Ε ι σ α γ ω γ ι κ ά Μ α θ η µ α τ ι κ ά. γ ι α Γ Ε Π Α. Λ.

Transcript

1 Ε ι σ α ω ι κ ά Μ α θ η µ α τ ι κ ά ι α Γ Ε Π Α. Λ. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ a b a ab b. Τετράωνο αθροίσµατος. Τετράωνο διαφοράς. ιαφορά τετραώνων a b a ab b a b a b a b ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α' ΒΑΘΜΟΥ Εξίσωση α αθµού είναι µια ισότητα που περιέχει µία µεταλητή (άνωστος και ο µεαλύτερος εκθέτης της µεταλητής που εµφανίζεται είναι το. a a, είναι νωστοί αριθµοί Επίλυση Για να επιλύσουµε µία εξίσωση α αθµού την ράφουµε στην ενική µορφή: α Αν υπάρχουν κλάσµατα, κάνουµε απαλοιφή των παρανοµαστών µε το Ε.Κ.Π. (Πολλαπλασιάζουµε κάθε κλάσµα ή αριθµό µε το Ε.Κ.Π. Κάνουµε πράξεις Μεταφέρουµε τους νωστούς όρους από του α µέλος στο µέλος, αλλά αλλάζουµε το πρόσηµό τους δ Μεταφέρουµε τους άνωστους όρους (όταν περιέχει τον άνωστο από το µέλος στο α µέλος, αλλά αλλάζουµε το πρόσηµό τους ε Κάνουµε πράξεις (προσθέσεις ζ ιαιρούµε και τα δύο µέλη µε τον συντελεστή του ανώστου. Παρατηρήσεις α Αν έχουµε τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει λύσεις Αν έχουµε τότε η εξίσωση είναι αόριστη (κάθε αριθµός είναι λύση

2 Παραδείµατα i ii a 9a a a 9a 9a 6a a 9a 9a 6a a a iii 7 7 ( ΑΥΝΑΤΗ iv ( v ΑΟΡΙΣΤΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β' ΒΑΘΜΟΥ (ΤΡΙΩΝΥΜΟ Εξίσωση αθµού είναι µια ισότητα που περιέχει µία µεταλητή (άνωστος και ο µεαλύτερος εκθέτης της µεταλητής που εµφανίζεται είναι το. a a,, είναι νωστοί αριθµοί και α Επίλυση a a a a i θετικός θετικός δύο λύσεις ii αρνητικός αδύνατη δεν έχει λύσεις iii µία λύση, η λύση αυτή λέεται διπλή a a c O αριθµός - α λέεται ιακρίνουσα του τριωνύµου b a a δύο λύσεις - α Πλήθος λύσεων Λύσεις >, α (διπλή α <

3 Παραδείµατα 7 7, > > α εξίσωση έχει δύο λύσεις η Αφού α d c δεν έχει λύσεις αδύνατη b a 9. 9, > > < < α έχει δύο λύσεις Αφού α f αδύνατη εξίσωση δεν έχει λύσεις η Αφού α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β' ΒΑΘΜΟΥ (ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ α, α > >,, α α (ύο πραµατικές ρίζες - α οµόσηµο του α ετερόσηµο του α οµόσηµο του α α (Μία πραµατική ρίζα - α οµόσηµο του α οµόσηµο του α < (εν έχει πραµατικές ρίζες - α οµόσηµο του α

4 Παραδείµατα Σχήµα Hornr (Τρόπος παραοντοποίησης πολυωνύµου αν νωρίζουµε µία ρίζα (Τρόπος διαίρεσης πολυωνύµου µε το πολυώνυµο -ρ α Να κάνετε τη διαίρεση ( :( - - Συντελεστές του πηλίκου υπόλοιπο ( ( υ( και π( Να παραοντοποιήσετε το πολυώνυµο P Το πολυώνυµο αυτό έχει ρίζα τον αριθµό ( P - Άρα P ( Παρατήρηση Για να ελέξουµε αν ένας αριθµός α είναι ρίζα του P( έχουµε δύο τρόπους: α Υπολοίζουµε το P(α µε αντικατάσταση α. Αν P(α τότε είναι ρίζα Κάνουµε το σχήµα του Hornr ια ρ. Αν υ τότε είναι ρίζα. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Αν P( είναι πολυώνυµο ν αθµού τότε η εξίσωση P( λέεται πολυωνυµική εξίσωση ν αθµού. Ρίζα της πολυωνυµικής εξίσωσης P( είναι ένας πραµατικός αριθµός ρ ώστε P(ρ. Θεώρηµα P P P ή P ή Pk ή Pk

5 Παρατήρηση α Για να λύσουµε µια εξίσωση µεαλύτερου αθµού, πρέπει οπωσδήποτε να µεταφέρουµε όλους τους όρους στο πρώτο µέλος και να το παραοντοποιήσουµε. Μετά µηδενίζουµε τον κάθε παράοντα και ρίσκουµε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. Αν έχουµε δυνάµεις µηδενίζουµε τις άσεις. Σε µια εξίσωση επιτρέπεται να αλλάζουµε όλα τα πρόσηµα. Σε µια εξίσωση επιτρέπεται να διαιρούµε όλους τους όρους µε ένα αριθµό. a b a ή b Παραδείµατα a ( ( ( H εξίσωση έχει τρεις λύσεις :,, b ( ( H εξίσωση έχει τρεις λύσεις :, (διπλή, (τριπλή c 6 6 ( ( < αδύνατη H εξίσωση έχει µία λύση d < ( αδύνατη H εξίσωση έχει µία λύση ( H εξίσωση έχει τρεις λύσεις ( διπλή,,

6 ( αδ νατη ( ( ύ f H εξίσωση έχει δύο λύσεις, ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. Βρίσκουµε τις λύσεις της εξίσωσης P( και παραοντοποιούµε το P(, ώστε κάθε παράοντας να είναι µέχρι ου αθµού.. Κάνουµε τον πίνακα των πρόσηµων κάθε παράοντα.. Πολλαπλασιάζουµε τα πρόσηµα κάθετα και ρίσκουµε το πρόσηµο του P(.. Η λύση είναι η ένωση των διαστηµάτων στα οποία ισχύει η ανίσωση (το πρόσηµο είναι το κατάλληλο. Παράδειµα Να λυθεί η ανίσωση: 7 Αφού 7 ( η ανίσωση ίνεται: ( ( Οι λύσεις είναι: και ή Η λύση είναι η : ή, αφού το πολυώνυµο πρέπει να είναι θετικό ή µηδέν. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι µια αντιστοιχία που συνδέει δύο µεταλητές, ώστε κάθε αριθµός που συµολίζεται µε την µεταλητή να αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο αριθµό που συµολίζεται µε την µεταλητή. Παραδείµατα i ( ενικά 6

7 ii ( ενικά Παρατηρήσεις α Το ή f ( λέεται τιµή της συνάρτησης. Όταν θέλουµε να ρούµε την τιµή µιας συνάρτησης αντικαθιστούµε την τιµή της µεταλητής στον τύπο της συνάρτησης, κάνουµε πράξεις και ρίσκουµε την τιµή της συνάρτησης ια την συκεκριµένη τιµή της. Οι συναρτήσεις συµολίζονται µε δύο τρόπους : α f Παραδείµατα a f b ( 9 f Άρα η τιµή της συνάρτησης f όταν - είναι -9 g g( Άρα η τιµή της συνάρτησης g όταν είναι ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο ανώστους είναι δύο ισότητες που η κάθε µια παριστάνει ευθεία. α α Επίλυση µε την µάθοδο των αντίθετων συντελεστών α Πρώτα κάνουµε πράξεις και χωρίζουµε τους νωστούς όρους από τους ανώστους Πολλαπλασιάζουµε και τις δύο εξισώσεις µε κατάλληλους αριθµούς ώστε µετά οι εξισώσεις να αποκτήσουν αντίθετους συντελεστές ια ένα άνωστο ( ή. Μετά προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο εξισώσεις και λύνουµε την απλή εξίσωση µε ένα άνωστο που προκύπτει. Τον άλλο άνωστο τον ρίσκουµε ως εξής: i Με αντικατάσταση σε µια από τις δύο εξισώσεις ή ii Επαναλαµάνουµε την ίδια µέθοδο µε τον άλλο άνωστο. 7

8 Παράδειµα 6 6 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση f, R λέεται εκθετική συνάρτηση ΙΙΟΤΗΤΕΣ a b c d ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση f ln, > λέεται απλά λοαριθµική. Έχει άση τον αριθµό. 7. Ο λοάριθµος log µε άση το λέεται δεκαδικός λοάριθµος. Ο λοάριθµος ln µε άση το λέεται φυσικός λοάριθµος. ΙΙΟΤΗΤΕΣ a log ln log ln b log, ln, c log, log ln, ln d a ln a log log log ln ln ln f log log log ln ln ln g k log k log k ln kln h lnθ logθ ln ln ln ln ln