ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 51 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολυώνυμα Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο προς αυτά που έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Στην περίπτωση που τα προστιθέμενα μονώνυμα δεν είναι όμοια τότε το άθροισμα δεν είναι μονώνυμο,αλλά μία αλγεβρική παράσταση που λέγεται πολυώνυμο. Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου. Ειδικά αν ένα πολυώνυμο δεν έχει όμοιους όρους λέγεται - διώνυμο, αν έχει δύο όρους π.χ. x + y - τριώνυμο, αν έχει τρεις όρους π.χ. x 4x +. Βαθμός ενός πολυωνύμου, ως προς μια ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από π. χ x +x 4x =(+ 4)x =x και αβ+5αβ αβ=(+5 )αβ=4 αβ π. χ 4x 4 +x x και αx 4 +βx +γx +δx+ε Το πολυώνυμο 4x 4 + x x έχει τρεις όρους που είναι τα μονώνυμα 4x 4, x, x. Το πολυώνυμο 4x y 4 + x y 5 +6x 5 y 4 είναι 5 ου βαθμού ως προς x 5 ου βαθμού ως προς y 9 ου βαθμού ως προς x, y. τους βαθμούς των όρων του. Όπως και με τα μονώνυμα κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο, οπότε λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Ειδικά, ο αριθμός μηδέν λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ κάθε άλλο σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. Ένα πολυώνυμο όπως το x +5x+4 έχει μια μεταβλητή την x και το συμβολίζουμε με Ρ(x) είτε Q(x) κ.τ.λ. Το δευτέρου βαθμού πολυώνυμο Ρ(x) = x -x +10 μπορούμε να το γράψουμε έτσι ώστε κάθε όρος του να είναι μεγαλύτερου βαθμού από τον επόμενό του. Δηλαδή στην μορφή Ρ(x) = -x +x +10. Τότε,λέμε ότι γράφουμε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x. Η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου Ρ(x) για x = συμβολίζεται με Ρ() και είναι: Ρ()= (-) + + 10 = -1 +4 + 10 =. Δύο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα. Tα πολυώνυμα x x + 4 και κ x + λx +μ είναι ίσα, αν κ = 1, λ = και μ=4

5 ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Αναγωγή ομοίων όρων Ονομάζουμε αναγωγή ομοίων όρων την διαδικασία αντικατάστασης των ομοίων όρων μιας αλγεβρικής παράστασης με το άθροισμά τους. 6α +4β-γ+4-α -β+γ=6α -α +4β-βγ+γ+4=(6-)α +(4-)β+(- 1+)γ+4==α +β+γ+4. Η αρχική αλγεβρική παράσταση, που είχε επτά όρους, συμπτύχθηκε σε μία άλλη με τέσσερις όρους. Πρόσθεση -Αφαίρεση πολυωνύμων Η πρόσθεση και η αφαίρεση πολυωνύμων γίνεται με την χρήση των ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. Για παράδειγμα, τα πολυώνυμα P(x) = x 4 x 6x + και Q(x) = -4x 4 + x +6x +x+1 έχουν άθροισμα ή διαφορά όπως φαίνεται παρακάτω : A(x) + B(x) = (x 4 x 6x +) + (-4x 4 + x +6x +x+1) = = x 4 x 6x +-4x 4 + x +6x +x+1= = -x 4 -x +x+ Ομοίως έχουμε : A(x) - B(x) = (x 4 x 6x +) (-4x 4 + x +6x +x+1) == x 4 x 6x ++4x 4 - x -6x x-1= Απαλείφουμε τις παρενθέσεις. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Απαλείφουμε τις παρενθέσεις. = 6x 4-5x -1x -x+1 Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι πολυώνυμα; α) 4x 5x 1 +x β) x 4 7x 1 x 1 γ) x y 5xy + y + δ) x + x y x y + y Οι β και γ μόνο σε αυτές έχουμε άθροισμα ακεραίων μονωνύμων που δεν 1 είναι όμοια. Στις άλλες δύο περιπτώσεις οι όροι των παραστάσεων x και x y δεν είναι μονώνυμα.. Ποια από τα παρακάτω πολυώνυμα είναι ου βαθμού ως προς x; α) 7 x x β) x 5x x + 10 γ) 4x + x x + x x + 6 δ) xy y + 9 α) 7 x x = x x+7 β) x 5x x + 10=-5x+10 γ) 4x + x x + x x + 6= α) Είναι ου βαθμού. β) Είναι ου βαθμού αλλά 1 ου. γ) Είναι ου βαθμού.

ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 5 =x +x+6 δ) Δεν είναι ου βαθμού αλλά 1 ου. δ) xy y + 9. Ένας μαθητής θέλοντας να υπολογίσει το άθροισμα και τη διαφορά των πολυωνύμων 4x 8x + x+ 7 και x 6x+ έγραψε άθροισμα Διαφορά 4x 8x + x + 7 4x 8x + x + 7 + x 6x + + x + 6x 5x 8x 5x + 9 x 8x + 7x + 5 Είναι σωστός ο τρόπος που εφάρμοσε; Να τεκμηριώσετε την απάντησή σας Είναι σωστός γιατί στην πρόσθεση τοποθέτησε τους ομοβάθμιους όρους τον ένα κάτω από τον άλλον και πρόσθεσε τους συντελεστές τους. Στην αφαίρεση αντί για την πράξη αυτή έκανε πρόσθεση του αντίθετου του αφαιρετέου. 4. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Το πολυώνυμο που πρέπει να προσθέσουμε στο x + 5x+ 7 για να βρούμε άθροισμα 8x + 4x - 5 είναι το: α) 6x +x - β) 10x + 9x + γ) 6x - x - 1 δ) -6x +x + 1. Το τρίτο γιατί x + 5x+ 7+6x - x 1=8x + 4x - 5 5. Τα πολυώνυμα Α(x), Β (x) και Γ(x) έχουν βαθμούς, και αντιστοίχως. α) Να βρείτε το βαθμό του πολυώνυμου Α(x) + Β (x). β) Αν το πολυώνυμο Α(x) + Γ(x) δεν είναι το μηδενικό, τι βαθμό μπορεί να έχει; Το πολυώνυμο Α(x) + B(x) είναι ου βαθμού. Αφού το πολυώνυμο Α(x) + Γ(x) είναι μη μηδενικό, μπορεί να είναι μηδενικού ή πρώτου ή δευτέρου βαθμού. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Nα γράψετε τα πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x. α) Ρ(x) = x 5x + x 4 + 10 + x β) Q(x) = 6x + x + 1 γ) A(x) = x + 7 + x + 7x δ) B(x)=x-x 4-5

54 ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ α)p(x)=x 4 +x _ 5x +x+10 β) Q(x)=x _ 6x +1 γ) A(x)=x _ x +7x+7 δ) B(x)= -x 4 +x -5 Γράφουμε τις δυνάμεις του x αρχίζοντας από την μεγαλύτερη και πηγαίνοντας προς την μικρότερη. ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται το πολυώνυμο Α = xy + y + x xy. α) Να βρείτε την αριθμητική του τιμή για x = και y = 1. β) Να γράψετε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του y. Ποιος είναι ο βαθμός του ως προς x, y ; α) Επειδή A = x + y xy. Η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x= και y = 1 είναι : Α=() +( 1) ()( 1) = 16 1 6 = 9. β) Α = y xy +x. Ο βαθμός του ως προς x, y είναι ΑΣΚΗΣΗ Αν Ρ(x) = x + x 9, να αποδείξετε ότι: α) Ρ( ) = Ρ ( ) β) Ρ(1) + Ρ()=0 α) Είναι : Ρ( )=( )+( ) 9 = 18 6 9 = Ρ ( ) = () + () 9 =8+4 9 =. Επομένως Ρ( ) = Ρ ( ) = β) Είναι : Ρ(1)=(1) +(1) 9 =+-9=-5 Ρ ( ) = () + () 9 =18+6 9 = 15. Επομένως Ρ(1) + Ρ ( ) =.(-5)+15=-15+15=0 ΑΣΚΗΣΗ 4 Η επιφάνεια ενός σταδίου αποτελείται από δύο ημικυκλικούς δίσκους και ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που έχει μήκος 100 μέτρα και πλάτος x μέτρα. α) Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του. β) Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του, αν το πλάτος του είναι ίσο με 60 μέτρα.

ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 55 α) Η περίμετρος P(x) = πx +.100 = πx + 00 Το εμβαδόν Ε(x) = πx + 100(x) = πx + 00x β) Όταν το πλάτος είναι 60μέτρα τότε : Η περίμετρος Ε = (,14)0 +00 = 88,4m και το εμβαδόν Ε =,14( 0 ) +00(0) = 886m ΑΣΚΗΣΗ 5 Να κάνετε τις πράξεις α) Η περίμετρος αποτελείται από δύο ημικύκλια ακτίνας x και από τις δύο απέναντι ίσες πλευρές του ορθογωνίου γηπέδου που καθεμία είναι 100 μέτρα. Το εμβαδόν αποτελείται από δύο ημικυκλικούς δίσκους ακτίνας x και ένα ορθογώνιο γήπεδο διαστάσεων x και 100 m. β) Χρησιμοποιούμε τις σχέσεις του προηγούμενου ερωτήματος και στη θέση του x θέτουμε 0 m γιατί αν το πλάτος είναι 60 m η ακτίνα είναι 60:=0 m α) (x x) (x 5x + x 1) β) x y (xy yx ) + (xy y ) γ) (α αβ) (β + 4αβ ) (α + β ) δ) ω [4ω (ω + 5ω )] ε) 1 1 1 x x + 1 x + x στ)(0,4 x +, x )+(,6x 0,x +4 ) 4 6 α)(x x) (x 5x +x 1)= =x x-x +5x x+1=-x +7x x+1 β) x y (xy yx )+(xy y )= = x y xy+yx +xy y = y x y+xy γ)(α αβ) (β +4αβ) (α +β )= =α αβ β 4αβ α β = α 7αβ β δ)ω [4ω (ω +5ω)]= =ω (4ω ω 5ω)=ω ( ω ω )= =ω +ω +ω+=ω +ω+ ε) 1 1 1 x x + 1 x + x = 4 6 = 1 x 4 x +1 6 1 x x + 1 = = 1 x x 4 x 6 1 x+1+ 1 = 1 x x 9 1 1 x x+ + = x 11 4 x+ 1 1 1 στ)(0,4x +,x )+(,6x 0,x +4)= =0,4x +,x +,6x 0,x +4=4x +x +4 α) Βγάζουμε πρώτα τις παρενθέσεις και κατόπιν κάνουμε αναγωγή ομοίων ό- ρων. β) Ομοίως γ) Ομοίως δ) Βγάζουμε πρώτα τις παρενθέσεις μέσα στην αγκύλη οπότε η αγκύλη μετατρέπετε σε παρένθεση και κατόπιν βγάζουμε την παρένθεση και κάμουμε αναγωγή ομοίων όρων. ε) Βγάζουμε πρώτα τις παρενθέσεις και κατόπιν κάνουμε αναγωγή ομοίων ό- ρων. στ) Ομοίως

56 ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 6 Αν A(x) = x x + x 4, B(x) = x + 5x και Γ(x) = 4x x + 8, να βρείτε τα πολυώνυμα α) A(x) B(x) β) A(x) + Γ(x) γ) Γ(x) [ A(x) + B(x)] α) A(x) B(x) = x x + x 4 ( x + 5x ) = x x + x 4 +x 5x + = 5x x 4x. β) A(x) + Γ(x) = x x + x 4 + 4x x + 8 =x +x x +4. γ) Γ(x) [ A(x) + B(x)] = Γ(x) A(x) B(x) = =4x x + 8 (x x + x 4) ( x + + 5x ) = =4x x + 8 x + x x +4 +x 5x + = x +5x 9x +14. ΑΣΚΗΣΗ 7 Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: α) ( LK 4xLK) + ( x LK + 4) = 6x 8x + 7 β) - x LK + 8 LK + x LK = x x + 5x + ( ) ( ) 9 Είναι α) ( 7x 4x + ) + ( x 4x + 4) = 6x 8x + 7 β) (- x + 5x + 8) ( x + x 1) = x x + 5x + 9 α) Γιατί για να προκύψουν 6x πρέπει στο x να προσθέσουμε 7x Γιατί για να προκύψουν 8x πρέπει στο 4x να προσθέσουμε 4x β) Γιατί για να προκύψουν x πρέπει στο x να αφαιρέσουμε x Γιατί για να προκύψουν 5x πρέπει προσθέσουμε 5x. Γιατί για να προκύψουν 9 πρέπει στο 8 να προσθέσουμε 1 ή (-1) ΑΣΚΗΣΗ 8 Να συμπληρώσετε το παρακάτω τετράγωνο ώστε να είναι μαγικό. (Τα τρία πολυώνυμα οριζοντίως, καθέτως και διαγωνίως έχουν το ίδιο άθροισμα) x + x 7x + x 4 9x x + 4x + 4x 5

ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 57 x + x 7x + x 4 6x x + 1 9x x + 5x + x x + 5x 6 4x + 4x 5 x x 8x 1 Γιατί το άθροισμα οριζοντίως, καθέτως και διαγωνίως πρέπει να είναι: x + x + 9x x + + 4x + 4x 5 = 15x + x 6 Οπότε στην πρώτη γραμμή λείπει το: 15x + x 6 x + x 7x + x 4 = ( ) ( ) = 15x + x 6 x x + 7x x + 4 = 6x Επίσης στην δεύτερη διαγώνιο λείπει το: 15x + x 6 4x + 4x 5 6x x + 1 = ( ) ( ) = 15x + x 6 4x 4x + 5 6x + x 1 = 5x Στη δεύτερη στήλη λείπει το: 15x + x 6 5x + x 7x + x 4 = ( ) ( ) = 15x + x 6 5x x + 7x Στη δεύτερη γραμμή λείπει το: 15x + x 6 5x + x 9x x + 4 = x ( ) ( x + ) = 15x + x 6 5x x + 9x + x = x Και τέλος στην τρίτη γραμμή λείπει το: 15x + x 6 x x 4x + 4x 5 = = 15x + x 6 x ( ) ( ) + x 4x = 4x + 5 = 8x x + 1 + x x + 5x 6 + 5x 1 ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν P(x) = ( 5x + 4x ) (x x + 1) + (x + x) και Q(x) = αx + βx + γ, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, ώστε τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) να είναι ίσα. Είναι P(x) = ( 5x + 4x ) (x x + 1) + (x + x) = 5x + 4x x + x 1+ x + x = x + 7x 4. Πρέπει τα δύο πολυώνυμα να έχουν τους συντελεστές των ομοιοβάθμων όρων ίσους, άρα α =, β = +7 και γ = 4.

58 ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 10 Ένας ποδηλάτης ξεκινάει από το σημείο Α και σε χρόνο t sec κατεβαίνει το δρόμο ΑΒ με επιτάχυνση α = m/sec. Όταν φτάσει στο σημείο Β συνεχίζει, να κινείται στο δρόμο ΒΓ για 10 sec με σταθερή ταχύτητα.να βρείτε την παράσταση που εκφράζει την απόσταση που διήνυσε ο ποδηλάτης.ποια απόσταση διήνυσε ποδηλάτης, αν t = 5 sec; Η ταχύτητα του ποδηλάτη στο σημείο Β είναι v=(m/sec )t. Επομένως η α- πόσταση που διήνυσε ο ποδηλάτης είναι : S(t) = 1 αt + v(10sec ) = = 1 (m/sec )t + (m/sec )t(10sec ) = =(1m/sec )t + (0m/sec)t Αν t = 5sec τότε η απόσταση που διήνυσε ο ποδηλάτης είναι S(5) = (1m/sec ) (5sec) + +(0m/sec)(5sec) = (1m/sec ) (5sec ) + 100m =5m + 100m =15m. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Να αποδείξετε ότι, αν από το εμβαδόν x +5x+1 ενός ορθογωνίου αφαιρέσουμε τα εμβαδά x +x+4, x +4x+1 δύο άλλων ορθογωνίων θα βρούμε το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς 4. Πράγματι αν από το εμβαδόν x +5x+1 ενός ορθογωνίου αφαιρέσουμε τα εμβαδά x +x+4, x +4x+1 των δύο άλλων ορθογωνίων θα έχουμε: x +5x+1-( x +x+4)-( x +4x+1)= x +5x+1-x -x-4-x -4x-1=16=4, δηλαδή το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 4.. Αν P(x)=4x -x και Q(x)=6x +9x να αποδείξετε ότι: P(x)-Q(-x)=0. Είναι P(x)-Q(-x)= =4(x) -(x)-[6(-x) +9(-x)]= =4.9x -9x-(6x -9x)= =6x -9x-6x +9x=0 Στα πολυώνυμα στην θέση του x θέτουμε x και x αντίστοιχα. Κάνουμε τις πράξεις. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.