ΠΕΜΠΤΟ ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Χρησιµότητα των διαγραµµάτων Η παρουσίαση των στατιστικών στοιχείων µπορεί να γίνει όχι µόνο µε πίνακες, αλλά και µε διαγράµµατα ή γραφικές απεικονίσεις. Η µέθοδος αυτή αποβλέπει στην πληροφόρηση του αναγνώστη για κάποια χαρακτηριστική κατάσταση, σχέση ή εξέλιξη, µε χρήση γραµµών, σηµείων, σχηµάτων ή άλλων συµβόλων. Για αυτό, ένα διάγραµµα, τότε µόνο µπορεί να θεωρηθεί ως επαρκές µέσο στατιστικής πληροφορήσεως, όταν παρουσιάζει παραστατικότητα, σαφήνεια και ακρίβεια. Η παραστατικότητα συµβάλλει στη γρήγορη κατανόηση των στοιχείων και στη διατήρηση της εικόνας τους στη µνήµη του αναγνώστη Η σαφήνεια είναι αναγκαία για να µη δηµιουργείται σύγχυση και ιδίως να µην εξάγονται λανθασµένα συµπεράσµατα. Οι γραφικές απεικονίσεις πρέπει να είναι όσο γίνεται ακριβείς, ώστε οι πληροφορίες που δίνουν να µην απέχουν από την πραγµατικότητα. Κανόνες κατασκευής Κατά την κατασκευή ενός διαγράµµατος είναι σκόπιµο να τηρούνται οι ακόλουθοι γενικοί κανόνες, οι οποίοι είναι ανάλογοι µε εκείνους που ισχύουν και για τους στατιστικούς πίνακες. Τίτλος ιαστάσεις Κλίµακες µετρήσεως Υποσηµειώσεις Πηγή Γραφική απεικόνιση των κατανοµών συχνότητας Η γραφική απεικόνιση µιας κατανοµής συχνότητας µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους, µε ιστόγραµµα και µε πολυγωνική γραµµή. ( α ) Ιστογράµµατα. Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήµατος ορθογωνίων αξόνων λαµβάνουµε διαδοχικά τµήµατα, ίσα µε διαστήµατα τάξεως της κατανοµής που θέλουµε να απεικονίσουµε γραφικώς. Επάνω στα ευθύγραµµα αυτά τµήµατα κατασκευάζουµε ορθογώνια παραλληλόγραµµα που έχουν ύψος ίσο µε τις αντίστοιχες συχνότητες, τις οποίες µετράµε στον κατακόρυφο άξονα. Έτσι προκύπτουν τόσα ορθογώνια παραλληλόγραµµα όσες και οι τάξεις της κατανοµής. Το διάγραµµα που κατασκευάζεται µε τη µέθοδο αυτή λέγεται «ιστόγραµµα» 1
( β ) Πολυγωνικές γραµµές. Σε ένα σύστηµα ορθογωνίων αξόνων στους οποίους έχουν χαραχθεί οι κλίµακες των µεγεθών που µετράµε, προσδιορίζουµε τα σηµεία µε τετµηµένες τις κεντρικές τιµές των διαστηµάτων τάξεως και τεταγµένες τις αντίστοιχες συχνότητες. Κατόπιν, συνδέοντας τα σηµεία αυτά µε ευθείες γραµµές, λαµβάνουµε το διάγραµµα που είναι γνωστό ως «πολυγωνική γραµµή» Το είδος αυτό διαγράµµατος χρησιµοποιείται κυρίως όταν η µεταβλητή είναι συνεχής, σε περίπτωση όµως που έχουν διακριτή µεταβλητή, όπως είναι το µέγεθος των επιµέρους οικογενειών µιας πόλεως, η γραφική απεικόνιση της κατανοµής είναι προτιµότερο να γίνεται µε ιστόγραµµα, διότι σε ένα τέτοιο διάγραµµα η παρουσίαση των συχνοτήτων µε χωριστά ορθογώνια υπογραµµίζει την ασυνέχεια που υπάρχει στις τιµές του χαρακτηριστικού που εξετάζουµε. Όταν στο ίδιο διάγραµµα θέλουµε να συγκρίνουµε δύο ή περισσότερες κατανοµές, είναι σκόπιµο να χρησιµοποιήσουµε πολυγωνικές γραµµές και όχι ιστογράµµατα, διότι στα τελευταία δεν είναι σαφής η διάκριση των ορθογωνίων της µίας κατανοµής από τα ορθογώνια της άλλης ή των άλλων, εκτός αν τα ορθογώνια που εκφράζουν τις συχνότητες των επιµέρους κατανοµών σε κάθε διάστηµα τάξεως τεθούν το ένα πλάι στο άλλο κατά µήκος του διαστήµατος αυτού. 2
Αθροιστικά διαγράµµατα Η συνολική συχνότητα όλων των τιµών ενός χαρακτηριστικού, οι οποίες είναι ίσες προς το ανώτερο όριο ή µικρότερες από το ανώτερο όριο µιας τάξεως λέγεται «αθροιστική συχνότητα» για το διάστηµα µέχρι και την τάξη αυτή. Ακιδωτά και κυκλικά διαγράµµατα Για τη γραφική απεικόνιση µιας ποιοτικής ταξινοµήσεως µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τα παρακάτω απλά είδη διαγραµµάτων. ( α ) Ακιδωτά διαγράµµατα. Τα διαγράµµατα αυτά αποτελούνται από οριζόντια ορθογώνια παραλληλόγραµµα ή ακίδες, που απέχουν εξίσου µεταξύ τους και έχουν µήκος ίσο µε τις τιµές που αντιστοιχούν στις επιµέρους κατηγορίες της ταξινοµήσεως. ( β ) Κυκλικά διαγράµµατα. Τα διαγράµµατα αυτά είναι κύκλοι που διαιρούνται σε τοµείς κατά τέτοιον τρόπο, ώστε το εµβαδόν καθενός από αυτούς να εκφράζει την αναλογία της τιµής της αντίστοιχης κατηγορίας στο σύνολο τους. 3
Χαρτογράµµατα Χαρτόγραµµα είναι µια πολύ προσαρµοσµένη χαρτογραφική προβολή η οποία παραµορφώνει τον χώρο ή την απόσταση είτε για να προάγει την ευαναγνωστικότητα είτε για να αποκαλύψει πρότυπα που δεν είναι εύκολα εµφανή σε ένα πιο παραδοσιακό χάρτη. Ο όρος επινοήθηκε γύρω στο 1860 για να περιγράφει σχετικά αφηρηµένους, µικρής κλίµακας χάρτες στατιστικών δεδοµένων. Τα χαρτογράµµατα αποτελούν σηµαντικό εργαλείο ρεαλιστικής απεικόνισης δηµογραφικών και κοινωνικό-οικονοµικών δεδοµένων. 4
Καµπύλη συγκέντρωσης Καµπύλη του Lorenz Κατά την εξέταση ορισµένων οικονοµικών χαρακτηριστικών, όπως είναι το οικογενειακό εισόδηµα, το µέγεθος των γεωργικών εκµεταλλεύσεων, το µέγεθος των βιοµηχανικών επιχειρήσεων κλπ., πολλές φορές ιδιαίτερα ενδιαφέρει ο βαθµός συγκεντρώσεως της κατανοµής τους. Η πιο απλή µέθοδος προσδιορισµού του βαθµού συγκεντρώσεως µιας κατανοµής είναι η διαγραµµατική και συνίσταται στην κατασκευή µιας καµπύλης που είναι γνωστή ως καµπύλη συγκεντρώσεως ή καµπύλη του Lorenz. Για να παρακολουθήσουµε τον τρόπο χαράξεως της, θα χρησιµοποιήσουµε τα στοιχεία µισθών 30 υπαλλήλων µιας δηµόσιας υπηρεσίας. Υπολογισµοί για την καµπύλη συγκεντρώσεως της κατανοµής. ιαστήµατα τάξεως µισθών Αριθµός υπαλλήλων Αθροιστική σειρά στήλης Στήλη % του συνόλου Σύνολο µισθών Αθροιστική σειρά στήλης Στήλη % του συνόλου 10 - < 20 7 7 23,3 103 103 11,9 20 30 14 21 70,0 381 484 55,7 30 40 5 26 86,7 185 669 77,0 40 50 3 29 96,7 141 810 93,2 50 60 1 30 100,0 59 869 100,0 Σύνολο 30 869 Η χάραξη της καµπύλης συγκέντρωσης γίνεται σε ένα τετράγωνο ΟΑΒΓ, του οποίου κάθε πλευρά διαιρείται σε εκατό ποσοστιαίες µονάδες. Στο τετράγωνο αυτό προσδιορίζουµε διαδοχικά σηµεία που έχουν ως τετµηµένη το αθροιστικό ποσοστό της στήλης % του συνόλου ( στον παραπάνω πίνακα η στήλη 4 ) και ως τεταγµένη το αντίστοιχο αθροιστικό ποσοστό της στήλης % του συνόλου ( στον παραπάνω πίνακα η στήλη 7 ). Ενώνοντας, τώρα, τα σηµεία που προκύπτουν καθώς και τα σηµεία Ο και Β µε ευθείες γραµµές, λαµβάνουµε την καµπύλη συγκέντρωσης των µισθών των 30 υπαλλήλων. Αν οι µισθοί των υπαλλήλων αυτών ήταν όλοι ίσοι µεταξύ τους, είναι φανερό ότι η καµπύλη συγκεντρώσεως θα συνέπιπτε µε τη διαγώνιο ΟΒ, η οποία για το λόγο αυτό λέγεται «διαγώνιος ισοκατανοµής». Όσο µεγαλύτερος είναι ο βαθµός ανισοκατανοµής των τιµών του µεγέθους που εξετάζουµε µεταξύ των επιµέρους µονάδων τόσο περισσότερο η καµπύλη συγκεντρώσεως θα αποµακρύνεται από τη διαγώνιο ισοκατανοµής. Η καµπύλη συγκεντρώσεως µπορεί να χρησιµοποιηθεί τόσο για την παρακολούθηση της εξελίξεως µιας ανισοκατανοµής στο χρόνο όσο και για τη σύγκριση ανισοκατανοµών που αναφέρονται στην ίδια περίοδο, αλλά εκφράζουν διαφορετικές 5
καταστάσεις. Για αυτό στην πράξη εφαρµόζονται σε µεγάλη ποικιλία µεγεθών. Για παράδειγµα, µε την καµπύλη συγκεντρώσεως µπορούµε να εξετάσουµε την εξέλιξη της ανισότητας των εισοδηµάτων σε µία σειρά ετών. 6