Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό Λύκειο). Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Ευχαριστώ τους μαθητές μου που με βοήθησαν σε όλο αυτό. Επιμέλεια Λαβίδας Κωνσταντίνος Μαθηματικός

Πίνακας περιεχομένων Πράξεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών... 3 Διάταξη... 5 Απόλυτα... 8 Ρίζες πραγματικών αριθμών... 10 Εξισώσεις 1 ου βαθμού... 13 Η εξίσωση της μορφής xν = α... 16 Η εξίσωση ax2 + βx + γ = 0, a 0... 17 Άθροισμα και γινόμενο ριζών της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0, α 0... 19 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού... 21 Προβλήματα που ανάγονται στην επίλυση εξίσωσης... 22 Ανισώσεις 1 ου βαθμού... 23 Ανισώσεις 1 ου βαθμού με απόλυτα... 25 Μορφές τριωνύμου αx2 + βx + γ, α 0... 27 Ανισώσεις 2 ου βαθμού... 28 Ακολουθίες... 32 Αριθμητική πρόοδος... 33 Γεωμετρική πρόοδος... 34 Η Έννοια της συνάρτησης... 36 Γραφική παράσταση συνάρτησης... 40 Καρτεσιανές Συντεταγμένες... 40 Γραφική παράσταση συνάρτησης... 43 Η συνάρτηση (πρώτου βαθμού) f(x) = αx + β... 45 Ασκήσεις επανάληψης... 48 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 2

Πράξεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών 1. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α)( 1) 2012 3 4 ( 5) 3 2 10 2, β) [2 4 4 + ( 2) 8 ] 10 + (109 278) 0, γ) 2 3 + 2 3 ( 1 2 ) 3, δ) (x2 ) 6 x 4 y 7 : x4 y 5 αν οι αριθμοί y και 1 x, είναι αντίστροφοι, ε) ( 1)ν ( 1) ν+1, ζ) ( 1) ν + ( 1) ν+1, η) ( 1) 3ν+1 ( 1) 4ν+12 2. Άσκηση βιβλίου σελίδα 52 Α ομάδα, 2 3. Αν οι αριθμοί α 1 2 και β 2, είναι αντίστροφοι να δείξετε ότι: α) 4α+β=2αβ και β) οι αριθμοί α 2 β 4 και α ( 1 β ) + β είναι αντίθετοι 2 2 2 4. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι ανάλογοι των αριθμών 5, 3 και 4 αντίστοιχα και α+2β-5γ=9, να βρείτε τους αριθμούς α, β και γ. 5. Έστω α+β α β = 3 με α 0. α) Να βρείτε το λόγο α β, β) να υπολογίσετε την παράσταση α2 β 2 2αβ. 6. Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει α+2β 3) 4 + ( 2γ+β α 5)3 (7 2α+γ β )3. γ = 2γ+β α 7. Να αποδείξετε ότι η παράσταση ( xa x b)a+b ( xb x c)b+c ( xc = 2α+γ β να υπολογίσετε την παράσταση: ( α+2β x a)c+a για x 0 είναι ανεξάρτητη του x. 8. Α) Να αποδείξετε τις επόμενες προτάσεις: α) α 2 + β 2 = (α + β) 2 2αβ = (α β) 2 + 2αβ, β) α 3 + β 3 = (α + β) 3 3αβ(α + β) και γ) α 4 + β 4 = (α 2 + β 2 ) 2 2α 2 β 2. Β) α) Αν x + 1 = 2, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: x x2 + 1 x 2, x3 + 1 και x 3 x4 + 1 β) Αν x 1 = 1, να υπολογίσετε x 4 x τις παραστάσεις: x 2 + 1 x 2, x3 1 x 3 και x4 + 1 x 4. γ 9. α) Να παραγοντοποιήστε τις παραστάσεις: Α = x 3 4x, B = x 3 4x 2 + 4x, Γ = 2x 3 + 3x 2 2x. β) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α Β, Γ Β, Γ Β(2x+1) 10. Άσκηση βιβλίου σελίδα 53 Β ομάδα, 3, λαμβάνοντας υπόψη ότι ορίζονται. 11. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α = 5x+10y x y x3 27 x2 2xy+y 2 : 5y 5x 4y 2 x 2 x 2 +3x+9 x 2y, Β = α 3 β 3 (α+β) 2 αβ, Γ = α 2 +β 2 γ 2 +2αβ α 2 β 2 +γ 2 +2αγ λαμβάνοντας υπόψη ότι ορίζονται. 12. Αν οι α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει (β 2 α 2 + γ 2 )(β 2 + α 2 γ 2 ) = 4α 2 γ 2 να αποδείξετε ότι ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα. 13. α) Να δείξετε ότι η παράσταση Α = x 2 + (x + 1) 2 + x 2 (x + 1) 2, είναι τέλειο τετράγωνο. β) Να δείξετε ότι η παράσταση Β = 1 + 1 x 2 (x+1) 2 + 1, είναι επίσης τέλειο τετράγωνο. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 3

14. Αν ισχύει α+β-1=αβ, να αποδείξετε ότι: α=1 ή β=1. (Υπόδειξη: σκέψου ότι το συμπέρασμα μετασχηματίζεται σε γινόμενο παραγόντων ίσο με το μηδέν) 15. α) Αν x 2 4x y 2 + 2(3y 10) = 15, να δείξετε ότι y=x+1 ή y=5-x. β) Αν x 2 4x + y 2 2(3y 10) = 7, να βρεθούν τα x και y (Υπόδειξη: σκέψου μήπως το συμπέρασμα μετασχηματίζεται σε άθροισμα τετραγώνων ίσο με το μηδέν). 16. Αν ισχύει α(β 2 + 1) = (α 2 + 1)β, να αποδείξετε ότι οι α και β είναι ίσοι ή αντίστροφοι. 17. Αν είναι α + β + γ = 0 να αποδείξετε ότι (α + β) 3 + (β + γ) 3 + (α + γ) 3 = 3αβγ. 18. Αν ισχύει: (5x 1) 3 + 27(x 1) 3 = (8x 4) 3 να δείξετε ότι x = 1 5 ή x = 1 ή x = 1 2. 19. Αν για τους θετικούς ακεραίους α, β, γ ισχύει ότι: 3 α3 +β 3 = ( 27αβ 3 γ 2 ) γ να αποδειχτεί ότι α=β=γ. 20. Αν για τους αριθμούς α, β, γ R και ισχύει α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ να δείξετε ότι ισχύει α + β + γ = 0 ή α = β = γ. Αν οι αριθμοί είναι θετικοί πως θα διαμορφωθεί το συμπέρασμα. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 4

Διάταξη Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β και γράφουμε α> β, όταν η διαφορά α - β είναι θετικός αριθμός ή η διαφορά β - α είναι αρνητικός αριθμός. Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν. επομένως α > β α β > 0 Γεωμετρικά η ανισότητα α > β σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών ο αριθμός α (ως μεγαλύτερος) είναι δεξιότερα από τον (μικρότερο) β. Το άθροισμα θετικών (αρνητικών) είναι θετικός (αρνητικός): α>0 και β>0 τότε α+β>0 (α<0 και β<0 τότε α+β<0). Δεν ισχύει το αντίστροφο. Το γινόμενο ή το πηλίκο ομοσήμων (ετεροσήμων) είναι θετικό (αρνητικό) και αντίστροφα: α, β ομόσημοι α β > 0 α β > 0 (α, β ετερόσημοι α β < 0 α β < 0) Το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός (θετικός ή μηδέν): α 2 0, η ισότητα (=) ισχύει όταν ο αριθμός είναι μηδέν. Επομένως για τις ταυτότητες ισχύει: α 2 ± 2αβ + β 2 = (α ± β) 2 0 α 2 + β 2 = 0 α = 0 και β = 0 (χρήσιμο για προσδιορισμό δύο ή περισσοτέρων αγνώστων όταν έχουμε μια εξίσωση) α 2 + β 2 0 α 0 ή β 0 Ιδιότητες Μεταβατική ιδιότητα: αν α>β και β>δ τότε και α>δ. Σε μια ανισότητα μπορώ να προσθέσω τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη της: α > β α + γ > β + γ. Σε μια ανισότητα αν πολλαπλασιάσω τον ίδιο θετικό αριθμό και στα δύο μέλη της τότε δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας: α > β γ>0 α γ > β γ Σε μια ανισότητα αν πολλαπλασιάσω τον ίδιο αρνητικό αριθμό και στα δύο μέλη της τότε αλλάζει η φορά της ανισότητας: α > β γ<0 α γ < β γ Μπορώ να προσθέσω δύο ή περισσότερες ανισότητες κατά μέλη αρκεί να έχουν την ίδια φορά: α<β και γ<δ τότε α+γ<β+δ Μπορώ να πολλαπλασιάσω δύο ή περισσότερες ανισότητες κατά μέλη αρκεί να έχουν θετικά μέλη και την ίδια φορά: 0<α<β και 0<γ<δ τότε α γ < β δ Σε μια ανισότητα (ισότητα) με θετικά μέλη μπορώ να υψώσω τα μέλη σε κάποιον εκθέτη θετικό ακέραιο (ν Ν ), χωρίς να αλλάξει η φορά και αντίστροφα: 0 < α < β ν Ν α ν < β ν (0 < α = β ν Ν α ν = β ν ). Η ανισότητα αυτή είναι πολύ χρήσιμη στη σύγκριση δυνάμεων με κοινό εκθέτη. Η ανισοτική σχέση δύο ομόσημων αριθμών αλλάζει για τους αντίστροφους αυτών: α < β 1 > 1. α β Το άθροισμα δύο αντιστρόφων αποκλείεται να βρίσκεται μεταξύ του -2 και του 2: για α>0 τότε 1 + α 2, για α α<0 τότε 1 + α 2. α Για να συγκρίνω δύο αριθμούς, ελέγχω το πρόσημο της διαφοράς αυτών. Εναλλακτικά και στην περίπτωση που οι αριθμοί είναι θετικοί μπορώ να συγκρίνω το πηλίκο τους με την μονάδα. Θυμόμαστε: σε ένα κλάσμα, αν ο αριθμητής είναι μικρότερος του παρανομαστή τότε το κλάσμα είναι μικρότερο της μονάδας και αντίστροφα. Ασκήσεις εμπέδωσης 21. Αν 0<α<1<β<3<γ, να συμπληρώσετε όποια από τα σύμβολα: <, >,, χρειάζονται. α γ γ...β 3-α 0 β-γ.0 β+1 0 (1 β) 4 0 ( β) 4 γ+3 0 α-β.0 α-4 0 (β γ) 2 α+1 0 ( 1 β) 3 0 (2 β) 2012.0 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 5

22. α) Να αποδείξετε ότι: i) αν x>y τότε και x+2012>y+2011, ii) αν x>y τότε και x + κ 2 > y, β) Αν x < y τότε x < x+y 2 2 11 < y και γ) i)αν x >, y > και z > 9 1, να δείξετε ότι xyz>1, ii) 0 < < 1. 33 3 2 (xyz) 2 23. Αν 0<α<1 να δείξετε ότι ισχύει: α 0 > α > α 2 > α 3 24. Δίνεται ότι 2 < x < 3, y ( 1, 3) και z ( 7, 1 ). α) να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται 2 2 οι παραστάσεις: A=-2x, B=-3y, Γ=4z, Δ=7-2x-3y+4z, β) αν επιπλέον x>1, να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις: Δ = 2x 2 + 6, E= xz + 7 και H = x+z παραστάσεις Δ και H; xz και γ) ποιους ακέραιους υποδεικνύουν οι 25. Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β ισχύει: α + 1 > β + 2, να αποδείξετε ότι: α) α>β και β) α 2 + α > β 2 + β. 26. i) Αν α>β να συγκρίνετε τους αριθμούς: α-2β και β-2α, ii) αν α>β>0 να συγκρίνετε τους αριθμούς: α 10 β 11 και α 8 β 13, iii) να συγκρίνετε τους αριθμούς: 2 51, 3 34 και 2048. 27. Να αποδείξετε ότι: α) ότι: α+β α+β+1 < α + β α+1 β+1 1 < 1 για α>0, β) 1 < 1 + 1 + + 1 < 1, γ) αν α, β θετικοί να αποδείξετε α+1 α 2 1001 1002 2000 28. Να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί α και β που ικανοποιούν τις σχέσεις: -2<α+β<3 και -1<α-β<1. 29. Ασκήσεις του βιβλίου: Α ομάδα: 1, 2, 5, 6, 7 και Β ομάδα: 2, 3, 4 30. α) Να αποδείξετε ότι (α β) 2 + (β γ) 2 + (α γ) 2 0, πότε ισχύει η ισότητα; β) Να αποδείξετε ότι α 2 + β 2 + γ 2 αβ + αγ + βγ και γ) να αποδείξετε οι αριθμοί (α + β + γ) 2 9αβ, (α + β + γ) 2 9γβ και (α + β + γ) 2 9γα, αποκλείεται να είναι όλοι αρνητικοί. 31. Να δείξετε ότι x 2 + x + 1 > 0 για κάθε πραγματικό αριθμό x. Aν επιπλέον ισχύει αx 2 + αx + α = βx 2 + βx + β να δείξετε ότι α=β. 32. Έστω Ω={1,2,3,4,5} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Έστω επίσης Α = {1, α + 1, α 2 + 2) και Β={3, 4}, δύο ενδεχόμενα του Ω όπου α R. Αν ισχύει η σχέση Α Β = {1,2,3,4} να: α) αποδείξετε ότι α + 1 < α 2 + 2, β) α= 1 και γ) βρείτε τις πιθανότητες Α, Β, Α Β Α-Β και Α Β. 33. Α) α) Να αποδείξετε ότι σε κλάσμα μικρότερο της μονάδας με θετικούς όρους αν αυξήσουμε τους όρους τότε το κλάσμα μεγαλώνει. β) Να αποδείξετε ότι σε κλάσμα μεγαλύτερο της μονάδας με θετικούς όρους αν αυξήσουμε τους όρους του τότε το κλάσμα μικραίνει. Β) Να αποδείξετε ότι: α) το άθροισμα δύο αντιστρόφων αποκλείετε να βρίσκεται μεταξύ του -2 και του 2. β) Αν για τον μη μηδενικό πραγματικό αριθμό κ ισχύει: k 2 1 k 2 = α2 2α 1, να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α. Γ) Το γινόμενο δύο αριθμών είναι πάντα μικρότερο ή ίσο από το τετράγωνο του μέσου τους. 34. α) Να αποδείξετε ότι α 2 + 1 1 και (β 1) 2 + 1 1. β) Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α και β αν ισχύει (α 2 + 1)[(β 1) 2 + 1] = 1. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 6

35. Να αποδείξετε τις παρακάτω ανισότητες (πολύ χρήσιμες για αποδείξεις ανισοτήτων): α) x 2 + y 2 ±2xy, β) x2 +y 2 ±xy, γ) (x + y) 2 4xy, δ) (x y) 2 4xy, ε) x2 +y 2 2 36. Αν α, β θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε 3α+4β=60, να δείξετε ότι 15<α+β<20. 2 ( x+y 2 )2 37. Να δείξετε ότι x 4 x + 1 = 2 (x2 1 2 )2 + (x 1 2 )2. Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης 2x 4 2x + 1. 38. α) Να δείξετε ότι: 3(α 2 + β 2 + γ 2 ) (α + β + γ) 2. β) να δείξετε ότι για τους μη αρνητικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει: α 2 + β 2 + γ 2 (α + β + γ) 2 και γ) αν για τους μη αρνητικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει α + β + γ = 3 να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμής της παράστασης α 2 + β 2 + γ 2. 39. Αν οι αριθμοί α, β και γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει: α 2 + β 2 2γ(α + β γ), να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 7

Απόλυτα Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού (έστω α) ονομάζουμε την απόσταση της θέσης του αριθμού στον άξονα των πραγματικών αριθμών από τη θέση του μηδέν (αρχή Ο). Συμβολίζεται α και αφού είναι απόσταση είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός, δηλαδή α 0. Γενικότερα για την απόλυτη τιμή οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ισχύει: α = { α, α 0 α, α < 0 οπότε: Η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός: α = α αν α > 0 Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του: α = α αν α < 0 Η απόλυτη τιμή του μηδέν είναι μηδέν: α = 0 αν α = 0 Απόσταση δύο αριθμών α και β ονομάζουμε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τις θέσεις των δύο αριθμών στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Συμβολίζεται με d(α, β) και ισχύει: d(α, β) = α-β Συνέπειες του ορισμού: α = α 0 α α και α α α α α α 2 = α 2 (χρήσιμο στην απαλοιφή των απολύτων) x + y = 0 x = 0 και y = 0 x + y > 0 x 0 ή y 0 Πολύ χρήσιμα στη λύση εξισώσεων και ανισώσεων (θα τα δούμε διεξοδικά σε επόμενα μαθήματα) Αν θ>0 τότε: x = θ x = θ ή x = θ x = α x = α ή x = α Αν θ>0 τότε: x < θ θ < x < θ Αν θ>0 τότε: x > θ x < θ ή x > θ Ιδιότητες των απολύτων τιμών 1. α β = α β * 2. α = α, β 0 β β 3. α + β α + β *, η ισότητα ισχύει όταν οι α, β είναι ομόσημοι ή τουλάχιστον ένας εκ των δύο είναι μηδέν: α β 0 4. α + β α β, η ισότητα ισχύει όταν οι α, β είναι ετερόσημοι ή τουλάχιστον ένας εκ των δύο είναι μηδέν: α β 0 *οι 1 και 3 ισχύουν και για περισσότερους παράγοντες ( η 1) ή προσθετέους (η 3) Ασκήσεις 40. Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α= α-1-1-β -2 β-α + α -3 3-α + α+β-4, αν 1<α<β<2, Γ = γ 2 1 2γ 2 + 2γ + 2 + 2γ 1 3x 2 Β = 2 3x y 3 y z + x 3 y z x + y Δ = x x + x + x Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 8

Ε = 2 a 2 a(a + 2) + 1 a 1 2 Z = a 3 a 2 α 1 41. Ασκήσεις βιβλίου: Α ομάδα: 5, 6, 7 (9 πρώτες γραμμές) 42. α) αν α =2, β =4 και γ =1, να δείξετε ότι α 2β γ 11 β) Αν για τον πραγματικό αριθμό x, ισχύει: -2<x<1, να δείξετε ότι 3x 2 x + 10 <24, γ) αν α 2 2 και β 3 5 τότε α β + 1 7 43. Να δείξετε ότι 1 α + α 2. 44. Αν ισχύει 7w-1 <d(w,7) τότε w <1 45. Ασκήσεις βιβλίου: Β ομάδα: 3, 4, 5 46. Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α 1, β 2, γ 3 0, να δείξετε ότι: α) για α 0, β) α 1 α 1 + β 2 β 2 4 γ 3 γ 3 6 α α 1, 47. Αν για τον πραγματικό αριθμό x, ισχύει x+2 <2, α) να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις x-1 και x-2. β) να δείξετε ότι (x-1)(x-2) <30. 48. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς α,β για τους οποίους ισχύει: β-3α + 2-2α = α-1. α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς α και β, β) Για α = 1 και β = 3, να υπολογίσετε τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει: i) d(x,α) < β, ii) d(x,β) > α. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 9

Ρίζες πραγματικών αριθμών Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού (α 0) είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον α. Η τετραγωνική ρίζα συμβολίζεται με α. Η τετραγωνική ρίζα ( α) για α 0, παριστάνει την μη αρνητική λύση (ρίζα) της εξίσωσης x 2 = α α 2 = α και ( α) 2 = α 2 = α. (Η δεύτερη σχέση χρησιμοποιείται όταν θέλω να απαλείψω τη ρίζα. Υψώνω και τα δύο μέλη, π.χ. της ισότητας, στο τετράγωνο). Ιδιότητες τετραγωνικής ρίζας: α β = α β, με α, β 0. (ισχύει και για περισσότερους παράγοντες) α = α με α 0 και β > 0 β β α β = α 2 β, με α, β 0. (εισάγω την μη αρνητική παράσταση α μέσα στη ρίζα) ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού (α 0) είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στην ν δίνει το ν α. Η ν-οστή ρίζα συμβολίζεται με α). (ο ν είναι θετικός ακέραιος) ν Η ν-οστή ρίζα ( α 1 Η ν-οστή ρίζα είναι η γενικευμένη μορφή ριζών οπότε: α ν Αν α 0 τότε α ν ) για α 0, παριστάνει την μη αρνητική λύση (ρίζα) της εξίσωσης x ν = α ν = α και ( α ν Αν α 0 και ν άρτιος τότε α ν ) ν ν ν = α = α = α = α ν Η ν-οστή ρίζα μπορεί να γραφεί ως δύναμη με ρητό εκθέτη: α μ ακέραιος. Επιπλέον αν μ και ν θετικοί ακέραιοι τότε 0 μ ν = 0. 2 και α = α = α μ ν, α>0, όπου μ ακέραιος και ν θετικός α 1 2 = α και α 1 3 3 3 = α. (Η α λέγεται και κυβική ρίζα) Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο που μάθαμε στη σελίδα 47 ισχύουν και με εκθέτες ρητούς αριθμούς. Ιδιότητες ν-οστής ρίζας: ν α β ν = α ν β, με α, β 0 (ισχύει και για περισσότερους παράγοντες) 0 0 0 (απλοποιώ τους κοινούς δείκτες ή μεγαλώνω τους δείκτες των ριζών) 0 (τις εμφωλευμένες ρίζες τις μετατρέπω σε μια), 0 (εισάγω την μη αρνητική παράσταση α μέσα στη ν-οστή ρίζα) Ανισωτικές σχέσεις με ρίζες: αν, 0 ό ν Προσοχή για οποιουσδήποτε μη αρνητικούς αριθμούς α, β δεν ισχύει: α ± β Ασκήσεις ν = α ν ± β. 49. α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2 1 είναι τετραγωνική ρίζα του 3 2 2 και β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2 1 είναι κυβική ρίζα του 5 2 7. Ιδιότητες ριζών για υπολογισμό ριζών 50. Ασκήσεις 1, 6,7 Ά ομάδα σελίδα 74 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 10

Απλοποίηση ριζών «Αποτετραγωνισμός» 51. Άσκησεις: 2, 3, 4 Α ομάδα σελίδα 74 και 2, 3 Β ομάδα. σελίδα 75 4 52. Απλοποιήστε την παράσταση: 161 72 5 53. Απλοποιήστε την παράσταση: Α = 1 + 2012 1 + 2013 2015 54. Να αποδείξετε ότι: α) (1 + 2) 2 =3 + 8, β) (3 + 8) 2 = 17 + 288 και γ) (1 + 2) 100 +(3 + 8) 50 + (17 + 288) 25 > 3 2 125. 55. Να αποδείξετε ότι x 3 y + xy 3 = xy x + y 56. Να αποδείξετε ότι: α)α + β 2 αβ, αν α, β 0, β) a2 +4 a 2 +3 > 2 Υπολογισμός αριθμητικής παράστασης με ρίζες την οποία μετασχηματίζω σε παράσταση που μπορώ να πραγματοποιήσω αναγωγή όμοιων «ριζών» Πολλές φορές που δεν είναι εφικτός ο υπολογισμός μιας ρίζας, δηλαδή ο προσδιορισμός του αριθμού που το τετράγωνό του ισούται με την υπόριζο ποσότητα, ίσως είναι εύκολο να γραφτεί η υπόριζος ποσότητα ως γινόμενο ενός τέλειου τετραγώνου και ενός άλλου αριθμού. Για παράδειγμα α) 32 = 16 2 = 16 2 = 4 2 3 2 = 4 2 και β) 81 3 27 3 3 3 3 = 27 3 = 3 3 57. Άσκησεις: 5, 9, 11 Α ομάδα σελίδα 74. Ιδιότητες δυνάμεων με ρητό εκθέτη για υπολογισμό ριζών 58. Άσκηση: 8, Α ομάδα σελίδα 74. Ισοδύναμα κλάσματα με ρητό παρανομαστή «Ρητοποίηση παρανομαστή» 5 59. Α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α = α 5 α 4 τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρανομαστή: Α = 2 5, Β = 9 10, Γ = α 3 6 Άσκησεις: 10 Α ομάδα σελίδα 75 και 1, 4 Β ομάδα σελίδα 75 Σύνθετα θέματα και Β = ( α β)( α + β), Β) Να μετατρέψετε 5 ( α+ β) και Δ = 2 1 3 και Γ) 60. α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 2 3 και 2 + 3, β) Αν Α = 2 3 2 + 3 να βρείτε το Α 2 και γ) να υπολογίσετε το Α. 61. Να υπολογίσετε την παράσταση 2 1 2 + 1 5 62. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: α + 2β + α + 1=0 να: α) βρείτε τους α, β και β) να υπολογίσετε την παράσταση Α = 2014 α + α 4β + 8 63. Δίνεται ο αριθμός x = 6 2. α) να αποδείξετε ότι x = 2 6 3 2+1 1 x, ii) x2 + 1 x 2, iii) x3 + 1 x 3. 2 1, β)να υπολογίσετε τις παρατάσεις i) x + = Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 11

64. α) Αν x, y 0, να αποδείξετε ότι: 2 xy x + y. Να εξετάσετε ποτέ ισχύει η ισότητα. β) Αν α, β, γ 0 να αποδείξετε ότι: αβ + αγ + βγ α + β + γ, γ) Να δείξετε ότι 6 + 8 + 12 9. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 12

Εξισώσεις 1 ου βαθμού Εξίσωση πρώτου βαθμού είναι μια εξίσωση που έχει έναν άγνωστο και μπορεί να μετασχηματιστεί στη μορφή αx + β = 0. Η λύση οποιασδήποτε εξίσωσης λέγεται και ρίζα αυτής. Επίλυση εξίσωσης πρώτου βαθμού Αν έχει παρανομαστές: Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών, πολλαπλασιάζοντας δηλαδή και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το ΕΚΠ. Κάνουμε όλες τις δυνατές πράξεις: επιμεριστική ιδιότητα και τελικά αναγωγή ομοίων όρων. Τέλος φέρνουμε την αρχική εξίσωση στη μορφή αx + β = 0. Για να λύσω την εξίσωση της μορφής αx + β = 0 (1) : αν α 0 τότε η εξίσωση (1) έχει ακριβώς μια λύση την x = β. Ισχύει και το αντίστροφο. α αν α = 0 και β 0 τότε η εξίσωση (1) είναι αδύνατη. Δηλαδή δεν έχει καμία λύση. Ισχύει και το αντίστροφο. αν α = 0 και β = 0 τότε η εξίσωση (1) είναι αόριστη ή ταυτότητα. Δηλαδή αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό και επομένως έχει άπειρες λύσεις. Ισχύει και το αντίστροφο. Επαλήθευση εξίσωσης Αντικαθιστώ την άγνωστη ποσότητα με την λύση (ρίζα). Αν οδηγηθώ σε μια αληθής πρόταση τότε πράγματι η λύση αυτή είναι σωστή. Παραμετρική εξίσωση. Αν οι συντελεστές α και β της εξίσωσης αx + β = 0 δεν εκφράζονται με αριθμούς αλλά με τη βοήθεια γραμμάτων, τότε τα γράμματα αυτά λέγονται παράμετροι και η εξίσωση λέγεται παραμετρική. Η διαδικασία που εφαρμόζουμε για τον προσδιορισμό του πλήθους των ριζών της εξίσωσης λέγεται διερεύνηση: Αρχικά φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή αx = β (1) (χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Άγνωστος είναι ο x) Παραγοντοποιούμε τα α, β. Διακρίνουμε περιπτώσεις για το α σε σχέση με το μηδέν. 1 η περίπτωση: Για α 0 έχουμε μοναδική λύση την x = β και α 2η περίπτωση: Για α = 0 βρίσκουμε τις τιμές της παραμέτρου που μηδενίζουν το α και τις αντικαθιστούμε στην (1). Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού 1 η περίπτωση: Εξισώσεις που μπορούν να μετασχηματιστούν σε γινόμενο παραγόντων της μορφής αx + β Αν η εξίσωση έχει παρανομαστές που περιέχουν την άγνωστη ποσότητα x, παίρνουμε περιορισμούς για τις τιμές του x που μηδενίζουν τον παρανομαστή. Απαλείφουμε τους παρανομαστές, κάνουμε όλες τις δυνατές πράξεις και φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή Π 1 (x) Π 2 (x) Π k (x) = 0 όπου Π i (x) παράγοντες της μορφής α x + β. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 13

Λύνουμε όλες τις εξισώσεις: Π 1 (x) = 0 ή Π 2 (x) = 0 ή. Αποδεχόμαστε όσες ρίζες ικανοποιούν τους όποιους περιορισμούς έχουμε πάρει. 2 η περίπτωση: Εξισώσεις με απόλυτα Μορφή Π(x) = θ. Αν θ 0 τότε Π(x) = θ Π(x) = θ ή Π(x) = θ Αν θ<0 τότε Π(x) = θ αδύνατη Μορφή Π(x) = Λ(x). Π(x) = Λ(x) Π(x) = Λ(x) ή Π(x) = Λ(x) Μορφή Π(x) =Λ(x) Παίρνουμε τον περιορισμό Λ(x) 0 και αποδεχόμαστε όσες ρίζες των εξισώσεων Π(x) = Λ(x) και Π(x) = Λ(x) ικανοποιούν τον αρχικό περιορισμό. Ασκήσεις 65. Ασκήσεις βιβλίου σελίδα 83: 1ii, iv και 2, 4 και 3 σελίδα 85 66. Ασκήσεις βιβλίου σελίδα 84: 6 Παραμετρικές εξισώσεις πρώτου βαθμού 67. Ασκήσεις βιβλίου: 3iii, iv σελίδα 83 68. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) λ 2 (x 1) = 5(5x λ), ii) x(λ 2 + 1) = λ 2λx + 1 69. Ασκήσεις βιβλίου: 1, 2, σελίδα 85 70. Δίνεται η αόριστη εξίσωση (α 2 + 2α 3)x = (α 2 1), α R (1). Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: (α 5 + 4α 5)x = μ + 3, μ R, όπου α η πραγματική τιμή που η εξίσωση (1) είναι αόριστη. Εξισώσεις που μπορούν να μετασχηματιστούν σε γινόμενο παραγόντων της μορφής α x + β 71. Ασκήσεις βιβλίου: 7ii, 8, 9, 10, 13 σελίδα 85 72. Ασκήσεις βιβλίου: 11, 12ii, iii, iv σελίδα 85 και 6 Β ομάδα σελίδα 86 73. Ασκήσεις βιβλίου: 5, σελίδα 85 Εξισώσεις με απόλυτα 74. Ασκήσεις βιβλίου: 14 σελίδα 85 και 15, 16 σελίδα 86 και 7,8 Β ομάδα σελίδα 86. 75. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2x-5 =-1, β) 2x+1 =0 γ) 2x + 1 = 2 δ) 3 + 4 x 7 = 2012 ε) x + 3 = x 2, στ) x + 3 = 2x 3, ζ) 5x 3 = 1 x 3 x, η) x 3 + = 1, θ) x + 3 2 x 1 2 = 2 3 2 0. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 14

76. Να προσδιορίσετε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x 3 + 2013 = μ, για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ. 77. Δίνεται η εξίσωση x λx 2 = 2λx 3, λ R. Να βρεθεί η τιμή του λ αν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 1. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 15

Η εξίσωση της μορφής x ν = α Επίλυση εξίσωσης ν-στου βαθμού της μορφής x ν = α λύνεται ως εξής: Η εξίσωση x ν v = α, με α>0 και ν περιττό θετικό ακέραιο αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση την x = α. Η εξίσωση x ν v = α, με α<0 και ν περιττό θετικό ακέραιο αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση την x = α. Η εξίσωση x ν v = α, με α>0 και ν άρτιο θετικό ακέραιο αριθμό, έχει ακριβώς δύο λύσεις τις x = α v α. Η εξίσωση x ν = α, με α<0 και ν άρτιο θετικό ακέραιο αριθμό, είναι αδύνατη. v α > 0, x = ± α ν: άρτιος { α < 0, αδύνατη x ν = α α > 0, x = v α ν: περιττός { v { α < 0, x = α Εξίσωση της μορφής x ν = α ν Αν ο ν περιττός τότε η εξίσωση x ν = α ν έχει μοναδική λύση, την x = α Αν ο ν άρτιος τότε η εξίσωση x ν = α ν έχει δύο λύσεις, τις x 1 = α και x 2 = α. Ασκήσεις 78. Ασκήσεις βιβλίου: 1ii, iii, 2i, ii, 3i, 3ii, 4 σελίδα 87. 79. Ασκήσεις 5, 6, σελίδα 87 80. Δίνεται η εξίσωση x 5 + 243 = 0. (1) α) Αν η εξίσωση (1) και η εξίσωση 5α 7 x 2 + 15x = 0 (2), έχουν κοινή ρίζα, να βρείτε το α. και x = β) Να υπολογίσετε την παράσταση Α=(15α 7 x 2 + 45x) x, όπου x,α οι τιμές που βρήκατε στα εξισώσεις (1) και (2). 81. Δίνεται η εξίσωση (x 2) 5 + 2 = y(1). Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού y. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 16

Η εξίσωση ax 2 + βx + γ = 0, a 0 Η εξίσωση που μπορεί να μετασχηματιστεί στην μορφή αx 2 + βx + γ = 0, α 0 (1), λέγεται εξίσωση δευτέρου βαθμού. Η παράσταση Δ = β 2 4αγ, όπου: β ο συντελεστής του x, α ο συντελεστής του x 2 και γ ο σταθερός όρος (που δεν έχει παράγοντα τον x), λέγεται διακρίνουσα της εξίσωσης (1). Η διακρίνουσα βοηθά και στον προσδιορισμό του πλήθους των ριζών της εξίσωσης: Διακρίνουσα: Δ = β 2 4αγ Δ>0 Δ=0 Εξίσωση: ax 2 + βx + γ = 0, a 0 Έχει δύο ρίζες άνισες τις: x 1 = β+ Δ 2α Έχει μια ρίζα διπλή τη: x = β 2α και x 2 = β Δ 2α Δ<0 Αδύνατη στο R Η εξίσωση (1) έχει μια ή δύο πραγματικές ρίζες, μόνο αν Δ 0. Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (1), τότε ο αριθμός ρ επαληθεύει την (1) και έτσι ισχύει: αρ 2 + βρ + γ = 0. Αν οι αριθμοί α και γ είναι ετερόσημοι τότε Δ>0 και επομένως η εξίσωση (1) έχει πάντα δύο ρίζες άνισες. Ασκήσεις 82. Να φέρετε τις εξισώσεις 2ου βαθμού που φαίνονται στην πρώτη στήλη στην μορφή αx 2 + βx + γ = 0 και να συμπληρώσετε τον πίνακα Εξίσωση Μορφή: αx 2 + βx + γ = 0 α β γ 2x(x 1) = 3 x 2 + 2x = 3 x + x 2 = 0 kx 2 + kx(x 1) = k(x + 3) mx 2 = x + 2kx 2 x 2 = 2(x + 1) 2 x 2 3 + x 2 = x + 1 83. Ασκήσεις ΣΒ: 1, 2, σελίδα 93, 8 σελίδα 94 και 2 σελίδα 95 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 17

84. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x2 3 + x 2 = 1, β) x2 2 x = 1, γ) x 2 ( 2 1)x + 2 = 0, δ) x 2 (1 3)x = 3, ε) x 2 ( 2 5)x = 10, στ) x 2 + 3x 3 = 1 και ζ) x 2 + 3 = 1. 85. Να ελέγξετε ποιος από τους αριθμούς είναι ρίζα της εξίσωσης σε κάθε περίπτωση: α) αριθμοί: 0, -1, 1 για την εξίσωση: x 2 + 2x = 1, β) αριθμοί: 0, -1, 1 για την εξίσωση: 2x 2 + 3x = 0 και γ) αριθμοί: -3, 2, -1 για την εξίσωση: x 2 + 2x 3 = 0. 86. Ασκήσεις ΣΒ: 9 σελίδα 94, 1 και 5 σελίδα 95. 87. Προβλήματα ΣΒ: 10 σελίδα 94, 7 σελίδα 95 και 9 σελίδα 96. Εξισώσεις δευτέρου βαθμού με παράμετρο 88. Δίνονται οι εξισώσεις ax 2 + 2bx + c = 0, bx 2 + 2cx + a = 0 και cx2 + 2ax + b = 0. Αν a, b, c μήκη πλευρών τριγώνου και Δ 1, Δ 2 και Δ 3 οι διακρίνουσες των προηγούμενων εξισώσεων αντίστοιχα με Δ 1 + Δ 2 + Δ 3 = 0 να βρείτε το είδος του τριγώνου. 89. Έστω η εξίσωση κx 2 (κ + 4)x + 4 = 0, κ R α) Να βρεθεί η τιμή του κ R ώστε η παραπάνω εξίσωση να είναι δευτέρου βαθμού. β) Να βρεθεί η τιμή του κ R ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει διπλή ρίζα. 90. Δίνεται η εξίσωση (b + 2)x 2 + (b + 1)x b + 1 = 0 (1) η οποία είναι δευτέρου βαθμού. α) Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει ο πραγματικός αριθμός b β) Να βρεθούν ο b αν η εξίσωση (1) έχει ρίζα τον αριθμό -1. 91. Δίνεται η εξίσωση (α 2 2)x 3 3x 2 5x + β = 0. α) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α, έτσι ώστε η εξίσωση, να είναι δευτέρου βαθμού ως προς x. β) Ποιες είναι οι τιμές που μπορεί να πάρει ο β έτσι ώστε η εξίσωση δευτερού βαθμού να μην έχει πραγματικές ρίζες. 92. Δίνεται η εξίσωση (1 α)x 2 x + 1 = 0. α) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α, έτσι ώστε η εξίσωση, να είναι δευτέρου βαθμού ως προς x. β) Ποιες είναι οι τιμές που μπορεί να πάρει ο α έτσι ώστε η εξίσωση δευτερού βαθμού να έχει πραγματικές ρίζες. 93. Ασκήσεις ΣΒ: 4, σελίδα 93, 3 και 4 σελίδα 95. 94. Ασκήσεις ΣΒ: 3, σελίδα 93, 5 σελίδα 94. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 18

Άθροισμα και γινόμενο ριζών της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0, α 0 Αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0, α 0 (1) τότε θα ισχύει 1 : Άθροισμα των ριζών της εξίσωσης: S=x 1 + x 2 = β α Γινόμενο των ριζών της εξίσωσης: P = x 1 x 2 = γ α Αν S, P είναι το άθροισμα και το γινόμενο δύο ριζών x 1, x 2 μιας εξίσωσης, τότε η εξίσωση x 2 Sx + P = 0 έχει ρίζες τις x 1 και x 2. (πολύ χρήσιμο για την κατασκευή εξίσωσης δευτέρου βαθμού όταν γνωρίζω τις δύο ρίζες) Αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες μιας εξίσωσης τότε η εξίσωση (x x 1 )(x x 2 ) = 0 έχει ρίζες τις x 1 και x 2. (πολύ χρήσιμο για την κατασκευή εξίσωσης δευτέρου βαθμού όταν γνωρίζω τις ρίζες) Με τον ίδιο τρόπο μπορώ να κατασκευάσω εξίσωση ν-στου βαθμού αν γνωρίζω τις ν ρίζες του Ταυτότητες σχετικές με άθροισμα και γινόμενο δύο αριθμών: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) Διαφορά ριζών στο τετράγωνο: (x 1 x 2 ) 2 = x 2 1 + x 2 2 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 Συμπεράσματα για τις ρίζες, λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο του γινομένου και του αθροίσματος των ριζών. Έστω η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0, α 0 (1), αν Δ>0 δηλαδή η (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες τότε: Είναι ετερόσημες αν και μόνο αν P<0 Είναι ομόσημες αν και μόνο αν P>0 Είναι θετικές αν και μόνο αν P>0 και S>0 Είναι αρνητικές αν και μόνο αν P>0 και S<0 Είναι αντίθετες αν και μόνο αν S = 0 β = 0 Είναι αντίστροφες αν και μόνο αν P = 1 a = γ Ασκήσεις 95. Ασκήσεις ΣΒ: 6 σελίδα 94. 96. Ασκήσεις ΣΒ: 7 σελίδα 94. 97. Να ελέγξετε αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 2 και γινόμενο 5. 98. Αν x 1, x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 2x 2 + 4x 1=0, να υπολογίσετε χωρίς να λύσετε την εξίσωση τις παραστάσεις: 1 Τύποι του Vieta (http://en.wikipedia.org/wiki/fran%c3%a7ois_vi%c3%a8te) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 19

α) x 1 + x 2, β) x 1 x 2, γ) 2 x 1 + 2 x 2, δ) x 1 2 + x 2 2, ε) x 1 3 + x 2 3 και στ) x 1 x 2 99. Ασκήσεις ΣΒ: 6 σελίδα 95. 100. Δίνεται η εξίσωση (λ 1)x 2 + 4x λ + 1 = 0. α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ έτσι ώστε η εξίσωση (1) να είναι δευτέρου βαθμού. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) για τις τιμές του λ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα έχει πάντα ρίζες άνισες. γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) δεν έχει ρίζες αντίστροφες. 101. Δίνεται η εξίσωση x 2 + 4x + λx + 2λ = 0. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πάντα ρίζες άνισες. β) Να βρείτε την τιμή του λ R αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες αντίθετες. γ) Να βρείτε την τιμή του λ R αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες αντίστροφες. δ) Σε κάθε περίπτωση από τις β και γ να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (1). 102. Δίνεται η εξίσωση (1 κ)x 2 + κ 2 x x κ 2 = 0, κ R (1). α) Να βρεθεί η τιμή του κ R ώστε η παραπάνω εξίσωση να είναι δευτέρου βαθμού. β) Αν υποθέσουμε ότι η (1) έχει πραγματικές ρίζες, να βρείτε το κ R, έτσι ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει δύο ρίζες αντίθετες. γ) Ποιες είναι οι αντίθετες ρίζες. 103. Δίδονται τα τριώνυμα f(x) = x 2 + ax + b + 2, με ρίζες x 1, x 2, και g(x) = x 2 + ax + b 2 με ρίζες r 1, r 2. Όπου a, b R, Να: α) Βρεθεί ο b, αν a 0 και b ±2 και ισχύει 1 x 1 + 1 x 2 = ( 1 r 1 + 1 r 2 ), β) δείξετε ότι g(x 1 ) = 4. 104. Δίνεται η εξίσωση 5x 2 2(5k + 3)x + 5k 2 + 6k + 1 = 0 με k R (1). α) Να δείξετε ότι η διαφορά των ριζών της εξίσωσης (1) είναι ανεξάρτητη του k. β) Αν ο k είναι ρητός, να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης (1) είναι ρητοί αριθμοί. 105. Να βρείτε τις τιμές των α, b ώστε οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης x 2 + ax + b = 0, αν ελαττωθούν κατά 2, να γίνουν ρίζες της εξίσωσης x 2 (a 2 + 4α 10)x + 4 α = 0. (Απάντηση: α=1, β=-3, γιατί άραγε απορρίψαμε την άλλη λύση; «α=-6 και β=18» ) 106. Να βρείτε τις τιμές των α, b ώστε οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης x 2 + ax + b = 0, αν ελαττωθούν κατά 2, να γίνουν ρίζες της εξίσωσης x 2 (a + b)x + b 2 = 0. (Απάντηση: α=-3, β=2) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 20

Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού Στην κατηγορία αυτή ανήκουν οι εξισώσεις που δεν είναι μεν 2ου βαθμού αλλά με κατάλληλο μετασχηματισμό, ανάγονται σε εξισώσεις δευτέρου βαθμού. Δύο περιπτώσεις εξισώσεων: 1 η περίπτωση: Κλασματικές εξισώσεις με παρανομαστές που περιέχουν την άγνωστη ποσότητα x. Παίρνουμε τους όποιους περιορισμούς, απαλείφουμε τους παρανομαστές και οδηγούμαστε σε εξίσωση 2ου βαθμού. Από τις λύσεις που βρίσκουμε αποδεχόμαστε εκείνες που ικανοποιούν τους όποιους περιορισμούς. 2 η περίπτωση: Εξισώσεις της μορφής: α(π(x)) 2 + β(π(x)) 2 + γ = 0, α 0 (1) στις οποίες θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε βοηθητικό άγνωστο. Στην κατηγορία αυτή ανήκουν και οι διτετράγωνες εξισώσεις. Αυτές είναι της μορφής: αx 4 + βx 2 + γ = 0, α 0. Παίρνουμε τους όποιους περιορισμούς Θέτουμε Π(x) = y και μετασχηματίζουμε την (1) στην εξίσωση: αy 2 + βy + γ = 0, α 0 (2) Λύνουμε την (2) Λύνουμε μετά τις εξισώσεις Π(x) = y 1 και Π(x) = y 2 όπου y 1 και y 2 οι λύσεις της (2) Από τις λύσεις που βρίσκουμε αποδεχόμαστε εκείνες που ικανοποιούν τους όποιους περιορισμούς. Ασκήσεις 107. Ασκήσεις ΣΒ: 14 σελίδα 94. 108. Ασκήσεις ΣΒ: 13 σελίδα 94. 109. Ασκήσεις ΣΒ: 11 και 12 σελίδα 94. 110. Ασκήσεις ΣΒ: 15 σελίδα 94 (διτετράγωνη). 111. Ασκήσεις ΣΒ: 10 σελίδα 96. 112. α) Να δείξετε ότι για κάθε α 0 ισχύει: α α = α 3 4. β) Να λύσετε την εξίσωση: x 3 2 5 x x + 4 = 0. 113. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 2 1 + (x 1) 2 + x 1 = 0, β) (x 2 + 3x 2) 2 + x + 2 = 0 γ) x 2 + 2x + 1 + x + 1 = 0 δ) (x 2 + 2x) 6 + (2x + 5x 2 ) 8 + x(x 1 = 0 ε) ( x + 1 x )2 + 2 ( x + 1 x ) = 3 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 21

Προβλήματα που ανάγονται στην επίλυση εξίσωσης Ασκήσεις 114. Δυο ανθρακωρυχεία A και B συνδέονται μέσω σιδηροδρομικής γραμμής μήκους 20 km. Η εξαγωγή του άνθρακα στοιχίζει 1 ο τόνος στο Α και 1,2 ο τόνος στο Β, ενώ η μεταφορά κοστίζει 0,02 ο τόνος το χιλιόμετρο. Να βρεθεί πάνω στην σιδηροδρομική γραμμή ΑΒ σημείο στο οποίο ο άνθρακας θα έχει την ίδια τιμή είτε μεταφέρεται από το Α είτε μεταφέρεται από το Β. 115. Δύο ευθείες λεωφόροι διασταυρώνονται κάθετα. Αν δύο αυτοκίνητα απομακρύνονται συγχρόνως από την διασταύρωση με ταχύτητες 54 km/h και 72 km/h αντιστοίχως, να βρείτε μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα απέχουν 0,5 km. (Απάντηση 20 sec) 116. Δύο ποδηλάτες διανύουν μια απόσταση 60 km με μέσες ταχύτητες που διαφέρουν κατά 5 km/h. Ο ένας ποδηλάτης χρειάζεται 1 h περισσότερο από τον άλλο. Να βρεθούν οι ταχύτητες. (Απάντηση 20Km/h και 15km/h) 117. Μια τάξη ενοικίασε για εκδρομή ένα πούλμαν 240. Επειδή 2 μαθητές αρρώστησαν, το εισιτήριο αυξήθηκε για τους υπόλοιπους κατά 50 λεπτά στον καθένα. Πόσοι μαθητές πήγαν στην εκδρομή και πόσο πλήρωσε ο καθένας; (Απάντηση 32 μαθητές) 118. Δύο εκσκαφείς χρειάζονται 12 μέρες για ένα έργο, όταν εργάζονται μαζί. Ο ένας μόνος του χρειάζεται 7 μέρες περισσότερο από τον άλλο. Πόσες μέρες χρειάζεται μόνος του ο καθένας για να τελειώσει το έργο; (Απάντηση 21 και 28 αντίστοιχα) 119. Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι 930. Να βρείτε του αριθμούς. 120. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 15 και γινόμενο 56. 121. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν διαφορά 2 και γινόμενο 35. (δύο ζεύγη αριθμών) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 22

Ανισώσεις 1 ου βαθμού Ανίσωση πρώτου βαθμού είναι μια ανίσωση που έχει έναν άγνωστο και μπορεί να μετασχηματιστεί στη μορφή αx + β > 0 ή αx + β < 0. Επίλυση ανίσωσης πρώτου βαθμού Αν έχει παρανομαστές: Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών, πολλαπλασιάζοντας δηλαδή και τα δύο μέλη της ανίσωσης με το ΕΚΠ των παρανομαστών. Κάνουμε όλες τις δυνατές πράξεις: επιμεριστική ιδιότητα και τελικά αναγωγή ομοίων όρων. Τέλος φέρνουμε την αρχική ανίσωση στη μορφή αx > β. (το σύμβολο της ανισότητας μπορεί να είναι: < ή > ή ή ) Για να λύσω την ανίσωση της μορφής αx > β (1) : αν α > 0 τότε η ανίσωση (1) ισοδύναμα έχει λύσεις x > β α ή x (β α, + ). Δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας αν α < 0 τότε η εξίσωση (1) ισοδύναμα έχει λύσεις x < β α ή x (, β α ). Αλλάζει η φορά της ανισότητας αν α = 0 η (1) γίνεται 0x>β (2) η οποία διακρίνεται: αν β < 0 τότε η (2) και επομένως και η αρχική (1) είναι αόριστη, δηλαδή αληθεύει για κάθε x R. αν β 0 τότε η (2) και επομένως και η αρχική (1) είναι αδύνατη. Επαλήθευση λύσεων της ανίσωσης Αντικαθιστώ την άγνωστη ποσότητα με την υπό έλεγχο λύση. Αν οδηγηθώ σε μια αληθής πρόταση τότε πράγματι η λύση αυτή είναι σωστή. Εύρεση κοινών λύσεων ανισώσεων (συναλήθευση ανισώσεων) Βρίσκουμε τις λύσεις σε κάθε ανίσωση ξεχωριστά. Σχεδιάζουμε στον κοινό άξονα των πραγματικών αριθμών, το διάστημα που αντιστοιχεί στην λύση κάθε ανίσωσης τοποθετώντας σε διαφορετικό ύψος τη γραμμή κάθε ανίσωσης. Το κοινό διάστημα είναι το διάστημα που υπάρχουν τόσες κοινές γραμμές όσες και οι διαφορετικές ανισώσεις. Ασκήσεις 122. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x+3>2, ii)x-3>x-2, iii) 2(x-1)>2x-7 β) Για την ανίσωση (i) να βρείτε τρεις οποιεσδήποτε λύσεις. γ) Πόσες λύσεις έχει η κάθε μια από τις παραπάνω ανισώσεις; δ) Να σχεδιάσετε το διάστημα λύσεων της κάθε μιας από τις παραπάνω εξισώσεις. ε) Να ελέγξετε κατά πόσο οι τιμές: 10 2013, 7 12 και ( 8) 77 είναι λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 23

123. Λαμβάνοντας υπόψη το σχήμα δεξιά (σελίδα 58 ΣΒ), να συμπληρώσετε τον πίνακα: Διάστημα Ανισότητα Συμβολισμός 2 < x 3 α 1 [-2,0) x < 10 3-2 10 x > 1 2 β 124. Ασκήσεις ΣΒ: 1, σελίδα 104. 125. Ασκήσεις ΣΒ: 2,3 και 4 σελίδα 104 (Συναλήθευση) 126. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων σε κάθε περίπτωση: α) 2(x 2) 2 και x 2 3 2x 4 + x + 3, β) 1 x 2x 3 1 και 2x+7<2(x+8) 6 5 15 127. α) Άσκηση ΣΒ Β ομάδα 1 σελίδα 105 και β) Αν x (0, 2π] και x = κπ + π, κ Ζ, να βρείτε τις τιμές του x. 3 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 24

Ανισώσεις 1 ου βαθμού με απόλυτα Περιπτώσεις: a) Αν θ>0 τότε: Π(x) < θ θ < Π(x) < θ. b) Αν θ>0 τότε: Π(x) > θ Π(x) < θ ή Π(x) > θ. c) Π(x) < Κ(x), υψώνουμε στο τετράγωνο και λύνουμε την ισοδύναμη: (Π(x)) 2 < (Κ(x)) 2. d) Π(x) < Κ(x), Π(x) Κ(x), Π(x) > Κ(x) και Π(x) Κ(x). Μεθοδολογία της περίπτωσης (d): Αρχικά παίρνουμε περιπτώσεις για την Π(x): 1η περίπτωση) Π(x) < 0 και 2η περίπτωση) Π(x) 0. Ξεχωριστά σε κάθε περίπτωση, αφού λύσουμε την ανίσωση (οι ανισώσεις είναι τώρα χωρίς τα απόλυτα, Ασκήσεις αφού προσδιορίσαμε μέσω των περιπτώσεων το πρόσημο της παράστασης μέσα στο απόλυτο) δεχόμαστε εκείνες τις τιμές που ικανοποιούν την κάθε περίπτωση. 128. Ασκήσεις ΣΒ: 5i, 6iii σελίδα 104 και 9 σελίδα 105. 129. α) Άσκηση ΣΒ Α ομάδα 8 σελίδα 105 και β) να λυθεί η ανίσωση: 2x 1 130. Να λύσετε τις ανισώσεις: 3 + x 1 < 1 1 2x 2 α) 2x-5 <-1, β) 2x+1 <0 γ) 2x + 1 0 δ) x + 4(x 2) > 2012, ε) x + 3 < 5, στ) x + 3 > 1, ζ) x + 3 > 1, η) x + 3 < x 4, θ) 2< x-1 <9, ι) 2x-3 <x, κ) 1-2x >x-3 131. Άσκηση ΣΒ Β ομάδα 2 σελίδα 105 132. Α) Να λύσετε τις εξισώσεις με γεωμετρικό τρόπο. Θα πρέπει δηλαδή να σημειώσετε τα σημεία που υποδεικνύουν οι αριθμοί στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να υποδείξετε τις θέσεις που μπορεί να έχει ο x σε κάθε περίπτωση (γεωμετρική επίλυση). α) d(x, 1) = 3, β) d(x, 2) d(x, 1) = 1 γ) d(x, 4) + d(x, 2) = 6 Β) Να λύσετε τις ανισώσεις με γεωμετρικό τρόπο (γεωμετρική επίλυση). α) d(x, 1)<2 β) d(x, -1)>3 γ) d(x, 1) + d(x, 2) 1 δ) d(x, 1)+d(x,2)>1 ε) x-1 - x-2 <1 133. α) Να κατασκευάσετε πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις: x-1 και 2x+3 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 25

β) Να τοποθετήσετε τα πρόσημα των δύο προηγούμενων παραστάσεων σε κοινό πίνακα προσήμων. γ) για τις διαφορετικές περιπτώσεις του x στον κοινό πίνακα προσήμων που κατασκευάσατε να λύσετε την ανίσωση: x-1 + 2x+3 <6 (αλγεβρική επίλυση ανίσωσης με άθροισμα απολύτων). 134. Ασκήσεις ΣΒ: 10, σελίδα 105. 135. Ασκήσεις ΣΒ: Β ομάδα 3, 4 σελίδα 105. 136. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α, να λύσετε την ανίσωση: α x <5. 137. Για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει: d(5x, 2y) = 2y 5x. α) Να αποδείξετε ότι x 2y και β) Να υπολογίσετε τα x, y, αν επιπλέον ισχύει 2y 5x και 5 x5 = 243 138. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = 1 2, Ρ(Β) = 2 3 τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Να αποδείξετε ότι: 1 6 Ρ(Α Β) 1 2.. α) Να αποδείξετε ότι 139. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε Ρ(Α) = x2 +1 x R. Να αποδείξετε ότι: α) x=1 και β) Ρ(Β) = Ρ(Α Β). x 2 +2 και Ρ(Α Β) = 2x x 2 +2, όπου 140. Έστω Α και Β συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει 25(P(A)) 2 + 8 29Ρ(Α) Ρ(Β). Να προσδιοριστούν οι αριθμοί Ρ(Α) και Ρ(Β). 141. Αν για τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: (P(A)) 2 + 2(P(A )) 2 = 3Ρ(Β) και Ρ(Β) 2 9. Να βρείτε: α) την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α, β) αν ισχύει επιπλέον P(A Β) = 5, να βρείτε την πιθανότητα: 9 i)να πραγματοποιηθεί μόνο το Β, ii)να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β και iii) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α και Β. 142. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α Β) = 1 και Ρ(Α) + Ρ(Β) 1. α) Να δειχθεί ότι Ρ(Α Β) = 0 και β) ότι ισχύει Ρ (Α ) = Ρ(Β). Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 26

Μορφές τριωνύμου αx 2 + βx + γ, α 0 H παράσταση της μορφής αx 2 + βx + γ, α 0 λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού. Η διακρίνουσα και οι ρίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0, α 0 λέγονται διακρίνουσα και ρίζες του τριωνύμου αx 2 + βx + γ, α 0. Ισχύει: αx 2 + βx + γ = α[(x + β 2α )2 Δ 4α 2] = α(x + β 2α )2 Δ 4α Αν Δ>0, τότε το τριώνυμο έχει ρίζες τις x 1 και x 2 και γίνεται ισοδύναμα: αx 2 + βx + γ = α(x x 1 )(x x 2 ). Ισχύει και το αντίστροφο. Αν Δ=0, τότε το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα ρ = β και γίνεται ισοδύναμα: 2α αx2 + βx + γ = α(x + β 2α )2 (1). Ισχύει και το αντίστροφο. αν επιπλέον ισχύει α>0 τότε η παράσταση (1) είναι τέλειο τετράγωνο αφού: αx 2 + βx + γ = [ α(x + β 2α )]2 Αν Δ<0, τότε το τριώνυμο δεν έχει καμία πραγματική ρίζα και γίνεται ισοδύναμα: αx 2 + βx + γ = α[(x + β 2α )2 + Δ 4α 2]. Ισχύει και το αντίστροφο. Η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι πάντα θετική και επομένως το τριώνυμο δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων. Ασκήσεις 143. Να παραγοντοποιήσετε όσα τριώνυμα μπορούν να παραγοντοποιηθούν α) x 2 + 2x 1, β) 2x 2 + 2x 4, γ) 1 2 x2 2x + 2, δ) 1 2 x2 2x + 12 και ε) x 2 ( 2 + 1)x + 2 144. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε το τριώνυμο x 2 5x + λ 2 να είναι ίσο με (x-1)(x-4). 145. Ασκήσεις ΣΒ: 2 σελίδα 112. 146. α) Να λύσετε την εξίσωση αβ 2 + (2α 1)β 2 = 0 όπου α 0, λαμβάνοντας υπόψη ότι ο άγνωστος είναι ο β. β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: αβ 2 + (2α 1)β 2. 147. Ασκήσεις ΣΒ Β ομάδα: 1, 2 και 3 σελίδα 113. 148. Α) Να λυθούν οι εξισώσεις: α)w 2 + w 2 = 0 και β)κ 2 κ 2 = 0 Β) Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: α)(x + y) 2 + x + y 2, β) (2x 3y) 2 2x + 3y 2. 149. Να βρείτε το α R, ώστε το τριώνυμο x 2 + (2α + 1)2x + α 2 + 1: α) Να αναλύεται σε γινόμενο δύο πρωτοβαθμίων παραγόντων. β) Να είναι τέλειο τετράγωνο. γ) Να μην αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 27

Ανισώσεις 2 ου βαθμού Πρόσημο των τιμών του τριωνύμου της μορφής αx 2 + βx + γ, α 0 Το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου της μορφής αx 2 + βx + γ, α 0 εξαρτάται από: i)το πρόσημο του α, ii) το πρόσημο του Δ και iii) τη θέση του x ως προς τις δύο ρίζες του τριωνύμου, αν αυτές υπάρχουν. Ομόσημο του α εκτός των ριζών Αν Δ>0, τότε το τριώνυμο είναι: Ετερόσημο του α εντός των ριζών Ίσο με μηδέν για τις τιμές των ριζών Αν Δ=0 τότε το τριώνυμο είναι: Ομόσημο του α εκατέρωθεν της ρίζας Ίσο με μηδέν για την τιμή της ρίζας Αν Δ<0 τότε το τριώνυμο είναι: Ομόσημο του α στο R Παρατηρήσεις: Αν Δ < 0 αx 2 + βx + γ 0, για κάθε x R. Αν Δ < 0 το αx 2 + βx + γ, διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Αν Δ < 0 και α < 0 αx 2 + βx + γ < 0, για κάθε x R. Αν Δ < 0 και α > 0 αx 2 + βx + γ > 0, για κάθε x R. Αν Δ 0 και α < 0 αx 2 + βx + γ 0, για κάθε x R. Αν Δ 0 και α > 0 αx 2 + βx + γ 0, για κάθε x R. Ασκήσεις 150. Να βάλετε τα κατάλληλα πρόσημα σε κάθε περίπτωση: α) το τριώνυμο έχει ρίζες τις x 1 και x 2 και α>0 x x 1 x 2 + αx 2 + βx + γ β) το τριώνυμο έχει ρίζες τις x 1 και x 2 και α<0 x x 1 x 2 + αx 2 + βx + γ Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 28

γ) το τριώνυμο έχει ρίζα ρ και α<0 x ρ + αx 2 + βx + γ δ) το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες και α>0 x + αx 2 + βx + γ 151. α) Να κάνετε τον πίνακα προσήμων του τριωνύμου x 2 + x + 2. β) ποιο είναι το πρόσημο του προηγούμενου τριωνύμου για i) x=-10, ii) x = 552, όπου α > 1. 551 a 152. Ασκήσεις ΣΒ: 4 σελίδα 112. 153. Ασκήσεις ΣΒ Α ομάδα: 5, 6, 7, 8, 9 σελίδα 113. 154. Ασκήσεις ΣΒ Α ομάδα: 10, 11 σελίδα 113. (συναλήθευση) 155. Να λύσετε τις: Α) εξισώσεις: i) x 2 4 = x 2 4 και ii) x 2 3x = 3x x 2 Β) ανισώσεις: i)x 2 5 x + 6 > 0 και ii) (2x 1) 2 3 2x 1 + 2 < 0 156. α) Να προσδιορίσετε το πρόσημο του τριωνύμου x 2 + x 6. β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: Α = x 2 + 1 + x 2 + x 6 + x 2 όταν ισχύει x<-3. γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: Α = x 2 + 1 + x 2 + x 6 + x 2 όταν ισχύει x>2. 157. Για τον πραγματικό αριθμό β ισχύει: (β 2)(β + 2)(β 2 + 2β + 10) > 0. α) Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων β-2 και β+2, β) να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται η παράσταση 3β+17, γ) να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή την παράσταση Α = β 2 4 +7. 158. α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, αν οι αριθμοί x 2 + x + 1, 2x + 1, x 2 + 1 είναι μήκη πλευρών τριγώνου. β) Για τον πρώτο ακέραιο x που θα βρείτε να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 159. α)να αποδείξετε ότι α 2 10α + 26 > 0, β 2 2β + 2 > 0 για κάθε α, β R. β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των πραγματικών αριθμών α, β αν ισχύει: (β 1) 4 (α 2 10α + 26) + (β 2 2β + 2)(2α 3) 2 = 0. Ανισώσεις 2 ου βαθμού: Παραμετρικές 160. Δίνεται η εξίσωση (1): (λ + 1) x 2 2λx + 3λ = 0 όπου λ πραγματικός αριθμός. α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Για τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ που η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών. γ) Αν S=P+1, όπου P: το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης (1) και S: το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης (1) να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 29

161. Δίνεται η εξίσωση 2x 2 λx + λ 2 = 0. α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια μόνο τιμή του λ R, για την οποία η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. β) Για την τιμή του λ που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση. 162. Δίνεται η εξίσωση x(x λ) + λ(1 x) = 1 x 2 + λ 2 με λ R. α) Να δείξετε ότι για κάθε λ R η προηγούμενη εξίσωση έχει δύο άνισες και πραγματικές ρίζες. β) Αν x 1, x 2, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και ισχύει 2x 1 2 x 2 + 2x 2 2 x 1 + 1 = 0 να βρεθεί ο λ R. γ) Υπάρχουν τιμές του λ R έτσι ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει ρίζες που να είναι αντίστροφοι αριθμοί; δ) Υπάρχουν τιμές του λ R έτσι ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει ρίζες που να είναι αντίθετοι αριθμοί; 163. Δίνεται η εξίσωση 2x 2 (λ + 1)x = 2λ 2 με λ R. α) Να δείξετε ότι για κάθε λ R η προηγούμενη εξίσωση έχει δύο άνισες και πραγματικές ρίζες. β) Αν x 1, x 2, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και ισχύει x 1 2 + x 2 2 = 2 να βρεθεί ο λ R. 164. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λx 2 2λx λ + 3 = 0, όπου λ 0, για τις διάφορες τιμές του λ R. 165. Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε το τριώνυμο (λ 1)x 2 2(λ 1)x λ, όπου λ 1, να είναι μικρότερο του μηδενός για κάθε x R. 166. Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε η ανίσωση λx 2 (λ 1)x + λ 1 > 0, όπου λ 0 να αληθεύει για κάθε x R. 167. Δίνεται η εξίσωση (λ 2)x 2 2λx + 1 = 0, όπου λ 2, α) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Αν x 1, x 2, οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε το λ R αν ισχύει x 1 +x 2, = λ. 2 168. Δίνεται η εξίσωση x 2 λx + λ 2 1 = 0. Να βρείτε το λ R ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες x 1, x 2, ετερόσημες. 169. Δίνεται η εξίσωση x 2 λx (λ + 3) = 0, όπου λ R. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πάντοτε δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Αν x 1, x 2, οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε το λ R αν ισχύει 1 x 1 + 1 x 2 > 2 170. Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε η εξίσωση (λ 1)x 2 3x λ 2 + 4 = 0, όπου λ < 1, να έχει δύο ρίζες ετερόσημες. 171. Δίνεται η εξίσωση x 2 (λ 2 3λ)x + λ + 1 = 0. Να βρείτε το λ R ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες x 1, x 2, ετερόσημες και να ισχύει 1 x 1 + 1 x 2 < 1. 172. Άσκηση ΣΒ Β ομάδα: 7 σελίδα 114. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 30

173. Άσκηση ΣΒ Β ομάδα: 8 σελίδα 114. 174. Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε η εξίσωση x 2 2(λ 1)x + 3λ 2 4λ + 1 = 0,, να έχει δύο ρίζες αρνητικές. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 31

Ακολουθίες Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,2,3,,ν, στους πραγματικούς αριθμούς. Την ακολουθία με ν όρους τη συμβολίζουμε (α ν ). Κάθε ακολουθία είναι τελείως ορισμένη όταν υπάρχει τύπος με τον οποίο μπορούν να προσδιοριστούν οι όροι της. Για τις ακολουθίες που είναι τέλεια ορισμένες, ο προσδιορισμός των στοιχείων τους μπορεί να γίνει, μέσω: Γενικού όρου (τύπου): Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ένας φυσικός αριθμός ν, καλείται ν-οστός ή γενικός όρος της ακολουθίας και το συμβολίζουμε συνήθως με α ν. Ο γενικός όρος μας επιτρέπει να βρίσκουμε οποιονδήποτε όρο της ακολουθίας. Αναδρομικού τύπου: Η ακολουθία (αν) ορίζεται αναδρομικά και η ισότητα α ν+2 = α ν+1 + α ν λέγεται αναδρομικός τύπος της ακολουθίας. Όπου α ν : νιοστός όρος, α ν+1 : ο επόμενος του (+1). Για να ορίζεται μια ακολουθία αναδρομικά, απαιτείται να γνωρίζουμε: i. Τον αναδρομικό της τύπο και ii. Όσους αρχικούς όρους μας χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους. Προσοχή, υπάρχουν ακολουθίες, για τις οποίες μέχρι τώρα δε γνωρίζουμε ούτε έναν τύπο για το γενικό τους όρο ούτε έναν αναδρομικό τύπο. Μια τέτοια ακολουθία είναι για παράδειγμα η ακολουθία των πρώτων αριθμών: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.... Πρώτος είναι ο φυσικός αριθμός που διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα. Ασκήσεις 175. Μια διάσημη ακολουθία ακεραίων είναι οι αριθμοί Fibonacci 2 : 0, 1, 1, 2, 3, 5,. α) Να βρείτε τους τρεις επόμενους όρους. β) να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο αλλά και τους αρχικούς όρους που χρειάζεται να ξέρουμε για να υπολογίσουμε οποιονδήποτε όρο αυτής της ακολουθίας. 176. Σε κάθε μια από τις επόμενες ακολουθίες να βρείτε τον επόμενο αριθμό που λείπει. α) 1, 4, 7, 10,, β) 2, 4, 8, 16,, γ) 1, 4, 9, 16, 25,, δ) 1, 3, 3, 9, 27, 177. ΣΒ σελίδα 124, 1i, iv, v, xi. 178. ΣΒ σελίδα 124, 2i, ii. 179. ΣΒ σελίδα 124, 3i, ii, iii (από γενικό όρο σε αναδρομικό τύπο) 180. ΣΒ σελίδα 124, 4 (από αναδρομικό τύπο σε γενικό όρο) 2 http://en.wikipedia.org/wiki/fibonacci_number Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 32

Αριθμητική πρόοδος Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προόδου. Η ακολουθία (α ν ), όπου ν 1, είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω, αν και μόνο αν ισχύει: α ν+1 α ν = ω. Αναδρομικός τύπος της αριθμητικής προόδου: α ν+1 = α ν + ω, πρέπει να δίνεται ο α 1. Γενικός όρος της αριθμητικής προόδου: α ν = α 1 + (ν 1)ω. Άθροισμα πρώτων ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου: S ν = ν (α 2 1 + α ν ) ή S ν = ν [2α 2 1 + (ν 1)ω]. Αν α 1, α 2, α 3,, α ν 3, α ν 2, α ν 1, α ν είναι όροι αριθμητικής προόδου, τότε το άθροισμα δύο όρων που ισαπέχουν από τους άκρους όρους είναι ίσο με το άθροισμα των δύο άκρων. Δηλαδή ισχύει: α 1 + α ν = α 2 + α ν 1 = α 3 + α ν 2 = α 4 + α ν 3 =... Χαρακτηριστικό άθροισμα όρων αριθμητικής προόδου: S = 1 + 2 + 3 + + ν = ν(ν+1) 2 Τρεις αριθμοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β = α+γ 2. Ο β λέγεται στην περίπτωση αυτή αριθμητικός μέσος των α και γ. Αναπαράσταση όρων αριθμητικής προόδου Οι όροι μιας αριθμητικής προόδου (α ν ) είναι με τη σειρά: α 1, α 1 + ω, α 1 + 2ω, α 1 + 3ω,, α 1 + (ν 1)ω Αν είναι περιττού πλήθους όρων:, x 3ω, x 2ω, x ω, x, x + ω, x + 2ω, x + 3ω, Αν είναι άρτιου πλήθους όρων:, x 5ω, x 3ω, x ω, x + ω, x + 3ω, x + 5ω, Ασκήσεις 181. ΣΒ σελίδα 129: 1iv, v, 2i, v, vi, 182. ΣΒ σελίδα 131: B ομάδα 1 183. ΣΒ σελίδα 129: 3i, 4ii, 5ii (εύρεση βασικών στοιχείων αριθμητικής προόδου) 184. Στον τετράγωνο οι αριθμοί σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο (όχι υποχρεωτικά με την ίδια διαφορά). Να συμπληρωθεί ο πίνακας. (Στεργίου Μ.) 185. ΣΒ σελίδα 130: 6, 7 (αριθμητικός μέσος) 186. Αν οι αριθμοί 1 α, 1 β, 1 γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι οι αριθμοί 1 β α, 1 β, 1 β γ είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 187. ΣΒ σελίδα 130: 8ii, 9ii, 10iii, σελίδα 131: 2i, iii, 6, σελίδα 132: 11 (άθροισμα ορών αριθμητικής προόδου) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 33