Ο Πειραματισμός ως Συνιστώσα της Επιτυχούς Επίλυσης Προβλήματος

Ο Πειραματισμός ως Συνιστώσα της Επιτυχούς Επίλυσης Προβλήματος Ιατρίδου Μαρία 1, Παπαδόπουλος Ιωάννης 2 1 Δρ Παιδαγωγικού Τμήμ. Ιωαννίνων 2 Δρ Τμήμ. Μαθηματικών Πατρών Περίληψη Στην εργασία αυτή δυο μαθητές της Α Λυκείου που έχουν μια συσσωρευμένη εμπειρία στην επίλυση προβλήματος αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της εύρεσης του τύπου του Pick για τον υπολογισμό του εμβαδού οποιουδήποτε πλεγματικού πολυγώνου. Έμφαση στην εργασία αυτή δίνεται στο να αναδειχθεί το γεγονός ότι στα πλαίσια της επίλυσης προβλήματος υπάρχει διαθέσιμος χώρος ώστε οι μαθητές να αναπτύξουν συγκεκριμένες τεχνικές πειραματισμού που οδηγούν στη σωστή λύση του προβλήματος ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ: Πειραματισμός, επίλυση προβλήματος, θεώρημα Pick 1. Εισαγωγή Η εργασία αυτή έχει ως κύριο σκοπό της να αναδείξει τον πειραματισμό ως μια ουσιαστική συνιστώσα της επιτυχούς επίλυσης προβλήματος που συνήθως παραμένει κρυμμένη. Τα Μαθηματικά πάντα ήταν μια πειραματική επιστήμη. Ο σύγχρονος τρόπος παρουσίασης των μαθηματικών μέσα από το σύστημα «ορισμόςθεώρημα-απόδειξη-..» (επιρροή κυρίως των Burbaki), αφήνει στην αφάνεια τον πειραματισμό. Όμως είναι ενδιαφέρον ότι οι περισσότερες σύγχρονες θεωρίες της ψυχολογίας της μάθησης μιλούν για τον πειραματισμό ως έναν παράγοντα που διαδραματίζει σημαίνοντα ρόλο στη μάθηση (Freudenthal, 1979). Ήδη από το 1954 ο Polya στο βιβλίο του Plausible Reasoning έδωσε έμφαση στη σπουδαιότητα του πειραματισμού για την ανακάλυψη των μαθηματικών. Το κατέστησε σαφές λέγοντας ήδη από τον πρόλογο του βιβλίου του ότι «...Πρέπει να συνδυάσεις παρατηρήσεις και να ακολουθήσεις αναλογίες, πρέπει να δοκιμάσεις ξανά και ξανά..» (σ. iv). Σύμφωνα με τον de Villiers (2003) ο πειραματισμός εμπλέκεται όταν: (i) μαθηματικές εικασίες και/ή διατυπώσεις αξιολογούνται αριθμητικά ή εξεικονιστικά μέσα από ειδικές περιπτώσεις, γεωμετρικές κατασκευές και μετρήσεις, (ii) επιτυγχάνονται εικασίες, γενικεύσεις ή συμπεράσματα που βασίζονται πάνω στη διαίσθηση, την αναλογία ή την εμπειρία μέσω οποιασδήποτε από τις προηγούμενες μεθόδους. Ως συνέπεια οι λύτες παράγουν «αληθοφανείς κατασκευές» που πιθανόν να οδηγήσουν στη λύση. Αυτές οι κατασκευές ελέγχονται μέσα από την εφαρμογή τους. Έτσι, μια κατασκευή είναι ορθή εάν και μόνο εκτελώντας την παρέχει Μαθηματική Εκπαίδευση και Οικογενειακές Πρακτικές ΕΝΕΔΙΜ, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, 2009

320 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ τα επιθυμητά αποτελέσματα (Schoenfeld, 1985, σ. 161). Πράγματι με τον πειραματισμό μπορεί κανείς να πεισθεί σε πολύ μεγάλο ποσοστό ακόμη και αν απουσιάζει η αυστηρή απόδειξη (όπως για παράδειγμα η περίπτωση της αναπόδεικτης Υπόθεσης Riemann σε επίπεδο αριθμητικών ενδείξεων, Davis & Hersh, 1983). Ο Kutzler (2000) περιγράφει τη φάση του πειραματισμού ως μια σειρά από συγκεκριμένα βήματα. Πρώτα, παραγωγή παραδειγμάτων μέσω γνωστών αλγορίθμων. Μετά μέσα από τα παραδείγματα παρατηρούνται ιδιότητες. Τέλος οι ιδιότητες αυτές εκφράζονται ως εικασία. Αυτή η φάση του πειραματισμού είναι μια από τις τρεις φάσεις όπως αυτές παρουσιάζονται σε σπειροειδές σχήμα από τον Bruchberger (1996) με το οποίο σχήμα περιγράφει την πορεία της ανακάλυψης της μαθηματικής γνώσης. Οι υπόλοιπες δυο φάσεις είναι της ακριβούς περιγραφής (Exactification) και της εφαρμογής (Application). Όμως παρά το ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί «ξοδεύουν αρκετό από το χρόνο τους σκεπτόμενοι πως να αναλύσουν συγκεκριμένα παραδείγματα» που «θέτουν τα θεμέλια για μια ανάπτυξη θεωρίας στο μέλλον και δίνουν μια βαθύτερη κατανόηση της ήδη υπάρχουσας» (Epstein & Levy, 1995), είναι ενδιαφέρον ότι αυτή η όψη της μαθηματικής ανακάλυψης δεν συναντάται στο μεγαλύτερο μέρος της υπάρχουσας βιβλιογραφίας. Και το οφείλουμε στην εμφάνιση των υπολογιστών το ότι πρόσφατα αρχίζει και αναπτύσσεται ένα ενδιαφέρον για τον πειραματισμό. Τα υπολογιστικά περιβάλλοντα παρέχουν μια πληθώρα ευκαιριών για πειραματισμό και διατύπωση εικασιών λόγω του ότι σε αυτά ο χρήστης λαμβάνει μια άμεση ανατροφοδότηση των ενεργειών του (de Villiers, 2003; Knuth, 2002; Epstein & Levy, 1995). Έτσι, επιδίωξη της εργασίας αυτής είναι να φανεί ότι στα πλαίσια της επίλυσης προβλήματος υπάρχει χώρος για πειραματισμό. Πιο συγκεκριμένα: Μπορούν μαθητές με εμπειρία στην επίλυση προβλήματος να αναπτύξουν ευρετικές ή τεχνικές πειραματισμού; Διευκολύνει ο πειραματισμός την πορεία προς τη σωστή λύση; Στην επόμενη ενότητα θα περιγράψουμε το υπόβαθρο των μαθητών και το όλο στήσιμο της έρευνας. Κατόπιν θα ακολουθήσουν τα αποτελέσματα και ο σχολιασμός τους. Η εργασία κλείνει με κάποια συμπεράσματα και προτάσεις για περαιτέρω έρευνα. 2. Υπόβαθρο μαθητών και περιγραφή της έρευνας Στην μελέτη περίπτωσης συμμετέχουν δυο μαθητές της Α Λυκείου (Νίκος και Κατερίνα). Σε αυτήν την τάξη οι μαθητές ξεκινούν να ασχολούνται με την τυπική α- πόδειξη με την έννοια ότι παρουσιάζεται σε αυτούς η εκφώνηση του θεωρήματος και ακολουθεί η απόδειξη. Αυτός ο τρόπος προσέγγισης δεν επιτρέπει στους μαθητές να πειραματιστούν με την υπό μελέτη έννοια που υπάρχει πίσω από το θεώρημα. Έτσι χάνουν ένα σημαντικό κομμάτι της όλης διαδικασίας που επιτρέπει σε κάποιον πρώτα να πεισθεί σχετικά με την ενδεχόμενη αλήθεια μιας πρότασης πριν προχωρήσει στην αυστηρή της απόδειξη. Πιστεύουμε ότι το πλαίσιο της επίλυσης προβλήματος θα μπορούσε να επιτρέψει την ανάπτυξη τέτοιων πρώιμων προσπαθειών προς την κατεύθυνση της διατύπωσης ενός θεωρήματος μέσω του πειραματισμού. Έτσι, ήταν σημαντικό το ότι οι δυο μαθητές είχαν συσσωρευμένη εμπειρία

Ιατρίδου Μαρία, Παπαδόπουλος Ιωάννης 321 στην επίλυση προβλήματος. Κατά τη διάρκεια των δυο τελευταίων τάξεων του Δημοτικού και της πρώτης του Γυμνασίου συμμετείχαν σε ένα ερευνητικό εγχείρημα που υλοποίησαν οι Mamona-Downs και Papadopoulos (2006) που είχε δυο φάσεις. Η πρώτη αποσκοπούσε στο να ερευνήσει και να ενισχύσει την κατανόηση της έννοιας του εμβαδού από τους μαθητές με έμφαση στις τεχνικές επίλυσης προβλήματος για τον υπολογισμό του εμβαδού μη κανονικών σχημάτων. Κάποιες τεχνικές που θα μπορούσαμε να αναφέρουμε είναι η χρήση του πλέγματος, ο χωρισμός ενός σχήματος σε υποσχήματα, η χρήση μονάδων και υπομονάδων, η αποκοπή-και-επικόλληση και η χρήση εργαλείων μέτρησης μήκους βασισμένων στις τελείες του παρεχόμενου στην άσκηση πλέγματος. Στη δεύτερη φάση, δεδομένου ότι οι μαθητές ήδη κατείχαν το απαιτούμενο εννοιακό υπόβαθρο, έμφαση δόθηκε στο χειρισμό αυτών καθεαυτών των τεχνικών. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι μαθητές ήταν σε θέση: α) να αλλάζουν το περιβάλλον του προβλήματος προκειμένου να επιτρέψουν την υλοποίηση μιας εφαρμογής, β) να τροποποιούν τεχνικές, γ) να παράγουν νέες τεχνικές και δ) να συνδυάζουν επί το αυτό δυο γνωστές τεχνικές. Λαμβάνοντας υπόψιν την εμπειρία αυτή προκαλέσαμε τους μαθητές να ανακαλύψουν το Θεώρημα του Pick. Πιο συγκεκριμένα τους ζητήθηκε να ανακαλύψουν τον τύπο του Pick που επιτρέπει τον υπολογισμό του εμβαδού ενός πλεγματικού πολυγώνου όπως θα εξηγήσουμε στη συνέχεια. Η ιδέα ήταν αντί να παρουσιαστεί ο τύπος ως ένα θεώρημα που συνοδεύεται από την απόδειξή του (όπως συμβαίνει στα σχολικά τους εγχειρίδια) να παρουσιάσουμε το θεώρημα ως ένα πρόβλημα που ζητά την εύρεση του απαραίτητου τύπου. Η εκφώνηση του προβλήματος που δόθηκε στους μαθητές ήταν ως εξής: Τα σημεία τομής των γραμμών ενός τετραγωνικού πλέγματος καλούνται πλεγματικά σημεία. Ένα πολύγωνο που έχει ως κορυφές του πλεγματικά σημεία καλείται πλεγματικό πολύγωνο. Το 1899 ο γνωστός μαθηματικός George Pick (1859-1942) απέδειξε ότι υπάρχει ένας τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού οποιουδήποτε πλεγματικού πολυγώνου. Ο τύπος αυτός περιλαμβάνει το πλήθος των πλεγματικών σημείων που βρίσκονται στην περίμετρο του σχήματος όπως επίσης και το πλήθος των πλεγματικών σημείων στο εσωτερικό του. Προσπάθησε να βρεις τον τύπο αυτό. Πράγματι, σύμφωνα με το Θεώρημα του Pick, αν Ρ είναι ένα πλεγματικό πολύγωνο, Β το πλήθος των πλεγματικών σημείων στην περίμετρό του και Ι το πλήθος των σημείων αυτών στο εσωτερικό του, τότε ο τύπος για το εμβαδόν του Α(Ρ) είναι: Α(Ρ)=Ι+Β/2-1. Ο λόγος που επιλέξαμε το συγκεκριμένο πρόβλημα ήταν διπλός. Πρώτον, η διαπραγματευόμενη έννοια είναι το εμβαδόν και έτσι υπάρχει άμεση σύνδεση με την προηγηθείσα εμπειρία των μαθητών πάνω στην επίλυση προβλήματος σε σχέση με τη συγκεκριμένη έννοια. Δεύτερον, το πρόβλημα προσφέρεται για πειραματισμό αφού κανείς μπορεί να παραγάγει και να ελέγξει πλήθος παραδειγμάτων προκειμένου να φτάσει στον τύπο. Οι μαθητές εργάστηκαν ατομικά για μια ώρα ο καθένας χωρίς παρεμβάσεις από τη μεριά των ερευνητών. Τους ζητήθη-

322 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ κε να σκέφτονται μεγαλοφώνως καθόλη τη διάρκεια της προσπάθειάς τους (Thinking Aloud Protocol). Η ανάλυση πρωτοκόλλου στις περιπτώσεις μη-παρεμβατικών συνεδριών επίλυσης προβλήματος θεωρείται ως ιδιαίτερα πρόσφορη για τον εντοπισμό της παρουσίας ή απουσίας εκτελεστικού ελέγχου και λήψης αποφάσεων (executive control and decision making) στην επίλυση προβλήματος και καταδεικνύει τις συνέπειες των αποφάσεων αυτών (Schoenfeld, 1992). Όσα λέχθηκαν από τους μαθητές καταγράφηκαν σε ηχητικό αρχείο που μεταγράφηκε στη συνέχεια σε κείμενο για τις ανάγκες της έρευνας. 3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3.1 Η προσπάθεια της Κατερίνας για την εύρεση του τύπου του Pick Η Κατερίνα αρχικά κατανάλωσε κάποιο χρόνο προκειμένου να εξοικειωθεί με το πρόβλημα και να σιγουρευτεί ότι κατάλαβε καλά τι είναι τα πλεγματικά πολύγωνα. Έτσι ξεκίνησε σχεδιάζοντας μια σειρά από πολύγωνα. Προσδιορίζοντας κάθε φορά το πλήθος των πλεγματικών σημείων στην περίμετρο και στο εσωτερικό τους γρήγορα απέρριψε τα μεγάλα σχήματα λόγω της πολυπλοκότητας των απαιτούμενων υπολογισμών: Κ.2.35. Σε αυτά τα σχήματα υπάρχουν τόσο μεγάλοι αριθμοί που δεν είναι εύκολο να κάνω τους απαραίτητους υπολογισμούς. Δοκίμασε να βρει κάποια σχέση ανάμεσα στο πλήθος των εσωτερικών (I) και περιμετρικών (Β) σημείων εκτελώντας διάφορες πράξεις όπως Β/Ι ή Β/2+Ι. Είναι αλήθεια ότι στη δεύτερη περίπτωση σχεδόν εντόπισε το σωστό τύπο όμως αυτό ήταν προϊόν τυχαίας διαδικασίας και γι αυτό δεν έτυχε της δέουσας προσοχής. Έ- τσι, αποφάσισε να οργανώσει τα δεδομένα της σε πίνακα δοκιμάζοντας να ελέγξει την εγκυρότητα της πρώτης της εικασίας: Ο λόγος (εμβαδόν σχήματος)/(αριθμός περιμετρικών σημείων) είναι σταθερός. Δουλεύοντας όμως με δυο πολύγωνα εμβαδού 9 και 4,5 βρήκε το πλήθος των πλεγματικών τους σημείων 12 και 9 αντίστοιχα γεγονός που την οδήγησε στο να απορρίψει την εικασία της. Βλέποντας ότι είναι δύσκολο να φτάσει σε κάποιο αποτέλεσμα σκέφτηκε να απαλείψει μια από τις συνιστώσες του ζητούμενου τύπου. Έτσι αποφάσισε να εργαστεί με πολύγωνα που θα είχαν το ίδιο πλήθος εσωτερικών σημείων. Αρχικά εξέτασε πολύγωνα χωρίς καθόλου εσωτερικά σημεία. Ξεκίνησε με ένα ορθογώνιο εμβαδού 2 (Εικ. 1). Εικόνα 1: Πολύγωνα με μηδέν εσωτερικά σημεία Συνέχισε αυξάνοντας το μήκος του ορθογωνίου ώστε να αυξάνεται συνεπακόλουθα και το εμβαδόν του, αλλά να εξακολουθεί να μην έχει εσωτερικά σημεία. Κάθε

Ιατρίδου Μαρία, Παπαδόπουλος Ιωάννης 323 φορά που σχεδίαζε ένα πολύγωνο έκανε και τους απαραίτητους υπολογισμούς οργανώνοντας έναν πίνακα (Πϊνακας 1) Πίνακας 1: Δεδομένα για πολύγωνα χωρίς εσωτερικά σημεία Εμβαδόν 2 4 10 12 Περιμετρικά 6 10 22 26 Εσωτερικά 0 0 0 0 Βλέποντας τους αριθμούς στον πίνακα, αυτό που πρώτα παρατήρησε ήταν ότι αυξανομένου του πλήθους των περιμετρικών σημείων αυξανόταν και το εμβαδόν. Γρήγορα βρήκε ότι: Κ.2.114 Όταν το πλήθος των εσωτερικών σημείων είναι μηδέν τότε το εμβαδόν του πολυγώνου μπορεί να βρεθεί με τον τύπο Εμβαδόν = (Β/2)-1 Το επόμενό της βήμα ήταν να αυξήσει το πλήθος των εσωτερικών σημείων από μηδέν σε ένα. Ξεκίνησε με ένα τετράγωνο εμβαδού 4, με 8 περιμετρικά σημεία και 1 εσωτερικό. Εφάρμοσε τα προηγούμενά της ευρήματα: Κ.2.116 Εμβαδόν 4, περιμετρικά 8, εσωτερικά 1. Κ.2.117 Οπότε, περιμετρικά δια 2 ίσον 4, μείον 1 ίσον 3. Κ.2.118 Άρα, για να βρω 4 για το εμβαδόν πρέπει στα προηγούμενα να προσθέσω 1. Το αποτέλεσμα είναι η δεύτερή της εικασία: Κ.2.119 Όταν το πλήθος των εσωτερικών σημείων είναι 1, τότε ο τύπος είναι ό- μοιος με τον προηγούμενο (περιμετρικά δια 2, μείον 1) συν 1 (δηλ. ο αριθμός των εσωτερικών σημείων) Επαλήθευσε αυτό αποτέλεσμα για μια σειρά από πολύγωνα με διαφορετικό πλήθος περιμετρικών σημείων όμως πάντα με 1 εσωτερικό. Ανάλογα ευρήματα συναντούμε και σε αντίστοιχη έρευνα με φοιτητές Παιδαγωγικού που εργάστηκαν πάνω στην εύρεση του ίδιου τύπου (Koleza & Iatridou, 2004). Στο τέλος προχώρησε ένα βήμα παραπέρα: Κ.2.120 Πρέπει να εφαρμόσω τα ίδια για άλλα πολύγωνα με διαφορετικό πλήθος εσωτερικών σημείων. Πράγματι επαλήθευσε την εγκυρότητα του τύπου της για πολύγωνα με περισσότερα του ενός εσωτερικά σημεία. Το συμπέρασμά της: Κ.2.131 Λοιπόν, σε κάθε περίπτωση ο τύπος είναι: πλήθος περιμετρικών σημείων δια 2, μείον 1, συν τα εσωτερικά σημεία και βρίσκω το εμβαδόν.

324 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ 3.2 Η προσπάθεια του Νίκου για την εύρεση του τύπου του Pick Η πρώτη επιλογή του Νίκου ήταν να ξεκινήσει με μια σειρά από τετράγωνα. Ξεκίνησε με ένα τετράγωνο πλευράς 1 και συνέχισε αυξάνοντας προοδευτικά το μήκος της πλευράς κατά μια μονάδα κάθε φορά (Εικ. 2). Εξέτασε σχολαστικά κάθε νέο τετράγωνο και μετέφερε τις απαιτούμενες μετρήσεις σε έναν πίνακα. Παρατηρώντας τα νούμερα του πίνακα συμπέρανε ότι η μεταβολή στο πλήθος των περιμετρικών σημείων δεν συνεπάγεται απαραίτητα αλλαγή στο πλήθος των εσωτερικών. Εικόνα 2: Προσπάθεια του Νίκου με χρήση τετραγώνων Η δεύτερη επιλογή του ήταν να βρει το πολύγωνο με τον ελάχιστο αριθμό σημείων. Βρήκε ότι αυτή η συνθήκη ικανοποιείται με ένα πολύγωνο που έχει τρία περιμετρικά και κανένα εσωτερικό σημεία (βλέπε πρώτο τρίγωνο, Εικ. 3). Στη συνέχεια άρχισε να σχεδιάζει τρίγωνα με διαδοχικά αυξανόμενο αριθμό εσωτερικών σημείων διατηρώντας τον ίδιο αριθμό περιμετρικών σημείων. Η εμπειρία του στην επίλυση προβλημάτων σχετικών με εμβαδόν τον βοήθησε να υπολογίζει το εμβαδόν αυτών των τριγώνων με την εξής τεχνική: Για κάθε τρίγωνο σχεδίαζε το αντίστοιχο περιγεγραμμένο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και στη συνέχεια αφαιρούσε από το εμβαδόν του ορθογωνίου τα εμβαδά των τριγώνων που ήταν εξωτερικά του αρχικού.

Ιατρίδου Μαρία, Παπαδόπουλος Ιωάννης 325 Εικόνα 3: Χρήση τριγώνων με αυξανόμενο πλήθος εσωτερικών σημείων Οργάνωσε τα δεδομένα του σε έναν πίνακα (εικ.2, δεξιά) και προσπάθησε να διακρίνει κάποιο μοτίβο σε αυτά: Ν.2.91 Υπάρχει ένας σταθερός ρυθμός στα νούμερα που προκύπτουν. Ν.2.95 Κάθε φορά που τα εσωτερικά σημεία αυξάνονται κατά ένα, το εμβαδόν του τριγώνου επίσης αυξάνεται κατά μια μονάδα. Η επόμενη επιλογή του ήταν να επαληθεύσει την εγκυρότητα των προηγούμενων ευρημάτων του ασχολούμενος τώρα με τετράπλευρα. Συμπλήρωσε έναν πίνακα (χωρίς να σχεδιάσει κανένα τετράπλευρο). Προέβλεψε το εμβαδόν του τετραπλεύρου στην περίπτωση που υπάρχουν 4 (ή 5) περιμετρικά σημεία ενώ τα εσωτερικά αυξάνονται σταδιακά, ξεκινώντας με μηδέν και φτάνοντας μέχρι 4. Αυτό τον βοήθησε να αντιληφθεί ότι στον ζητούμενο τύπο το πλήθος των εσωτερικών σημείων πάντοτε προστίθεται. Εξήγησε για παράδειγμα ότι: «στην περίπτωση (3, 0) (Εικ. 3) το εμβαδόν είναι 0,5 ενώ στην περίπτωση (3, 3) είναι 3,5. Αν αφαιρέσω τα δυο εμβαδά βρίσκω 3, που είναι το πλήθος των εσωτερικών σημείων στο δεύτερο σχήμα». Αυτό επαληθεύτηκε πολλές φορές και για μια ποικιλία από πολύγωνα. Αυτό που έμενε ήταν να βρεθεί η συμβολή των περιμετρικών σημείων στον τύπο. Για το λόγο αυτό αφαίρεσε το πλήθος των εσωτερικών σημείων από το εμβαδόν. Η πρόθεσή του ήταν να μαντέψει πως η διαφορά αυτή συνδέεται με το πλήθος των περιμετρικών σημείων. Έκανε μια παρατήρηση που αρχικά φαίνεται αυθαίρετη. Ξεκι-

326 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ νώντας από το πρώτο του τρίγωνο (περιμετρικά:3, εσωτερικά:0, εμβαδόν:0,5) εξήγησε: Ν.2.170 Το τρίγωνο ορίζεται από δυο συγγραμμικά σημεία και ένα ακόμη σημείο. Ν.2.171 Το τετράγωνο (περιμετρικά:4, εσωτερικά:0, εμβαδόν:1) ορίζεται από δυο συγγραμμικά σημεία και ακόμη δύο σημεία. Ν.2.173 Για το τρίγωνο, βρίσκω 0,5 (δηλ. το εμβαδόν) αν διαιρέσω το ένα με το δύο. Ν.2.174 Για το τετράγωνο βρίσκω 1 (δηλ. το εμβαδόν) αν διαιρέσω το δύο με το δύο. Ν.2.182 Επομένως, ο τύπος είναι, Εμβαδόν=(Β-2)/2+Ι (ουσιαστικά ο τύπος του Pick) Μετά από αυτό ο Νίκος εφάρμοσε τον τύπο του σε μη κανονικά πολύγωνα (Εικ. 4) επαληθεύοντας την γενικότερη εγκυρότητά του. Εικόνα 4: Έλεγχος εγκυρότητας τύπου για μη κανονικά πολύγωνα Στο τέλος ακολούθησε μια αναδρομική θεώρηση της όλης του πορείας στην επίλυση του προβλήματος. Αξιολόγησε την πορεία του και έδωσε έμφαση στη σπουδαιότητα των αποφάσεών του: α) να εργαστεί ανεξάρτητα με τα περιμετρικά και τα εσωτερικά σημεία, β) να συγκεντρώσει και να οργανώσει τα δεδομένα σε πίνακες, γ) να ψάξει να βρει μοτίβα στα παραγόμενα νούμερα. 4. Σχολιασμός Αποτελεσμάτων Οι ευρετικές αποτελούν γενικές υποδείξεις που βοηθούν κάποιον να καταλάβει καλύτερα ένα πρόβλημα ή να σημειώσει πρόοδο στη λύση του προβλήματος (Scoenfeld, 1985). Οι τεχνικές σχετίζονται με συγκεκριμένες δομικές αναφορές και ως τέτοιες διαφέρουν από τις ευρετικές που τείνουν να δρουν ως γενικές υποδείξεις (Mamona-Downs, 2002). Συνεπώς, κανείς θα μπορούσε να θεωρήσει την κεντρική ιδέα πειραματισμού των μαθητών μας ως μια ευρετική στρατηγική. Η γενι-

Ιατρίδου Μαρία, Παπαδόπουλος Ιωάννης 327 κή αυτή ιδέα πειραματισμού θα μπορούσε να περιγραφεί ως: Προσδιόρισε τα δομικά στοιχεία του προβλήματος. Μετά διατήρησε όλα πλην ενός σταθερά και πειραματίσου με αυτό μεταβάλλοντάς το ποικιλοτρόπως προκειμένου να προσδιορίσεις το ρόλο που μπορεί να παίξει στη λύση του προβλήματος. Κατόπιν διατήρησε το στοιχείο αυτό σταθερό και πειραματίσου με κάποιο άλλο και συνέχισε έτσι μέχρι να ξεκαθαριστεί ο ρόλος καθενός από αυτά στη λύση του προβλήματος. Οι δυο μαθητές κάτω από αυτή τη γενική ιδέα ανέπτυξαν διαφορετικές τεχνικές πειραματισμού. Η Κατερίνα αποφάσισε να αγνοήσει προσωρινά το πλήθος των εσωτερικών σημείων προκειμένου να προσδιορίσει πως τα περιμετρικά εμπλέκονται στον τύπο. Μετά άρχισε να αυξάνει κατά ένα το πλήθος των εσωτερικών. Εξετάζοντας τα δεδομένα που συγκέντρωσε κατάφερε να φτάσει στο σωστό τύπο. Ο Νίκος πρώτα όρισε αυτό που αποκαλεί «το απλούστερο σχήμα», ένα τρίγωνο δηλαδή με τρία περιμετρικά σημεία (οι κορυφές του) και καθόλου εσωτερικά. Αυτό από μόνο του αποτελεί μια σημαντική μαθηματική ενέργεια που δείχνει βαθιά επίγνωση των δομικών στοιχείων του προβλήματος. Βάσισε τη στρατηγική του στον προσδιορισμό του «απλούστερου σχήματος» που στην ουσία αποτελεί το βασικό σχήμα με το ελάχιστο πλήθος περιμετρικών και εσωτερικών σημείων. Στη συνέχεια διατήρησε σταθερό το πλήθος των περιμετρικών σημείων και αύξησε προοδευτικά τα εσωτερικά ανακαλύπτοντας το ρόλο που παίζουν στον ζητούμενο τύπο. Τέλος με όμοιο τρόπο εντόπισε το ρόλο των περιμετρικών σημείων. Σύμφωνα με την παλιότερη εμπειρία τους στην επίλυση προβλήματος και οι δυο μαθητές επέδειξαν ένα μεγάλο εύρος από σχετικές με αυτήν ενέργειες. Εφάρμοσαν συγκεκριμένες τεχνικές για τον υπολογισμό του εμβαδού μη κανονικών πολυγώνων. Αναφέρουμε για παράδειγμα την ανάλυση ενός σχήματος σε υποσχήματα ή τη χάραξη ενός ορθογωνίου περιγεγραμμένου στο πολύγωνο. Επίσης επαλήθευσαν συστηματικά τα ευρήματά τους. Έλεγξαν την εγκυρότητα των επιμέρους ευρημάτων τους εφαρμόζοντάς τα σε πολύγωνα με περισσότερα είτε περιμετρικά είτε εσωτερικά σημεία. Αισθάνθηκαν την ανάγκη να δουν αναδρομικά την όλη τους εργασία αξιολογώντας τη σημαντικότητα των αποφάσεών τους. Τέλος και οι δυο κατάφεραν να φτάσουν στον τύπο του Pick. 5. Συμπεράσματα Ο τρόπος που συνήθως διδάσκονται τα θεωρήματα είναι ο ακόλουθος: Παρουσιάζεται η εκφώνηση και ακολουθεί η αυστηρή απόδειξη. Προφανώς μια τέτοια προσέγγιση δεν αφήνει περιθώρια για πειραματισμό. Αντ αυτού παραλείψαμε τον τύπο από το θεώρημα και έτσι αυτό παρουσιάστηκε στους δυο μαθητές σαν ένα πρόβλημα που έπρεπε να λυθεί. Πράγμα που σημαίνει ότι πριν προχωρήσει κανείς στην απόδειξη πρέπει να προσδιορίσει τον τύπο. Αυτό επιτρέπει στους μαθητές να πειραματιστούν και έτσι μέσα από τον πειραματισμό να διατυπώσουν εικασίες και να τις ελέγξουν. Αφού πεισθούν για την εγκυρότητα της εικασίας τους τότε η προφανής ερώτηση «γιατί αυτό που παρατηρώ είναι αληθές;» μπορεί να οδηγήσει στην αυστηρή απόδειξη. Τα δεδομένα μας παρείχαν ενδείξεις ότι είναι πιθανόν για

328 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ το λύτη να πειραματιστεί πάνω στη βάση κάποιων γενικών στρατηγικών που θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως ευρετικές. Αν υπάρχει μια συσσωρευμένη εμπειρία πάνω στην επίλυση προβλήματος είναι δυνατόν ο λύτης να αναπτύξει συγκεκριμένες τεχνικές πειραματισμού που ενδεχόμενα θα οδηγήσουν στην ορθή λύση. Προφανώς δεν μπορούν να γίνουν γενικεύσεις αφού εργαστήκαμε με δυο μαθητές και η εργασία αυτή δεν είναι παρά μια μελέτη περίπτωσης. Όμως ο πλούτος των ευρημάτων μας δίνει μια μεγάλη υποστήριξη προς την κατεύθυνση του σχεδιασμού μιας μελλοντικής έρευνας με εστιασμό στη σημαντικότητα του πειραματισμού ως εγγενούς παράγοντα στην επιτυχή επίλυση προβλήματος. 6. Βιβλιογραφία Bruchberger, B. (1989). Why should students learn integration rules?, RISC-Linz Technical Report, Mo 89-7.0,Univ of Linz, Austria. Davis, P. & Hersh, R. (1981). The Mathematical Experience, Boston, Birkhauser. De Villiers, M. (2003). The value of experimentation in Mathematics. In S. Jaffer & L. Burgess ( Eds.), Proc. 9 th Conf. of AMESA (pp. 174-185). Cape Town. Epstein, D. & Levy, S. (1995). Experimentation and proof in mathematics, Notices f the AMS, 42(6), 670-674. Freudenthal, H. (1979). Mathematik als padägogische Aufgabe. Klett Stüdienbucher. Knuth, E. (2002). Teachers conceptions of proof in the context of secondary school mathematics, Journal of Mathematics Teacher Education, 5, 61-88. Koleza, E. & Iatridou, M. (2004). Experimentation, the hidden part of problem solving. Paper presented in ICME-10, Denmark. Kutzler, B. (2000). The algebraic Calculator as a Pedagogical Tool for Teaching Mathematics, The International Journal for Technology in Mathematics Education, 7(1), 5-23. Mamona-Downs, J. (2002). Accessing knowledge for problem solving. [electronic version]. In I. Vakalis, D. Hughes-Hallet, et al. (Compilers), Proceedings of the 2 nd Int. Conf. on the Teaching of Mathematics (At the undergraduate level), Crete Univ., Iraklion, Greece, New York: John Wiley Mamona-Downs, J. & Papadopoulos, I. (2006). The problem-solving element in young students work related to the concept of area. In J. Novotna et al. (Eds.), Proc.30 th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education (IV, pp. 121-128), Prague, Czech Republic. Polya, G. (1954). Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and Analogy in Mathematics, Vol. I, Princeton: Princeton University Press.

Ιατρίδου Μαρία, Παπαδόπουλος Ιωάννης 329 Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. Academic Press, Inc. Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition and sense-making in mathematics. In D. Grouws (Ed.), Handbook for Research in Mathematics Teaching and learning (pp. 334-370). New York: MacMillan