ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ * 1 η σειρά ΑΣΚΗΣΗ 1 Ζητείται ο έλεγχος σε κάμψη μιάς δοκού ορθογωνικής διατομής 250/600 (δηλ. Πλάτους 250 mm και ύψους 600 mm) για εντατικά μεγέθη: Md = 100 KNm Nd = 12 KN Προσδιορίστε τον απαιτούμενο οπλισμό, τις παραμορφώσεις χάλυβα και σκυροδέματος και το ύψος της θλιβόμενης ζώνης. Σχεδιάστε την διατομή με τους οπλισμούς. Επιλέξτε υλικό, επικάλυψη οπλισμού, και ότι άλλο απαιτηθεί Να μην ληφθούν υπ όψη οι κατασκευαστικές διατάξεις ελαχίστων και μεγίστων ποσοστών οπλισμού. Η άσκηση να λυθεί (α) με χρήση πινάκων, (β) με χρήση εξισώσεων μόνο και (γ) με χρήση εξισώσεων ισορροπίας και παραδοχή ορθογωνικής κατανομής θλιπτικών τάσεων στην θλιβόμενη ζώνη. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δοκός ορθογωνικής διατομής πλάτους b = 250 mm και επικάλυψης οπλισμών 35 mm έχει εντατικά μεγέθη σχεδιασμού Md = 250 KNm Nd = + 15 KN Προσδιορίστε αρχικά το ελάχιστο ύψος της διατομής έτσι ώστε να μην απαιτείται θλιβόμενος οπλισμός. Στην συνέχεια προσδιορίστε τον απαιτούμενο οπλισμό, τις παραμορφώσεις σκυροδέματος και οπλισμού και το ύψος της θλιβόμενης ζώνης. Επιλέξτε υλικά, κλπ. ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε μια δοκό ορθογωνικής διατομής 250/400 με εφελκυόμενο οπλισμό 4Φ16 και επικάλυψη οπλισμών 40 mm ζητείται να προσδιοριστεί η ροπή αντοχής σχεδιασμού για τις παρακάτω περιπτώσεις υλικών a) C20/25 και S220 β) C40/45 και S220 γ) C20/25 και S500 Αξιολογείστε την επίδραση της ποιότητας των υλικών στο αποτέλεσμα. * Σημείωση για όλες τις ασκήσεις - Επιλέξτε όποιο άλλο στοιχείο κρίνεται απαραίτητο για την επίλυση κάθε άσκησης - [Ο] και [Ε] είναι το πλήθος των γραμμάτων του ονόματος και του επωνύμου αντίστοιχα κάθε φοιτητή.
ΑΣΚΗΣΗ 4 Θεωρείστε ορθογωνική κατανομή θλιπτικών τάσεων καθ ύψος της διατομής και προσδιορίστε την ροπή αντοχής της διατομής της άσκησης 3 για την περίπτωση υλικών C20/25 S500. Σχολιάστε το αποτέλεσμα. ΑΣΚΗΣΗ 5 Προσδιορίστε τις οριακές ανοιγμένες τιμές χαρακτηριστική αντοχή * μ sd, lim για S400, S500 και χάλυβα με f yk = 440 MPa. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. ΑΣΚΗΣΗ 6 Με ζητούμενα τα ίδια όπως στην άσκηση 1 να θεωρηθεί δοκός 400/350 και εντατικά μεγέθη Md = 220 KNm Nd = 150 KN Για τα υλικά να θεωρηθεί ότι μετά από δοκιμές προέκυψε: f = 17 MPa ck fyk = 450 MPa ΑΣΚΗΣΗ 7 Να προσδιοριστεί ο απαιτούμενος οπλισμός (χωρίς έλεγχο ελαχίστων και μεγίστων ποσοστών) σε μια ορθογωνική διατομή 250/500 για τις παρακάτω 4 περιπτώσεις έντασης και υλικών a) M d = 115 knm C12/15 b) M d = 115 knm C16/20 c) M d = 230 knm C12/15 d) M d = 230 knm C16/20 Σχολιάστε την επίδραση της αντοχής του σκυροδέματος στον απαιτούμενο οπλισμό και αιτιολογείστε τα αποτελέσματα με βάση τις σχέσεις ισορροπίας δυνάμεων στην διατομή.
ΑΣΚΗΣΗ 8 Προσδιορίστε στον απαιτούμενο διαμήκη οπλισμό σε υποστύλωμα 300/500 με επικάλυψη οπλισμού 40 mm για τις παρακάτω περιπτώσεις έντασης. α) M dx = 120 knm M dy = 0 N d = 800 kn β) M dx = 0 M dy = 120 knm N d = 800 kn γ) M dx = 50 knm M dy = 100 knm N d = 800 kn Σχεδιάστε για κάθε περίπτωση την διατομή με τους οπλισμούς. Υπόδειξη: Εξετάσετε αρχικά την περίπτωση τοποθέτησης ασύμμετρου οπλισμού και στην συνέχεια την περίπτωση τοποθέτησης συμμετρικού οπλισμού. ΑΣΚΗΣΗ 9 Προσδιορίστε την μέγιστη και την ελάχιστη ροπή αντοχής ενός υποστυλώματος διατομής 300X500 και με οπλισμό 4Φ20 σε κάθε μία από τις μεγάλες πλευρές, όταν το αξονικό (θλιπτικό) φορτίο του κυμαίνεται από 400 έως 1000 ΚΝ. Επιλέξτε οτιδήποτε άλλο απαιτείται. Υπολογίστε τις αντοχές για φορτία α) με κατεύθυνση την μικρή πλευρά του υποστυλώματος, β) με κατεύθυνση την μεγάλη πλευρά. ΑΣΚΗΣΗ 10 Επαναλάβετε την προηγούμενη άσκηση θεωρώντας ότι η διατομή είναι ομοιόμορφα οπλισμένη περιμετρικά με 8Φ20, δηλ. με 3Φ20 ανά πλευρά. ΑΣΚΗΣΗ 11 Θέμα γραπτής εξέτασης (1989-90). Σε διατομή υποστυλώματος που φαίνεται στο σχήμα ζητείται ο προσδιορισμός της διεύθυνσης της ροπής (γωνία φ) για την οποία η διατομή παρουσιάζει: α) Την μέγιστη ροπή αντοχής M d β) Την ελάχιστη ροπή αντοχής M d Το αξονικό θλιπτικό φορτίο του υποστυλώματος είναι N d = 1070 KN Υλικά C20/25 οπλισμός 12Φ18 S400. Υπόδειξη: Μια διαδικασία υπολογισμού μπορεί να είναι με προσδιορισμό των ροπών αντοχής της διατομής για διάφορες τιμές φ (0.30 ο, 45 ο, διεύθυνση διαγωνίου, 60 ο, 90 ο,..., 360 ο ) και η σχεδίαση του διαγράμματος Μ d -φ.
ΑΣΚΗΣΗ 12 Θέμα γραπτής εξέτασης (1989-90) Στον πλαισιωτό προς δύο διευθύνσεις φορέα του σχήματος ζητείται ο έλεγχος σε κάμψη του υποστυλώματος Κ 1, για φόρτιση 1.35G+1.5Q. Δίνονται: Φορτία πλάκας: επικάλυψη 1.3 ΚΝ/m 2 Ωφέλιμο 2.0 ΚΝ/m 2 Δοκοί Δ 1, Δ 2 όμοιοι. L = 2.5 m. Υπόλοιπες διαστάσεις: όπως στο σχήμα. Επιλέγεται: Κάθε άλλο στοιχείο.
2 η σειρά ΑΣΚΗΣΗ 13 Σε μια πλακοδοκό απείρων ανοιγμάτων τυπικού ανοίγματος l = 5.0 m και διατομής Τ250/600 προσδιορίστε το συνεργαζόμενο πλάτος για την διατομή ανοίγματος και ελέγξτε την διατομή σε κάμψη με δεδομένα και ζητούμενα αυτά της άσκησης 1. Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα και αυτά της άσκησης 1 εκτιμήστε τα αποτελέσματα (χωρίς καινούργιους υπολογισμούς) για την περίπτωση αντεστραμμένης πλακοδοκού. Επιλέξτε όποιο πρόσθετο στοιχείο κρίνετε απαραίτητο. ΑΣΚΗΣΗ 14 Προσδιορίστε τις ροπές αντοχής (Μ +, Μ - ) μιας ορθογωνικής διατομής 250/500 με οπλισμό κάτω πέλματος 4Φ16, S400 και πάνω 2Φ14, S500. Επιλέξτε υλικά και οτιδήποτε άλλο απαιτείται. Αλλάξτε σημαντικά την ποιότητα του σκυροδέματος και επαναλάβετε την άσκηση. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. Επαναλάβετε την άσκηση αγνοώντας την ύπαρξη του θλιβόμενου οπλισμού. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. ΑΣΚΗΣΗ 15 Επαναλάβετε την άσκηση 14 θεωρώντας ότι (α) η διατομή είναι πλακοδοκός με συνεργαζόμενο πλάτος b ef = 1.40 m, και το πάχος της πλάκας 0.15 m και β) στο πάνω μέρος της πλάκας υπάρχει οπλισμός 6Φ10 S400 παράλληλος προς τον οπλισμό της δοκού και σε μικρή απόσταση από τις παρειές του κορμού έτσι ώστε σύμφωνα με τα αναφερόμενα στην παρ. 5.4.2.3 του βιβλίου Σχ. 5.8, να συνεισφέρει στην καμπτική αντοχή. Επιλέξτε οτιδήποτε άλλο απαιτείται. AΣΚΗΣΗ 16 (Εξέταση Ιουνίου 2001) Μια πλάκα πρόβολος μήκους 2 m και πάχους 190 mm έχει οπλισμό Φ10/130 S500 που λόγω κακοτεχνίας βρίσκεται στο μέσον του πάχους της. Ο πρόβολος φορτίζεται με ωφέλιμο (κινητό) φορτίο q=0.2 [E] + 0.3 [E] kn/m 2 και φορτίο επικάλυψης g επ = 0.3q. Διερευνήστε αν η καμπτική αντοχή του προβόλου είναι επαρκής, χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις ισορροπίας των εσωτερικών δυνάμεων στην κρίσιμη διατομή. Που θα έπρεπε κανονικά να τοποθετηθεί ο οπλισμός και κατά πόσο θα ήταν τότε αυξημένη η αντοχή;
ΑΣΚΗΣΗ 17 (Άτυπη εξέταση Μαρτίου 2002) Στο φορέα του σχήματος ζητείται ο έλεγχος κάμψης των πλακών Π 1 και Π 2 και των δοκών Δ1 και Δ2 για τον συνδυασμό δράσης 1.35 G + 1.5 Q. Σχεδιάστε τον ξυλότυπο των πλακών και δείξτε τους οπλισμούς των στις τομές Ι-Ι και ΙΙ-ΙΙ. Επίσης απεικονίστε τους οπλισμούς των δοκών στην τομή Ι-Ι και σε μία κατά μήκος τομή τους. Δίνονται: Υλικά C16/20 S500, Φορτίο επικάλυψης πλακών gεπ = 1.5 kn/m 2, Ωφέλιμο φορτίο πλακών q=3.0 KN/m 2. ΑΣΚΗΣΗ 18 (Εξέταση Ιουνίου 2000) Στο σχήμα δίνεται η διατομή μιας πλακοδοκού απείρων ανοιγμάτων. Ζητείται: (α) Να προσδιοριστεί η ροπή αντοχής της διατομής, για την περίπτωση που ο εφελκυσμός είναι στο κάτω πέλμα αφενός η στο πάνω πέλμα αφετέρου. (β) Η τιμή του φορτίου σχεδιασμού q d και η κρίσιμη διατομή όπου η δοκός αστοχεί σε κάμψη. (γ) Να προσδιοριστούν οι εσωτερικές δυνάμεις στους οπλισμούς και στο σκυρόδεμα στην διατομή αστοχίας της δοκού. Θεωρείστε: Σκυρόδεμα C20/25 Χαρακτ. Τιμή ορίου διαρροής χάλυβα (όπως προέκυψε πειραματικά) ίση προς: 30[0] + 35[Ε] στο κάτω πέλμα 25[0] + 30[Ε] στο πάνω πέλμα Το πλάτος των υποστυλωμάτων στήριξης της δοκού είναι 400 mm.
ΑΣΚΗΣΗ 19 (Εξέταση Ιουνίου 1999) Η πλακοδοκός του σχήματος είναι οπλισμένη με 4Φ16 στο κάτω πέλμα και 2Φ20 στο πάνω (όλα S500) και φορτίζεται με ομοιόμορφο γραμμικό φορτίο g= [Ε] + 1.1 [0] KN/m, και q = 1.2 g και συγκεντρωμένο φορτίο P = 2[Ε] + 3[0] ΚΝ που προέρχεται κατά 35% από μόνιμα φορτία και 65% από ωφέλιμα. α) Να προσδιορίσετε τις ροπές αντοχής της τυπικής διατομής για εφελκυσμό της κάτω ίνες (Md + ) και εφελκυσμό στις άνω ίνες (Md - ). β) Θεωρείστε ότι από τον συνδυασμό σεισμικής δράσης G+Ψ 2 : + Ε οι ροπές που αναπτύσσονται στους κόμβους 1 και 2 είναι οι μέγιστες ροπές αντοχής Μd + και Md - αντίστοιχα και σχεδιάστε το Δ.Τ.Δ. της δοκού. ΑΣΚΗΣΗ 20 Περιγράψτε με δύο μόνο λέξεις ένα κτίριο στο οποίο απαιτείται οπωσδήποτε οπλισμός περίσφιξης των υποστυλωμάτων. Υπολογίστε και σχεδιάστε τον οπλισμό περίσφιξης ενός υποστυλώματος με αξονικό θλιπτικό φορτίο σχεδιασμού που μπορεί να πάρει τιμές από 100 έως 1000 ΚΝ και διατομή α) ορθογωνικό 600Χ350 και β) μορφής Γ εξωτερικής διάστασης 700Χ700 και πάχους 250 mm. Επιλέξτε ότι άλλο χρειάζεται.
ΑΣΚΗΣΗ 21 Ένα οριζόντιο γραμμικό μέλος, με διατομή όπως στην άσκηση 15 φορτίζεται με μόνιμο φορτίο g=40 KN/m και ωφέλιμο q=60kn/m. Θεωρώντας απεριόριστη διατμητική αντοχή του μέλους προσδιορίστε τη μέγιστη τέμνουσα που μπορεί να αναπτυχθεί στο μέλος από τον συνδυασμό σεισμικής δράσης G+0.3Q+E όπου Ε=σεισμική δράση απεριόριστα μεγάλη. Επιλέξτε το μήκος l το μέλους (π.χ. l = 4 m) και όποιο άλλο στοιχείο απαιτείται. ΑΣΚΗΣΗ 22 Δίνεται το Δ.Τ.Δ. για τον συνδυασμό δράσεων G+0.3Q+E. Ελέγξτε τη δοκό ανά τμήματα 2d (ή 2h) για απαίτηση δισδιαγώνιου οπλισμού. Τοποθετείστε τον απαιτούμενο οπλισμό διάτμησης λαμβάνοντας υπ όψη και τις κατασκευαστικές διατάξεις. Θεωρείστε τη δοκό με ορθογωνική διατομή 25/40 και αυξημένες απαιτήσεις πλαστιμότητας. Υλικά C16, S500. Επιλέξτε κάθε άλλο δεδομένο. ΑΣΚΗΣΗ 23 Το γραμμικό μέλος 1-2 του σχήματος φορτίζεται με ένα μόνιμο ομοιόμορφο φορτίο g=30 KN/m και ένα ωφέλιμο συγκεντρωμένο φορτίο Ρ=100 ΚΝ. Οι ροπές Μ 1 και Μ 2 που έχουν προκύψει από την ανάλυση για τον συνδυασμό δράσεων 1.35G+1.50Q είναι d d M1 = 20 KN και M2 = 100 KN. Επιλέξτε διαστάσεις έτσι ώστε, με αρκετά περιθώρια, να μην χρειάζεται θλιβόμενος οπλισμός στις στηρίξεις και να υπάρχει επάρκεια για την παραλαβή της τέμνουσας (V sd VRd2 ) και να διαστασιολογείσετε πλήρως το στοιχείο σε κάμψη και διάτμηση για τον συνδυασμό δράσεων 1.35G+1.50Q. Σχεδιάστε οπλισμούς κάμψης και διάτμησης (με ακρίβεια υπό κλίμακα) για όλο το μήκος της δοκού λαμβάνοντας υπόψιν και όλες τις κατασκευαστικές διατάξεις. Να θεωρηθεί ότι στους κόμβους 1,2 το πλάτος στηρίγματος είναι bστ. = 350mm. Το ίδιο βάρος του μέλους να αγνοηθεί.
ΑΣΚΗΣΗ 24 Η δοκός του σχήματος φορτίζεται με ένα μόνιμο γραμμικό φορτίο g=10.5 KN/m και ωφέλιμο γραμμικό φορτίο q=15 KN/m. Oι ροπές M 1 και Μ 2 που έχουν προκύψει από την ανάλυση για τους συνδυασμούς δράσεων G+0.3 Q+E είναι: α) Μ 1 =-210 ΚΝm M 2 = +190 KNm β) M 1 = +160 KNm M 2 = -180 KNm Θεωρείστε ότι η διατομή είναι ορθογωνική 200Χ450 η ποιότητα σκυροδέματος είναι C16/20 και ότι η δοκός έχει αυξημένες απαιτήσεις πλαστιμότητας. Ελέγξτε την δοκό σε διάτμηση και σχεδιάστε τους οπλισμούς σε μια κατά μήκος τομή. Σημείωση: Οπωσδήποτε θα γίνει έλεγχος δισδιαγωνίου οπλισμού. Επιλέξτε οποιοδήποτε άλλο στοιχείο απαιτείται. ΑΣΚΗΣΗ 25 Θεωρείστε ότι στη βάση και στην κορυφή του υποστυλώματος της άσκησης 9 αναπτύσσονται από τον συνδυασμό σεισμικών δράσεων προς κάθε μία από τις δύο κύριες κατευθύνσεις οι μέγιστες ροπές που υπολογίστηκαν. Θεωρείστε ύψος υποστυλώματος 3.0 m και ελέγξτε το υποστύλωμα σε διάτμηση. Θεωρώντας επίσης ότι απαιτείται οπλισμός περίσφιγξης προσδιορίστε τους τελικά απαιτούμενος συνδετήρες σε όλο το ύψος του υποστυλώματος και δείξτε τους σε μία καθ ύψος τομή. Επιλέξτε λοιπά απαραίτητα δεδομένα.
ΑΣΚΗΣΗ 26 Η πλακοδοκός του σχήματος είναι οπλισμένη με 3Φ16 στο κάτω πέλμα και με 2Φ18 στο επάνω πέλμα (όλα S400). Φορτίζεται με ομοιόμορφο γραμμικό φορτίο g=[0]+1.2[ε] ΚΝ/m και q=0.8 g, καθώς επίσης και με δύο συγκεντρωμένα φορτία: Ρ 1 = 1.5[0]+[Ε] ΚΝ που προέρχεται κατά 70% από μόνιμα φορτία και 30% από ωφέλιμα και Ρ 2 = [0]+[Ε] ΚΝ που προέρχεται κατά 40% από μόνιμα και 60% από ωφέλιμα φορτία. Από τους δύο συνδυασμούς σεισμικής δράσης (G+0.3Q+E και G+0.3Q-E) οι ροπές που τελικά αναπτύσσονται στους κόμβους 1 και 2 είναι αντιστοίχως: (α) Μ 1 = 10[Ε] + 12[0] ΚΝm και M 2 = -12[E] 10[0] KNm (β) Μ 1 = -13[Ε] -9[0] KNm και Μ 2 = +9[Ε] + 13[0] KNm 1. Ελέγξτε την καμπτική επάρκεια της δεξιάς στήριξης της δοκού 2. Ελέγξτε την δοκό σε διάτμηση με βάση τα Δ.Τ.Δ. που προκύπτουν στους δύο παραπάνω συνδυασμούς δράσεων (λαμβάνοντας υπ όψιν τα φορτία και τις ροπές που δίνονται). [Ελέγξτε μόνο μία από τις δύο κρίσιμες περιοχές. Αυτή που είναι δυσμενέστερη στον δισδιαγώνιο οπλισμό). Αν δεν απαιτηθεί δισδιαγώνιος τροποποιείστε όποιο δεδομένο νομίζετε έτσι ώστε να απαιτηθεί δισδιαγώνιος. 3. Σχεδιάστε την κατά μήκος τομή της δοκού όπου να φαίνονται όλοι οι οπλισμοί.
ΑΣΚΗΣΗ 27 Η αμφιπροέχουσα δοκός του σχήματος φορτίζεται με ομοιόμορφο γραμμικό φορτίο σ όλο το μήκος. Σχεδιάστε τις ρωγμές που αναμένονται στις περιπτώσεις α) αστοχίας σε κάμψη, β) αστοχίας σε διάτμηση. Τοποθετείστε τους ελάχιστους οπλισμούς, λαμβάνοντας υπ όψη όλες τις κατασκευαστικές διατάξεις για δοκούς με αυξημένες απαιτήσεις πλαστιμότητας. Σχεδιάστε στην παραπάνω κατά μήκος τομή τους οπλισμούς και δώστε σκαριφήματα των χαρακτηριστικών διατομών. Προσδιορίστε τα μέγιστα φορτία g(kn/m) και q(kn/m) που μπορεί να φέρει ασφαλώς η δοκός για τον συνδυασμό 1.35G+1.5Q, λαμβάνοντας υπ όψη ότι τα ωφέλιμα φορτία q είναι διπλάσια των μονίμων g. Δίνονται: Υλικά C20, S500 Διατομή ορθογωνική 250/200 Ότι άλλο χρειάζεται θα πρέπει να επιλεγεί.