Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Σ Χ Ο Λ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Σ Μ Ε Ν Ω Ν Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Κ Α Ι Φ Υ Σ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Τ Ο Μ Ε Α Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ Κανονικ εξέταση στο µάθηµα ΕΙ ΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ιδάσκων: Κ Χριστοδουλίδης 3 Ιουλίου ιάρκεια εξέτασης: /4 ώρες Βαθµός «Άριστα» αντιστοιχεί σε µονάδες συνολικά Θέµα (,5 µονάδες) (α) Ένας παρατηρητς S προσδιορίζει τις θέσεις των δύο άκρων Α και Β ενός τρένου, που κινείται ως προς αυτόν µε ταχύτητα, και ρίσκει ότι τη χρονικ στιµ t τα άκρα ρίσκονται στα σηµεία A L / και B L /, αντίστοιχα Ποια είναι η απόσταση L ανάµεσα στα δύο άκρα στο σύστηµα S του τρένου; Σε ποιες χρονικές στιµές, t A και t B, φαίνεται στον S ότι ο S έκανε τις δύο µετρσεις; [Υπόδειξη: Υπολοίστε Μη µαντέψετε!] () Ένας παλµός από N ασταθ σωµατίδια παράεται στο σηµείο τη χρονικ στιµ t, στο σύστηµα S του εραστηρίου Είναι νωστό ότι, στο δικό τους σύστηµα αναφοράς, τα σωµατίδια διασπώνται µε µέση διάρκεια ζως τ Παρατηρείται ότι στον παλµό παραµένουν N / e σωµατίδια που δεν έχουν διασπαστεί όταν ο παλµός έχει ταξιδέψει απόσταση L στο εραστριο ( e,788 είναι η άση των φυσικών λοαρίθµων) Με ποια ταχύτητα κινούνται τα / σωµατίδια στο σύστηµα S του εραστηρίου; [ ίνεται: Νόµος της ραδιενέρειας: N ( t) N e t τ ] Θέµα (,5 µονάδες) Ένας διεερµένος πυρνας X, µε µάζα ηρεµίας m, αποδιεείρεται εκπέµποντας ένα φωτόνιο Η µάζα ηρεµίας του αποδιεερµένου πυρνα X είναι m Ποια είναι η ολικ ενέρεια του νέου πυρνα, Ε, και η ενέρεια του φωτονίου,, στο σύστηµα αναφοράς του αρχικού πυρνα; ώστε τις απαντσεις σας συναρτσει των m και m Θέµα 3 (3 µονάδες) Πη φωτός Π κινείται µε σταθερ ταχύτητα κατά µκος του άξονα των στο σύστηµα αναφοράς S Η πη εκπέµπει, προς όλες τις κατευθύνσεις, φωτόνια τα οποία στο σύστηµα αναφοράς S της πης έχουν ενέρεια Στο επίπεδο y ρίσκεται παρατηρητς A, ακίνητος στο σύστηµα S Ο παρατηρητς λέπει σε µια χρονικ στιµ φωτόνια από την πη να κινούνται προς αυτόν, πάνω σε µια ευθεία που σχηµατίζει ωνία θ µε τον άξονα των, και τα οποία έχουν ενέρεια στο σύστηµα του, S (α) Να ρεθούν, στο S, οι συνιστώσες της ορµς των φωτονίων συναρτσει των και θ () Χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό ορµς και ενέρειας, δείξετε ότι ο λόος των συχνοττων στα δύο συστµατα είναι ίσος µε: + osθ o o () Συζητστε τις ειδικές περιπτώσεις ια θ, 9, 8 (δ) Για ποια τιµ του θ, έστω θ, είναι ; Πώς εξηείται αυτό; Θέµα 4 (3 µονάδες) Θεωρστε ένα φωτόνιο µε ενέρεια, που κατευθύνεται προς ένα πρωτόνιο ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς του εραστηρίου, (ΣΕ) Η και η µάζα ηρεµίας του πρωτονίου, M, θεωρούνται νωστά (α) είξετε ότι, στο σύστηµα αναφοράς του εραστηρίου, η ταχύτητα του συστµατος µηδενικς ορµς του πρωτονίου και του φωτονίου (ΣΜΟ) είναι + M () Πόση είναι η ορµ του φωτονίου και πόση η ορµ του πρωτονίου στο ΣΜΟ; () Πόση είναι η ενέρεια του φωτονίου και πόση η ενέρεια του πρωτονίου στο ΣΜΟ;
Σχετικιστικ Κινηµατικ: Τυπολόιο Μετασχηµατισµός της θέσης: Αν ένα σύστηµα αναφοράς S' κινείται µε ταχύτητα ˆ ως προς ένα σύστηµα αναφοράς S, και οι άξονες των δύο συστηµάτων συµπίπτουν όταν t t, τότε: ( t) y y z z t t όπου Συστολ του µκους: l l / ( l µκος ηρεµίας) ιαστολ του χρόνου: t t ( t ιδιοχρόνος) υ υ y Μετασχηµατισµός της ταχύτητας: υ, υ υ υz y υ, υ z υ Φαινόµενο Doler: Για πη που αποµακρύνεται από τον παρατηρητ µε ταχύτητα, πάνω στην ευθεία που τους ενώνει, είναι Σχετικιστικ υναµικ: + m m() m m( υ) m όπου, υ ταχύτητα του σωµατιδίου ( υ / ) 4 mυ m υ m m m + Για φωτόνια: h h λ / y y z z Μετασχηµατισµός ορµς-ενέρειας: ( ) ( ) Ισοδυναµία µάζας-ενέρειας: m Ηλεκτροµανητισµός: Μετασχηµατισµός του ηλεκτροµανητικού πεδίου: y ( y Bz) z ( z+ By) B B y ( By+ z / ) Bz ( Bz y / ) B
Θέµα (α) Ένας παρατηρητς S προσδιορίζει τις θέσεις των δύο άκρων Α και Β ενός τρένου, που κινείται ως προς αυτόν µε ταχύτητα, και ρίσκει ότι τη χρονικ στιµ t τα άκρα ρίσκονται στα σηµεία A L / και B L /, αντίστοιχα Ποια είναι η απόσταση L ανάµεσα στα δύο άκρα στο σύστηµα S του τρένου; Σε ποιες χρονικές στιµές, t A και t B, φαίνεται στον S ότι ο S έκανε τις δύο µετρσεις; [Υπόδειξη: Υπολοίστε Μη µαντέψετε!] () Ένας παλµός από N ασταθ σωµατίδια παράεται στο σηµείο τη χρονικ στιµ t, στο σύστηµα S του εραστηρίου Είναι νωστό ότι, στο δικό τους σύστηµα αναφοράς, τα σωµατίδια διασπώνται µε µέση διάρκεια ζως τ Παρατηρείται ότι στον παλµό παραµένουν N / e σωµατίδια που δεν έχουν διασπαστεί όταν ο παλµός έχει ταξιδέψει απόσταση L στο εραστριο ( e,788 είναι η άση των φυσικών λοαρίθµων) Με ποια ταχύτητα κινούνται τα / σωµατίδια στο σύστηµα S του εραστηρίου; [ ίνεται: Νόµος της ραδιενέρειας: N ( t) N e t τ ] (α) Στο σύστηµα S έχουµε Συµάν Α: A L / t A Συµάν Β: B L / t B Από τον µετασχηµατισµό του Lorentz ια τη θέση έχουµε τις αντίστοιχες τιµές στο σύστηµα S : L Συµάν Α: A ( L / ) L t A L L Συµάν Β: B ( L / ) L t B + L Μκος του τρένου στο σύστηµα S, στο οποίο τα σηµεία Α και Β είναι ακίνητα: L L L L A B ( ) () Για να µειωθεί ο αριθµός των σωµατιδίων κατά ένα παράοντα e, θα πρέπει να έχει περάσει χρόνος τ από τη δηµιουρία τους στο σύστηµά τους Στο σύστηµα S, ο χρόνος που πέρασε θα είναι τ Σε αυτό το χρόνο, ο παλµός διένυσε απόσταση ίση µε L Η ταχύτητα των σωµατιδίων είναι, εποµένως, ίση µε L L, από την οποία προκύπτει ότι τ τ Εποµένως L τ Η ταχύτητα της δέσµης είναι: και τ L ( τ L) + / ( τ L) + / L / τ ( L τ ) + /
Θέµα Ένας διεερµένος πυρνας X, µε µάζα ηρεµίας m, αποδιεείρεται εκπέµποντας ένα φωτόνιο Η µάζα ηρεµίας του αποδιεερµένου πυρνα X είναι m Ποια είναι η ολικ ενέρεια του νέου πυρνα, Ε, και η ενέρεια του φωτονίου,, στο σύστηµα αναφοράς του αρχικού πυρνα; ώστε τις απαντσεις σας συναρτσει των m και m X X+ Από τη διατρηση της ορµς προκύπτει ότι οι ορµές του νέου πυρνα και του φωτονίου θα είναι ίσες και αντίθετες, ± ιατρηση της ενέρειας: ιατρηση της ορµς: Επίσης, ια τον νέο πυρνα, + m () () 4 m + (3) Αντικαθιστώντας την από την εξίσωση () στην εξίσωση (), έχουµε + m (4) Η εξίσωση (3) ράφεται ως ( )( + ) m (5) Αντικαθιστώντας από την (4) στην (5) 4 ( ) m m 4 m m (6) Αθροίζοντας τις εξισώσεις (4) και (6) και διαιρώντας διά, ρίσκουµε την ενέρεια του νέου πυρνα: m m + m m + m m Η ενέρεια του φωτονίου είναι: m m m + m m m m m
Θέµα 3 Πη φωτός Π κινείται µε σταθερ ταχύτητα κατά µκος του άξονα των στο σύστηµα αναφοράς S Η πη εκπέµπει, προς όλες τις κατευθύνσεις, φωτόνια τα οποία στο σύστηµα αναφοράς S της πης έχουν ενέρεια Στο επίπεδο y ρίσκεται παρατηρητς A, ακίνητος στο σύστηµα S Ο παρατηρητς λέπει σε µια χρονικ στιµ φωτόνια από την πη να κινούνται προς αυτόν, πάνω σε µια ευθεία που σχηµατίζει ωνία θ µε τον άξονα των, και τα οποία έχουν ενέρεια στο σύστηµα του, S (α) Να ρεθούν, στο S, οι συνιστώσες της ορµς των φωτονίων συναρτσει των και θ () Χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό ορµς και ενέρειας, δείξετε ότι ο λόος των συχνοττων στα δύο συστµατα είναι ίσος µε: + osθ o o () Συζητστε τις ειδικές περιπτώσεις ια θ, 9, 8 (δ) Για ποια τιµ του θ, έστω θ, είναι ; Πώς εξηείται αυτό; (α) Η ορµ ενός φωτονίου που έχει ενέρεια Ε είναι / Εποµένως, στο σύστηµα S, οι συνιστώσες της ορµς του φωτονίου είναι: osθ y sinθ z () Στο σύστηµα αναφοράς S έχουµε φωτόνια µε συνιστώσα της ορµς osθ και ενέρεια Ε Εποµένως, στο σύστηµα αναφοράς της πης, S, η ενέρεια του φωτονίου ( ) [ + ( / ) os θ ] και (+ os θ ) Τελικά, είναι:, όπου + osθ Αυτ είναι η ενικ εξίσωση ια το φαινόµενο Doler () Για θ, osθ, και + (καθαρά διάµηκες φαινόµενο Doler µε την πη να αποµακρύνεται από τον παρατηρητ) o Για θ 9, osθ, και (καθαρά εκάρσιο φαινόµενο Doler) o Για θ 8, osθ, και + (καθαρά διάµηκες φαινόµενο Doler µε την πη να πλησιάζει τον παρατηρητ)
(δ) Είναι όταν είναι + osθ ( ) o o osθ, (9 < θ < 8 ) Για µικρό, είναι και osθ Ερµηνεία Έχουµε δύο φαινόµενα που αλληλοαναιρούνται: Η σχετικιστικ µείωση της συχνότητας που οφείλεται στη διαστολ του χρόνου (εκάρσιο φαινόµενο Doler), και Η αύξηση της συχνότητας που οφείλεται στην ακτινικ ταχύτητα προσέισης της πης στον παρατηρητ Για θ θ τα δύο φαινόµενα αλληλοαναιρούνται πλρως
Θέµα 4 Θεωρστε ένα φωτόνιο µε ενέρεια, που κατευθύνεται προς ένα πρωτόνιο ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς του εραστηρίου, (ΣΕ) Η και η µάζα ηρεµίας του πρωτονίου, M, θεωρούνται νωστά (α) είξετε ότι, στο σύστηµα αναφοράς του εραστηρίου, η ταχύτητα του συστµατος µηδενικς ορµς του πρωτονίου και του φωτονίου (ΣΜΟ) είναι + M () Πόση είναι η ορµ του φωτονίου και πόση η ορµ του πρωτονίου στο ΣΜΟ; () Πόση είναι η ενέρεια του φωτονίου και πόση η ενέρεια του πρωτονίου στο ΣΜΟ; (α) Στο σύστηµα αναφοράς µηδενικς ορµς (ΣΜΟ), το οποίο υποθέτουµε ότι κινείται µε ταχύτητα ως προς το σύστηµα του εραστηρίου, το πρωτόνιο έχει ταχύτητα, όπως προκύπτει από υ M τη σχέση υ ια υ, και ορµ υ Το φωτόνιο έχει ενέρεια λόω φαινοµένου Doler, και ορµ + Στο σύστηµα αναφοράς µηδενικς ορµς, η ολικ ορµ είναι ίση µε µηδέν Άρα Εποµένως, και M + ( ) M + M και τελικά + M είναι η ταχύτητα του συστµατος αναφοράς µηδενικς ορµς () Η ταχύτητα του πρωτονίου στο σύστηµα µηδενικς ορµς είναι Η ορµ του είναι, εποµένως, M Εδώ / ( + M ) M ( + M ) και έτσι M M ( + M ) () Η ενέρεια του φωτονίου στο σύστηµα µηδενικς ορµς είναι Η ορµ του φωτονίου στο σύστηµα µηδενικς ορµς είναι Του πρωτονίου, είναι: M < + M + ( + M ) ( ) M + M + M M M + 4 M M + M