ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ. Τα Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση και η Διδασκαλία τους

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Τα Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση και η Διδασκαλία τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2013

Ιωάννης Παπαδόπουλος & Εκδόσεις Πανεπιστημίου Μακεδονίας Θεσσαλονίκη 2013 ISBN 978-960-8396-76-0 Εκδόσεις Πανεπιστημίου Μακεδονίας Εγνατία 156, 540 06 Θεσσαλονίκη Τηλ. 2310 891 741 Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο αναπαραγωγή του συνόλου ή μέρους του παρόντος, με οποιοδήποτε μέσο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό ή άλλο, χωρίς την γραπτή άδεια του συγγραφέα, συμφώνως με τον Νόμο 2121/1993 και τους κανόνες του Διεθνούς Δικαίου που ισχύουν στην Ελλάδα. Επιμέλεια παραγωγής: Εκδόσεις Πανεπιστημίου Μακεδονίας Το εικαστικό του εξωφύλλου φιλοτέχνησε η Άννα Παπαδοπούλου

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ v Εισαγωγή... ix Κεφάλαιο 1. Φυσικοί αριθμοί...1 1. 1. Μερικές ιστορικές σημειώσεις...3 1. 2. Η αξία θέσης στο δεκαδικό σύστημα...5 1. 3. Πρόσθεση και Αφαίρεση φυσικών αριθμών...8 1. 4. Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση φυσικών αριθμών...13 1. 5. Προτεραιότητα πράξεων...19 1. 6. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...21 Κεφάλαιο 2. Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών...25 2. 1. Μερικές ιστορικές σημειώσεις...27 2. 2. Παράγοντας Πολλαπλάσιο...29 2. 3. Κανόνες/Κριτήρια Διαιρετότητας...30 2. 4. Πρώτοι και Σύνθετοι Αριθμοί...32 2. 5. Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων...34 2. 6. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)...36 2. 7. Αντιπροσωπευτικές Ασκήσεις...41 Κεφάλαιο 3. Κλάσματα...43 Μέρος Α...45 3. 1. Μερικές ιστορικές σημειώσεις...45 3. 2. Η έννοια του κλάσματος...46 3. 3. Η ισότητα στα κλάσματα Ισοδύναμα κλάσματα...51 3. 4. Σύγκριση και Πυκνότητα στα κλάσματα...54 3. 5. Αντιπροσωπευτικές Ασκήσεις...57 Πράξεις στα κλάσματα...59 3. 6. Η Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων...59 3. 7. Διδακτικοί προβληματισμοί στην πρόσθεση και στην αφαίρεση κλασμάτων...62 3. 8. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...63 Μέρος Β...65 3. 9. Ο Πολλαπλασιασμός και η Διαίρεση κλασμάτων...65 3. 10. Λίγη εξάσκηση...70 3. 11. Τα κλάσματα σε εφαρμογές της καθημερινής ζωής...70 3. 12. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...74

vi ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ Κεφάλαιο 4. Δεκαδικοί αριθμοί...77 4. 1. Μερικές ιστορικές σημειώσεις...79 4. 2. Βασικά σημεία στην κατανόηση των δεκαδικών...80 4. 3. Διάταξη δεκαδικών Ισότητα Ανισότητα...83 4. 4. Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας δεκαδικούς με δυνάμεις του 10...85 4. 5. Πρόσθεση και Αφαίρεση δεκαδικών...87 4. 6. Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση δεκαδικών...90 4. 7. Μετατροπή από δεκαδικό σε κλάσμα και αντίστροφα...94 4. 8. Οι δεκαδικοί σε εφαρμογές της καθημερινής ζωής...96 4. 9. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...97 Κεφάλαιο 5. Λόγοι - Αναλογίες - Ποσοστά...101 5. 1. Μερικές ιστορικές σημειώσεις...103 5. 2. Αναλογίες...105 5. 3. Ποσοστά Η έννοια...108 5. 4. Υπολογισμοί με ποσοστά...111 5. 5. Λύνοντας προβλήματα ποσοστών...113 5. 6. Οι αναλογίες σε εφαρμογές της καθημερινής ζωής...117 5. 7. Τα ποσοστά σε εφαρμογές της καθημερινής ζωής...118 5. 8. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...119 Κεφάλαιο 6. Μεταβλητές - Εξισώσεις...123 6. 1. Μερικές ιστορικές σημειώσεις...125 6. 2. Η έννοια της μεταβλητής...126 6. 3. Εισαγωγή των μαθητών στην έννοια της μεταβλητής...128 6. 4. Μεταφράζοντας τις λέξεις σε σύμβολα και αντίστροφα...132 6. 5. Το σύμβολο της ισότητας. Σημαίνει πάντα το ίδιο;...134 6. 6. Εισαγωγή στην εξίσωση...136 6. 7. Λύνοντας εξισώσεις...139 6. 8. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...146 Κεφάλαιο 7. Έννοιες Στατιστικής...149 7. 1. Μερικές ιστορικές σημειώσεις...151 Διαχείριση δεδομένων...152 7. 2. Θέτοντας ερωτήματα...152 7. 3. Συλλέγοντας τα δεδομένα...153

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii 7. 4. Οργάνωση Ανάλυση δεδομένων...154 7. 5. Παρουσίαση των δεδομένων...158 7. 6. Μέσος Όρος Διάμεσος Επικρατούσα τιμή...165 7. 7. Παραπλανητικά γραφήματα...169 7. 8. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...173 Κεφάλαιο 8. Επίπεδα σχήματα...179 8. 1. Μερικές ιστορικές σημειώσεις...181 8. 2. Πολύγωνα...183 8. 3. Τρίγωνα...185 8. 4. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...190 8. 5. Τετράπλευρα...192 8. 6. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...197 8. 7. Κύκλος...199 8. 8. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...202 Κεφάλαιο 9. Εμβαδόν - Περίμετρος...205 9. 1. Μερικές ιστορικές σημειώσεις...207 9. 2. Λίγα λόγια για τις μονάδες μέτρησης...208 9. 3. Περίμετρος...213 9. 4. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στην περίμετρο...214 9. 5. Εμβαδόν...216 9. 6. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στα εμβαδά...222 9. 7. Ο κύκλος (μήκος κύκλου, εμβαδόν)...224 9. 8. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στον κύκλο...229 9. 9. Εμβαδόν σύνθετων σχημάτων...230 Κεφάλαιο 10. Γεωμετρία των στερεών...239 10. 1. Μερικές ιστορικές σημειώσεις...241 10. 2. Πολύεδρα...242 10. 3. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στα στερεά...249 10. 4. Εμβαδόν παράπλευρης/ολικής επιφάνειας...250 10. 5. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στο εμβαδόν επιφάνειας των στερεών...254 10. 6. Μέτρηση όγκου...255 10. 7. Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στους όγκους...262 Βιβλιογραφία...265

λευκή σελίδα

ix Εισαγωγή Πολύ συχνά τα μαθηματικά στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση αποτελούν θύμα μιας διπλής παρεξήγησης. Από τη μια, υπάρχει εκείνη η μερίδα υποψηφίων ή εν ενεργεία δασκάλων, που εκ προοιμίου δηλώνουν πως δεν έχουν καθόλου καλή σχέση με το αντικείμενο, επειδή «τα μαθηματικά είναι δύσκολα». Από την άλλη, υπάρχει εκείνη η μερίδα, που θεωρεί ότι τα μαθηματικά, ειδικά της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, δεν είναι άξια λόγου από την άποψη του επιπέδου δυσκολίας και συχνά ειρωνικά αναφέρονται σε αυτά ως τα μαθηματικά του «ένα και ένα κάνουν δύο». Το βιβλίο αυτό φιλοδοξεί να δώσει απαντήσεις και στις δυο μερίδες. Για τη μεν πρώτη, προσπαθεί να παρουσιάσει τις θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες που διαπραγματεύεται η πρωτοβάθμια εκπαίδευση με τρόπο εύληπτο και ταυτόχρονα αυστηρά μαθηματικό, στοχεύοντας στο να ανατρέψει την προκατάληψη των μαθηματικών που προορίζονται για λίγους. Για τη δεύτερη, το βιβλίο προσπαθεί να αναδείξει το γεγονός ότι η επιφανειακή γνώση ή οι παρανοήσεις που έχουν οι δάσκαλοι, πολλές φορές για συγκεκριμένες έννοιες, τους οδηγεί στο να διδάσκουν μια έννοια κατά τρόπο περιοριστικό ή λανθασμένο. Έτσι, για τις περιπτώσεις αυτές επιχειρείται μια σε βάθος προσέγγιση των κατά τα άλλα «εύκολων» εννοιών. Το υλικό για το βιβλίο αυτό προέκυψε τόσο από την εμπειρία των περίπου είκοσι ετών διδακτικής παρουσίας στην τάξη του δημοτικού σχολείου, όσο και από την σχετικά σύντομη εμπειρία διδασκαλίας σε φοιτητές του Παιδαγωγικού Τμήματος. Σημαντική θεωρώ και για το λόγο αυτό τον ευχαριστώ ιδιαιτέρως τη συμβολή του κ. Τσιπούρα Στυλιανού, σχολικού συμβούλου στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση, που δεν δίστασε εν μέσω πολλών υποχρεώσεων να εξασφαλίσει τον απαραίτητο χρόνο για να διαβάσει τα δοκίμια και να κάνει χρήσιμες υποδείξεις. Ιωάννης Παπαδόπουλος

λευκή σελίδα

1 Φυσικοί Αριθμοί

λευκή σελίδα

ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1. Μερικές ιστορικές σημειώσεις Τα γραπτά σύμβολα για τους αριθμούς πιθανόν αναπτύχθηκαν πριν τη χρήση αντίστοιχων λέξεων δεδομένου ότι ήταν πολύ ευκολότερο για τους ανθρώπους να χαράξουν εγκοπές σε μια ξύλινη ράβδο παρά να προβούν στην επινόηση μιας φράσης για να αναφερθούν σε έναν αριθμό. Τα πρώτα συστήματα αρίθμησης αναπτύχθηκαν βασισμένα στην ιδέα της απλής απαρίθμησης, όπου τα σύμβολα Ι, ΙΙ, και ΙΙΙ αντιστοιχούσαν στους αριθμούς 1, 2 και 3. Σε τέτοια συστήματα όμως οι υπολογισμοί με μεγάλους αριθμούς ήταν αργοί. Οι Αιγύπτιοι εξελίσσουν τα συστήματα αρίθμησης αφού τα ιερογλυφικά τους σύμβολα αναπαριστούν πια ομάδες αντικειμένων (με βάση το 10) και έτσι αναφέρονται με πολύ πιο εύκολο τρόπο σε μεγάλους αριθμούς. Έτσι, αν έχουμε υπόψιν μας την παρακάτω εικόνα τότε μας είναι εύκολο να αντιληφθούμε ότι ο είναι ο 2.342 και ο ο 14.026. Το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλώνιων (περίπου σύγχρονο των Αιγυπτίων) αξιοποιεί για πρώτη φορά την αξία θέσης (place value) και έτσι μειώνει σημαντικά τον απαιτούμενο αριθμό διαφορετικών συμβόλων. Το σύστημά τους (για αριθμούς μεγαλύτερους από το 59) έχει ως βάση τον αριθμό 60 και δυο σύμβολα: το για το 10, και το για το 1. Έτσι μέχρι το 59 οι αριθμοί γράφονται με επαναλαμβανόμενη χρήση των συμβόλων και και γι αυτό ο αριθμός 32 γράφεται. Η αξία θέσης παίζει ρόλο σε αριθμούς μεγαλύτερους από το 59. Τα ίδια σύμβολα έχουν διαφορετική αξία ανάλογα με τη θέση

4 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ στην οποία βρίσκονται. Συνεπώς, για να γράψω τον αριθμό 135, σκέφτομαι ότι έχει μέσα του 2 φορές τον αριθμό 60, μια φορά τον αριθμό 10 και 5 μονάδες. Επομένως θα γραφεί ως εξής: (δηλ. 2 60 [κενό] 1 10 και 5 1). Μεταξύ του 300 και 900 μ.χ., σε έναν άλλο πολιτισμό, αυτόν των Mayas, έχουμε ένα άλλο αριθμητικό σύστημα με βάση το 20 με το καινοτόμο χαρακτηριστικό ότι το σύστημα αυτό περιλαμβάνει και το μηδέν. Για τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 19 χρησιμοποιούσαν τα σύμβολα στην παρακάτω εικόνα: και η αξία θέσης λαμβάνει χώρα για μεγαλύτερους αριθμούς, οι οποίοι γράφονται κατακόρυφα στη βάση του 20. Έτσι, ο αριθμός 326 γράφεται ως: Γνωστότερο σε μας είναι το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης, που το βλέπουμε ακόμη περιστασιακά να χρησιμοποιείται και το οποίο βασίζεται στο 10 και κά-

ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 νει χρήση των παρακάτω συμβόλων: Έτσι ο αριθμός 2.342 γράφεται ως MMCCCXXXXII και ο 1996 ως ΜDCCCCLXXXXVI. To ελληνικό σύστημα βασιζόταν στη χρήση γραμμάτων και έτσι ο αριθμός 153 γραφόταν ως ρνγ, ο 780 ως ψπ και ο 306 ως τς. Το σημερινό σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιείται από το μεγαλύτερο τμήμα του σύγχρονου κόσμου είναι το ινδο-αραβικό σύστημα. 1.2. Η αξία θέσης στο δεκαδικό σύστημα Στο δικό μας ινδο-αραβικό σύστημα χρησιμοποιούμε ως βάση το 10. Αυτό σημαίνει ότι οι αριθμοί κατασκευάζονται με τη χρήση δυνάμεων του δέκα: 10=10 1, 100=10 2, 1000=10 3, κλπ. Η θέση στην οποία είναι τοποθετημένα τα ψηφία μέσα στον αριθμό είναι ενδεικτική του πλήθους τέτοιων δυνάμεων του 10. Έτσι, για παράδειγμα, και προχωρώντας από τα δεξιά προς τα αριστερά, στον 3627 το 7 αναπαριστά 7 μονάδες, το 2 αναπαριστά 2 δεκάδες, το 6 αναπαριστά 6 εκατοντάδες και το 3 τις χιλιάδες (ή ορθότερα τις μονάδες χιλιάδες). Γι αυτό και η ανάλυση του αριθμού σε δυνάμεις του 10 (αναπτυγμένη μορφή) γίνεται ως εξής: 3 1000+6 100+2 10+7= =3 10 3 + 6 10 2 + 2 10 1 + 7=3627 Ας σημειωθεί ότι κάθε μια από τις δυνάμεις του 10 είναι δέκα φορές μεγαλύτερη από την προηγούμενή της. Η 100άδα ισούται με 10 δεκάδες, η 1000άδα με 10 εκατοντάδες κ.ο.κ. Αυτό σημαίνει ότι όταν συσσωρεύονται 10 στις μονάδες μπορεί να γίνει ανταλλαγή με μια δεκάδα στην επόμενη θέση. Αυτή η δυνατότητα να ανταλλάσεις «10 από αυτά με 1 από εκείνα» καθώς μετακινείσαι από

6 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ τα αριστερά προς τα δεξιά αποτελεί ένα σημαντικό γνώρισμα του συστήματος της αξίας-θέσης και είναι ουσιαστικό στοιχείο στην κατανόηση του τρόπου με τον οποίο μετρούμε. Επισημαίνεται ότι στην αρχή αυτή στηρίζεται και η αρχή του «κρατούμενου» στους αριθμητικούς υπολογισμούς. Τη δυνατότητα να παρουσιάσουμε αποτελεσματικά και να εξηγήσουμε το πώς δουλεύει το σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούμε μας τη δίνουν δυο μοντέλα. Αυτά είναι α) το δεκαδικό πλέγμα και β) τα νομίσματα του 1 λεπτού, των 10 λεπτών και του 1 ευρώ. (α) Βασισμένοι στην παραπάνω εικόνα μπορούμε να αντιληφθούμε πως 10 από το κάθε είδος (π.χ. 10 μονάδες, 10 δεκάδες, 10 εκατοντάδες) μπορούν να ανταλλαχθούν με ένα από το επόμενο είδος. Στηριζόμενοι σε αυτό το μοντέλο εύκολα αντιλαμβανόμαστε ότι ο παρακάτω εικονιζόμενος αριθμός είναι ο 366. (β) Ανάλογα, με τη χρήση νομισμάτων μπορούμε να αντιληφθούμε τη σχέση 1 προς 10 που ισχύει μεταξύ των παρακάτω:

ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7 Ο ίδιος αριθμός λοιπόν (ο 366) με το μοντέλο αυτό θα μπορούσε να αναπαρασταθεί ως Στο σημείο αυτό θεωρούμε σκόπιμο να αναφερθούμε ειδικά στη θέση του μηδενός στο σύστημα της αξίας θέσης. Το μηδέν, ως ψηφίο λειτουργεί σε τρία επίπεδα: α) για να δείξει ότι δεν υπάρχουν στοιχεία σε μια δοσμένη θέση, β) για να δείξει την αξία των γειτονικών ψηφίων, και γ) για να δείξει ακρίβεια στη μέτρηση (Stacey, 2005) 1. Αυτή ακριβώς η χρήση του μηδενός ως ψηφίου που καταλαμβάνει αξιακή θέση (place holder) αποτελεί πηγή δυσκολιών και σύγχυσης όχι μόνο σε μαθητές (Cockburn & Parslow-Williams, 2008) 2 αλλά και σε δασκάλους (Chick & Baker, 2005) 3. Μέρος αυτής της δυσκολίας πιθανόν να οφείλεται στο ότι το μηδέν θεωρείται (και πιθανόν λανθασμένα διδάσκεται) ως «τίποτε», κάτι χωρίς αξία. 1 Stacey, K. (2005). Travelling the road to expertise: a longitudinal study of learning. In Chick, H.L. & Vincent, J. L. (Eds.). Proceedings of the 29 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, (Vol. 1, pp. 19-36). Melbourne: PME. 2 Cockburn, A., & Parslow-Williams, P. (2008). Zero: understanding an apparently paradoxical number. In A. Cockburn & G. Littler (Eds.), Mathematical Misconceptions (pp. 7-22), London: Sage Publication. 3 Chick, H., & Baker, M. (2005). Investigating teachers responses to student misconceptions. In Chick, H. L. & Vincent, J. L. (Eds.). Proceedings of the 29 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, (Vol. 2, pp. 249-256). Melbourne: PME.

8 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ Στην παραπάνω εικόνα, αν χρησιμοποιούσαμε τον αριθμό χωρίς το «περιττό» μηδέν, θα γραφόταν 23 αντί για 203. Το μηδέν επομένως καταλαμβάνει θέση στο σύστημα της αξίας θέσης για να δείξει εδώ ότι δεν υπάρχουν δεκάδες. Σκεφτείτε τον αριθμό 300. Η θέση στην οποία έχει τοποθετηθεί το 3 είναι αυτή που μας δείχνει ότι έχουμε τρεις εκατοντάδες. Τα μηδενικά είναι ακριβώς για προσδιορίσουν με ακρίβεια αυτό το γεγονός δείχνοντας ταυτόχρονα ότι δεν υπάρχουν δεκάδες ή μονάδες. Άρα, όταν βλέπουμε έναν αριθμό όπως το 300 αποφεύγουμε να σκεπτόμαστε ότι τα δυο μηδενικά στο τέλος σημαίνουν εκατό και άρα έχω τρεις εκατοντάδες. 1.3. Πρόσθεση και Αφαίρεση Φυσικών Αριθμών Στην πρόσθεση οι βασικές κατηγορίες των αποκαλούμενων ρεαλιστικών (reallife) προβλημάτων είναι δύο: Στην πρώτη κατηγορία δυο (ή περισσότερες) ποσότητες συνδυάζονται σε μια και η πρόσθεση χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της τελικής ποσότητας. Συνήθως τα δυο σύνολα είναι διακριτά μεταξύ τους. Δεν υπάρχει επικάλυψη (π.χ. έχω ένα σύνολο από 12 βόλους και ένα άλλο από 13 βόλους). Όταν τα δυο σύνολα συνδυάζονται για να δημιουργήσουν ένα (όλοι οι βόλοι μαζί) αυτό που σχηματίζουν μπορούμε να το αποκαλέσουμε ένωση των (διακριτών) συνόλων. Αυτή η όψη της πρόσθεσης έχει να κάνει κυρίως με αυτό που στα μαθηματικά ονομάζουμε πληθικό αριθμό ή πληθάριθμο, δηλαδή η ιδέα του αριθμού ως ενός συνόλου αντικειμένων. Στη δεύτερη κατηγορία μια ποσότητα (αρχική τιμή παιχνιδιού: 9 ) αυξάνεται κατά ένα ορισμένο ποσό (αύξηση: 5 ) και η πρόσθεση χρησιμοποιείται προκειμένου να βρεθεί η αυξημένη τελική τιμή (9+5=14 ). Αυτή η προσθετική δομή βρίσκεται πίσω από την ιδέα της αριθμογραμμής.

ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 Για την αφαίρεση, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι υπάρχουν τέσσερις κατηγορίες προβλημάτων. Στην πρώτη κατηγορία μια ποσότητα με κάποιο τρόπο τη χωρίζω σε δυο μέρη, απομακρύνω το ένα μέρος και η αφαίρεση απαιτείται για τον υπολογισμό αυτού που μένει (παράδειγμα: σε ένα κουτί υπάρχουν 20 καραμέλες, παίρνω τις 7 και ζητώ να υπολογίσω πόσες μένουν). Στη δεύτερη κατηγορία έχουμε μια ποσότητα η οποία ελαττώνεται κατά ένα ποσό (Παράδειγμα: η αρχική τιμή ενός προϊόντος είναι 20 και την περίοδο των εκπτώσεων μειώνεται η τιμή κατά 7. Πόσο πωλείται;). Στην τρίτη κατηγορία έχουμε προβλήματα σύγκρισης. Η αφαίρεση χρειάζεται για να κάνουμε μια σύγκριση ανάμεσα σε δυο ποσότητες (Παράδειγμα: Ο Κώστας έχει ύψος 176 εκ. και ο Γιώργος 194 εκ. Πόσα εκατοστά ψηλότερος είναι ο Γιώργος από τον Κώστα;). Τέλος, στην τέταρτη κατηγορία έχουμε προβλήματα όπου πρέπει να βρεθεί ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί σε μια δοσμένη ποσότητα για να φτάσουμε σε μια συγκεκριμένη τιμή (Παράδειγμα: για να αγοράσω ένα βιβλίο χρειάζομαι 26. Έχω μόνο 19. Πόσα ακόμη χρειάζομαι για να μπορώ να αγοράσω το βιβλίο;) Ιδιότητες της πρόσθεσης - αφαίρεσης Πριν προχωρήσουμε στις ιδιότητες γενικά των πράξεων πρέπει να ξεκαθαρίσουμε την έννοια του κλειστού συνόλου ως προς μια πράξη. Όταν προσθέτουμε π.χ. δυο φυσικούς αριθμούς ξέρουμε ότι το αποτέλεσμα είναι και πάλι ένας φυσικός. Αυτή μας η «γνώση» είναι μια παραδοχή βασισμένη στην εμπειρία μας (επαγωγική επιχειρηματολογία) όμως η εμπειρία μας έχει καταπιαστεί με ένα μικρό αριθμό περιπτώσεων σε σχέση με όλα τα πιθανά αθροίσματα φυσικών αριθμών. Οι επιστήμονες και πιο συγκεκριμένα οι μαθηματικοί είναι πολύ επιφυλακτικοί στο να κάνουν τόσο γρήγορα κάποιες παραδοχές. Στην παραδοχή ότι το άθροισμα δυο φυσικών είναι φυσικός έχει αποδοθεί η ονομασία ότι οι φυσικοί αριθμοί αποτελούν σύνολο κλειστό ως προς την πρόσθεση. Σκεφτείτε το σύνολο των φυσικών αριθμών ως ένα «κιβώτιο». Υπάρχει μια ετικέτα στο κιβώτιο που γράφει «πρόσθεση». Αν όλες οι προσθέσεις των αριθμών που βρίσκονται στο κιβώτιο δίνουν απαντήσεις που και αυτές ήδη βρίσκονται μέσα στο κιβώτιο τότε λέμε ότι το σύνολο είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση, αλλιώς το σύνολό μας δεν είναι κλειστό ως προς τη συγκεκριμένη πράξη.

10 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ 1. Οι φυσικοί αριθμοί αποτελούν σύνολο κλειστό ως προς την πρόσθεση όχι όμως ως προς την αφαίρεση Αν a, b Є N τότε και a+b Є N Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι όντως ένα σύνολο κλειστό ως προς την πράξη της πρόσθεσης. Αυτό σημαίνει πως αν επιλεγούν οποιοιδήποτε 2 φυσικοί αριθμοί το άθροισμά τους θα είναι και αυτός φυσικός. Προφανώς με βάση αυτόν τον ορισμό είναι εύκολο να δει κανείς ότι οι φυσικοί δεν αποτελούν σύνολο κλειστό ως προς την αφαίρεση, ή ότι το σύνολο των περιττών αριθμών δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση σε αντίθεση με το σύνολο των άρτιων αριθμών. 2. Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου 6 a! M ισχύει a+ 0 = 0+ a = a Το μηδέν θεωρείται το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και είναι το μοναδικό που έχει την ιδιότητα αυτή. 3. Αντιμεταθετική ιδιότητα 6 ab,! M ισχύει a+ b = b+ a Όταν έχω να προσθέσω δυο αριθμούς η σειρά με την οποία τους προσθέτω δεν έχει σημασία. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την αφαίρεση, δηλαδή το α-β δεν είναι πάντα ίσο με το β-α. 4. Προσεταιριστική ιδιότητα 6 abc,,! M ισχύει ^a+ bh+ c = a+ ^b+ ch Το αποτέλεσμα της πράξης α+β+γ δεν εξαρτάται από τη σειρά των όρων. Η ιδιότητα δεν ισχύει για την αφαίρεση.