ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανε ιστήµιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανε ιστήµιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΙΑΛΕΞΗ 09 ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Βόλος, 2015-2016
Πίνακας Κατανοµής Ν(0,1) Για να βρούµε τις διάφορες πιθανότητες για την τυποποιηµένη κανονική µεταβλητή Ζ που ακολουθεί Ν(0, 1) πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τον σχετικό πίνακα: Ο πίνακας δίνει την πιθανότητα για την µεταβλητή Z να βρίσκεται στο διάστηµα: 0 < Ζ < z Πως διαβάζουµε τον πίνακα; Όταν αναζητούµε την πιθανότητα: P[0 < Z < 1,35] z = 1,35 Τότε πάµε στη γραµµή που αντιστοιχεί στο 1.3 και στη στήλη που αντιστοιχεί στο 0.05για το 2 ο δεκαδικό. P[0 < Z < 1,35] = 0,4115 Ενώ P[Z < 1,35] = P[Z 0] + P[0 < Z < 1,35] = 0,5 + 0,4115 = 0,9115 Η κατανοµή είναι συµµετρική γύρω από το 0 και γνωρίζουµε ότι: P[Z 0] = P[Z 0] = 0,5 (50%) 2
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 15 Παράδειγµα 15: Χρήση του Πίνακα Ν(0,1) Αν η Τ.Μ. Z Ν(0, 1) τότε να υ ολογιστούν οι ιθανότητες: (α) P(Z -1); (β) P(-0,25 Z +0,75) ; Να βρεθεί η σταθερά c για όλες τις αρακάτω ερι τώσεις: (γ) P(Z c) = 0,9554 (δ) P(Z c) = 0,3085 (ε) P(1 Z c) = 0,1219 3
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 15 (α) P(Z -1)= P(Z +1)= 0,5 + P(0 Z +1) = 0,5 + 0,3413= 0,8413 (β) P(-0,25 Z +0,75) = P(0 Z 0,25)+ P(0 Z 0,75) = 0,0987 + 0,2734 = 0,3721 Εφόσον P(-0,25 Z 0)= P(0 Z 0,25) (γ) Να βρεθεί η σταθερά cγια την ερί τωση: P(Z c) = 0,9554 P(Z c) = 0,9554> 0,5 c> 0 P(Z c) =0,5 + P(0 Z c)= 0,9554 P(0 Z c)= 0,4554 c= 1,70 4
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 15 (δ) Να βρεθεί η σταθερά cγια την ερί τωση: P(Z c) = 0,3085 P(Z c) = 0,3085 < 0,5 c< 0 (αρνητικό) P(Z c) =P(Z c )= 0,3085 ό ου c θετικό P(Z c )= 0,5 -P(0 Z c )=0,3085 P(0 Z c )= 0,1915 c = 0,50 c= -0,50 (ε) Να βρεθεί η σταθερά cγια την ερί τωση: P(1 Z c) = 0,1219 P(1 Z c) =P(0 Z c) -P(0 Z 1)= 0,1219 P(1 Z c) =P(0 Z c) 0,3413 = 0,1219 P(0 Z c) = 0,4632 c 1,79 5
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 16 Παράδειγµα 16: Ανητ.µ ΧΝ(50,0)ναβρεθείησταθερά c ώστε: (α)p(x c)=0,1840 (β)p(50-c X 50+c)=0,9660 (α) Αν η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί κανονική κατανοµή µε : µ = 50 και σ =, τότε γνωρίζουµε ότι, η τυ ο οιηµένη µεταβλητή Ζ ακολουθεί µοναδιαία κανονική κατανοµή. Η µεταβλητή Ζ ορίζεται ως εξής: X µ X Z = = σ X 50 c 50 c 50 P( X c) = P( ) = P( Z ) = 0,1840 c 50 Έστω z = P( X c) = P( Z z) = 0,1840 < 0, 5 z < 0 50 6
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 16 (b) P[(50 c) X (50 + c)] = 0,9660 (50 c) 50 P Z (50+ c) 50 = c P( Z c ) = 2. P(0 Z c ) = 0,9660 c c P( 0 Z ) = 0,483 = 2,12 c= 21,2 7
Παράδειγµα 17: Τούψοςτωνανδρώνµιαςχώραςακολουθείκανονικήκατανοµή Ν(167,3 2 ). Ποιο οσοστό του ληθυσµού των ανδρών έχει ύψος (α) µεγαλύτερο α ό 167 (β) µεταξύ 164και170cm (γ) µεγαλύτερο α ό 180 cm (δ) Σ ένατυχαίοδείγµαµε4άνδρες, οιαη ιθανότηταναέχουνόλοι, ύψος>170cm; X= Ύψος ανδρών (α) P[Χ > 167] = P[X > µ] = 0,5 (50%) P[Χ > 167] = P[Ζ > 0] (β) P[164 < Χ < 170] = P[µ-σ < Χ < µ+σ] 68% P[-3/3 < Ζ < +3/3] = P[-1 < Ζ < +1] = 2 x P[0 < Ζ < +1] = 2 x 0,3413 = 0,6826 (γ) P[Χ > 180] = P[Ζ > (180-167)/3] = P[Ζ > 4,33] = 0 (δ) Η πιθανότητα για ένα άνδρα να έχει ύψος > 170 είναι: P[Χ > 170] = P[Ζ > 1] = 0,5 0,3413 =0,1587 = p Τυχαίο δείγµα 4 ανδρών. Για κάθε άνδρα, έχουµε 2 εναλλακτικές συνθήκες: Ύψος > 170 p = 0,1587 ή Ύψος 170 q = 1-p = 0,8413 Έστω Y = {αριθµός ανδρών µε ύψος > 170} Β(4; 0,1587) Y = {0, 1, 2, 3, 4} P[ Y 4 4 0 4 4 = 4] = C4 p q = C4 (0,1587).(0,8413) = 0,00063 (0,06%) 0 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 17 8
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Οι υ ολογισµοί ου α αιτούνται για την εκτίµηση των ιθανοτήτων α ό τη διωνυµική κατανοµή όταν το µέγεθος του δείγµατος n είναι µεγάλο, είναι αρκετά δύσκολοι. Κάτω α ό ορισµένες ροϋ οθέσεις, οι ιθανότητες αυτές µ ορούν να εκτιµηθούν ροσεγγιστικά µε βάση την κανονική κατανοµή. Η τυχαία µεταβλητή Χ ου ακολουθεί διωνυµική κατανοµή είναι ασυνεχής. Όµως, όταν ο αριθµός εκτέλεσης του ειράµατος είναι ολύ µεγάλος, η µεταβλητή Χ α οκτά τα χαρακτηριστικά µιας µεταβλητής ου ακολουθεί την κανονική κατανοµή κατά ροσέγγιση. Έτσι αν η Χ Β(n,p) ό ου Ε(Χ) = np και V(X) =npq και nαρκετά µεγάλο, τότε: Κατά ροσέγγιση, Χ Ν(µ, σ 2 ) ό ου: µ = np σ 2 = npq ΑΥΤΟ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΑΝ:n 30 και: αν p< 0,5 np > 5 αν p> 0,5 nq > 5 9
Παράδειγµα 18: Η ιθανότητα ανάρρωσης ενός ασθενούς είναι 0,7. Είναι γνωστό ότι, 150 άτοµα έχουν την ασθένεια. Ποία είναι η ιθανότητα να αναρρώσουν λιγότερα α ό 0 άτοµα; 150 άτοµα είναι ασθενείς (n=150) Για κάθε άτοµο, έχουµε 2 εναλλακτικές πιθανές συνθήκες: Να αναρρώσει p= 0,7 Να µην αναρρώσει q= 0,3 Έστω Χ = {αριθµός ασθενών που ανάρρωσαν Χ = {0,1,,2,150} ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 18 Χ Β(n;p) = B(150 ; 0,7) P[X < 0] =? Εφόσον : n > 30, p= 0,7 > 0,5 ε οµένως : nq = 150 x 0,3 = 45 > 5 Τότε: Χ Ν(np ; npq) = N(5 ; 31,5) σ = 5,6 P[Χ <0] = P[Ζ < (0-5)/5,6]= P[Ζ < 0,89] = 0,5 + P[0 < Ζ < 0,89] =0,5 +0,3133 P[Χ <0] = 0,8133 (81,3%)
Παράδειγµα 19: Α ό διαφορές έρευνες ου ραγµατο οιήθηκαν µέσω τηλεφώνου, ροέκυψε ότι η ιθανότητα να α αντήσει ο ερωτώµενος είναι 0,6. Σε 0 τηλεφωνικές κλήσεις, οια είναι η ιθανότητα να α αντήσουν τουλάχιστον 40; 0 τηλεφωνικές κλήσεις (n=0) Για κάθε κλήση, έχουµε 2 εναλλακτικές ιθανές συνθήκες: Α αντά p= 0,6 εν α αντά q= 0,4 Έστω Χ = {αριθµός α αντήσεων} Χ = {0,1,,2,0} Χ Β(n;p) = B(0 ; 0,6) P[X 40] =? Εφόσον : n > 0, p= 0,6 > 0,5 ε οµένως : nq = 0 x 0,4= 40> 5 Τότε: Χ Ν(np ; npq) = N(60; 24) σ = 4,9 P[Χ 40] = P[Ζ (40-60)/4,9]=P[Ζ -4,08] = 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 19 11
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ POISSON ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αν η τ.µ. Χ Poisson P(λ) οπού E(X) = V(X) = λ και λ αρκετά µεγάλο, τότε: Κατά προσέγγιση, Χ Ν(µ, σ 2 ) όπου: µ = λ σ 2 = λ ΑΥΤΟ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΑΝ:λ αρκετά µεγάλο (λ > 20) 12
Παράδειγµα 20: Κατά µέσο όρο, ο αριθµός των ελατών ου εριµένουν στα ταµεία ενός σού ερ µάρκετ στη διάρκεια µιας ώρας ανέρχεται σε 36. Ποια η ιθανότητα ο αριθµός ελατών (α)ναµηξε ερνάτους15; (β)ναείναιµεταξύ40και50; Ο αριθµός ελατών ου εριµένουν στα ταµεία ενός σού ερ µάρκετ στη διάρκεια µιας ώρας, ανέρχεται κατά µέσο όρο σε 36. Η µεταβλητή Χ = {αριθµός ελατών ου εριµένουν ανά µια ώρα} έχει όλα τα χαρακτηριστικά µιας µεταβλητής Poisson P(λ) = P(36). εδοµένου ότι λ > 20, µ ορούµε να υ ολογίσουµε κατά ροσέγγιση την ιθανότητα µε τη χρήση της Κανονικής Κατανοµής. Χ Ν(36 ; 6 2 ) (α) (β) 15 36 P[ X 15] = P[ Z ] = P[ Z 3,5] 0 6 40 36 50 36 P[ 40 X 50] = P[ Z ] = P[0,67 Z 2,33] 6 6 P[0,67 Ζ 2,33] = P[0 Ζ 2,33] -P[0 Ζ 0,67] = 0,2415 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 20 13