Τρισδιάστατοι Υπολογισμοί σε Νανοφωτονικές Δομές

Τρισδιάστατοι Υπολογισμοί σε Νανοφωτονικές Δομές Σχεδιάζοντας τα μελλοντικά (φωτεινά) ολοκληρωμένα κυκλώματα Δρ. Θωμάς Καμαλάκης Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής

Μέρος Πρώτο Το Κίνητρο

Οπτική Τεχνολογία Τα προηγούμενα χρόνια έχουμε γίνει μάρτυρες της ραγδαίας ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιακών τεχνολογιών. Οι οπτικές ίνες προσφέρουν την δυνατότητα αξιόπιστης μεταφοράς δεδομένων με ρυθμούς της τάξης των μερικών Tb/s(!) σε αποστάσεις εκατοντάδων K. Κομβικό σημείο στην εξέλιξη της οπτικής τεχνολογίας ήτανε η ανακάλυψη του οπτικού ενισχυτή EDFA ο οποίος αύξησε την εμβέλεια των οπτικών συστημάτων μετάδοσης. Οι οπτικές τεχνολογίες μετάδοσης χρησιμοποιούνται κατά κόρον στο δίκτυο κορμού και αρκετά συχνά στο μητροπολιτικό δίκτυο. Ωστόσο η διείσδυση τους στο δίκτυο πρόσβασης (access network) είναι περιορισμένη λόγω του αυξημένου κόστους. Εξαίρεση αποτελεί η Ιαπωνία όπου πάνω από 6.000.000 συνδρομητές έχουν συνδεθεί μέσω οπτικής ίνας!

Οπτικά Ολοκληρωμένα Κυκλώματα Σε μια προσπάθεια να μειώσουμε το κόστος των δομικών στοιχείων πρέπει να αξιοποιήσουμε τις δυνατότητες που μας δίνουν τα ολοκληρωμένα οπτικά κυκλώματα. Άλλωστε η ολοκλήρωση έφερε επανάσταση στην ηλεκτρονική Μήπως μπορεί να γίνει το ίδιο στην φωτονική? Δυστυχώς όμως τα φωτόνια είναι πολύ πιο ατίθασα από τα ηλεκτρόνια

Παράδειγμα Οπτικής Ολοκλήρωσης Ένα παράδειγμα επιτυχημένου προϊόντος βασισμένου σε τεχνολογία οπτικής ολοκλήρωσης είναι το Φράγμα Συστοιχίας Κυματοδηγών (AWG). Επιτρέπει τον συνδυασμό πολλών καναλιών σε διαφορετικά μήκη κύματος σε μία έξοδο του, δηλαδή υλοποιεί την πολυπλεξία μήκους κύματος. Προσφέρει αναισθησία στην πόλωση του φωτός, πολύ χαμηλή διαφωνία και και έχουν επιδειχθεί AWG που μπορούν να πολυπλέξουν μέχρι και 1000 κανάλια Στο ίδιο υπόστρωμα μπορούμε να συνδυάσουμε AWG με ενισχυτές και να υλοποιήσουμε έναν add/drop ultiplexer! Ωστόσο σε σύγκριση με ένα μικροέπεξεργαστη, οι λειτουργίες αυτές είναι πολύ πρωτόγονες!

Προβλήματα των Οπτικών Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων Η λειτουργικότητα τους είναι πολύ περιορισμένη σε σχέση με τα ηλεκτρονικά ολοκληρωμένα. Υπάρχει χώρος για βελτίωση? Ποια πλατφόρμα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε? Τα υλικά ΙΙΙ V (GaAs, InP, κτλ) έχουν πολύ καλές ιδιότητες όσο αφορά την γέννηση και την κυματοδήγηση του φωτός. Ωστόσο η κατασκευή ολοκληρωμένων διατάξεων βασισμένα σε υλικά αυτά είναι αρκετά δύσκολη Μπορεί το πυρίτιο να δώσει και εκεί μία λύση? (Δυστυχώς είναι δύσκολο να υλοποιηθούν πηγές και ενισχυτές από πυρίτιο). Πως θα μικρύνουμε τις διαστάσεις των κυματοδηγών, των φίλτρων και των υπολοίπων δομικών στοιχείων των οπτικών ολοκληρωμένων? Μπορούμε να φτιάξουμε διατάξεις μνήμης ή έστω γραμμές καθυστέρησης για τα οπτικά σήματα?

Νανοφωτονική Αντικείμενο της νανοφωτονικής είναι οι διατάξεις των οποίων οι βασικές τους δομέςέχουνμέγεθοςτηςτάξηςτωνμερικώνεκατοντάδωνηδεκάδων νανομέτρων (~10 9!) Στόχος είναι να μικρύνουμε τις διαστάσεις των κυκλωμάτων ώστε να αυξήσουμε την λειτουργικότητα και την πολυπλοκότητα των οπτικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Δύο πολύ σημαντικές κατευθύνσεις έρευνας στην νανοφωτονική είναι η πλασμονική (plasonics) και οι φωτονικοί κρύσταλλοι (photonic crystals). Στην πλασμονική το φως περιορίζεται με την βοήθεια επαφών μεταλλικών επιφανειών με διηλεκτρικά. Στις διαχωριστικές επιφάνειες δημιουργούνται επιφανειακά κύματα τα οποία είναι ισχυρά περιορισμένα. Στους φωτονικούς κρυστάλλους τα φωτόνια περιορίζονται με μηχανισμούς παρόμοιους με αυτούς που περιορίζουν τα ηλεκτρόνια στους ηλεκτρονικούς κρυστάλλους

Μέρος Δεύτερο Φωτονικοί Κρύσταλλοι

Το φως κατά το Maxwell Ευαγγέλιο Μέσα σε μία διηλεκτρική δομή, το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο μπορούν να έχουν διάφορες επιτρεπόμενες κατανομές. Για παράδειγμα, ένας μεταλλικός κυματοδηγός ή μία οπτική ίνα υποστηρίζουν μία σειρά από τρόπους διάδοσης, δηλαδή τρόπους που μπορούν να μεταφέρουν το οπτικό σήμα από την μία άκρη του κυματοδηγού στην άλλη (θεωρητικά και χωρίς απώλειες). Ωστόσο, οι τρόποι διάδοσης δεν υπάρχουν σε όλες τις συχνότητες. Σε μία συχνότητα ορισμένοι τρόποι δεν διαδίδονται, Οι τρόποι που δεν διαδίδονται ονομάζονται αποσβενόμενοι (evanescent) και δεν μεταφέρουν ισχύ

Φωτονικοί Κρύσταλλοι Οι φωτονικοί κρύσταλλοί είναι περιοδικές διηλεκτρικές δομές που στην απλούστερη μορφή κατασκευάζονται από δύο διαφορετικά διηλεκτρικά υλικά (το «κόκκινο» και το «κίτρινο») Αποδεικνύεται από τις εξισώσεις Maxwell πως υπάρχουν περιοχές συχνοτήτων όπου δεν υποστηρίζεται κανένας τρόπος διάδοσης! Οι περιοχές συχνοτήτων όπου δεν υποστηρίζονται τρόποι διάδοσης χαρακτηρίζονται ως «φωτονικά χάσματα» Επομένως αν το φως προσπέσει έχοντας κατάλληλη συχνότητα στον φωτονικό κρύσταλλο, τότε (αφού δεν υπάρχει τρόπος διάδοσης), η φωτεινή ισχύς δεν θα μπορέσει να διεισδύσει στο εσωτερικό του και θα ανακλαστεί.

Δημιουργία Ατελειών στην Περιοδικότητα Ενδιαφέρουσες ιδιότητες προκύπτουν όταν δημιουργούμε ατέλειες στην περιοδικότητα του φωτονικού κρυστάλλου. Τότε δημιουργούνται τρόποι διάδοσης μέσα στο φωτονικό χάσμα με πολύ επιθυμητά χαρακτηριστικά Όπως και στην περίπτωση των ηλεκτρονικών κρυστάλλων, τα φωτόνια που αντιστοιχούν στους τρόπους αυτούς είναι στενά περιορισμένα κοντά στις ατέλειες. Για παράδειγμα στον τέλεια περιοδικό φωτονικό κρύσταλλο που απαρτίζεται από διηλεκτρικές ράβδους (σχήμα α) μπορούμε να αφαιρέσουμε μία σειρά από ράβδους (καταστρέφοντας την περιοδικότητα) και να δημιουργήσουμε έναν κυματοδηγό που υποστηρίζει τρόπο διάδοσης εντός του φωτονικού χάσματος!

Απότομες Στροφές του Φωτός Οι τρόποι διάδοσης που οφείλονται στις ατέλειες είναι ισχυρά περιορισμένοι κοντά στις ατέλειες. Επομένως μπορούν να στρίψουν απότομα ακόμα και 90 0 κάτι που είναι αδύνατον με τους παραδοσιακούς διηλεκτρικούς κυματοδηγούς όπου οι απώλειες απότομων κάμψεων είναι τεράστιες Γιααυτότολόγοάλλωστεδενμπορούμενα κάμπτουμε τις μονότροπες οπτικές ίνες. Η απόσταση μεταξύ των δύο διηλεκτρικών ράβδων του τέλειου κρυστάλλου είναι της τάξης των 0.6μ, επομένως ο περιορισμός του φωτός λαμβάνει χώρα εντός 1.μ δηλαδή σε διαστάσεις μικρότερες του μήκος κύματος (1.55μ). Ο ισχυρός περιορισμός σημαίνει πως έχουμε αυξημένο πλάτος ηλεκτρικού πεδίου Ε σε μια μικρή περιοχή για μία τιμή ισχύος επομένως οι μη γραμμικότητες (που είναι ανάλογες του Ε ) αυξάνονται ραγδαία! Η αυξημένη μη γραμμική συμπεριφορά του μέσου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για πολλές εφαρμογές αμιγώς οπτικής επεξεργασίας σήματος

Το Όραμα η Φωτονική Μικρόπολη Οι φωτονικοί κρύσταλλοι δίνουν την δυνατότητα πραγματοποίησης μιας σειράς φωτονικών λειτουργιών Αν συνδυαστούν όλες μαζί σε ένα ολοκληρωμένο μπορούν επομένως να οδηγήσουν σε μία νέα γενιά φωτονικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων.

Μέρος Τρίτο Σχεδιάζοντας Νανοφωτονικές Διατάξεις

Εργαλεία Σχεδίασης Λίγα(?) Μαθηματικά Για να σχεδιάσουμε τις νανοφωτονικές δομές που στηρίζονται στην τεχνολογία των φωτονικών κρυστάλλων θα πρέπει να λύσουμε τις εξισώσεις Maxwell. Οι εξισώσεις αυτές καθορίζουν πως μεταβάλλονται το ηλεκτρικό Ε=(Ε x,e y,e z ) και το μαγνητικό πεδίο H=(H x,h y,h z ) σε συνάρτηση με το χρόνο αν ξέρουμε την πηγή που τα δημιούργησε (π.χ. κάποιο ηλεκτρικό ρεύμα J ) και την κατανομή της διηλεκτρική σταθεράς ε(r) = μ H E t E H = ε () r + J t E =0 H =0 Οι τελεστές των παραπάνω εξισώσεων ορίζονται ως: Ay A z A A x Az A x y A= xˆ ˆ + ˆ z y z x y z y x A A A A x y z x y = + + z

Εύρεση τρόπων διάδοσης μίας περιοδικής δομής Οι τρόποι διάδοσης μίας διάταξης περιγράφουν την κατανομή του πεδίου μακριά από τις πηγές (δηλαδή J=0). Οι τρόποι διάδοσης υπολογίζονται για μία συχνότητα του πεδίου ω, επομένως θα πρέπει να θεωρήσουμε αρμονικές μεταβολές e jωt. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Maxwell μπορούμε να βρούμε την εξίσωση που διέπει το μαγνητικό πεδίο των τρόπων διάδοσης 1 ω H = H ε c H =0 Το θεώρημα Bloch μας εξασφαλίζει πως αν η διηλεκτρική σταθερά ε(x,y,z) είναι περιοδική, δηλαδή υπάρχει ένα R, τέτοιο ώστε ε(r+r)=ε(r) τότε, οιτρόποι διάδοσης θα έχουν την μορφή: Hr () = hr ()exp( jk r) Το k είναι το «κυματάνυσμα» του τρόπου, και το h(r) είναι μία περιοδική συνάρτηση που διαφέρει για κάθε k και έχει περιοδικότητα ίδια με την ε(r).

Παραδείγματα Περιοδικών ε(r)

H (πιο απλή ) περίπτωση των δύο διαστάσεων Αν θεωρήσουμε πως η διάταξη μας δεν μεταβάλλεται ως προς z τότε οι εξισώσεις Maxwell για τους τρόπους διάδοσης καταλήγουν σε δύο βαθμωτές (μη διανυσματικές). E E + = ε x y c 1 z z ω E z 1 Hz 1 Hz ω + = x ε x y ε y c H z Μπορούμε να δείξουμε πως στην περίπτωση αυτή μπορούμε να ξεχωρίσουμε: Μία συνιστώσα του Η/Μ πεδίου που έχει ηλεκτρικό πεδίο Ε=(0,0,Ε z ) και μαγνητικό πεδίο Η=(H x,h y,0) και ονομάζεται ΤΜ Transverse Magnetic. Μία συνιστώσα του Η/Μ πεδίου που έχει ηλεκτρικό πεδίο Ε=(Ε x,ε y,0) και μαγνητικό πεδίο Η=(0,0,H z ) και ονομάζεται ΤΕ Transverse Electric.

Ανάλυση σε επίπεδα κύματα Ένας τρόπος να λύσουμε τις εξισώσεις Maxwell στο πεδίο των συχνοτήτων και να βρούμε τους τρόπους διάδοσης για μία συχνότητα ω είναι η μέθοδος της Ανάπτυξης σε Επίπεδα Κύματα (Plane Wave Expansion PWE) Η μέθοδος αυτή θυμίζει τη ανάπτυξη σε σειρά Fourier. Κάθε περιοδική συνάρτηση f(x) με περίοδο a η οποία είναι κατά τμήματα συνεχής μπορούμε να την γράψουμε ως μια σειρά αρμονικών όρων: + π f ( x) = f exp j x = a 1 a/ π f = dxf ( x)exp j x a a/ a Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να αναπτύξουμε με περιοδική συνάρτηση π.χ. τριών διαστάσεων: f( x, y, z) = F( G)exp( jg r) Όπου τα διανύσματα G έχουν την μορφή: π π x y π z G ˆ ˆ ˆ = x+ y+ z a a a x y z Οι διαστάσεις a x,a y και a z είναι οι περίοδοι της συνάρτησης ως προς τις μεταβλητές x,y και z. Τα x, y και z είναι ακέραιοι.

Ανάλυση σε επίπεδα κύματα Το άθροισμα αυτό στην ουσία είναι τριπλό: ( ) f( x, y, z) = F( G )exp jg r = π πy x π z πxx π yy πzz F + + exp j + j + a a a a a a,, x y z x y z x y z Οι συντελεστές F(G ) δίνονται από την σχέση ΟόγκοςV ορίζεται ως εξής: 1 F( G) = dvf( )exp( j ) aaa r G r x y z V V ax ax ay ay az az =,,,

Ανάλυση Επίπεδων Κυμάτων σε Διαστάσεις Σύμφωνα με το θεώρημα Bloch το ηλεκτρικό πεδίο E z (x,y) μπορεί να γραφεί E ( x, y) = e ( x, y)exp( jkx+ jk y) z z x y Ησυνάρτησηe z (x,y) είναι περιοδική και επομένως μπορεί να αναπτυχθεί σε επίπεδα κύματα: e () r = e ( G )exp( jg r) z z Όπου στην περίπτωση μας r=(x,y), k=(k x,k y ) Επομένως θα έχουμε: π π x y G ˆ ˆ = x+ y a a x E x y e G j G k r (, ) = ( )exp( ( + ) ) z z y

Από την Ανάλυση στην Άλγεβρα Η αντικατάσταση της ανάπτυξης των πεδίων σε επίπεδα κύματα στις εξισώσεις για τα ΤΕ και τα ΤΜ μας δίνει τις εξής γραμμικές εξισώσεις: E E + = ε x y c 1 z z ω E z ω ( ) ( ) ( ) κ G Gl k+ Gl ez Gl = e z G l c 1 Hz 1 Hz ω + = x ε x y ε y c H z ω ( l) l z( l) z( ) c κ G G ( k+ G ) ( k+ G ) h G = h G l κ( G) a / x y 1 1 dx dy e aa ε ( xy, ) = / x y a / a / x a y ( x y ) j G x+ G y

Η περίπτωση των 3 Διαστάσεων Στην περίπτωση των τριών διαστάσεων (δηλαδή όπου το ε εξαρτάται από το z) το πρόβλημα είναι λίγο πιο πολύπλοκο επειδή δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις βαθμωτές εξισώσεις των ΤΕ και ΤΜ. Ωστόσο μπορούμε να αναπτύξουμε την διανυσματική συνάρτηση του μαγνητικού πεδίου σε επίπεδα κύματα. Hr () = hr ()exp( jk r) () = ( ) exp( j ( + ) ) Hr h G k G r Στην ουσία με τις παραπάνω εξισώσεις έχουμε αναπτύξει και τις τρεις συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου σε επίπεδα κύματα. Ωστόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση H =0 Ώστε να μειώσουμε σε δύο τις συνιστώσες του πεδίου που πρέπει να αναπτυχθούν.

Τρεις διαστάσεις αλλά δύο συνιστώσες H =0 ( ) j k G h ( G) j( k G) r ( + ) exp + = 0 ( k+ G ) h ( G ) = 0 Επομένως η φασματική συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου που αντιστοιχεί στο διάνυσμα G είναι κάθετη στο a =(k+g )/ k+g. Ορίζοντας δύο διανύσματα p(a ) και q(a ) να είναι μεταξύ τους κάθετα και κάθετα στο a τελικά μπορούμε να γράψουμε: ( ) = h ( ) + h ( ) h G pa qa p q Χρειάζονται δύο συνιστώσες επομένως για κάθε φασματική συνιστώσα: η h p και η h q

Από την Ανάλυση στην Άλγεβρα (αλλά στις τρεις διαστάσεις!) Το ισοδύναμο αλγεβρικό ιδιοπρόβλημα: Θεωρούμε έναν πεπερασμένο αριθμό ιδιοδιανυσμάτων G π π x y π z G ˆ ˆ ˆ = x+ y+ z a a a Ορίζουμε τους πίνακες: x y z ( ) M (, ) ( ) ( ) ( ) 1 Gn G = k+ G k+ Gn κ Gn G q a q an ( ) M (, ) ( ) ( ) ( ) Gn G = k+ G k+ Gn κ Gn G p a q an ( ) M (, ) ( ) ( ) ( ) 3 Gn G = k+ G k+ Gn κ Gn G qa pan ( ) M (, ) ( ) ( ) ( ) 4 Gn G = k+ G k+ Gn κ Gn G pa pan

Από την Ανάλυση στην Άλγεβρα (αλλά στις τρεις διαστάσεις!) Ορίζουμε το διάνυσμα: Και τον (Μ) (Μ) πίνακα: ( hp 1 hp M hq 1 hq M ) h = ( G ),..., ( G ), ( G ),..., ( G ) T M M M M M 1 = 3 4 1 H = ε ω c H Mh ω = h c

Τι πετύχαμε μέχρι εδώ? Αναλύσαμε το πεδίο σε επίπεδα κύματα και δείξαμε πως το τελεστικό ιδιοπρόβλημα του τελεστή {(1/ε) } έχει μετατραπεί σε ένα ισοδύναμο ιδιοπρόβλημα του πίνακα Μ Υπάρχουνε αρκετοί τρόποι για να βρούμε τις ιδιοτιμές του πίνακα Μ στον υπολογιστή. Αυτές οι ιδιοτιμές αντιστοιχούν στις επιτρεπόμενες τιμές του (ω/c). Ο πίνακας Μ εξαρτάται από την σταθερά διάδοσης k. Για κάθε k επομένως έχουμε βρει έναν τρόπο για να βρίσκουμε τις συχνότητες ω που μπορεί να έχει το κύμα Μπορεί να υπάρχουν περιοχές του ω που να μην αντιστοιχούν σε κανένα k. Οι τιμές αυτές του ω (αν είναι ένα συνεχές διάστημα) συνθέτουν ένα φωτονικό χάσμα! Για κάθε τρόπο, έχοντας την σχέση k=k(ω) μπορούμε να βρούμε τα χαρακτηριστικά του: Ταχύτητα ομάδας, διασπορά, κτλ κτλ Από τα ιδιοδιανύσματα h p και η h q μπορούμε να υπολογίσουμε τις κατανομές του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου των τρόπων διάδοσης και μία σειρά από μεγέθη που αφορούν την μη γραμμική διάδοση του κύματος.

Παράδειγμα

Από τις γραμμικές στις μη γραμμικές ιδιότητες Όπως συζητήσαμε και πιο πριν, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι μη γραμμικές ιδιότητες των νανοφωτονικών διατάξεων. Οι μη γραμμικότητα μας δίνει την δυνατότητα να κάνουμε επεξεργασία σήματος (π.χ. μετατροπή μήκους κύματος, αναγέννηση σήματος, οπτικές λογικές πύλες κτλ κτλ). Η εξίσωση διάδοσης σε έναν περιοδικό νανοφωτονικό κυματοδηγό είναι: Προκύπτει από τις παραγώγους της k=k(ω) j k A n+ 1 n n = A + j γ A A n z n n! t ( 0) = 0 ds NL eω 0 γ ω ω ε S Αν ξέρουμε την συμπεριφορά των τρόπων διάδοσης (δηλαδή το k=k(ω) και την συνάρτηση Bloch του ηλεκτρικού πεδίου) μπορούμε να υπολογίσουμε τους συντελεστές στην μη γραμμική εξίσωση διάδοσης 4

Μέρος Τέταρτο Υπολογισμός (Φωτονικών) Ιδιοτιμών

Μέθοδοι Λύσης των Ιδιοπροβλημάτων Άμεσος τρόπος: Αποθηκεύουμε τον πίνακα Μ στη μνήμη και χρησιμοποιούμε κάποιον αλγόριθμο εύρεσης ιδιοτιμών Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα (σχετικά) στο MATLAB (π.χ. με την eig). Φτιάχνουμε τα διανύσματα G και έπειτα υπολογίζουμε τους Ν N υποπίνακες Μ 1,,Μ 4, βάση των σχέσεων που είδαμε προηγουμένως, π.χ. ( ) M (, ) ( ) ( ) ( ) 1 Gn G = k+ G k+ Gn κ Gn G q a q an Ησυνάρτησηκ(G) είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του αντίστροφου της διηλεκτρικής σταθεράς 1/ε(r). 1 1 κ( G) = dv exp( j ) aaa ε () G r r x y z V Μπορεί να υπολογιστεί αφενώς με τη χρήση 3D FFT (π.χ. στο MATLAB) Σε ορισμένες περιπτώσεις είμαστε σε θέση να βρούμε μία κλειστή μορφή για το κ(g)

Αναλυτικός Υπολογισμός της συνάρτησης κ(g) εb(z) ay εa(z) z az h a x ε d z > h/ ε d z > h/ εa( z) = εas z h/ εb( z) = εbs z h/ ε d z < h/ ε d z < h/ h 1 1 Gh z 1 Ga z z K1( Gz ) = sinc sinc az ε bs ε d π + ε d π K h 1 1 Gh z ( Gz ) = sinc az ε as ε bs π π rj ( G r) κ( G) = δ G K ( G ) + K ( G ) ( ) 1 D D 1 z z G Daxay G = G + G D x y Έχουμε βρει μία κλειστή μορφή για το κ. J 1 (x) είναι η συνάρτηση Bessel πρώτης τάξης και πρώτου είδους ενώ η συνάρτηση δ(g D ) είναι μηδέν παντού εκτός από το μηδέν όπου δ(0)=1. H συνάρτηση sinc ορίζεται ως sinc(x)=sin(πx)/(πx)

Υπολογισμός των στοιχείων κ(g G n ) Επομένως αν ο πίνακας K n =κ(g G n ) έχει ΝxN στοιχεία χρειάζεται να κάνουμε Ν υπολογισμούς για να τον υπολογίσουμε Ενδιαφέρον (ιδιαίτερα για τα επόμενα) είναι πως μπορούμε να υπολογίσουμε τον πίνακα K κάνοντας μονάχα 8N υπολογισμούς Πράγματι κάθε συνδυασμός G G n έχει τη μορφή: π π x y πz πn π n x y πnz G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Gn = x+ y+ z x y+ z a a a a a a x y z x y z ( n ) π ( y ny) π ( n ) π x x z z = xˆ + yˆ + zˆ a a a x y z Επομένως αν υποθέσουμε πως x, n x P x, y, n y P y, z, n z P z οπότε και Ν=(P x +1) (P y +1) (P z +1) τότε θα υπάρχει ένα διάνυσμα G p π p π p x y π pz G ˆ ˆ ˆ p = x+ y+ z τέτοιο ώστε G Gn = Gp a a a x y z με p x P x, p y P y, p z P z. Επομένως υπάρχουν (4P x +1) (4P y +1) (4P z +1) 8N διακριτές τιμές για το κ(g p )

Παράδειγμα Άμεσου υπολογισμού των Ιδιοτιμών 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 10 0 30 40 50 60 Το αριστερό σχήμα είναι το αποτέλεσμα του ΜATLAB για την διάταξη που έχει μελετηθεί στο παρελθόν από τους Johnson et al (1999) των οποίων τα αποτελέσματα φαίνονται στο δεξί Με πράσινο χρώμα είναι οι τρόποι που έχουν άρτια συμμετρία ως προς το z=0 ενώ με κόκκινο αυτοί που έχουν περιττή.

Μελετώντας πιο πολύπλοκες δομές Οι διαστάσεις των πινάκων γίνονται απαγορευτικές για μεγάλο αριθμό επίπεδων κυμάτων Ο αριθμός των επίπεδων κυμάτων πρέπει να αυξηθεί αρκετά όταν θεωρούμε πιο πολύπλοκες διατάξεις όπως αυτές του διπλανού σχήματος Όταν διπλασιάζουμε τον αριθμό των επίπεδων κυμάτων ανά διάσταση, ο αριθμός των διανυσμάτων G p πολλαπλασιάζεται επί 8 και ο συνολικός αριθμός των στοιχείων του πίνακα Μ που πρέπει να αποθηκευτούνε επί 64! Ενώ για 11 11 11 επίπεδα κύματα πρέπει να αποθηκευτούνε 7.086.44 μιγαδικοί αριθμοί, για 15 15 15, ο αριθμός ανεβαίνει σε 45.56.500 (!)

Επαναληπτικές Μέθοδοι Υπολογισμού Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων ΟπίνακαςΜ μπορούμε να δείξουμε πως είναι Ερμιτιανός. Δηλαδή ισχύει: M nk = M * kn Οι πίνακες αυτοί έχουνε όλες τις ιδιοτιμές τους πραγματικές Μπορούμε να φτιάξουμε μία βάση από ιδιοδιανύσματα ενός Ερμιτιανού πίνακα. Η μικρότερη ιδιοτιμή λ στο ιδιοδιάνυσμα v έχει την ιδιότητα να είναι το ελάχσιτο του λόγου Rayleigh Ritz R(v) * H n n v M v n R v v v H v λ = in ( ) = in = in v v vm Η επόμενη μεγαλύτερη ιδιοτιμή θα ελαχιστοποιεί το λόγο Rayleigh Ritz του πίνακα M = M λv v H v v

Επαναληπτικές Μέθοδοι Υπολογισμού Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων Το πλεονέκτημα είναι πως μπορούμε να υπολογίσουμε τα ιδιοδιανύσματα και τις ιδιοτιμές χωρίς να έχουμε αποθηκεύσει όλα τα στοιχεία του Μ n * n n v M v Πρόκειται για ένα διπλό άθροισμα που μπορεί να υπολογιστεί με ένα διπλό for loop και χρειάζεται να υπολογίζουμε μονάχα ένα στοιχείο του πίνακα Μ σε κάθε βρόγχο! Επομένως το πρόβλημα ανάγεται στην ελαχιστοποίηση της συνάρτησης R( v) = n vm * n n v v

Επόμενα Βήματα MATLAB ή C? Ποιος είναι πιο γρήγορος? Υπάρχουνε ρουτίνες έτοιμες στην C (Nuerical Recipes, κτλ κτλ). Υλοποίηση της μεθόδου Conjugate Gradient Miniization (CGM) Εφαρμογή της μεθόδου CGM στο πηλίκο Rayleigh Ritz των πινάκων μας Χρήση του Εργαλείου για την ανάλυση τρόπων διάφορων νανοφωτονικών δομών που έχουν εξετασθεί στο παρελθόν για την επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων. Εφαρμογή του εργαλείου για τον υπολογισμό των μη γραμμικών χαρακτηριστικών των νανοφωτονικών κυματοδηγών Υπολογισμός των επιδόσεων οπτικών πυλών, μετατροπέων μήκους κύματος, κτλ κτλ που στηρίζονται σε αυτήν την τεχνολογία.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΜΟΝΗ ΣΑΣ