ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΟΡΙΣΜΟΙ Η ψηφιακή επεξεγασία εικόνας (ΨΕΕ αποτελεί έναν ευύ επιστηονικό κλάδο που αναπτύχθηκε ε την αγδαία εξέλιξη των υπολογιστών. Ο όος εικόνα χησιοποιείται ευύτεα από την απλή απεικόνιση ενός σκηνικού και πειλαβάνει την αποτύπωση κάθε είδους πληοφοιών. Τα υπεηχογαφήατα, οι αγνητικές τοογαφίες, οι δουφοικές φωτογαφίες κ.α. ποούν να επεξεγαστούν ως ψηφιακές εικόνες. Οι στόχοι της ΨΕΕ είναι οι εξής: Η ψηφιοποίηση και κωδικοποίηση εικόνων ε σκοπό την αποθήκευση, ετάδοση και εκτύπωσή τους. Η βελτίωση και η αποκατάσταση των εικόνων ε σκοπό την καλύτεη απεικόνισή τους. 3 Η ανάλυση και κατανόηση των εικόνων Η ΨΕΕ συνεγάζεται ε τους παακάτω επιστηονικούς κλάδους: Ψηφιακή Επεξεγασία Σηάτων (ΨΕΣ Ροποτική όαση 3 Τεχνητή Νοηοσύνη 4 Αναγνώιση Ποτύπων 5 Νευωνικά Δίκτυα 6 Ασαφής Λογική 7 Κωδικοποίηση 8 Γαφικά Η/Υ Η ψηφιακή εικόνα είναι ένα πεπεασένο σύνολο πειοχών και κάθε πειοχή είναι χωατισένη ε χώα που ποέχεται από ένα πεπεασένο σύνολο χωάτων. Στις πεισσότεες των πειπτώσεων, ια ψηφιακή εικόνα είναι ένα οθογώνιο, διαιεένο ε γαές και στήλες σε οθογώνιες πειοχές που κάθε ία έχει συγκεκιένο χώα. Μια τέτοια πειοχή ονοάζεται στοιχείο της εικόνας ή εικονοστοιχείο. Στην αγγλική λέγεται pixel ή pel, όος ο οποίος ποέχεται από τη σύντηση των λέξεων picture element. Αν κάθε χώα κωδικοποιηθεί ε έναν αιθό τότε η οθογώνια ψηφιακή εικόνα πειγάφεται από έναν πίνακα αιθών J K, όπου J το πλήθος των γαών και K το
πλήθος των στηλών της ψηφιακής εικόνας. Η τιή (j,k ε k,,.k- και j,,.j- είναι ο κωδικός του χώατος της ψηφιακής εικόνας. Η ετατοπή ιας εικόνας σε ψηφιακή οφή ουσιαστικά είναι η ετατοπή ενός δισδιάστατου αναλογικού σήατος σε ψηφιακό και απαιτεί τις διαδικασίες της δειγατοληψίας και του κβαντισού. Υπάχουν τία είδη ψηφιακών εικόνων που χαακτηίζονται από το πλήθος των χωάτων που πειέχουν: Δυαδικές εικόνες (binary imaes: Κάθε εικονοστοιχείο των εικόνων ποεί να χωατιστεί ε ένα από δύο χώατα.(συνήθως άσπο ή αύο. Για κάθε εικονοστοιχείο απαιτείται ένα bit πληοφοίας, π.χ. ε τιή ηδέν ( για το αύο και ένα ( για λευκό. Οι εικόνες των εγγάφων που αποτελούνται όνο από το χώα του χατιού και της ελάνης αναπαίστανται σε δυαδική ψηφιακή οφή. Εικόνες αποχώσεων του γκι (ray level imaes: Κάθε εικονοστοιχείο των εικόνων ποεί να χωατιστεί ε ία από τις αποχώσεις του γκι οι οποίες ξεκινούν από το αύο και καταλήγουν στο λευκό. Από αυτές τις αποχώσεις συνήθως λαβάνονται 56 αντιποσωπευτικές που κωδικοποιούνται ε τιές,,.55. Η απόχωση κάθε εικονοστοιχείου ποφανώς απαιτεί πληοφοία ενός byte. 3 Έγχωες εικόνες (color imaes στις οποίες κάθε εικονοστοιχείο χωατίζεται ε χώατα που ποέχονται από την ανάειξη των αποχώσεων του κόκκινου, πάσινου και πλε (RB. Για κάθε ένα από τα τία αυτά χώατα λαβάνονται 56 αποχώσεις δηλαδή πληοφοία του ενός byte. Συνεπώς κάθε εικονοστοιχείο της έγχωης εικόνας, απαιτεί 3 bytes. Το σύνολο των χωάτων που ποούν να χησιοποιηθούν για τον χωατισό των εικονοστοιχείων της εικόνας λέγεται χωατική παλέτα. Εάν C είναι το πλήθος των χωάτων, τότε για την κωδικοποίησή τους απαιτούνται Β bits και ισχύουν οι σχέσεις C B Blo C Το Β ονοάζεται βάθος bit (bit depth της ψηφιακής εικόνας. Εάν η εικόνα έχει Κ στήλες και J γαές τότε για την απεικόνισή της απαιτούνται J K B bits. Ο παακάτω πίνακας παουσιάζει ενδεικτικές τιές των πααπάνω εγεθών. Είδος εικόνας J K B bits bytes Δυαδική 5 Αποχώσεων του γκι 8 8 Έγχωη RB 4 4 3
Δυαδική 5 5 5488 65536 Αποχώσεων του γκι 5 5 8 975 644 Έγχωη RB 5 5 4 69456 78643 Πίνακας. Ευκίνεια της εικόνας είναι το πλήθος των εικονοστοιχείων ανά ονάδα επιφάνειας και καθοίζει πόσο λεπτοεής είναι η ψηφιακή αναπαάσταση της εικόνας. Η ευκίνεια Ε ιας εικόνας διαστάσεων J K και εβαδού Α δίνεται από την σχέση και ετιέται σε πλήθος εικονοστοιχείων ανά ονάδα επιφάνειας π.χ. pixels/mm ή dpi ( dots J K E A per inch : κουκίδες ανά ίντσα. Η ευκίνεια εξατάται τόσο από το πλήθος των εικονοστοιχείων όσο και από τις φυσικές διαστάσεις της εικόνας. Μια οάδα γειτονικών εικονοστοιχείων λέγεται γειτονιά. Σε ια γειτονιά S M N ε Μ γαές και Ν στήλες ιας εικόνας διαστάσεων J K υπάχει ένα κεντικό εικονοστοιχείο (j c,k c όταν Μ, Ν είναι πειττοί αιθοί. Η θέση των εικονοστοιχείων της S αναφέονται συχνά, σχετικά ε την θέση του κεντικού εικονοστοιχείου της. Η πιο συνήθης γειτονιά είναι τιών (3 γαών και τιών (3 στηλών και λέγεται γειτονιά 3 3. Στο παακάτω σχήα φαίνονται 3 3 και 5 5 γειτονιές. Γειτονι ά 3 3 Γειτονιά 5 5
Σχήα : Γειτονιές 3 3 και 5 5 ε τα κεντικά τους εικονοστοιχεία. Σε κάθε εικονοστοιχείο ιας γειτονιάς S M N ποούε να αντιστοιχίσουε έναν συντελεστή w mn, m,...,m-, n,...,n-. O πίνακας W M N λέγεται άσκα. Οι συντελεστές της άσκας και οι τιές φωτεινότητας των εικονοστοιχείων ποούν να επλακούν σε χήσιους υπολογισούς για την επεξεγασία της εικόνας. Ο συνηθέστεος υπολογισός δίνεται από την σχέση A M N w mn m n M N m n j m,k n w mn όπου (j,k το κεντικό εικονοστοιχείο της γειτονιάς. Στο παακάτω σχήα δίνονται άσκες 3 3 και η εφαογή τους σε ία 3 3 πειοχή εικονοστοιχείων. 4 5 4 4 5 4 5 5 4 5 4 4 5 4 5 9.4.4 4 5 4 8 4 5.4.4 4 5 5.4 4 5.4 4 4 8 5.4 4 5.4 5 38.4.4 8.4.4 Σχήα. Αν (j c,k c είναι το κεντικό εικονοστοιχείο της γειτονιάς S της εικόνας Ι J K η τιή Α ποεί να αποδοθεί ως τιή φωτεινότητας του εικονοστοιχείου (j c,k c ιας νέας εικόνας Ι J K. Αν αυτό εφαοσθεί για όλες τις γειτονιές της εικόνας Ι, τότε λέε ότι η νέα εικόνα Ι ποέκυψε από το φιλτάισα της Ι ε την άσκα W. 4
ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΕΣ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Κέντο βάους αντικειένου. Μία ψηφιακή δυαδική εικόνα ε J γαές και K στήλες παιστάνεται ε έναν πίνακα Ι J K και κάθε στοιχείο Ι jk, j,...,j-, k,...,k- παίνει τιή ηδέν ( ή ένα (. Αν η εικόνα αναπαιστά ένα αντικείενο τότε το πλήθος των εικονοστοιχείων του αντικειένου που έχουν τιή δίνεται από την σχέση N J K jk j k Το κέντο βάους του αντικειένου βίσκεται στην θέση ( j, k της εικόνας σύφωνα ε τις σχέσεις k j J K j k J K j k N N k j jk jk, Κωδικοποίηση δυαδικής εικόνας κατά ήκος διαδοής Μία δυαδική εικόνα ποεί να κωδικοποιηθεί ε κατάλληλο αλγόιθο ώστε να ελαττωθεί η απαιτούενη ποσότητα πληοφοίας για την αποθήκευση ή την ετάδοσή της και να διευκολυνθεί η αναγνώιση του πειεχοένου της. Ένας τέτοιος αλγόιθος είναι η κωδικοποίηση κατά ήκος διαδοής ( RLE:Run Lenht Ecodin. Σύφωνα ε αυτόν ονοάζουε συστοιχία ία οάδα από διαδοχικά εικονοστοιχεία ε την ίδια τιή (όλα ή όλα και το πλήθος των εικονοστοιχείων ως ήκος της συστοιχίας. Διατέχουε κάθε σειά της εικόνας και γάφουε την θέση του πώτου εικονοστοιχείου και το ήκος κάθε συστοιχίας από ή εναλλακτικά την θέση του πώτου και του τελευταίου εικονοστοιχείου κάθε συστοιχίας. Μία άλλη ποσέγγιση είναι να γάψουε το ήκος των διαδοχικών συστοιχειών από και δεχόενοι ότι η πώτη συστοιχία αποτελείται πάντα από έστω και ηδενικού ήκους. Στο σχήα που ακολουθεί φαίνεται η κωδικοποίηση των τιών πώτων γαών ιας δυαδικής εικόνας ε τους τόπους που αναφέθηκαν. 5
(,3,(7, (5,,(9, (,5,(7,3 (,,(8,9 3,4,, (5,6,(9,,5,,, (,4,(7,9 5,,3, Σχήα 3. Συνδεδεένα στοιχεία. Θεωούε ένα σύνολο S εικονοστοιχείων ιας δυαδικής εικόνας ε την ίδια τιή ( ή. Δύο εικονοστοιχεία και που ανήκουν στο S ονοάζονται συνδεδεένα όταν υπάχει διαδοή από εικονοστοιχεία του S που οδηγεί από το στο. Ένα σύνολο εικονοστοιχείων λέγεται συνδεδεένο συστατικό (connected component όταν όλα τα εικονοστοιχεία του είναι εταξύ τους συνδεδένα. Στο ακόλουθο σχήα φαίνεται ένα συνδεδεένο και ένα η συνδεδεένο συστατικό δυαδικής εικόνας. (α Συνδεένο συστατικό Σχήα 4. (β Μη συνδεδεένο συστατικό Κωδικοποίηση αλυσίδας. Με την κωδικοποίηση αλυσίδας κωδικοποιούε το πείγαα ενός αντικειένου της εικόνας που είναι συνδεδεένο. Για τον σκοπό αυτό καθοίζουε και κωδικοποιούε της 6
διευθύνσεις που ξεκινούν από το κεντικό εικονοστοιχείο και καταλήγουν στα γειτονικά του σε ια 3 3 γειτονιά. όπως φαίνεται στο παακάτω σχήα. 3 4 5 7 6 Σχήα 5. Ακολούθως ξεκινώντας από οποιοδήποτε εικονοστοιχείο του εξωτεικού πειγάατος του αντικειένου (συνήθως το πάνω αιστεό εικονοστοιχείο διατέχουε το πείγαα γάφοντας τον κωδικό της σχετικής διεύθυνσης κάθε εικονοστοιχείου ε το επόενό του. Στο παακάτω σχήα δείχνεται η εφαογή της κωδικοποίησης αλυσίδας. Εκκίνηση από (,,,,,, 7, 6, 6, 6, 6, 7, 6, 4, 3, 5, 4, 4, 4, 4,, 3,,,,,. Σχήα 6. 7
ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΕΣ ΣΕ ΕΙΚΟΝΕΣ ΑΠΟΧΡΩΣΕΩΝ ΤΟΥ ΓΚΡΙ Βελτίωση εικόνων. Με κατάλληλες τεχνικές είναι δυνατή η βελτίωση της οπτικής εφάνισης ιας εικόνας ώστε να είναι καλύτεα αντιληπτή από τον άνθωπο ή κατάλληλη για πεαιτέω επεξεγασία. Συχνά στις εικόνες εφανίζονται ικοκουκίδες που οφείλονται σε τυχαίους παάγοντες (θόυβος. Το φίλτο της έσης τιής (median filter είναι ια απλή τεχνική εξάλειψης και εξοάλυνσης του θούβου αυτού από ψηφιακές εικόνες αποχώσεων του γκι. Σύφωνα ε την τεχνική αυτή από την αχική εικόνα Ι παάγεται ία νέα εικόνα Ι ιδίων διαστάσεων κάθε εικονοστοιχείο (j,k της οποίας έχει φωτεινότητα Ι (j,k που είναι η έση τιή των τιών φωτεινότητας ιας γειτονιάς του εικονοστοιχείου (j,k της εικόνας Ι. Αν για παάδειγα κάθε πειοχή S είναι 3 3 τότε το Ι (j c,k c δίνεται από την σχέση jk M N m n j m, k n 9 Με άλλα λόγια η εικόνα Ι είναι το αποτέλεσα του φιλταίσατος της αχικής εικόνας Ι ε την άσκα W σύφωνα ε την σχέση jk M N m n w M N m mn n j m, k n w Ειναι δυνατόν να χησιοποιηθούν και άλλες άσκες για την εξοάλυνση ιας εικόνας mn όπως για παάδειγα η W 4. Μάσκες 5 5 ή εγαλύτεες εξοαλύνουν ακόα πεισσότεο την εικόνα. Μια άλλη έθοδος εξοάλυνσης είναι το φίλτο της ενδιάεσης τιής. Σύφωνα ε την τεχνική αυτή οι τιές των εικονοστοιχείων ιας γειτονιάς ταξινοούνται και η τιή του εικοστοιχείου Ι (j,k είναι η εσαία από τις τιές των εικονοστοιχείων της γειτονιάς του Ι(j,k. Στο σχήα που ακολουθεί φαίνονται οι τιές που ποκύπτουν από την εξοάλυνση 8
ενός έους ιας εικόνας α ε το φίλτο της έσης τιής και β ε το φίλτο της ενδιάεσης τιής. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Τιές φωτεινότητας της αχικής εικόνας. 5 5 5 5 5 5 5 8 94 5 73 5 5 6 56 86 3 5 5 89 56 86 47 5 5 94 5 9 5 5 7 84 7 89 5 5 3 6 6 5 5 5 5 5 5 5 Οι τιές φωτεινότητας ετά από εξοάλυνση ε το φίλτο της έσης τιής. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Οι τιές φωτεινότητας ετά από εξοάλυνση ε το φίλτο της ενδιάεσης τιής. Σχήα 7. 9
Το φίλτο της έσης τιής αποακύνει τον θόυβο χωίς να επηεάσει ιδιαίτεα τις ακές της εικόνας. Το φίλτο της ενδιάεσης τιής αποακύνει τον θόυβο και εξοαλύνει τις ακές της εικόνας. Ιστόγαα Αν η ψηφιακή εικόνα αποτελείται από αποχώσεις του γκι ποούε να δηιουγήσουε την κατανοή του πλήθους των εικονοστοιχείων που έχουν την ίδια τιή απόχωσης για κάθε απόχωση. Η κατανοή αυτή λέγεται ιστόγαα των αποχώσεων της εικόνας και δίνεται αθηατικά απο την σχέση h( ( j, k όπου,,..-, το πλήθος των αποχώσεων, j,...,j-, k,...,k-, J το πλήθος των γαών, K το πλήθος των στηλών της εικόνας, (j,k η τιή της φωτεινότητας στο σηείο (j,k και h( το πλήθος των εικονοστοιχείων ε απόχωση. Το ιστόγαα δηλαδή ας πληοφοεί πόσα εικονοστοιχεία υπάχουν ε συγκεκιένη τιή απόχωσης. Η συνάτηση H ( h( h( λέγεται κανονικοποιηένο ιστόγαα και δίνει την πιθανότητα (συχνότητα ένα τυχαίο εικονοστοιχείο της εικόνας να έχει απόχωση. Συχνά τα εικονοστοιχεία ενός αντικειένου ιας εικόνας παίνουν τιές σε ένα ικό διάστηα αποχώσεων. Αυτό οδηγεί συνήθως στη δηιουγία ενός τοπικού έγιστου στην πειοχή του ιστογάατος της εικόνας. Η εύεση τέτοιων τοπικών εγίστων διευκολύνει τον εντοπισό των αντικειένων της εικόνας και την απόδοσή της ε λιγότεες κύιες αποχώσεις. Παακάτω θα πειγάψουε διάφοες τεχνικές για τον καθοισό τιών του πεδίου των αποχώσεων εταξύ των οποίων εφανίζονται τοπικά έγιστα του ιστογάατος. Οι τιές αυτές λέγονται κατώφλια.
Εύεση ενός κατωφλίου. Μετατοπή της εικόνας σε δυαδική. Για την ετατοπή ιας εικόνας αποχώσεων του γκι σε δυαδική είναι επιθυητός ο ποσδιοισός των κύιων αποχώσεών της. Με τον τόπο αυτό οι αποχώσεις της C αν < C αν εικόνας χωίζονται σε κλάσεις C, C που κάθε ια αποτελείται από τις αποχώσεις που βίσκονται πιο κοντά σε ια από τις κύιες αποχώσεις. Ο διαχωισός αυτός ισοδυναεί ε την εύεση ιας τιής κατωφλιού Τ για την οποία θα ισχύει Ακολούθως από την αχική εικόνα ποκύπτει η δυαδική εικόνα κάθε εικονοστοιχείο της οποίας δίνεται από τη σχέση jk αν αν jk jk C C ( ( jk jk < Κατωφλίωση ε βάση τη διασποά Μια έθοδος για την εύεση της τιής κατωφλίου Τ είναι η έθοδος του Οtsu. Σύφωνα ε αυτήν η τιή Τ πέπει να είναι τέτοια ώστε η συνολική εσωτεική διασποά σ w εντός των κλάσεων να είναι ελάχιστη και η συνολική διασποά σ b εταξύ των κλάσεων έγιστη. Σύφωνα ε την έθοδο δηιουγούε το ιστόγαα h( της εικόνας και από αυτό το κανονικοποιηένο ιστόγαα H(. Η συνάτηση Η( δίνει την πιθανότητα να έχει ένα τυχαίο εικονοστοιχείο της εικόνας απόχωση και ισχύει ότι H ( Έστω Τ ια τιή κατωφλιού που διαχωίζει τις αποχώσεις σε δύο κλάσεις C (< και C (. Η πιθανότητα ένα τυχαίο εικονοστοιχείο να έχει απόχωση της κλάσεως C είναι p και δίνεται από τη σχέση p H ( όοια για την κλάση C είναι p και δίνεται από τη σχέση p H (
Είναι ποφανές ότι ισχύει p p. Η έση τιή της πώτης κλάσης είναι ( p H Η έση τιή της δεύτεης κλάσης είναι και ισούται ε ( p H Η συνολική έση τιή δίνεται από τη σχέση ( H Από τις τείς ποηγούενες σχέσεις εύκολα αποδεικνύεται η σχέση p p Η διασποά της πώτης κλάσης δίνεται από τη σχέση Τ ( ( H σ και η διασποά της δεύτεης κλάσης είναι ( ( H σ H συνολική διασποά είναι σ ( ( H σ Η συνολική εσωτεική διασποά των κλάσεων οίζεται από τη σχέση σ σ σ p p w Η συνολική διασποά εταξύ των κλάσεων οίζεται από τη σχέση ( ( ( σ p p p p b Αναζητούε τώα την κατάλληλη τιή του Τ ώστε η να είναι ελάχιστη και έγιστη. Πος τούτο θεωούε το πηλίκο σ w σ b w b σ σ λ και ζητάε την τιή του Τ για την οποία το λ εγιστοποιείται.
Για να ειωθούν οι υπολογισοί θεωούε τις σχέσεις 9 λ σ b λ σ w σ b λ σ λ σ σ σ w σ b b H σχέση σ σ w σ b αποδεικνύεται στο παάτηα Α. Επειδή το σ είναι ανεξάτητο του Τ και η συνάτηση λ/(λ είναι αύξουσα συνεπάγεται πως για να είναι το λ έγιστο ακεί να είναι το σ b έγιστο. Με τον τόπο αυτό η τελικά η κατάλληλη τιή του κατωφλίου Τ είναι εκείνη που εγιστοποιεί την ποσότητα σ b p( p Κατωφλίωση ε βάση την εντοπία Μια διαφοετική ποσέγγιση για την εύεση κατάλληλης τιής κατωφλίου Τ βασίζεται στην έννοια της εντοπίας. Σύφωνα ε την εκδοχή που παουσίασε ο Kapur [ ] η τιή Τ χωίζει το κανονικοποιηένο ιστόγαα h( σε δυο κλάσεις c και c. Η πώτη κλάση ποεί να θεωηθεί ως πηγή πληοφοίας ε σύβολα, θ Τ- h( και αντίστοιχες πιθανότητες (, Ρ Ρ h( Η έση πληοφοία (εντοπίας που ποκύπτει από τη c είναι - h( h( E lo( lo( Ρ h( lo(h( Ρ Ρ Ρ Όοια η έση πληοφοία που ποκύπτει από την c είναι Ε 55 h( Ρ h( lo, Ρ Ρ lo( Ρ Ρ 55 Ρ h( lo(h( 3
Ζητείται η πώτη κλάση που θα αντιστοιχηθεί στην τιή και η δεύτεη που θα αντιστοιχεί στο να ποσφέουν συνολικά την εγαλύτεη δυνατή έση πληοφοία. Δηλαδή η ζητούενη τιή είναι εκείνη για την οποία Ε (ΤΕ (Τ έγιστο. Πολυκατωφλίωση Εάν κάθε αντικείενο της εικόνας αποτελείται από ία κύια και κάποιες πααπλήσιες απόχωσεις του γκι, τότε δηιουγείται η συσσώευση των τιών του ιστογάατος σε συγκεκιένες πειοχές. Η επιλογή πολλαπλών κατωφλίων ποεί να θεωηθεί ως ένα πόβληα εύεσης τιών ( k, k,,...,j ε σκοπό το ετασχηατισό της αχικής εικόνας ε L αποχώσεις του γκι σε ια νέα ε J αποχώσεις. Ειδικότεα για (<(< <(J-, τότε η νέα εικόνα οίζεται ως ( αν f( x, y ( ( αν ( < f( x, y ( ( x, y. (. ( J αν ( J < f( x, y όπου ία συνάτηση τιών των επιπέδων του γκι. Μία τεχνική πολλαπλών κατωφλίων που βασίζεται στο ιστόγαα πέπει να πετυχαίνει έναν ικανοποιητικό διαχωισό των διαφόων πειοχών του ιστογάατος. Μία αποτελεσατική ποσέγγιση είναι να θεωήσουε την εύεση πολλαπλών κατωφλίων ως πόβληα εύεσης κλάσεων (clusterin problem. Ένα κατάλληλο νευωνικό δίκτυο ποεί να λύσει αποτελεσατικά ποβλήατα εύεσης κλάσεων. Είναι γνωστό ότι ο κύιος σκοπός ενός νευωνικού δικτύου ΑΠΑΧ είναι η αντιποσώπευση ενός πολυπληθούς συνόλου διανυσάτων εισόδου ε ένα ολιγοελέστεο σύνολο ποτύπων ανυσάτων ώστε να επιτευχθεί ια καλή ποσέγγιση του αχικού χώου εισόδου που να ικανοποιεί τα κύια στατιστικά χαακτηιστικά του. Θεωούε ένα δίκτυο ε νευώνες (κόβους όπως στο ακόλουθο σχήα 4
w w x w j- y w j- (x,y w j w j Γειτονιά του j νευώνα για d(t w j w J- Συγκοτείται το σύνολο εκπαίδευσης του ΑΠΑΧ από τις τιές των αποχώσεων των εικονοστοιχείων της εικόνας. Θεωούε τη εταβλητή επανάληψης t που παίνει ακέαιες τιές από έχι ία ποκαθοισένη τελική τιή Τ (π.χ. Τ.. Θεωούε τη εταβλητή του υθού εκάθησης α(t. Θεωούε το ήκος d(t που οίζει ια υποπειοχή (γειτονιά στην διάταξη των νευώνων. Έστω w j το βάος της σύναψης εταξύ του j νευώνα του επιπέδου ανταγωνισού και της εισόδου του. Εκτελούνται τα παακάτω βήατα: Βήα. Αχικοποιούνται (t τα βάη των συνάψεων w j ( ε τυχαίες τιές από 55. Βήα. Αχικοποιείται η α( ε ια εγάλη τιή, συνήθως εταξύ. και.5. Βήα 3. Αχικοποιείται η d( ε την τιή J/, που είναι ίση ε το ισό του εύους του κανάβου. 5
Βήα 4. Επιλέγεται τιή απόχωσης Ι(x,y ενός τυχαίου εικονοστοιχείου από το σύνολο εκπαίδευσης. Βήα 5. Υπολογίζεται η έξοδος o j (t κάθε νευώνα από τη σχέση o ( t ( x, y w ( t. (3-3 j j Βήα 6. Ο νευώνας c ανακηύσσεται νικητής εάν ικανοποιείται η συνθήκη o c (t min{o ξ (t}. (3-4 Εάν οι έξοδοι δύο νευώνων είναι ίσες, τότε κατά σύβαση επιλέγεται αυτός ε το ικότεο δείκτη. Βήα 7. α βάη w j των συνάψεων ανανεώνονται σύφωνα ε τις παακάτω σχέσεις Δw j α(t (( x, y wj ( t αν αν j Nc j Ν c (3-5 w j (tw j (tδw j (t (3-6 όπου N c το σύνολο των δεικτών των νευώνων που βίσκονται έσα στην γειτονιά του νικητή νευώνα και πλευά d(t. Βήα 8. Αυξάνεται η εταβλητή επανάληψης κατά ένα και αποδίδονται νέες τιές στις εταβλητές α(t, d(t σύφωνα ε τις σχέσεις: t at ( a( ( (3-7 t d( t d( ( (3-8 Τα βήατα 4 έως 8 επαναλαβάνονται έως ότου η εταβλητή t πάει τη έγιστη τελική τιή Τ. Είναι φανεό πως οι εταβλητές α(t και d(t συγκλίνουν στο ηδέν καθώς η t τείνει στην τιή Τ. 6
Μετά την εκπαίδευση κάθε άνυσα εισόδου του ΑΠΑΧ αποδίδεται στον νικητή νευώνα. Κάθε νευώνας του επιπέδου εξόδου αντιποσωπεύει ία οάδα ποτύπων (cluster. Πότυπα ε εγάλη οοιότητα αντιποσωπεύονται από τον ίδιο νευώνα. Ο χάτης χαακτηιστικών του Kohonen ογανώνει τους νευώνες του επιπέδου ανταγωνισού ε τέτοιο τόπο ώστε οι οοιότητες εταξύ των ποτύπων να απεικονίζονται ε σχέσεις γειτνίασης επάνω στον κάναβο του επιπέδου ανταγωνισού Σχήα 5-. 7
h(l 7 33 49 65 8 97 3 9 45 6 77 93 9 5 4 l Σχήα 5-. Τι ιστόγαα της εικόνας του Σχ. 5-. Πίνακας 5-. Οι τιές των συντελεστών του ΑΠΑΧ ετά την εκπαίδευση. w w w w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 69 53 8 3 4 46 Πίνακας 5-. Οι τιές των κατωφλίων. 3 4 5 6 9 3 76 9 4 35 43 Πίνακας 5-3. Οι τιές των κατωφλίων για J,,6. J 3 4 64 3 5 7 4 6 79 9 5 6 78 4 37 6 97 43 9 5 39 8
h (w j h (w j w j t w j t t J J3 h (w j h (w j w j t t t w j t t t t 3 J4 J5 Σχήα 5-5. Τα ιστογάατα και οι αντίστοιχες τιές κατωφλίων για διαφοετικές τιές του J.
Βελτίωση εικόνας ε εξισοόπηση του ιστογάατος Η διάκιση γειτονικών πειοχών σε εικόνες αποχώσεων του γκι, είναι δύσκολη όταν η διαφοά τιών των αποχώσεων είναι ική. Η αύξηση των χωατικών αντιθέσεων ιας εικόνας διευκολύνει την διάκιση των πειοχών αυτών. Μια τεχνική για την επίτευξη αυτού του σκοπού είναι η εξισοόπηση του ιστογάατος της εικόνας (Historam equalization. Σύφωνα ε αυτήν οι τιές των αποχώσεων των εικονοστοιχείων εταβάλλονται έτσι ώστε να αυξηθεί η αντίθεση εταξύ των πειοχών ε διαδοχικές τιές αποχώσεων ανάλογα ε το ποσοστό του πλήθους των εικονοστοιχείων τους. Συγκεκιένα, αν είναι το πλήθος όλων των αποχώσεων της παλέτας του γκι, h( το κανονικοποιηένο ιστόγαα της αχικής εικόνας Ι KXJ,,,,- και P( η συνάτηση αθοιστικής πιθανότητας του, ποκύπτει ία νέα εικόνα Ι ίδιων διαστάσεων ε τη Ι, κάθε εικονοστοιχείο (k,j της οποίας έχει απόχωση (k,j [(-P((k,j]. Με άλλα λόγια κάθε τιής ιας απόχωση της αχικής εικόνας αντικαθίσταται από ια τιή [(-P(]. Υπενθυίζεται ότι για την P( ισχύουν οι σχέσεις P( h( i άα και P( P(- h(. i Παάδειγα: Έστω ο ακόλουθος πίνακας τιών των αποχώσεων του γκι ιας ψηφιοποιηένης εικόνας: 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 7 7 7 Οι αποχώσεις ποκύπτουν σύφωνα ε τους ακόλουθους υπολογισούς: H( h( P( /5 /5 55*/5 34 4 5 5/5 7/5 55*7/5 9 5 4 4/5 /5 55*/5 87 6 /5 /5 55*/5 4 7 3 3/5 5/5 55*5/5 55
Στο ακόλουθο σχήα δείχνονται τα ιστογάατα h( και h(. 6 6 5 5 4 4 3 3 6 3 46 6 76 9 6 36 5 66 8 96 6 4 6 3 46 6 76 9 6 36 5 66 8 96 6 4 Το ιστόγαα h( Το ιστόγαα h( Παάδειγα εικόνας πιν και ετά την εξισοόπηση ιστογάατος.
Ποσδιοισός ακών σε εικόνες αποχώσεων του γκι Σε ια εικόνα αποχώσεων του γκι υπάχουν πειοχές εικονοστοιχείων ε απότοη αύξηση της φωτεινότητας. Οι πειοχές αυτές βίσκονται στα όια των τηάτων της εικόνας που έχουν σηαντικά διαφοετικές αποχώσεις. Η ανίχνευση των οίων αυτών λέγεται ποσδιοισός των ακών της εικόνας (ede detection. Η ανίχνευση ακών είναι εξαιετικά χήσιη εγασία στην ανάλυση των εικόνων διότι έσω αυτής ποσδιοίζονται τα πειγάατα των αντικειένων της εικόνας. Υπάχει πληθώα αλγοίθων που αφοούν την επίλυση του ποβλήατος, όως όλοι βασίζονται στην έννοια της κλίσης της συνάτησης φωτεινότητας Ι(k,j στη θέση (k, j ενός εικονοστοιχείου της εικόνας. Το αποτέλεσα της όλης εγασίας είναι ια νέα δυαδική εικόνα, ιδίων διαστάσεων ε την αχική, όπου τα εικονοστοιχεία του αντικειένου είναι οι ακές της αχικής εικόνας, Στο ακόλουθο σχήα φαίνονται σε ία διάσταση, τύποι ακών που διαφέουν ως πος την κλίση τους. Η κλίση ιας συνεχούς συνάτησης που οίζεται σύφωνα ε την σχέση f f(x, y : R (x, y R f f, x y είναι ένα διάνυσα στο επίπεδο xy Το έτο του διανύσατος κλίσης σε ένα σηείο (x,y δείχνει πόσο απότοη είναι η ακή και δίνεται από την σχέση f (x, y f x f y Η κλίση στο σηείο (x,y είναι έγιστη αν κινηθούε κατά την διεύθυνση του xy επιπέδου που ποσδιοίζει η γωνία φ σύφωνα ε την σχέση φ τοξεφ f y f x Μια ψηφιακή εικόνα δεν είναι συνεχής συνάτηση και ως εκ τούτου αντί των εικών πααγώγων υπολογίζουε τις διαφοές της απόχωσης ενός εικονοστοιχείου ε τα γειτονικά του, κατά την οιζόντια και κάθετη κατεύθυνση της εικόνας. Αν εφαοσθεί η ποσέγγιση αυτή σε ένα εικονοστοιχείο (k, j ε το ποηγούενό του, στον πίνακα Ι ιας ψηφιακής εικόνας, τότε η κλίση σ αυτό καθοίζεται από το διάνυσα 3
(k, j ( K J K (k, j, J (k, j (k, j (k, j (k, j (k, j (k, j (k, j Όοια για ένα εικονοστοιχείο και τα εκατέωθεν αυτού εικονοστοιχεία καθοίζεται η κλίση (k, j ( K J K (k, j, (k, j (k, j (k, j (k, j (k, j (k, j (k, j J Τα πααπάνω ποούν να εκφασθούν και ε την χήση ασκών όπως ακολούθως Κ - J - Κ - J - Αν εφαόσουε όλες τις πααπάνω άσκες σε ία εικόνα 3Χ3, και αντιστοιχίσουε το άθοισα των αποτελεσάτων στο κεντικό εικονοστοιχείο, θα ποκύψουν για κάθε κατεύθυνση αντίστοιχα οι τιές S S k j (k,j (k,j ή ε την οφή άσκας (k,j (k,j (k,j (k,j (k,j (k,j (k,j (k,j (k,j (k,j - - - S k - S j - - - Η άσκα αυτή λέγεται ανιχνευτής ακών του Sobel (Sobel ede detector και λειτουγεί ως διάνυσα (S k, S j ε τις οικίες τιές κατεύθυνσης και πλάτους. Πολλές άσκες έχουν ποταθεί από τους εευνητές για την ανίχνευση ακών βασισένες σε διαφοετικές ποσεγγίσεις για την εξυπηέτηση διαφόων ιδιαιτεοτήτων των εικόνων. Σε κάθε πείπτωση από την αχική εικόνα παάγεται ένας πίνακας τιών του έτου της κλίσης σε 4
κάθε εικονοστοιχείο της εικόνας. Ακολούθως ία τιή κατωφλίου καθοίζει εκείνα τα εικονοστοιχεία που αντιστοιχούν σε ακές και παάγουν την δυαδική εικόνα των ακών. Η επιλογή της κατάλληλης τιής κατωφλίου είναι ένα επιπόσθετο πόβληα. Η εταβολή του φωτισού, η εταβολή της απόχωσης του αντικειένου ή του παασκηνίου, απαιτούν την χήση διαφοετικών τοπικών τιών κατωφλίων. Η εύεση των πειοχών που το έτο της κλίσης (άνυσα πώτων εικών πααγώγων έχει τοπικά εγάλες τιές ποεί βασισθεί στην εύεση πειοχών όπου η δεύτεες εικές παάγωγοι της συνάτησης της εικόνας ηδενίζονται. Σε ία ψηφιακή εικόνα η δεύτεη παάγωγος κατά την οιζόντια διεύθυνση βασίζεται στην διπλή διαδοχική εφαογή του f (x, y τελεστή Κ. Συγκεκιένα η αντικαθίσταται από την διαφοά x K (k,j- K (k,j (k,j-(k,j-( (k,j-(k-,j (k,j-(k,j(k-,j f (x, y Όοια η y αντικαθίσταται από την διαφοά J (k,j- J (k,j (k,j-(k,j-( (k,j-(k,j- (k,j-(k,j(k,j- Μποούε να εφαόσουε τα πααπάνω σε ία άσκα 3 Χ 3 ε τιές -4 Η άσκα αυτή είναι ία έκφαση του τελεστή Laplace ιας συνάτησης f(x,y f (x, y f (x, y x f (x, y y στο πίνακα Ι(k,j. Οι ακές αποδίδονται στα εικονοστοιχεία που αντιστοιχούν σε ηδενικές τιές του πίνακα που ποέχεται από την εφαογή του ή στα εικονοστοιχεία που έχουν διαφοετικό πόσηο ε τα γειτονικά τους. Το πλεονέκτηα του τελεστή Laplace είναι ότι βίσκει τα τοπικά έγιστα της πώτης πααγώγου και δηιουγεί λεπτές ακές. Μειονεκτεί διότι είναι ευαίσθητος στο θόυβο και στις ικές αυξοειώσεις της έντασης της φωτεινότητας. Για το λόγο αυτό εφαόζεται σε συνδυασό ε τον ή, τεχνικές τοπικής διασποάς και αφαίεσης θούβου. Για το πόβληα ανίχνευσης των ακών χησιοποιούνται σήεα πιο πολύπλοκες τεχνικές που αντιετωπίζουν ποβλήατα όπως θούβου, αλλοίωσης του φωτισού κ.α. 5
Από τις πλέον επιτυχηένες και διαδεδοένες είναι του Canny και θα την παουσιάσουε ακολούθως. 6
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δίνεται ο ακόλουθος πίνακας ψηφιακής εικόνας. Να ανιχνευθούν οι ακές του ε την κλίση που καθοίζει ο. 8. 8... 8... 8... 8. 8. 8.. 8...... 8. 8...... 8. 8. 8...... 8... 8.. 8.. 8. 8. 8. 8.. 8.. - - - - - - - -. -. -... - - 4.. -.. -. - Κ Ι - 4.... -4. - -. 4.. -. -. - -. -.... - - - - - - - - J Ι - - - - - - - -..... - -... 4.. - - -. -... -. - - -. -. -. -. -. - -. -. -4. -. -. - - - - - - - - - - - - - - - - 8.3.7.7..7 - - 7. 69.7.7 4. 69.7 - Ι - 4.4... 84.4 - - 56. 84.4.7 69.7 69.7 - -..7 4... - - - - - - - - 5. σ 58.5 Κατώφλι 5.......................... 7
ΣΥΜΠΙΕΣΗ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Για την αναπαάσταση ια ψηφιακής εικόνας J γαών και Κ στηλών ε βάθος χώατος (bit Β bits απαιτούνται J K B bits. H κωδικοποίηση ιας συγκεκιένης ψηφιακής εικόνας ε τέτοιο τόπο δεν είναι η πλέον κατάλληλη όταν ενδιαφέει το πλήθος των bits που δαπανώνται. Αυτό συχνά συβαίνει σε πειπτώσεις ετάδοσης ή αποθήκευσης της εικόνας. Με τον όο συπίεση της εικόνας αναφεόαστε σε ένα πλήθος τεχνικών που στοχεύουν στην είωση του πλήθους των bits που απαιτούνται για την κωδικοποίηση της εικόνας. Οι τεχνικές αυτές διακίνονται σ αυτές που επιτέπουν απώλεια πληοφοίας και αυτές που δεν επιτέπουν. Στην πώτη πείπτωση η πληοφοία που χάνεται δεν θα πέπει να είναι ζωτικής σηασίας για τον παατηητή της εικόνας. Ακολούθως θα πειγαφούν αλγόιθοι συπίεσης ψηφιακών εικόνων αποχώσεων του γκι. Κωδικοποίηση HUFFMAN Σύφωνα ε την τεχνική αυτή κωδικοποιούε τις αποχώσεις του γκί ιας συγκεκιένης εικόνας ε κωδικές λέξεις εταβλητού ήκους. Μια απόχωση που εφανίζεται συχνά (ε εγάλη πιθανότητα στην εικόνα κωδικοποιείται ε λέξη ήκους ικότεου από άλλες αποχώσεις που εφανίζονται σπανιότεα. Το κανονικοποιηένο ιστόγαα h( των αποχώσεων της ψηφιακής εικόνας παέχει τις τιές της πιθανότητας εφάνισης p( των τιών της εταβλητής των αποχώσεων της εικόνας διότι p(h(. Αν l( είναι το ήκος της κωδικής λέξης της απόχωσης και το πλήθος των αποχώσεων, τότε το έσο ήκος l του κώδικα που απαιτείται για την εικόνα είναι l p( l( h( l( Ένας κατάλληλος ευκινής, ονοσήαντος και στιγιαία αποκωδικοποιήσιος κώδικας που ελαχιστοποιεί το έσο ήκος είναι ο κώδικας Huffman. Αν η εικόνα κωδικοποιηθεί σύφωνα ε αυτόν η τιή του l σύφωνα ε την θεωία της πληοφοίας θα ικανοποιεί τη σχέση H ( l H ( Όπου Η( η εντοπία της εικόνας αν την θεωήσουε ως πηγή πληοφοίας που δίνεται από την σχέση H ( p( lo p( h( lo h( 8
Ο εύεση του κώδικα Huffman για ια συγκεκιένη εικόνα γίνεται ε την δηιουγία ενός δυαδικού δένδου. Τα φύλλα του δένδου είναι οι τιές των αποχώσεων ε τις αντίστοιχες πιθανότητες εφάνισης τους στην εικόνα. Τα φύλλα συνενώνονται σε δυαδικούς κόβους. Σε κάθε κόβο αντιστοιχίζεται το άθοισα των πιθανοτήτων εφάνισης των παιδιών του. Ο πώτος κόβος δηιουγείται από τη συνένωση των δύο αποχώσεων (φύλλα ε τις ικότεες πιθανότητες. Κάθε επόενος κόβος έχει δύο παιδιά που επιλέγονται από φύλλα ή διαθέσιους κόβους που δεν ενώθηκαν και έχουν τις ικότεες πιθανότητες εφάνισης.. Στο ακόλουθο παάδειγα παουσιάζεται εφαογή της κωδικοποίησης σε ια εικόνα αποχώσεων του γκι διαστάσεων 4 5. 5 5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 H( h(.4.4 5.8 8 4.6 7.8 5 5. 5. 5.8.4.6.3.6 5 8 5 h( Για την εικόνα του πααδείγατος απαιτούνται 5 5 44 37 5 5 54 bits αντί των 5 375 bits που απαιτούνται για κωδικές λέξεις σταθεού ήκους τιών bits (3[lo 7] 9
Αναγνώιση εικόνας Ο ετασχηατισός του Houh Συχνά οι ψηφιακές εικόνες πειέχουν γαές που ανήκουν σε σχήατα, τεχνικά σχέδια, γαφήατα, σειές κειένου ή άλλες αναπααστάσεις. Σε πολλές εφαογές είναι επιθυητή η εύεση της θέσης και η αναγνώιση της οφής των γαών (π.χ. ευθύγαα τήατα, τόξα. Τέτοιες εφαογές είναι: η διανυσατική κωδικοποίηση τυπωένων τεχνικών σχεδίων που ψηφιοποιήθηκαν από σαωτές (scanners, η εύεση πειοχών κειένου σε έγγαφα, ο ποσδιοισός της υφής, βιοηχανικές εφαογές κατασκευών και οποτικής κ.α. Ο ετασχηατισός του Houh (H: Houh ransform καταδεικνύει την ύπαξη ευθειών σε ια εικόνα και αποτελεί την βάση πολλών τεχνικών για τον ποσδιοισό ευθυγάων τηάτων, καπυλών και οφών που αναλύονται ανάλογα. Ο H ποτάθηκε από τον Paul Houh το 96 ως έος της κατασκευής ιας συσκευής ανίχνευσης της κίνησης σωατιδίων υψηλής ενέγειας και στόχευε στην αυτοατοποίηση και αντικατάσταση της οπτικής διαδικασίας που απαιτούσε πολλές ανθωποώες. Ο αχικός αλγόιθος εξελίχθηκε και η σηεινή διατύπωση του είναι η ακόλουθη. Κάθε ευθεία (ε του κατεσιανού επιπέδου Π xy πειγάφεται από την πολική της εξίσωση x συνθ y ηθ όπου (x,y σηείο της ευθείας και, θ οι πολικές της παάετοι (Σχ.8.α. y (ε A Μ(θ, Ο θ (α x Σχήα 8. θ (β 3
y ε ε ε ν K max max φ x φ-π/ φ φπ/ (α Σχήα 9. (β Το είναι το ήκος του ευθύγαου τήατος ΟΑ, το ΟΑ ε τον άξονα Οχ. Ισχύει ότι ΟΑ Αν x κ και y κ είναι θετικά ( ο τετατηόιο και επειδή έπεται ότι 3 ( ε και θ η γωνία που σχηατίζει και π θ < π. Θεωούε το επίπεδο Π θ όπου στον κάθετο άξονα σηειώνουε τις τιές του και στον οιζόντιο τις τιές του θ. Οι πολικές παάετοι (θ, της ευθείας (ε καθοίζουν ένα σηείο Μ(θ, στο επίπεδο Π θ (Σχ.8.β Με τον τόπο αυτό η ευθεία (ε του επιπέδου Π xy αντιστοιχίζεται (ετασχηατίζεται ε την χήση της πολικής της εξίσωσης σε ένα σηείο του επιπέδου Π θ. Ισοδύναα κάθε σηείο Μ(θ, του επιπέδου Π θ οίζει ια ευθεία ε xcosθ yηθ στο επίπεδο Πxy. Από ένα σηείο Κ(x κ,y κ του επιπέδου Π xy διέχονται άπειες ευθείες (εν, ν, που ικανοποιούν την σχέση ν x συνθ κ ν y κ ηθ (Σχ.9.α. Οι τιές ν και θ ν των εταβλητών και θ ανήκουν στην καπύλη x κ συνθ yκηθ του επιπέδου Πθ. Η καπύλη είναι ηιτονοειδής (Σχ.9.β, όπως δείχνεται ακολούθως. Έστω φ η γωνία χοκ. Ισχύει ότι y εφφ x κ κ x κ ν π y κσφφ y κεφ( φ π η( φ y κ συνθ y κηθ π συν( φ y κ π η( θ φ ηφ
π φ (α π π φ θ φ, (β η εγαλύτεη τιή του ποκύπτει για θφ και είναι x y (γ max κ κ Ο αναλυτικός υπολογισός όλων των δυνατών τιών των και θ των ευθειών που οίζουν ανά δύο τα σηεία της εικόνας και η εύεση κοινών τιών είναι επίπονος και πακτικά ασύφοος. Για αυτό ακολουθούε το ακόλουθο σκεπτικό. Έστω τία τουλάχιστον συνευθειακά σηεία στο επίπεδο Π xy ε τις αντίστοιχες καπύλες των ευθειών που διέχονται από αυτά (Σχ..α. Οι καπύλες αυτές τένονται σε σηείο Μ ε(θ ε, ε ε θε και ε τις πολικές πααέτους της ευθείας που διέχεται από αυτά (Σχ..β. Άα αν κατασκευάσουε τις καπύλες του επιπέδου Π θ για όλα τα σηεία του επιπέδου Π xy τα σηεία τοής τους έχουν συντεταγένες τις πολικές πααέτους των ευθειών που οίζουν τα σηεία αυτά. Ποφανώς, όσες καπύλες διέχονται από ένα σηείο τοής στο Π θ, τόσα σηεία του Π xy ανήκουν στην ευθεία που οίζεται από το σηείο τοής. y (, (ε (,.5 O(, τοξεφ( (, x Σχήα (α. 3
Σχήα (β. Πογαατιστικά και υπολογιστικά η έθοδος ποεί να εφαοσθεί ε τεχνικές όπως η ακόλουθη. Οίζεται ένας δισδιάστατος πίνακα H Μ Χ Ν που κβαντίζει το επίπεδο Π θ σε Μ γαές και Ν στήλες ε ηδενικές αχικές τιές. Η ψηφιακή εικόνα ε πίνακα Ι J x K τοποθετείται στο ο τετατηόιο. Οι συντεταγένες ενός εικονοστοιχείου P(k,j ε (k,j θα είναι x P k, y P J-j. Επειδή η εικόνα βίσκεται στο ο εταβολής της γωνίας θ ποεί να παίνει τιές από π/ έως π. Με βήα 3π Δθ Ν τετατηόιο το διάστηα κάθε δείκτης ν,,ν αντιστοιχίζεται στο διάστηα [θ ν, θνδθ, θ ν -π/(ν-δθ. Με βήα Δ Κ J M κάθε δείκτης,,μ αντιστοιχίζεται στο διάστηα [(-Δ, Δ. Για εκείνα τα ν που ισχύει π π yp φ, φ τοξεφ( x φ θν P 33
υπολογίζεται η τιή x P συνθ ν y P ηθ ν και ο δείκτης του διαστήατος που ανήκει το. Η τιή Η(,ν αυξάνεται κατά ένα. Η διαδικασία επαναλαβάνεται για όλα τα εικονοστοιχεία της εικόνας. Μετά το τέλος της διαδικασίας οι υψηλές τιές του πίνακα Η ποσδιοίζουν τις πολικές πααέτους ευθειών της εικόνας. Συγκεκιένα αν Η(,ν έχει υψηλή τιή ισχύει ότι Δθ π Δθ θ θν νδθ, Δ Δ Δ 34
35 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ( Β ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( σ H( H( H( H( H( H( ( H( ( σ b σ ω σ H( H( H( H( H( H( H( ( ( H( H( H( H( H( H( H( ( H( ( ( ( H( ( H( ( ( ( σ σ σ