ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4. Κατηγοριοποίηση στατιστικών δεδομένων α) Χρονικά δεδομένα (ime seies d) Συγκεντρώνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα, όπως ωριαία (επιφανειακές συγκεντρώσεις ατμοσφαιρικών ρύπων) ημερησίως (π.χ. τιμές κλεισίματος μετοχών), εβδομαδιαία (π.χ. προσφορά χρήματος), μηνιαία (π.χ. ανεργία, ρυθμός πληθωρισμού), τριμηνιαία (π.χ. ΑΕΠ), ετήσια (π.χ. SS (see sufce empeue) δηλ. η μέση ετήσια θερμοκρασία στην επιφάνεια της θάλασσας για ένα γεωγραφικό σημείο, ή και για όλη τη γη) κλπ. Δυνατόν να είναι ποσοτικά ή και κατηγορικά (π.χ. παγετός, όχι παγετός). β) Διαστρωματικά δεδομένα (coss-secionl d) Συλλέγονται για μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή για μία ή περισσότερες μεταβλητές, π.χ. απογραφή πληθυσμού, δημοσκοπήσεις κλπ. γ) Μεικτά δεδομένα (pooled d) Συνδυασμός των (α) και (β). Ως παράδειγμα αναφέρεται ο ρυθμός πληθωρισμού στις χώρες του ΟΟΣΑ για τη μεταπολεμική περίοδο. Ειδική περίπτωση αποτελούν τα λεγόμενα pnel d για τα οποία οι «μονάδες» για τις οποίες συλλέγονται τα δεδομένα είναι πάντα οι ίδιες. 4. Ορισμός και είδη χρονικών σειρών Χρονική σειρά, ή χρονοσειρά : ένα σύνολο δεδομένων με καθορισμένη διάταξη ως προς το χρόνο. Αν το σύνολο αυτό είναι συνεχές η χρονική σειρά ονομάζεται συνεχής, ενώ αν το σύνολο είναι διακριτό η χρονική σειρά ονομάζεται διακριτή. Στο παρόν θα ασχοληθούμε με διακριτές χρονοσειρές οικονομικών χρημ/κων δεδομένων στις οποίες οι διαδοχικοί όροι ισαπέχουν.
Αν οι τιμές μιας χρονοσειράς μπορούν να καθορισθούν ακριβώς, π.χ. μέσω μιας συναρτήσεως, όπως για παράδειγμα η θέση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση που δίνεται από τη σχέση: Χ Χ 0 U* όπου Χ 0 η θέση του κινητού τη χρονική στιγμή μηδέν, U η ταχύτητα του κινητού και ο χρόνος, τότε η χρονοσειρά ονομάζεται αιτιοκρατική. Αν όμως οι μελλοντικές τιμές είναι δυνατό να καθορισθούν μόνο ως προς μια κατανομή πιθανότητας, τότε η χρονολογική σειρά ονομάζεται στατιστική ή στοχαστική. Με τέτοιου είδους χρονοσειρές θα ασχοληθούμε κυρίως στη συνέχεια. 4.3 Στασιμότητα Αν για μία χρονοσειρά Υ η μέση τιμή μ, η διακύμανση γ 0 και οι αυτοσυνδιακυμάνσεις γ j, j,,..δεν εξαρτώνται από τη χρονική στιγμή τότε αυτή ονομάζεται ασθενώς στάσιμη, ή στάσιμη κατά τη συνδιακύμανση. Δηλαδή: Ε ( Y ) μ, E{(Y µ )( Y j µ j )} E{(Y µ )( Y j µ )} γ j, Άρα η αυτοσυνδιακύμανση θα εξαρτάται μόνο από τη (χρονική) απόσταση j. Τότε θα έχουμε: γ µ )( Y µ )( Y j E{(Y j j j µ )} E{(Y- (-j) µ )} γ j δηλαδή η γ j είναι συμμετρική., j Για να χαρακτηρισθεί μία χρονολογική σειρά Υ ως αυστηρά στάσιμη οι απαιτήσεις είναι μεγαλύτερες: θα πρέπει ολόκληρη η κατανομή πιθανότητας των Y, Y,,Y s να είναι ανεξάρτητη του χρόνου, δηλαδή να παραμένει ανεξάρτητη σε οποιαδήποτε χρονική μετατόπιση: f (,,..., ) f (,,..., ),, s,...y s s Y,Y,...Y s s Y, Y
4.4 Ανάλυση μιας χρονοσειράς σε συνιστώσες Για τη στατιστική επεξεργασία χρονολογικών οικονομικών δεδομένων είναι ιδιαίτερα χρήσιμο να υποθέσουμε ότι μια παρατηρούμενη χρονοσειρά μπορεί να αναλυθεί σε μη παρατηρήσιμες συνιστώσες σύμφωνα με τη σχέση: Υ L S C I Όπου: Υ η παρατηρούμενη χρονοσειρά, ή κάποιος (συνήθως ο λογαριθμικός) μετασχηματισμός της L η μακροχρόνια τάση C η κυκλική συνιστώσα S η εποχική συνιστώσα I η άρρυθμη συνιστώσα Η μακροχρόνια τάση εκφράζει τη μεταβολή στο επίπεδο της χρονοσειράς. Υφίσταται σε μη στάσιμες χρονοσειρές και μπορεί να είναι σταθερή ή χρονικά μεταβαλλόμενη. Όταν η τάση είναι χρονικά μεταβαλλόμενη, προγνώσεις που στηρίζονται σε γραμμικά υποδείγματα παλινδρόμησης σε πολλές περιπτώσεις αποδείχθηκαν δραματικά αποτυχημένες. Η κυκλική συνιστώσα εκφράζει κυκλικές κυμάνσεις με περίοδο μεγαλύτερη του έτους (π.χ. επιχειρηματικοί κύκλοι στην οικονομία, ετήσιος αριθμός ηλιακών κηλίδων κλπ.). Η εποχική συνιστώσα εκφράζει την κυκλική κύμανση μιας χρονοσειράς με περίοδο ένα έτος. Υφίσταται σε μεγάλο αριθμό κοινωνικο-οικονομικών αλλά και περιβαλλοντικών χρονολογικών σειρών (π.χ. εισπράξεις από τουριστικές υπηρεσίες, συγκεντρώσεις CO στην ατμόσφαιρα κλπ.). Η άρρυθμη ή μη συστηματική συνιστώσα (θόρυβος) εκφράζει το συνολικό αποτέλεσμα μη συστηματικών παραγόντων. Ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο στην ανάλυση χρονοσειρών σε μη παρατηρήσιμες συνιστώσες είναι η λεγόμενη φασματική ανάλυση. Μία χρονοσειρά μπορεί να παρασταθεί γραφικά ως προς το χρόνο. Θα μπορούσε όμως στον οριζόντιο άξονα να χρησιμοποιηθεί αντί του χρόνου η συχνότητα οπότε στον κατακόρυφο άξονα παριστάνεται η φασματική ισχύς. Έτσι προκύπτει το φάσμα της χρονοσειράς. Κάθε περιοδική κύμανση περιόδου Τ αντιστοιχεί σε συχνότητα 3
ν/τ, ή κυκλική συχνότητα ωπ/τ. Μία μη στάσιμη χρονοσειρά θα έχει φασματική ισχύ για ν 0. Στα πλαίσια του μαθήματος αυτού θα δοθεί μόνο μια πολύ γενική περιγραφή της μεθόδου μέσω και των σχημάτων που ακολουθούν. Άλλωστε η φασματική ανάλυση δεν είναι ευρέως διαδεδομένη στην ανάλυση οικονομικών δεδομένων. Για την αυστηρή αντιμετώπιση θεμάτων που σχετίζονται με την ανάλυση στατιστικών χρονοσειρών τα υποδείγματα που χρησιμοποιούνται λαμβάνουν υπόψη τους τη στοχαστική φύση των σειρών αυτών. Αυτό αποτελεί αντικείμενο του ιδιαίτερου κλάδου που αφορά τη μελέτη χρονολογικών σειρών. Στο κεφάλαιο λοιπόν αυτό θα μελετήσουμε κάποιες απλές μεθόδους προέκτασης, εξομάλυνσης, και εποχικής διόρθωσης χρονολογικών οικονομικών δεδομένων. Οι μέθοδοι αυτοί δε λαμβάνουν άμεσα υπόψη τους τη στοχαστική φύση των χρονοσειρών. Λέγοντας εξομάλυνση εννοούμε την απαλοιφή της άρρυθμης συνιστώσας, δηλαδή των υψηλής συχνότητας (βραχυχρόνιων) κυμάνσεων από τη χρονολογική σειρά, ενώ η εποχική διόρθωση αναφέρεται στην απαλοιφή της εποχικής συνιστώσας. 4.5 Απλά υποδείγματα προέκτασης. Αρχικά μελετώνται απλά υποδείγματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μία γρήγορη και προσεγγιστική πρόβλεψη με βάση τη παρελθούσα συμπεριφορά μίας χρονοσειράς που στο γράφημά της είναι εμφανής η ύπαρξη μίας ανοδικής ή καθοδικής τάσης. Τονίζεται ότι με αυτά τα υποδείγματα δεν γίνεται αναφορά στα αίτια ή στη φύση της τυχαιότητας της χρονοσειράς, δηλαδή δεν επιχειρείται η εύρεση των χαρακτηριστικών της στοχαστικής διαδικασίας που είναι υπεύθυνη για την εξέλιξη της χρονοσειράς. Σε γενικές γραμμές, τα υποδείγματα αυτά αφορούν τεχνικές προέκτασης (expolion) που έχουν γίνει βασικά εργαλεία πρόβλεψης για συναλλαγές στην οικονομία και προβλέψεις στις επιχειρήσεις εδώ και χρόνια. Αν και συνήθως, δεν παρέχουν τόσο μεγάλη ακρίβεια πρόβλεψης όπως τα σύγχρονα στοχαστικά υποδείγματα χρονοσειρών, συχνά παρέχουν ένα απλό, φθηνό και κατά προσέγγιση αποδεκτό εργαλείο για πρόβλεψη. 4
Πολύ συχνά τα οικονομικά δεδομένα που συναντώνται δεν είναι σε συνεχή χρόνο, αντίθετα αποτελούνται από διακριτές παρατηρήσεις σε ισαπέχοντα χρονικά διαστήματα. Μια τέτοια χρονοσειρά παριστάνεται γραφικά στο σχήμα που ακολουθεί. Σχήμα 4. Γραφική παράσταση υποθετικής χρονοσειράς με μεταβαλλόμενη αυξητική τάση. Στο σχήμα φαίνεται και μία πρόχειρη προσαρμογή με βάση το εκθετικό υπόδειγμα (βλ. παρακάτω) Οι τιμές μιας χρονοσειράς Υ δηλώνονται ως, έτσι ώστε να είναι η πρώτη παρατήρηση, η δεύτερη παρατήρηση, και η τελευταία παρατήρηση για την σειρά. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειωθεί ότι το μπορεί να υποδηλώνει τόσο τη χρονοσειρά, όσο και τις τιμές της. Όμως, προς αποφυγή συγχύσεως, τις περισσότερες φορές στο παρόν η χρονοσειρά θα συμβολίζεται με Υ. Έστω τώρα ότι επιθυμούμε να δημιουργηθεί ένα υπόδειγμα για τη χρονοσειρά Υ και να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει τη σειρά μετά την παρατήρηση. Η πρόβλεψη μιας περιόδου θα συμβολίζεται ως, δύο περιόδων ως ˆ, και l περιόδων ως ˆ l. Αν ο αριθμός των παρατηρήσεων δεν είναι πολύ ˆ 5
μεγάλος, η απλούστερη και πιο πλήρης αναπαράσταση της Υ, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα, δίνεται από ένα πολυώνυμο βαθμού Τ-. Για παράδειγμα η Υ μπορεί να περιγραφεί από μια συνεχή συνάρτηση του χρόνου f ( ), όπου: n f ( ) n και 0 Ένα τέτοιο πολυώνυμο (αν τα n () i είναι σωστά επιλεγμένα) θα περνάει από κάθε σημείο της χρονοσειράς. Επομένως, μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι η f θα ισούται με μια πρόβλεψη της για κάθε από πραγματικής μελλοντικής τιμής;,,. Όμως πως μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι που προκύπτει από τη ( ) Για παράδειγμα, η πρόβλεψη μιας περιόδου ( ) f θα είναι στην περιοχή της ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ˆ f πόσο κοντά είναι στην πραγματική μελλοντική τιμή ; Δυστυχώς, δεν έχουμε τρόπο για να απαντήσουμε αυτήν την ερώτηση χωρίς επιπρόσθετη εκ των προτέρων πληροφορία. Η δυσκολία με το υπόδειγμα της εξίσωσης () είναι ότι δεν περιγράφει την Υ αλλά απλώς την αναπαράγει μέχρι το παρόν. Δε συγκεντρώνει χαρακτηριστικά της Υ που θα μπορούσαν να επαναληφθούν στο μέλλον. Επομένως, αν και η f ( ) προσαρμόζεται τέλεια στα εμπειρικά δεδομένα μας, είναι ένα υπόδειγμα με χαμηλή αξία για πρόβλεψη. Μπορούμε όμως να δημιουργήσουμε προσεγγιστικά υποδείγματα προέκτασης, αν εκμεταλλευτούμε κάποια εμφανή χαρακτηριστικά μιας χρονοσειράς, εφόσον τέτοια χαρακτηριστικά υπάρχουν. Για παράδειγμα αν από την οπτική παρατήρηση του γραφήματος της χρονοσειράς φαίνεται να υπάρχει μία έντονη μακροχρόνια τάση, τότε είναι δυνατό να κατασκευασθεί ένα υπόδειγμα που να περιγράφει αυτή την τάση και, κατ επέκταση, να χρησιμοποιηθεί για την προσεγγιστική προέκταση της χρονοσειράς. Δηλαδή με την προσέγγιση αυτή θεωρούμε μόνο τη συνιστώσα της μακροχρόνιας τάσης και αγνοούμε όλες τις υπόλοιπες συνιστώσες. Το απλούστερο από τα υποδείγματα αυτής της μορφής είναι το υπόδειγμα της γραμμικής τάσης: f() c c 6
όπου ο χρόνος και η τιμή της στο χρόνο. Συνήθως το επιλέγεται έτσι ώστε να ισούται με μηδέν στην περίοδο αναφοράς (πρώτη παρατήρηση) και να αυξάνεται κατά μία μονάδα για κάθε διαδοχική περίοδο. Για παράδειγμα, αν οριστεί από παλινδρόμηση ότι 50 4 μπορούμε να προβλέψουμε ότι η τιμή της στην περίοδο θα είναι 4 μονάδες υψηλότερη από τη προηγούμενη τιμή. Το παραπάνω είναι προφανές από το παρακάτω σχήμα: 70 68 66 64 6 60 58 56 54 5 50 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Σχήμα 4. Γραμμική τάση Εναλλακτικά μπορούμε να υποθέσουμε ότι η σειρά Υ αναπτύσσεται με σταθερό ποσοστό αύξησης αντί να αυξάνεται κατά σταθερό ποσό. Αυτή η υπόθεση ικανοποιείται όταν η ακολουθεί μια καμπύλη εκθετικής αύξησης: ( ) f Ae 7
400 350 300 50 00 50 00 50 0 0 0.5.5.5 3 Σχήμα 4.3 Εκθετική τάση. Πράγματι έχουμε: Επί τοις εκατό μεταβολή μεταξύ χρονικών στιγμών και Ae Ae Ae ( e ) e Ae Ae 3 e και για << e και επομένως η 3! ( ) Όμως:... ποσοστιαία μεταβολή μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά ίση με. Εδώ τα A και θα μπορούσαν να έχουν επιλεχθεί έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η προσαρμογή της f ( ) στην. Μια προέκταση για μια περίοδο θα δίνονταν από τον τύπο: ( ) ˆ Ae () και μια προέκταση για την παρατήρηση που βρίσκεται Κ περιόδους μετά την παρούσα παρατήρηση θα δίνονταν από το τύπο: ( K ) ˆ K Ae. 8
Οι παράμετροι A και μπορούν να εκτιμηθούν λαμβάνοντας τους λογαρίθμους και στα δύο μέλη της () και προσαρμόζοντας μία λογαριθμική γραμμική εξίσωση παλινδρόμησης: όπου c log( A) και c. Επομένως τα Α και εκτιμώνται από τη σταθερά και την κλίση αντίστοιχα της παλινδρόμησης με εξαρτημένη μεταβλητή lny και ανεξάρτητη μεταβλητή το χρόνο. Εφαρμογή: Να δείξετε ότι η ημερήσιες αποδόσεις των χρηματιστηριακών τιμών των μετοχών μπορούν εκφρασθούν και ως οι λογαριθμικές διαφορές των τιμών. Μια τρίτη μέθοδος προέκτασης βασίζεται στα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα τάσης:. c c ( ) c c log Ένα τέτοιο υπόδειγμα φαίνεται γραφικά για διάφορες τιμές του c στο σχήμα που ακολουθεί: Σχήμα 4.4 Τάση με βάση αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα Μια παραλλαγή αυτού του υποδείγματος είναι το λογαριθμικό αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα τάσης : ( ) c c log( ), 0 log > 9
Αν το c τίθεται ίσο με μηδέν, η τιμή του c είναι ο σύνθετος ρυθμός της σειράς και γενικότερα το c παριστάνει το πόσο κατά μέσο όρο θα μεταβληθεί ποσοστιαία η όταν η ποσοστιαία μεταβολή της γίνει μονάδα. Δηλαδή, d ( log( )) d ( log( )) d d d c. d Και τα τέσσερα υποδείγματα που περιγράφτηκαν πιο πάνω χρησιμοποιούνται συχνά ως ένα απλό μέσο προέκτασης. Εναλλακτικά υποδείγματα μπορούν να αναπτυχθούν κάνοντας τη συνάρτηση ελαφρώς πιο πολύπλοκη. Ως παραδείγματα, εξετάζονται δύο άλλα υποδείγματα προέκτασης: το υπόδειγμα τάσης δευτέρου βαθμού και η καμπύλη σιγμοειδούς αύξησης. Το υπόδειγμα τάσης δευτέρου βαθμού είναι μία απλή επέκταση του γραμμικού υποδείγματος τάσης και απλώς προσθέτει έναν ακόμη όρο με το : c c3 c Αν c και c είναι και τα δύο θετικά, η είναι πάντα αύξουσα, αν και τα δύο είναι 3 αρνητικά, η πάντα θα μειώνεται. Σημειώνεται ότι ακόμα και αν τα δεδομένα δείχνουν ότι η είναι γενικά αύξουσα στο χρόνο αυτό μπορεί να οφείλεται σε μια θετική τιμή για το c 3 και μια αρνητική τιμή για το c. Αυτό μπορεί να συμβεί επειδή τα δεδομένα συνήθως καλύπτουν μόνο ένα μέρος της τάσης. Τα παραπάνω επεξηγούνται από το παρακάτω σχήμα: 0
Σχήμα 4.5 Παραβολικές τάσεις Τέλος, ένα κάπως πιο πολύπλοκο υπόδειγμα τάσης είναι αυτό της σιγμοειδούς καμπύλης. Υπάρχουν διάφοροι τύποι τέτοιων υποδειγμάτων και χρησιμοποιούνται όταν η αύξηση σχετίζεται θετικά με το υπάρχον απόθεμα και αρνητικά με την απόσταση από τον κορεσμό. Τέτοια υποδείγματα έχουν εφαρμογή για την περιγραφή των πωλήσεων κάτω από ορισμένες συνθήκες, κλπ. Ένα απλό υπόδειγμα αυτής της μορφής είναι το: όπου, σταθερές. exp Αν λογαριθμήσουμε και τα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης, έχουμε μια εξίσωση που είναι γραμμική ως προς τις παραμέτρους και μπορεί να εκτιμηθεί με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων: ln( ). Τα αντίστοιχο γράφημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα όπου γίνεται και σύγκριση με τη λεγόμενη λογιστική καμπύλη για διαφορετικές τιμές των παραμέτρων της.
7 6 exp(-/) 5 logisic 0<b< 4 3 logisic b> 0 0 50 00 50 00 50 Σχήμα 4.6 Τάσεις σύμφωνα με τη σιγμοειδή ή τη λογιστική καμπύλη Οι απλές μέθοδοι όπως αυτές που περιγράψαμε παραπάνω, συχνά αποτελούν τη βάση για ανεπίσημες μακροχρόνιες προβλέψεις μη στάσιμων χρονοσειρών και για χρονικές στιγμές που βρίσκονται αρκετές περιόδους μετά την τελευταία γνωστή παρατήρηση. Αν και μπορεί να είναι χρήσιμες ως ένας τρόπος γρήγορης δημιουργίας αρχικών προβλέψεων, συνήθως παρέχουν προβλέψεις με μικρή ακρίβεια. Παράδειγμα 4. Σύγκριση προβλέψεων πωλήσεων πολυκαταστημάτων με απλά υποδείγματα προέκτασης (από «Economeic Models nd Economic Foecss hid ediion, των Pindc nd Rubinfeld, σελ. 43-45.
4.6 Προέκταση με υποδείγματα αστάθμιστων και εκθετικά σταθμισμένων κινητών μέσων. Μια άλλη τάξη αιτιοκρατικών υποδειγμάτων που συχνά χρησιμοποιούνται για προέκταση χρονολογικών οικονομικών σειρών αποτελούν τα λεγόμενα υποδείγματα κινητού μέσου. Ως ένα απλό παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να προβλέψουμε μια μηνιαία χρονοσειρά. Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε ένα υπόδειγμα της f. Τότε μια πρόβλεψη μιας περιόδου θα μορφής: ( ) ( ). Τέτοια υποδείγματα είναι χρήσιμα όταν πιστεύουμε ότι μια πιθανή τιμή για τον επόμενο όρο μιας χρονοσειράς είναι ένας απλός μέσος όρος των τελευταίων δίνονταν από το τύπο: ˆ ( ) δώδεκα τιμών της. Ίσως όμως είναι μη ρεαλιστικό να υποθέσουμε ότι μια καλή πρόβλεψη της μπορεί να δοθεί από έναν απλό μέσο των παρελθουσών τιμών της. Είναι συχνά πιο λογικό τιμές της χρονικά πιο κοντινές σε μια μελλοντική παρατήρηση αναφοράς να παίζουν πιο σημαντικό ρόλο, από τις πιο απομακρυσμένες χρονικά τιμές. Σε μια τέτοια περίπτωση στις πιο πρόσφατες τιμές θα έπρεπε να δίνεται μεγαλύτερη βαρύτητα. Ένα απλό υπόδειγμα που εκφράζει την παραπάνω σκέψη είναι το σταθμισμένο υπόδειγμα εκθετικού κινητού μέσου (exponenill weighed moving vege model, EWMA) το οποίο έχει τη μορφή: ˆ 0 ( ) ( ) ( ) 3 εδώ το είναι ένας αριθμός μεταξύ του 0 και του που δείχνει πόσο περισσότερο βάρος δίνεται στις πρόσφατες τιμές σε σχέση με τις περισσότερο απομακρυσμένες προς το παρελθόν. Για, για παράδειγμα, η πρόβλεψη που γίνεται είναι η ˆ στην οποία αγνοούνται οποιεσδήποτε τιμές της που συνέβησαν πριν τη. Καθώς το γίνεται μικρότερο, δίνουμε μεγαλύτερη έμφαση στις πιο απομακρυσμένες τιμές. Παρατηρείστε ότι η εξίσωση (3) παριστάνει έναν πραγματικό μέσο, αφού 0 ( ) ( ) (3)
4 και επομένως οι σταθμίσεις αθροίζουν στην μονάδα. Όμως με τέτοιου είδους υποδείγματα εμφανίζεται το εξής πρόβλημα: αν μια σειρά έχει μια ανοδική (καθοδική) τάση τότε το EWMA θα υποεκτιμά (υπερεκτιμά) τις μελλοντικές τιμές της. Αυτό συμβαίνει, αφού το υπόδειγμα σταθμίζει τις παρελθούσες τιμές της ώστε να δώσει μια πρόβλεψη. Αν η μειώνεται σταθερά, η πρόβλεψη του υποδείγματος EWMA για τη θα είναι επομένως μικρότερη από την πιο πρόσφατη τιμή, και αν η σειρά μεγαλώνει σταθερά, η ˆ θα είναι μια υποεκτίμηση της αληθινής τιμής της. Επομένως θα πρέπει να απαλειφθεί οποιαδήποτε τάση από τα δεδομένα πριν χρησιμοποιηθεί το υπόδειγμα EWMA. Στη συνέχεια και αφού γίνει η πρόβλεψη για τα δεδομένα χωρίς την τάση, προστίθεται και πάλι η συνιστώσα της τάσης ώστε να παραχθεί η τελική πρόβλεψη. Αν θέλουμε να κάνουμε μια πρόβλεψη ˆ Κ περιόδων χρησιμοποιώντας ένα, υπόδειγμα EWMA, η εξίσωση (3) μπορεί να τροποποιηθεί ώστε να περιέχει ένα σταθμικό μέσο των πιο πρόσφατων προβλέψεων ˆ,, ˆ, ˆ. Αυτή η λογική επέκταση υποδείγματος EWMA δίνεται από τη σχέση: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Για παράδειγμα, έστω μια πρόβλεψη δύο περιόδων (κ), η οποία θα μπορούσε να δοθεί από τη σχέση: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ˆ ˆ Επομένως η πρόβλεψη για δύο περιόδους είναι ίδια με την πρόβλεψη της μιας περιόδου. Γενικότερα αποδεικνύεται ότι και η πρόβλεψη σε περιόδους είναι η ίδια με αυτήν της μιας περιόδου. ˆ
Οι προβλέψεις με υποδείγματα κινητού μέσου είναι όλες προσαρμοστικές προβλέψεις. Με τον όρο προσαρμοστικές εννοούμε ότι αυτές αυτόματα προσαρμόζονται από μόνες τους στα πιο πρόσφατα διαθέσιμα δεδομένα. Αν και τα υποδείγματα κινητού μέσου που περιγράφονται παραπάνω είναι σίγουρα χρήσιμα, δεν παρέχουν πληροφορίες για το διάστημα εμπιστοσύνης της πρόβλεψης. Ο λόγος για αυτό είναι ότι δεν χρησιμοποιείται παλινδρόμηση για να εκτιμήσει το υπόδειγμα, και έτσι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τυπικά σφάλματα, ούτε μπορούμε να περιγράψουμε ή να εξηγήσουμε τη στοχαστική συνιστώσα της χρονοσειράς. Είναι όμως αυτή η στοχαστική συνιστώσα που δημιουργεί το σφάλμα στις προβλέψεις μας. Αν δε λαμβάνεται υπόψη από το υπόδειγμα, πολύ λίγα μπορούν να λεχθούν για τα σφάλματα πρόβλεψης. 4.7 Τεχνικές εξομάλυνσης χρονολογικών οικονομικών δεδομένων (αστάθμιστοι κεντρικοί και μη κεντρικοί κινητοί μέσοι, απλή και διπλή εκθετική εξομάλυνση, μέθοδος Hol). Οι τεχνικές εξομάλυνσης παρέχουν ένα μέσο απαλοιφής ή τουλάχιστον μείωσης της μεταβλητότητας των βραχυχρόνιων (υψηλής συχνότητας) κυμάνσεων σε μια χρονολογική σειρά. Στην πραγματικότητα αυτό που επιτυγχάνεται με μια τέτοια εξομάλυνση είναι να απαλειφθεί η άρρυθμη συνιστώσα από τη χρονοσειρά. Κάτι τέτοιο είναι χρήσιμο, καθώς με τον τρόπο αυτό καθίσταται ευκολότερο να διακρίνουμε τάσεις και κυκλικές-εποχικές κυμάνσεις. Στην προηγούμενη παράγραφο συζητήθηκαν τα υποδείγματα κινητού μέσου (απλά και εκθετικά σταθμισμένα ) στο πλαίσιο της πρόβλεψης. Τα υποδείγματα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για την εξομάλυνση οικονομικών χρονοσειρών. Για παράδειγμα, ένας από τους απλούστερους τρόπους για εξομάλυνση μιας σειράς είναι να πάρουμε ένα n περιόδων απλό κινητό μέσο. Δηλώνοντας την αρχική σειρά με και την εξομαλυνόμενη σειρά με ~, έχουμε: 5
~ n ( ) n φυσικά όσο το n είναι πιο μεγάλο τόσο πιο λεία θα είναι η νέα σειρά που θα προκύψει. Ένα πρόβλημα με τα παραπάνω υποδείγματα εξομάλυνσης με απλό κινητό μέσο είναι ότι χρησιμοποιούν μόνο παρελθούσες και παρούσες τιμές της δημιουργήσουν την τιμή της για να ~. Αυτό το πρόβλημα εύκολα διορθώνεται χρησιμοποιώντας ένα κεντρικό (cenl) κινητό μέσο στον οποίο το πλήθος των όρων είναι συνήθως περιττό. Για παράδειγμα, ένας πέντε περιόδων κεντρικός κινητός μέσος δίνεται από τη σχέση: ~ 5 ( ) Η εκθετική εξομάλυνση απλά εμπλέκει τη χρήση του εκθετικά σταθμισμένου κινητού μέσου για εξομάλυνση (υπενθυμίζεται ότι αυτό το υπόδειγμα δίνει μεγαλύτερο βάρος στις πλέον πρόσφατες τιμές της δίνεται από τη σχέση: ~ ( ) ( ) ). Η σειρά ~ που προκύπτει επίσης ισχύει ότι ~ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 και επομένως από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει η αναδρομική σχέση: ~ ~ ( ) με τη χρήση της οποίας υπολογίζεται το ~. Σημειώνεται ότι όσο πιο κοντά το πλησιάζει στη μονάδα, τόσο μεγαλύτερη βαρύτητα δίνεται στην παρούσα τιμή για τη δημιουργία της ~. Επομένως μικρότερες τιμές του α παρέχουν μια πιο λεία σειρά. Μερικές φορές όμως είναι επιθυμητό να επιτύχουμε έντονη εξομάλυνση χωρίς να δοθεί μεγάλο βάρος σε πιο 6
απομακρυσμένες χρονικά τιμές. Σε μία τέτοια περίπτωση η χρήση του αναδρομικού τύπου με μία μικρή τιμή του δεν ενδείκνυται. Αντί αυτού μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος της λεγόμενης διπλής εκθετικής εξομάλυνσης. Όπως υπονοεί και το όνομα της, η απλά εξομαλυνόμενη σειρά ~, εξομαλύνεται και πάλι: ( ) ~ ~ ~ και με αυτό τον τρόπο μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια μεγαλύτερη τιμή του, επομένως να μη δίνεται μεγάλη βαρύτητα σε απομακρυσμένες παρατηρήσεις, αλλά παρόλα αυτά η τελική σειρά ~ να είναι λεία σε μεγάλο βαθμό. Τροποποίηση του απλού υποδείγματος εκθετικής εξομάλυνσης μιας παραμέτρου αποτελεί το υπόδειγμα του Ηol δύο παραμέτρων το οποίο εμπεριέχει και διόρθωση για τις μεταβολές στη μακροχρόνια τάση: ~ ~ ( )( ~ ) ( ~ γ ~ ) ( γ ) Η εξομάλυνση επιτυγχάνεται με τις παραπάνω δύο αναγωγικές εξισώσεις και εξαρτάται από δύο παραμέτρους α,γ με 0<α,γ. Όσο μικρότερη είναι η τιμή των παραμέτρων αυτών, τόσο εντονότερη είναι η εξομάλυνση. Η είναι μια χρονοσειρά που εξομαλύνεται σύμφωνα με τη δεύτερη εξίσωση και παριστάνει το μέσο ρυθμό αύξησης της σειράς ~. Παράδειγμα 4.: Άδειες για νέες κατοικίες (από «Economeic Models nd Economic Foecss hid ediion, των Pindc nd Rubinfeld, σελ. 430-43). 7
4.8 Εφαρμογές κινητών μέσων στην τεχνική ανάλυση μετοχών και χρηματοοικονομικών παραγώγων. Η λεγόμενη τεχνική ανάλυση αποτελεί ένα σύνολο κανόνων βάσει των οποίων προσδιορίζονται οι κατάλληλες στιγμές για αγορά ή πώληση οποιουδήποτε περιουσιακού στοιχείου διαπραγματεύεται σε οργανωμένη αγορά. Τέτοια περιουσιακά στοιχεία δυνατόν να είναι για παράδειγμα μετοχικές αξίες, συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης επί μετοχών, δεικτών, εμπορευμάτων, ισοτιμιών, κλπ. Η δημιουργία αυτών των κανόνων, που μέχρι πρόσφατα στερούνταν αυστηρής μαθηματικής θεμελίωσης και στηρίζονταν κυρίως στην μελέτη των διαγραμμάτων των τιμών και του όγκου των συναλλαγών, οφείλεται κυρίως σε ανθρώπους της αγοράς, χωρίς ουσιαστική συμβολή της ακαδημαϊκής κοινότητας μέχρι τουλάχιστον τα τέλη της δεκαετίας του 80. Τα μέλη της τελευταίας, μέχρι και την δεκαετία του 80, στη συντριπτική τους πλειοψηφία, πίστευαν αυτό στο οποίο κατέληγε και η μεγάλη πλειοψηφία των στατιστικών μελετών πάνω σε χρηματιστηριακές τιμές που δημοσιεύονταν στα διεθνή επιστημονικά περιοδικά: ότι δηλαδή οι τιμές, με λίγες εξαιρέσεις, ενσωματώνουν πλήρως όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες. Μία τέτοια αγορά (στην οποία οι χρηματιστηριακές τιμές ενσωματώνουν πλήρως όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες) ονομάζεται αποτελεσματική (efficien me). Μάλιστα η αποτελεσματικότητα διαβαθμίζεται ανάλογα με το είδος των διαθέσιμων πληροφοριών. Με βάση τον πλέον κλασσικό τρόπο κατηγοριοποίησης των πληροφοριών η αγορά διαβαθμίζεται ως προς την αποτελεσματικότητα ως εξής: ) Αποτελεσματική κεφαλαιαγορά ασθενούς ισχύος (we fom me efficienc). Για αυτή τη βαθμίδα αποτελεσματικότητας το σύνολο των πληροφοριών αποτελούν οι παρελθούσες (ιστορικές) τιμές των αξιογράφων. ) Αποτελεσματική κεφαλαιαγορά μέσης ισχύος (semi-song fom me efficeinc). Γι' αυτή τη βαθμίδα αποτελεσματικότητας το σύνολο των πληροφοριών αποτελείται από κάθε δημοσιευμένη πληροφορία (π.χ. λογιστικές καταστάσεις, ανακοινώσεις στον οικονομικό τύπο κλπ). 3) Αποτελεσματική κεφαλαιαγορά υψηλής ισxύος (song fom me efficienc). Γι' αυτή τέλος τη βαθμίδα το σύνολο των πληροφοριών συνίσταται στην κάθε είδους εσωτερική πληροφόρηση. Κατά τους Elon nd Gube (995) αν καταδειχθούν έκτακτα κέρδη σε μία συγκεκριμένη ομάδα συναλλασσόμενων (πχ. 8
διαχειριστές αμοιβαίων κεφαλαίων), δεν είναι δυνατό να συμπεράνει κανείς αν τα κέρδη αυτά προέρχονται από εσωτερική πληροφόρηση, ή καλύτερη αξιοποίηση δημοσιευμένων πληροφοριών. Για το λόγο αυτό προτείνουν όπως το πληροφοριακό σύνολο για την περίπτωση αυτή περιλαμβάνει τόσο τη δημόσια όσο και την ιδιωτική πληροφόρηση. Με βάση τα παραπάνω, αν ίσχυε η υπόθεση της αποτελεσματικής αγοράς ασθενούς ισχύος η τεχνική ανάλυση θα ήταν εντελώς άχρηστη! Το έναυσμα για την αναζωπύρωση του ενδιαφέροντος για την τεχνική ανάλυση αποτέλεσε το χρηματιστηριακό κραχ της 9 ης Οκτωβρίου 987. Οι άνθρωποι της αγοράς στράφηκαν ακόμη περισσότερο προς την τεχνική ανάλυση αναζητώντας τρόπους προστασίας των χρηματιστηριακών επενδύσεων από παρόμοιες καταστάσεις στο μέλλον. Όμως, έστω και σε μικρότερο βαθμό, το ίδιο έγινε και με μία μερίδα της ακαδημαϊκής κοινότητας, καθώς έγινε αντιληπτό ότι ένα φαινόμενο σαν το χρηματιστηριακό κραχ είναι έντονα μη γραμμικό και επομένως δεν μπορεί να αντιμετωπισθεί με το διαθέσιμο οπλοστάσιο των γνωστών γραμμικών υποδειγμάτων. Η εικασία ότι οι μέθοδοι της τεχνικής ανάλυσης είναι πιθανό να ενσωματώνουν με εμπειρικό τρόπο τη μη γραμμική φύση των διακυμάνσεων των τιμών δεν ήταν δυνατόν να απορριφθεί, τουλάχιστον χωρίς να εξετασθεί, καθώς μέχρι τότε πολλοί από τους στατιστικούς ελέγχους της αποτελεσματικότητας της αγοράς στηρίζονταν σε γραμμικά υποδείγματα. Το 99 ο Nefci (Jounl of Business vol. 64(4) 549-57) χρησιμοποιώντας τη στασιαστική έννοια των χρόνων Mov, έδειξε ότι αν τα σήματα αγοράς και πώλησης που δίνει ένας κανόνας αγοραπωλησίας είναι χρόνοι Mov, τότε ο κανόνας είναι από μαθηματικής πλευράς αποδεκτά ορισμένος, είναι εφικτό να εκφρασθεί ποσοτικά και να ελεγχθεί η προβλεπτική του ικανότητα. Ένας τέτοιος κανόνας, (όπως αποδεικνύει ο Nefci, 99) είναι αυτός των κινητών μέσων. Σύμφωνα με τον κανόνα αυτό, τα σημεία τομής της καμπύλης ενός μη κεντρικού κινητού μέσου (non ceneed moving vege) των τιμών, με την καμπύλη που ενώνει τις διαδοχικές τιμές αποτελούν σήματα αγοράς ή πώλησης. Η φιλοσοφία του κανόνα μπορεί, εν μέρει, να ερμηνευτεί με τον ακόλουθο τρόπο: Η τεχνική ανάλυση πιστεύει ότι οι τιμές ακολουθούν την κίνηση προς μία ορισμένη κατεύθυνση έως ότου κάτι συμβεί και αλλάξει η κατεύθυνση αυτή. Άρα οι αγορές θα κινούνται ανοδικά, καθοδικά, ή θα έχουν «πλευρική» κατεύθυνση, δηλ. θα κινούνται 9
μέσα σε μία οριζόντια ζώνη. Αν η χρονοσειρά των τιμών ακολουθούσε καθοδική κίνηση και σταδιακά αρχίζει να κινείται ανοδικά δημιουργώντας μία ανοδική τάση, τότε ένας μη κεντρικός κινητός μέσος, ενώ όσο διαρκούσε η καθοδική κίνηση σταθερά θα υπερεκτιμούσε τις τιμές, λίγο (το πόσο «λίγο» εξαρτάται από το μήκος του) μετά την έναρξη της ανοδικής τάσης θα τις υποεκτιμά. Άρα κάποια στιγμή λίγο μετά την αναστροφή της τάσης, η γραμμή που συνδέει τις τιμές μεταξύ τους θα τμήσει εκ των κάτω την καμπύλη που παριστάνει τον κινητό μέσο. Με αυτό τον τρόπο δίνεται ένα σήμα αγοράς καθώς το σημείο τομής αποτελεί την ένδειξη αντιστροφής της ανοδικής τάσης. Σκεπτόμενοι με ανάλογο τρόπο, όταν η γραμμή που συνδέει τις τιμές τμήσει την καμπύλη του κινητού μέσου εκ των άνω, αυτό θα είναι σήμα πώλησης, καθώς θα σημαίνει την έναρξη μιας καθοδικής τάσης. Οι κανόνες αυτοί ισχύουν τόσο για τις τιμές των μετοχικών αξιών, όσο και για τις τιμές των παραγώγων χρηματοοικονομικών προϊόντων. Γενικεύοντας τα παραπάνω θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει δύο κινητούς μέσους διαφορετικού μήκους, οπότε στην περίπτωση αυτή τα σήματα αγοράς ή πώλησης θα είναι τα σημεία τομής των δύο κινητών μέσων. Πιο συγκεκριμένα οι κανόνες αγοραπωλησίας μπορούν να ορισθούν με τον ακόλουθο τρόπο: Ορίζουμε δύο κινητούς μέσους, έναν μεγαλύτερου και έναν μικρότερου μήκους (MAL και MAS αντίστοιχα) ως εξής: MAL N N ( P s s 0 M M ( P s s 0 MAS με Ν>Μ και: D ΜAL -MAS ) ) Η D παριστάνει τη διαφορά μεταξύ των δύο κινητών μέσων, του συγκριτικά πιο μακροχρόνιου (ΜΑL) και του συγκριτικά πιο βραχυχρόνιου (MAS). Οι χρόνοι τ i των σημάτων αγοραπωλησιών μπορούν να ορισθούν με τη συνθήκη D. D - <0, εφόσον είναι γνωστό το πρόσημο της D για χρόνο (αρχική συνθήκη). Οι κανόνες αγοραπωλησίας που συζητήθηκαν παραπάνω χρησιμοποιούν μη κεντρικούς κινητούς μέσους και εκμεταλλεύονται τη χρονική υστέρηση με την οποία 0
εμφανίζονται τα σημεία καμπής στους κινητούς μέσους σε σχέση με την καμπύλη των τιμών. Αντίθετα οι κεντρικοί κινητοί μέσοι, δεν εμφανίζουν υστέρηση σε σχέση με την καμπύλη των τιμών και χρησιμοποιούνται για την ανάδειξη «κύκλων» στις διακυμάνσεις των τιμών. Τα σχήματα που ακολουθούν βοηθούν ώστε να κατανοηθούν καλύτερα τόσο η διαφορά μεταξύ ενός μη κεντρικού και ενός κεντρικού κινητού μέσου, όσο και οι κανόνες αγοραπωλησίας. Κεντρικός και μη κεντρικός κινητός μέσος ίσου μήκους (3-εβδομάδες) σε κοινό διάγραμμα με τις τιμές.
Διάγραμμα ημερήσιων τιμών χαλκού (άνοιγμα, κλείσιμο, υψηλό, χαμηλό) και κινητοί μέσοι ημερών (κεντρικός στο πάνω σχήμα, μη κεντρικός στο κάτω)
Διάγραμμα ημερήσιων τιμών κλεισίματος και όγκου καθώς και κινητός μέσος 30 ημερών για την μετοχή της ΕΥΔΑΠ. 3
4