ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού"

Σκύλλα Δασκαλόπουλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: ( x + ) /, αν - x f ( x) αλλού ( x + ) /, αν x (i) Να βρεθούν οι : α) X ), β) X ), γ) - X ) (ii) Να βρεθούν η μέση τιμή και η διασπορά.. Η πιθανότητα να γεννηθεί αγόρι είναι,. (α) Ποια είναι η πιθανότητα, μια οικογένεια με παιδιά, να έχει το πολύ αγόρια; (β) Αν πάρουμε τυχαία οικογένειες των παιδιών, ποια η πιθανότητα οι 7 οικογένειες να έχουν το πολύ αγόρια η καθεμία; (γ) Ποια είναι η πιθανότητα ένα ζευγάρι να κάνει παιδιά μέχρι να αποκτήσει δύο αγόρια;. Ένας εντομολόγος μελετά τον αριθμό των ζωυφίων στα φύλλα ενός δένδρου. Ο αριθμός αυτός ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ9. (α) Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει ένα φύλλο με τουλάχιστον ζωύφια; (β) Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει φύλλα από τα οποία τα να έχουν τουλάχιστον ζωύφια.. Σε έναν πληθυσμό πιθήκων έχει βρεθεί ότι ο όγκος της κρανιακής κοιλότητας ( X ) ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή cc και τυπική απόκλιση cc. Να βρείτε: (α) την πιθανότητα ένα μέλος του πληθυσμού, που επιλέχθηκε στην τύχη, να έχει όγκο κρανιακής κοιλότητας μεγαλύτερο από cc. (β) τον όγκο της κρανιακής κοιλότητας K πάνω από τον οποίο βρίσκεται το % του πληθυσμού. (γ) το ποσοστό των πιθήκων που ο όγκος της κρανιακής κοιλότητας τους απέχει από τη μέση τιμή το πολύ.σ.

2 . Διασταυρώνουμε μπιζέλια ασπροκόκκινα με ασπροκόκκινα και περιμένουμε τα % των νέων μπιζελιών να έχουν άσπρα άνθη. Αν εξετάσουμε φυτά από τα νέα μπιζέλια ποια θα είναι η πιθανότητα: (α) φυτά να έχουν άσπρα άνθη. (β) - φυτά να έχουν άσπρα άνθη. Για να υπολογιστούν οι πιθανότητες χρησιμοποιείστε την παρακάτω πρόταση (βλέπε σημειώσεις..) Αν X ~ B( n, p) με np και n (, χρησιμοποιούμε την προσέγγιση που δίνει η κανονική κατανομή με μέση τιμή μ np και διασπορά σ np( έτσι ώστε P ( X k) k. X k +.) k. np k +. np P ( k X k ) P Z np( np( όπου Ζ είναι η τυποποιημένη κανονική τ.μ. 7. Η εκθετική συνάρτηση λr λe, r > f ( r), r όπου λ> σταθερά, χρησιμοποιείται συχνά για την μοντελοποίηση της εξάπλωσης των σπόρων. Η συνάρτηση f(r) είναι η συνάρτηση πυκνότητας και για <α<β, f ( r) dr περιγράφει το ποσοστό των σπόρων που εξαπλώθηκαν σε απόσταση μεταξύ α και β από την πηγή στο r. α) Δείξτε ότι η f(r) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. β) Δείξτε ότι το ποσοστό των σπόρων που σκορπίζονται απόσταση R ή μεγαλύτερη μειώνεται εκθετικά με το R. γ) Να βρεθεί το R για το οποίο το % των σπόρων εξαπλώνονται εντός απόστασης R από την πηγή. Πως το R εξαρτάται από το λ; β a

3 Απαντήσεις. Η τυχαία μεταβλητή Χ είναι διακριτή. Επομένως μ E( X ) xi f ( x i ) + + E ( X x ) x x f ( i x i σ E( X ) X ) + [ E( )] x ( x). (i) α) X ) f ( x) dx dx, 8 ( x + ) ( x + ) β) X ) f ( x) dx dx, x + x γ) - X ) f ( x) dx dx +, 7 dx (ii) x( x + ) ( ) ( ) ( ) + x x μ E X xf x dx dx dx E ( X ( ) ) x x + ( ) + x x f x dx dx [ E( )] σ E( X ) X + ( x) dx. (α) X : αριθμός αγοριών σε μια οικογένεια παιδιών. Η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη Διωνυμική κατανομή με n και p,. P ( X ),8 (από τον πίνακα της συνάρτησης αθροιστικής κατανομής) ή διαφορετικά k k P ( X ) (,) (,) ( )(,),8 k k (β) επιτυχία : οικογένεια των παιδιών να έχει το πολύ αγόρια Υ : αριθμός επιτυχιών στις οικογένειες Η τ. μ. Υ ακολουθεί τη Διωνυμική κατανομή με n και p,8 (από το ερώτημα (α)). 7 7 P ( Y 7) (,8) (,8) ()(,8) (,87),89 7 ή διαφορετικά P ( Y 7) < Y 7) Y 7) Y ),,, (Η πιθανότητα που βρίσκουμε με το δεύτερο τρόπο είναι διαφορετική γιατί ο πίνακας της συνάρτησης αθροιστικής κατανομής δεν μας δίνει τιμές για p,8, γι αυτό κάναμε την προσέγγιση με p,8)

4 (γ) Ζ : αριθμός παιδιών μέχρι να αποκτήσουν αγόρια. Η τ. μ. Ζ ακολουθεί την Αρνητική Διωνυμική κατανομή με ν και p,. x ν x ν P ( Z ) ( p) ( (,) (,) (,),87 ν. X : αριθμός ζωυφίων σε ένα φύλλο. Η τ.μ. Χ ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ9. (α) P ( X ) X ),, 9 (β) Υ: αριθμός φύλλων με τουλάχιστον ζωύφια στα. Η τ. μ. Υ ακολουθεί τη Διωνυμική κατανομή με n και p,9 (από το ερώτημα (α)). P ( Y ) (,9) (,) ()(,9) (,),. Αν η τ.μ. Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μ και σ, τότε η τ.μ. μ Z X ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή (Ν(,)). σ (α) P ( X > ) X ) Z,) Φ(,),9, 7 (β) Ψάχνουμε Κ τέτοιο ώστε P ( X > K), ή P ( X K),. P ( X K) Z K z ),, όπου K K z. Από τον πίνακα της αθροιστικής συνάρτησης Φ(z) βρίσκουμε ότι K, 9. Άρα K, cc. z (γ),σ X μ,σ ), Z,) Z,) Z,) Φ(,) (,9),8 Tο ποσοστό των πιθήκων που ο όγκος της κρανιακής κοιλότητας τους απέχει από τη μέση τιμή το πολύ.σ είναι 8,%.. Έχουμε E ( X ) np, και Var ( X ) np( ),,7 Εφαρμόζοντας τους τύπους της κανονικής προσέγγισης έχουμε: (α) P ( X ). X +.), +, P Z Φ(,) Φ(,) Φ(,),, +, X ) P Z (β) Φ(,) Φ(,88) Φ(,) + Φ(,88),87 7. β) το ποσοστό των σπόρων που σκορπίζονται απόσταση R ή μεγαλύτερη f ( r) dr e R λr

5 R γ) Ο αριθμός R ικανοποιεί τη σχέση, f ( r) dr. Πετά την ολοκλήρωση βρίσκουμε ότι R ln. λ

Σχετικά έγγραφα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.