ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr
Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα είναι αβέβαιο Απλό γεγονός ω: κάθε δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος Δειγματικός χώρος Ω: το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός τυχαίου πειράματος Γεγονός : κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου
Πράξεις με γεγονότα Α και γεγονότα του δειγματικού χώρου Ω Η ένωση του Α και Α Η τομή του Α και Α Το συμπλήρωμα του Α Α C ήα Α C = C C Α C = C Νόμοι του De Morgan C
Ένα γεγονός πραγματοποιείται όταν το αποτέλεσμα του πειράματος είναι στοιχείο του γεγονότος Γεγονός Συμβολισμός Πραγματοποίηση Δειγματοχώρος βέβαιο γεγονός Ω Πάντα Κενό αδύνατο γεγονός Αή Ø Α Ποτέ Όταν τουλάχιστον ένα συμβαίνει Ακαι Α Όταν και τα δύο συμβαίνουν Όχι Α Α C Όταν το Α δεν συμβαίνει Αν, τότε αν το Α πραγματοποιείται τότε και το πραγματοποιείται
Ασυμβίβαστα γεγονότα Δύο γεγονότα Α και ονομάζονται ασυμβίβαστα ή ξένα όταν η πραγματοποίηση του ενός γεγονότος αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου Α, ασυμβίβαστα Α = Ø Τα γεγονότα Α,Α,,Α n είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους αν Α i j = Ø, για i j
Ορισμός της πιθανότητας Η πιθανότητα σαν όριο σχετικής συχνότητας στατιστικός n: αριθμός επαναλήψεων ενός τυχαίου πειράματος f n : συχνότητα εμφάνισης του γεγονότος Α f n / n: σχετική συχνότητα εμφάνισης του γεγονότος Α Η πιθανότητα πραγματοποίησης του γεγονότος Α: = lim n f n n
Ορισμός της πιθανότητας Αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας Η πιθανότητα είναι μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω και πεδίο τιμών το διάστημα [0,], για την οποία ισχύουν τα αξιώματα. Ω=. 0, Ω 3. n = + + n i Ω και Α i j = Ø, για i j Α,Α,,Α n είναι ανά δύο ασυμβίβαστα
Ορισμός της πιθανότητας 3 Κλασικός ορισμός της πιθανότητας Αν ο δειγματικός χώρος είναι πεπερασμένος και αποτελείται από n ισοπίθανα απλά γεγονότα, δηλαδή Ω={ω,ω,...,ω n } και ω = ω =...= ω n =/n, τότε αν Α είναι ένα γεγονός του Ω και Α={ω,ω,...,ω k } =k/n
Ιδιότητες πιθανοτήτων. C =- Τα γεγονότα Α και Α C είναι ασυμβίβαστα Α Α C = Ø και Α Α C = Ω. Επομένως, =Ω=Α Α C = Α +Α C. Άρα, C =-. Ø=0 Ø Ω = Ø και Ø Ω = Ω. Επομένως, =Ω=Ø Ω = Ø + Ω. Άρα, Ø=0
Ιδιότητες πιθανοτήτων 3. Αν, τότε = C και C =Ø Επομένως, =Α + C Α 4. Α C =-Α = C και C =Ø Επομένως, = + C C = -
Ιδιότητες πιθανοτήτων 3 5. Α =+-Α Όταν τα γεγονότα Α και δεν είναι κατ ανάγκη ασυμβίβαστα = C και C =Ø Επομένως, = C + = - + Για 3 γεγονότα Α,, Γ Α Γ=++Γ-Α - Α Γ- Γ+ Α Γ
Στοιχεία από τη συνδυαστική - Αρχές απαρίθμησης Πολλαπλασιαστική αρχή Αν για μια διατεταγμένη ν-αδα υπάρχουν m δυνατότητες συμπλήρωσης της πρώτης θέσης, m δυνατότητες συμπλήρωσης της δεύτερης θέσης,, m ν δυνατότητες συμπλήρωσης της ν-οστής θέσης, τότε υπάρχουν m m m ν διαφορετικές ν-αδες.
Πολλαπλασιαστική αρχήπαράδειγμα Ένα δοχείο περιέχει 3 αριθμημένες μπάλες. Παίρνουμε διαδοχικά μπάλες χωρίς επανατοποθέτηση κι σημειώνουμε τον αριθμό. Πόσα διατεταγμένα ζεύγη μπορούμε να γράψουμε;
Διατάξεις χωρίς επανάληψη Αν από ένα σύνολο n διαφορετικών αντικειμένων πάρουμε k αντικείμενα και τα τοποθετήσουμε σε σειρά, τότε έχουμε μία διάταξη των k αντικειμένων. Το πλήθος όλων των διαφορετικών διατάξεων k αντικειμένων από τα n = n n... n k + n k Αν k=n τότε έχουμε τις μεταθέσεις των n αντικειμένων. Το πλήθος των διαφορετικών μεταθέσεων είναι Σημείωση: 0!= n n = n n... = n! και n! = 3... n n = n! n = n! n n
Διατάξεις με επανάληψη Από ένα σύνολο n διαφορετικών αντικειμένων επιλέγονται k ένα ένα με επανάθεση αντικείμενα και παρατάσσονται σε σειρά με τη δυνατότητα επιλογής του ίδιου στοιχείου μέχρι και k φορές k <, = ή > n. Τότε έχουμε διατάξεις με επανάληψη k αντικειμένων από τα n. Tο πλήθοςτωνδιατάξεων με επανάληψη k αντικειμένων από τα n είναι n n... n = k n
Συνδυασμοί Αν από n διαφορετικά αντικείμενα πάρουμε k χωρίς να μας ενδιαφέρει η διάταξή τους αλλά μόνο ποια αντικείμενα πήραμε, τότε έχουμε τους συνδυασμούς των n ανά k αντικειμένων. Το πλήθος των συνδυασμών είναι n k = n n... n k! k + = n! k! n k!
Μεταθέσεις με όμοια αντικείμενα Αν σε ένα σύνολο n μη όμοιων αντικειμένων, υπάρχουν μόνο ν διαφορετικά αντικείμενα, τα α, α,...α ν, και το αντικείμενο α υπάρχει k φορές, το α υπάρχει k φορές,, το α ν υπάρχει k ν φορές k +k + +k ν =n τότε οι διαφορετικές μεταθέσεις των n αντικειμένων είναι n! k! k!... k ν!
Δεσμευμένη Πιθανότητα Ορισμός: Έστω και δύο γεγονότα του ίδιου δειγματικού χώρου με. Η πιθανότητα του όταν έχει συμβεί το ονομάζεται δεσμευμένη πιθανότητα του και ορίζεται από τον τύπο Πολλαπλασιαστικός νόμος των πιθανοτήτων άμεση συνέπεια του ορισμού = = =
Ειδικές περιπτώσεις Γ Α και Γ δύο ξένα γεγονότα Γ= Ø. Επομένως, Γ=0 και Γ= Γ/ Γ=0 Γ= Γ/ =0 Α και Γ δύο γεγονότα με Γ. Τότε, Α Γ=Α καια Γ=Α Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας Γ Α Α Γ Α = = = Α Α Γ Γ = = > Α, όταν Γ < Γ Γ
Ιδιότητες Η Δεσμευμένη πιθανότητα ικανοποιεί τις ιδιότητες των πιθανοτήτων. Π.χ., για δοσμένο, για την πιθανότητα. ισχύουν:. Ω=. 0, Ω 3. Αν Α και Α είναι ασυμβίβαστα τότε = + 4. Α C =- 5. Α C = -Α 6. Α = + - Όταν τα γεγονότα Α και δεν είναι κατ ανάγκη ασυμβίβαστα
Ανεξάρτητα γεγονότα Ορισμός: Έστω και δύο γεγονότα με 0 και 0. Τα γεγονότα Α και είναι στοχαστικά ανεξάρτητα αν = και = Αν τα γεγονότα Α και είναι ανεξάρτητα τότε Α =
Διαδοχικά πειράματα Παράδειγμα. Π Π Π 3 Π : Μια μπάλα μεταφέρεται από το ο στο ο κουτί. Π : Μια μπάλα μεταφέρεται από το ο στο 3 ο κουτί. Π 3 : Τραβάμε μια μπάλα από το 3 ο κουτί. Ποια είναι η πιθανότητα η τελική μπάλα να είναι μαύρη?
Διαδοχικά πειράματα Παράδειγμα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το γενεαλογικό δένδρο για τον αλφισμό. Αα Αα Ελένη Γιώργος ΑΑ? αα? Ποια είναι η πιθανότητα το παιδί της Ελένης και του Γιώργου να είναι φορέας;
Συμβολισμός θηλυκά αρσενικά άγνωστο φύλλο Άτομα που έχουν κάποιο γενετικό χαρακτηριστικό φορείς ζευγάρωμα αδέλφια
Διαμέριση του δειγματικού χώρου Τα γεγονότα,,, n ενός δειγματικού χώρου Ω αποτελούν μια διαμέρισή του σχήμα, όταν ισχύουν: α i i =,,..., n β i j = i j γ... n = Ω 3 n
Θεώρημα ολικής πιθανότητας Αν τα γεγονότα,,, n αποτελούν μια διαμέριση του δειγματικού χώρου Ω, τότε η πιθανότητα πραγματοποίησης του γεγονότος Α Ω είναι... n n + + = 3 n 3 n 3 n 3 n 3 3 n n Γεγονός Πιθανότητα + + + +............
Θεώρημα του ayes Αν τα γεγονότα,,, n αποτελούν μια διαμέριση του δειγματικού χώρου Ω, τότε όπου k k k =... n n + + =
Παράδειγμα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το γενεαλογικό δένδρο για τον αλφισμό. Αα Αα Ελένη Γιώργος ΑΑ? αα? Ποια είναι η πιθανότητα το παιδί της Ελένης και του Γιώργου να είναι φορέας;
Ο Γιώργος είναι φυσιολογικός. Πιθανοί γονότυποι: Αα ή ΑΑ. Η Ελένη είναι φυσιολογική και έχουμε ως δεδομένο ότι έχει γονότυπο ΑΑ. Έστω : ο ΓιώργοςέχειγονότυποΑ C : ο ΓιώργοςέχειγονότυποΑα Γ : η Ελένη έχει γονότυπο ΑΑ Δ : το παιδί τους έχει γονότυπο Αα Από τα δεδομένα του γενεαλογικού δένδρου έχουμε: =/3 και C =/3 δοθέντος ότι είναι φυσιολογικός, και Γ =
Πιθανότητα Γ / 3 Γιώργος Ελένη 0 Δ Γ παιδί Δ 3 + 0 / 3 Γ α / Δ Γ Δ 3 Δ = 3 Άρα, η πιθανότητα το παιδί του Γιώργου και τηςελένηςναείναιφορέαςείναι/3. Η πιθανότητα να είναι φορέας και κορίτσι είναι /6=/3/.
Παράδειγμα συνέχεια Υποθέσαμε ότι η Ελένη έχει γονότυπο ΑΑ. Υπάρχει μια μικρή πιθανότητα η Ελένη να είναι φορέας. Έστω το γεγονός η Ελένη έχει γονότυπο Αα καιέστωότιη πιθανότητα να είναι φορέας είναι 0.0. Άρα, ηπιθανότηταηελένηναείναιαα είναι 0.98. Δ : το παιδί τους έχει γονότυπο ΑΑ Δ : το παιδί τους έχει γονότυπο Αα : το παιδί τους έχει γονότυπο αα Δ 3
Για τα νέα δεδομένα το δενδροδιάγραμμα έχει τη μορφή
Από τα νέα δεδομένα προκύπτουν οι πιθανότητες: Γ = 0.98 = 0.37 Γ = 0.0 = 0. 007 3 3 Γ = 0.98 = 0.653 Γ = 0.0 = 0. 03 3 3 Δ Γ = Δ Γ = Δ Γ = Δ Γ = 4 Δ Γ = Δ Γ = Δ Γ = Δ Γ 3 = 4
Άρα Η πιθανότητα το παιδί τους να έχει γονότυπο ΑΑ είναι Η πιθανότητα το παιδί τους να έχει γονότυπο Αα είναι Η πιθανότητα το παιδί τους να έχει γονότυπο αα είναι 0.658 0.003 0.365 0.0035 0.37 = + + + = Γ Γ Δ + Γ Γ Δ + Γ Γ Δ + Γ Γ Δ = Δ 0.335 0.007 0.37 0.003 = + + = Γ Γ Δ + Γ Γ Δ + Γ Γ Δ = Δ 0.003 3 3 = Γ Γ Δ = Δ
Προτεινόμενη ιβλιογραφία C. Neuhauser Calulus for biology and mediine earson/rentie Hall, 004 Chapter :. -.3 F. R. dler. Modeling the dynamis of life: alulus and probability for life sientists. rooks/cole, 998. Chapter 6: 6.4-6.5 M. R. Cullen Mathematis for the biosienes. Tehbooks, 983 Setions: 57-60