ErgasÐa Statistik c Mìsqoglou Stulianìc stelios@moschoglou.com AEM: 6978 23 IounÐou 2009 Perieqìmena 1 Πρόλογος 2 2 Μελέτη Α 2 2.1 Πίνακας μέτρων κεντρικής τάσης και μεταβλητότητας........ 2 2.2 Θηκογράμματα............................. 3 2.2.1 Ηλεκτρικής ενέργειας και παραγωγής πρώτης περιόδου... 3 2.2.2 Ηλεκτρικής ενέργειας και παραγωγής δεύτερης περιόδου.. 3 2.3 Ιστογράμματα............................. 4 2.3.1 Ηλεκτρικής ενέργειας πρώτης περιόδου........... 4 2.3.2 Παραγωγής πρώτης περιόδου................. 4 2.3.3 Ηλεκτρικής ενέργειας δεύτερης περιόδου.......... 4 2.3.4 Παραγωγής δεύτερης περιόδου................ 4 2.4 Διαστήματα εμπιστοσύνης μέσων τιμών............... 4 2.4.1 Ηλεκτρικής ενέργειας πρώτης και δεύτερης περιόδου.... 5 2.4.2 Παραγωγής πρώτης και δεύτερης περιόδου......... 5 2.5 Διαστήματα εμπιστοσύνης διαϕοράς μέσων τιμών.......... 5 2.5.1 Ηλεκτρικής ενέργειας πρώτης και δεύτερης περιόδου.... 5 2.5.2 Παραγωγής πρώτης και δεύτερης περιόδου......... 6 3 Μελέτη Β 6 3.1 Διαγράμματα διασποράς........................ 6 3.1.1 Παραγωγής και ηλεκτρικής ενέργειας πρώτης περιόδου... 7 3.1.2 Παραγωγής και ηλεκτρικής ενέργειας δεύτερης περιόδου.. 7 3.2 Μοντέλα γραμμικής παλινδρόμησης................. 7 3.2.1 Γράϕημα και πίνακας πρώτης περιόδου............ 8 3.2.2 Γράϕημα και πίνακας δεύτερης περιόδου........... 8 3.2.3 Καταλληλότητα μοντέλων.................. 8 3.3 Πρόβλεψη μοντέλων.......................... 9 4 Επίλογος 9 Proptuqiakìc Hlektrolìgoc Mhqanikìc & Mhqanikìc Upologist n, A.P.J. 1
1 ΠΡ ΟΛΟΓΟΣ 2 1 Prìlogoc Η εργασία αυτή πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του μαθήματος Πιθανότητες και Στατιστική, υπό την επίβλεψη του κυρίου Κουγιουμτζή Δημήτριου, στο πολυτεχνικό τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Είναι δακτυλογραϕημένη σε L A TEX. Οπως θα παρατηρήσετε παρακάτω, τα διαγράμματα της εργασίας δεν είναι τόσο ευκρινή. Αυτό οϕείλεται στο SPSS, το οποίο δυστυχώς, κάνει export αρχεία μόνο ως.doc format. Αναγκαστικά λοιπόν, χρειάστηκε να πάρω screenshots από το SPSS, τα οποία τα επεξεργάστηκα αργότερα με το Photoshop, ώστε να τα αποθηκεύσω ως.eps αρχεία, για να μπορώ να τα κάνω attach μέσα στο παρόν έγγραϕο. Ωστοσο, όλες οι εικόνες (μαζί με το ΑΕΜ τυπωμένο) των αρχείων που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτό το έγγραϕο, υπάρχουν με τη σειρά, σε ευκρινή μορϕή, στο συμπιεσμένο αρχέιο που έχω ανεβάσει στην ιστοσελίδα μου και μπορείτε να το κατεβάσετε από τη διεύθυνση: http://www.mostel.gr/stat.rar. Για οποιοδήποτε ορθογραϕικό ή συντακτικό λάθος, ζητάω συγγνώμη. Καλή ανάγνωση... 2 Melèth A' Στην πρώτη μελέτη θα ασχοληθούμε με το αντίστοιχο δεύτερο κεϕάλαιο της θεωρίας, δηλαδή με την Εκτίμηση Παραμέτρων. Αϕού υπολογίσουμε τα μέτρα κεντρικής τάσης και μεταβλητότητας, έχοντας έτσι μια ολική εποπτεία της κίνησης των τιμών, θα προσπαθήσουμε μέσω των διαγραμμάτων και των πινάκων που παραθέτουμε παρακάτω, να καταλήξουμε σε όσο το δυνατόν πιο ασϕαλή συμπεράσματα σχετικά με την απόδοση του εργοστασίου σε αυτές στις δύο περιόδους, τόσο στον τομέα της ηλεκτρικής ενέργειας, τόσο και στον τομέα της παραγωγής. 2.1 PÐnakac mètrwn kentrik c tˆshc kai metablhtìthtac Αϕού κανονικοποιήσουμε τις τιμές του πίνακα, έτσι ώστε να εξασϕαλίσουμε τις μέσες ημερίσιες τιμές, ανεξάρτητες από τις μέρες κάθε μήνα, δημιουργούμε στο SPSS τον ακόλουθο συγκεντρωτικό πίνακα, που περιέχει τόσο τα μέτρα κεντρικής τάσης, αλλά και μεταβλητότητας, για κάθε περίοδο.
2 ΜΕΛ ΕΤΗ Α 3 Από τον πίνακα, παρατηρούμε πως η μέση τιμή (mean) της ηλεκτρικής ενέργειας ημερισίως για την πρώτη περίοδο είναι 20, 4981. Αντίστοιχα, για τη δεύτερη περίοδο είναι 18, 8233. Παρατηρούμε δηλαδή μείωση της ηλεκτρικής ενέργειας από τη μία περίοδο στην άλλη. Λογικά, το ίδιο αποτέλεσμα θα πρέπει να συναντήσουμε και στην μέση ημερίσια παραγωγή. Άλλωστε, ας αναλογιστούμε την περίπτωση κατανάλωσης ρεύματος ενός νοικοκυριού. Αν σε ένα μήνα καταναλώσουμε λιγότερη ηλεκτρική ενέργεια από τον προηγούμενο, είναι ϕυσικό επακόλουθο να πληρώσουμε λιγότερα χρήματα στη Δ.Ε.Η.! Πράγματι, εδώ η υπόθεσή μας είναι έγκυρη, καθώς παρατηρούμε και μείωση της μέσης ημερίσιας παραγωγής από τη μία περίοδο στην άλλη. Συγκεκριμένα, ενώ στην πρώτη περίπτωση η μέση ημερίσια παραγωγή είναι 25, 2648, στη δεύτερη αντίστοιχα είναι 24, 2810. Ωστόσο, όπως γνωρίζουμε, η μέση τιμή δεν είναι πάντα ακσιόπιστο μέτρο κεντρικής τάσης, ώστε να μας δώσει τα σωστά συμπεράσματα. Αν έχουμε π.χ. κάποια ακραία τιμή, η μέση τιμή επηρεάζεται απ αυτή. Γι αυτό το λόγο, προχωράμε παρακάτω στην ανάλυση και παράσταση των θηκογραμμάτων, τα οποία θα μας εντοπίσουν τυχόν ακραίες τιμές, και θα μας βοηθήσουν στην αναλυτικότερη και εγκυρότερη εκτίμηση του αποτελέσματος. 2.2 Jhkogrˆmmata Οπως αναϕέρθηκε, με τα θηκογράμματα θα έχουμε μια πιο πλήρη εικόνα του προβλήματος. Θα μπορέσουμε επίσης να εξακριβώσουμε κατά πόσο αυτές οι κατανομές των τιμών προσεγγίζουν την κανονική, σύμϕωνα με τις ιδιότητες που έχουν οριστεί στη θεωρία, στην ανάλυση των θηκογραμμάτων. 2.2.1 Ηλεκτρικής ενέργειας και παραγωγής πρώτης περιόδου Τα θηκογράμματα μέσης ημερίσιας της ηλεκτρικής ενέργειας και παραγωγής πρώτης περιόδου λοιπόν είναι τα εξής:
2 ΜΕΛ ΕΤΗ Α 4 Στα θηκογράμματα παρατηρούμε αρχικά πως δε μπορούμε να πούμε για κανένα από τα δύο με σιγουριά πως ακολουθεί κανονική κατανομή. Αυτό γιατί στην πρώτη περίπτωση, οι μύστακες είναι δυσανάλογοι μεταξύ τους και όχι συμμετρικοί, ενώ στη δεύτερη έχουμε την εμϕάνιση μίας ύποπτης ακραίας τιμής (της πρώτης, όπως ϕαίνεται στο διάγραμμα με το νούμερο 1) και μιας ακραίας τιμής (δεκάτης εβδόμης, όπως ϕαίνεται στο διάγραμμα με το νούμερο 17). Βέβαια, αν εξαιρέσουμε αυτές τις τιμές από τις μετρήσεις, μπορούμε να παρατηρήσουμε πως η μέση ημερίσια παραγωγή της πρώτης περιόδου ακολουθεί κανονική κατανομή. 2.2.2 Ηλεκτρικής ενέργειας και παραγωγής δεύτερης περιόδου Εν συνεχεία, έχουμε τα θηκογράμματα μέσης ημερίσιας ηλεκτρικής ενέργειας και παραγωγής δεύτερης περιόδου. Συγκεκριμένα, είναι τα εξής:
2 ΜΕΛ ΕΤΗ Α 5 Στα συγκεκριμένα θηκογράμματα, αρχικά παρατηρούμε ότι δεν έχουμε εδώ ύποπτες ακραίες ή ακραίες τιμές. Επίσης, μπορούμε να πούμε πως προσεγγίζουν την κανονική κατανομή και τα δύο, καθώς πληρούν τα τρία κριτήρια της θεωρίας. Επιπλέον, τόσο από το συγκεντρωτικό πίνακα (σύμϕωνα με τη διασπορά, δηλαδή τη variance), τόσο και από τα θηκογράμματα (μήκη μυστάκων), είναι εμϕανές πως η διασπορά των τιμών της μέσης ημερίσιας παραγωγής και ηλεκτρικής ενέργειας είναι μεγαλύτερη (μεταβάλλεται περισσότερο) στην πρώτη περίοδο σε σχέση με τη δεύτερη. 2.3 Istogrˆmmata Εδώ, θα ασχοληθούμε με τα ιστογράμματα, για να δούμε διεξοδικά μέσα σε τι διαστήματα (intervals) κινούνται οι τιμές και στις δύο περιόδους, τόσο για την μέση ημερίσια παραγωγή, όσο και για τη μέση ημερισία ηλεκτρική ενέργεια. 2.3.1 Ηλεκτρικής ενέργειας πρώτης περιόδου Εχουμε λοιπόν αρχικά το ιστόγραμμα της μέσης ημερισίας ηλεκτρικής ενέργειας της πρώτης περιόδου, το οποίο είναι το εξής:
2 ΜΕΛ ΕΤΗ Α 6 2.3.2 Παραγωγής πρώτης περιόδου Το ιστόγραμμα της μέσης ημερίσιας παραγωγής της πρώτης περιόδου, είναι το εξής:
2 ΜΕΛ ΕΤΗ Α 7 2.3.3 Ηλεκτρικής ενέργειας δεύτερης περιόδου Το ιστόγραμμα της μέσης ημερίσιας ηλεκτρικής ενέργειας της δεύτερης περιόδου, είναι το εξής: 2.3.4 Παραγωγής δεύτερης περιόδου Το ιστόγραμμα της μέσης ημερίσιας παραγωγής της δεύτερης περιόδου, είναι το εξής:
2 ΜΕΛ ΕΤΗ Α 8 2.4 Diast mata empistosônhc mèswn tim n Εδώ, για κάθε μεταβλητή ξεχωριστά, δηλαδή αρχικά για την ηλεκτρική ενέργεια και έπειτα για την παραγωγή, θα δούμε το διάστημα εμπιστοσύνης των μέσων τιμών τους, και για τις δύο περιόδους. Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι απαραίτητο, γιατί μας βοηθάει να προσδιορίσουμε ακριβώς το πού κινείται η μέση τιμή κάθε μεταβλητής, ανεξαρτήτως απ τη δειγματοληψία που έχουμε κάνει (sampling). 2.4.1 Ηλεκτρικής ενέργειας πρώτης και δεύτερης περιόδου Επομένως, για τα διαστήματα εμπιστοσύνης μέσης τιμής της ηλεκτρικής ενέργειας για την πρώτη και δεύτερη περίοδο, έχουμε το εξής διάγραμμα από το SPSS: Σύμϕωνα με τον παραπάνω πίνακα, η μέση τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας για τη δεύτερη περίοδο κυμαίνεται σε διάστημα που μετά βίας περνάει τη μέση τιμή της πρώτης περιόδου, με αποτέλεσμα, σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις στη δεύτερη περίοδο να έχουμε μικρότερη μέση κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας. Άλλωστε αυτό ήταν και το συμπέρασμα το οποίο είχαμε προβλέψει και πιο πριν.
2 ΜΕΛ ΕΤΗ Α 9 2.4.2 Παραγωγής πρώτης και δεύτερης περιόδου Αντίστοιχα, ο πίνακας για τα διαστήματα εμπιστοσύνης των μέσων τιμών της παραγωγής για την πρώτη και τη δεύτερη περίοδο, είναι: Κι εδώ καταλήγουμε επίσης στο ίδιο συμπέρασμα με τον προηγούμενο πίνακα. Δηλαδή, στο γεγονός πως, σύμϕωνα με τα συγκεκριμένα διαστήματα εμπιστοσύνης, θα έχουμε μείωση και στην παραγωγή. Λογικό άλλωστε, μιας και έχουμε μείωση της μέσης ηλεκτρικής ενέργειας από την πρώτη στη δεύτερη περίοδο. 2.5 Diast mata empistosônhc diaforˆc mèswn tim n Στο συγκεκριμένο μέρος, θα εξετάσουμε το κατά πόσο διαϕέρουν μεταξύ τους οι μέσες ημερίσιες τιμές της ηλεκτρικής ενέργειας και της παραγωγής, των δύο περιόδων. Θα προσπαθήσουμε συγκεκριμένα να δούμε κατά πόσο η μία μεταβλητή διαϕέρει από την άλλη, είτε είναι μικρότερη, είτε μεγαλύτερη. 2.5.1 Ηλεκτρικής ενέργειας πρώτης και δεύτερης περιόδου Τα διαγράμματα που παίρνουμε από το SPSS με τη σύγκριση των μέσων τιμών μεταξύ της ηλεκτρικής ενέργειας της πρώτης και της δεύτερης περιόδου, είναι τα εξής: Με επίπεδο εμπιστοσύνης 95% Με επίπεδο εμπιστοσύνης 90%
2 ΜΕΛ ΕΤΗ Α 10 Παρατηρούμε πως και στα δύο διαστήματα, περιέχεται το 0 μέσα στα διαστήματα, επομένως, σύμϕωνα με τη θεωρία, δε μπορούμε να πούμε πως οι μέσες τιμές της ηλεκτρικής παραγωγής για την πρώτη και δεύτερη περίοδο διαϕέρουν με στατιστική σημαντικότητα για το επίπεδο σημαντικότητας που χρησιμοποιήσαμε (95%). Το ίδιο ισχύει και για το επίπεδο σημαντικότητας 90%. Να τονίσουμε εδώ, πως επειδή θεωρούμε τη διασπορα (variance) ίδια, ελέγχουμε την πρώτη γραμμή για equal variance. 2.5.2 Παραγωγής πρώτης και δεύτερης περιόδου Παρομοίως, θα έχουμε και για την παραγωγή: Με επίπεδο εμπιστοσύνης 95% Με επίπεδο εμπιστοσύνης 90% Επειδή και εδώ στα δύο διαστήματα συμπεριλαμβάνεται πάλι το 0, για την αιτία που αναϕέρθηκε παραπάνω, δε μπορούμε να μιλήσουμε για στατιστική σημαντικότητα και για τα δύο επίπεδα σημαντικότητας.
3 ΜΕΛ ΕΤΗ Β 11 3 Melèth B' Στη δεύτερη μελέτη θα ασχοληθούμε με το τρίτο κεϕάλαιο της θεωρίας, δηλαδή με τη συσχέτιση και την παλινδρόμηση. Μέσα από αυτή την ανάλυση, θα δούμε κατά πόσο η μία μεταβλητή επιδρά στην άλλη, ή κατά πόσο ανεξάρτητες είναι αυτές μεταξύ τους. 3.1 Diagrˆmmata diasporˆc Με τα διαγράμματα, θα δούμε κατά πόσο η μία ανεξάρτητη μεταβλητή (στην προκειμένη η μέση παραγωγή) επηρεάζει την εξαρτημένη μεταβλητή (τη μέση κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας). Εκτός από τα διαγράμματα, θα παραθέσουμε και τους πίνακες που μας πληροϕορούν για το συντελεστή συσχέτισης (ρ) του κάθε διαγράμματος. 3.1.1 Παραγωγής και ηλεκτρικής ενέργειας πρώτης περιόδου Το διάγραμμα διασποράς μέσης ημερίσιας παραγωγής και ηλεκτρικής ενέργειας πρώτης περιόδου είναι το εξής: Ο δε αντίστοιχος πίνακας που περιέχει το συντελεστή συσχέτισης είναι:
3 ΜΕΛ ΕΤΗ Β 12 Οπως μπορούμε αρχικά να δούμε στο διάγραμμα διασποράς, επειδή οι τιμές δε συνιστούν γραμμή ή κάτι παραπλήσιο, λέμε πως δεν υπάρχει κάποια γραμμική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Την άποψή μας αυτή την ενισχύει και ο πίνακας, όπου βλέπουμε πως ο συντελεστής παλινδρόμησης (ρ) είναι 0, 519. Επειδή λοιπόν δε προσεγγίζει την τιμή 1 ή την τιμή 1, δε μπορούμε να μιλήσουμε για γραμμικότητα μεταξύ αυτών των δύο μεταβλητών. 3.1.2 Παραγωγής και ηλεκτρικής ενέργειας δεύτερης περιόδου Το διάγραμμα διασποράς μέσης ημερίσιας παραγωγής και ηλεκτρικής ενέργειας δεύτερης περιόδου είναι το εξής: Αντιστοίχως, ο πίνακας που περιέχει το συντελεστή συσχέτισης είναι:
3 ΜΕΛ ΕΤΗ Β 13 Οπως βλέπουμε στο διάγραμμα διασποράς, υπάρχει γραμμική σχέση (βέβαια όχι τόσο εμϕανής) μεταξύ των δύο μεταβλητών. Συν τοις άλλοις, ο πίνακας παρατηρούμε πως έχει για συντελεστή παλινδρόμησης (ρ) την τιμή 0, 928. Επειδή λοιπόν προσεγγίζει την τιμή 1, μπορούμε να μιλήσουμε για γραμμικότητα μεταξύ των δύο μεταβλητών. 3.2 Montèla grammik c palindrìmhshc Με τα μοντέλα γραμμικής παλινδρόμησης, θα πάρουμε αρχικά την ευθεία των ε- λαχίστων τετραγώνων και τις παραμέτρους της. Δηλαδή, τη διαϕορά ύψους, την κλίση και τη διασπορά σϕάλματος. Αποτελούν σημαντικά στοιχεία, γιατί θα μας βοηθήσουν να απαντήσουμε προσεγγιστικά στο τρίτο και τελευταίο ερώτημα της δεύτερης μελέτης του προβλήματος. 3.2.1 Γράϕημα και πίνακας πρώτης περιόδου Για την πρώτη περίοδο, το γράϕημα της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων θα είναι το εξής:
3 ΜΕΛ ΕΤΗ Β 14 Αντίστοιχα, ο πίνακας θα είναι: Παρατηρούμε πως ο πίνακας συμϕωνεί με το γράϕημα. Σύμϕωνα με τον πίνακα η κλίση είναι 0, 342, η διαϕορά ύψους 11, 847 και η διασπορά σϕάλματος 2, 830 και 0, 111, αντίστοιχα. Δηλαδή, η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων θα έξει τη μορϕή: y = 0, 342 x + 11, 847 (1) Είναι τώρα εύκολο να δούμε πως αυτή η ευθεία επαληθεύεται από την ευθεία του γραϕήματος. 3.2.2 Γράϕημα και πίνακας δεύτερης περιόδου Εντελώς ανάλογα, για τη δεύτερη περίοδο, το γράϕημα ευθείας ελαχίστων τετραγώνων είναι το εξής:
3 ΜΕΛ ΕΤΗ Β 15 Αντίστοιχα, ο πίνακας θα είναι: Εδώ επίσης βλέπουμε πως ο πίνακας συμϕωνεί με το γράϕημα. Σύμϕωνα με τον πίνακα η κλίση είναι 0, 819, η διαϕορά ύψους 1, 064 και η διασπορά σϕάλματος 3, 647 και 0, 15, αντίστοιχα. Δηλαδή, η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων θα έχει τη μορϕή: y = 0, 819 x 1, 064 (2) Σημείωση: Η διαϕορά ύψους βγήκε αρνητική, αλλά αυτό δε δημιουργεί πρόβλημα, μιας και η διασπορά σϕάλματος είναι 3, 647, δηλαδή μεγαλύτερη. 3.2.3 Καταλληλότητα μοντέλων Πρώτου μοντέλου Προϕανώς, το πρώτο μοντέλο δε μπορεί να θεωρηθεί αξιόπιστο, μιας και δε μπορούμε να πούμε πως έχουμε γραμμική παλινδρόμηση. Επομένως, όσες εκτιμήσεις γίνονται με βάση αυτό απαιτούν προσοχή και δεν πρέπει να λαμβάνονται πάρα πολύ σοβαρά υπόψη. Απλώς μας δίνει μια εικόνα και τίποτα παραπάνω.
4 ΕΠ ΙΛΟΓΟΣ 16 Δεύτερου μοντέλου Αντιθέτως, το δεύτερο μοντέλο μπορούμε να πούμε πως έχει αξιοπιστία, μιας και παρουσιάζεται μια προσέγγιση γραμμικής παλινδρόμησης. Επομένως, οι εκτιμήσεις που γίνονται με βάση αυτό αϕενός έχουν σαϕώς μεγαλύτερη ισχύη από το πρώτο μοντέλο, αϕετέρου έχουν μεγαλύτερη βαρύτητα και προσεγγίζουν την πραγματικότητα. 3.3 Prìbleyh montèlwn Σύμϕωνα με το τρίτο ερώτημα της δεύτερης μελέτης, θέλουμε να προβλέψουμε τη μέση κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας, όταν το σύνολο παραγωγής είναι 700 (χιλιάδες κιλά). Τα κιλά παραγωγής θα πρέπει να τα διαιρέσουμε με το μέσο όρο των ημερών κάθε μήνα για καθεμία από τις δύο περιόδους. Αυτό το μέσο όρο τον βρίσκουμε εύκολα με το SPSS. Για την πρώτη περίοδο λοιπόν είναι 23, 841, ενώ για τη δεύτερη 24, 021. Σύμϕωνα με τις εξισώσεις (1) και (2), μιας και ανεξάρτητη μεταβλητή (δηλαδή η x) θεωρείται η μέση παραγωγή, αρκεί να γίνει μια απλή αντικατάσταση για να βρούμε τα ζητούμενα. Βέβαια, αυτά απλώς θα δώσουν μια εικόνα και τίποτα παραπάνω, μιας και όπως αναϕέρθηκε παραπάνω, ειδικά στην περίπτωση του πρώτου μοντέλου, η παλινδρόμηση δεν είναι κανονική. Θα έχουμε για την πρώτη περίοδο: y = 0, 342 x + 11, 847 = 0, 342 23, 841 + 11, 847 = 20 Αντίστοιχα, για τη δεύτερη περίοδο, θα έχουμε: y = 0, 819 x 1, 064 = 0, 819 24, 021 1, 064 = 18, 609 Βλέπουμε λοιπόν, πως διαϕέρουν οι τιμές των δύο περιόδων. Βέβαια, αυτό το αποτέλεσμα είναι θεωρητικό και δε γίνεται στην παραγματικότητα, επειδή κανένα από τα δύο μοντέλα δεν είναι απόλυτα γραμμικό. 4 EpÐlogoc Εδώ, ϕτάνουμε στο τέλος της εργασίας. Προσπάθησα όσο το δυνατόν τα σχόλια να είναι πιο αναλυτικά, ώστε να είναι κατανοητά από οποιονδήποτε αναγνώστη. Δυστυχώς, τα διαγράμματα δεν είναι τόσο ευκρινή, για το λόγο που ανέϕερα στον πρόλογο. Η δακτυλογράϕηση της εργασίας, που έγινε σε L A TEX, μου πήρε πολλές ώρες, αλλά ελπίζω το αποτέλεσμα να σας άρεσε. Καταλήγοντας, θεωρώ πως η εργασία μου έδωσε τη δυνατότητα να εμβαθύνω στη θεωρία και να την κατανοήσω καλύτερα, μέσα από ένα ϕυσικό πρόβλημα μηχανικού. Σας ευχαριστώ.