Η μάθηση των μαθηματικών υπό το πρίσμα αναπτυξιακών διαταραχών που την δυσχεραίνουν Θεωρητικά και διδακτικά ερωτήματα και προκλήσεις

Η μάθηση των μαθηματικών υπό το πρίσμα αναπτυξιακών διαταραχών που την δυσχεραίνουν Θεωρητικά και διδακτικά ερωτήματα και προκλήσεις Γεωργία Γρίβα Email: rajakli1@otenet.gr Περίληψη ομιλίας Η διδακτική των μαθηματικών αποτελεί ένα δυναμικά αναπτυσσόμενο ερευνητικό πεδίο. Στον πυρήνα των ερευνών της βρίσκονται ζητήματα που αφορούν τη βελτίωση της ποιότητας της μαθηματικής εκπαίδευσης στα πλαίσια του εκπαιδευτικού συστήματος, καθώς και ζητήματα που αφορούν την βελτίωση της σχέσης των μαθητών με τη μαθηματική γνώση και πρακτική. Η περαιτέρω ανάπτυξη και αποτελεσματικότητα της έρευνας στη διδακτική των μαθηματικών εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την κατανόηση του πως οι μαθητές, που είναι οι αποδέκτες της διδακτικής πρακτικής, μαθαίνουν. Η διδακτική πρακτική έχει δύο πόλους, τον διδάσκοντα και τον διδασκόμενο, και πολλές φορές λογίζεται ως διαδικασία μιας κατεύθυνσης από τον διδάσκοντα προς τον διδασκόμενο. Θεωρείται με άλλα λόγια ότι ο διδάσκων είναι εκείνος που δρα ώστε να εισαγάγει τον διδασκόμενο σε ένα πεδίο γνώσης και να τον βοηθήσει όσο το δυνατόν περισσότερο να κατανοήσει τη γνώση του πεδίου, ενώ ο διδασκόμενος είναι απλά ο αποδέκτης του οποίου η σχέση με το εν λόγω πεδίο θα είναι τόσο καλύτερη όσο πιο κατάλληλοι, οξυδερκείς και εύστοχοι είναι οι τρόποι διδασκαλίας και τα εκπαιδευτικά έργα που επιλέγει ο διδάσκων. Σ αυτό το σχήμα απουσιάζει το γεγονός ότι ο διδασκόμενος είναι ένα υποκείμενο που ενεργά μετέχει στην εκπαιδευτική διαδικασία, είτε με τρόπο αποτελεσματικό και γόνιμο είτε με τρόπο στείρο, ανάλογα με τις δυνατότητές του (γνωσιακές ικανότητες και δεξιότητες), τις προσδοκίες του και την οπτική του πάνω στην εκπαιδευτική διαδικασία. Ανεξαρτήτως των εσωτερικών και εξωτερικών κινητοποιητικών παραγόντων, ο διδασκόμενος αποτελεί και ένα οργανικό σύστημα που υπόκεινται σε ορισμένους λειτουργικούς κανόνες και περιορισμούς συνδεδεμένους με την αναπτυξιακή πορεία του, στο πλαίσιο των οποίων λαμβάνει χώρα η μαθησιακή διαδικασία. Έχει λοιπόν αξία για τη βελτίωση της διδακτικής πρακτικής να κατανοήσουμε το πώς μαθαίνουν οι διδασκόμενοι, και ως εκ τούτου να κατανοήσουμε αφενός τους παράγοντες που επιδρούν στην μάθηση, και αφετέρου το γνωσιακό - λειτουργικό πλαίσιο στο οποίο αυτή πραγματώνεται. Ένας τρόπος για να διερευνήσουμε τις γνωσιακές ικανότητες με τις οποίες συναρτάται η μάθηση των μαθηματικών, είναι να μελετήσουμε τις περιπτώσεις που αυτή η μάθηση είναι δυσχερής και να βρούμε ποιές είναι οι γνωσιακές ικανότητες που παρουσιάζουν έλλειμμα σ αυτές τις περιπτώσεις. Αυτός είναι ο πυρήνας της ομιλίας μου. Η περίπτωση δυσχερούς κατανόησης μαθηματικών εννοιών και διαδικασιών που θα παρουσιαστεί (case study) είναι η αναπτυξιακή δυσαριθμησία, μια μαθησιακή δυσκολία στην κατανόηση αριθμητικών εννοιών και διαδικασιών που είναι αρκετά διαδεδομένη και απαντάται σε φυσιολογικά κατά τα άλλα παιδιά. Αφού γίνει μια σύντομη περιγραφή των χαρακτηριστικών της, θα παρουσιαστούν ευρήματα πειραματικών μελετών και τα διαμορφούμενα εξηγητικά πλαίσια αυτής. Στο τέλος θα διατυπωθούν τα θεωρητικά και διδακτικά ερωτήματα που η περίπτωση της αναπτυξιακής δυσαριθμησίας θέτει. 1

Το κείμενο της ομιλίας με τίτλο: Η μάθηση των μαθηματικών υπό το πρίσμα αναπτυξιακών διαταραχών που την δυσχεραίνουν Θεωρητικά και διδακτικά ερωτήματα και προκλήσεις Γεωργία Γρίβα Email: rajakli1@otenet.gr Εισαγωγή Η μαθηματκή εκπαίδευση είναι ένα αρκετά σύνθετο και πολυεπίπεδο ζήτημα στο οποίο μπορεί κάποιος χοντρικά να διακρίνει τέσσερις κύριες συνιστώσες: Την κοινωνική πολιτική συνιστώσα. Σ αυτήν περιλαμβάνονται εν πρώτοις ζητήματα που σχετίζονται με την θέση της μαθηματικής εκπαίδευσης σε μια κοινωνία. Μ άλλα λόγια ζητήματα που αφορούν στην κοινωνική χρησιμότητα της μαθηματικής εκπαίδευσης, δηλαδή στον τρόπο, στην ένταση και στην έκταση που η μαθηματική εκπαίδευση επιδρά στην ανάπτυξη της κοινωνίας, της επιστήμης, της τεχνολογίας και της οικονομίας. Περιλαμβάνονται κατά δεύτερον ζητήματα που αφορούν στο πώς η μαθηματική εκπαίδευση μπορεί να συμβάλλει ώστε να επιτευχθούν κάποιοι στόχοι κοινωνικοί και οικονομικοί. Αλλά και ζητήματα πρόσβασης στην μαθηματική εκπαίδευση, τα οποία και καθορίζουν το βαθμό διείσδυσης της μαθηματικής γνώσης σε μια κοινωνία. Την διδακτική συνιστώσα. Αυτή αφορά στον σχεδιασμό της μαθηματικής εκπαίδευσης και στην πραγμάτωσή της στα πλαίσια του εκπαιδευτικού συστήματος. Η επιλογή, η οργάνωση και η κατανομή των μαθηματικών θεμάτων στις βαθμίδες της βασικής εκπαίδευσης (πρωτοβάθμια και δευτεροβάθμια) είναι μερικά από τα ζητήματα που άπτονται του σχεδιασμού της μαθηματικής εκπαίδευσης. Ο καθορισμός των διδακτικών μεθόδων που θα ακολουθηθούν και η διαμόρφωση των εγχειριδίων που θα χρησιμοποιηθούν αποτελούν τους βασικούς άξονες για την επιτυχή υλοποίηση της σχεδιαζόμενης μαθηματικής εκπαίδευσης. Την παιδαγωγική συνιστώσα. Το κυριότερο παιδαγωγικό ερώτημα είναι τι κάνει ένα εκπαιδευτικό περιβάλλον να είναι ένα κατάλληλο και ευνοϊκό περιβάλλον για την μάθηση και τη γνώση. Ως εκ τούτου διερευνώνται οι παράγοντες που σε ένα εκπαιδευτικό περιβάλλον συμβάλλουν στην ανάπτυξη των κινήτρων, των δεξιοτήτων και των νοητικών ικανοτήτων που είναι απαραίτητες για την μάθηση, και στην περίπτωσή μας για την μάθηση των μαθηματικών. Την αναπτυξιακή - γνωσιακή συνιστώσα. Τα ανθρώπινα όντα από τη στιγμή της γέννησης τους αναπτύσσονται σταδιακά και προοδευτικά ως την ωρίμανσή τους. Σε κάθε αναπτυξιακό στάδιο μερικές μόνο από τις δυνατότητές τους βρίσκονται σε πλήρη ανάπτυξη ενώ άλλες βρίσκονται σε εξέλιξη. Η μαθηματική εκπαίδευση οφείλει να είναι εναρμονισμένη με τα διάφορα αναπτυξιακά στάδια αλλά και να συμβάλλει στην ανάπτυξη και εξέλιξη των δυνάμει ικανοτήτων των ατόμων. Ως εκ τούτου μερικά από τα ζητήματα που απασχολούν την αναπτυξιακή συνιστώσα της μαθηματικής εκπαίδευσης αφορούν το ποιές είναι οι γνωσιακές ικανότητες που βρίσκονται σε λειτουργία σε διάφορες ηλικιακές περιόδους καθώς και το ποιές είναι εκείνες που πρέπει να αναπτυχθούν. Η εύρεση των εν ενεργεία 2

γνωσιακών ικανοτήτων σε διάφορες ηλικιακές φάσεις αποσαφηνίζει το γνωσιακό πλαίσιο μέσα στο οποίο είναι δυνατή η κατανόηση μαθηματικών εννοιών και διαδικασιών σ αυτές τις ηλικιακές φάσεις, ενώ η εύρεση των προς εξέλιξη γνωσιακών ικανοτήτων καθορίζει το γνωσιακό πλαίσιο στόχο της μαθηματικής εκπαίδευσης. Οι τέσσερις αυτές συνιστώσες της μαθηματικής εκπαίδευσης δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους παρ ότι αποτελούν ξεχωριστά πεδία έρευνας και μελέτης. Το τι μαθηματικά θα διδάξουμε για παράδειγμα στην πρώτη δημοτικού αλλά και το πώς θα τα διδάξουμε (διδακτική συνιστώσα) έχει άμεση σχέση με τα γνωσιακά όρια της συγκεκριμένης ηλικιακής ομάδας (αναπτυξιακή - γνωσιακή συνιστώσα). Έχει όμως σχέση και με τις πολιτισμικές κατακτήσεις της κοινωνίας της οποίας είμαστε μέλη, με τις κοινωνικές αναγκαιότητες στις οποίες κάθε μαθητής θα πρέπει να μάθει να ανταπεξέρχεται ώστε να είναι κοινωνικά λειτουργικός (π.χ. οικονομικές συναλλαγές, μέτρηση χρόνου, μάζας, απόστασης κ.τ.λ.), αλλά και με τις ανάγκες που η κοινωνία πρέπει να ικανοποιήσει ώστε να προοδεύσει (π.χ. να αυξηθεί ο αριθμός των μελών της που μπορούν να χειριστούν και να αναπτύξουν νέες τεχνολογίες) (κοινωνική πολιτική συνιστώσα). Και αφού η μαθηματική εκπαίδευση λαμβάνει κυρίως χώρα σε ένα σχολικό περιβάλλον, το πώς αυτό θα διαμορφωθεί ώστε να είναι εύρρυθμο και μαθησιακά αποτελεσματικό είναι ζήτημα που διερευνάται στα πλαίσια της παιδαγωγικής συνιστώσας. Το πλέγμα των αλληλοεξαρτήσεων μεταξύ των συνιστωσών της μαθηματικής εκπαίδευσης καθιστά αναγκαία την ενημέρωση όσων ασχολούνται με μια από τις συνιστώσες για τα ευρήματα και τα πορίσματα των ερευνητών στις άλλες συνιστώσες, ώστε να επιτυγχάνεται πρόοδος, βελτιστοποίηση και μεγαλύτερη αξιοπιστία και στα πορίσματα αυτής. Μέσα σ αυτό το πλαίσιο σκέψεων αποφασίστηκε το θέμα της σημερινής διάλεξης να είναι το πώς η αναπτυξιακή ψυχολογία και η γνωσιακή επιστήμη μπορούν να ενημερώσουν την διδακτική των μαθηματικών για θέματα που αφορούν το γνωσιακό πλαίσιο μέσα στο οποίο αναπτύσσεται ή καλείται να αναπτυχθεί η μαθηματική σκέψη και πρακτική. Και πιο ειδικά, για το τι πληροφορίες μπορούμε να αποκομίσουμε αναφορικά με αυτό το γνωσιακό πλαίσιο από τις αναπτυξιακές διαταραχές που προκαλούν δυσκολίες ή και εμποδίζουν σε κάποιο βαθμό τη μάθηση των μαθηματικών. Οι αναπτυξιακές διαταραχές με τις οποίες θα ασχοληθούμε είναι η αναπτυξιακή δυσαριθμησία (developmental dyscalculia) και η αναπτυξιακή δυσλεξία (developmental dyslexia). Ο λόγος που επιλέχθηκαν είναι ότι και οι δύο αυτές διαταραχές εμφανίζονται συχνά και μάλιστα σε παιδιά που ως προς τις εν γένει νοητικές τους ικανότητες είναι απολύτως φυσιολογικά. Ως εκ τούτου είναι πιθανόν να τα συναντήσει ένας εκπαιδευτικός σε μια συνήθη σχολική τάξη ενός συμβατικού σχολείου. Αναπτυξιακή Δυσαριθμησία Σύμφωνα με την Αμερικανική Ψυχιατρική Εταιρεία (Diagnostic and Statistical Manual of Mental Disorders, American Psychiatric Press, 1994), η αναπτυξιακή δυσαριθμησία είναι μια ειδική μαθησιακή διαταραχή που επηρεάζει την ομαλή απόκτηση αριθμητικών γνώσεων και δεξιοτήτων, παρά την φυσιολογική ευφυϊα του ατόμου, την συναισθηματική σταθερότητα, τις εκπαιδευτικές ευκαιρίες και την παρουσία κινήτρων. Η απόκτηση αριθμητικών γνώσεων και δεξιοτήτων αποτελεί μια αναγκαιότητα δεδομένου ότι οι αριθμοί και οι αριθμητικοί υπολογισμοί είναι αναπόσπαστο μέρος της καθημερινότητάς μας (εκτός των οικονομικών 3

συναλλαγών, η γνώση των αριθμών είναι αναγκαία από το να εντοπίσεις τη θέση ενός σπιτιού σ ένα δρόμο μέχρι το να μπορείς να διαβάσεις το κοντέρ του αυτοκινήτου). Όσον αφορά δε τα ίδια τα μαθηματικά, η γνώση των αριθμών και των αριθμητικών υπολογισμών αποτελούν την βασικότερη, την πιο θεμελιώδη γνώση δίχως την οποία δεν μπορεί να αναπτυχθεί μαθηματική σκέψη και να κατανοηθεί το ίδιο το μαθηματικό οικοδόμημα. Οτιδήποτε λοιπόν διαταράσσει, δυσχεραίνει ή και εμποδίζει την μάθηση των αριθμών και των αριθμητικών υπολογισμών καθιστά δυσπρόσιτο ή ακόμα και αδύνατο τον μαθηματικό εγγραμματισμό, και κατά συνέπεια το άτομο καθίσταται κοινωνικά δυσλειτουργικό. Η αναπτυξιακή δυσαριθμησία είναι σχετικά συχνή στατιστικές μελέτες σε διάφορες χώρες όπως ΗΠΑ, Γερμανία, Ινδία και Ισραήλ δείχνουν ότι η αναπτυξιακή δυσαριθμησία πλήττει ένα 3 6,5% των μαθητών. Ως μαθησιακή διαταραχή εμφανίζεται τόσο σε αγόρια όσο και σε κορίτσια ανεξαρτήτως εθνικών και πολιτισμικών χαρακτηριστικών, αλλά και κοινωνικής και οικονομικής κατάστασης. Η αναπτυξιακή δυσαρριθμησία εμφανίζεται είτε ως αυτοτελής μαθησιακή διαταραχή, είτε ως σύμπτωμα νευροβιολογικών διαταραχών όπως η διαταραχή ελλειμματικής προσοχής και υπερκινητικότητας (attention-deficit hyperactivity disorder, ADHD), η αναπτυξιακή γλωσσική διαταραχή, η επιληψία και τα σύνδρομα Turner και Gerstmann, είτε συνυπάρχει με άλλες μαθησιακές διαταραχές όπως η δυσλεξία, από τις οποίες είναι εν γένει ανεξάρτητη (υπάρχουν παιδιά με δυσλεξία που δεν εμφανίζουν δυσαριθμησία και το ανάποδο). Σε μια ταξινόμηση που προτάθηκε από τον Kosc (1974) διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι αναπτυξιακής δυσαριθμησίας: α) Η λεκτική δυσαριθμησία. Η μορφή αυτή εκδηλώνεται με δυσκολία ή αδυναμία κατονομασίας μαθηματικών όρων, αντικειμένων και σχέσεων. Για παράδειγμα, το παιδί δυσκολεύεται να πει ποιός αριθμός εκφράζει το πλήθος μιας συλλογής αντικειμένων ή το μέγεθος μιας ποσότητας, να ονομάσει ένα ψηφίο ή έναν αριθμό που του παρουσιάζεται, τα σύμβολα των πράξεων και τα μέρη μιας αριθμητικής παράστασης. Γενικώς, υπάρχει δυσκολία ή αδυναμία συσχέτισης ακουστικά προσλαμβανόμενων ονομάτων με οπτικά σύμβολα, καθώς και οπτικών συμβόλων με ονόματα. Υπάρχει επίσης, όπως είναι αναμενόμενο, δυσκολία κατανόησης και απάντησης προφορικής ή γραπτής σε προβλήματα που παρουσιάζονται είτε προφορικά είτε γραπτά. β) Η πρακτογνωστική δυσαριθμησία. Η μορφή αυτή εκδηλώνεται με δυσκολία ή αδυναμία απαρίθμησης αλλά και διάταξης ενός πλήθους πραγματικών αντικειμένων (π.χ. δάχτυλα, κύβοι, ράβδοι, μπάλες κ.τ.λ.) και σύγκρισης μεγεθών και ποσοτήτων. Για παράδειγμα ένα παιδί με πρακτογνωστική δυσαριθμησία δυσκολεύεται ή αδυνατεί να διατάξει κατά σειρά μεγέθους ένα πλήθος ράβδων ή κύβων, καθώς και να συγκρίνει δύο ράβδους ή κύβους και να πει αν έχουν ίσο μέγεθος ή ποιό από τα δύο είναι μεγαλύτερο σε μέγεθος. Δυσκολεύεται επίσης ή αδυνατεί να ομαδοποιήσει αντικείμενα, να κάνει ένα προς ένα αντιστοιχίσεις (π.χ. ενός αριθμού με μια ορισμένη ποσότητα ή μ ένα ορισμένο μέγεθος) και να κατανοήσει την σχετική απόσταση αριθμών βάσει της τάξης μεγέθους του καθενός (π.χ. δεν κατανοούν ότι το 4 είναι κοντύτερα στο 5 απ ότι στο 6). γ) Η λεξιλογική δυσαριθμησία (ή αλλιώς, αριθμητική δυσλεξία). Σ αυτόν τον τύπο το παιδί παρουσιάζει δυσκολία ή αδυναμία ανάγνωσης μαθηματικών συμβόλων όπως ψηφία, αριθμούς και σύμβολα πράξεων που εμφανίζονται είτε μεμονωμένα, είτε σε μαθηματικές παραστάσεις. Στην πιο σοβαρή μορφή το παιδί δεν μπορεί να διαβάσει 4

μεμονωμένα ψηφία (π.χ. το 3 ή το 7) και τα απλά σύμβολα των πράξεων (+, -, x, :). Στις λιγότερο σοβαρές μορφές το παιδί δεν μπορεί να διαβάσει πολυψήφιους αριθμούς (ειδικά αυτούς που έχουν περισσότερα από ένα μηδενικά στο μέσον), κλάσματα, δεκαδικούς και τετραγωνικές ρίζες, και δυσκολεύεται ή αδυνατεί να διαβάσει περισσότερους από δύο διψήφιους και άνω αριθμούς αν είναι γραμμένοι σε οριζόντια διάταξη όπως γίνεται π.χ. σε μια μαθηματική παράσταση. Σε κάποιες περιπτώσεις συγχέονται όμοια σε εμφάνιση ψηφία όπως το 3 και το 8, ή αντιστρέφονται κατά την ανάγνωση διψήφιοι αριθμοί που έχουν τα ίδια ψηφία όπως λόγου χάριν το 12 και το 21. δ) Η γραφική δυσαριθμησία (ή αλλιώς, αριθμητική δυσγραφία). Σ αυτόν τον τύπο το παιδί παρουσιάζει δυσκολία ή αδυναμία γραφής αριθμών και αριθμητικών συμβόλων που του υπαγορεύονται ή που του ζητείται να αντιγράψει. Για παράδειγμα, τα αριθμητικά σύμβολα που γράφει το παιδί μπορεί να είναι ανεστραμμένα, περιεστραμμένα, άσχημα διαμορφωμένα ή πολύ μεγάλα. Μπορεί ακόμα να συγχέει τα αριθμητικά σύμβολα που έχουν παρόμοια εμφάνιση και να γράφει το ένα αντί του άλλου. Υπάρχει επίσης δυσκολία στην γραπτή παραγωγή αριθμών και σχημάτων από μνήμης αλλά και στην αντιγραφή αριθμών και σχημάτων. Παρουσιάζεται ακόμα και μια δυσκολία στη διάταξη των αριθμών στο χώρο κατά την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων στο χαρτί. Η λεξιλογική δυσαριθμησία (αριθμητική δυσλεξία) και η γραφική δυσαριθμησία (αριθμητική δυσγραφία) απαντώνται στη βιβλιογραφία ως οι δύο μορφές αριθμητικής δυσυμβολίας. Συνήθως συνυπάρχουν με τη δυσλεξία και τη δυσγραφία. Στην δική της ταξινόμηση η Badian (1983) εντάσσει την λεξιλογική δυσαριθμησία στην κατηγορία της αλεξίας και την γραφική δυσαριθμησία στην κατηγορία της αγραφίας. Σύμφωνα με τον νευροεπιστημονικό ορισμό τους, η αλεξία είναι μια επίκτητη διαταραχή της ικανότητας ανάγνωσης λέξεων και συμβόλων και η αγραφία είναι μια επίκτητη διαταραχή της ικανότητας γραφής λέξεων και συμβόλων, που προέρχονται από βλάβες σε συγκεκριμένα εγκεφαλικά συστήματα. ε) Η ιδεογνωστική δυσαριθμησία. Πρόκειται για δυσκολία ή αδυναμία κατανόησης μαθηματικών εννοιών που αφορούν αντικείμενα ή σχέσεις, καθώς και εκτέλεσης νοερών υπολογισμών. Στην περίπτωση της ιδεογνωστικής δυσαριθμησίας το παιδί δυσκολεύεται να κατανοήσει την σχετική απόσταση των αριθμών βάσει της τάξης μεγέθους τους (π.χ. δεν κατανοούν ότι το 4 είναι κοντύτερα στο 5 απ ότι στο 6), σχεσιακές έννοιες όπως κατεύθυνση και μέτρηση, καθώς και ποσοτικά μετρήσιμες έννοιες όπως βάρος, διάστημα και χρόνος. Γενικώς, υπάρχει μια δυσκολία μετακίνησης από το συγκεκριμένο στο ημιαφηρημένο και στο αφηρημένο επίπεδο, καθώς και μια δυσκολία μετακίνησης από μια μαθηματική σκέψη ή διεργασία σε μια άλλη, αλλά και ανεπαρκής μνήμη βασικών αριθμητικών γεγονότων (όπως λόγου χάριν εκτέλεσης απλών μαθηματικών πράξεων). Αυτά έχουν ως συνέπεια την αδυναμία επιλογής και σχεδιασμού της κατάλληλης διαδικασίας για τη λύση ενός προβλήματος. Η ιδεογνωστική δυσαριθμησία εμφανίζεται πολλές φορές στα πλαίσια μιας γενικότερης διανοητικής διαταραχής. στ) Η λειτουργική δυσαριθμησία (ή κατά τους Hecaen et al. (1961) και την Badian (1983) αναριθμησία). Πρόκειται για διαταραχή στην εκτέλεση αριθμητικών υπολογισμών και μαθηματικών πράξεων. Σ αυτή την περίπτωση το παιδί εμφανίζει δυσκολία να θυμηθεί και να ακολουθήσει τους αλγόριθμους των πράξεων. Συγχέει επίσης τις πράξεις και εκτελεί πρόσθεση αντί για πολλαπλασιασμό, ή αφαίρεση αντί 5

για διαίρεση, εμφανίζοντας γενικώς μια τάση να αντικαθιστά τις πιο περίπλοκες πράξεις με απλούστερες. Η ταξινόμηση των τύπων αναπτυξιακής δυσαριθμησίας από την Badian (1983) περιλαμβάνει δύο ακόμα τύπους: Α) Την δυσαριθμησία που σχετίζεται με την αντίληψη του χώρου. Σ αυτή την περίπτωση τα παιδιά ευθυγραμμίζουν λανθασμένα τις στήλες των ψηφίων στις γραπτές κατακόρυφες προσθέσεις και αφαιρέσεις, δυσκολεύονται στην αρίθμηση προς τα πίσω, αλλά και συγχέουν τους λεπτοδείκτες και τους ωροδείκτες όταν λένε την ώρα. Γενικώς υπάρχει δυσκολία στην χωρική διάταξη των αριθμών και σύγχηση των κατευθύνσεων αριστερά δεξιά. Β) Την δυσαριθμησία που σχετίζεται με τη συγκέντρωση της προσοχής. Σ αυτή την περίπτωση τα παιδιά δυσκολεύονται να απομνημονεύσουν τον πίνακα του πολλαπλασιασμού, ξεχνούν να βάλουν υποδιαστολή στους δεκαδικούς αριθμούς, παραλείπουν ψηφία στις γραπτές μαθηματικές παραστάσεις και κατά την εκτέλεση των πράξεων, και παραλείπουν τα κρατούμενα κατά την εκτέλεση των προσθέσεων και των αφαιρέσεων. Η δυσαριθμησία αυτού του τύπου συναντάται συνήθως σε παιδιά που πάσχουν από διαταραχή ελλειμματικής προσοχής και υπερκινητικότητας (attention-deficit hyperactivity disorder, ADHD). Οι αναφερθέντες τύποι αναπτυξιακής δυσαριθμησίας είναι δυνατόν να εμφανιστούν μεμονωμένα ή σε συνδυασμό όπως για παράδειγμα στην περίπτωση του συνδρόμου Gerstmann που χαρακτηρίζεται από αγνωσία δαχτύλων, αναριθμησία, διαταραχή του αριστερά δεξιά και αγραφία. Σε πολλούς από τους ανωτέρω τύπους η δυσαριθμησία είτε είναι σύμπτωμα ενός φάσματος νευροβιολογικών διαταραχών, είτε συνυπάρχει με άλλες μαθησιακές διαταραχές από τις οποίες είναι εν γένει ανεξάρτητη. Το ερώτημα λοιπόν είναι πώς μπορούν να διακριθούν οι περιπτώσεις καθαρής αναπτυξιακής δυσαριθμησίας από εκείνες στις οποίες οι μαθησιακές δυσκολίες στην απόκτηση μαθηματικών γνώσεων και δεξιοτήτων είτε είναι απόρροια άλλων διαταραχών ή μιας γενικότερης νοητικής διαταραχής, είτε συνυπάρχουν με άλλες, ανεξάρτητες μαθησιακές δυσκολίες. Μ άλλα λόγια το ερώτημα είναι ποιά είναι τα χαρακτηριστικά που ορίζουν τη δυσαριθμησία καθιστώντας τη μια ιδιαίτερη μαθησιακή διαταραχή. Η αναπτυξιακή δυσαριθμησία ως αυτοτελής μαθησιακή διαταραχή διαπιστώνεται σε περιπτώσεις όπου η ευφυϊα του ατόμου είναι φυσιολογική, δεν υπάρχει ιστορικό ψυχικών ή άλλων διαταραχών, το άτομο έχει φοιτήσει ή φοιτά σε κανονικό συμβατικό σχολείο, δεν ζει σε αποστερημένο από πολιτισμικά ερεθίσματα περιβάλλον και ικανοποιεί ένα από τα ακόλουθα κριτήρια (ή ικανοποιεί και τα δύο): α) οι επιδόσεις του στην αριθμητική είναι αισθητά κατώτερες από το διανοητικό του δυναμικό, β) οι αριθμητικές του επιδόσεις είναι τουλάχιστον 2 χρόνια πίσω από το αναμενόμενο για την ηλικία του επίπεδο. Κάποιοι ερευνητές (λ.χ. Shalev, 2004) αμφισβητούν την αξιοπιστία αυτών των κριτηρίων επισημαίνοντας αφενός ότι η συσχέτιση διανοητικού δυναμικού και αριθμητικών επιδόσεων θα επέτρεπε διανοητικά προικισμένα παιδιά που οι αριθμητικές τους επιδόσεις δεν είναι εξαιρετικές αλλά στα όρια του φυσιολογικού να χαρακτηριστούν ως έχοντα μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, και αφετέρου ότι το κριτήριο των κατά 2 τουλάχιστον έτη χαμηλότερη επίδοση από το αναμενόμενο επίπεδο δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε παιδιά της Α και Β Δημοτικού αλλά ούτε και σ αυτούς που τελειώνουν το Γυμνάσιο, στο οποίο τα μαθηματικά είναι πιο σύνθετα και οι δυσκολίες σ αυτά μπορεί να έχουν άλλη αιτία. Σύμφωνα με αυτούς τους ερευνητές 6

το πιο αξιόπιστο κριτήριο για τη διάγνωση της αναπτυξιακής δυσαριθμησίας είναι η επίδοση σε σταθμισμένα τεστ που ελέγχουν τις αριθμητικές δεξιότητες. Στο σύνολο των πειραματικών μελετών τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται σταθμισμένα τεστ για τον έλεγχο των αριθμητικών δεξιοτήτων. Ενδεικτικά αναφέρονται μερικά από τα πιο διαδεδομένα, καθώς και τα έργα που περιλαμβάνουν: Stanford-Binet Intelligence Scale IV (SB-IV) - Quantitative Reasoning subtest. Αυτό το τεστ μετράει τον βαθμό μαθηματικού συλλογισμού, την ικανότητα εφαρμογής βασικών μαθηματικών διαδικασιών, καθώς και τον βαθμό κατανόησης μαθηματικών εννοιών, συμβόλων και λεξιλογίου. Woodcock-Johnson Test of Academic Achievment Revised (WJ-R) - Calculation subtest, Applied Problems, and Mathematics Reasoning subtest. Το Calculation subtest είναι ένα μέτρο της δεξιότητας (ακρίβεια, ταχύτητα) στην εκτέλεση των 4 αριθμητικών πράξεων. Το Mathematics Reasoning subtest είναι ένα μέτρο της ικανότητας περάτωσης μαθηματικών πράξεων βασιζόμενων σε σενάρια πραγματικού κόσμου (real-world scenarios) και της κατανόησης μαθηματικών εννοιών και ποσοτικών σχέσεων (στο Mathematics Reasoning subtest περιλαμβάνεται και το κομμάτι των εφαρμοσμένων προβλημάτων). ABCA battery. Αυτή η συστοιχία συνίσταται σε τρία μέρη: αριθμητικοί υπολογισμοί, κατανόηση αριθμών και παραγωγή αριθμών. Στους αριθμητικούς υπολογισμούς περιλαμβάνονται έργα εκτέλεσης νοερών (mental) και γραπτών υπολογισμών των τεσσάρων πράξεων με έως και τετραψήφιους αριθμούς. Στην κατανόηση αριθμών περιλαμβάνονται έργα ονομασίας και χρήσης αριθμητικών συμβόλων, διάταξης αριθμών, σύγκρισης αριθμητικών μεγεθών και αναγνώρισης της αξίας των ψηφίων ανάλογα με τη θέση τους σε γραπτές παραστάσεις αριθμών. Τέλος, στην παραγωγή αριθμών περιλαμβάνονται έργα ανάστροφης μέτρησης (10, 9, 8, ), γραφής αριθμών, απαρίθμησης κουκίδων (dot counting), κατακόρυφης στοίχισης αριθμών ανάλογα με την αξία των ψηφίων τους και προφορικής επίλυσης απλών αριθμητικών υπολογισμών. Wechsler Individual Achievement Test - Mathematics Reasoning subtest. Τα έργα που περιλαμβάνονται σ αυτό το τεστ εκτιμούν αφενός τις βασικές αριθμητικές δεξιότητες όπως την απαρίθμηση (counting) και την εκτέλεση απλών αριθμητικών υπολογισμών των τεσσάρων πράξεων, και αφετέρου εκτιμούν πιο προχωρημένες δεξιότητες όπως την ανάγνωση γραφημάτων (graph reading) και την εύρεση της ώρας (time telling). Χρησιμοποιούνται επίσης σταθμισμένα τεστ για τον έλεγχο της γενικής ευφυϊας των παιδιών (IQ) ώστε να εξασφαλιστεί ότι οι δυσκολίες που εμφανίζουν στα μαθηματικά δεν είναι αποτέλεσμα μη φυσιολογικής ανάπτυξης της νοημοσύνης τους. Από τις μέχρι τώρα περιγραφές των διαφόρων τύπων αναπτυξιακής δυσαριθμησίας αλλά και των έργων που περιλαμβάνονται στα παραπάνω σταθμισμένα τεστ, γίνεται φανερό ότι τόσο αυτό που ονομάζουμε κατανόηση των αριθμών, όσο και αυτό που ονομάζουμε αριθμητική δεξιότητα, συνίστανται σε ένα σύνολο επιμέρους δεξιοτήτων. Η ικανότητα αντιστοίχησης ενός πλήθους αντικειμένων με έναν αριθμό στην λεκτική και την συμβολική του μορφή, η ικανότητα αντιστοίχησης αριθμητικών λέξεων με αριθμητικά σύμβολα, η ικανότητα σύγκρισης των πληθικοτήτων που εκφράζονται από τους διάφορους αριθμούς αλλά και η ικανότητα διάταξης των αριθμών στη βάση των εκφραζόμενων πληθικοτήτων, και ακόμα η κατανόηση των κανόνων που διέπουν την γραφή των αριθμών, είναι 7

ικανότητες που συνιστούν αυτό που ονομάζεται κατανόηση των αριθμών. Η αριθμητική δεξιότητα από την άλλη μεριά προϋποθέτει την κατανόηση των αριθμών και επιπλέον συνίσταται στην ικανότητα κατανόησης του νοήματος των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων, στην ικανότητα κατανόησης των αλγορίθμων και των στρατηγικών που χρησιμοποιούνται για την εκτέλεση των αριθμητικών πράξεων, καθώς και των κανόνων που διέπουν αυτές τις πράξεις (π.χ. αντιμεταθετική ιδιότητα στην πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό). Οι δεξιότητες που συνιστούν τόσο την κατανόηση των αριθμών όσο και την αριθμητική δεξιότητα συνδέονται με τα βήματα που ακολουθούνται κατά την πορεία μάθησης των αριθμητικών εννοιών και διαδικασιών, η οποία και είναι μια εξαιρετικά σύνθετη και πολύπλοκη πορεία. Οι φυσικοί αριθμοί με τους οποίους έρχονται κατ αρχήν σε επαφή τα παιδιά από την προσχολική ηλικία είναι σημασιολογικά συνδεδεμένοι κυρίως με την έννοια της πληθικότητας. Το παιδί μαθαίνει αρχικά ότι ένας φυσικός αριθμός χρησιμοποιείται για να εκφράσει το πλήθος μιας συλλογής αντικειμένων που παρουσιάζονται μπροστά στα μάτια του. Μαθαίνει να μετράει έναένα τα αντικείμενα της συλλογής και ότι ο αριθμός που λέει κάθε φορά που μετράει ένα αντικείμενο εκφράζει το πλήθος των αντικειμένων που έχει μέχρι εκείνη τη στιγμή μετρήσει. Με αυτή την διαδικασία μαθαίνει ότι κάθε συγκεκριμένο πλήθος αντικειμένων που μπορεί άμεσα να δει εκφράζεται από μια ορισμένη λέξη (π.χ. «δύο» όταν τα αντικείμενα που έχει μετρήσει είναι δύο) και εγκαθιδρύεται μια σχέση αντιστοιχίας ανάμεσα σε ένα ορισμένο πλήθος αντικειμένων οπτικά προσλαμβανόμενο και σε μια αριθμητική έννοια εκφρασμένη σε λεκτική μορφή. Μαθαίνει ακόμα ότι κάθε φορά που μετράει ένα ακόμα αντικείμενο και άρα το πλήθος μεγαλώνει, η αριθμητική λέξη που χρησιμοποιείται αλλάζει αλλά και ότι οι αριθμητικές λέξεις χρησιμοποιούνται με μια ορισμένη σειρά που εκφράζει και τη μεταβολή στην πληθικότητα κατά ένα κάθε φορά. Μαθαίνει έτσι τη διάταξη των αριθμών βάσει του πλήθους που εκφράζουν. Στη συνέχεια μαθαίνει να αντιστοιχεί το πλήθος αντικειμένων μιας συλλογής με ένα γραπτό σύμβολο, γεγονός που αυξάνει τον αριθμό των προσδοκόμενων συνδέσεων αφού ένα πλήθος αντικειμένων αντιστοιχίζεται σε μια λέξη αλλά και σε ένα γραπτό σύμβολο το οποίο πρέπει με τη σειρά του να αντιστοιχηθεί με την αριθμητική λέξη. Στα αρχικά στάδια μάθησης των αριθμών οι αριθμητικές πράξεις που το παιδί μαθαίνει είναι εκείνες που μπορούν να υποστηριχτούν από την εποπτεία. Μιλάμε για την πρόσθεση και την αφαίρεση, οι οποίες αποκτούν το νόημα τους μέσω πραγματικών πράξεων εισαγωγής ή εξαγωγής αντικειμένων από μια συλλογή, καθώς και από την ανάταση ή το κατέβασμα των δαχτύλων των χεριών. Στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού οι αριθμοί απεγκλωβίζονται σταδιακά από το στοιχείο της άμεσης εποπτείας και τα παιδιά μαθαίνουν να γράφουν και να διαβάζουν αριθμούς διψήφιους, τριψήφιους κ.τ.λ. χωρίς να βλέπουν το αντίστοιχο πλήθος αντικειμένων που αυτοί εκφράζουν. Η σχέση τους έτσι με τους αριθμούς γίνεται πιο αφαιρετική και η κατανόηση των αριθμών μεταφέρεται από το οπτικο-χωρικά απεικονίσιμο επίπεδο στο γλωσσικό επίπεδο (λεκτικό συμβολικό). Η μάθηση των αριθμητικών πράξεων μεταφέρεται επίσης από το πραγματιστικό επίπεδο στο γλωσσικό επίπεδο δεδομένου ότι τα παιδιά μαθαίνουν τους αλγόριθμους των τεσσάρων πράξεων και τους κανόνες που τους διέπουν. Τα παιδιά καλούνται τέλος να μάθουν και να συγκρατήσουν στη μνήμη τους αριθμητικά αποτελέσματα απλών προσθέσεων και αφαιρέσεων καθώς και τους πίνακες του πολλαπλασιασμού προκειμένου να εκτελούν γρήγορα αριθμητικούς υπολογισμούς. Είναι φανερό από την παραπάνω περιγραφή της μαθησιακής πορείας απόκτησης των αριθμητικών εννοιών και δεξιοτήτων κατά την προσχολική και την 8

αρχική σχολική ηλικία ότι τα παιδιά καλούνται να χρησιμοποιήσουν αλλά και να αναπτύξουν ένα σύνολο γνωσιακών ικανοτήτων. Πρέπει να χρησιμοποιήσουν αλλά και να αναπτύξουν κατ αρχήν τις γλωσσικές τους ικανότητες ώστε να είναι δυνατόν να κατανοήσουν τις έννοιες και τις διαδικασίες που τους παρουσιάζονται με λεκτικό τρόπο (η μάθηση πραγματώνεται μέσα σε ένα γλωσσικό-λεκτικό πλαίσιο). Δεδομένου όμως ότι η γλώσσα χρησιμοποιεί και ένα συμβολικό σύστημα για να εκφράσει ιδέες και νοήματα, τα παιδιά πρέπει να αναπτύξουν και την ικανότητα να χρησιμοποιούν το γλωσσικό-συμβολικό σύστημα, καθώς και να μεταφράζουν το λεκτικό στο συμβολικό και το συμβολικό στο λεκτικό. Πρέπει ακόμα να χρησιμοποιήσουν αλλά και να αναπτύξουν τις οπτικο-χωρικές τους ικανότητες - και μάλιστα με επιτακτικό τρόπο στα αρχικά στάδια της μαθησιακής πορείας καθόσον αυτές εμπλέκονται στις παραστάσεις των αριθμητικών εννοιών. Οι παραστάσεις αυτές δεν αφορούν μόνο την παρουσίαση των αριθμητικών εννοιών (π.χ. πληθικότητα, πρόσθεση, αφαίρεση) μέσω παραδειγμάτων με σύνολα αντικειμένων, με σχεδίαση πλήθους αντικειμένων, με πλαστελίνες, αριθμητήρια κ.τ.λ., αλλά και τις συμβολικές παραστάσεις των αριθμών και των αριθμητικών πράξεων (π.χ. στη γραφή διψήφιων και πάνω αριθμών η θέση κάθε ψηφίου έχει ορισμένο νόημα ώστε το αριστερά και το δεξιά να συνδέεται με διαφορετική αριθμητική αξία). Σημαντικό ρόλο στην πορεία μάθησης των αριθμητικών εννοιών παίζουν επίσης οι μνημονικές ικανότητες των παιδιών. Τα παιδιά πρέπει να θυμούνται τη σειρά των αριθμητικών λέξεων, καθώς και τους αλγόριθμους για την εκτέλεση των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων και τους σχετικούς κανόνες (π.χ. στον πολλαπλασιασμό δεν παίζει ρόλο η στοίχηση των αριθμών σύμφωνα με την αξία των ψηφίων τους). Πρέπει επίσης να θυμούνται κάποια βασικά αποτελέσματα αριθμητικών πράξεων (π.χ. προπαίδεια) ώστε οι υπολογισμοί τους να είναι ευχερείς, δηλαδή ακριβείς και γρήγοροι. Ο συντονισμός και η ομαλή λειτουργία όλων αυτών των γνωσιακών ικανοτήτων είναι αναγκαίες (και ίσως και ικανές) συνθήκες για την κατανόηση των αριθμητικών εννοιών και την ανάπτυξη αριθμητικών δεξιοτήτων που αποτελούν τη βάση του μαθηματικού εγγραμματισμού. Η μάθηση των αριθμών και των αριθμητικών υπολογισμών είναι έτσι μια πολύπλοκη και πολυεπίπεδη διαδικασία και είναι εύλογο και αναμενόμενο πως οτιδήποτε διαταράσσει ή εμποδίζει την ανάπτυξη κάποιας από τις επιμέρους γνωσιακές ικανότητες δυσχεραίνει ή αδυνατίζει την δυνατότητα μαθηματικού εγγραμματισμού. Οι έρευνες πάνω στην αναπτυξιακή δυσαριθμησία αποσκοπούν σε ένα πρώτο επίπεδο στον ακριβή εντοπισμό εκείνων των αριθμητικών δεξιοτήτων που είναι δυσχερείς είτε στο σύνολο των παιδιών είτε στο μεγαλύτερο ποσοστό των παιδιών που εμφανίζουν μαθησιακές δυσκολίες στην αριθμητική. Μ άλλα λόγια αναζητείται ποιά ή ποιές από τις συνιστάμενες δεξιότητες είναι διαταραγμένη/νες: είναι η ικανότητα συμβολικής παράστασης των αριθμών, είναι η ικανότητα απομνημόνευσης των αλγορίθμων ή των αποτελεσμάτων, κ.τ.λ. Το ζητούμενο είναι σημαντικό για τον καθορισμό των κύριων χαρακτηριστικών της αναπτυξιακής δυσαριθμησίας και ως εκ τούτου για τον ορισμό της ως αναπτυξιακή διαταραχή. Σ ένα δεύτερο επίπεδο, οι έρευνες στην αναπτυξιακή δυσαριθμησία διερευνούν τον βαθμό επίδρασης κάθε μιας από τις επιμέρους γνωσιακές ικανότητες (γλωσσική, οπτικο-χωρική, μνημονική, εκτελεστική) στην κατανόηση των αριθμητικών εννοιών και στην απόκτηση των αριθμητικών δεξιοτήτων, καθώς και ποιές άλλες γνωσιακές ικανότητες συμβάλλουν σ αυτά. Ο στόχος είναι να βρεθούν και να μελετηθούν οι γνωσιακές ικανότητες των οποίων η λειτουργική ανάπτυξη και ο συντονισμός είναι αναγκαίες (και ίσως και ικανές) για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης. Από την εύρεση και μελέτη αυτών των επιμέρους γνωσιακών ικανότητων μπορεί να διαμορφωθεί ένα θεωρητικό 9

μoντέλο ανάπτυξης της μαθηματικής σκέψης που θα επιτρέπει τόσο την περιγραφή αυτής όσο και την εξήγηση των διαταραχών της. Για την επίτευξη των παραπάνω στόχων οι πειραματικές μελέτες της αναπτυξιακής δυσαριθμησίας χρησιμοποιούν εκτός από τα αριθμητικά έργα που περιλαμβάνονται στα σταθμισμένα τεστ που έχουν αναφερθεί (έργα που ελέγχουν το επίπεδο κατανόησης των αριθμητικών εννοιών, των αλγορίθμων και των κανόνων τους και την ικανότητα εκτέλεσης αριθμητικών υπολογισμών), και έργα που ελέγχουν τις γλωσσικές (παράδειγμα έργου: λεξιλόγιο που σχετίζεται με εικόνες, κατανόηση κανόνων που δίνονται προφορικά), οπτικο-χωρικές (παράδειγμα έργου: ανάλυση και αντιγραφή μοτίβου ή γεωμετρικού σχήματος, block design, κρίση για προσανατολισμό γραμμής), μνημονικές (παράδειγμα έργου: χωρητικότητα μνήμης λέξεων και αριθμών) και εκτελεστικές ικανότητες (εκτέλεση διαδικασιών, σχεδιασμός διαδικασίας επίλυσης προβλήματος) των παιδιών με μαθησιακές δυσκολίες. Οι μέχρι τώρα έρευνες έχουν δείξει τα ακόλουθα: Τα παιδιά με αναπτυξιακή δυσαριθμησία παρουσιάζουν κατά κανόνα σημαντικές δυσκολίες στους απλούς αριθμητικούς υπολογισμούς (κυρίως αυτούς που αφορούν τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση), είτε εκτελούνται γραπτά είτε με τον νου. Παρουσιάζουν προβλήματα τόσο στην ταχύτητα των υπολογισμών όσο και στην ακρίβεια τους. Οι αδυναμίες που εμφανίζουν δεν είναι ομοιογενείς. Άλλα παιδιά εμφανίζουν δυσκολία στη γραφή των αριθμητικών συμβόλων ενώ άλλα όχι. Αρκετά παιδιά εμφανίζουν δυσκολία στην κατανόηση της αξίας των ψηφίων στους γραπτούς αριθμούς αλλά και όταν αυτοί λέγονται προφορικά. Σημαντικός αριθμός παιδιών έχουν πρόβλημα στοίχισης των αριθμών στους υπολογισμούς που γίνονται κατακόρυφα. Πολλά παιδιά παρουσιάζουν πρόβλημα στις προσθέσεις και αφαιρέσεις αριθμών που έχουν κρατούμενα (borrowing and carrying). Το μεγαλύτερο μέρος όμως των παιδιών παρουσιάζει πρόβλημα στην επιτυχή και γρήγορη ανάκληση απλών αριθμητικών δεδομένων όπως αυτά τις προπαίδειας. Παρόμοιο προφίλ ελλειμμάτων και δυσχερειών στους υπολογισμούς εμφανίζουν και οι ενήλικες με δυσαριθμησία πράγμα που σημαίνει ότι κάποιες από τις δυσκολίες εμμένουν και χαρακτηρίζουν τη δυσαριθμησία. Τα παιδιά με αναπτυξιακή δυσαριθμησία στις πρώτες σχολικές τάξεις χρησιμοποιούν σε πολύ μεγαλύτερο βαθμό και σε μεγαλύτερη χρονική διάρκεια τους υπολογισμούς με τα δάχτυλα (finger counting). Εγκαταλείπουν πολύ πιο δύσκολα αυτή την πρακτική και μεταβαίνουν αργότερα από τους συνομηλίκους τους σε πρακτικές όπως οι νοητικοί υπολογισμοί, οι οποίοι βασίζονται στην γρήγορη ανάκληση αριθμητικών δεδομένων. Στην απαρίθμηση αντικειμένων θεωρούν συχνότερα από τα φυσιολογικά παιδιά ως σημαντικά, στοιχεία που είναι στην ουσία δευτερεύοντα στη μέτρηση όπως για παράδειγμα η κατεύθυνση της μέτρησης, δηλαδή το αν γίνεται από τα αριστερά προς τα δεξιά ή ανάστροφα. Αργούν επίσης να χρησιμοποιήσουν πιο προχωρημένες (πιο γρήγορες και πιο ευέλικτες) στρατηγικές όπως το να ξεκινάς σε έναν υπολογισμό που περιέχει μονοψήφιους αριθμούς από τον πιο μεγάλο αριθμό και να προσθέτεις με τα δάχτυλα τον πιο μικρό, δηλαδή τον μονοψήφιο. Βασίζονται μ άλλα λόγια περισσότερο και για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα σε οπτικο-χωρικά στοιχεία για να εκτελέσουν αριθμητικούς υπολογισμούς και ως εκ τούτου μεταβαίνουν αργότερα από 10

τους συνομηλίκους τους σε ένα πιο αφαιρετικό γλωσσικό επίπεδο εκτέλεσης των αριθμητικών υπολογισμών. Όσον αφορά στις στρατηγικές επίλυσης διαφόρων ειδών προβλημάτων λεκτικών και μη, έχει παρατηρηθεί ότι συνήθως δεν επιλέγουν τη στρατηγική που θα ακολουθήσουν με έναν συστηματικό τρόπο που να λαμβάνει υπόψιν την καταλληλότητα και την αποτελεσματικότητα αυτής για ένα δοσμένο πλαίσιο συνθηκών. Υπάρχουν κάποιες έρευνες (Butterworth, 2005) που δείχνουν ότι το έλλειμμα κλειδί των ατόμων με δυσαριθμησία είναι η αποτυχία αναπαράστασης και επεξεργασίας της αριθμητικότητας (numerosity), δηλαδή της ικανότητας αναγνώρισης και χειρισμού των ποσοτήτων (quantities). Αυτές οι έρευνες βασίζονται και σε νευροψυχολογικές μελέτες σε φυσιολογικά άτομα (κυρίως ενήλικα) που από παθολογικά αίτια (π.χ. εγκεφαλικά, όγκους) έχουν απωλέσει σε μεγάλο βαθμό τις αριθμητικές τους δεξιότητες και την κατανόηση των αριθμών (σε αυτές τις περιπτώσεις έχουμε επίκτητη δυσαριθμησία). Η άποψη αυτή όμως δεν επιβεβαιώνεται από ικανοποιητικό αριθμό πειραματικών μελετών σε παιδιά με αναπτυξιακή δυσαριθμησία, τα οποία φαίνεται στο μεγαλύτερο ποσοστό να κατανοούν ποσότητες και μεγέθη. Όσον αφορά την διερεύνηση των γνωσιακών ικανοτήτων που συμβάλλουν καθοριστικά στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης και στην ομαλή πορεία μάθησης των αριθμητικών εννοιών και διαδικασιών, το πεδίο είναι ακόμα ανοικτό. Αρκετές έρευνες (Assel et al., 2003; Helland & Asbjørnsen, 2003; Osmon et al., 2006; Strang & Rourke, 1983; Tressoldi et al., 2007) δείχνουν ότι οι οπτικο-χωρικές γνωσιακές ικανότητες (για παράδειγμα, κατανόηση χωρικών σχέσεων και δυνατότητα νοητικής οπτικής αναπαράστασης οπτικοποίησης των προσλαμβανόμενων στοιχείων) παίζουν τον σημαντικότερο ρόλο στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης και ως εκ τούτου στις αριθμητικές επιδόσεις. Υπάρχουν μάλιστα έρευνες (Assel et al., 2003) που δείχνουν ότι κατά την προσχολική ηλικία οι οπτικο-χωρικές γνωσιακές ικανότητες επηρεάζουν καθοριστικά τις εκτελεστικές ικανότητες, δηλαδή τις ικανότητες σχεδιασμού μιας ακολουθίας ενεργειών ώστε να επιτευχθεί κάποιος στόχος. Οι εκτελεστικές ικανότητες με τη σειρά τους είναι καθοριστικές για τις μαθηματικές επιδόσεις δεδομένου ότι η επίλυση ενός προβλήματος απαιτεί από το άτομο να σχεδιάσει μια ακολουθία ενεργειών που θα τον οδηγήσουν στη λύση. Αρκετές έρευνες επίσης (Floyd et al., 2003; Geary, 1993; Geary et al., 2000) δείχνουν την καθοριστικότητα των μνημονικών λειτουργιών στις αριθμητικές επιδόσεις των παιδιών αλλά και των εφήβων και ιδιαιτέρως της μνήμης εργασίας (working memory). Ως μνήμη εργασίας ορίζεται η ικανότητα προσωρινής αποθήκευσης πληροφοριών κατόπιν μιας σύντομης παρουσίασής τους και εφαρμογής σ αυτές ενός συνόλου γνωσιακών λειτουργιών μέσα στα περιορισμένα όρια που τίθενται από την βραχύχρονη μνήμη (δηλαδή την ικανότητα αποθήκευσης πληροφοριών για ένα ορισμένο σύντομο χρονικό διάστημα). Όπως έχει ήδη αναφερθεί, τα άτομα με αναπτυξιακή δυσαριθμησία παρουσιάζουν ιδιαίτερη δυσκολία στους αριθμητικούς υπολογισμούς είτε γίνονται με τον νου είτε στο χαρτί. Όταν ζητείται σ ένα άτομο να κάνει έναν αριθμητικό υπολογισμό και να βρει το αποτέλεσμα η λειτουργία που ενεργοποιείται είναι η μνήμη εργασίας. Αν ο υπολογισμός γίνεται με τον νου το άτομο πρέπει προσωρινά να αποθηκεύσει στη μνήμη του τους αριθμούς στους οποίους πρέπει να γίνει η πράξη και είτε να εκτελέσει τον αλγόριθμο της πράξης στον νου του ενθυμούμενος τα βήματα που έχει κάνει και 11

που πρέπει ακόμα να κάνει, είτε να εφαρμόσει κάποια άλλη στρατηγική κατά την οποία όμως επίσης ακολουθείται κάποια σειρά βημάτων τα οποία το άτομο πρέπει να θυμάται για όσο κρατάει η εφαρμογή της. Αν ο υπολογισμός γίνεται στο χαρτί το άτομο πρέπει να φέρει στον νου του τον αλγόριθμο της πράξης και να εφαρμόσει ένα ένα τα βήματά του. Στην όλη διαδικασία ενεργοποιείται και η μακρόχρονη μνήμη στην οποία είναι αποθηκευμένα κάποια βασικά αριθμητικά δεδομένα (όπως λόγου χάριν οι πίνακες του πολλαπλασιασμού), καθώς επίσης και οι αλγόριθμοι των πράξεων. Στα άτομα με αναπτυξιακή δυσαριθμησία φαίνεται, απ ότι δείχνουν οι έρευνες, ότι η δυσκολία στους αριθμητικούς υπολογισμούς δεν οφείλεται σε κάποια δυσλειτουργία της μακρόχρονης μνήμης (δηλαδή ότι τα άτομα δεν μπορούν να συγκρατήσουν επί μακρόν δεδομένα), αλλά ότι κατά την εκτέλεση των αριθμητικών υπολογισμών δεν αναστέλλονται ικανοποιητικά και αποτελεσματικά συνειρμοί που είναι άσχετοι με το έργο (irrelevant associations) (Barrouillet et al. 1997, Geary et al. 2000). Έτσι για παράδειγμα, όταν τους ζητείται να υπολογίσουν πόσο κάνει 5 + 8 αυτοί δίνουν το αποτέλεσμα του 6 + 8 ή του 5 + 7 ή ακόμα και του 4 + 7, και τέτοια προβλήματα σχετίζονται με τη μνήμη εργασίας. Αρκετά μεγάλος αριθμός ερευνών διερευνά τον βαθμό επίδρασης της γλωσσικής λειτουργίας στις αριθμητικές επιδόσεις των παιδιών και γενικότερα στην ανάπτυξη του μαθηματικού συλλογισμού. Οι λόγοι είναι ότι αφενός η επικοινωνία γίνεται μέσω της γλώσσας, προφορικής και συμβολικής, και αφετέρου ότι ανάμεσα στα παιδιά που εμφανίζουν μαθησιακές δυσκολίες, τα πιο έντονα και μόνιμα προβλήματα στην αριθμητική εμφανίζουν τα δυσλεκτικά παιδιά. Η αναπτυξιακή δυσλεξία είναι μια μορφή μαθησιακής δυσκολίας κατά την οποία το άτομο παρουσιάζει δυσκολίες στην ανάλυση των λέξεων σε ακουστικές μονάδες συλλαβικής βάσης καθώς και στη σύνθεση συλλαβικών ακουστικών μονάδων σε λεξικά σύνολα με εννοιακό περιεχόμενο. Μ άλλα λόγια, η δυσλεξία είναι μια διαταραχή στην φωνολογική ανάλυση της γλώσσας. Ως συνέπεια τα δυσλεκτικά άτομα εμφανίζουν σημαντικές δυσκολίες κυρίως στην ανάγνωση, αλλά συχνά και στη γραφή με χαρακτηριστικότερο πρόβλημα εκείνο στην μάθηση της ορθογραφίας. Εκτός από τα προβλήματα στην ανάγνωση που χαρακτηρίζουν τη δυσλεξία, ένα ποσοστό δυσλεκτικών παιδιών που κυμαίνεται στο 30%-50% (Macaruso & Sokol, 1998; Ostad, 1998), εμφανίζουν: α) δυσκολίες στην αφομοίωση και κατανόηση των μαθηματικών συμβόλων, β) προβλήματα στην μνήμη εργασίας που όπως είπαμε εμπλέκεται ουσιωδώς στην εκτέλεση των αριθμητικών υπολογισμών και γενικότερα των μαθηματικών διαδικασιών και γ) προβλήματα στην εκτίμηση της απόστασης και της ενημερότητας του χώρου, καθώς και σύγχυση δεξί αριστερού (οι εν λόγω ικανότητες εμπλέκονται στην κατανόηση της θέσης των ψηφίων ενός αριθμού, στην ορθή εκτέλεση των αριθμητικών πράξεων αλλά και στην κατανόηση μαθηματικών αναπαραστάσεων όπως για παράδειγμα της ευθείας των πραγματικών αριθμών). Η αναπτυξιακή δυσλεξία, όπως και η αναπτυξιακή δυσαρριθμησία, εμφανίζεται σε παιδιά που η εν γένει νοητική τους κατάσταση είναι φυσιολογική, ανεξαρτήτως της κοινωνικής και οικονομικής τους κατάστασης. Το ποσοστό των παιδιών με δυσλεξία υπολογίζεται στο 10 15%, και εμφανίζεται συχνότερα στα αγόρια απ ότι στα κορίτσια (αναλογία 4:1). Η συνύπαρξη της δυσλεξίας και της δυσαριθμησίας δημιουργεί τις πιο εκτεταμένες και δυσκολότερα αναστρέψιμες μαθησιακές διαταραχές. Σε όλες τις έρευνες που συγκρίνονται οι μαθηματικές επιδόσεις παιδιών που έχουν μόνο δυσλεξία (reading difficulties RD), μόνο δυσαριθμησία (math difficulties MD) και συγχρόνως δυσλεξία και δυσαριθμησία (MD RD) η κατηγορία των δυσλεκτικών 12

δυσαριθμικών (MD RD) παιδιών εμφανίζει τις χαμηλότερες επιδόσεις στα αριθμητικά έργα καθώς και στα έργα μαθηματικού συλλογισμού και στα οπτικοχωρικά έργα, αλλά και πιο αδύναμη μνήμη εργασίας και ικανότητα ανάκλησης δεδομένων από τη μακρόχρονη μνήμη (fact retrieval). Το γεγονός αυτό έχει κάνει κάποιους ερευνητές (π.χ. Geary, 1993; Geary et al., 2000) να θεωρούν ότι η δυσαριθμησία και η δυσλεξία έχουν κοινή αιτιολογία, δηλαδή ότι απορρέουν από την δυσλειτουργία γνωσιακών συστημάτων που συμβάλλουν από κοινού τόσο στην ανάπτυξη των αναγνωστικών δεξιοτήτων όσο και στην ανάπτυξη των αριθμητικών δεξιοτήτων. Ως τέτοια αναγνωρίζονται η μνήμη εργασίας και η μακρόχρονη μνήμη. Σε πολλές όμως έρευνες (ενδεικτικά, Jordan, Hanich & Kaplan, 2003) φαίνεται πως τα παιδιά που έχουν μόνο δυσλεξία και όχι δυσκολίες στην αριθμητική (RD) έχουν καλύτερη μνήμη εργασίας, καθώς και γρηγορότερη και ακριβέστερη ικανότητα ανάκλησης αριθμητικών δεδομένων από την μακρόχρονη μνήμη, γεγονός που ενδεικνύει πως η δυσλεξία και η δυσαριθμησία δεν οφείλονται σε δυσλειτουργία των μνημονικών ικανοτήτων. Γενικά, τα παιδιά που έχουν μόνο δυσλεξία χωρίς δυσκολίες στην αριθμητική (RD) έχουν διαφορετικό προφίλ διαταραχών σε σχέση με τα παιδιά που έχουν δυσαριθμησία χωρίς αναγνωστικές δυσκολίες (MD). Ως εκ τούτου θεωρείται ότι η δυσλεξία και η δυσαριθμησία δεν έχουν κοινή αιτιολογία. Οι πειραματικές μελέτες σε παιδιά με αναπτυξιακή δυσαριθμησία, αλλά και οι κλινικές μελέτες σε ενήλικα άτομα που από παθολογικά αίτια (π.χ. εγκεφαλικά, όγκοι στον εγκέφαλο) εμφανίζουν δυσαριθμησία (επίκτητη δυσαριθμησία), καθώς και οι έρευνες με προηγμένα τεχνολογικά μέσα απεικόνισης του εγκεφάλου που δίνουν τη δυνατότητα μελέτης της κατάστασης και λειτουργίας των εγκεφαλικών περιοχών, έχουν επιτρέψει τη διαμόρφωση θεωρητικών γνωσιακών μοντέλων στα οποία επιχειρείται να περιγραφεί η δομή και λειτουργία του μέρους εκείνου του γνωσιακού συστήματος που συνδέεται με τις αριθμητικές έννοιες και διαδικασίες, καθώς ακόμα η συσχέτιση αυτού του μέρους με τη λειτουργία συγκεκριμένων, εντοπισμένων εγκεφαλικών περιοχών (neurocognitive models). Τα υπάρχοντα θεωρητικά γνωσιακά μοντέλα ακολουθούν εν γένει δύο κατευθύνσεις. Σύμφωνα με τη μία κατεύθυνση, το μέρος του γνωσιακού συστήματος που συνδέεται με τις αριθμητικές έννοιες και διαδικασίες δεν είναι ένα ανεξάρτητο και αυτόνομο γνωσιακό σύστημα υπό την έννοια ότι η κατανόηση και η μάθηση των αριθμητικών εννοιών και διαδικασιών εξαρτώνται από γνωσιακές λειτουργίες που συμμετέχουν σε πολλά και διαφορετικά πεδία (είναι domain-general). Σ αυτή την κατεύθυνση βρίσκονται οι θεωρητικές προσεγγίσεις που εξηγούν τη δυσαριθμησία ως οφειλόμενη σε διαταραχές είτε στις οπτικο-χωρικές ικανότητες (Rourke, 1993), είτε στις μνημονικές (Geary, 1993; Geary et al., 2000). Σύμφωνα με τη δεύτερη κατεύθυνση, το μέρος του γνωσιακού συστήματος που συνδέεται με τις αριθμητικές έννοιες και διαδικασίες είναι ένα ανεξάρτητο και αυτόνομο γνωσιακό σύστημα που λειτουργεί ανεξάρτητα από τις πιο γενικές γνωσιακές λειτουργίες. Η υπόθεση είναι ότι το αριθμητικό σύστημα υπηρετείται από αποκλειστικούς εξειδικευμένους μηχανισμούς (μηχανισμοί που είναι domainspecific) που είναι ενδεχομένως εγγενείς στον ανθρώπινο νου. Κύριες πηγές άντλησης υποστήριξης της ύπαρξης ενός τέτοιου αυτόνομου αριθμητικού συστήματος είναι α) αναπτυξιακές μελέτες που δείχνουν ότι τα βρέφη μπορούν να διακρίνουν και να ταυτοποιήσουν μικρούς αριθμούς αντικειμένων (Wynn, 1992, 1998), β) κλινικές μελέτες που δείχνουν ότι είναι δυνατόν ένα άτομο να εμφανίζει διαταραχή σε μια μεμονωμένη πτυχή των αριθμητικών δεξιοτήτων ενώ όλες οι άλλες να είναι ανέπαφες (Temple, 1989), και γ) νευροαπεικονιστικές μελέτες που δείχνουν 13

ότι διάφορες πτυχές των αριθμητικών δεξιοτήτων πραγματώνονται σε διαφορετικές εγκεφαλικές περιοχές (Ansari, 2008; van Eimeren et al., 2008; Grabner et al., 2007; Price et al.). Ο Temple (1989) για παράδειγμα ανέφερε την περίπτωση ενός αγοριού που ενώ μπορούσε να διαβάσει γνωστές και άγνωστες λέξεις, δεν μπορούσε να αποδώσει στα αριθμητικά ψηφία το όνομά τους. Όταν λοιπόν του έλεγαν να διαβάσει τον αριθμό 9172 εκείνος έλεγε «έξι χιλιάδες, έξι εκατοντάδες και εβδομήντα-δύο». Έχουν καταγραφεί επίσης στην κλινική βιβλιογραφία περιπτώσεις ασθενών οι οποίοι δεν μπορούσαν για παράδειγμα να εκτελέσουν καμία αριθμητική πράξη εκτός από την πρόσθεση, ή μπορούσαν να αναγνωρίσουν και να διαβάσουν τους αριθμούς μέχρι το 4 αλλά κανέναν αριθμό πάνω από το 4. Αυτές οι περιπτώσεις εξηγούνται στα πλαίσια της υπόθεσης ότι υπάρχει ένα αυτόνομο αριθμητικό σύστημα που αποτελείται από μικρότερα εξειδικευμένα υποσυστήματα που ασχολούνται με μεμονωμένες πτυχές των αριθμητικών δεξιοτήτων. Νευροαπεικονιστικές μελέτες δείχνουν επίσης ότι όταν εκτελούμε μαθημένες και πολύ συχνά χρησιμοποιούμενες (over-learned) αριθμητικές πράξεις (π.χ. πόσο κάνει 5 + 3) που από ένα σημείο και μετά είναι τόσο αυτοματοποιημένες ώστε να είναι γλωσσικά εξαρτημένες, ενεργοποιείται ο αριστερός μετωπιαίος λοβός (το αριστερό ημισφαίριο είναι το ημισφαίριο της γλώσσας). Όταν όμως κάνουμε σύνθετους υπολογισμούς που απαιτούν το συνδυασμό οπτικών αναπαραστάσεων και αναπαραστάσεων αριθμητικών μεγεθών, ενεργοποιείται ο βρεγματικός λοβός αμφίπλευρα (αριστερά και δεξιά). Μ άλλα λόγια, διαφορετικές πτυχές των αριθμητικών δεξιοτήτων πραγματώνονται σε διαφορετικές εγκεφαλικές περιοχές, γεγονός που υποστηρίζει την υπόθεση της ύπαρξης μεμονωμένων αριθμητικών υποσυστημάτων. Θεωρητικά και διδακτικά ερωτήματα και προκλήσεις Η περίπτωση της δυσαριθμησίας θέτει μερικά πολύ ενδιαφέροντα θεωρητικά και διδακτικά ερωτήματα αλλά και προκλήσεις. Τα θεωρητικά ερωτήματα ανακύπτουν κυρίως στις περιοχές των νευροεπιστημών, της γνωσιακής επιστήμης, αλλά και της φιλοσοφίας. Η σχέση της φιλοσοφίας με την αναζήτηση των απαρχών της μαθηματικής γνώσης και οντολογίας που συμπυκνώνεται στα ερωτήματα «τι είναι τα μαθηματικά αντικείμενα;» και «πως γνωρίζουμε τα μαθηματικά αντικείμενα», είναι η παλαιότερη και μακροβιότερη. Κρατά αδιάλειπτα από την αρχαιότητα μέχρι τις μέρες μας εμπλουτιζόμενη με νέα ερωτήματα που ανακύπτουν από την ανάπτυξη της επιστήμης και της τεχνολογίας, δύο παράγοντες που τροφοδοτούν τη σκέψη με νέα δεδομένα ώστε να επαναπροσδιορίζει και να μεταβάλλει τη γωνία θέασης των ζητημάτων και έτσι να βρίσκει νέες διαστάσεις σ αυτά και να θέτει νέα ερωτήματα. Από το δεύτερο μισό του 20ου αιώνα, η ανάπτυξη των νευροεπιστημών και της γνωσιακής επιστήμης, αλλά και η ραγδαία ανάπτυξη των υπολογιστών και των νευροαπεικονιστικών τεχνολογιών δίνουν νέα διάσταση στα θεμελιακά οντολογικά και γνωσιολογικά ερωτήματα γύρω από τα μαθηματικά αντικείμενα και τα νέα ερωτήματα που προκύπτουν αφορούν κυρίως το πώς συνδέεται η μαθηματική γνώση με τις εγκεφαλικές δομές και τις γνωσιακές λειτουργίες. Η περίπτωση της δυσαριθμησίας - αναπτυξιακής και επίκτητης αποτελεί μια καλή αφετηρία για την εισαγωγή μερικών τέτοιων ενδιαφέροντων ερωτημάτων: είναι η απόκτηση και κατανόηση της βασικής μαθηματικής γνώσης όπως αυτή της αριθμητικής (ή ενδεχομένως και της ευκλείδειας γεωμετρίας) συνάρτηση και απόρροια της ύπαρξης και λειτουργίας γνωσιακών μηχανισμών γενικής εφαρμογής (domain-general), ή μήπως προκύπτει από την ύπαρξη και λειτουργία εξειδικευμένων γι αυτή γνωσιακών μηχανισμών (domainspecific); Υπάρχουν μεμονωμένα, εξειδικευμένα εγκεφαλικά υποσυστήματα η 14

αποκλειστική λειτουργία των οποίων να αφορά την απόκτηση συγκεκριμένων μαθηματικών γνώσεων και δεξιοτήτων; Υπάρχει έμφυτη γνώση μαθηματικών εννοιών και διαδικασιών, είτε υπό μορφή υλικών-νευρωνικών δομών, είτε υπό μορφή αρχών ή βάσης δεδομένων για την οργάνωση των προσλαμβανόμενων πληροφοριών, την ταξινόμησή τους, την κατηγοριοποίησή τους και γενικά για την διεκπεραίωση βασικών γνωσιακών λειτουργιών; Ποιός είναι ο ρόλος και ο βαθμός επίδρασης βασικών γνωσιακών λειτουργιών όπως η μνήμη, η γλώσσα και οι οπτικο-χωρικές λειτουργίες, για την κατανόηση και απόκτηση μαθηματικών γνώσεων και δεξιοτήτων; Τα διδακτικά ερωτήματα που προκύπτουν από την άλλη μεριά είναι δύο ειδών. Το ένα είδος ερωτημάτων αφορά την διδακτική των μαθηματικών γενικά και το άλλο την διδακτική των μαθηματικών σε παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες. Τα γενικά διδακτικά ερωτήματα δεν είναι ανεξάρτητα των θεωρητικών ερωτημάτων που τέθηκαν παραπάνω. Αν για παράδειγμα η απόκτηση μαθηματικών γνώσεων και δεξιοτήτων είναι συνάρτηση άλλων γνωσιακών ικανοτήτων όπως οι οπτικο-χωρικές, οι μνημονικές και οι γλωσσικές και εξαρτάται από την εύρρυθμη και ισόρροπη λειτουργία τους, τότε η διδακτική των μαθηματικών οφείλει από τη μια να εισαγάγει τις προς μάθηση έννοιες και διαδικασίες μέσα σε πλαίσια που να εκμεταλλεύονται αποτελεσματικά και να αξιοποιούν γόνιμα τις εν λόγω γνωσιακές ικανότητες, και από την άλλη να φροντίζει για την περαιτέρω ανάπτυξη και βελτίωσή τους. Ως εκ τούτου πρέπει να αναζητηθούν τα εκπαιδευτικά έργα και οι μέθοδοι που είναι κατάλληλα ώστε να επιτευχθούν αυτοί οι στόχοι. Αν από την άλλη μεριά υπάρχουν εξειδικευμένοι μηχανισμοί που υπηρετούν την απόκτηση και κατανόηση της βασικής μαθηματικής γνώσης, τότε εδώ η προσοχή πρέπει να εστιαστεί στην εύρεση των έργων και των μεθόδων που είναι κατάλληλα για να ξεπεραστούν τα εμπόδια που θα παρουσιαστούν από την μη εύρρυθμη λειτουργία αυτών των μηχανισμών. Όσον αφορά τα παιδιά που εμφανίζουν μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, το κύριο ερώτημα είναι πώς μπορεί ένας εκπαιδευτικός να τα βοηθήσει να ξεπεράσουν έστω και σε κάποιο βαθμό τα εμπόδια και τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν. Όπως είδαμε το προφίλ των παιδιών με αναπτυξιακή δυσαριθμησία είναι κάπως ανομοιογενές υπό την έννοια ότι άλλα παιδιά αντιμετωπίζουν δυσκολίες σε πτυχές που έχουν να κάνουν με οπτικο-χωρικές ικανότητες, αλλά εμφανίζουν διαταραχή στη μνήμη εργασίας και άλλα έχουν πιο σύνθετα προβλήματα που οφείλονται και σε γλωσσικές αδυναμίες (δυσλεξία). Το ερώτημα λοιπόν είναι αν θα ήταν αποτελεσματικό ένας εκπαιδευτικός να χρησιμοποιήσει τα δυνατά γνωσιακά σημεία ενός παιδιού με μαθησιακές δυσκολίες παρακάμπτοντας συγχρόνως τα αδύνατα ώστε να το βοηθήσει να αποκτήσει βασικές μαθηματικές γνώσεις, ή μήπως θα ήταν αποτελεσματικότερο να προσπαθήσει με κατάλληλα έργα να το βοηθήσει να ξεπεράσει τις συγκεκριμένες δυσκολίες του; Αν για παράδειγμα ένα παιδί έχει διαταραγμένες οπτικο-χωρικές ικανότητες, ο εκπαιδευτικός πρέπει να επιμείνει σε οπτικο-χωρικά έργα μήπως και το παιδί βελτιώσει την απόδοσή του σ αυτά, ή μήπως πρέπει να παρακάμψει τα οπτικο-χωρικά έργα και να χρησιμοποιήσει έργα που απαιτούν καλή γλωσσική ικανότητα και μνήμη; Αυτό το ερώτημα συνδέεται και με ένα γενικότερο ερώτημα που αφορά το είδος των έργων που περιλαμβάνονται στα εγχειρίδια των μαθηματικών. Θα ήταν αποτελεσματικότερο για την μάθηση των μαθηματικών τα εγχειρίδια μαθηματικών όλων των βαθμίδων να εστιάζουν σε έργα που απαιτούν κυρίως μια γνωσιακή ικανότητα (π.χ. γλωσσική) ή μήπως πρέπει να 15