U ab ) (5) Προς το σκοπό αυτό, δίνουε διάφορες αυθαίρετες τιές στις, βρίσκουε τις αντίστοιχες τιές της αγνητικής επαγωγής = / S, = / S = / S (ή, για διάφορες αυθαίρετες τιές των,, βρίσκουε τις αντίστοιχες = S, S = = S ). Στη συνέχεια, από τη αγνητική χαρακτηριστική = ( ) του υλικού του κυκλώ- ατος προσδιορίζουε τις εντάσεις,, του πεδίου που αντιστοιχεί στις πιο πάνω τιές,, της αγνητικής επαγωγής. Με βάση τις τιές αυτές της έντασης του αγνητικού πεδίου, βρίσκουε τις διαφορές δυναικού στα τρία τήατα του κυκλώατος για διάφορες τιές της ροής, έτσι σχηατίζουε τον παρακάτω πίνακα. 48

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ = = (Τ) = = (A/) = (Wb -5 ) ΠΙΝΑΚΑΣ l NI l (AE) l (AE) N (AE) I l (Wb -5 ) 44, 8,5 55 5 6,5 4,5, 58 5 5,6 7, 49, 8, 5 6 6,7 9 5 7, 4, 6, 44 7 9,8 4 6, 44, 48, 8,9 55 45 46,5 9,5 6, 8 9 5,5, 5 6, 8, 8,, 5 55 5, 5, 4, 4 5, 5 6 5, 9,, 8 5, 8 65 4,, -4 8,4 7 6, 8, 48-4 l (AE) Χρησιοποιώντας τα αποτελέσατα του πίνακα χαράσσουε τις καπύλες ( Uab), ( Uab) U ab ( ), του σχήατος 8-6 (β). (Wb -5 ) (U ab ) = -5 4 P * (U ab ) = (U ab ) + (U ab ) = 7-5 8 P 6 P 4 (U ab ) (U ab ) P 5 5 5 5 4 45 (β) Σχήα 8-6 U ab (AE) 48

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 Επειδή όως οι τιές των ροών,, πρέπει να ικανοποιούν την (), σχεδιάζεται η καπύλη ( U ) = ( U ) + ( U ), (6) ab ab ab που προκύπτει από την πρόσθεση των τεταγένων των καπυλών ( U ab) ( U ab) για διάφορες τιές της διαφοράς δυναικού U ab. Το σηείο τοής P των καπυλών, δίνει τη ζητούενη ροή αφού τότε, ικανοποιείται η () οι = 5 Wb, (7) NI l = NI l = l, (8) δηλαδή οι (), () (5). Αν φέρουε από το σηείο P, ία ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των τεταγένων, η ευθεία αυτή τένει τις καπύλες ( U ab) ( U ab) στα σηεία P P, αντίστοιχα. Οι τεταγένες PP PP δίνουν, προφανώς, τις αντίστοιχες ροές = 7 5 Wb (9) = 6 5 Wb () Μετά τον υπολογισό των ροών, οι αγνητικές επαγωγές, υπολογίζονται, αέσως, από τις = =, 4 T, () S = =, T () S = =, T S 48

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8. Ασκήσεις 8/ Σ' ένα η γραικό έσο, η αγνητική επαγωγή Β δίνεται συναρτήσει της έντασης Η του αγνητικού πεδίου δίνεται από τη σχέση =,,,8 όπου η έτρηση των εγαθών γίνεται στο MKSA. Όταν η τιή της έντασης του αγνητικού πεδίου είναι =4 A/, ζητείται να υπολογιστούν: (α) Το έτρο της αγνήτισης M, η σχετική αγνητική διαπερατότητα r η αγνητική επιδεκτικότητα χ του έσου (β) Η πυκνότητα w της ενέργειας του αγνητικού πεδίου. 8/ ίνονται δύο έσα () () ε σχετικές αγνητικές διαπερατότητες r = r = αντίστοιχα, τα οποία χωρίζονται από ια επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια S που συπίπτει ε το επίπεδο xy. Αν =, x +, z, είναι το διάνυσα της αγνητικής επαγωγής στο έσο () να υπολογιστούν οι γωνίες θ, θ (σχήα 8-7) τα εγέθη,,. z, = θ S = x θ, Σχήα 8-7 484

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 8/ Ο δακτύλιος του σχήατος 8-8 (α) έχει διατοή, όπως φαίνεται στο σχήα 8-8 (β), αποτελούενη από το υλικό (), σταθερής σχετικής αγνητικής διαπερατότητας r =, το υλικό () σχετικής αγνητικής διαπερατότητας r =. ίνονται οι ακτίνες: R = 8 c, r =, 5 c, r =, c ότι τα διανύσατα του πεδίου στο κάθε υλικό έχουν σταθερό έτρο. (α) Για =, Τ, ζητείται η ολική αγνητική ροή του δακτυλίου το διάρρευα F = NI. (β) Για F = ΑΕ, ζητούνται τα εγέθη,,,. (γ) Για αριθό ελιγάτων N =, ζητείται ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του δακτυλίου. R r r I () () F = NI (α) Σχήα 8-8 (β) 8/4 Ράβδος σιδήρου τετραγωνικής διατοής έχει ήκος l. Η αγνητική διαπερατότητα εταβάλλεται ε την απόσταση x από το ένα άκρο της ράβδου σύφωνα ε τη σχέση = + l x όπου είναι η διαπερατότητα στο άλλο άκρο της ράβδου. Αν η διατοή της ράβδου είναι S, ζητείται να υπολογιστεί η αγνητική αντίσταση R η αγνητική αγωγιότητα P της ράβδου. 485

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8/5 Το αγνητικό κύκλωα του σχήατος 8-9 έχει παντού την ίδια διατοή S. Στα σκέλη A CD επιβάλλονται τα διαρρεύατα F F αντίστοιχα, όπου cos F = F ωt F = F cos ωt. Αν αεληθεί η σκέδαση θεωρηθεί ότι η λειτουργία όλων των τηάτων του σιδηροαγνητικού υλικού γίνεται κάτω από το σηείο κόρου, ζητούνται: (α) Η έγιστη τιή της αγνητικής ροής του διακένου. (β) Η έγιστη η στιγιαία τιή της τάσης που αναπτύσσεται εξ' επαγωγής στο πηνίο του εσαίου σκέλους που έχει N σπείρες. ίνονται: S = c, F = ΑΕ, F = ΑΕ, ω = 4 s -, = 5, N = 5. r Α C E 9,75 c F,5 c F c e(t) = ; 5,75 c F c c D Σχήα 8-9 8/6 To αγνητικό κύκλωα του σχήατος 8- αποτελείται από δύο τήατα () () ε ήκη l = c, l = 8 c διατοές S =, 5 c, S = c, αντίστοιχα. Η καπύλη αγνήτισης του υλικού () (κράα σιδήρου-νικελίου) προκύπτει από τα παρακάτω ζεύγη τιών: 486

ΚΕΑΛΑΙΟ 8 (A/) 5 4 5 6 7 (T),,,9,5,,5,8,4 ενώ του υλικού () (χυτοχάλυβας) από τα ζεύγη τιών: (A/) 5 4 5 6 7 8 (T),,,,55,7,8,85,98,4 Να βρεθούν οι τιές της αγνητικής επαγωγής στα υλικά () (). S F = 4 AE () () S l l Σχήα 8-8/7 Σ' ένα δακτύλιο από σιδηροαγνητικό υλικό, είναι τυλιγένο, σε ια στρώση, ένα πηνίο ε N ελίγατα από χάλκινο σύρα ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης ρ διατοής S. Ο δακτύλιος έχει έση ακτίνα a, ενώ η διατοή του, που είναι κυκλική, έχει ακτίνα r (r << a ). Η καπύλη αγνήτισης του υλικού του δακτυλίου δίνεται από τη σχέση = όπου, δοσένες σταθερές. Το αρνητικό πρόσηο στην πιο πάνω σχέση ι- σχύει για εταβολή της έντασης από έως +, ενώ το θετικό πρόσηο για εταβολή της έντασης από + έως. Από το πηνίο διέρχεται ηιτονοειδές ρεύα συχνότητας f που η ένταση του είναι τέτοια ώστε η έγιστη τιή της έντασης του αγνητικού πεδίου στο υλικό του δακτυλίου να είναι. Ζητούνται: 487

ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (α) Να χαραχθεί η καπύλη αγνήτισης να εξηγηθεί η σηασία των σταθερών. (β) Οι απώλειες υστέρησης στο σιδηροαγνητικό υλικό. (γ) Οι απώλειες Joule στο πηνίο. 8/8 ίνεται το αγνητικό κύκλωα του σήατος 8- που διεγείρεται από τα διαρρεύατα F = N I F = NI. Η καπύλη αγνήτισης = ( ) του υλικού του κυκλώατος δίνεται από τα παρακάτω πειραατικά ζεύγη τιών: (A/) 55 7 9 55 5 5 8 (T),5,6,7,8,9,,,,,4 Ζητείται να υπολογιστεί η αγνητική επαγωγή η ένταση του αγνητικού πεδίου στους τρεις κλάδους του κυκλώατος, όταν δίνονται: S = S = 5 c, S = c, l = c, l = c, l = 4 c, F = NI = 4 AE, F = NI = AE. Ι Ι F = N I F = N I S S l S l l Σχήα 8-488