Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό και στη σελίδα Ο l A Η Ροπή της F έχει µέτρο ίσο µε το γινόµενο του µέτρου της F επί την κάθετη απόσταση l της F από τον άξονα περιστροφής. Συµβολίζεται µε τ και είναι µέγεθος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή Μέτρο της ροπής: τ F = F l Η κάθετη απόσταση l της F από τον άξονα περιστροφής ονοµάζεται: «µοχλοβραχίονας». Η διεύθυνση της τ F είναι ίδια µε τη διεύθυνση του άξονα τ F F περιστροφής. Η φορά της τ F προκύπτει από Ο l A τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα µέτρησης της ροπής το 1 Ν m (SI).

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή Υπολογισµός της Ροπής Δύναµης 1 η Περίπτωση: L Ο l F φ A τ F = F l τ F = F L ηµφ η Περίπτωση: L τ F Μηδέν διότι η F Π διέρχεται από τον άξονα περιστροφής 0 τ F = τ FΚ + τ FΠ = Ο F Π φ A = τ FΚ = F Κ L = τ F F F Κ = F ηµφ L

3 η Περίπτωση: τ F Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή Στο σηµείο Α του στερεού ασκείται η δύναµη F. F Π F η F δε βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής. O l A F K η F αναλύεται σε δύο συνιστώσες: i) την F Π που είναι παράλληλη στον άξονα περιστροφής και η οποία δε δηµιουργεί ροπή τ FΠ =0 ii) Την F Κ που είναι σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής. Η ροπή της είναι ίση µε τη ροπή της F: τ FΚ = τ F = F Κ l

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή τ F F Π F Τελικά η ροπή της F είναι η ροπή της F Κ και έχει τη διεύθυνση του άξονα O l A F K περιστροφής. Η φορά της βρίσκεται µε τον κανόνα του δεξιού χεριού.

4 η Περίπτωση: τ F1 F 1 Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή Στο σηµείο Ο διέρχεται ο άξονας περιστροφής κάθετα στη σελίδα. O l 1 Το στερεό δέχεται δύο δυνάµεις F 1, F µε µοχλοβραχίονες l 1 και l αντίστοιχα. F l Οι ροπές των F 1 και F έχουν µέτρα: τ F1 = F 1 l 1 τ F τ F = F l Η συνισταµένη ροπή βρίσκεται αν αθροίσουµε διανυσµατικά: (θεωρούµε θετική τη φορά περιστροφής που είναι αντίθετη από τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού) Στ = F 1 l 1 F l

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή B. Ροπή ως προς σηµείο O τ F l F Ορίζουµε ως ροπή µιας δύναµης ως προς σηµείο το διανυσµατικό µέγεθος που έχει: α) µέτρο : το γινόµενο του µέτρου της δύναµης επί την απόσταση του φορέα της δύναµης από το σηµείο τ F = F l β) διεύθυνση : κάθετη στο φορέα της δύναµης και στη διεύθυνση της κάθετης απόστασης της δύναµης από το σηµείο. γ) φορά : όπως ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Γ. Ροπή ζεύγους δυνάµεων Ζεύγος δυνάµεων ονοµάζουµε δύο δυνάµεις που είναι αντίθετες (έχουν ίσα µέτρα, ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά), αλλά ασκούνται σε διαφορετικά σηµεία του στερεού. F 1 τ 1 d l 1 Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή και F 1 = F F = F 1 (ίσα µέτρα) O τ 1 = F 1 l 1 και τ = F l Στ l τ F Στ = τ 1 + τ = F 1 l 1 + F l = = F 1 ( l 1 + l ) Στ = F 1 d

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή Άρα: Ροπή ζεύγους δυνάµεων Στ = F 1 d Η ροπή ζεύγους έχει µέτρο που ισούται µε το γινόµενο του µέτρου της µίας δύναµης, επί, τη µεταξύ τους απόσταση. Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από τη θέση του άξονα περιστροφής. Π.χ.: F 1 τ 1 l 1 O l τ 1 = - F 1 l 1 και τ = F l Στ = τ 1 + τ = - F 1 l 1 + F l = d = F 1 (- l 1 + l ) Στ = F 1 d Στ F τ

Μηχανική στερεού σώµατος, Ισορροπία ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Για να έχουµε ισορροπία σε ένα στερεό σώµα θα πρέπει: 1 ον : Η συνισταµένη των δυνάµεων που δέχεται να είναι µηδέν ΣF = 0 ΣF ΣF x y = = 0 0 ον : Το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σηµείο να είναι µηδέν και Στ = 0

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή Αδράνειας ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Στερεό µάζας Μ r άξονας περιστροφής r 1 m 1 στοιχειώδης µάζα m 1 Διαιρούµε το στερεό σε µεγάλο αριθµό στοιχειωδών µαζών που απέχουν διαφορετικές αποστάσεις από τον άξονα περιστροφής. Ορίζουµε ως ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής το άθροισµα των γινοµένων m i r i για ό- λες τις στοιχειώδεις µάζες που αποτελούν το στερεό: m r 3 m 3 I = m 1 r 1 + m r + +m N r N ή I = N i= 1 m i r i

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή Αδράνειας Η ροπή αδράνειας : Είναι µονόµετρο µέγεθος. Έχει µονάδα µέτρησης το 1 Kg m. Έχει τιµή που εξαρτάται: α) από τη µάζα του σώµατος β) από τον τρόπο που η µάζα του στερεού είναι κατανεµηµένη γύρω από τον άξονα περιστροφής. ΠΡΟΣΟΧΗ: Η ροπή αδράνειας είναι διαφορετική για κάθε άξονα περιστροφής, όταν µιλάµε για το ίδιο σώµα.

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή Αδράνειας Υπολογισµός ροπής αδράνειας δακτυλίου ακτίνας R και µάζας Μ, ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το c.m. και είναι κάθετος στο επίπεδο του δακτυλίου. I = m 1 R + m R + +m N R R I = ( m 1 + m + +m N ) R m 1 m m 3 I = M R

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή Αδράνειας ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕ ΤΙΣ ΡΟΠΕΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΌ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή Αδράνειας Θεώρηµα STEINER ή ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Έστω ένα στερεό µάζας Μ. Ρ d Ι cm : ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα που διέρχεται από το c.m. Ι Ρ : ροπή αδράνειας του στερεού ως προς A c.m. (M) τον άξονα Ρ που διέρχεται από το ση- µείο Α του στερεού. Το Α απέχει απόσταση d από το c.m. Και ο άξονας Ρ είναι παράλληλος µε τον άξονα που διέρχεται από το c.m. I Ρ = Ι cm + M d

Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή Αδράνειας Τελικά, τί εκφράζει η Ροπή Αδράνειας; Η ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΕΚΦΡΑΖΕΙ ΤΗΝ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΠΟΥ ΦΕΡΝΕΙ ΕΝΑ ΣΤΕΡΕΟ ΟΤΑΝ ΠΡΟΣΠΑΘΟΥΜΕ ΝΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΥΜΕ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΤΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ( Δ Η Λ Α Δ Η Ο Τ Α Ν Π Α Μ Ε Ν Α Τ Ο Υ ΔΗΜΙΟΥΡΓΗΣΟΥΜΕ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ).

Μηχανική στερεού σώµατος, Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Για στερεό σώµα που στρέφεται γύρω από άξονα, ισχύει: Στ = Ι α γ Η παραπάνω σχέση συνδέει τα µέτρα των Στ και α γ. Δε συνδέει τα µεγέθη αυτά διανυσµατικά. Η σχέση ισχύει πάντα για στροφικές κινήσεις. Η σχέση ισχύει και για σύνθετες κινήσεις, αρκεί να ισχύουν οι προϋποθέσεις : α) ο άξονας περιστροφής να διέρχεται από το κέντρο µάζας β) ο άξονας περιστροφής να είναι και άξονας συµµετρίας γ) ο άξονας περιστροφής να µην αλλάζει διεύθυνση (να κινείται παράλληλα στην αρχική του θέση).

Μηχανική στερεού σώµατος, Στροφορµή ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Α. Στροφορµή Υλικού Σηµείου που Εκτελεί Κυκλική Τροχιά υ p Σύµβολο στροφορµής: l Μέγεθος: διανυσµατικό l r m Ορισµός : i) µέτρο της στροφορµής: = r p = m υ r ii) διεύθυνση κάθετη στην ακτίνα r και στην ορµή p iii) φορά που την προσδιορίζουµε µε τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα µέτρησης στο S.I. : το 1 Kg m /s ή το 1 J s

Παρατήρηση: Μηχανική στερεού σώµατος, Στροφορµή Στροφορµή έχει ένα υλικό σηµείο ΠΑΝΤΑ ως προς την αρχή ενός συστήµατος αναφοράς, ακόµα κι αν εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση: y m p υ = ψ p = m υ ψ ψ O r l x όπου ψ η απόσταση της αρχής Ο από το φορέα (διεύθυνση) της ταχύτητας.

Μηχανική στερεού σώµατος, Στροφορµή B. Στροφορµή Στερεού Σώµατος Που Στρέφεται ως Προς Άξονα Περιστροφής Στερεό µάζας Μ ω στοιχειώδης µάζα m 1 Το στερεό σώµα στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω. r 1 m 1 Διαιρούµε το στερεό σε µεγάλο αριθµό στοιχειωδών µαζών που εκτελούν κυκλικές τροχιές. m r r 3 Όλες έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω (ίδια µε του στερεού), αλλά η καθεµιά διαφορετική γραµ- m 3 µική ταχύτητα υ i που εξαρτάται από την ακτίνα της τροχιάς της: υ i = ω r i

L ω Μηχανική στερεού σώµατος, Στροφορµή Κάθε στοιχειώδης µάζα έχει στροφορµή: i = r p i i i i i i = i m = m (ω r ) r i υ i r i i = m i ω r i m r r 1 r 3 m 1 m 3 Για να υπολογίσουµε τη στροφορµή L του στερεού αθροίζουµε (διανυσµατικά) τις στροφορµές όλων των στοιχειωδών µαζών: L = l 1 + l + l 3 + L = m 1 ω r 1 + m ω r + m 3 ω r 3 + L = (m 1 r 1 + m r + m 3 r 3 + ) ω άρα L = Ι ω Η κατεύθυνση της L είναι ίδια µε την κατεύθυνση της ω.

Γ. Για σύστηµα πολλών στερεών σωµάτων, η συνολική στροφορµή είναι το διανυσµατικό άθροισµα των στροφορµών των στερεών: Μηχανική στερεού σώµατος, Στροφορµή L = L + L + L ήµατος 1 3 συστ +... Μια πιο γενική µορφή του θεµελιώδους νόµου της στροφικής κίνησης: Α. Για ένα στερεό: L I ω = dl = I dω dl dt dl dl = I α γ = Στ dt dt = I dω dt

B. Για σύστηµα στερεών σωµάτων: Η σχέση εξής: Σ τ = dl dt Μηχανική στερεού σώµατος, Στροφορµή Στ επεκτείνεται και στα συστήµατα στερεών ως = εξωτερικ ών dl συστήµατος όπου: Στ εξωτ είναι η συνισταµένη των ροπών των εξωτερικών dt δυνάµεων που ασκούνται στο σύστηµα. [ dl : ρυθµός µεταβολής της στροφορµής (µονάδα το 1 Ν m) ] dt

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Α. Για ένα στερεό Αν το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών που δέχεται το στερεό είναι µηδέν τότε: dl Σ τ = 0 0 = dl = 0 L L = 0 τελικ ή αρχική dt L = αρχική L τελική Β. Για ένα σύστηµα στερεών Με όµοιο τρόπο µπορούµε να δείξουµε ότι αν το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σύστηµα είναι µηδέν τότε: Στ εξωτ = 0 Μηχανική στερεού σώµατος, Στροφορµή I αρχική ω L = αρχική = ( αρχ) L(τελ) συστήµατος συστήµατος I τελική ω τελική

Μηχανική στερεού σώµατος, Στροφορµή

Μηχανική στερεού σώµατος, Στροφορµή

Μηχανική στερεού σώµατος, Στροφορµή

Μηχανική στερεού σώµατος, Ενέργεια ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Α. Όταν εκτελεί µόνο µεταφορική κίνηση: K = 1 M υ cm Μ: η µάζα του στερεού σώµατος υ cm : η ταχύτητα του κέντρου µάζας του στερεού

Μηχανική στερεού σώµατος, Ενέργεια Β. Όταν εκτελεί µόνο στροφική κίνηση: Στερεό µάζας Μ ω r 1 m 1 Το στερεό σώµα στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω. Διαιρούµε το στερεό σε µεγάλο αριθµό στοιχειωδών µαζών που εκτελούν κυκλικές τροχιές. Όλες έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω (ίδια µε του στερεού), αλλά η καθεµιά διαφορετική γραµµική ταχύτητα υ i που εξαρτάται από την ακτίνα της τροχιάς της: υ i = ω r i r Κάθε στοιχειώδης µάζα έχει κατά την κίνηση της m r 3 m 3 κινητική ενέργεια: K i 1 1 = m υ K ( ) i i i = mi ω ri 1 K i = mi ω ri

Β. Όταν εκτελεί µόνο στροφική κίνηση: m 1 r 1 m 3 r 3 r m ω Αθροίζοντας τις κινητικές ενέργειες όλων των υλικών σηµείων υπολογίζω την κινητική ενέργεια του στερεού:... K K K K 3 1 + + + =... r ω m 1 r ω m 1 r ω m 1 K 3 3 1 1 + + + = ω I 1 K = ( ) 3 3 1 1 ω... r m r m r m 1 K + + + = Μηχανική στερεού σώµατος, Ενέργεια

Γ. Όταν εκτελεί σύνθετη κίνηση: Αθροίζουµε τις κινητικές ενέργειες που έχει το στερεό λόγω µεταφορικής και λόγω στροφικής κίνησης που εκτελεί και υπολογίζω την κινητική ενέργεια του στερεού: K Μηχανική στερεού σώµατος, Ενέργεια = 1 M υ cm + 1 I ω Π.χ. Ο τροχός που κυλά έχει κινητική ενέργεια λόγω µεταφορικής και λόγω στροφικής κίνησης.

Μηχανική στερεού σώµατος, Ενέργεια ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Έστω ένας τροχός ακτίνας R. Μία δύναµη F ds R F ασκείται στην περιφέρεια του, παραµένοντας εφαπτόµενη. Σε µία απειροστά µικρή στροφή του τροχού, κατά γωνία dθ, η δύναµη F, µετακινεί το σηµείο dθ εφαρµογής της πάνω σε στοιχειώδες τόξο ds. Τότε το έργο που παράγει η δύναµη είναι: dw= F ds dw = F (R dθ) Το γινόµενο F R είναι η ροπή της δύναµης, εποµένως: dw= τ dθ

Μηχανική στερεού σώµατος, Ενέργεια ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Αν θέλουµε να υπολογίσουµε το έργο της δύναµης ds R dθ F όταν το σώµα στρέφεται κατά γωνία Δθ, τότε µπορούµε να χωρίσουµε τη γωνία σε µεγάλο αριθµό απειροστών γωνιών d θ και να προσθέσουµε τα έργα για όλες τις στοιχειώδεις µετατοπίσεις της δύναµης. Καθώς η F έχει σταθερή ροπή έχουµε: W = dw + dw + dw 3 1 +... W = τ dθ + τ dθ + τ dθ 3 1 + ( dθ + dθ + dθ...) W = τ 3 W = τ Δθ 1 +...

Μηχανική στερεού σώµατος, Ενέργεια ΙΣΧΥΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Γενικά: ΙΣΧΥΣ = ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ P = dw dt µονάδα µέτρησης της ισχύος στο S.I.: το 1 Watt (W) Ισχύς Δύναµης: Ρυθµός µε τον οποίο µια δύναµη δίνει ενέργεια σε ένα σώµα (θετική ισχύς), ή Ρυθµός µε τον οποίο µια δύναµη παίρνει ενέργεια από ένα σώµα (αρνητική ισχύς) J W = s

Μηχανική στερεού σώµατος, Ενέργεια ΙΣΧΥΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Ισχύς Δύναµης που προκαλεί ροπή σε στερεό σώµα: P F = dw dt F P F ± τ dθ = P F = ± τ ω dt Η σχέση µας επιτρέπει να υπολογίζουµε τη στιγµιαία ισχύ που έχει µια δύναµη. Αν θέλουµε να υπολογίσουµε τη µέση ισχύ µιας δύναµης, τότε χρησιµοποιούµε τη σχέση: P F = W Δt F

Μηχανική στερεού σώµατος, Ενέργεια ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΡΓΟΥ - ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Σε οποιοδήποτε είδος κίνησης που εκτελεί ένα σώµα ισχύει ότι: Το αλγεβρικό άθροισµα των έργων των δυνάµεων (ΣW) που δέχεται το σώµα, είναι ίσο µε τη µεταβολή της κινητικής του ενέργειας (ΔΚ). Για στερεό που κάνει στροφική κίνηση: 1 1 I ω I ω τελ αρχ = ΣW & $ % Για στερεό που κάνει σύνθετη κίνηση: 1 1 # & 1 1 # M υ I ω M υ I ω cm ( τελ ) + τελ! $ cm(αρχ ) + αρχ! = " % " ΣW