ΜΕΡΟΣ Β 3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ 345 3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ Ορισμός Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται µε. ρ Χωρίζουμε τον κύκλο σε πιο μικρά μέρη και σχηματίζεται ένα ορθογώνιο με διαστάσεις πρ(το μισό του μήκους του κύκλου πρ) και ρ άρα το εμβαδόν του θα είναι πρ.ρ=πρ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Ένας κύκλος έχει εµβαδό ίσο αριθµητικά µε το µήκος του. Η ακτίνα του είναι ίση µε: Α: 4 Β: Γ: 6 : 5. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. και L = πρ Χρησιμοποιούμε τους τύπους και L = πρ πρ πρ πρ = πρ = ρ = πρ πρ Άρα η σωστή απάντηση είναι η Β.. Ένας κύκλος έχει µήκος L = 4 cm. Tο εµβαδό του είναι: 4 Α: 1 cm B: cm Γ: 9 cm : 16 cm. π Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Χρησιμοποιούμε τους τύπους L = πρ 4 = πρ ρ = π και L = πρ Λύνουμε τον πρώτο τύπο ως προς ρ και 4 4 Ε = π = π. = αντικαθιστούμε στον δεύτερο τύπο. π π π Άρα η σωστή απάντηση είναι η Β. πρ
346 ΜΕΡΟΣ Β 3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ 3. Αν τριπλασιάσουµε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το εµβαδόν του: Α: διπλασιάζεται Β: τριπλασιάζεται Γ: εξαπλασιάζεται : εννιαπλασιάζεται. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Χρησιμοποιούμε τον τύπο Στη θέση του ρ βάζουμε 3ρ και κάνοντας τις πράξεις προκύπτει ότι η σωστή απάντηση είναι το Ε = π( 3ρ) = 9πρ = 9Ε Δ 4. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Ακτίνα ρ του κύκλου 5 cm 3 cm,5 cm 17,3 cm Εμβαδόν κύκλου Ε 78,5 cm 8,6 cm 19,63 cm 94 cm = 3,14.5 = 3,14.5 = 78,5 cm ρ = 8,6 = 3,14.ρ 9 = 3 cm = 3,14.,5 94 = 3,14.ρ 8,6 = 9 3,14 = 3,14.6,5 = 19,63 cm ρ ρ = 94 3,14 = 300 Χρησιμοποιούμε τον τύπο ρ = 300 = 17,3 cm 5. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Ακτίνα ρ Μήκος L Εμβαδόν Ε 1 cm π π cm 4π 4π 3 cm 6π 9π 4 cm 8π 16π ρ cm πρ πρ ρ cm 4πρ 4πρ 3ρ cm 6πρ 9πρ 4ρ cm 8πρ 16πρ L = πρ =.π.1 = π = π.1 = π Χρησιμοποιούμε τύπους L = πρ =.π. = 4π = π. = 4π L = πρ =.π.3 = 6π = π.3 = 9π και L = πρ = τους
ΜΕΡΟΣ Β 3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ 347 L = πρ =.π.4 = 8π L = πρ =.π.ρ = πρ L = πρ =.π.ρ = 4π ρ L = πρ =.π.3ρ = 6π ρ = π.4 = π.ρ = π. = π. = 16π = πρ ( ρ) = 4πρ ( 3ρ) = 9πρ Χρησιμοποιούμε τους τύπους και L = πρ L = πρ =.π.4ρ = 8π ρ = π. ( 4ρ) = 16πρ Παρατηρούμε ότι διπλασιάζοντας την ακτίνα διπλασιάζεται και το μήκος του κύκλου, τριπλασιάζοντας την ακτίνα τριπλασιάζεται το μήκος του κύκλου κ.τ.λ. Διπλασιάζοντας την ακτίνα τετραπλασιάζεται το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου, τριπλασιάζοντας την ακτίνα εννιαπλασιάζεται το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου κ.τ.λ. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας κύκλος (Ο, ρ) έχει διάµετρο 10 cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που έχει τετραπλάσια επιφάνεια από τον κύκλο (Ο, ρ). Ε = π.5 = 5π Ε = 4.5π = 100π Χρησιμοποιούμε τον τύπο 100π = πρ ρ = 100 ρ = 10 cm Η γραµµοσκιασµένη περιοχή που βρίσκεται ανάµεσα στους δύο κύκλους, ονοµάζεται κυκλικός δακτύλιος. Να βρείτε το εµβαδόν του, αν ρ= cm και R=3 cm. Ε Δ ακτυλίου Ε ΑΣΚΗΣΗ δακτυλίου = πr = π(3 πρ = π ( R ρ ) ) = 3,14.5 = 15,7 cm Χρησιμοποιούμε τον τύπο: Ε = π R ρ Δακτυλίου ( )
348 ΜΕΡΟΣ Β 3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 3 Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το µήκος και το εµβαδόν του κύκλου. 6cm Α 8 cm 8 cm Β Ο Γ ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΒΓ L = πρ =.3,14.5 = 31,4 cm = 100 ΒΓ = 10 cm = 3,14.5 ΒΓ = 6 = 3,14.5 = 78,5 cm + 8 Με την βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος βρίσκουμε την διάμετρο του κύκλου και κατόπιν την ακτίνα Χρησιμοποιούμε τους τύπους και L = πρ ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένας κύκλος έχει ακτίνα 10 cm. Να κατασκευάσετε κυκλικό δίσκο µε διπλάσιο εµβαδόν. Ε = π.10 = 100π Χρησιμοποιούμε τον τύπο.επομένως με ακτίνα.100π = πρ ρ = 00 ρ = 00 cm ρ = 00 cm κατασκευάζουμε κυκλικό δίσκο. ΑΣΚΗΣΗ 5 Ένα τετράγωνο έχει πλευρά 3 cm. Να βρεθεί η ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου που είναι ισοδύναµος (δηλαδή έχει το ίδιο εµβαδόν) µε το τετράγωνο.,ε = 3 = 9 cm, Ε = Ε Χρησιμοποιούμε τους τύπους του εμβαδού του κύκλου και το τύπο του πρ = 9 3,14. ρ = 9 ρ =,87 εμβαδού του τετραγώνου Ε=α.Επομένως ρ = 1,69 cm η ακτίνα είναι ρ = 1,69 cm
ΜΕΡΟΣ Β 3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ 349 ΑΣΚΗΣΗ 6 Λυγίζουµε ένα σύρµα µήκους 1,56 m, ώστε να σχηµατίσει κύκλο. Να βρείτε το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου που αντιστοιχεί στο συρµάτινο κύκλο. L = πρ 1,56 =.3,14.ρ 1,56 = 6,8ρ Χρησιμοποιούμε τους τύπους ρ = 0, m L = πρ και = 3,14. 0, = 3,14.0,04 = 0,156 m ( ) ΑΣΚΗΣΗ 7 Να υπολογίσετε το εµβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραµµένος σε τετράγωνο πλευράς α = 6 cm. Α Δ Ο Β Γ ΒΔ ΒΔ = ΒΓ + ΓΔ = 7 ΒΔ = ΒΔ = 6 + 6 7 = 8,49 cm ΒΔ 7 ρ = = 7 = 3,14. = 56,5 cm 4 Χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα για να υπολογίσουμε την διάμετρο του κύκλου και κατόπιν την ακτίνα του. Χρησιμοποιούμε τον τύπο του εμβαδού του κύκλου. ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένας κυκλικός δίσκος έχει εµβαδόν 144π cm. Να βρείτε το µέτρο του 1 τόξου που έχει µήκος ίσο µε το του µήκους του κύκλου. 6
350 ρ = 1 cm 144π = πρ ρ = 144 1 1 l = πρ =.. π.1 = 4π = 1,56 cm 6 6 ΜΕΡΟΣ Β 3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ Χρησιμοποιούμε τον τύπο του εμβαδού του κύκλου για να βρούμε την ακτίνα του κύκλου και κατόπιν σύμφωνα με την εκφώνηση του της άσκησης βρίσκουμε το μήκος του τόξου.