Άσκηση 1. i) α) ============================================================== α > 0. Πρέπει κατ αρχήν να ορίζεται ο λογάριθµος, δηλ.

Transcript

1 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ : Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση. i) α) f( ) a ln ( ln( ) ), α > 0 f( ) e ( a ln( ) ) ln ( ln( ) ), α > 0 Πρέπει κατ αρχήν να ορίζεται ο λογάριθµος, δηλ. > 0 Κατόπιν πρέπει να ορίζεται ο όρος ln( ln ( ) ), δηλ. πρέπει ln ( ) > 0 > e 0 > Όταν λοιπόν > έχουµε: f ( ) ( e ( a ln( )) ) ln ( ln( )) + e ( a ln( ) ) ln ( ln( ) ) e ( a ln( ) ) ( ) a ln( ) ln ( ln( )) + e ( a ln( ) ) ln( ) ln( ) e ( a ln( ) ) + a ln ( ln( )) e ( a ln( ) ) ln( ) e ( a ln( ) ) a ln ( ln( ) ) + a a ln ( ln( )) + a ln( ) e ( a ln( ) ) ln( ) a ) a ( ln ( ln( )) a ( ) + ln( )

2 Άσκηση. i) β) f( ) sin( ) cos( ) Πρέπει να µην µηδενίζεται ο παρονοµαστής, δηλ.: cos( ) 0 < cos( ) < cos( ) cos( kπ ), k Z < kπ, k Z Τότε λοιπόν έχουµε: f ( ) sin( ) cos( ) - sin( ) cos( ) f sin( ) ( ) cos( ) { sin( ) ( cos( ) ) sin( ) ( cos( ) ) ( cos( ) ) } f sin( ) ( ) cos( ) { cos( ) ( cos( ) ) + sin( ) ( cos( ) ) } f sin( ) ( ) cos( ) { ( cos( ) + ) ( cos( ) ) }

3 f ( ) sin( ) ( cos( ) ) Άσκηση. i) γ) f( ) 4 Πρέπει κατ αρχήν να ορίζεται η ρίζα του, δηλ.: [0, ) () Κατόπιν πρέπει να ορίζεται η υπόριζος ποσότητα, δηλ.: 0 < < < + 0 < ( ) 0 Το ανωτέρω τριώνυµο είναι πάντα οµόσηµο του α - < 0 εκτός από την περίπτωση 0 < < οπότε είναι θετικό άρα η υπόριζος ποσότητα είναι θετική όταν:

4 0, ή όταν [, ) () Από τις () και () η συνάρτηση ορίζεται όταν: [, ) Τότε λοιπόν έχουµε: f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( / ) ( ) f ( ) 4 + f ( ) 4 + ( ) f ( ) 6 5 Άσκηση. ii) f( ) ln ( + a ), > -a f ( ) ( + ) a + a f ( ) + a 4

5 f ( ) ( + a ) - Άρα για τις παραγώγους ανώτερης τάξης έχουµε: f ( ) [ ( + a) - ] ( - ) ( + a ) - - ( + ) a f () ( ) ( + a ) - f ( ) [ ( + a) - ] (-) (-) ( + a ) - - f () ( ) (-) (-) ( + a ) - ηλαδή βλέπουµε ότι ισχύει: f (n) ( ) (-) (-)... (-(n-)) ( + ) a - n f (n) ( ) ( ) - ( n )! ( n ) ( + a ) - n, n,,,... το οποίο µπορούµε να αποδείξουµε και επαγωγικά: Ισχύει για n, έστω ότι ισχύει για n, τότε παραγωγίζοντας βρίσκουµε: f (n+) ( ) ( ) - ( n ) ( )! n ( - n ) ( + a ) - n- f (n+) ( ) (- ) n n! ( + a) -n - 5

6 f (n+) ( ) ( ) - ( n+ ) ( + )! n ( + ) a - (n+) δηλ. ισχύει για n +, άρα ισχύει για κάθε n µεγαλύτερο ή ίσο του Άσκηση. iii) Πρέπει αρχικά να είναι συνεχής στο : - f( ) + f( ) - a + a b + a 4 a b+ a+ b () Επίσης πρέπει οι πλευρικές παράγωγοι να είναι ίσες στο : f - ( ) f + ( ) a ( a b ) 6

7 a 4 a b b a () Από () και () έχουµε: 4 a a 4 9 b 4 f( ) < maths@maths.gr, Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ : Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση. i) α) Με εφαρµογή του κανόνα L Hospital έχουµε: 7

8 + + 4 ( ) ( ) Άσκηση. i) α) ( ) ( / ) ( 4 ) ( / ) Με εφαρµογή του κανόνα L Hospital έχουµε: ( ) ( / ) ( 4 ) ( / ) 4 ( ) ( ( ) ( / ) ( 4 ) ( / ) ) 8

9 4 ( ) ( / ) ( ) 6 ( 4 ) ( / ) ( 4 ) 4 6 ( ) ( / ) ( 4 ) ( / ) (4) 6 (8) ( / ) ( (4) 4 ) ( / ) (8) ( / ) 6 (8) ( / ) 6 ( (8) ( / ) ) 6 () -4 Άσκηση. i) γ) cos( ) + cos( ) ( cos( )) Με εφαρµογή του κανόνα L Hospital έχουµε: 9

10 0+ cos( ) 0+ ( + cos( ) ) ( ( cos( ))) 0+ sin( ) cos( ) + sin( ) 0+ cos( ) sin( ) + cos( ) ( cos( )) sin( ) + cos( ) 0+ sin( ) + cos( ) Όµως είναι: 0+ sin( ) + cos( ) 0, µε θετικές τιµές γιατί sin( ) > 0 όταν --> 0 + Άρα έχουµε: 0+ sin( ) + cos( ) 0+ cos( ) Άσκηση. i) δ) Με διαδοχικές εφαρµογές του κανόνα L Hospital έχουµε: 0

11 ( e) + ln ( e ) ( ln( ) ) ( e ) + ln( ) ln ( e) ( e) + ( ln( ) ) ln ( e ) ( e) + e ( e) ln ( ) ( e) + ln ( e ) ( e ) ( e) + ln ( e ) e ( e) + ( ln ( ) ) e e ( e) + ln ( e ) e e ( e ) ( e) + ln ( e ) ( e ) e ( e) + ln ( e ) e e

12 ( e) + ( ln ( e) ) e e ( e) + e e ( e ) ( e) + ( e ) e 0 Άσκηση. i) ε) (ln()) b ln ( ln( ) ) Με εφαρµογή του κανόνα L Hospital έχουµε: (ln()) b ln ( ln( ) ) ( ln( ) b ) ln ( ln( )) [ b ln( ) ( b ) (ln()) ] (ln()) ln( ) b ln( ) ( b ) ln( )

13 b ln( ) ( b ) ln( ) ln( ) b b b ln( ) b ( ln( ) ) (ln()) b ln ( ln( ) ) Άσκηση. ii) + a + a Το τριώνυµο στον παρονοµαστή έχει ρίζες το και το, άρα γράφεται: ( ) ( ) Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την "συζυγή" ποσότητα: + a + + a και έχουµε ότι: + a + a ( + a + a ) ( + a + + a ) [ ( ) ( + a + + a ) ]

14 + ( ) ( ) ( + a + + a ) a Παρατηρούµε ότι το όριο της ανωτέρω παράστασης υπάρχει στο R µόνον όταν α, γιατί τότε: + ( ) ( ) ( + a + + a ) a + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + a + a ( ) ( ) ( ) ( ) maths@maths.gr, Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ : Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση. f( ) 4 6 ( i ) Υπολογίζουµε την πρώτη παράγωγο: f ( ) 6 6 4

15 ( 6 6 ) Βρίσκουµε τα διαστήµατα µονοτονίας: Στο τριώνυµο είναι: a 6 β -6 γ - β 4 aγ 4 άρα οι ρίζες είναι: β + -, a - Γνωρίζουµε ότι το τριώνυµο είναι ετερόσηµο του συντελεστή α µόνον όταν το βρίσκεται µεταξύ των ριζών του τριωνύµου. Στην προκειµένη περίπτωση έχουµε α 6 > 0 άρα το τριώνυµο είναι αρνητικό όταν - < < και επίσης το τριώνυµο είναι θετικό όταν < - ή > Άρα η πρώτη παράγωγος θα είναι θετική 5

16 κι εποµένως η συνάρτηση θα είναι αύξουσα, όταν: - < < και < 0, δηλ. όταν - < < 0 και όταν > και > 0, δηλ. όταν > Επίσης η πρώτη παράγωγος θα είναι αρνητική κι εποµένως η συνάρτηση θα είναι φθίνουσα, όταν: - < < και > 0, δηλ. όταν 0 < < και όταν < - και < 0, δηλ. όταν < - ( ii ) Βρίσκουµε τα τοπικά ακρότατα: f ( ) 0 < < ( 6 6 ) 0 < - 0 6

17 Υπολογίζουµε την δεύτερη παράγωγο: f ( ) 8 f ( - ) 8 > 0 άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο όταν - το οποίο είναι ίσο µε f (- ) -.50 f ( 0 ) - < 0 άρα έχουµε τοπικό µέγιστο όταν 0 το οποίο είναι ίσο µε f (0 ) 0 f ( ) 6 > 0 άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο όταν το οποίο είναι ίσο µε f ( ) -6 ( iii ) Βρίσκουµε τα διαστήµατα που στρέφει τα κοίλα άνω ή κάτω: Στρέφει τα κοίλα άνω όταν f ( ) > 0 < 0 < 8 Στο τριώνυµο είναι: a 8 β - γ - 7

18 β 4 aγ 008 άρα οι ρίζες είναι: β + -, a Γνωρίζουµε ότι το τριώνυµο είναι ετερόσηµο του συντελεστή α µόνον όταν το βρίσκεται µεταξύ των ριζών του τριωνύµου. Στην προκειµένη περίπτωση έχουµε α 8 > 0 άρα το τριώνυµο είναι αρνητικό και η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα κάτω όταν < <. και επίσης το τριώνυµο είναι θετικό και η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα άνω όταν < ή >. ( iv ) Βρίσκουµε τα σηµεία καµπής: f ( ) 0 < 8

19 8 0 < ( v ) Βρίσκουµε τις ρίζες της συνάρτησης: f( ) 0 < < 6 0 < 9

20 ( 4 ) 0 Στο τριώνυµο είναι: a β -4 γ - β 4 aγ 60 άρα οι ρίζες είναι: β + -, a Κι επίσης υπάρχει και η διπλή ρίζα 0 Τέλος για 0 έχουµε: f( 0) 0 ( vi ) 0

21

22 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ : Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση 4. i) Έστω k το κέρδος ανά εκατοντάδες λάστιχα τύπου Β. Τότε το συνολικό κερδος Π θα είναι: Π k + k y y Π( ) k + k ( 40 0 ) 5 Ο κανόνας πρώτης παραγώγου για την µεγιστοποίηση του κερδους Π() µας δίνει: Π ( ) 0 < k + k ( 40 0 ) ( 5 ) ( 40 0 ) ( 5 ) 0 ( 5 ) < k + k (-0) ( 5 ) ( 40 0 ) (- ) 0 ( 5 ) <

23 k + k 0 0 ( 5 ) < k 0 k 0 ( 5 ) ( ) < k ( 5 ) 0 k 0 ( 5 ) < k ( 5 ) 0 k 0 < k (( 5 ) 5) 0 < ( 5 ) 5 0 < ( 5 ) 5 < <

24 5 5 ( 5 5 ) > 4, απορρίπτεται Ελέγχουµε αν ισχύει ο κανόνας δεύτερης παραγώγου. Λόγω της ( ) έχουµε: Π ( ) k 0 k ( 5 ) Π ( ) 0 0 k [ ( 5 ) - ] Π ( ) 0 k ( 5 ) - - Π ( ) 0 k ( 5 ) Π ( 5 5 ) 0 k 5 ( / ) Π ( 5 5 ) < 0, άρα πράγµατι έχουµε µέγιστο όταν εκατοντάδες λάστιχα ή 76 λάστιχα τύπου Α. 4

25 y y y εκατοντάδες λάστιχα ή y 55 λάστιχα τύπου Β. Άσκηση 4. ii) f( ) f( ) Έστω η συνάρτηση g µε g() + 4 g( ) g( ) -4 g( ) g( ) < 0 5

26 Υπάρχει ξ [, ] g( ξ) 0 Παρατηρούµε ότι: g ( ) g ( ) ( ) ( + ) και το ανωτέρω τριώνυµο είναι οµόσηµο του α - < 0 δηλ. είναι αρνητικό, όταν < - ή >, άρα για [, ] θα είναι αρνητικό, δηλ. η g είναι γνησίως φθίνουσα άρα δεν µπορεί να έχει και δεύτερη ρίζα στο [,] maths@maths.gr, Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ : Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση 5. α) Έστω η συνάρτηση f µε f ( ) sin ( ), [ a, b ] Η f είναι συνεχής στο [a,b] Η f είναι παραγωγίσιµη στο (a,b) µε f ( ) cos( ) άρα από το θεώρηµα µέσης τιµής υπάρχει ξ (a,b) τέτοιο ώστε: f( b ) f( a) b a f ( ξ) f( b ) f( a ) f ( ξ ) ( b a ) 6

27 sin( b ) sin( a ) cos( ξ ) ( b a ) sin( b ) sin( a ) cos( ξ ) ( b a) b - a sin( b ) sin( a ) b - a sin ( a ) - sin ( b ) a - b Άσκηση 5. β) Έστω η συνάρτηση f µε f ( ) + ορισµένη στο [ 0, h ], h > 0 Η f είναι συνεχής στο [ 0, h ] Η f είναι παραγωγίσιµη στο ( 0, h ) µε f ( ) + άρα από το θεώρηµα µέσης τιµής υπάρχει ξ (0,h) τέτοιο ώστε: f( h ) f( 0) h f ( ξ) 7

28 f( h ) f( 0 ) f ( ξ) h h+ h ξ+ h h+ + ξ+ Όµως ισχύει: ξ+ < h ξ+ < h, για ξ > 0, h > 0, άρα: h h+ + ξ+ h+ < + h maths@maths.gr, Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ : Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση 6. i) (α) Έχουµε: 8

29 P( A) 0.05 P( B) 0.0 P( A B ) P ( A B ) P( B ) () Όµως για οποιαδήποτε δύο ενεδεχόµενα ισχύει: A ( A B ) + ( A B ) κι επειδή τα δύο ανωτέρω ενδεχόµενα είναι ασυµβίβαστα: P( A ) P ( A B ) + P ( A B ) P ( A B ) P( A ) P ( A B) επειδή Α, Β ανεξάρτητα είναι: P ( A B ) P( A ) P( B ) P ( A B ) P( A ) P( A ) P( B) P ( A B ) P( A ) ( P( B) ) P ( A B ) () 9

30 Επίσης είναι: P( B ) P( B ) P( B ) 0.97 () Από τις (),() και () βρίσκουµε: P( A B ) 0.05 Άσκηση 6. i) (β) Αυτό µπορεί να συµβεί µε δύο ενδεχόµενα, ασυµβίβαστα µεταξύ τους: ( Ε ) Πραγµατοποιείται το Α και δεν πραγµατοποιειται το Β δηλ. πραγµατοποιούνται τα Α και Β : P ( A B ) (σχέση () ερωτήµατος (α)) ( Ε ) εν πραγµατοποιείται το Α και πραγµατοποιειται το Β δηλ. πραγµατοποιούνται τα Α και Β: P ( B A ) P( B ) P ( B A) P( B ) P( A ) P( B) P( B ) ( P( A) ) 0

31 P ( B A ) Επειδή τα ενδεχόµενα Ε και Ε είναι ασυµβίβαστα η πιθανότητα της ένωσής τους είναι το άθροισµα των πιθανοτήτων τους, δηλ. P ( E E ) P( E ) + P( E ) P ( E E ) Άσκηση 6. i) (γ) Ψάχνουµε την πιθανότητα: P ( B A ) Όµως για οποιαδήποτε δύο ενδεχόµενα ισχύει: B ( Β A ) + ( Β A ) κι επειδή τα δύο ανωτέρω ενδεχόµενα είναι ασυµβίβαστα: P( B ) P ( Β A ) + P ( Β A ) P ( Β A ) P( B ) P ( Β A ) P ( Β A ) P( B ) P ( Β A ) λόγω της σχέσης () έχουµε:

32 P ( Β A ) 0.95 Άσκηση 6. ii) Όταν λέµε τουλάχιστον ένα µαύρο εννοούµε ουσιαστικά τρία ενδεχόµενα: ( Ε ) ένα µαύρο (Μ) και δύο λευκά (Λ), το οποίο µπορεί να γίνει: είτε ως Μ, Λ, Λ µε πιθανότητα: P( Μ Λ Λ ) { } 5 { } 5 { } 4 P( Μ Λ Λ) 050 είτε ως Λ, Μ, Λ µε πιθανότητα: P( Λ Μ Λ ) { } 5 { } 5 { } 4 P( Λ Μ Λ) 050 είτε ως Λ, Λ, Μ µε πιθανότητα: P( Λ Λ Μ ) { } 5 { } 4 { } 5

33 P( Λ Λ Μ) 050 ηλαδή: P( E ) P( Μ Λ Λ ) + P( Λ Μ Λ ) + P( Λ Λ Μ ) P( E ) 50 ( ) ( Ε ) δύο µαύρα (Μ) και ένα λευκό (Λ), το οποίο µπορεί να γίνει: είτε ως Μ, Μ, Λ µε πιθανότητα: P( Μ Μ Λ ) { } 5 { } 4 { 5 } P( Μ Μ Λ) 00 είτε ως Μ, Λ, Μ µε πιθανότητα: P( Μ Λ Μ ) { } 5 { } 5 { } 4 P( Μ Λ Μ) 00 είτε ως Λ, Μ, Μ µε πιθανότητα:

34 P( Λ Μ Μ ) { } 5 { } 5 { } 4 P( Λ Μ Μ) 00 ηλαδή: P( E ) P( Μ Μ Λ ) + P( Μ Λ Μ ) + P( Λ Μ Μ ) P( E ) 00 ( ) ( Ε ) τρία µαύρα (Μ), δηλ. Μ, Μ, Μ: P( M M M ) { } 5 { } 4 { } P( M M M) 60 ηλαδή: P( E ) 60 ( ) Επειδή τα Ε, Ε και Ε είναι ασυµβίβαστα έχουµε: 4

35 P( E ) P( E ) + P( E ) + P( E ) P( E) 050 P( E) Άσκηση 6. iii) Έστω τα ενδεχόµενα: E ο γιατρός κάνει διάγνωση γρίππης σε έναν εξεταζόµενο A o εξεταζόµενος είναι άρρωστος άρα η αντίστοιχη πιθανότητα είναι: P( A) P( A) 0.4 () A o εξεταζόµενος δεν είναι άρρωστος άρα η αντίστοιχη πιθανότητα είναι: P( A ) P( A ) P( A ) 0.6 () 5

36 Με το θεώρηµα ολικής πιθανότητας θα βρούµε την πιθανότητα ο γιατρός να κάνει διάγνωση γρίππης σε έναν εξεταζόµενο: P( E ) P( A ) P( E A ) + P( A ) P( E A ) () Όµως έχουµε επίσης: Πιθανότητα να κάνει διάγνωση γρίππης ενώ είναι άρρωστος P(E A) 0.9 Πιθανότητα να κάνει διάγνωση γρίππης ενώ δεν είναι άρρωστος P(E A ) - Πιθανότητα να βρει τον εξεταζόµενο υγιή ενώ είναι υγιής Άρα βρίσκουµε από (), (), () ότι P( E)