~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και φανταστικό της μέρος είναι uxy (, ) x y και v( x, y) ( x + y xy) Οι πρώτες μερικές παράγωγοι των uxy (, ) και vxy (, ) ux x, u y, v 4x y, v 4y x, y x y είναι προφανώς συνεχείς σε όλο το επίπεδο x,y Επομένως, η f( ) θα έχει παράγωγο στα σημεία που ικανοποιούνται οι εξισώσεις auchy- emann Αυτές μας δίνουν ux vy x y uy vx x y Συμπεραίνουμε ότι η f ( ) έχει παράγωγο μόνο στα σημεία της ευθείας y x ή ( + x ) Δεν είναι όμως αναλυτική σε κανένα σημείο του μιγαδικού επιπέδου ούτε καν στα σημεία της ευθείας y x αφού όποιο σημείο της ευθείας κι αν θεωρήσουμε δεν υπάρχει γειτονιά του που σε όλα τα σημεία της η f ( ) να έχει παράγωγο Η f ( ) είναι αναλυτική παντού εκτός από τα σημεία στα οποία δεν είναι αναλυτική η Log( ) και τα σημεία που είναι ρίζες της εξίσωσης snh cosh 0 ή tanh Η Log( ) δεν είναι αναλυτική στα σημεία για τα οποία Im( ) 0 και e( ) 0 Αυτά βρίσκονται πάνω στην ευθεία x+ με x 0 Για τις ρίζες της snh cosh 0 (που είναι απλές ρίζες) έχουμε:

2 ~ ~ snh cosh 0 e e e ( + e ) e π π log kπ + kπ Άρα συνοψίζοντας, η f ( ) δεν είναι αναλυτική στα σημεία k ( + 4) π με k Z (που είναι απλοί πόλοι) και στα σημεία της k ημιευθείας x+ με x 0 που αποτελεί την εγκοπή κλάδου για την συνάρτηση Log( ) Σημειώστε ότι εναλλακτικά οι ρίζες της snh cosh 0 μπορούν να βρεθούν και μέσω των ταυτοτήτων cosh cos( ), snh sn( ), δηλαδή snh cosh 0 sn( ) cos( ) 0 tan( ) π kπ + k + π 4 4 γ) Υπολογισμός του f ( ) d : Ο βρόχος αποτελείται από το κυκλικό τόξο ΑΒ και το ευθύγραμμο τμήμα ΒΑ επί του πραγματικού άξονα Οι παραμετρικές τους εξισώσεις είναι: ΑΒ : ( θ ) 3e θ με θ 0 Ενώ f e + και ( θ ) 3e θ ( ) 9 θ 8 ΒΑ: x ( ) x με 3 x 3 Ενώ f( ) ( ) x + x και ( ) Άρα θ θ ( ) θ ΑΒ ΒΑ 0 3 f ( ) d f ( ) d + f ( ) d 9e e d + (+ ) x dx 3 3 θ θ 0 x ( 7e + 7 e ) + ( + ) 54( + ) 8( + ) 7( + ) : Υπολογισμός του ( ) d f

3 ~ 3 ~ Από τα σημεία που η f ( ) δεν είναι αναλυτική μόνο το ( + 4) π 3π 4 βρίσκεται στο εσωτερικό του βρόχου Επειδή η Log( ) είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό του βρόχου δυνάμει του θεωρήματος auchy-goursat έχουμε Log( ) d 0 Τώρα με εφαρμογή του θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων θα έχουμε Όμως cosh f ( ) d d + Log( ) d snh cosh cosh cosh d π es snh cosh snh cosh cosh cosh cosh es snh cosh (snh cosh ) cosh snh Και επειδή cosh cosh( 3π 4) cos(3π 4) και snh snh( 3π 4) sn(3π 4), θα έχουμε Τελικά ΘΕΜΑ cosh 3π es ( + ) snh cosh 8 f d 3π ( ) π ( + ) π ( ) α) Το χωρίο > είναι ένα δακτυλιοειδές χωρίο που στον εσωτερικό του κυκλικό δίσκο υπάρχει ένα ανώμαλο σημείο της f( ), το Επομένως το ανάπτυγμα της f ( ) σε σειρά δυνάμεων του σε

4 ~ 4 ~ αυτό το χωρίο δεν μπορεί να είναι ένα ανάπτυγμα Taylor αλλά θα είναι ένα ανάπτυγμα Laurent Στο χωρίο > όπου < θα έχουμε n f( ) n n 0 Αν χωρίσουμε τις άρτιες από τις περιττές δυνάμεις του η σειρά Laurent μπορεί να γραφεί και στην μορφή n ( ) ( ) f ( ) + n n+ n 0 n 0 β) Τα ανώμαλα σημεία της f ( ) είναι τα και 0 Το είναι απλός πόλος ενώ το 0 είναι ουσιώδες ανώμαλο σημείο Από αυτά το 0 βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου ενώ το βρίσκεται στο εξωτερικό του Επομένως εφαρμόζοντας το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων παίρνουμε f ( ) d π es f ( ) 0 Επειδή το 0 είναι ουσιώδες ανώμαλο σημείο για τον υπολογισμό του ολοκληρωτικού υπολοίπου είναι απαραίτητο να θεωρήσουμε το ανάπτυγμα της f ( ) σε σειρά Laurent στο χωρίο 0< < Σε αυτό το χωρίο μπορούμε να γράψουμε n n 0 e n 0 n n! n n, Επομένως, n + n m f( ) n m n n 0 m 0m! n 0 m 0 m!

5 ~ 5 ~ Ο συντελεστής του όρου ως προς σε αυτή τη σειρά Laurent είναι το ζητούμενο ολοκληρωτικό υπόλοιπο Τον λαμβάνουμε θέτοντας m n+ στο ανωτέρω διπλό άθροισμα Δηλαδή Τελικά es f ( ) 0 ( n )! n! n! n n 3 n n 0 + n n e + + e n n 0 n! ( ) + cos+ sn ( ) f ( ) d π( + cos) + π( sn) γ) Η συνάρτηση uxy (, ) λέγεται αρμονική στο χωρίο D του καρτεσιανού επιπέδου x,y αν στο D ισχύουν οι παρακάτω δύο απαιτήσεις: Οι δεύτερες μερικές της παράγωγοι uxx, uxy, u yy είναι συνεχείς Ικανοποιείται η εξίσωση του Laplace u + u 0 Είναι προφανές ότι και οι δύο αυτές απαιτήσεις ικανοποιούνται σε όλο το καρτεσιανό επίπεδο από την uxy (, ) αφού u, u u 0, u xx yy xx xy yx yy Η ζητούμενη αρμονική συζυγής vxy (, ) της uxy (, ) πρέπει να ικανοποιεί τις εξισώσεις auchy-emann vy ux και vx uy Η πρώτη εξίσωση γράφεται v x + v xy + y + c( x) y Εισάγουμε αυτή την τιμή της vxy (, ) στη δεύτερη εξίσωση και παίρνουμε y+ c y+ c cx ( ) x+ σταθερά x Έτσι, η ζητούμενη αρμονική συζυγής της uxy (, ) γράφεται x v( x, y) xy + x + y + c,

6 ~ 6 ~ όπου c πραγματική σταθερά Επειδή οι uxy (, ) και vxy (, ) είναι αρμονικές σε όλο το καρτεσιανό x,y επίπεδο η συνάρτηση f ( ) u + v θα είναι ακεραία αναλυτική Ο συντομότερος τρόπος για να την προσδιορίσουμε είναι στην έκφραση για τις uxy (, ) και vxy (, ) να θέσουμε y 0 και στη θέση του x το Βρίσκουμε έτσι ότι f ( ) ( ) c ΘΕΜΑ α) Θεωρούμε την συνάρτηση f( ) + + ( )( 9) και τον θετικά προσανατολισμένο ημικυκλικό βρόχο του σχήματος που αποτελείται από το ημικύκλιο κέντρου Ο και την διάμετρό του ( ) επί του άξονα των x Η συνάρτηση f( ) είναι παντού αναλυτική εκτός από τα σημεία που αντιστοιχούν στις ρίζες του παρονομαστή Αυτές είναι οι,, 3 3, 4 3 και είναι απλοί πόλοι - O x Το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων εφαρμοζόμενο για το βρόχο και την συνάρτηση f( ) μας δίνει

7 ~ 7 ~ ( ) f( ) d f( x) dx+ f( ) d π es f( ) + es f( ) 3 Αφήνουμε την ακτίνα να τείνει προς το άπειρο και η πιο πάνω σχέση γίνεται ( ) lm f( ) d f( x) dx+ lm f( ) d π es f( ) + es f( ) (3) 3 Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο στα σημεία και γράφεται ( + 9)( + ) es f( ) es ( 9)( ) es f( ) es ( + )( + 3 ) 3 ( + )( + 3 ) 3 ( 8) 6 6 Αντικαθιστούμε τις ποιο πάνω τιμές στη σχέση (3) που γίνεται π lm f ( ) d + f ( x) dx 4 (3) Τώρα θα δείξουμε με την βοήθεια της ανισότητας Darboux ότι lm f ( ) d 0 Γι αυτό το σκοπό χρησιμοποιούμε την τριγωνική ανισότητα για τα σημεία πάνω στον δρόμο πάρουμε: (όπου ) για να 3 ( + )( + 9) ( )( 9) οπότε f( ) ( )( 9) Τώρα η ανισότητα Darboux γράφεται

8 ~ 8 ~ 0 f ( ) d π ( )( 9) Στο όριο που επειδή ανισότητα Darboux έπεται ότι 3 lm ( )( 9) 0 από την lm f ( ) d lm f ( ) d 0, και έτσι lm f ( ) d 0, και η (3) γράφεται x x + x π dx ( )( 9) 4 β) Θεωρούμε την συνάρτηση g ( ) f( e ), όπου f( ) + και τον θετικά προσανατολισμένο ημικυκλικό βρόχο του σχήματος που αποτελείται από το ημικύκλιο κέντρου Ο και την διάμετρό του ( ) επί του άξονα των x Η συνάρτηση g ( ) είναι παντού αναλυτική εκτός από τα σημεία που αντιστοιχούν στις ρίζες της εξίσωσης + 0 Οι ρίζες αυτές είναι οι + και Παρατηρούμε ότι από αυτές μόνο η βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο ( y > 0) ενώ καμία δεν βρίσκεται πάνω στον άξονα των x

9 ~ 9 ~ O x Το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων εφαρμοζόμενο για το βρόχο και την συνάρτηση g ( ) μας δίνει gd ( ) gd ( ) + gxdx ( ) π es g ( ) Αφήνουμε την ακτίνα να τείνει προς το άπειρο και η πιο πάνω σχέση γίνεται lm gd ( ) + gxdx ( ) π es g ( ) (33) Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο στο σημείο (που είναι απλός πόλος της g) ( ) είναι π π e e ( + ) e es g ( ) ( ) e + ( ) + + Αντικαθιστούμε την ποιο πάνω τιμή στη σχέση (33) που γίνεται lm g( ) d + g( x) dx π ( ) e ( + ) πe (34) Τώρα θα δείξουμε με την βοήθεια του λήμματος Jordan (βλέπε σημειώσεις Μιγαδ Λογ σελ 96) ότι lm g( ) d 0 Γι αυτό το

10 ~ 0 ~ σκοπό παρατηρούμε ότι πάνω στον δρόμο ανισότητα: Άρα πάνω στον (όπου ) ισχύει η + ( ) η f( ) φράσσεται ως εξής: f( ) M ( ), Τώρα επειδή lm M 0 από το λήμμα Jordan έπεται ότι lm g( ) d 0 και έτσι η σχέση (3) γράφεται x πx e ( + ) πe x x+ Από αυτήν παίρνοντας τα φανταστικά μέρη και των δύο μελών προκύπτει ότι ΘΕΜΑ 4 α) Παρατηρούμε τα εξής: xsn( π x) dx e x x+ Αν x < τότε H( x+ ) H( x) H( x ) 0 οπότε f( x ) 0 Αν < x < 0 τότε H( x+ ), H( x) H( x ) 0 οπότε f( x ) Αν 0< x < τότε H( x+ ) H( x), H( x ) 0 οπότε f( x ) Αν x > τότε H( x) H( x+ ) H( x ) οπότε f( x ) 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει την ακόλουθη μορφή:

11 ~ ~ - x - Η μετασχηματισμένη Fourer της f( x ) γράφεται: 0 0 kx kx kx kx kx F( k) f ( x) e dx ( ) e dx e dx e e π π + π k k 0 0 k sn k k ( e e ) ( cos k) π k π k π k Εφαρμόζουμε τώρα τον τύπο Parseval-Plancherel την f( x ): f( x) Fk ( ) για k 4 sn 8 π k F( k) F( k) dk dk Αλλάζοντας την μεταβλητή ολοκλήρωσης θέτοντας k k το ανωτέρω ολοκλήρωμα γράφεται F( k) 4 sn π k 4 k dk Από την άλλη μεριά

12 ~ ~ f ( x) f ( x) dx dx Έτσι ο τύπος Parseval-Plancherel μας δίνει sn k 4 k dk π και επειδή η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι άρτια sn k 0 4 k dk π 4 β) Η λύση της εξίσωσης του Laplace στο άνω ημιεπίπεδο με την βοήθεια ενός μετασχηματισμού Fourer είναι αναπτυγμένη διεξοδικά στις σημειώσεις του μαθήματος όπου και σας παραπέμπω Η μέθοδος επίλυσης μας οδηγεί τελικά στον ολοκληρωτικό τύπο του Schwar που εδώ γράφεται 0 yf () t y y u( x, y) dt dt + dt π ( x t) + y π ( x t) + y ( x t) + y 0 Αλλάζουμε την μεταβλητή ολοκλήρωσης θέτοντας ξ t y και παίρνουμε x y ( x ) y d d x y ( x ) y uxy (, ) ξ ξ ( arctanξ arctanξ ( x ) y x y ) π + + ξ + ξ π ( x+ ) y x y x x+ x arctan arctan arctan π y y y Σημειώστε ότι με τη βοήθεια της ταυτότητας α ± β arctanα ± arctan β arctan, αβ

13 ~ 3 ~ Εύκολα βλέπουμε ότι η ανωτέρω συνάρτηση γράφεται και στη μορφή xy uxy (, ) arctan ( x + y ) + y x