K + K + Q = 0 K = Q K K = 50J + 100J K = 50J

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ENOTHTA : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα βλήμα διαπερνά ένα ακίνητο κιβώτιο και η ελάττωση της κινητικής ενέργειας το βλήματος είναι 00J. Εάν η ενέργεια πο χάθηκε κατά την κρούση είναι 50J τότε η κινητική ενέργεια το κιβωτίο μετά την κρούση είναι: α) 0. β) 50J. γ) 00J. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Η ελάττωση της κινητικής ενέργειας το βλήματος είναι 00J, άρα Κ = 00J. H ενέργεια πο χάθηκε κατά την κρούση είναι Q = 50J. Η κρούση είναι ανελαστική, οπότε η Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας λαμβάνει τη μορφή: ά ά ά πριν πριν µετ πριν πριν µετ µετ Κ = 0 µετ ά πριν µετ K K Q ά = + Κ +Κ = K + K + Q K Κ + K + Q= 0 µετ ά µετ ά µετ ά µετά K + K + Q = 0 K = Q K K = 50J + 00J K = 50J

Ερώτηση. Σώμα Σ κινούμενο προς ακίνητο σώμα Σ, ίσης μάζας με το Σ, σγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με ατό. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας το Σ πο έγινε θερμότητα κατά την κρούση είναι: α) 0. β) 5%. γ) 50%. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Η κρούση είναι πλαστική. Το σώμα Σ έχει ταχύτητα μέτρο και το σώμα Σ είναι πριν µετά αρχικά ακίνητο. Ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: p = p πριν πριν µετά P + P = Pσσ + 0 = (+ )v+ 0= v v= () όπο v το μέτρο της ταχύτητας το + σσσωματώματος. Εφαρμόζοντας την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας Σ Σ στη πλαστική κρούση έχομε: πριν μετά v πριν πριν µετά πριν πριν µετ ά µετά Κ = 0 πριν µετά πριν µετά = + Κ +Κ = + + Κ = σ + =Κ σ K K Q K K Q K Q Q K Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της Σ πο έγινε θερμότητα κατά την κρούση είναι: πριν µετ ά µετά v Q Κ Kσσ. Kσσ. () Q 4 = = = = = = = 50% πριν πριν πριν πριν Κ Κ Κ Κ

Ερώτηση 3. Σώμα Α μάζας Α προσπίπτει με ταχύτητα Α σε ακίνητο σώμα Β μάζας Β, με το οποίο σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά. Μετά την κρούση το σώμα Α γρίζει πίσω με B ταχύτητα μέτρο ίσο με το /3 της αρχικής το τιμής. Ο λόγος των μαζών είναι: B α) =. 3 A B β) =. A B γ) =. A Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιογήσετε την επιλογή σας. A Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Α έχει ταχύτητα μέτρο Β είναι αρχικά ακίνητο. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας Α κρούση δίνεται από τον τύπο: A Β A = A () + Έστω Α B A Β =λ =λ () Αντικαθιστώντας στην () την τιμή το λ λ = = A A A A A A Α +λ A +λ B A B από τη () προκύπτει: (3) A και το σώμα το σώματος Α μετά την Εφόσον μετά την κρούση το σώμα Α γρίζει πίσω με ταχύτητα μέτρο ίσο με το 3 της αρχικής το τιμής είναι A = A, άρα η (3) γίνεται: 3 λ λ A = A = 3+ 3λ= +λλ= 4λ= 3 +λ 3 +λ B Άρα =λ= A 3

Ερώτηση 4. Μεταλλική σμπαγής σφαίρα Σ κινούμενη προς ακίνητη μεταλλική σμπαγή σφαίρα Σ, τριπλάσιας μάζας από την Σ, σγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ατήν. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της Σ πο μεταβιβάζεται στη Σ κατά την κρούση είναι: α) 30%. β) 75%. γ) 00%. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστή η (β) Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική. Έστω ότι η σφαίρα Σ έχει ταχύτητα αλγεβρικής τιμής και μάζα = και η ακίνητη σφαίρα Σ έχει μάζα =3. Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της σφαίρας Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: = + Με αντικατάσταση = και =3 προκύπτει: = = = + 3 4 Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας πο έχει μεταφερθεί από την σφαίρα Σ στην ακίνητη σφαίρα Σ μετά την κρούση είναι: µετ ά 3 3 ά K µετ 4 K 3 = = = = =0,75 ή 75% πριν πριν Κ 4 Κ () 4

Ερώτηση 5. Τρεις μικρές σφαίρες Σ, Σ και Σ 3 βρίσκονται ακίνητες πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Οι σφαίρες έχον μάζες =, = και 3 = 3 αντίστοιχα. Δίνομε στη σφαίρα Σ ταχύτητα μέτρο και σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη δεύτερη ακίνητη σφαίρα Σ. Στη σνέχεια η δεύτερη σφαίρα Σ σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη τρίτη ακίνητη σφαίρα Σ 3. Η τρίτη σφαίρα αποκτά τότε ταχύτητα μέτρο 3. Ο λόγος των 3 μέτρων των ταχτήτων είναι: α) 3. β). γ). Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Η πρώτη κρούση είναι κεντρική και ελαστική, η σφαίρα Σ έχει ταχύτητα αλγεβρικής τιμής και η σφαίρα Σ είναι αρχικά ακίνητη. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας το σώματος Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: = + Με αντικατάσταση () =, = προκύπτει = = = + Η δεύτερη κρούση είναι κεντρική και ελαστική, η σφαίρα Σ έχει ταχύτητα μέτρο και η σφαίρα Σ 3 είναι αρχικά ακίνητη. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας 3 της σφαίρας Σ 3 μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: = 3. + 3 Με αντικατάσταση =, 3 = 3 και = προκύπτει 3 3 = 3 = 3 = = + 3 4 5

Ερώτηση 6. Ένα σώμα μάζας κινείται με ταχύτητα μέτρο και σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερο σώμα πο είναι αρχικά ακίνητο. Είναι δνατόν μετά την κρούση η ταχύτητα το ο σώματος να έχει μέτρο ' 3 / = ίδιας φοράς με την αρχική το ταχύτητα και η ταχύτητα το ο σώματος να έχει μέτρο ' = 4 / ; α) Ναι. β) Όχι. γ) Μόνο αν τα σώματα έχον ίδιες μάζες. Να δικαιογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Αφού η κρούση των δύο σωμάτων είναι ελαστική και το δεύτερο σώμα είναι αρχικά ακίνητο ισχύον οι τύποι: ' = + και ' = + Διαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη έχομε: ' 3 = = 6 = 4 4 = 4 =. ' 4 Αλλά ατό είναι άτοπο. Παρατήρηση: Γενικότερα μετά την ελαστική κρούση δύο μαζών εκ των οποίων το δεύτερο σώμα ήταν αρχικά ακίνητο, το πρώτο σώμα θα έχει ταχύτητα μέτρο μικρότερο της διπλάσιας από ατή πο θα αποκτήσει το δεύτερο. 6

Ερώτηση 7. Σε μία κρούση μεταξύ δύο σωμάτων ισχύει πάντα: p = p α) p = p β) γ) p = 0 όπο p η μεταβή της ορμής το ο σώματος και p σώματος. η μεταβή της ορμής το ο Να δικαιογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Γνωρίζομε ότι σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής το σστήματος. p ( πριν) = p ( μετά) p( πριν) + p( πριν) = p( μετά) + p( μετά) p( πριν) p( μετά) = p( μετά) p( πριν) p( μετά) p( πριν) = p( μετά) p( πριν) ( ) p = p 7

Ερώτηση 8. Σε μία ελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων ισχύει πάντα: K = K Α) K = K Β) K = K Γ) όπο K η μεταβή της κινητικής ενέργειας το ο σώματος και K η μεταβή της κινητικής ενέργειας το ο σώματος. Να δικαιογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Γνωρίζομε ότι στις ελαστικές κρούσεις ισχύει και η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας το σστήματος. K ( πριν) = K ( μετά) K( πριν) + K( πριν) = K( μετά) + K( μετά) K( πριν) K( μετά) = K( μετά) K( πριν) K( μετά) K( πριν) = K( μετά) K( πριν) ( ) K = K 8

Ερώτηση 9. Ένας μαθητής ισχρίζεται ότι είναι δνατόν η αρχική ορμή ενός σστήματος δύο σωμάτων πο σγκρούονται πλαστικά να είναι μηδέν, και μετά την κρούση η τελική ορμή το σστήματος να είναι μηδέν ενώ η κινητική ενέργεια το σστήματος να είναι διάφορη το μηδενός. Ο παραπάνω ισχρισμός: α) είναι ψεδής. β) είναι αληθής. Να δικαιογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Η ορμή είναι μέγεθος διανσματικό. Αφού πριν την κρούση η ορμή το σστήματος είναι μηδέν, ατό σημαίνει ότι οι ορμές των σωμάτων είναι αντίθετες. p ( πριν) = 0 p ( πριν) + p ( πριν) = 0 p ( πριν) = p ( πριν) Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής το σστήματος. p ( πριν) = p ( μετά) 0= p ( μετά) Άρα και μετά την κρούση η ορμή το σστήματος θα είναι μηδέν. Το σσσωμάτωμα πο θα σχηματιστεί μετά την κρούση θα είναι ακίνητο. Σνεπώς, η τελική κινητική ενέργεια το σστήματος θα είναι μηδέν. 9

Ερώτηση 0. Σώμα μάζας κινείται οριζόντια με ταχύτητα. Στην πορεία το σγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας M = 3. Η απόλτη τιμή της μεταβής της ορμής P και της κινητικής ενέργειας Κ το σστήματος είναι αντίστοιχα: α) p = 0, K = 3 β) p =, K =. 3 γ) p = 0, 3 K =. 8 δ) p 3 =, 4 3 K =. 8 Να δικαιογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής: p Άρα: ( αρχ ) = p ( τελ) p = 0 () ' ' ():p + pm = p + pm + 0= ( + M) VK VK = = + M + 3 V K = () 4 K K KM 0 αρχ = (3) ( αρχ ) = + = + ( ) K K K KM M VK K 4 6 (4) τελ = 8 ' ' () ( τελ ) = + = ( + ) ( τελ ) = K ( ) (3),(4) 3 K = K ( τελ) K ( αρχ) K = = 8 8 3 K = 8 0

Ερώτηση. Ένα σώμα μάζας σγκρούεται μετωπικά με δεύτερο ακίνητο σώμα μάζας. Aν η σύγκροση θεωρηθεί ελαστική και η αρχική κινητική ενέργεια το είναι Κ, η κινητική ενέργεια πο χάνει το είναι: α) Κ = Κ. + ( ) β) γ) ( + ) Κ = Κ. Κ = 4 ( + ) Κ. Να δικαιογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. + + = = = = + + + + + K' ' K' K Σνεπώς: + + K = K K' = K K = K = + + + + + + + = K + + 4 K = K ( + )

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Σώμα μάζας M = 5kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα μέτρο = 00 / και μάζας = 0, kg, διαπερνά το σώμα χάνοντας το 75% της κινητικής το ενέργειας και εξέρχεται με ταχύτητα. Να πογιστεί: α) το μέτρο της ταχύτητας το βλήματος και της ταχύτητας το σώματος αμέσως μετά την έξοδο το βλήματος. β) Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας το βλήματος πο μεταφέρθηκε στο σώμα κατά την κρούση. γ) Η μεταβή της ορμής το βλήματος και το σώματος από τη στιγμή πο ηρεμούσε το σώμα μέχρι την έξοδο το βλήματος. δ) Η μέση δύναμη πο δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια της διέλεσης το βλήματος, αν ατή διαρκεί t = 0, 0. Λύση α) Η αρχική κινητική ενέργεια το βλήματος πριν τη κρούση είναι: βλ. αρχ βλ. αρχ βλ. αρχ Κ = Κ = 0, kg 00 Κ = 000J Το βλήμα χάνει το 75% της κινητικής το ενέργειας, άρα η τελική κινητική ενέργεια το βλήματος μετά τη κρούση είναι το 5% της αρχικής, οπότε: Κ βλ. τελ = 5% Κβλ. αρχ Κ βλ. τελ = 5% 000J Κ βλ. τελ = 50J Ισχύει: Κ βλ. τελ 50J Κ βλ. τελ = = = = 500 = 50. 0, kg Στην περίπτωση ατή η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας τατίζεται με το μέτρο. Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: p, αρχ = p, τελ p, αρχ + 0= p, τελ + p, τελ Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: ( ) = +Μ = = Μ Μ και με αντικατάσταση προκύπτει: 0, kg (00 50) = = 5kg

β) Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας το βλήματος πο μεταφέρθηκε στο ακίνητο σώμα κατά την κρούση είναι: K σωµ. τελ 0J Κ βλ. αρχ 000J Μ 5kg = = = = 0, 0 ή % 0, kg 00 γ) Η μεταβή της ορμής το σώματος είναι: µετά πριν pσωµ = pσωµ pσωµ Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: ' kg pσωµ =Μ 0 pσωµ = 5kg pσωµ = 0 με φορά προς τα δεξιά. Η μεταβή της ορμής το βλήματος είναι: µετά πριν pβλ = pβλ pβλ Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: kg pβλ = ' pβλ = 0, kg 50 0, kg 00 pβλ = -0 με φορά προς τα αριστερά. Παρατηρούμε ότι οι δύο μεταβές είναι αντίθετες. δ) Εφαρμόζομε τον ο νόμο το Newton για το σώμα, για τη διάρκεια της διέλεσης το βλήματος μέσα από ατό: pσωµ pσωµ Σ F= F= t t kg 0 F 3 = F = 0 N 0, 0 3

Άσκηση. Σώμα Σ μάζας = kg κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρο = / με κατεύθνση κάθετη σε κατακόρφο τοίχο και σγκρούεται πλαστικά με σώμα Σ μάζας = kg πο κινείται παράλληλα προς τον τοίχο με οριζόντια ταχύτητα. Το σσσωμάτωμα αποκτά ταχύτητα v. Στη σνέχεια το σσσωμάτωμα σγκρούεται ελαστικά με τον κατακόρφο τοίχο. Μετά την ελαστική κρούση αποκτά ταχύτητα μέτρο v = 4 /, η διεύθνση της οποίας είναι κάθετη με τη v. Οι κινήσεις των σωμάτων Σ, Σ και το σσσωματώματος γίνονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Να πογίσετε: α) το μέτρο και την κατεύθνση της ταχύτητας v Σ. β) το μέτρο της ταχύτητας. γ) τη μεταβή της ορμής το σσσωματώματος εξαιτίας της ελαστικής κρούσης με τον τοίχο. δ) το μέτρο της μέσης δύναμης πο ασκήθηκε στο σσσωμάτωμα κατά τη διάρκεια της κρούσης, αν η χρονική διάρκεια της κρούσης το σσσωματώματος με τον τοίχο είναι t = 0, 0. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g=0/. v Σ v Λύση α) Θεωρούμε ένα σύστημα δύο ορθοκανονικών αξόνων: Τον x x παράλληλο στον τοίχο και τον y y κάθετο στον τοίχο. Αναλύομε την ταχύτητα v σε δύο σνιστώσες και εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για την πλαστική κρούση: p = p πριν µετά Όταν δύο διανύσματα είναι ίσα, είναι ίσες και οι σνιστώσες τος, επομένως η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά για κάθε άξονα: Στον άξονα x x επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα πάνω έχομε: πριν µετά px = px 0+ = ( + ) vx vx = ( + ) kg 3vx vx = v x = = () ( kg + kg) 3 Στον άξονα y y επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά έχομε: 4

kg p = p + 0= ( + ) v v = v = v = 4 kg kg πριν µετά y y y y y y ( + ) ( + ) Επειδή η κρούση με τον τοίχο είναι ελαστική η κινητική ενέργεια το σστήματος διατηρείται. πριν µετά πριν µετά K = K K = K (+ )v + 0 = (+ )v v = v = 4 / Κατά τη διάρκεια της κρούσης με τον τοίχο ασκείται στο σώμα μία οριζόντια δύναμη, κάθετη στον τοίχο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ως εκ τούτο δεν πάρχει δύναμη στον άξονα x x οπότε η ορμή διατηρείται. Αντίθετα στον άξονα y y πάρχει η εξωτερική δύναμη F οπότε εκεί έχομε μεταβή της ορμής. Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ορμής το σσσωματώματος στον άξονα x x έχομε: πριν µετά px = px Επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα πάνω, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: + v = + v v = v v ηµθ = v ηµϕ ηµθ = ηµϕ θ = ϕ ( ) ( ) x x x x ο ο ο Όμως θ+ϕ= 90 θ= 90 θ= 45 Άρα φ=θ=45 ο β) Οπότε έχομε: vx = vηµ 45 ο v x = 4 v x = 4 () 34 3vx = = = 6 γ) Για τα μέτρα των ταχτήτων ισχύει: vx = vηµ 45 ο v x = 4 v x = 4 και vy = vσν45 ο v y = 4 v y = 4 και vy = vσν45 ο v y = 4 v y = 4 Η μεταβή της ορμής το σσσωματώματος εξαιτίας της ελαστικής κρούσης με τον τοίχο είναι: p = p x + p y Για τον άξονα x x σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω ισχύει : µετά πριν px = px px = 0 µετά πριν Για τον άξονα y y: py = py py Επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: y v v y φ v x x +x v x F θ φ +y θ v v y 5

p = ( + )v ( + )v p = ( + )(v + v ) y y y y y y () kg p y = (kg + kg) 4 + 4 py = 4 Άρα η μεταβή της ορμής το σσσωματώματος έχει μέτρο κατεύθνση κάθετη στον τοίχο και φορά προς τα αριστερά. kg p = 4 με δ) Εφαρμόζομε τον ο Νόμο το Newton για τον άξονα y y για όσο χρόνο το σσσωμάτωμα βρίσκεται σε επαφή με τον τοίχο: py Σ Fy = t Επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: p 4kg y F = F = F = 400N t 0, 0 Άρα το μέτρο της δύναμης F είναι F = 400N 6

Άσκηση 3. Ένα ξύλινο σώμα μάζας = 0,96kg είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας = 40g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρο = 00 / και σφηνώνεται στο σώμα, σε βάθος d = 7, 68c. Να πογιστεί: α) το μέτρο της ταχύτητας το σσσωματώματος μετά την κρούση. β) το ποσοστό της μανικής ενέργειας πο μετατρέπεται σε θερμότητα (να θεωρήσετε ότι όλη η απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος γίνεται θερμότητα και ότι το επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας είναι το οριζόντιο επίπεδο). γ) η μέση δύναμη πο ασκεί η σφαίρα στο ξύλο καθώς εισχωρεί σε ατό. δ) η μετατόπιση το σστήματος ξύλο-βλήμα μέχρι να σφηνωθεί το βλήμα στο ξύλο. Λύση α) Έστω v η ταχύτητα το σσσωματώματος πο δημιοργείται αμέσως μετά την κρούση. Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: πριν πριν µετά P + P = Pσσ Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: + 0= ( + ) v v= + Με αντικατάσταση =40g=0,04kg, =0,96kg και =00/, προκύπτει: 0, 04kg 00 v= v= 8. Το μέτρο σμπίπτει με την αλγεβρική τιμή. (0, 04 + 0,96)kg β) Η απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος κατά τη κρούση είναι: πριν µετά πριν µετά πριν πριν µετ ά µετά U = U = 0 πριν µετά απ ( U ) ( U ) µ µ απ απ Ε = Ε Ε Ε = Κ + Κ + Ε = Κ Κ Επειδή όλη η απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος γίνεται θερμότητα, πριν µετά Q =Ε =Κ Κ απ Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας πο μετατρέπεται σε θερμότητα κατά την κρούση πριν µετ ά µετά ( )v Q Κ Κ Κ + είναι: = = = πριν πριν πριν Κ Κ Κ + 0 Με αντικατάσταση προκύπτει: 7

(0, 04kg + 0,96kg) 8 Q 64 = = = 0, 04 = 0,96 ή 96% πριν Κ 0,04 40000 0, 04kg 00 γ) Σε όλη τη διάρκεια της κρούσης το βλήμα ασκεί στο ξύλο μια μέση δύναμη F και το ξύλο μια αντίθετη δύναμη F (3ος νόμος το Newton). Η δύναμη F μετακινεί το ξύλο κατά x. Το βλήμα μετατοπίζεται κατά d+x. Εφαρμόζομε το θεώρημα έργο-ενέργειας: µετά πριν Για το ξύλο: Κ Κ = WF v 0 = F x () µετά πριν Και για το βλήμα: Κ Κ = WF' v = F (d + x) () Προσθέτομε κατά μέλη τις σχέσεις () και (): F= F' v + v = F x F (d+ x) v + v = F d v v + F = d Με αντικατάσταση προκύπτει: 0,96 8 0,04 8 + 0,04 00 536 4 F= N F= N F = 0 N 0,0768 0,536 δ) H μετατόπιση x το σστήματος ξύλο-βλήμα μέχρι να σφηνωθεί το βλήμα στο ξύλο θα βρεθεί από τη σχέση (): 0,96kg 8 v F 0 () x = x = x 0, 003 ή 0,3c 4 8

Άσκηση 4. Δο σφαίρες Σ και Σ, πο έχον μάζες = kg και = kg αντίστοιχα, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά μήκος της ίδιας εθείας και πλησιάζον η μια την άλλη Σ Σ με ταχύτητες μέτρων = 6 / και = 9 /, αντίστοιχα. Οι δο σφαίρες σγκρούονται μετωπικά. Μετά τη κρούση η σφαίρα Σ αλλάζει κατεύθνση κινούμενη με ταχύτητα μέτρο = 4 /. α) Να πογίσετε το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Σ μετά την κρούση. β) Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική. γ) Να πογίσετε: ) την μεταβή της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας κατά τη κρούση. Τι παρατηρείτε; ) την μεταβή της ορμής κάθε σφαίρας κατά τη κρούση. Τι παρατηρείτε; Λύση α) Επιλέγομε θετική φορά προς τα δεξιά. Έστω η έχει φορά προς τα δεξιά. Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: πριν µετά πριν πριν µετ ά µετά p = p p + p = p + p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: + = + = και με αντικατάσταση προκύπτει: kg 6 kg 9 + kg 4 = = / kg Πριν τη κρούση Επειδή η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας είναι θετική ( > 0 ) Σ Σ σμπεραίνομε ότι το Σ μετά τη κρούση κινείται πράγματι προς + τα δεξιά. β) Υπογίζομε τη κινητική ενέργεια κάθε σφαίρας πριν και μετά τη κρούση. Σφαίρα Σ πριν τη κρούση: πριν πριν πριν Κ = Κ = kg 6 Κ = 8J Σφαίρα Σ πριν τη κρούση: πριν πριν πριν Κ = Κ = kg 9 Κ = 8J Σφαίρα Σ μετά τη κρούση: µετ ά µετ ά µετά Κ = Κ = kg 4 Κ = 98J Μετά τη κρούση Σ Σ 9

Σφαίρα Σ μετά τη κρούση: µετ ά µετ ά µετά Κ = Κ = kg Κ = J Η ική ενέργεια των δύο σφαιρών πριν τη κρούση είναι: K =Κ +Κ K = 8J + 8J K = 99J πριν πριν πριν πριν πριν Η ική ενέργεια των δύο σφαιρών μετά τη κρούση είναι: K =Κ +Κ K = 98J + J K = 99J µετ ά µετ ά µετ ά µετ ά µετά Δηλαδή ισχύει K πριν = K οπότε η κρούση είναι ελαστική. µετά γ) ) Η μεταβή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ είναι: µετά πριν Κ = K Κ Κ = 98J 8J Κ = 80J Η μεταβή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ είναι: µετά πριν Κ = K Κ Κ = J 8J Κ = 80J Παρατηρούμε ότι κατά την κρούση η μείωση της ενέργειας της σφαίρας Σ είναι ίση με την αύξηση της ενέργειας της σφαίρας Σ. Στην περίπτωση ατή, ένα μέρος της ενέργειας της πιο βαριάς σφαίρας Σ μεταφέρεται στην πιο ελαφριά σφαίρα Σ. ) Η μεταβή της ορμής της σφαίρας Σ είναι: µετά πριν p = p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: kg p = p = kg 4 kg 6 p = 0 Η μεταβή της ορμής της σφαίρας Σ είναι: µετά πριν p = p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: kg p = ( ) p = kg + kg 9 p = 0 Παρατηρούμε ότι οι μεταβές της ορμής των δύο σφαιρών είναι αντίθετες. Το αποτέλεσμα είναι αναμενόμενο αφού η ορμή το σστήματος των σωμάτων διατηρείται, άρα θα πρέπει: p = 0 0

Άσκηση 5. Τρεις μικρές σφαίρες Σ, Σ και Σ 3 βρίσκονται ακίνητες πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο όπως στο σχήμα. Οι σφαίρες έχον μάζες =, = και 3 = 3 Σ Σ Σ 3 αντίστοιχα. Δίνομε στη σφαίρα Σ ταχύτητα μέτρο. Όλες οι κρούσεις πο ακοθούν ανάμεσα στις σφαίρες είναι κεντρικές και ελαστικές. Να βρεθούν: α) ο αριθμός των κρούσεων πο θα γίνον σνικά. Αφού οκληρωθούν όλες οι κρούσεις των σφαιρών μεταξύ τος, να πογισθεί: β) η τελική ταχύτητα κάθε σφαίρας. γ) το μέτρο της μεταβής της ορμής της πρώτης σφαίρας. δ) το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ πο μεταφέρθηκε στη τρίτη σφαίρα Σ 3. Δίνονται: η μάζα = kg και = 0 /. 3 Λύση α) Αρχικά η σφαίρα Σ σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη δεύτερη σφαίρα Σ πο είναι ακίνητη ( η κρούση). + Επειδή οι δύο σφαίρες έχον ίσες μάζες ανταλλάσσον 3 ταχύτητες, άρα σφαίρα Σ ακινητοποιείται και η Σ αποκτά ταχύτητα ίση με Σ Σ Σ 3. 3 Στη σνέχεια η δεύτερη σφαίρα Σ σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη τρίτη σφαίρα Σ 3 πο είναι ακίνητη ( η κρούση). Επειδή < 3 η σφαίρα Σ μετά τη κρούση θα κινηθεί προς τα αριστερά. Έτσι τέλος η δεύτερη σφαίρα Σ σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη πρώτη σφαίρα Σ πο είναι ακίνητη (3 η κρούση). Σνικά λοιπόν γίνονται τρεις (3) κρούσεις. = Μετά την η κρούση (Σ με Σ ) Σ Σ Σ 3 3 3 Μετά την η κρούση (Σ με Σ 3) Σ Σ Σ 3 3 Μετά την 3η κρούση (Σ με Σ ) Σ Σ Σ 3 β) Η δεύτερη κρούση είναι κεντρική και ελαστική, η σφαίρα Σ έχει πριν τη κρούση ταχύτητα και η Σ 3 είναι αρχικά ακίνητη. Έστω η ταχύτητα της σφαίρας Σ και 3 η ταχύτητα της σφαίρας Σ 3 μετά τη δεύτερη κρούση. Ισχύει: = 3 = 3 = 3 = 3 = () (φορά προς τα 3 = 3 + 3 + 3 4 δεξιά) και 3 = 3 = = = = () (φορά προς 3 = 3 + 3 + 3 4 τα αριστερά). + 3

Στην τρίτη κρούση επειδή οι δύο σφαίρες έχον ίσες μάζες ανταλλάσσον ταχύτητες. Άρα η σφαίρα Σ αποκτά ταχύτητα =, άρα έχει κατεύθνση προς τα αριστερά και μέτρο (από σχέση ) = = (3) και η σφαίρα Σ ακινητοποιείται. Με αντικατάσταση στις παραπάνω σχέσεις το μέτρο της ταχύτητας =0/ προκύπτει η τελική ταχύτητα της κάθε σφαίρας: 0 Σφαίρα Σ : (3) = = 5 με φορά προς τα αριστερά. Σφαίρα Σ : Έχει ταχύτητα μηδέν. 0 Σφαίρα Σ 3 : () 3 = 3 = 5 με φορά προς τα δεξιά. γ) Η μεταβή της ορμής της πρώτης σφαίρας Σ είναι: µετά πριν p = p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: (3) 3 p = p = p = Με αντικατάσταση προκύπτει: 3 kg 0 kg p = p = 30 δ) Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ πο μεταφέρθηκε στη τρίτη σφαίρα Σ 3 είναι: µετ ά 33 µετά 33 3 5 K3 3 = 3 K3 3 3 75 = = = = 75% πριν = πριν 00 0 = = Κ Κ

Άσκηση 6. Μια σφαίρα Σ μάζας κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα και σγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ μάζας ( ) >. Μετά την κρούση η σφαίρα Σ σγκρούεται ελαστικά με κατακόρφο επίπεδο τοίχο, πο είναι κάθετος στη διεύθνση της κίνησης των δο σφαιρών. α) Αν ο λόγος των μαζών των δο σφαιρών είναι λ= να εκφράσετε τις αλγεβρικές τιμές των ταχτήτων των σφαιρών Σ και Σ σε σνάρτηση με το λ και το μέτρο της ταχύτητας. Σ Σ Να βρεθεί: β) για ποιες τιμές το λ η σφαίρα Σ μετά τη κρούση της με τη σφαίρα Σ κινείται προς τα αριστερά. γ) για ποια τιμή το λ, η σφαίρα Σ, μετά τη κρούση της με τον τοίχο θα διατηρεί σταθερή απόσταση από την σφαίρα Σ. Με βάση την παραπάνω τιμή το λ, να πογισθεί: δ) ο λόγος της τελικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ, πο έχει μετά τη κρούση της με τον τοίχο, προς την αρχική κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ. Λύση α) Η κρούση των σφαιρών Σ και Σ είναι κεντρική και ελαστική, η σφαίρα Σ έχει ταχύτητα και η σφαίρα Σ είναι αρχικά ακίνητη. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της σφαίρας Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: = + () και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της σφαίρας Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: = + () Λύνομε τη σχέση λ= ως προς : =λ (3) λ ( λ) λ Από τις σχέσεις (), (3) προκύπτει: = = = +λ ( +λ ) +λ (4) Σ Σ πριν τη κρούση των σφαιρών Σ Σ μετά τη κρούση των σφαιρών Σ Σ Από τις σχέσεις (), (3) προκύπτει: = = = = + +λ ( +λ ) +λ (5) 3

β) Για να κινείται η σφαίρα Σ προς τα αριστερά πρέπει η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της (σχέση 4), πο αποκτά μετά την κρούση της με τη σφαίρα Σ, να είναι αρνητική, οπότε προκύπτει ότι: λ (4) = < 0 λ< 0 λ> +λ γ) Το μέτρο της ταχύτητας λ λ είναι: = = +λ +λ Η σφαίρα Σ χτπά στον τοίχο ελαστικά, άρα ανακλάται με ταχύτητα ίσο μέτρο με την ταχύτητα και αντίθετης (5) φοράς, = = (7) +λ Για να παραμένει σταθερή η απόσταση των δύο σφαιρών μετά τη κρούση της σφαίρας Σ με τον τοίχο, πρέπει τα μέτρα των ταχτήτων των δύο σφαιρών να είναι ίσα, δηλαδή: = (6) λ (7) = = λ λ = 3 +λ +λ δ) Ισχύει: λ= 3 3 = = Από τη σχέση (7) με αντικατάσταση το λ=3, προκύπτει: = = = +λ + 3 Ο λόγος της τελικής κινητικής ενέργειας K της σφαίρας Σ, πο έχει μετά την κρούση της με τον τοίχο, προς την αρχική κινητική ενέργεια K της σφαίρας Σ είναι: 3 3 K (7) K = = = 4 = 0,75 Κ Κ (6) + πριν τη κρούση της Σ με τον τοίχο μετά τη κρούση της Σ με τον τοίχο d 4

Άσκηση 7. Σώμα μάζας M = kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παροσιάζει σντελεστή τριβής ίσθησης µ= 0,. Μια μικρή μπάλα μάζας = 00g κινούμενη οριζόντια προς τα δεξιά, με ταχύτητα μέτρο = 00 /, σγκρούεται με το σώμα και επιστρέφει με ταχύτητα μέτρο = 0 /. Να πογιστεί: α) το μέτρο της ταχύτητας το σώματος Μ αμέσως μετά την M πριν κρούση. + β) η απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος των δύο σωμάτων κατά τη κρούση. Σε ποιες μορφές ενέργειας M μετά μετατράπηκε; γ) η μετατόπιση το σώματος μάζας Μ μέχρι να σταματήσει εξαιτίας της τριβής το με το επίπεδο. M δ) ο λόγος λ= των μαζών των δύο σωμάτων, αν η κρούση ήταν ελαστική. Δίνεται: g = 0 / Λύση α) Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: πριν µετά πριν πριν µετ ά µετά p = p p + p = p + p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: + ( + ) + 0= +Μ = = Μ Μ και με αντικατάσταση προκύπτει: 0,kg (00 + 0) = = 6 / kg πριν πριν πριν β) Κ = + 0 Κ = 0,kg 00 Κ = 500J µετ ά µετ ά µετά Κ = + Μ Κ = 0,kg 0 + kg 6 Κ = 0J + 36J µετά Κ = 56J Η απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος των δύο σωμάτων κατά την κρούση είναι: πριν µετά πριν πριν µετ ά µετά Ε = E E Ε = Κ + U Κ + U ( ) ( ) απωλ µ µ απωλ Επειδή η κρούση των σωμάτων γίνεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ισχύει: U άρα πριν µετά Ε =Κ Κ Ε = 500J 56J Ε = 444J απωλ απωλ απωλ πριν = U µετά 5

Κατά την κρούση ένα μέρος της μανικής ενέργειας το σστήματος μετατράπηκε (ποβαθμίστηκε) σε θερμότητα και (πιθανόν) σε μόνιμη ενέργεια παραμόρφωσης των δύο σωμάτων. γ) Στο σώμα ασκούνται οι δνάμεις: τριβή Τ, βάρος W και η κάθετη αντίδραση από το επίπεδο Ν. Το σώμα στον άξονα y y είναι ακίνητο, άρα Σ Fy = 0 N W = 0 N= W N= Mg Η τριβή έχει μέτρο: T = µν T = µ Mg Η τριβή παράγει έργο: WT = T x Εφαρμόζομε το θεώρημα έργο ενέργειας για τη διαδρομή το σώματος Μ μέχρι να σταματήσει: M Κ = W Κτ Κ α = WT 0 M = T x x = x = T µ g Με αντικατάσταση προκύπτει: Μ 6 x = x = 9 0, 0 T x N W =0 Μ M δ) Είναι λ= M =λ. Επειδή η κρούση είναι ελαστική η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της μπάλας μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: M M=λ λ λ = = = + M +λ +λ Με αντικατάσταση = 00/ και = - 0/ (επειδή έχει φορά προς τα αριστερά), προκύπτει: 0 λ λ 3 = = λ= 5 5λ4λ= 6λ= +λ 00 +λ 5 6

Άσκηση 8. Δύο τελείως ελαστικές σφαίρες με μάζες = = kg και = 3 = 3kg αντίστοιχα, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και πλησιάζον η μία την άλλη με ταχύτητες μέτρο = = 0 = 0 /. Να βρείτε: α) Τις ταχύτητές των μαζών μετά την κρούση. β) Τη μεταβή της ορμής της. γ) Το ποσοστό μεταβής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας. δ) Τη μέση δύναμη πο ασκήθηκε στη σφαίρα κατά την κρούση αν ατή διαρκεί χρόνο t = 0,0. Λύση α) Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής. p ( πριν) = p ( μετά) p + p = p + p ' ' Επιλέγοντας θετική φορά προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: = + ' ' 3 = + 3 ' ' 0 0 =+ 3 ' ' 0 = 3 () ' ' 0 Επειδή η κρούση είναι ελαστική η ική κινητική ενέργεια το σστήματος παραμένει σταθερή. Εφαρμόζομε την Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας. K ( πριν) K ( μετά) K + K = K + K ' ' = ' ' + = + + 3 = + 3 ' ' 0 0 7

4 = + 3 () ' ' 0 ' ( ) ( ) () ' ' 0 0 () 4 = 3 + 3 ' ' ' 4 0 = 9 + 4 0 + 0 + 3 + = 0 ' ' 0 + = 0 ' 0 Προκύπτει: ' = 0, η οποία απορρίπτεται γιατί είναι η αρχική ταχύτητα το, και ' = 0 πο είναι αποδεκτή. Αντικαθιστώντας την τιμή ατή της = = 0 /. ' 0 ' u στη σχέση () προκύπτει: Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι μετά την κρούση η σφαίρα θα έχει ταχύτητα αντίθετης φοράς από ατή πο φαίνεται στο σχήμα (δηλαδή προς τα αριστερά). p = p( μετά) p( πριν) β) Επιλέγοντας θετική φορά προς τα αριστερά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: ' ( ) p = = 0 3 0 kg / p = 30kg / γ) K ( πριν ) = = 3 0, ' K( μετά ) = = 0 K = K( μετά) K( πριν) = 3 0 Στα K( αρχ ) η μεταβή της κινητικής το ενέργειας είναι ΔΚ Στα 00% α %=; 8

3 K 0 α % = 00% = 00% K( αρχ) α % = 00% 30 δ) p p( ) p( ) μετά πριν Σ F = F, = t t Επιλέγοντας θετική φορά προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: t t ' F, = = 0 0 3 3 0 = = = t 0,0 0 F, N 500N 9

Άσκηση 9. Σώμα Α μάζας = kg αφήνεται να γλιστρήσει από απόσταση = 0 από την κορφή λείο κεκλιμένο επιπέδο γωνίας κλίσης ϕ= 30 ο. Τατόχρονα δεύτερο σώμα Β μάζας = βάλλεται με αρχική ταχύτητα uo = 0 / από τη βάση το κεκλιμένο επιπέδο. Τα σώματα σγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Να πογίσετε: α) τις ταχύτητες των σωμάτων λίγο πριν την κρούση. β) την ταχύτητα το σσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ) το μέτρο της μεταβής της ορμής το σώματος Α κατά τη διάρκεια της κρούσης. δ) την ταχύτητα με την οποία το σσσωμάτωμα θα επανέλθει στη βάση το κεκλιμένο επιπέδο. Δίνεται η επιτάχνση βαρύτητας: g = 0 /. Λύση α) Φαινόμενο 0 : Κίνηση το σώματος από το (M) προς το (Σ). Σ F = α g x = α g / ηµϕ= / α α = gηµϕ = 0 / α = 5 / () t =α () = α t (3) Φαινόμενο 0 : Κίνηση το σώματος από το (Γ) προς το (Σ). Σ F = α g x = α g / ηµϕ= / α α = gηµϕ = 0 / α = 5 / (4) = t 0 α (5) 30

t t =0 α (6) Από το σχήμα προκύπτει ότι τη στιγμή της σνάντησης θα ισχύει: (3),(6) 0 = + = α t + 0t α t = ot t = = t = (7) 0 () : =α t = 5 / = 0 / (5) : =0 α t = (0 5 ) / = 0 / 0 β) Φαινόμενο 3 0 : Πλαστική κρούση Μ. Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής: Την εφαρμόζομε για τις χρονικές στιγμές: λίγο πριν την κρούση και λίγο μετά. p ( πριν) = p ( μετά) p + p = p + p ' ' Επιλέγοντας θετική φορά προς τα κάτω, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: ( ) + 0= + V K V K 0 = = / + VK = 5 / γ) Το μέτρο της ορμής της μάζας πριν την κρούση είναι: p = = 0kg / p = 0kg / Το μέτρο της ορμής της μάζας μετά την κρούση είναι: p = VK = 5kg / p = 0kg / Το μέτρο της μεταβής της ορμής το κατά την κρούση είναι: 3

p = p p = p p = 0 + 0 kg / ( ) ( ) p = 30kg / δ) Φαινόμενο 4 0 : Κίνηση το σσσωματώματος (Σ) (Γ). Εφαρμόζομε το Θ.Μ.Κ.Ε.: K K = W + W Γ Σ B N H ( + ) V ( + ) V = ( ) gh 0 K K V = V + g ηµϕ K K = ηµϕ + + V = V + g ηµϕ (8) K K (7) (6) = 0 5 = 0 (9) = + (9) (8) VK 5 0 0 / V = 5 5 / K 3

Άσκηση 0. Ένα σώμα μάζας = 4 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτος Α= 5 4 πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στην άκρη οριζόντιο ιδανικού ελατηρίο σταθεράς k = 6N /. Την χρονική στιγμή t0 = 0 πο το σώμα βρίσκεται στη θέση x = και κινείται από τη θέση ισορροπίας προς τη θέση μέγιστης απομάκρνσης σγκρούεται ελαστικά με δεύτερο σώμα μάζας = kg πο κινείται με ταχύτητα μέτρο = / αντίθετης φοράς από ατή της. Να πογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας το σώματος ελάχιστα πριν την κρούση. β) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την ελαστική κρούση. γ) το νέο πλάτος της ταλάντωσης το σώματος. δ) το στιγμιαίο ρθμό μεταβής της κινητικής ενέργειας το όταν ατό βρίσκεται στη νέα ακραία θέση της ταλάντωσής το. Λύση α) Φαινόμενο 0 : Υπογισμός της ταχύτητας u το λίγο πριν την κρούση. Εφαρμόζομε την Αρχή Διατήρησης Ενέργειας Ταλάντωσης από την ακραία θέση έως τη θέση Μ. 33

E ( ) = E ( ) x= A x= x ka = + kx k = A x ( ) 6 5 = ( / ) 4 4 ( ) = / = / β) Φαινόμενο 0 : Ελαστική κρούση. Εφαρμόζομε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής (λίγο πριν λίγο μετά). Θετική φορά καθορίζεται προς τα δεξιά: p ( πριν) = p ( μετά) p+ p = p' + p' = ' ' 4 = ' 4 ' ' = 3 ' + () Εφαρμόζομε την Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας κατά την κρούση. K πριν = K μετά ( ) ( ) + = ' + ' 4 4 ' ' () + = + ( ) 4= 3 ' + + 3 ' 4= 9 ' + ' ' + ' = 0 ' ' + = 0 ( ) + 4+ 3 ' ' = 0 ' = / δεκτή απορρίπτεται () : ' = / γ) Φαινόμενο 3 0 : Εύρεση το νέο πλάτος της ταλάντωσης το. Εφαρμόζομε την Α.Δ.Ε.Τ. από τη θέση Μ (σημείο σύγκροσης) έως την νέα ακραία θέση. 4 ' + kx = ka A = x + u A = + 4 A = k 6 34

δ) dx dk dw F F dx = Σ Σ dk dt = = = Σ F dt dt dt dt Αλλά στην ακραία θέση η ταχύτητα είναι μηδέν, σνεπώς: dk = 0 dt 35

ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. Από την κορφή (A) ενός κεκλιμένο επιπέδο μεγάλο μήκος και γωνίας κλίσης θ αφήνομε ελεύθερο να κινηθεί ένα σώμα Σ μάζας = kg το οποίο εμφανίζει με το κεκλιμένο επίπεδο σντελεστή τριβής ίσθησης A µ= 0,5. Αφού διανύσει διάστημα ΑΓ = x = 4 κινούμενο στο κεκλιμένο επίπεδο, σναντά ακίνητο σώμα Σ μάζας = 3kg, με το οποίο σγκρούεται μετωπικά και πλαστικά (σημείο Γ). Το σσσωμάτωμα πο δημιοργείται από την κρούση των δύο σωμάτων διανύει διάστημα x = και φτάνει στη βάση (Β) το κεκλιμένο επιπέδο. Να πογίσετε: α) την ταχύτητα το σσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) τη σνική θερμότητα λόγω τριβών πο παράχθηκε από τη στιγμή πο αφήσαμε ελεύθερο το σώμα μάζας μέχρι τη στιγμή πο το σσσωμάτωμα έφτασε στη βάση το κεκλιμένο επιπέδο. γ) την απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος των δύο μαζών κατά τη κρούση. δ) το ποσοστό της αρχικής δναμικής ενέργειας των σωμάτων Σ και Σ πο έγινε θερμότητα μέχρι το σσσωμάτωμα να φτάσει στη βάση (Β) το κεκλιμένο επιπέδο. Να θεωρηθεί: (i) Το επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας τατίζεται με το οριζόντιο επίπεδο πο περνά από τη βάση το κεκλιμένο επιπέδο. (ii) Όλη η απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος κατά τη κρούση γίνεται θερμότητα. (iii) Το έργο πο καταναλώνει η τριβή μετατρέπεται σε θερμότητα. (iv) Τα σώματα έχον αμελητέες διαστάσεις. (v) Ο σντελεστής τριβής ίσθησης πριν και μετά την κρούση παραμένει ίδιος. Δίνονται: ηµθ = 0,6, σνθ = 0,8 και η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 /. Λύση B θ θ x Γ x Στην κίνηση το σώματος Σ από τη κορφή Α ως το σημείο Γ ασκούνται πάνω το οι δνάμεις: τριβή Τ, βάρος W και η κάθετη αντίδραση από το επίπεδο Ν. Θεωρούμε ένα σύστημα δύο ορθοκανονικών αξόνων: Τον x x παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο και τον y y κάθετο στο κεκλιμένο επίπεδο. Αναλύομε το βάρος σε δύο σνιστώσες: Wy = g σνθ Wx = g ηµθ Το σώμα στον άξονα y y είναι ακίνητο, άρα x Β y N W x θ W θ Γ T W y y' + U=0 y N T W x θ Α W W y y' x' 36

Σ F = 0 N W = 0 y y N = W N = g σνθ y Η τριβή έχει μέτρο: T = µν T = µ g σνθ Κατά τη μετατόπιση το σώματος από το Α στο Γ: το έργο της τριβής είναι W = T x W = µ g σνθ x () και το έργο το βάρος είναι T T W = W x W = g ηµθ x W x W Εφαρμόζομε το θεώρημα έργο ενέργειας για τη διαδρομή το σώματος Σ από το σημείο Α στο Γ: Κ = W Κτ Κ α = WW + W T + WN = g ηµθ x µ g σνθ x+ 0 = g ηµθ x µ g σνθ x = gx ( ηµθ µ σνθ) Με αντικατάσταση προκύπτει: = 0 4 (0,6 0,5 0,8) = 4 Έστω η ταχύτητα το σσσωματώματος πο δημιοργείται αμέσως μετά τη κρούση. Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: πριν πριν µετά p + p = pσσ Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα κάτω (όπως φαίνεται στο σχήμα), η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: + 0= ( + ) = + Με αντικατάσταση =kg, =3kg και =4/, προκύπτει: kg 4 = = (+ 3)kg β) Στην κίνηση το σσσωματώματος από το σημείο Γ στη βάση Β το κεκλιμένο επιπέδο, ασκούνται πάνω το οι δνάμεις: τριβή Τ, βάρος W και η κάθετη αντίδραση από το επίπεδο Ν. Αναλύομε το βάρος το σσσωματώματος σε δύο σνιστώσες: W y = (+ )g σνθ W x = (+ )g ηµθ Το σώμα στον άξονα y y είναι ακίνητο, άρα Σ Fy = 0 N Wy = 0 N= Wy N = (+ )g σνθ Η τριβή έχει μέτρο: T = µν T = µ (+ )g σνθ Για τη μετατόπιση το σώματος από το σημείο Γ στη βάση Β το έργο της τριβής είναι: WT = T x W T = µ (+ )g σνθ x Με αντικατάσταση προκύπτει: 37

WT = 0,5(kg + 3kg)0 0,8 W T = -3J Από τη σχέση () με αντικατάσταση πογίζομε το έργο της τριβής για την κίνηση το Σ από τη κορφή Α ως το σημείο Γ: WT = µ g σνθ x = 0,5 kg 0 0,8 4 W T = -6J Το έργο πο καταναλώνει η τριβή μετατρέπεται σε θερμότητα, άρα: Q = W + W Q = 3J + 6J Q = 48J τριβ T T τριβ τριβ γ) Η απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος κατά τη πλαστική κρούση είναι: πριν µετά Uπριν = Uµετά απ ( U ) ( ά U ά) µ µ απ πριν πριν µετ µετ απ πριν µετά Ε =Ε Ε Ε = Κ + Κ + Ε =Κ Κ Ε απ = (+ ) Ε απ = kg 4 (kg + 3kg) Ε = 8J J Ε = 6J απ απ Σχόλιο: Θεωρούμε ότι η διάρκεια της πλαστικής κρούσης είναι πάρα πύ μικρή έτσι ώστε η μετατόπιση των σωμάτων να είναι αμελητέα. Με ατόν τον τρόπο μπορούμε να θεωρήσομε ότι η δναμική ενέργεια λόγω βάρος πριν και μετά τη κρούση είναι η ίδια. δ) Όλη η απώλεια της μανικής ενέργειας το σστήματος κατά τη πλαστική κρούση γίνεται θερμότητα, δηλαδή Qκρο ύσης =Ε απ = 6J Το σνικό ποσό της θερμότητας είναι: Q = Qτριβ + Qκρο ύσης Q = 48J + 6J Q = 54J Η αρχική δναμική ενέργεια το σώματος μάζας Σ είναι: U gh =, αρχ όπο h = (x+ x ) ηµθ h = (4 + ) 0,6 h = 3,6 Άρα U, αρχ = kg 0 3, 6 U, αρχ = 36J Η αρχική δναμική ενέργεια το σώματος μάζας Σ είναι: U =, αρχ gh, όπο h = x ηµθ h = 0,6 h =, Άρα U, αρχ = 3kg 0, U, αρχ = 36J Το ποσοστό της αρχικής δναμικής ενέργειας των σωμάτων Σ και Σ πο έγινε θερμότητα μέχρι το σσσωμάτωμα να φτάσει στη βάση (Β) το κεκλιμένο επιπέδο, είναι: Q 54J 54 = = = 0,75 ή 75% U + U 36J + 36J 7, αρχ, αρχ θ x Γ h x U=0 A h 38

Πρόβλημα. Ένα πρωτόνιο Π μάζας = κινούμενο με ταχύτητα μέτρο = αλληλεπιδρά (σγκρούεται έκκεντρα 6 0 / και ελαστικά) με ένα άλλο ακίνητο πρωτόνιο Π μάζας =. Μετά την κρούση το πρωτόνιο Π κινείται σε διεύθνση πο σχηματίζει γωνία θ= 30 ο σε σχέση με την αρχική το πορεία. Α. Να πογισθεί αμέσως μετά τη κρούση: α) το μέτρο της ταχύτητας το πρωτονίο Π. β) η ταχύτητα το πρωτονίο Π. Β. Να βρεθεί το ποσοστό της κινητικής ενέργειας το πρωτονίο Π πο μεταφέρεται στο πρωτόνιο Π γ) στην παραπάνω κρούση. δ) αν η κρούση ήταν κεντρική. B θ θ x Γ x A Λύση Α. α) Έστω η ταχύτητα το πρωτονίο Π μετά τη κρούση και θ η γωνία πο σχηματίζει με τον άξονα x x. Αναλύομε την ταχύτητα x = σνθ και y = ηµθ Έστω σε δύο σνιστώσες οι οποίες έχον μέτρα: η ταχύτητα το πρωτονίο Π μετά τη κρούση και σχηματίζει γωνία 30 ο με τον άξονα x x. Αναλύομε την ταχύτητα σε δύο σνιστώσες οι οποίες έχον μέτρα: = σν και o x 30 = ηµ () o y 30 Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για κάθε άξονα χωριστά για το σύστημα των δύο πρωτονίων: πριν µετά πριν πριν µετ ά µετά x x: p.x = p.x p,x + p,x = p,x + p,x Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: + 0= x + x = x +x x = x () πριν µετά πριν πριν µετ ά µετά y y: p.y = p.y p,y + p,y = p,y + p,y Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχον την ίδια διεύθνση, επιλέγοντας θετική κατεύθνση προς τα πάνω, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: 0+ 0= y y 0= y y y = y (3) Υψώνομε τις σχέσεις () και (3) στο τετράγωνο και στη σνέχεια τις προσθέτομε κατά μέλη: x = + x x ( + ) x + y = + x x +y (4) y =y 39

Όμως (4): = x +y, = x + y και x = + (5) 3 3 = οπότε με αντικατάσταση στην Επειδή η κρούση είναι ελαστική ισχύει η αρχή διατήρησης κινητικής ενέργειας το σστήματος. πριν µετά πριν πριν µετ ά µετά K = K K + K = K + K + 0= + = + (6) Προσθέτομε κατά μέλη τις σχέσεις (5) και (6): + = + + + 3 0= + 3 = 3 = 3 Με αντικατάσταση =0 6 / προκύπτει: = 3 6 0 β) Από τη σχέση (6) έχομε: 6 6 3 3 0 0 0 0 = = = = 4 6 = 0 = 0 4 Για να βρούμε την κατεύθνση της Με αντικατάσταση 6 0 θα χρησιμοποιήσομε τον τύπο: 3 = στην () προκύπτει: y ηµθ = (7) 6 3 6 3 y = 0 y = 0 4 Άρα από την (3) προκύπτει: = y 3 6 0 4 Οπότε από τη σχέση (7) με αντικατάσταση 6 3 0 3 ηµθ= 4 ηµθ= θ= 60 6 0 ο 3 = και y 6 0 4 6 = 0 προκύπτει: Β. γ) Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας το νετρονίο πο μεταφέρεται στον πρήνα είναι: 40

µετά K = = = πριν Κ 6 Με αντικατάσταση = 0 και 6 µετά 0 K πριν 6 4 = = = 0, 5 ή 5% Κ 0 = προκύπτει: 6 0 δ) Αν η κρούση ήταν κεντρική επειδή οι μάζες είναι ίσες θα αντάλλαζαν ταχύτητες. Δηλαδή όλη η κινητική ενέργεια το πρωτονίο Π θα μεταφερόταν στο πρωτόνιο Π, πριν µετά δηλαδή Κ = K άρα: µετά K = = 00% πριν Κ 4

Πρόβλημα 3. Ένα σώμα μάζας ελατηρίο σταθεράς k Μ= 3 Kg ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρφο ιδανικού = 00 N /. Δεύτερο σώμα μάζας = kg, βάλλεται από το έδαφος από το σημείο Κ με αρχική ταχύτητα 0 = 0 / και μετά από χρόνο t = 0,8 σγκρούεται ανελαστικά με το Μ. Μετά την κρούση το σώμα εξέρχεται από το Μ με ταχύτητα μέτρο = ' 0,5 /. Το σώμα Μ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να πογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας το σώματος ελάχιστα πριν την κρούση. β) το μέτρο της ταχύτητας το σώματος Μ αμέσως μετά την κρούση. γ) το πλάτος της ταλάντωσης πο θα εκτελέσει το σώμα μάζας Μ. δ) την αρχική μανική ενέργεια το σστήματος ελατήριο σώμα μάζας σώμα μάζας Μ θεωρώντας σαν επίπεδο μηδενικής δναμικής βαρτικής ενέργειας ατό πο διέρχεται από το σημείο Κ. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 /. Λύση α) Φαινόμενο 0 : Κίνηση από το (Κ) στο (Γ). 4

=0 gt = ( 0 0 0,8) / = / β) Φαινόμενο 0 : Ανελαστική κρούση -Μ. Εφαρμόζομε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής (λίγο πριν λίγο μετά). p πριν = p μετά p + p = p' + p' ( ) ( ) M M Επιλέγοντας θετική φορά προς τα πάνω, γράφομε την παραπάνω σχέση αλγεβρικά: ( ) ( ) ' 0,5 0 + = MV + ' V = V = / V= M 3 / γ) Φαινόμενο 3 0 : Ταλάντωση το σώματος μάζας Μ. Εφαρμόζομε την Αρχή Διατήρησης Ενέργειας Ταλάντωσης από το Γ στο Δ. E ( ) = E ( ) Γ M 3 MV = ka A = V = k 400 A= 3 0 δ) Εκμεταλλεόμενοι την αρχική ισορροπία το σώματος μάζας Μ, πογίζομε την παραμόρφωση το ελατηρίο από το φσικό το μήκος: Σ F = 0 Mg F = 0 Mg = k Θ. Ι ελ Mg 30 = = = 0,3 k 00 Η αρχική απόσταση το σώματος μάζας από το σώμα μάζας Μ είναι: = = = ( ) h 0t gt h 0 0,8 0 0,8 8 3, Η αρχική μανική ενέργεια το σστήματος είναι το άθροισμα:. της δναμικής βαρτικής ενέργειας το σώματος μάζας Μ,. της κινητικής ενέργειας το σώματος μάζας και 3. της δναμικής ελαστικής ενέργειας το ελατηρίο. h = 4,8 43

EMHX ( αρχ ) = Mgh + 0 + k ( ) = = 3 0 4,8 + 0 + 00 0,3 J = = 44 + 50 + 4,5 J ( ) MHX ( ) E αρχ = 98,5J 44

Πρόβλημα 4. 0 Στο κάτω άκρο κεκλιμένο επιπέδο γωνίας κλίσης ϕ= 30 είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 00 N /. Στο πάνω ελεύθερο άκρο το ελατηρίο έχει προσδεθεί σώμα μάζας = kg πο ισορροπεί. Από την κορφή το κεκλιμένο επιπέδο και από απόσταση = 0,5 από το, βάλλεται προς τα κάτω δεύτερο σώμα = kg με αρχική ταχύτητα 0 = 3 / και με κατεύθνση τον άξονα το ελατηρίο πο σγκρούεται κεντρικά με το. Μετά την κρούση η κίνηση το αντιστρέφεται, και διανύοντας απόσταση d = 0,05 σταματάει. Το εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Α. Να πογίσετε: α) την ταχύτητα το σώματος ελάχιστα πριν την κρούση. β) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση. γ) τη μέγιστη σμπίεση το ελατηρίο από την αρχική το θέση. δ) την μέγιστη δναμική ελαστική ενέργεια το ελατηρίο κατά την απλή αρμονική ταλάντωση το. Β. Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική. Δίνεται η επιτάχνση βαρύτητας g = 0 /. Λύση Α. Σ F = 0 Σ Fx = 0 g x = F ελ y Σ F= 0 α= 0, () g ηµϕ g ηµϕ = kα α = k α) Φαινόμενο 0 : Κίνηση το σώματος (Γ) (Δ). 0 α= 00 45

Εφαρμόζομε το Θ.Μ.Κ.Ε.: K K W W gh 0 0 = gηµϕ = + gηµϕ H= ηµϕ Γ = B + N 0 = + 0 = + gηµϕ 0 = 3 + 0 0,5 / 3 = 4,5 / = / () β) Φαινόμενο 0 : Κρούση -. Εφαρμόζομε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής. p πριν = p μετά ( ) ( ) p + p = p + p ' ' Επιλέγοντας θετική φορά προς τα κάτω, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: 0+ = ' ' ( +' ) ' = (3) Φαινόμενο 3 0 : Κίνηση το σώματος από το (Δ) προς το (Ζ). Εφαρμόζομε το Θ.Μ.Κ.Ε.: 46

K K = W + W Ζ B 0 ' gh 0 ' = gd ηµϕ h= dηµϕ = + ' = gdηµϕ ' = 0 0,05 / N ' = / (4) 4 = ' = / (5) (),(4) (3) ' / γ) Η ' είναι η ax της απλής αρμονικής ταλάντωσης πο θα εκτελέσει το αφού την έχει στη Θέση Ισορροπίας Ταλάντωσής το. k 00 ω= = rad / ω= 5 rad / ' ' =ωa A= A= ω 5 A = 0, Ατή θα είναι η επιπλέον σμπίεση το ελατηρίο. ax ax U( ελ ) = k A +α = 00 0,3 J U( ελ ) 4,5J = δ) ( ) B. Αν η κρούση των και είναι ελαστική, θα ισχύει και η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας. 9 K K K 0 J ( πριν) = + = + = K ( πριν) =, 5J ' ' ' ' 9 K ( μετά) = K+ K = + = + J= J 4 K ( μετά) =, 5J Σνεπώς η κρούση είναι ελαστική. 47

Πρόβλημα 5. Στο σχήμα το σώμα μάζας μάζας = 5kg σγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με το σώμα = 5kg. Αν είναι γνωστό ότι το ιδανικό ελατήριο βρίσκεται στο φσικό μήκος το, ότι η μάζα το σώματος 3 είναι 3 k = 0kg, η σταθερά το ελατηρίο είναι = 0N /, ο σντελεστής τριβής μεταξύ σωμάτων και επιπέδο είναι µ= 0, 4 και ότι η επιτάχνση της βαρύτητας είναι g = 0 /, να πογίσετε: α) τη μέγιστη επιτρεπτή παραμόρφωση το ελατηρίο ώστε να μην κινηθεί το 3. β) τη μέγιστη ταχύτητα πο μπορεί να έχει το ώστε να μην κινηθεί το 3. γ) το μέτρο της μεταβής της ορμής το στη διάρκεια της κρούσης. δ) τη θερμότητα πο αναπτύχθηκε κατά τη διάρκεια το φαινομένο το ερωτήματος α. Λύση α) Για να μην κινηθεί το 3 θα πρέπει να σμπιεστεί το ελατήριο μέχρις ότο η δύναμη το ελατηρίο να γίνει ίση με την μέγιστη τιμή της στατικής τριβής στο 3. Με άλλα λόγια η μέγιστη επιτρεπτή τιμή της σμπίεσης το ελατηρίο πρέπει να είναι: F (ax) kx =µ g x ελ =Τ 3 µ g 0,4 0 0 k 0 3 = = x = 4 β) Φαινόμενο 0 : Ελαστική κρούση. Αφού τα σώματα έχον ίσες μάζες θα ανταλλάξον ταχύτητες. ' = = 0 και ' = = 0 () Φαινόμενο 0 : Κίνηση το Εφαρμόζομε το θεώρημα μεταβής κινητικής ενέργειας από τη θέση Α (αρχική θέση το ) ως τη θέση Γ (τελική θέση το ). 48

K( ) K(A) W W W W WB= 0,WN= 0 Γ = B + N + Τρ + F ελ 0 0 ' = 0 + 0 +Τρ x σν 80 + 0 kx ' = µ gx kx 5 ' = 0,4 5 0 4 + 0 6 5 ' = 60 ' 64 = ( / ) ' 8 / = () : 0 = 8 / γ) Το μέτρο της ορμής της μάζας πριν την κρούση είναι: p = 0 = 5 8kg / p = 40kg / Το μέτρο της ορμής της μάζας μετά την κρούση είναι: p = ' p = 0kg / Το μέτρο της μεταβής της ορμής το κατά την κρούση είναι: p = p p = p p = 40kg / δ) Η θερμότητα οφείλεται στην τριβή και είναι ίση με το έργο της: ( ) Q = W = µ gx = 0,4 5 0 4 J Q = 80J Τρ 49

Πρόβλημα 6. Αρχικά η σφαίρα βρίσκεται ακίνητη και το νήμα σε κατακόρφη θέση. Εκτρέπομε τη σφαίρα μάζας της θέση ώστε το νήμα μήκος = από την αρχική =, 6 να σχηματίζει 0 με την κατακόρφο γωνία ϕ= 60 και την αφήνομε ελεύθερη. Όταν ατή περάσει από την αρχική της θέση ισορροπίας σγκρούεται ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας = 3 πο βρισκόταν πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με τριβές. Το σώμα μετά την κρούση, αφού διανύσει διάστημα σταματάει. Να βρεθούν: α) Το μέτρο της ταχύτητας το σώματος μάζας ελάχιστα πριν την κρούση. l φ l β) Το σνημίτονο της τελικής γωνίας απόκλισης θ πο θα σχηματίσει το νήμα με την κατακόρφο μετά την ελαστική κρούση. γ) Το διάστημα μέχρι να σταματήσει το σώμα. δ) Το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας το κατά την κρούση. Δίνονται ο σντελεστής τριβής ίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδο µ= 0, και η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 /. Λύση α) Στο τρίγωνο ΟΑΝ έχομε: h σνϕ = h = σνϕ h = σνϕ =, 6, 6 h = 0,8 () Φαινόμενο 0 :Κίνηση το σώματος μάζας από το σημείο (Α) στο σημείο (Γ) Εφαρμόζομε το θεώρημα μεταβής κινητικής ενέργειας για το σώμα μάζας από τη θέση Α ως τη θέση Γ. 50

K( ) K(A) W W WT = 0 Γ = B + T / 0 gh / () = = gh = 0 0,8 / = 6 / = 4 / () β) Φαινόμενο 0 :Ελαστική κρούση μεταξύ των σωμάτων και. Θεωρώντας θετική φορά την προς τα δεξιά, αφού η κρούση είναι ελαστική και το 0 σώμα είναι ακίνητο θα ισχύον οι τύποι: ' = + (3) και ' = + (4). Με αντικατάσταση στος παραπάνω τύπος προκύπτον: 3 / (3) : ' = 4 / = 4 / + 3 4/ ' = / / (4): ' = 4 / = 4 / ' = / + 3 4/ Φαινόμενο 3 0 : Κίνηση το σώματος μάζας από το σημείο (Γ) στο σημείο (Δ) όπο θα σταματήσει στιγμιαία. Εφαρμόζομε το θεώρημα μεταβής κινητικής ενέργειας για το σώμα μάζας από τη θέση Γ ως τη θέση Δ. WT = 0 Γ = B + T K( ) K( ) W W 0 / ' = gh / ' 4 h = = g 0 h = 0, (5) Στο τρίγωνο ΟΔM έχομε: h, 6 0,, 4, 6, 6 (5) σνθ = σνθ = = 7 σνθ = 8 γ) Φαινόμενο 4 0 : Κίνηση το σώματος μάζας από το σημείο (Γ) στο σημείο (Ε) όπο θα σταματήσει. Εφαρμόζομε το θεώρημα μεταβής κινητικής ενέργειας για το σώμα μάζας από τη θέση Γ ως τη θέση Ε. 5

K(E) K( ) W W W 0 3 / / ' = µ/ 3g / ' 4 = = µ g 0, 0 = WN= 0,WB= 0 Γ = B + N + Tρ δ) Ελάχιστα πριν την ελαστική κρούση, το σώμα μάζας είχε κινητική ενέργεια: K( αρχ ) = Αμέσως μετά την ελαστική κρούση, το σώμα μάζας έχει κινητική ενέργεια: K( τελ ) = '. Το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας το κατά την κρούση θα είναι: K ' K( τελ) K( αρχ) a % = 00% = 00% = 00% K( αρχ) K( αρχ) Με αντικατάσταση προκύπτει: 4 6 3 a % = 00% = 00% a % = 75% 6 4 5

Πρόβλημα 7. Το σώμα το διπλανού σχήματος έχει μάζα Μ= 0,98Kg και ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρφο νήματος μήκος =. Κάποια χρονική στιγμή βλήμα μάζας = 0, 0kg σφηνώνεται στο σώμα μάζας Μ και το σσσωμάτωμα πο προκύπτει, εκτελώντας κκλική κίνηση, φτάνει σε θέση όπο το νήμα σχηματίζει με την κατακόρφη γωνία φ τέτοια ώστε σνϕ = 0,6 και σταματά στιγμιαία. Να πογίσετε: α) Το μέτρο της ταχύτητας το σσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) Την αρχική ταχύτητα o το βλήματος. γ) Την τάση το νήματος πριν την κρούση. δ) Την τάση το νήματος αμέσως μετά την κρούση. ε) Τη μανική ενέργεια, πο μετατράπηκε σε θερμότητα στην πλαστική κρούση. Δίνεται η επιτάχνση βαρύτητας g = 0 /. Λύση α) Φαινόμενο 0 : Πλαστική κρούση Μ. Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής: 53

p ( πριν) = p ( μετά) p + p = p + p ' ' M M Επιλέγοντας θετική φορά προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: ( ) + 0= + M V 0 K ( + M) VK 0 = () Στο τρίγωνο ΟΝΓ έχομε: h σνϕ = h = σνϕ h = σνϕ () Φαινόμενο 0 : Κίνηση το σσσωματώματος. Εφαρμόζομε το θεώρημα μεταβής κινητικής ενέργειας για το σσσωμάτωμα από τη θέση Α ως τη θέση Γ. WT = 0 Γ = B + T K( ) K(A) W W 0 + M VK = 0 + M K K ( ) ( ) V = g ( σνϕ) () gh V = g ( σνϕ ) = 0 ( 0,6) / = 6 / VK = 4 / () β) ( ) ( ) 0, 0 + 0,98 4 : 0 = / 0 = 00 / 0,0 γ) Επειδή αρχικά το σώμα μάζας Μ ισορροπούσε: Σ F = 0 T0 Mg = 0 T0 = Mg T0 = 0,98 0N T 0 = 9,8N δ) Το σσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση μπαίνει σε κκλική κίνηση. Η σνισταμένη της τάσης και το βάρος λειτοργούν ως κεντρομόλος δύναμη. 54

Σ F = F R K VK T ( M+ ) g = ( M+ ) V T ( M ) g ( M ) 6 T = 0 + N T = + + + K () = 8N ε) Οι δναμικές ενέργειες θεωρούνται εξαρχής ίσες με το μηδέν. Η μανική ενέργεια το σστήματος λίγο πριν την κρούση ήταν: 4 E MHX ( αρχ ) = 0 = 0 4 0 J = 400J Η μανική ενέργεια το σστήματος αμέσως μετά την κρούση είναι: E MHX ( τελ ) = ( M + ) V K = 6J = 8J E MHX = E MHX ( τελ) E MHX ( αρχ ) = 39J 55

Πρόβλημα 8. Ένα βλήμα μάζας = kg, βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα μέτρο 0 = 00 / και διαπερνά ένα κιβώτιο μάζας Μ= 8 kg πο ήταν αρχικά ακίνητο στη θέση x = 0 μη λείο οριζόντιο δαπέδο. Το βλήμα εξέρχεται από το κιβώτιο με ταχύτητα = 0 /. Αν ο σντελεστής τριβής μεταξύ δαπέδο και κιβωτίο είναι µ= 0,5 + x, όπο x η θέση το κιβωτίο στο (S.I.), να πογίσετε: α) Την ταχύτητα το κιβωτίο αμέσως μετά την κρούση. β) Το ποσοστό μεταβής της κινητικής ενέργειας το βλήματος κατά τη διάρκεια της κρούσης. γ) Το διάστημα πο θα διανύσει το κιβώτιο μέχρι να σταματήσει. δ) Το μέτρο το στιγμιαίο ρθμού μεταβής της ορμής το κιβωτίο στη θέση x=. ε) Τη σνική θερμότητα πο μεταφέρθηκε στο περιβάλλον στη διάρκεια το φαινομένο. Δίνεται η επιτάχνση βαρύτητας g = 0 /. Λύση α) Φαινόμενο 0 : Ανελαστική κρούση Μ. Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής: p ( πριν) = p ( μετά) p + p = p + p ' ' M M Επιλέγοντας θετική φορά προς τα δεξιά, η παραπάνω σχέση γράφεται αλγεβρικά: 56