Μέθοδοι μιγαδικής ανάλυσης στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μέθοδοι μιγαδικής ανάλυσης στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων Διπλωματική εργασία για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ: Παναγιώτης-Χρήστος Μπρανίκας ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Δημήτρης Τσουμπελής ΠΑΤΡΑ 205

Ευχαριστίες Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στo πλαίσιo του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών, Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές, του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών υπό την επίβλεψη του Καθηγητή κ. Δημήτρη Τσουμπελή. Θα ήθελα από αυτή τη θέση να ευχαριστήσω όσους συνέβαλαν είτε άμεσα, είτε έμμεσα στην ολοκλήρωσή της. Πρώτα, θέλω να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου κ. Δημήτρη Τσουμπελή που μου πρότεινε να ασχοληθώ με ένα πολύ ενδιαφέρον αντικείμενο των Μαθηματικών. Οι εύστοχες, πάντα, παρατηρήσεις του, καθώς και η προθυμία με την οποία μου εξηγούσε τις μαθηματικές έννοιες και μεθόδους που χρειάστηκα στην επεξεργασία του συγκεκριμένου θέματος, με βοήθησαν σε ολόκληρη τη διάρκεια της εκπόνησης της εργασίας, αλλά και των μεταπτυχιακών μου σπουδών, γενικότερα. Η εκτίμηση που τρέφω προς το πρόσωπό του είναι απεριόριστη. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τα άλλα δύο μέλη της τριμελούς επιτροπής, τον Καθηγητή κ. Βασίλη Παπαγεωργίου και την Αναπληρώτρια Καθηγήτρια κ. Χρυσή Κοκολογιαννάκη, για τη συμβολή τους στην ολοκλήρωση της εργασίας. Ακόμη, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συμφοιτητές και φίλους μου για τη στήριξη και τη βοήθεια που μου έδωσαν όλα αυτά τα χρόνια. Τέλος, οφείλω ένα τεράστιο ευχαριστώ στους δικούς μου ανθρώπους. Στον πατέρα μου, που μέσα από διάφορες καταστάσεις, με έμαθε να εκτιμώ και να ξεχωρίζω τι αξίζει στη ζωή. Στη μητέρα μου, για την ηθική στήριξη που μου παρείχε και εξακολουθεί να μου παρέχει. Στην αδελφή μου, που μου δείχνε την αξία του να προχωράς με σταθερά βήματα.

Περίληψη H παρούσα διπλωματική εργασία, με τίτλο Μέθοδοι της Μιγαδικής Ανάλυσης στην Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, είναι αφιερωμένη στη μελέτη προβλημάτων αρχικών και συνοριακών τιμών για γραμμικές και ολοκληρώσιμες μη-γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, με τη χρήση βασικών εννοιών και θεωρημάτων της θεωρίας των μιγαδικών συναρτήσεων. Ειδικότερα, στο κύριο μέρος της εργασίας, μελετάμε την εξίσωση της διάχυσης, την κυματική εξίσωση, την εξίσωση Laplace, την εξίσωση Helmholt και την εξίσωση Κorteweg-de Vries (KdV). Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια σύντομη επισκόπηση των καθιερωμένων μεθόδων επίλυσης προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών που αφορούν τις πιο γνωστές γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής. Αναλυτικότερα, χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό Fourier για να λύσουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών για εξισώσεις εξέλιξης, αντιπροσωπευτικά παραδείγματα των οποίων είναι η εξίσωση της διάχυσης και η κυματική εξίσωση. Στη συνέχεια, ορίζουμε το πρόβλημα Dirichlet για την εξίσωση Laplace και κατασκευάζουμε τη συνάρτηση Green, μέσω της οποίας λύνουμε το παραπάνω πρόβλημα συνοριακών τιμών. Τέλος, δείχνουμε τον τρόπο με τον οποίο η μέθοδος Riemann οδηγεί στην επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών για μερικές διαφορικές εξισώσεις υπερβολικού τύπου στο επίπεδο. Το δεύτερο κεφάλαιο αφιερώνεται στο πρόβλημα Riemann-Hilbert, το οποίο ζητά τον προσδιορισμό μιας αναλυτικής μιγαδικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής που παρουσιάζει προκαθορισμένο άλμα κατά μήκος δοσμένης καμπύλης του μιγαδικού επίπεδου. Μελετάμε το βαθμωτό πρόβλημα Riemann-Hilbert για απλά και πολλαπλά συνεκτικά χωρία, καθώς επίσης και το πρόβλημα Riemann-Hilbert στην πραγματική ευθεία. Κλείνουμε με τη μελέτη του ομογενούς διανυσματικού προβλήματος Riemann-Hilbert για κλειστές καμπύλες. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε εφαρμογές του προβλήματος Riemann-Hilbert. Πιο συγκεκριμένα, συνδέουμε το πρόβλημα Riemann-Hilbert με τις ιδιόμορφες ολοκληρωτικές εξισώσεις με πυρήνα τύπου Cauchy, με το πρόβλημα Dirichlet για την εξίσωση Laplace στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου και του πάνω ημιεπίπεδου, καθώς και με το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση της διάχυσης. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται δείχνοντας συνοπτικά τη σύνδεση του διανυσματικού προβλήματος Riemann-Hilbert με τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης στην επίλυση της εξίσωσης KdV. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας μελετάμε μερικές διαφορικές εξισώσεις ελλειπτικού τύπου στο επίπεδο. Ορίζοντας τους τελεστές bar και d-bar, μετασχηματίζουμε τις εξισώσεις αυτού του τύπου σε μερικές διαφορικές εξισώσεις για συναρτήσεις δύο μιγαδικών μεταβλητών και, εφαρμόζοντας τη μέθοδο Riemann, κατασκευάζουμε αναπαραστάσεις των λύσεών τους. Χρησιμοποιώντας αυτές τις αναπαραστάσεις, δείχνουμε τη σύνδεση των ιδιόμορφων ολοκληρωτικών εξισώσεων με πυρήνα τύπου Cauchy με το πρόβλημα Dirichlet για μερικές διαφορικές εξισώσεις ελλειπτικού τύπου σε απλά συνεκτικές περιοχές.

Abstract The present diploma thesis, entitled Methods of Complex Analysis in Solving Partial Differential Equations, is devoted to the study of initial and boundary value problems for linear and integrable non-linear partial differential equations, by using basic concepts and theorems of the theory of complex functions. More specifically, in the main part of this thesis we study the heat equation, the wave equation, the Laplace equation, the Helmholt equation and the KdV equation. The first chapter is a brief survey of the usual methods of solving initial and boundary value problems regarding the best known linear partial differential equations of mathematical physics. To be more precise, we use the Fourier transform in order to solve initial value problems for equations describing processes of evolution, such as the heat equation and the wave equation. We then define the Drichlet problem for the Laplace equation and construct the Green function through which we solve the boundary value problem mentioned above. Finally, we show the way in which the Riemann method leads to the solution of initial value problems for hyperbolic partial differential equations in the plane. The second chapter is devoted to the Riemann-Hilbert problem, which amounts to the construction of a complex analytic function of one variable, which has a given jump discontinuity along of a given contour of the complex plane. We study the scalar Riemann- Hilbert problem for simply and multiply connected domains, as well as the Riemann-Hilbert problem for a jump discontinuity along the real axis. The chapter concludes with a discussion of the homogenous matrix Riemann-Hilbert problem for closed contours. In the third chapter, we present various applications of the Riemann-Hilbert problem. More precisely, we connect the Riemann-Hilbert problem with singular integral equations with Cauchy type kernel, the Dirichlet problem for the Laplace equation in the interior of the unit circle and the upper half plane, and with the initial value problem for the heat equation. This chapter is completed by briefly showing the connection between the matrix Riemann-Hilbert problem and the inverse scattering method in the solution of the KdV equation. In the fourth and final chapter of this thesis, we study elliptic partial differential equations in the plane. By defining the bar and d-bar operators, we transform this kind of equations to hyperbolic type equations for functions of two complex variables. Representations of solutions of the latter are constructed, by applying the Riemann method. Using these representations, we reveal the connection between the singular integral equations with Cauchy type kernel and elliptic partial differential equations in simple-connected domains.

Περιεχόμενα Ευχαριστίες... iii Περίληψη... v Abstract... vii Γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης.... Κατασκευή λύσεων για ΕΕ με τη χρήση του μετασχηματισμού Fourier....2 Το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση της διάχυσης... 3.3 Το πρόβλημα αρχικών τιμών για την κυματική εξίσωση...7.4 Η συνάρτηση Green για την εξίσωση Laplace στο επίπεδο... 0.5 Η μέθοδος Riemann για ΜΔΕ υπερβολικού τύπου... 23.5. Το πρόβλημα Cauchy για εξισώσεις υπερβολικού τύπου με σταθερούς συντελεστές... 23.5.2 Το πρόβλημα Cauchy για εξισώσεις υπερβολικού τύπου με μη-σταθερούς συντελεστές... 34 2 Το πρόβλημα Riemann-Hilbert... 4 2. Στοιχεία μιγαδικής ανάλυσης...... 43 2.2 Το πρόβλημα RH για απλά συνεκτικά χωρία... 56 2.2. Διατύπωση του προβλήματος RH... 56 2.2.2 Λύση του προβλήματος RH... 56 2.2.3 Λύση του ομογενούς προβλήματος RH... 57 2.2.4 Λύση του μη ομογενούς προβλήματος RH... 59 2.3 Το πρόβλημα RH στην πραγματική ευθεία... 64 2.4 Το πρόβλημα RH για πολλαπλά συνεκτικά χωρία... 65 2.4. Διατύπωση του προβλήματος RH... 65 2.4.2 Λύση του προβλήματος RH... 67 2.5 To διανυσματικό πρόβλημα RH... 70 3 Εφαρμογές του προβλήματος Riemann-Hilbert... 75 3. Ιδιόμορφες ολοκληρωτικές εξισώσεις... 75 3.. Βασικά θεωρήματα... 75 3..2 Αναγωγή ιδιόμορφων ολοκληρωτικών εξισώσεων στο πρόβλημα RH... 78 3..3 Λύση της ιδιόμορφης ολοκληρωτικής εξίσωσης... 82

x 3.2 Προβλήματα συνοριακών τιμών στο μιγαδικό επίπεδο... 87 3.2. Το πρόβλημα Dirichlet για τον μοναδιαίο κύκλο... 89 3.2.2 Το πρόβλημα Dirichlet για το πάνω ημιεπίπεδο... 92 3.3 Το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση της διάχυσης... 94 3.4 Το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση KdV... 0 4 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Ελλειπτικού Τύπου... 5 4. Η συνάρτηση Riemann για την ομογενή ΜΔΕ ελλειπτικού τύπου... 5 4.2 Λύσεις της ΜΔΕ ελλειπτικού τύπου σε απλά συνεκτικά χωρία... 24 4.3 ΜΔΕ ελλειπτικού τύπου με πραγματικούς συντελεστές... 30 4.4 Το πρόβλημα Dirichlet για ΜΔΕ ελλειπτικού τύπου σε απλά συνεκτικά χωρία 36 4.5 Κριτήρια επιλυσιμότητας του προβλήματος Dirichlet για ΜΔΕ ελλειπτικού τύπου... 45 Παράρτημα... 53 Βιβλιογραφία... 55

Γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης Σε αυτό το πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε ορισμένες από τις καθιερωμένες μεθόδους επίλυσης προβλημάτων αρχικών και συνοριακών τιμών για γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ). Ξεκινάμε με τη μέθοδο του μετασχηματισμού Fourier στην επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών για εξισώσεις εξέλιξης (ΕΕ), αντιπροσωπευτικά παραδείγματα των οποίων είναι η εξίσωση της διάχυσης και η κυματική εξίσωση. Συνεχίζουμε με τη μέθοδο της συνάρτησης Green για τη λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών για την εξίσωση Laplace και κλείνουμε με τη μέθοδο Riemann, μέσω της οποίας λύνεται το γενικότερο πρόβλημα αρχικών τιμών για κάθε ΜΔΕ υπερβολικού τύπου στο επίπεδο.. Κατασκευή λύσεων για ΕΕ με τη χρήση του μετασχηματισμού Fourier Πριν ξεκινήσουμε την περιγραφή της μεθόδου αξίζει να απαντήσουμε στο ερώτημα τι είναι μια εξίσωση εξέλιξης. Ορισμός.. Εξίσωση εξέλιξης (ΕΕ) είναι μια μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ) για μια άγνωστη συνάρτηση ux, t, n χωρικών μεταβλητών, x = x, x 2,..., x n και μιας χρονικής μεταβλητής t. Οι συγκεκριμένες ΜΔΕ έχουν τη μορφή u t = Fx, u, u x,..., u x n, u x x, u x x 2,..., u x xn, u x x x,... (.) Σημειώνουμε ότι με u t, u xi, i =, 2,..., n εννοούμε τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης της συνάρτησης ux, t, ως προς τις μεταβλητές t και x i, αντίστοιχα, με u xi x j, i, j =, 2,..., n τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης ως προς τις μεταβλητές x i x j, κ.λπ. Παρατήρηση.. Μια ΕΕ είναι μιας χωρικής διάστασης αν στην αντίστοιχη ΜΔΕ η χωρική μεταβλητή, x, έχει μια μόνο συνιστώσα. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να λύσουμε μια ομογενή γραμμική ΕΕ με σταθερούς συντελεστές για τη συνάρτηση ux, t. Επιπλέον, οι λύσεις αυτές θα πρέπει να ικανοποιούν την αρχική συνθήκη ux, 0 = f x, x œ R. (.2)

2 Μετασχηματίζουμε κατά Fourier τη συνάρτηση ux, t ως προς τη μεταβλητή που διατρέχει την πραγματική ευθεία, δηλαδή τη μεταβλητή x ù k, t := (.3) 2 π ux, t - kx x, - και το ίδιο κάνουμε για τις παραγώγους αυτής, εφαρμόζοντας τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier (βλ. [5], [22], [23], [24], [30]). Μετασχηματίζοντας τώρα την ΕΕ που θέλουμε να λύσουμε κατά Fourier θα καταλήξουμε σε μια συνήθη διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) για την ùk, t, η οποία βρίσκεται ολοκληρώνοντας την ΣΔΕ αυτή ως προς t, για κάθε t > 0. Η διαδικασία επίλυσης του προβλήματος ολοκληρώνεται χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της ùk, t ux, t = 2 π ùk, t  kx k, - και κάτω από προϋποθέσεις (που θα δούμε παρακάτω) καταλήγουμε στην ux, t. Συνοψίζοντας, έχουμε το παρακάτω σχήμα (.4) ux, 0 = f x Μετασχηματισμός Fourier ùk, 0 = f`k ux, t Αντίστροφος Μετ. Fourier ùk, t Σχήμα..: Μετασχηματισμός Fourier για μια ομογενή γραμμική ΕΕ με σταθερούς συντελεστές.

3.2 Το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση της διάχυσης Ας δούμε τώρα πώς μπορούμε να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Fourier για να βρούμε λύσεις της εξίσωσης της διάχυσης u t = u x x, στην περιοχή Ω := x, t œ R : t > 0, που ικανοποιούν την αρχική συνθήκη ux, 0 = f x, x œ R. Πριν ξεκινήσουμε την ανάλυσή μας είμαστε υποχρεωμένοι να κάνουμε ορισμένες βασικές υποθέσεις για την άγνωστη συνάρτηση ux, t: (i) Η u, καθώς και οι μερικές παράγωγοι u x, u x x και u t ως συναρτήσεις της μεταβλητής x, είναι συνεχείς και απόλυτα ολοκληρώσιμες. (ii) Οι ux, t, u x x, t τείνουν στο μηδέν, καθώς x Ø. (iii) Για κάθε t > 0, τα ολοκληρώματα (.5) (.6) - ux, t - kx x, - ut x, t - kx x, (.7) συγκλίνουν ομοιόμορφα ως προς t. Αυτό έχει ως συνέπεια την εναλλαγή του τελεστή παραγώγισης t με το ολοκλήρωμα, δηλαδή - ut x, t - kx x = t - ux, t - kx x. (.8) Λόγω των υποθέσεων (i), (ii) έχουμε ότι uxx x, t - kx x = u x - kx x=- - +Âk - ux x, t - kx x =  k - ux x, t - kx x = (.9)  k ux, t - kx x=- +Âk - ux, t - kx x =-k 2 - ux, t - kx x. Μετασχηματίζοντας κατά Fourier την (.5) και χρησιμοποιώντας την (.3) προκύπτει ότι 2 π ut x, t - kx x = - 2 π uxx x, t - kx x, - ή ù t k, t =-k 2 ùk, t. Η παραπάνω γραμμική ΣΔΕ πρώτης τάξης λύνεται εύκολα για να δώσει (.0) (.) ùk, t = ck -k2 t, (.2) όπου ck είναι σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία προσδιορίζεται από την αρχική συνθήκη (.6). Από την άλλη, η (.6) μετασχηματισμένη κατά Fourier είναι

4 ùk, 0 = f`k. (.3) Για t = 0, η (.2) γίνεται ùk, 0 = ck = f`k. (.4) Οπότε, έχουμε ότι ùk, t = f`k -k2 t. (.5) Το τελικό βήμα είναι να πάρουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της ùk, t και να επιστρέψουμε στην ux, t. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να κάνουμε την τελευταία υπόθεση για την u ώστε αυτή η αντίστροφη διαδικασία να είναι εφικτή: Η ux, t να ανήκει στην κλάση των συναρτήσεων του Schwart, S(R). Ορισμός.2. Μια συνάρτηση f είναι κλάσης Schwart αν: (i) Η f είναι κλάσης C R, δηλαδή είναι συνεχής, με συνεχείς παραγώγους κάθε τάξης και (ii) Για την f, καθώς και για κάθε τάξης παράγωγο αυτής f m, m œ N, ισχύει η σχέση x l f m x c lm, l, m œ N, (.6) δηλαδή οι συναρτήσεις f m x φθίνουν στο μηδέν ταχύτερα από κάθε αρνητική δύναμη του x. Τότε ux, t = 2 π ùk, t  kx k = - 2 π f`k -k 2 t  kx k. - (.7) Όμως, ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης f x δίνεται από τον τύπο f`k := 2 π f x - kx x. - (.8) Άρα, η (.7), μέσω της (.8) γίνεται ux, t = 2 π -k 2 t  k x-y f y y k. - - (.9) Αν η συνάρτηση f œ SR, τότε μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης στο παραπάνω ολοκλήρωμα και θα έχουμε ότι ux, t = 2 π - 2 π -k 2 t  k x-y k f y y. - (.20) Γνωρίζουμε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης f`k = -λ k2, λ > 0, k œ R, (.2)

5 είναι f x = -x2 4 λ, x œ R, 2 λ (βλ. [30]). Συνεπώς, το ολοκλήρωμα μέσα στην αγκύλη της (.20) είναι ίσο με 2 π -k 2 t  k x-y k = -x-y2 4 t. - 2 t Επομένως, η (.20) γίνεται (.22) (.23) ux, t = -x-y2 4 t 2 π - 2 t f y y, (.24) ή u x, t = - -x-y2 4 t 4 π t f y y (.25) Παρατήρηση.2. Η συνάρτηση Kx, t := -x2 4 t 4 π t ονομάζεται πυρήνας του Gauss και αποτελεί θεμελιακή λύση της εξίσωσης της διάχυσης (βλ. [5], [22], [23], [24], [30]). Παράδειγμα.2. Ως εφαρμογή παίρνουμε τη συνάρτηση f x = -x2, x œ R, η οποία είναι συνεχής και φραγμένη. Αντικαθιστώντας την παραπάνω συνάρτηση στον τύπο (.25) και υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα θα βρούμε τη λύση του ΠΑΤ για την εξίσωση της διάχυσης. Ωστόσο, μπορούμε να αποφύγουμε αυτούς τους περίπλοκους υπολογισμούς αν παρατηρήσουμε το εξής: Όπως είδαμε νωρίτερα, ο μετασχηματισμός Fourier της f x είναι f`k = -k2 4. Η αντικατάσταση της f` στην (.5) θα μας δώσει 4 t+ ùk, t = -k2 4. (.26) 2 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της ùk, t αποτελεί τη λύση του ΠΑΤ για την εξίσωση της διάχυσης, δηλαδή για λ = 4 t+, βρίσκουμε ότι 4 2

6 ux, t = -x2 4 t+ 4 t + (.27) Παρακάτω δείχνουμε τόσο το γράφημα της ux, t, όσο και τα στιγμιότυπά της για τις χρονικές στιγμές t = 0, 20, 30. Σχήμα.2.: Γράφημα της ux, t. 0.5 u 0.0 0.05-30 -20-0 0 20 30 x Σχήμα.2.2: Στιγμιότυπα της ux, t τις χρονικές στιγμές t = 0, 20, 30.

7.3 Το πρόβλημα αρχικών τιμών για την κυματική εξίσωση Στο παρόν εδάφιο θα ασχοληθούμε με το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΠΑΤ) με τις αντίστοιχες αρχικές συνθήκες Παρατήρηση.3. u tt - u x x = 0, x œ R, t > 0, ux, 0 = f x, u t x, 0 = gx, x œ R. (.28) (.29) Η κυματική εξίσωση (.28) δεν είναι της μορφής (.), διότι περιέχει τη δεύτερης τάξης παράγωγο u t. Συνεπώς, μπορεί κανείς να συμπεριλάβει την κυματική εξίσωση στις εξισώσεις εξέλιξης της μορφής (.) μόνο αν επεκταθεί στις διανυσματικές εξισώσεις αυτού του είδους. Ισοδύναμα, θα πρέπει κανείς να μιλήσει για συστήματα εξισώσεων της μορφής (.). Aς θεωρήσουμε, λοιπόν, την κυματική εξίσωση στη μορφή u tt = c 2 u xx + u yy + u. (.30) Για να τη φέρουμε στη μορφή διανυσματικής εξίσωσης εξέλιξης (συστήματος) εισάγουμε μια δεύτερη συνάρτηση, την vx, y,, t, θέτοντας Τότε η (.30) γίνεται u t = v. v t = c 2 u xx + u yy + u. (.3) (.32) Γενικότερα, ένα σύστημα εξισώσεων εξέλιξης για δύο άγνωστες συναρτήσεις είναι της μορφής u t = F x, u, v, u x,..., u x n, v x,..., v x n, u x x, u x x 2,..., v x x, v x x 2,..., v t = Gx, u, v, u x,..., u x n, v x,..., v x n, u x x, u x x 2,..., v x x, v x x 2,...,. (.33) Tέλος, ένα σύστημα m εξισώσεων εξέλιξης για τις m άγνωστες συναρτήσεις u = u, u 2,,u m είναι της μορφής όπου ή u t = Fx, u, u x,..., u x n, u 2 x, u x x 2,..., u m x m 2 x 2 mn xn, u m x m 2 x 2 mn xn = m +m 2 + +m n u x m x 2 m 2 xn m n. Μετασχηματίζοντας κατά Fourier τη ΜΔΕ (.28) θα έχουμε ότι 2 π utt - u xx - kx x = 0, - (.34) (.35) (.36)

8 ù tt k, t + k 2 ùk, t = 0, δηλαδή μια γραμμική ΣΔΕ δεύτερης τάξης της οποίας η γενική λύση είναι ùk, t = c k  kt + c 2 k - kt, (.37) (.38) όπου c k, c 2 k είναι σταθέρες ολοκλήρωσης. Ο προσδιορισμός τους επιτυγχάνεται από τις αρχικές συνθήκες (.29). Δηλαδή, από την (.3) έπεται ότι ùk, 0 = 2 π ux, 0 - kx x = - 2 π f x - kx x = f`k. - Σύμφωνα με την υπόθεση (iii) που κάναμε στο εδάφιο.2, βρίσκουμε ότι ù t k, 0 = t 2 π - ux, 0 - kx x = 2 π ut x, 0 - kx x = - 2 π gx - kx x = g`k. - Παραγωγίζοντας ως προς t την (.38) προκύπτει ότι (.39) (.40) Για t = 0, οι (.38), (.4) γίνονται και αντίστοιχα. ù t k, t =Âk c k  kt - c 2 k - kt. ùk, 0 = c k + c 2 k, ù t k, 0 =Âk c k - c 2 k, Εξισώνοντας την (.39) με την (.42) και την (.40) με την (.43) έχουμε ότι c k + c 2 k = f`k c k - c 2 k = g`k.  k Οι λύσεις του συστήματος αυτού είναι c k = f`k + g`k 2  k c 2 k = f`k - g`k. 2  k Αντικαθιστώντας τις (.45) στην (.38) βρίσκουμε ότι ùk, t = 2 f`k  kt + - kt + 2  k g`k  kt - - kt. Η αντικατάσταση τώρα της (.46) στην (.4) δίνει ux, t = 2 2 π - f`k  k x + t +  k x - t k + (.4) (.42) (.43) (.44) (.45) (.46) ( 47)

9 g`k 2 π -  k  k x + t -  k x - t k. Όμως, αν G' x = gx τότε από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier έπεται ότι G` k = g`k  k. Αν λάβουμε υπόψη μας και τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της f`k τότε η (.47) γίνεται f x = 2 π - f`k  kx k, ux, t = f x + t + f x - t + Gx + t - Gx - t. 2 (.48) (.49) (.50) Αφού G' x = gx αμέσως προκύπτει ότι Gx + t - Gx - t = x-t x+t gs s. (.5) Ολοκληρώνοντας την διαδικασία επίλυσης του ΠΑΤ {(.28), (.29)} βρίσκουμε ότι u x, t = 2 f x + t + f x - t + x-t x+t g s s (.52) Παρατήρηση.3.2 Αν η f œ C 2 R και η g œ C R, η (.52) αποτελεί μοναδική λύση του ΠΑΤ {(.28), (.29)}, διότι η ux, t ορίζεται μονοσήμαντα από τις f, g. Η (.52) είναι ο γνωστός τύπος του d Alembert (βλ. [5], [22], [23], [24], [30]).

0.4 Η συνάρτηση Green για την εξίσωση Laplace στο επίπεδο Οι συναρτήσεις Green κατέχουν σημαντική θέση στη διαδικασία επίλυσης γραμμικών ΜΔΕ. Στο παρόν εδάφιο θα δούμε πώς μπορούμε να κατασκεύασουμε τη λύση προβλημάτων συνοριακών τιμών (ΠΣΤ) για εξισώσεις ελλειπτικού τύπου και συγκεκριμένα για την εξίσωση Laplace στις δύο διαστάσεις, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Green. Για n -διαστάσεις παραπέμπουμε τον αναγνώστη στα συγγράμματα [5], [22], [23], [24] και [30]. Πριν δώσουμε τον ορισμό της συνάρτησης Green, ας υποθέσουμε ότι μας έχει δοθεί για λύση το Πρόβλημα Dirichlet για την εξίσωση Laplace Θεωρούμε ότι η περιοχή Ω του R 2 είναι φραγμένη με ομαλό σύνορο Ω. Θέλουμε να βρούμε μια συνάρτηση, ux, y, η οποία ανήκει στην κλάση C 2 Ω, είναι συνεχής στη συμπαγή περιοχή Ω = Ω Ω, (Ω είναι η κλειστή θήκη, δηλαδή το σύνολο των οριακών σημείων της περιοχής Ω), αποτελεί λύση της ΜΔΕ Δ u := u xx + u yy = 0, r := x, y œ Ω, (.53) και πληροί τη συνοριακή συνθήκη ux, y = f x, y, r œ Ω, (.54) όπου f := Ω Ø R είναι μια συγκεκριμένη συνάρτηση στην καμπύλη Ω. Αν έχουμε κατασκευάσει τη συνάρτηση Green, Gr, ξ, για τη δοσμένη περιοχή Ω, τότε η λύση του ΠΣΤ {(.53), (.54)} θα δίνεται από το επιφανειακό ολοκλήρωμα ux, y = Ω G n r, ξ f ξ S ξ, (.55) όπου G n r, ξ είναι η εγκάρσια παράγωγος της G στο σύνορο της περιοχής Ω και ξ ένα τυχαίο διάνυσμα της Ω. Παρατήρηση.4. Η εγκάρσια παράγωγος της G δίνεται από το εσωτερικό γινόμενο n ÿ!g, όπου n είναι το προς τα έξω μοναδιαίο εγκάρσιο διάνυσμα στην Ω. Θεώρημα.4. Η συνάρτηση F : R 2 Ø R αποτελεί σφαιρικά συμμετρική λύση της εξίσωσης Δ F = 0, αν και μόνο αν, στο ανοιχτό σύνολο R 2 0 ισχύει ότι Fr = c ln r + c 2, (.56) με c, c 2 αυθαίρετες σταθερές. Απόδειξη

Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση F είναι κλάσης C 2 και σφαιρικά συμμετρική, δηλαδή εξαρτιέται μόνο από την απόσταση r := r = x 2 + y 2 του σημείου r œ R 2 από την αρχή των αξόνων. Τότε υπάρχει μια συνάρτηση φ : R Ø R, τέτοια ώστε Fr = φr. (.57) Όμως r x = x = x 2 + y 2 x r, r y = y r, (.58) και r xx = r - xr x r 2 = r2 - x2 r 3, r yy = r2 - y2 r 3. (.59) Άρα F x = φ' r r x = φ' r x r, F y = φ' r y r. (.60) Αν παραγωγίσουμε τώρα τις (.60) ως προς x και y, αντίστοιχα, βρίσκουμε ότι Συνεπώς F xx = φ' 'r r x 2 + φ' r r xx = φ' 'r x2 F yy = φ' 'r y2 r 2 + φ' r r2 - y2 r 3. r 2 + φ' r r2 - x2 r 3, (.6) Δ F = 0 fl F xx + F yy = φ' 'r + r φ' r = 0. (.62) Για να λύσουμε τη ΣΔΕ (.62) θέτουμε gr = φ' r και θα έχουμε ότι Τελικά, βρίσκουμε ότι ή g' r + r gr = 0 fl gr = c φ' r = c r. r fl φr = c ln r + c 2, Fr = c ln r + c 2. (.63) (.64) (.65) Για λόγους απλότητας, θέτουμε c 2 = 0. Η συνάρτηση φr ικανοποιεί την εξίσωση Poisson Δφ= δr, (.66)

2 όπου Δφ= φ rr + φ r + r r 2 φ θθ και δr είναι η συνάρτηση δέλτα του Dirac (βλ. [30]). Για να προσδιορίσουμε τη σταθέρη c, ολοκληρώνουμε την (.66) σε έναν δίσκο D ε, με κέντρο ένα σημείο x, y και ακτίνα ε. Δηλαδή Δφ V = V. D ε D εδr (.67) Χρησιμοποιώντας την τρίτη ταυτότητα του Green (βλ. [30]), καθώς και τις ιδιότητες της συνάρτησης δr, η (.67) γίνεται D εφ n S =, (.68) όπου με D ε εννοούμε το σύνορο της περιοχής D ε, δηλαδή ένας κύκλος με περιφέρεια 2 πε. Άρα ή Επομένως, η (.65) γίνεται Παρατήρηση.4.2 c D ε D ε φ S =, r r=ε ε S = fl 2 π c =. Fr = ln r. 2 π (.69) (.70) (.7) (i) Η σφαιρικά συμμετρική λύση (.7) ονομάζεται και θεμελιακή λύση της εξίσωσης Laplace στον R 2 (βλ. [30]). (ii) Η ανάλυση που οδήγησε στη λύση (.7) δεν επηρεάζεται αν, αντί για λύση που εξαρτιέται μόνο από την απόσταση του σημείου x, y από την αρχή των αξόνων, αναζητήσουμε λύση που εξαρτιέται μόνο από την απόσταση του x, y από ένα άλλο σημείο ξ œ R 2. Τότε η θεμελιακή λύση της εξίσωσης Laplace θα δίνεται από τη σχέση Ορισμός.4. Fr, ξ = 2 π ln r - ξ. Στο σημείο αυτό, είμαστε σε θέση να δώσουμε τον παρακάτω ορισμό. (.72) Υποθέτουμε ότι η Fr, ξ είναι η θεμελιακή λύση της εξίσωσης Laplace. Αν υπάρχει μια συνάρτηση Hr, ξ τέτοια ώστε:

3 (i) To άθροισμα Gr, ξ := Fr, ξ + Hr, ξ να μηδενίζεται σε κάθε σημείο r œ Ω όταν ξ œ Ω, (ii) Η Hr, ξ œ C 2 Ω, τότε η συνάρτηση Gr, ξ καλείται συνάρτηση Green για το πρόβλημα Dirichlet {(.53), (.54)}. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την κατασκευή της συνάρτησης Green για φραγμένες περιοχές. Η πιο γνωστή που συναντάμε στη βιβλιογραφία είναι εκείνη της μεθόδου των ειδώλων (method of images) και έχει σχέση με τη φυσική ερμηνεία των θεμελιακών λύσεων της εξίσωσης Laplace στο πλαίσιο του ηλεκτρισμού (βλ. [5], [22], [23], [24], [30]). Αν γράψουμε την (.72) στη μορφή Φr, ξ = Q ln r - ξ, r œ Ω := R 2 ξ, (.73) τότε η (.73) παριστάνει το δυναμικό που παράγει ένα άπειρο ευθύ νήμα, το οποίο είναι ομοιόμορφα φορτισμένο και τέμνει κάθετα το επίπεδο xy, στο σημείο ξ. Όπως για κάθε γραμμική και ομογενή εξίσωση, έτσι και για την εξίσωση Laplace ισχύει η αρχή της επαλληλίας, δηλαδή ο γραμμικός συνδυασμός κάθε αριθμού λύσεων αυτής της εξίσωσης αποτελεί επίσης λύση. Συγκεκριμένα, αν η Φ r, ξ παριστάνει το δυναμικό ενός νήματος, με ηλεκτρικό φορτίο κατά μονάδα μήκους Q, το οποίο διέρχεται από το σημείο ξ, και η Φ 2 r, ξ 2 το δυναμικό ενός νήματος με πυκνότητα φορτίου Q 2, το οποίο διέρχεται από το σημείο ξ 2, τότε το ολικό δυναμικό θα δίνεται από τον τύπο Φr, ξ = Φ r, ξ + Φ 2 r, ξ 2, r œ Ω := R 2 ξ, ξ 2. (.74) Θα παρουσιάσουμε δύο παραδείγματα για να δούμε πώς εφαρμόζεται η μέθοδος των ειδώλων. Παράδειγμα.4. Θέλουμε να βρούμε τη λύση του προβλήματος Dirichlet {(.53), (.54)} για την περιοχή Ω := x, y œ R 2 : y > 0. Το πρώτο πράγμα που παρατηρούμε είναι ότι η περιοχή Ω δεν είναι φραγμένη. Συνεπώς, δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις που οδηγούν στον τύπο (.55). Ωστόσο, αν πάρουμε την περιοχή Ω R := x, y œ R 2 : y > 0, x 2 + y 2 < R 2, όπου το συμπαγές σύνολο Ω R είναι ένα ημικύκλιο ακτίνας R, με την διάμετρό του πάνω στον άξονα των x, τότε πληρούνται οι υποθέσεις για τον ορισμό της συνάρτησης Green. Από την άλλη, αν R Ø, η περιοχή Ω R μετατρέπεται στην περιοχή Ω που έχουμε. Για να κατασκευάσουμε τη συνάρτηση Green θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των ειδώλων. Υποθέτουμε ότι ένα πολύ λεπτό ευθύ νήμα σ, άπειρου μήκους, τέμνει κάθετα το

4 επίπεδο xy στο σημείο ξ = a, b œ Ω. Αν το ηλεκτρικό φορτίο του νήματος ανά μονάδα μήκους είναι ίσο με Q τότε το ηλεκτρικό δυναμικό στη γειτονιά του νήματος αντιστοιχεί στη θεμελιακή λύση της εξίσωσης Laplace Fr, ξ = Q ln r - ξ, ξ œ Ω. (.75) Το σύνορο της περιοχής Ω είναι το σύνολο Ω := x, y œ R 2 : y = 0. Άρα, μπορούμε να φανταστούμε ότι η y = 0 καλύπτεται από έναν καθρέφτη. Οπότε, το είδωλο του νήματος σ με φορτίο Q * εμφανίζεται στο σημείο ξ * = a, -b. y Ø ξ Q x Ø * ξ Q * Σχήμα.4.: Το νήμα σ με φορτίο Q στη θέση ξ και το είδωλο του νήματος σ * με φορτίο Q * στη θέση ξ *. Υποθέτουμε ότι η πυκνότητα του φορτίου του νήματος σ * είναι ίση με Q *. Το αντίστοιχο ηλεκτρικό δυναμικό δίνεται από τη συνάρτηση Φr = Q * ln r - ξ *. (.76) Σύμφωνα με τον ορισμό.4. που δώσαμε νωρίτερα, στο άθροισμα Gr, ξ := Fr, ξ + Hr, ξ, το ρόλο της Hr, ξ παίζει το δυναμικό Φr. Άρα, με κατάλληλη επιλογή του φορτίου Q *, η συνάρτηση Green είναι της μορφής Gr, ξ = Q ln r - ξ + Q * ln r - ξ *, r œ Ω, ξ œ R 2 Ω. (.77) Η συνάρτηση Green θα πρέπει να μηδενίζεται όταν r œ Ω. Άρα, η (.77) θα γίνει Gx, 0;a, b = Q ln x - a 2 + -b 2 + Q * ln x - a 2 + b 2 = 0, r œ Ω, (.78) ή Q * =-Q. (.79) Επομένως, η συνάρτηση Green για την περιοχή Ω, με την επιλογή Q = 2 π είναι

5 Gx, y; a, b = 2 π ln x - a2 + y - b 2 - ln x - a 2 + y + b 2 = 4 π ln x - a2 + y - b2 x - a 2 + y + b. 2 (.80) Σχήμα.4.2: Γράφημα της συνάρτησης Green για το πάνω ημιεπίπεδο, για x, y = 2, 2. Θα υπολογίσουμε την εγκάρσια παράγωγο της (.80) στο σύνορο της Ω. Η αντικατάστασή της στο επιφανειακό ολοκλήρωμα (.55) θα μας δώσει τη λύση του προβλήματος Dirichlet για την εξίσωση Laplace. Το προς τα έξω μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην περιοχή Ω είναι n = 0, -. Οπότε G n ª n ÿ!g = 0, - ÿ G x, G y =-G y. (.8) Η μερική παράγωγος της (.80) ως προς τη μεταβλητή y είναι G y x, y; a, b = 2 π y - b x - a 2 + y - b - y + b 2 x - a 2 + y + b. 2 (.82) Όταν x, y œ Ω, δηλαδή y = 0, η (.82) γίνεται G y x, 0;a, b =- b (.83) π x - a 2 + b. 2 Όμως, η συνάρτηση Green είναι συμμετρική (βλ. [5], [22], [23], [24], [30]), δηλαδή Gx, y; a, b = Ga, b; x, y. Συνεπώς, η (.83) μετατρέπεται στην G y =- π y x - a 2 + y 2. (.84) Από την (.8) βρίσκουμε ότι G n = y (.85) π x - a 2 + y. 2 Τελικά, η λύση του προβλήματος Dirichlet {(.53), (.54)} για το πάνω ημιεπίπεδο δίνεται από

6 τον τύπο (.55) και θα είναι ux, y = - π y f a a x - a 2 + y 2 (.86) Παρατήρηση.4.3 Η παραπάνω λύση μπορεί να βρεθεί και με τη χρήση του μετασχηματισμού Fourier ως προς τη μεταβλητή που διατρέχει την πραγματική ευθεία, δηλαδή τη x. Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι μας έχει δοθεί το εξής ΠΣΤ: Να βρεθεί η λύση, ux, y, που ικανοποιεί την εξίσωση Laplace u xx + u yy = 0, x, y œ Ω := x, y œ R 2 : - < x <, y > 0, (.87) και τις συνθήκες και ux, 0 = f x, x œ R, ux, y Ø 0, r := x 2 + y 2 Ø, (.88) (.89) με f x είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση, κλάσης C R, η οποία μηδενίζεται καθώς x Ø. Αφού η χωρική μεταβλητή, x, διατρέχει ολόκληρη την πραγματική ευθεία μας επιτρέπει να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Fourier ως προς αυτήν την μεταβλητή. Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (.87) με τον όρο από - ως βρίσκουμε ότι 2 π - kx και ολοκληρώνοντας (.90) 2 π uxx - kx x + - 2 π uyy - kx x = 0. - Όπως έχουμε ήδη δείξει, το πρώτο ολοκλήρωμα είναι ίσο με (.9) 2 π uxx - kx x =-k 2 ùk, y, - ενώ το δεύτερο με (.92) 2 π uyy - kx x = ù yy k, y. - Άρα, η (.90), λόγω των (.9) και (.92), θα γίνει ù yy k, y - k 2 ùk, y = 0, (.93) η οποία είναι μια γραμμική ΣΔΕ δεύτερης τάξης και η λύση της είναι της μορφής

7 ùk, y = c k y + c 2 -k y. (.94) Για να είναι φραγμένη η ùk, y και κατά συνέπεια η ίδια η ux, y στην περιοχή Ω, οι σταθερές c, c 2 θα πρέπει να επιλεγούν με τον ακόλουθο τρόπο: (i) Αν k > 0, τότε το γινόμενο ky> 0. Συνεπώς, η ùk, y παραμένει φραγμένη μόνο αν c = 0, αλλιώς (ii) Αν k < 0, τότε το γινόμενο ky< 0. Συνεπώς, η ùk, y παραμένει φραγμένη μόνο αν c 2 = 0. Επομένως, η λύση της (.94) θα είναι ùk, y = ck -k y, (.95) η οποία για y = 0 γίνεται ùk, 0 = ck. Από την άλλη, η συνθήκη (.88) μετασχηματισμένη κατα Fourier είναι ùk, 0 = f`k, (.96) (.97) δηλαδή, η (.95) γράφεται ως ùk, y = f`k -k y. (.98) Η λύση του ΠΣΤ {(.87), (.88), (.89)} δίνεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της ùk, y, δηλαδή ux, y = 2 π ùk, y  kx k = - 2 π f`k -k y  kx k. - Χρησιμοποιώντας τη σχέση (.8), η (.99) γίνεται (.99) ux, y = (.00) 2 π -k y  k x-a f a a k. - - Αν η συνάρτηση f œ SR, τότε μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης στο παραπάνω ολοκλήρωμα και θα έχουμε ότι ux, y = 2 π - 2 π - -k y  k x-a k f a a. Είναι γνωστό ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της h`k = -k, k œ R είναι (.0) hx = 2 π x 2 +, x œ R, (.02) (βλ. [30]). Για τη συνάρτηση g`k = -k y ισχύει ότι g`k = -k y = h`k y, (.03)

8 και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier βρίσκουμε ότι gx = y h x y = 2 π y x y 2 + = 2 π y x 2 + y, y > 0. 2 (.04) Άρα, το ολοκλήρωμα μέσα στην αγκύλη της (.0) ισούται με 2 π -k y  k x-a 2 y k = - π x - a 2 + y. 2 Επομένως, η λύση του ΠΣΤ {(.87), (.88), (.89)} είναι (.05) u x, y = - π y f a a x - a 2 + y2 (.06) Παράδειγμα.4.2 Εδώ, θα κατασκευάσουμε τη λύση του προβλήματος Dirichlet για την εξίσωση Laplace στην περιοχή Ω := x, y œ R 2 : x 2 + y 2 <. Προφανώς, η περιοχή Ω είναι φραγμένη και το σύνορό της είναι μια ομαλή καμπύλη του Ευκλείδειου επίπεδου. Άρα, στην κλειστή περιοχή Ω ισχύει το κλασικό θεώρημα της απόκλισης. Αυτό μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε την αντίστοιχη συνάρτηση Green χωρίς άλλες προϋποθέσεις και να εφαρμόσουμε τον τύπο (.55) άμεσα. Για την κατασκευή της συνάρτησης Green θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των ειδώλων, όπως και στο παράδειγμα.4.. Υποθέτουμε πάλι ότι ένα πολύ λεπτό ευθύ νήμα σ, άπειρου μήκους, τέμνει κάθετα τον μοναδιαίο κύκλο στο σημείο ξ. Αν το ηλεκτρικό φορτίο του νήματος ανά μονάδα μήκους είναι ίσο με Q τότε το ηλεκτρικό δυναμικό στη γειτονιά του νήματος αντιστοιχεί στη θεμελιακή λύση της εξίσωσης Laplace Fr, ξ = Q ln r - ξ, r ξ. (.07) Στο σημείο αυτό θα κάνουμε ορισμένες υποθέσεις για την τοποθέτηση τόσο του νήματος σ με φορτίο Q, όσο και του νήματος σ * με φορτίο Q *. Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι το φορτίο Q βρίσκεται πάνω στον άξονα x. Το φορτίο Q * θα πρέπει να βρίσκεται έξω από την περιοχή Ω. Όμως, αν κοιτάξουμε τον εαυτό μας σε έναν σφαιρικό καθρέφτη, η εικόνα μας θα είναι κάπως παραμορφωμένη. Για αυτό τον λόγο, από τη διάταξη του παρακάτω σχήματος, υποθέτουμε ότι το Q * θα βρίσκεται και αυτό πάνω στον άξονα x αλλά έξω από την περιόχη Ω.

9 y Ω r Ø ξ ξ * x Σχήμα.4.3: Το νήμα σ με φορτίο Q στη θέση ξ και το είδωλο του νήματος σ * με φορτίο Q * στη θέση ξ * για τον μοναδιαίο κύκλο. Η συνάρτηση Green θα είναι της μορφής G 0 r, ξ = (.08) 2 π ln r - ξ + Q * ln r - ξ *, ξ 0, όπου επιλέξαμε το Q =, για να έχουμε τον ίδιο συντελεστή με τη θεμελιακή λύση της 2 π εξίσωσης Laplace. Σκοπός είναι προσδιορίσουμε το φορτίο Q * από τη συνθήκη (.09) 2 π ln r - ξ + Q * ln r - ξ * = 0, για r =. Αφού υποθέσαμε ότι τα διανύσματα ξ, ξ * βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση ξ * = ξ ξ, 2 (βλ. [30]), από την οποία έπεται αμέσως ότι (.0) ξ ξ * =. (.) Αυτή είναι η σχέση που χαρακτηρίζει δύο σημεία που βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτίνα και ονομάζονται αντίστροφα ως προς τον μοναδιαίο κύκλο. Άρα, η συνθήκη (.09), μέσω της (.), γίνεται 2 π ln - ξ + Q* ln - ξ = 0. 2 (.2) Όπως βλέπουμε, είναι δύσκολο να βρούμε το Q * από την παραπάνω σχέση. Επομένως, μπορούμε να υποθέσουμε ότι Q * =-2π, δηλαδή G 0 r, ξ = 2 π ln r - ξ - 2 π ln r - ξ *, (.3)

20 και θα εξέτασουμε την ορθότητά του στη συνέχεια. Αφού η περιοχή όπου δουλεύουμε είναι κυκλική, είναι βολικό να χρησιμοποιήσουμε τις πολικές συντεταγμένες. Ουσιαστικά, θέλουμε να βρούμε τη λύση, uρ, θ, της εξίσωσης u ρρ + ρ u ρ + ρ 2 u θθ = 0, (.4) στην περιοχή Ω * := ρ, θ œ R 2 :0< ρ <, 0 < θ < 2 π, η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη Παρατήρηση.4.4 uρ, θ = f ρ, θ, ρ, θ œ Ω *. Η (.4) είναι, προφανώς, η εξίσωση Laplace στις πολικές συντεταγμένες. Έτσι, αν ρ, θ είναι οι γνωστές πολικές συντεταγμένες του R 2, θέτουμε è è r = x, y ñ ρ, θ, ξ = a, b ñ ρ, θ. (.5) (.6) Θα έχουμε ότι r - ξ 2 = r 2-2 r ÿ ξ + ξ 2 = r 2-2 r ξ cosθ - θ è + ξ 2 = ρ 2-2 ρρ è cosθ - θ è + ρ è2, (.7) και r - ξ * 2 = r 2-2 r ÿ ξ * + ξ * 2 = r 2-2 r ξ * cosθ - θ è + ξ * 2. = r 2-2 r ξ cosθ - θ è + ξ = 2 (.8) ρ 2-2 ρ ρ è cosθ - θè + ρ è 2. Διαιρώντας κατά μέλη τις (.7) και (.8) προκύπτει ότι r - ξ 2 r = ρè 2 - ξ * 2 ρ 2-2 ρρ è cosθ - θ è + ρ è 2 ρ 2 ρ è2-2 ρρ è cosθ - θ è. + (.9) Οταν το ρ =, αυτή η σχέση γίνεται r - ξ 2 r - ξ * 2 = ρè2, (.20) ή ρ è 2 r - ξ 2 r - ξ * 2 =. (.2)

2 Συνεπώς, η κατάλληλη μορφή της συνάρτησης Green είναι η Gρ, θ; ρ è, θ è = 4 π ln r - ξ 2 ρ è 2 r = è è è - ξ * 2 4 π ln ρ2-2 ρρ cosθ - θ + ρ2 ρ 2 ρ è2-2 ρρ è cosθ - θ è + Για ρ =, η (.22) θα γίνει. (.22) G, θ; ρ è, θ è = 4 π ln - 2 ρ è è è cosθ - θ + ρ2 ρ è2-2 ρ è cosθ - θ è + Επομένως, η επιλογή που κάναμε για το φορτίο Q * ήταν ορθή. = 0. (.23) Θα υπολογίσουμε την εγκάρσια παράγωγο της (.22) στο σύνορο της Ω *. Η αντικατάστασή της στο επιφανειακό ολοκλήρωμα (.55) θα μας δώσει τη λύση του προβλήματος Dirichlet για την εξίσωση Laplace. Η κλίση ενός βαθμωτού πεδίου Gx, y δίνεται από τον τύπο!g = G x, G y. (.24) Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις x = ρ cosθ, y = ρ sinθ, ρ > 0, 0 < θ < 2 π, οι οποίες είναι αντιστρέψιμες και δίνουν ρ = x 2 + y 2, θ = arctan y x, (.25) (.26) μετατρέπουν την (.24) στις πολικές συντεταγμένες. Δηλαδή!G = G ρ ρ x + G θ θ x, G ρ ρ y + G θ θ y = x x 2 + y 2 G ρ - y x 2 + y 2 G θ, y x 2 + y 2 G ρ + y x 2 + y G 2 θ = (.27) cosθ G ρ - sinθ ρ G θ, sinθ G ρ + cosθ ρ G θ. Οπότε, η εγκάρσια παράγωγος της (.22) θα είναι G n ª n ÿ!g = cosθ, sinθ ÿ cosθ G ρ - sinθ ρ G θ, sinθ G ρ + cosθ ρ G θ = G ρ, (.28) όπου n είναι το προς τα έξω μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στον μοναδιαίο κύκλο. Η μερική παράγωγος της (.22) ως προς τη μεταβλητή ρ είναι

22 G ρ = è è è 2 π ρ - ρ cosθ - θ ρ 2-2 ρρ è cosθ - θ è + ρ è - ρρ 2 - ρ è cosθ - θ è 2 ρ 2 ρ è2-2 ρρ è cosθ - θ è, + (.29) και όταν ρ =, η (.29) γίνεται G n = G ρ, θ; ρ è, θ è = 2 π - ρ è 2-2 ρ è cosθ - θ è + ρ è 2. (.30) Όμως, η συνάρτηση Green είναι συμμετρική, δηλαδή Gρ, θ; ρ è, θ è = Gρ è, θ è ; ρ, θ. Συνεπώς, η (.30) μετατρέπεται στην G n = 2 π - ρ 2-2 ρ cosθ - θ è + ρ 2 Επομένως, το επιφανειακό ολοκλήρωμα (.55) στις πολικές συντεταγμένες μετατρέπεται στο (.3) uρ, θ = 0 2 π Gn f θ è θ è, (.32) ισοδύναμα u ρ, θ = - ρ2 2 π 0 2 π f θ è - 2 ρ cosθ - θ è + ρ 2 θè (.33) Η παραπάνω λύση στις καρτεσιανές συντεταγμένες θα είναι της μορφής u x, y = - r 2 2 π ξ = r - ξ 2 f ξ S ξ (.34) Παρατήρηση.4.5 Η έκφραση Pr, ξ = 2 π - r 2 r - ξ 2 (.35) λέγεται πυρήνας Poisson και η (.34) αποτελεί μοναδική λύση κλάσης C 2 Ω του προβλήματος Dirichlet {(.53), (.54)} για την κυκλική περιοχή Ω (βλ. [5], [22], [23], [24], [30]).

23.5 Η μέθοδος Riemann για Μ Ε υπερβολικού τύπου Ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πολυδιάστατα προβλήματα, αλλά προϋποθέτει ότι η αντίστοιχη ΜΔΕ έχει σταθερούς συντελεστές. Αντίθετα, η μέθοδος Riemann μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη λύση του προβλήματος Cauchy για ΜΔΕ με συντελεστές που δεν είναι υποχρεωτικά σταθεροί, αλλά προϋποθέτει ότι οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι δύο και όχι περισσότερες. Στο παρόν εδάφιο, παρουσιάζουμε αναλυτικά τη μέθοδο που επινόησε ο Riemann (για την επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών για υπερβολικές εξισώσεις με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές). Στην παρουσίαση της μεθόδου Riemann ακολουθήσαμε τους R. B. Guenther και J. W. Lee (βλ. [5])..5. Το πρόβλημα Cauchy για εξισώσεις υπερβολικού τύπου με σταθερούς συντελεστές Θα ξεκινήσουμε την παρουσίαση αυτού του προβλήματος με τον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός.5.. Θεωρούμε τη ΜΔΕ Ax, t u x x + 2 Bx, t u x t + Cx, t u tt + Dx, t u x + Ex, t u t + Fx, t u + G = 0, (.36) όπου οι A, B, C, D, E, F, G είναι γνωστές συναρτήσεις με πεδίο ορισμού μια ανοιχτή περιοχή Ω του επίπεδου xt. Αν το πρόσημο της συνάρτησης B 2 - AC είναι θετικό, τότε λέμε ότι η (.36) είναι υπερβολικού τύπου. Στην περίπτωση που οι συντελεστές A, B, C είναι σταθεροί, τότε μέσω του γραμμικού μετασχηματισμού s = x, y = B 2 - AC At- Bx, (.37) η (.36) μετατρέπεται στη ΜΔΕ U ss - U yy = Hs, y, U, U s, U y. (.38) Θεωρούμε τώρα την ΜΔΕ υπερβολικού τύπου u tt - c 2 u x x + au+ bu t + du x = Fx, t, x œ R, t > 0, (.39) όπου a, b, c, d είναι σταθερές με a, b, c > 0. Το ΠΑΤ ή πρόβλημα Cauchy έγκειται στην εύρεση μιας συνάρτησης, ux, t, που ικανοποιεί την (.39) και τις αρχικές συνθήκες Εισάγουμε τις σχέσεις ux, 0 = f x, u t x, 0 = gx, x œ R. s = Sx, t := x + ct, w = Wx, t := x - ct. (.40) (.4)

24 Ορισμός.5..2 Οι λύσεις της ΣΔΕ A t - B B 2 - AC x = 0, (.42) όπου A, B, C είναι οι συντελεστές της ΜΔΕ (.36), καλούνται χαρακτηριστικές καμπύλες της συγκεκριμένης εξίσωσης. Για τη ΜΔΕ (.39), η (.42) γίνεται οι λύσεις της οποίας είναι όπου k αυθαίρετη σταθερή. x c t = 0, x ct= k, (.43) (.44) Επομένως, οι μεταβλητές s, w που ορίζονται από τις (.4) αντιστοιχούν στις χαρακτηριστικές καμπύλες της (.39). Οι σχέσεις (.4) είναι προφανώς αντιστρέψιμες σε κάθε σημείο του R 2 και δίνουν τις x = X s, w := s + w, t = Ts, w := s - w. (.45) 2 2 c Η αντικατάσταση των ανεξάρτητων μεταβλητών x, t της ux, t από τις X s, w, Ts, w μετατρέπει την ux, t στην ή Us, w := ux s, w, Ts, w, ux, t = U Sx, t, Wx, t. Εφαρμόζοντας τον κανόνα της αλυσίδας στην (.47) βρίσκουμε ότι u x = U s S x + U w W x, και παραγωγίζοντας ως προς x την (.48) έχουμε ότι u xx = U ss S x + U sw W x S x + U s S xx + U sw S x + U ww W x W x + U w W xx = U ss S x 2 + 2 U sw S x W x + U ww W x 2 + U s S xx + U w W xx. Ομοίως, η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της (.47) ως προς τη μεταβλητή t θα δώσει (.46) (.47) (.48) (.49) και αντίστοιχα. Άρα, u t = U s S t + U w W t, u tt = U ss S t 2 + 2 U sw S t W t + U ww W t 2 + U s S tt + U w W tt, (.50) (.5)

25 και u x = U s + U w, u x x = U s s + 2 U s w + U ww, u t = c U s - U w, u tt = c 2 U s s - 2 U s w + U ww. Οι παραπάνω σχέσεις, λαμβάνοντας υπόψη ότι Fx, t = F s + w την (.39) στην ισοδύναμα c 2 U ss - 2 U sw + U ww - c 2 U ss + 2 U sw + U ww + aus, w + bcu s - U w + d U s + U w = F s + w, s - w 2 2 c,, s - w 2 2 c U sw s, w = a bc+ d Us, w + U 4 c2 4 c 2 s s, w + bc+ d U 4 c 2 w s, w - 4 c F s + w, s - w 2 2 2 c. Η (.55) απλοποιείται περισσότερο αν θέσουμε όπου Us, w = vs, w λ s + μ w, λ = -bc+ d και μ = bc+ d. 4 c 2 4 c 2 Η παράγωγος της (.56) ως προς s είναι (.52) (.53), μετατρέπουν (.54) (.55) (.56) (.57) U s s, w = v s s, w + λ vs, w λ s + μ w, (.58) ενώ ως προς w U w s, w = v w s, w + μ vs, w λ s + μ w. (.59) Η μικτή παράγωγος της (.56) θα μας δώσει U sw s, w = v sw s, w + λ v w s, w + μ v s s, w + μλvs, w λ s + μ w. (.60) Οπότε, η (.55), μέσω των σχέσεων (.58), (.59) και (.60), θα μετατραπεί στην όπου v s w s, w =-kvs, w + Gs, w, (.6) k =- a + λμ, Gs, w =- (.62) 4 c2 4 c 2 -λ s + μ w F s + w, s - w 2 2 c. Πέρα από τη ΜΔΕ (.39), είμαστε υποχρεωμένοι να μετατρέψουμε και την περιοχή όπου ορίζεται αυτή, χρησιμοποιώντας πάντα τις σχέσεις (.4). Θεωρούμε το σημείο Α = x, t της περιοχής t > 0 του επιπέδου xt. Η χαρακτηριστική x - ct= c è, όπου c è είναι μια σταθερά, θα διέρχεται από τα σημεία Α και Β = x - ct,0, ενώ η χαρακτηριστική x + ct= c è θα διέρχεται από τα σημεία Α και Γ = x + ct,0. Η ένωση των

26 πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ θα μας δώσουν ένα τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ. t Α Β Δx, t Γ x Σχήμα.5..: Η τριγωνική περιοχή Δx, t με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ. Η περιοχή t > 0 του επιπέδου xt αντιστοιχεί στην περιοχή w < s του επιπέδου sw, διότι από τις σχέσεις (.4) έχουμε ότι δηλαδή t = s - w 2 c > 0, (.63) w < s. (.64) Αυτό σημαίνει ότι στο επίπεδο sw, η περιοχή Δx, t αντιστοιχεί στο τρίγωνο Λs, w με κορυφές τα σημεία Α' = s, w, Β' = w, w, Γ' = s, s. Επίσης, ο άξονας x, κατά μήκος του οποίου t = 0, αντιστοιχεί στην ευθεία s = w. w Γ' Λs, w s Β' Α' Σχήμα.5..2: Η τριγωνική περιοχή Λs, w με κορυφές τα σημεία Α', Β', Γ'. Τα τελευταία "στοιχεία" που πρέπει να "αλλάξουμε" είναι οι αρχικές συνθήκες (.40). Όπως αναφέραμε και νωρίτερα, ο άξονας x απεικονίζεται στην ευθεία s = w. Ως εκ τούτου, οι αρχικές συνθήκες της (.6) θα δίνονται πάνω σε αυτήν την ευθεία. Οπότε, όταν t = 0, από τις (.4) βρίσκουμε ότι x = s = w.

27 Από την (.46) προκύπτει ότι Us, w = u s + w 2, s - w 2 c, από την οποία έπονται τα εξής αποτελέσματα: και U s s, w = 2 u x s + w 2, s - w 2 c + 2 c u t s + w 2, s - w 2 c, U w s, w = 2 u x s + w 2, s - w 2 c - 2 c u t s + w 2, s - w 2 c. Οι (.65), (.66) και (.67) για s = w και χρησιμοποιώντας τις (.40) θα γίνουν (.65) (.66) (.67) και αντίστοιχα. Us, s = us, 0 = f s, U s s, s = 2 u xs, 0 + 2 c u ts, 0 = 2 f ' s + 2 c gs, U w s, s = 2 u xs, 0-2 c u ts, 0 = 2 f ' s - 2 c gs, (.68) (.69) (.70) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (.69) και (.70) θα πάρουμε U s s, s + U w s, s = f ' s, (.7) ενώ αφαιρώντας θα έχουμε ότι U s s, s - U w s, s = c gs. (.72) Τώρα, οι (.56), (.58) και (.59) για s = w θα μετατραπούν και αυτές με τη σειρά τους στις Us, s = vs, s λ + μ s, U s s, s = v s s, s + λ vs, s λ + μ s, (.73) (.74) και U w s, s = v w s, s + μ vs, s λ + μ s. (.75) Με την παρατήρηση ότι λ + μ = d 2 c 2, η (.73), σύμφωνα με την (.68), θα μας δώσει vs, s = f s - d 2 c 2 s := hs. (.76) Η (.76) είναι η πρώτη αρχική συνθήκη για την (.6). Η δεύτερη αρχική συνθήκη θα προκύψει από τις (.74), (.75) με τη βοήθεια των (.7), (.72) και τη σχέση λ - μ =- b 2 c. Δηλαδή

28 ή v s s, s - v w s, s + λ - μ vs, s λ + μ s.72 = U s s, s - U w s, s = c gs, (.77) v s s, s - v w s, s = b 2 c f s + gs - c Αν θέσουμε το δεξί μέλος της (.78) ίσο με ks τότε Παραγωγίζουμε τώρα την (.76), δηλαδή v s s, s - v w s, s = ks. h' s = f ' s - d f s - 2 c2 Από τις (.74) και (.75) έχουμε ότι ή d 2 c 2 s. d 2 c 2 s. v s s, s + v w s, s + λ + μ vs, s λ + μ s.7 = U s s, s + U w s, s = f ' s, (.78) (.79) (.80) (.8) v s s, s + v w s, s = f ' s - d f s - 2 c 2 s.80 = h' s. (.82) 2 c2 Αν λύσουμε τις (.79) και (.82) πρώτα ως προς v s s, s και μετά ως προς v w s, s θα καταλήξουμε στις h' s + ks h' s - ks v s s, s = ª φs και v w s, s = ª ψs. 2 2 Ολοκληρώνοντας την παραπάνω ανάλυση καταλήγουμε στο εξής αποτέλεσμα: d (.83) Το ΠΑΤ {(.39), (.40)}, χρησιμοποιώντας τους μετασχηματσμούς (.4) ανάγεται στο ΠΑΤ {(.6), (.76), (.83)}, όπου οι συναρτήσεις h, φ, ψ ικανοποιούν την συνθήκη συμβατότητας Η μέθοδος Riemann h' s = φs + ψs. (.84) Η μέθοδος Riemann αποσκοπεί στην εύρεση μιας συνάρτησης που καλείται συνάρτηση Riemman για υπερβολικές ΜΔΕ και αποτελεί το ανάλογο της συνάρτησης Green για τις ΜΔΕ ελλειπτικού τύπου. Για την παρουσίαση της συγκεκριμένης μεθόδου θα ακολουθήσουμε και εδώ το σύγγραμμα [5]. Για το ΠΑΤ {(.6), (.76), (.83)} χρησιμοποιούμε ως ανεξάρτητες μεταβλητές τις η, ξ και θεωρούμε τις s, w ως σταθερά σημεία. Η ιδέα του Riemann έχει ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε την (.6) με μια συνάρτηση Rs, w; η, ξ, ολοκληρώνουμε στην τριγωνική περιοχή Λs, w και επιλέγουμε την R τέτοια, που τα ολοκληρώματα που περιέχουν άγνωστες τιμές της vη, ξ να μηδενίζονται. Η συνάρτηση Rs, w; η, ξ καλείται συνάρτηση

29 Riemann. Παρουσιάζουμε αναλυτικά τα βήματα: RG η ξ = Λs, w Rv ηξ + KRv η ξ = Rv η ξ - R ξ v η + KRv η ξ = Λs, w Λs, w (.85) Rv η ξ - R ξ v η + R ηξ + KRv η ξ. Λs, w Επειδή η συνάρτηση vη, ξ είναι άγνωστη στην περιοχή Λs, w, απαιτούμε R ηξ + kr = 0, για s > η και ξ > w. (.86) Αφού η ολοκλήρωση γίνεται σε μια συμπαγή περιοχή, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το διπλό ολοκλήρωμα με ένα επάλληλο. Άρα, ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες, το ολοκλήρωμα (.85), μέσω της (.86), γίνεται Λs, w RG η ξ = w s w η Rvη ξ - R ξ v η ξ η = w s w η Rvηξ - R ηξ v ξ η = w s Rs, w; η, η vη η, η - Rs, w; η, w v η η, w - R η s, w; η, η vη, η + (.87) R η s, w; η, w vη, w + w η Rη v ξ - R ξ v η ξ η, ή Λs, w RG η ξ = w s Rs, w; η, η φη η - w s Rs, w; η, w vη η, w η - w s Rη s, w; η, η hη η + (.88) w s Rη s, w; η, w vη, w η + Λs, w R η v ξ - R ξ v η ξ η. Δηλαδή, Λs, w RG η ξ =-Rs, w; s, w vs, w + Rs, w; w, w hw - w s Rη s, w; η, η hη η + w s Rs, w; η, η φη η + (.89)

30 2 w s Rη s, w; η, w vη, w η + R η v ξ - R ξ v η η ξ. Λs, w Υπολογίζουμε ξανά το ολοκλήρωμα (.85) όπως και παραπάνω αλλά αυτή τη φορά προς την αντίθετη κατεύθυνση και θα έχουμε ότι Λs, w RG η ξ = w s ξ s Rvη ξ - R ξ v η η ξ = w s ξ s Rvηξ - R ηξ v η ξ = w s Rs, w; s, ξ vξ s, ξ - Rs, w; ξ, ξ v ξ ξ, ξ - (.90) R ξ s, w; s, ξ vs, ξ + R ξ s, w; ξ, ξ vξ, ξ + ξ s Rξ v η - R η v ξ η ξ, ή Λs, w RG η ξ = w s Rs, w; s, ξ vξ s, ξ ξ - w s Rs, w; ξ, ξ ψξ ξ - w s Rξ s, w; s, ξ vs, ξ ξ + (.9) w s Rξ s, w; ξ, ξ hξ ξ + Λs, w R ξ v η - R η v ξ η ξ. Δηλαδή, Λs, w RG η ξ =-Rs, w; s, w vs, w + Rs, w; s, s hs + w s Rξ s, w; ξ, ξ hξ ξ - w s Rs, w; ξ, ξ ψξ ξ - (.92) 2 w s Rξ s, w; s, ξ vs, ξ ξ + R ξ v η - R η v ξ η ξ. Λs, w Προσθέτοντας κατά μέλη τις (.89) και (.92) θα προκύψει ότι 2 RG η ξ =-2 Rs, w; s, w vs, w + Rs, w; w, w hw + Λs, w Rs, w; s, s hs - w s Rη s, w; η, η hη η + w s Rs, w; η, η φη η + w s Rξ s, w; ξ, ξ hξ ξ - w s Rs, w; ξ, ξ ψξ ξ + (.93) 2 w s Rη s, w; η, w vη, w η - 2 w s Rξ s, w; s, ξ vs, ξ ξ.

3 Όπως και νωρίτερα, αφού οι συναρτήσεις vη, w και vs, ξ είναι άγνωστες στην περιοχή Λs, w, απαιτούμε R η s, w; η, w = 0, s > η, R ξ s, w; s, ξ = 0, ξ > w, (.94) (.95) και, για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, θέτουμε Rs, w; s, w =. (.96) Άρα, από τις (.94), (.95) και (.96), η (.93) γίνεται 2 RG η ξ = Λs, w -2 vs, w + Rs, w; s, s hs + Rs, w; w, w hw - w s Rη s, w; η, η hη η + (.97) w s Rs, w; η, η φη η + w s Rξ s, w; ξ, ξ hξ ξ - w s Rs, w; ξ, ξ ψξ ξ, ή vs, w = 2 Rs, w; s, s hs + Rs, w; w, w hw + w s Rs, w; η, η φη η - w s Rη s, w; η, η hη η - w s Rs, w; ξ, ξ ψξ ξ + (.98) w s Rξ s, w; ξ, ξ hξ ξ - R s, w; η, ξ Gη, ξ η ξ. Λs, w Η (.98) αποτελεί λύση του ΠΑΤ {(.6), (.76), (.83)}, με την προϋπόθεση ότι υπάρχει η συνάρτηση Rs, w; η, ξ, τέτοια ώστε R ηξ s, w; η, ξ + krs, w; η, ξ = 0, s > η, ξ > w, R η s, w; η, w = 0, s > η, R ξ s, w; s, ξ = 0, ξ > w, Rs, w; s, w =. (.99) (.200) (.20) (.202) Για να κατασκευάσουμε τη λύση της ΜΔΕ (.99), αρκεί να παρατηρήσουμε ότι ο συνδυασμός r = s - ηξ-w ικανοποιεί τις συνθήκες (.200) και (.20). Οπότε, κάθε συνάρτηση που εξαρτάται από αυτόν τον συνδυασμό, R = ρr, θα έχει τις ίδιες ιδιότητες. Δηλαδή, R η = ρ r r =-ρ' rξ-w, η (.203)

32 R ξ = ρ r r ξ = ρ' rs - η. (.204) Χρησιμοποιώντας τις (.200), (.20) θα έχουμε ότι ρ' r = 0 fl ρr = c, (.205) και από την (.202) αμέσως βρίσκουμε ότι ρ0 =. (.206) Παραγωγίζοντας ως προς τη μεταβλητή ξ την (.203) προκύπτει ότι R ηξ =-r ρ' 'r - ρ' r. (.207) Συνεπώς, η ΜΔΕ (.99) μετασχηματίζεται σε μια γραμμική ΣΔΕ δεύτερης τάξης της μορφής -r ρ' 'r - ρ' r + k ρr = 0, (.208) με αρχική συνθήκη ρ0 =. Η (.208) δεν είναι τίποτα άλλο παρά μια ΔΕ Bessel της μορφής r 2 ρ''r + r ρ' r - krρr = 0. (.209) Παρατήρηση.5.. Η ΔΕ Bessel r 2 ρ''r + - 2 α r ρ' r + β 2 γ 2 r 2 γ + α 2 - n 2 γ 2 ρr = 0, (.20) έχει γενική λύση την ρr = r α Α J n β r γ + Β Y n β r γ, (.2) όπου J n, Y n είναι οι συναρτήσεις Bessel πρώτου και δεύτερου είδους, αντιστοίχα, τάξης n και Α, Β είναι αυθαίρετες σταθερές (βλ. [8], [25]). Αν εξισώσουμε τους συντελεστές της (.209) με εκείνους της (.20) θα βρούμε ότι α = 0, β = 2  k, γ = 2, n = 0, (.22) και η (.2) θα γίνει ρr = Α J 0 2  kr + Β Y 0 2  kr. (.23) Εφαρμόζοντας την αρχική συνθήκη (.206) και με τη σημείωση ότι J 0 0 = και ότι η Y 0 0 απειρίζεται έχουμε ότι ρr = J 0 2  kr. (.24) Όμως, I n x = -n J n  x, όπου I n x είναι η τροποποιημένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξης n. Άρα, η (.24) θα γίνει

33 ρr = I 0 2 kr. (.25) Συνεπώς, η Rs, w; η, ξ = I 0 2 k s - ηξ - w είναι η συνάρτηση Riemann της ΜΔΕ (.6). Με την επιπλέον ιδιότητα I 0 ' = I, η λύση του ΠΑΤ {(.6), (.76), (.83)} θα δίνεται από τη σχέση (.98). Δηλαδή, vs, w = 2 hs + hw + w s I0 2 k s - ηη - w φη η - k w s I 2 k s - ηη - w w - η s - ηη - w hη η - s I0 2 k s - ξξ-w ψξ ξ + w s s - ξ k I 2 k s - ξξ-w w s - ξξ-w hξ ξ - (.26) Λs, w I 0 2 k s - ηξ - w Gη, ξ η ξ Παρατήρηση.5..2 Αν θέσουμε a = b = d = F = 0 και c =, η (.39) είναι η κυματική εξίσωση u tt - u x x = 0. Με την παραπάνω επιλογή των παραμέτρων ισχύει ότι k = 0, Gs, w = 0, hs = f s, ks = gs, f ' s + gs f ' s - gs φs =, ψs =. 2 2 Άρα, χρησιμοποιώντας τη σχέση I 0 0 =, η (.26) γίνεται vs, w = 2 f s + f w + s f ' η + gη s f ' ξ - gξ η - ξ = w 2 w 2 s gξ ξ. (.27) (.28) (.29) 2 f s + f w + w Συνεπώς, η λύση της (.27) θα δίνεται από τον γνωστό τύπο του d Alembert ux, t = 2 f x + t + f x - t + x-t x+t gξ ξ. (.220)

34.5.2 Το πρόβλημα Cauchy για εξισώσεις υπερβολικού τύπου με μη-σταθερούς συντελεστές Θεωρούμε τη μη-ομογενή ΜΔΕ με μη σταθερούς συντελεστές Luª u xy + ax, y u x + bx, y u y + cx, y u = Fx, y, (.22) με τις αντίστοιχες αρχικές συνθήκες ux, φx = f x, u x x, φx = gx, u y x, φx = hx, (.222) όπου οι συναρτήσεις a, b, c, F είναι συνεχείς και η φx είναι μια συνάρτηση, είτε αύξουσα, είτε φθίνουσα, η οποία παριστάνεται από την καμπύλη Γ : y = φx. Επίσης, όπως και στο ΠΑΤ {(.6), (.76), (.83)}, έτσι και εδώ πρέπει να ισχύει η συνθήκη συμβατότητας f ' x = gx + hx φ' x, (.223) όπου οι συναρτήσεις f, f ', g, h είναι συνεχείς. y C 3 y Q Tx, y P C 2 φx φ - y C R x Γ :y= φx x C 3. Σχήμα.5.2.: Η περιοχή Tx, y που ορίζεται από τις ευθείες C, C 2 και την καμπύλη Η διαδικασία εύρεσης της συνάρτησης Riemann και κατ' επέκταση της λύσης του προβλήματος Cauchy {(.22), (.222)} δε διαφέρει σε τίποτα από εκείνη της παραγράφου.5.. Παίρνουμε ένα σημείο x, y του επίπεδου και εκφράζουμε την (.22) στις ανεξάρτητες μεταβλητές η, ξ, την πολλαπλασιάζουμε με τη συνάρτηση Riemann vη, ξ = Rx, y; η, ξ και ολοκληρώνουμε κατά παράγοντες στην περιοχή Tx, y. Πριν ξεκινήσουμε την ολοκλήρωση παρατηρούμε ότι vu ηξ = vu η ξ - v ξ u η = vu η ξ - v ξ u η + v ξη u, (.224) και συμμετρικά vu ηξ = vu ξ η - v η u ξ + v ηξ u. (.225) Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις βρίσκουμε ότι