Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Έστω ότι έχουµε δοχεία αριθµηµένα από το ως και σφαίρες αριθµηµένες από ως. Οι σφαίρες τοποθετούνται τυχαία στα δοχεία ανά µία. Εάν µία σφαίρα και το δοχείο της έχουν τον ίδιο αριθµό, λέµε ότι έχουµε µία συνάντηση. α) Ποια η πιθανότητα το δοχείο και η σφαίρα να συναντηθούν; β) Ποια η πιθανότητα συγκεκριµένα δοχεία να συναντηθούν µε τις αντίστοιχες σφαίρες; γ) Ποια η πιθανότητα τουλάχιστον ( = 0,,,..., ) συναντήσεων; Λύση Λήµµα : Αν E, E,..., E ν είναι ενδεχόµενα και Ι = {,,..., ν} τότε ν ν (... )... ( ) ( ) ν = + + ν = = PE E E S S S S όπου S P( = Eh Λ Ι Λ= h Λ. ( ες βιβλίο σελ. 4) Έστω τώρα J = {,..., } {,,..., ) =Ι, J = Ι J και A, A,..., A ενδεχόµενα ενός δ.χ. Ω. Τότε : P[ A (( A) A )] = P( A) P[ (( A) A )] j j J j J (κατά το Λήµµα και J = ) m ( ) ( ) (( ) ( j)) m= j Λ Λ= m = P A P A A = ( m= r m ) ( ) ( ) m= Λ Λ= m = P A P A = r ( ) ( ) ( ) r= + Λ Λ= r = P A P A = r ) P( A ), r = P( A) + ( ) P( A) = ( r= Λ Λ= r δηλαδή δείξαµε το: r= Λ Λ= r ) r Λήµµα : P[ A (( A) A )] = ( ) P( A Έστω τώρα j j J r= Λ Λ= r A το ενδεχόµενο : η συνάντηση πραγµατοποιείται. Τότε το ενδεχόµενο : Οι (συγκεκριµένες) αποδίδεται από την τοµή A j =,..., συναντήσεις πραγµατοποιούνται... A. Ώστε στο τυχόν υποσύνολο J {,,..., } =Ι

αντιστοιχεί το ενδεχόµενο Β J = A και είναι το ενδεχόµενο να πραγµατοποιηθούν οι συναντήσεις που βρίσκονται στο J. Είναι φανερό ότι για συγκεκριµένο J ισχύει : ( J )! PB ( J ) =! αφού οι ευνοϊκοί για την πραγµατοποίηση του B J τρόποι είναι όσες οι κατανοµές των υπολοίπων J σφαιρών (ανά µία) στα υπόλοιπα J κελιά. Ο τύπος () απαντά στα ερωτήµατα α) και β). Ειδικότερα στο α) έχουµε J = και συνεπώς η πιθανότητα της συγκεκριµένης συνάντησης είναι ( )! =.! Σχετικά µε το ερώτηµα γ) πρώτα θα απαντήσουµε στο ερώτηµα γ του οποίου η διατύπωση έχει ως εξής : Ποια η πιθανότητα να πραγµατοποιηθούν ακριβώς συναντήσεις ; Να σηµειώσουµε ότι το ερώτηµα αφορά τις οποιεσδήποτε συναντήσεις και όχι συγκεκριµένες. Για τυχόν J = {,..., } Ι= {,,..., } συµβολίζουµε Γ J το ενδεχόµενο να πραγµατοποιηθούν οι συναντήσεις,,..., και µόνον αυτές. Θέτω J =Ι J και προφανώς Γ = ( A) ( A ) = (( A) ( A ) = A A = A ( A) ( A ) = J j j j j j J j J j J j J = A [( A) A ] j j J και κατά το Λήµµα () r P( Γ j) = ( ) P( A ) () r= Λ Λ= r Το ενδεχόµενο : να πραγµατοποιηθούν ακριβώς συναντήσεις είναι = ΓJ και η πιθανότητα του συνιστά το αντικείµενο του ερωτήµατος γ) που έχει ως εξής : γ ) κ ) = P( Γ j ). Όµως τα ενδεχόµενα ΓJ, J Ι µε J = είναι ξένα µεταξύ τους και άρα J Ι J = ) = P( ΓJ). Χρησιµοποιώντας την () έχω J Ι r ) = ( ) P( A ) και λόγω της () J I r= Λ J = J = ) = ( ) r J I r= J = J = ( J Λ)!! J Ι J =

r Το εσωτερικό άθροισµα έχει προσθετέους (όσα τα υποσύνολα µεγέθους r r που έχει το µεγέθους σύνολο J ) και ο κάθε προσθετέος είναι ( J Λ)! ( r)! = αφού J = και Λ = µε Λ J.!! Συνεπώς το εξωτερικό άθροισµα εκτείνεται σε προσθετέους ίσους µεταξύ τους και συνεπώς : r r ( r)! ) = ( ) r= r! και εύκολα πλέον r r ( r)! r! ( )! ( r)! ) = ( ) = ( ) = r= r! r= ( )!!( r )!( r)!! r r = ( ) = ( )!( r )!! ( r )! r= r= και εκτελώντας το µετασχηµατισµό r = h h ) = ( ), =,,...,. ()! h= 0 h! γ) Στο ερώτηµα ζητείται η πιθανότητα του ενδεχοµένου E : τουλάχιστον συναντήσεις πραγµατοποιούνται. Για = 0 η απάντηση είναι προφανώς :πιθανότητα. Έτσι εξετάζουµε το ζήτηµα για =,,..., Προφανώς E = = και τα ενδεχόµενα τους. Έτσι PE ( ) = ) και χρησιµοποιώντας την () = h= 0 = h PE ( ) = ( )! h! Παρατηρήσεις: κ του ερωτήµατος γ) είναι ξένα µεταξύ α) Στον τύπο () και όταν το είναι αρκετά µεγάλο προσεγγιστικά είναι: ) = e! β)ο τύπος () για J = οπότε J = Ι= {,,..., } συνεπάγεται PB ( J ) =. Το ίδιο! αποφέρει και ο τύπος () όταν =, πράγµα αναµενόµενο αφού οι οποιεσδήποτε συναντήσεις είναι υποχρεωτικά οι,,...,

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΨΙΘΥΡΩΝ Σε µία πόλη ν + κατοίκων ένα άτοµο µεταφέρει µία «είδηση» σε ένα δεύτερο άτοµο το οποίο µεταφέρει την «είδηση» σε ένα τρίτο κ.ο.κ. Ο εκάστοτε ψιθυριστής εκλέγει τυχαία ένα εκ των υπολοίπων ν κατοίκων (εξαιρείται αυτός από τον οποίο έµαθε την «είδηση») για να την µεταδώσει. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ώστε η «είδηση» να µεταδοθεί κ-φορες α) χωρίς να επιστρέψει στον πρώτο ψιθυριστή β) χωρίς να επαναληφθεί σε οποιοδήποτε άτοµο ( κ < ν + ) Λύση: Έστω ότι οι κάτοικοι ονοµάζονται,,,..., ν +. Χωρίς βλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι ο πρώτος ψιθυριστής είναι ο. Μία διαδροµή κ- διαδόσεων µπορεί να παρασταθεί ως (βλέπε και διάγραµµα στο τέλος ) x x x οπου... x είναι ο αποδέκτης της -διάδοσης ( =,,..., ) και βέβαια ο αναµεταδότης της στον x + ( =,,..., ). Η θέση x µπορεί να συµπληρωθεί µε ν-τρόπους και κάθε µία από τις θέσεις x, x,..., x µπορεί να συµπληρωθεί µε ν τρόπους αφού κανείς δεν µεταδίδει την είδηση στον εαυτό του και σε αυτόν που του την µετέδωσε. Συνεπώς ( ) ( ) κ ΝΩ = νν. α) Έστω Α το ενδεχόµενο ώστε η «είδηση» να µην επιστρέψει στον. Το ενδεχόµενο Α συνίσταται από τις παραστάσεις x, x,..., x για τις οποίες x για κάθε =, 4,..., (ούτως η άλλως x και x ). Συνεπώς η θέση x µπορεί να συµπληρωθεί κατά ν-τρόπους, η θέση x κατά ν- τρόπους και κάθε µία από τις x, x4,..., x κατά ν- τρόπους. Συνεπώς ( ) νν ( )( ν ) κ ΝΑ = και τελικά νν ν ν P( Α ) = = ( ) νν ( ) ν ( )( κ ) κ κ β) Αν Β είναι το ενδεχόµενο του ερωτήµατος τότε είναι φανετρό ότι το Β αποτελείται από τις παραστάσεις x... x x στις οποίες κάθε θέση µπορεί να συµπληρωθεί µε κατα ένα λιγότερους τρόπους από την προηγούµενη αφού τα x πρέπει ολα να είναι διαφορετικά µεταξύ τους Συνεπώς ΝΒ ( ) = ν ( ν )( ν )( ν )...( ν κ + ) 4

Άρα P ν ( ν )( ν )...( ν κ + ) ( ν )( ν )...( ν κ + ) ( Β ) = = νν ( ) κ ( ν ) κ Παρατήρηση : 4 άτοµα (ν = 4) και κ = µεταδόσεις ΤΟ ΙΛΗΜΜΑ ΤΟΥ ΤΗΛΕΟΠΤΙΚΟΥ ΠΑΙΚΤΗ Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι έχει ως εξής : Ποσό 000 ευρώ είναι µέσα σε ένα από τρία όµοια κουτιά Α, Β, Γ µε ίση πιθανότητα. Ο παίκτης που συµµετέχει δηλώνει ένα κουτί της προτίµησής του (π.χ. το Α) και το κουτί αυτό παραµένει κλειστό. Κατόπιν ο παρουσιαστής του παιχνιδιόυ που γνωρίζει σε πιο κουτί βρίσκεται το ποσό, ανοίγει ένα από τα δυο άλλα κουτιά (Β ή Γ) που δεν περιέχει το ποσόν και δείχνει στον παίκτη το άδειο κουτί. Ύστερα από αυτό ο παίκτης έχει το δικαίωµα να αλλάξει προτίµηση από το κουτί που δήλωσε αρχικά σε αυτό που παραµένει κλειστό και να κερδίσει ό,τι ποσόν υπάρχει στο κουτί της τελικής προτίµησής του. Συµφέρει να αλλάξει προτίµηση ; Σηµείωση : Όταν το ποσό βρίσκεται στο κουτί που δηλώθηκε στην αρχή (π.χ. το Α) τότε ο παρουσιαστής (που το ξέρει) ανοίγει ένα από τα άλλα δυο κουτιά µε την ίδια πιθανότητα Λύση: Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α : το ποσό βρίσκεται στο κουτί Α Β : το ποσό βρίσκεται στο κουτί Β Γ : το ποσό βρίσκεται στο κουτί Γ 5

Χωρίς βλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι ο παίκτης δηλώνει αρχικά το Α. Προφανώς P( Α ) = P( Β ) = P( Γ ) = και υπάρχουν τρεις δυνατότητες για τα Β, Γ c c, c c Ε =Β Γ Ε =Β Γ, Ε =Β Γ µε Ε Ε Ε =Ω και τα Ε, Ε, Ε είναι ξένα µεταξύ τους έτσι για τα ενδεχόµενα β : ανοίγει το κουτί Β γ : ανοίγει το κουτί Γ ισχύει σύµφωνα µε το θεώρηµα ολικής πιθανότητας: c c c c c c c c P( β) = P( β / Β Γ ) P( Β Γ ) + P( β / Β Γ) P( Β Γ ) + P( β / Β Γ ) P( Β Γ ) = c c c c = P( Β Γ ) + P( Β Γ ) + 0 P( Β Γ ) = P( Α ) + P( Γ ) = + = Ώστε P( β ) = και όµοια P( γ ) = c c Λαµβάνοντας τώρα υπ όψη το προφανές Α =Β Γ έχουµε: P( Α β) P( β / Α) P( Α) P( Α) P( Α / β ) = = = = P( Α) P( β) P( β) Ώστε P( Α / β ) = P( Α ) (4) (4) και όµοια P( Α / γ ) = P( Α ) (5) Από τις (4), (5) προκύπτει ότι η πιθανότητα να είναι τα χρήµατα στο Α δεν αλλάζει από το γεγονός ότι ένα από τα δύο άλλα κουτιά είναι άδειο. Όµως P( Β γ) P( γ / Β) P( Β) ( / ) P Β γ = = = = P( γ) P( γ) και όµοια P( Γ / γ ) = ηλαδή η πιθανότητα ώστε τα χρήµατα να βρίσκονται στο Β (αντίστοιχα στο Γ) έχοντας ανοίξει το γ (αντίστοιχα το β) είναι. Συνεπώς συµφέρει να αλλάξουµε προτίµηση. ΤΟ ΙΛΗΜΜΑ ΤΟΥ ΦΥΛΑΚΙΣΜΕΝΟΥ Φυλακισµένος, που έχει υποβάλλει µαζί µε άλλους δύο συγκρατούµενούς του αίτηση απονοµής χάριτος, πληροφορείται από φίλο του φρουρό ότι δύο από τους τρεις πρόκειται να αποφυλακιστούν. Επειδή ο φρουρός δεν θέλει να πει στον φυλακισµένο αν αυτός είναι µεταξύ των δύο που αποφυλακίζονται, ο φυλακισµένος σκέφτεται να ρωτήσει το φρουρό ποιος από τους δύο άλλους πρόκειται ν αποφυλακιστεί αφού έτσι 6

κι αλλιώς είναι γνωστό ότι αυτό θα γίνει για τον ένα από τους δύο. Όµως αµέσως διστάζει και αλλάζει γνώµη γιατί σκέφτεται ότι µε την απάντηση του φρουρού µειώνονται οι ελπίδες αποφυλάκισής του από / σε ½. Είναι σωστός ο συλλογισµός του; ΛΥΣΗ Ας είναι Α, Β, Γ οι τρεις φυλακισµένοι και Α αυτός που έχει το δίληµµα. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα: Α: απελευθερώνεται ο Α Β: απελευθερώνεται ο Β Γ: απελευθερώνεται ο Γ Για τα ενδεχόµενα Ε = Α Β Γ, Ε = Α Β Γ, Ε = Α Β Γ, έχουµε προφανώς ότι P( E ) = ( =,,) και ισχύει ο τύπος ολικής πιθανότητας: Ώστε P(A) = P(A E ) P(E ) + P(A E ) P(E ) + P(A E ) P(E ) = P(E ) + P(E ) = + =. P(A) =. Θεωρούµε τώρα τα ενδεχόµενα: β: ο φρουρός απαντά Β γ: ο φρουρός απαντά Γ Τότε P(β) = P(β E ) P(E ) + P(β E ) P(E ) + P(β E ) P(E ) Επειδή ο φρουρός δεν θέλει να πει στον φυλακισµένο αν είναι ένας από τους δύο που αποφυλακίζονται θα έχουµε P(β E ) =. Επίσης P(β E ) = 0 και P(β E ) = ½. Συνεπώς P(β) = + 0 + =. Άρα P(A β) P(E ) P(A β) = = = =. P(β) P(β) Όµοια P(A γ) =. Άρα ο συλλογισµός του δεν είναι σωστός. 7