α) Προτού επιβληθεί το φορτίο q οι τάσεις στο σημείο Μ είναι οι γεωστατικές. Κατά συνέπεια θα είναι:

6 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Μιχάλης Μπαρδάνης, Υποψήφιος Διδάκτορας ΕΜΠ Για την επίλυση των ασκήσεων σειράς αυτής αρκούν οι σχέσεις και οι πίνακες που παρατίθενται στα οικεία κεφάλαια του βιβλίου «Στοιχεία Εδαφομηχανικής» του Μ. Καββαδά. ΑΣΚΗΣΗ 6.1 - Απάντηση (Σημαντικό σημείο στην άσκηση: Σε αδιαπέρατα υλικά όπως η άργιλος οποιοδήποτε εξωτερικά επιβαλλόμενο φορτίο αναλαμβάνεται αρχικά από την υγρή φάση και μετά προοδευτικά από τη στερεά φάση μέσω αύξησης και αντίστοιχης αποτόνωσης πίεσης πόρων. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται στερεοποίηση των αργιλικών εδαφών) Για την επίλυση άσκησης πρέπει να γίνει μια υπόθεση για την τιμή πυκνότητας άμμου και αργίλου. Με δεδομένο ότι η άσκηση δεν διευκρινίζει αν πρόκειται για πυκνή ή χαλαρή άμμο μία λογική τιμή για την πυκνότητα όταν είναι πλήρως κορεσμένη (δηλ. κάτω από τη στάθμη του υπόγειου ορίζοντα) είναι ρ sat = 2.0 Mg/m 3 (που σημαίνει ότι η τιμή του ειδικού βάρους σε αυτή την περίπτωση είναι γ sat = 20 kn/m 3 ) και όταν αυτή βρίσκεται πάνω από τον υπόγειο ορίζοντα (οπότε αντίθετα από την άργιλο που είναι πολύ αδιαπέρατη) η άμμος επειδή στραγγίζει, λαμβάνεται ότι η πυκνότητά έχει μειωθεί οπότε ρ = 1.8 Mg/m 3 (και το ειδικό βάρος γ = 18 kn/m 3 ). Αν δινόταν ότι η άμμος είναι πολύ πυκνή θα μπορούσε να ληφθεί ακόμα και ρ sat = 2.2 Mg/m 3 ενώ αν δινόταν ότι η άμμος είναι χαλαρή θα μπορούσε να ληφθεί ακόμα και ρ sat = 1.9 Mg/m 3 με μειώσεις σε κάθε περίπτωση περί το 10% όταν η άμμος βρίσκεται πάνω από τη στάθμη του υπόγειου ορίζοντα (δηλ. ρ = 2.0 Mg/m 3 και ρ = 1.7 Mg/m 3 αντίστοιχα). Για την άργιλο μπορεί γενικά να λαμβάνεται ρ sat = 2.0 Mg/m 3 όταν είναι κάτω από τη στάθμη του υπόγειου ορίζοντα, χωρίς ωστόσο να γίνεται κάποια απομείωση (ή μόνο πολύ μικρή) για την περίπτωση που αυτή βρίσκεται πάνω από τη στάθμη του υπόγειου ορίζοντα αφού η άργιλος είναι πολύ πιο αδιαπέρατη από την άμμο και δεν στραγγίζει όταν έχουμε πτώση στάθμης του υπόγειου ορίζοντα. α) Προτού επιβληθεί το φορτίο q οι τάσεις στο σημείο Μ είναι οι γεωστατικές. Κατά συνέπεια θα είναι: σ ολ = 2*1.8*10+2*2.0*10+4*2.0*10 = 156 kpa u = 6*1.0*10 = 60 kpa σ = σ ολ u = 156 60 = 96 kpa β) Αμέσως μετά την επιβολή του φορτίου q, μέσα στη μάζα αργίλου όλη η επιπλέον φόρτιση θα αναληφθεί από το νερό των πόρων, αφού η άργιλος έχει πολύ μικρή διαπερατότητα, οδηγώντας σε αύξηση πίεσης των πόρων ίση με το επιβαλλόμενο φορτίο. Με το ίδιο ποσό φυσικά αυξάνεται και η ολική τάση. Άρα στο σημείο Μ: u = 6*1.0*10 + 100 = 160 kpa σ ολ = 2*1.8*10+2*2.0*10+4*2.0*10 + 100 = 256 kpa σ = σ ολ u = 256 160 = 96 kpa Κατά συνέπεια, αμέσως μετά την επιβολή του φορτίου, η ενεργός τάση μέσα στη μάζα αργίλου έχει παραμείνει η ίδια αφού είχαμε ισόποση αύξηση ολικής τάσης και πίεσης των πόρων. 1

γ) Όταν πια θα έχει ολοκληρωθεί η στερεοποίηση του στρώματος αργίλου λόγω επιβολής του φορτίου q, μέσα στη μάζα αργίλου όλη η επιπλέον φόρτιση θα έχει αναληφθεί πλέον από τους στερεούς κόκκους και η πίεση των πόρων θα έχει εκτονωθεί (θα έχει γίνει δηλ. πάλι ίδια με την υδροστατική που ήταν αρχικά). Η ολική τάση φυσικά θα έχει παραμείνει η ίδια. Άρα στο σημείο Μ: u = 6*1.0*10 = 60 kpa σ ολ = 2*1.8*10+2*2.0*10+4*2.0*10 + 100 = 256 kpa σ = σ ολ u = 256 60 = 196 kpa Οπότε πλέον η ενεργός τάση έχει αυξηθεί κατά το επιβληθέν φορτίο q. ΑΣΚΗΣΗ 6.2 Απάντηση (Σημαντικό σημείο στην άσκηση: Το μέτρο μονοδιάστα συμπίεσης είναι η κλίση εφαπτομένης καμπύλης μονοδιάστα συμπίεσης. Επειδή αυτή είναι έντονα μη γραμμική, η τιμή του μέτρου μονοδιάστα συμπίεσης δεν είναι σταθερή αλλά μεταβάλλεται και συγκεκριμένα αρχικά είναι χαμηλή και προοδευτικά αυξάνεται) i) Το μέτρο μονοδιάστα συμπίεσης είναι η κλίση εφαπτομένης καμπύλης μονοδιάστα συμπίεσης σε κάθε σημείο. Επειδή η καμπύλη αυτή είναι έντονα μη γραμμική, η τιμή του μέτρου μονοδιάστα συμπίεσης δεν είναι σταθερή αλλά μεταβάλλεται και συγκεκριμένα αρχικά είναι χαμηλή και προοδευτικά αυξάνεται (όσο αυξάνεται η κατακόρυφη ενεργός τάση). Για αυτό το λόγο θα υπολογίσουμε την κατακόρυφη ενεργό τάση στο ζητούμενο σημείο και για τις δύο περιπτώσεις, ώστε να προσδιορίσουμε τη θέση που βρισκόμαστε επί καμπύλης. Περίπτωση (α) σ ολ = 3*2.0*10 + 50 = 110 kpa u = 3*1.0*10 = 30 kpa σ = σ ολ u = 110 30 = 80 kpa Περίπτωση (β) σ ολ = 3*1.9*10 + 150 = 207 kpa u = 0 σ = σ ολ u = 207 0 = 207 kpa Η κατακόρυφη ενεργή τάση λοιπόν αυξήθηκε λόγω συνδυασμένης αύξησης του επιβαλλόμενου εξωτερικού φορτίου και ταπείνωσης του υπόγειου ορίζοντα. Χαράσσοντας την εφαπτομένη στην καμπύλη μονοδιάστα συμπίεσης εκεί που είναι σ = 80 kpa (Περίπτωση (α)) και εκεί που είναι σ = 207 kpa (Περίπτωση (β)) προκύπτει: D α = Δσ / Δε ν = 90 / 0.02 = 4500 kpa και D β = Δσ / Δε ν = 230 / 0.02 = 11500 kpa Όπως παρατηρούμε το μέτρο μονοδιάστα συμπίεσης είναι μεγαλύτερο για μεγαλύτερη ενεργό τάση. 2

ii) Για τον υπολογισμό τιμής του λόγου κενών θα υπολογίσουμε πρώτα τη μεταβολή ογκομετρικής παραμόρφωσης από την καμπύλη μονοδιάστα συμπίεσης για τη μεταβολή που υπολογίστηκε (από τα 80 kpa στα 207 kpa). Πράγματι για τη μεταβολή αυτή τάσης, η ογκομετρική παραμόρφωση ε ν μεταβάλλεται από την τιμή 0.020 που είχε αρχικά στην τιμή 0.038, δηλ. η μεταβολή στην τιμή είναι 0.018. Για να υπολογιστεί από τη μεταβολή αυτή η μεταβολή στην τιμή του λόγου κενών χρειάζεται μία σχέση που να τις συνδέει. Πράγματι: Δε ν = -ΔV/V ολ = -ΔV κ /V ολ, αφού οποιαδήποτε μεταβολή του συνολικού όγκου του εδάφους οφείλεται στη μεταβολή του όγκου που καταλαμβάνουν τα κενά αφού οι στερεοί κόκκοι είναι ασυμπίεστοι, οπότε: Δε ν = -ΔV/V ολ = = -ΔV κ /V ολ = = -ΔV κ /(V κ + V σ ) = = (-ΔV κ / V σ ) / [(V κ + V σ )/ V σ ] = = -Δe/(1 + e o ) Δε ν = -Δe / (1 + e o ) Γνωρίζοντας λοιπόν τη διαφορά Δε ν και την αρχική τιμή του λόγου κενών υπολογίζουμε τη διαφορά Δe = -0.0288, οπότε η τελική τιμή του λόγου κενών είναι e 2 = e ο + Δe = 0.60 + (-0.0288) = 0.571 ΑΣΚΗΣΗ 6.3 Απάντηση (Σημαντικό σημείο στην άσκηση: Οποιαδήποτε μεταβολή στα εδαφικά υλικά συμβαίνει μόνο λόγω μεταβολών στην τιμή των ενεργών τάσεων και αντίστροφα) Για την επίλυση άσκησης πρέπει να γίνει μια υπόθεση για την τιμή πυκνότητας άμμου. Με δεδομένο ότι η άσκηση δεν διευκρινίζει αν πρόκειται για πυκνή ή χαλαρή άμμο μία λογική τιμή για την πυκνότητα όταν είναι πλήρως κορεσμένη είναι ρ sat = 2.0 Mg/m 3 (που σημαίνει ότι η τιμή του ειδικού βάρους σε αυτή την περίπτωση είναι γ sat = 20 kn/m 3 ) και όταν αυτή βρίσκεται πάνω από τον υπόγειο ορίζοντα (οπότε αντίθετα από την άργιλο που είναι πολύ αδιαπέρατη) η άμμος επειδή στραγγίζει λαμβάνεται ότι η πυκνότητά έχει μειωθεί οπότε ρ = 1.8 Mg/m 3 (και το ειδικό βάρος γ = 18 kn/m 3 ). Καταρχάς κατά το πρώτο στάδιο στο οποίο η στάθμη των υδάτων ανέρχεται από το +1 m στα +5 m πάνω από την επιφάνεια του εδάφους δεν πρόκειται να υπάρξει καμμιά μεταβολή στην τιμή του λόγου κενών αφού οποιαδήποτε αλλαγή στην τιμή των παραμορφωσιακών μεγεθών ενός εδαφικού υλικού είναι συνάρτηση μεταβολών που συμβαίνουν στην τιμή των ενεργών τάσεων μόνο και αντίστροφα. Μεταβολές στη στάθμη μιας υδάτινης συγκέντρωσης όπως αυτή που περιγράφει η άσκηση κατά το πρώτο στάδιο δεν προκαλούν μεταβολές στην ενεργό τάση όπως προκύπτει και αριθμητικά: Στάθμη λίμνης: +1 m Στάθμη λίμνης: +5 m σ (-3 m) = σ ολ u = (1*10 + 3*20) 4*10 = 30 kpa σ (-3 m) = σ ολ u = (5*10 + 3*20) 8*10 = 30 kpa, η ίδια τιμή 3

Στη συνέχεια ακολουθεί το στάδιο του καταβιβασμού στάθμης των υδάτων σε βάθος 8 m κάτω από την επιφάνεια του εδάφους. Οι ενεργές τάσεις πάνω από τη στάθμη αυτή κατά συνέπεια ταυτίζονται με τις ολικές, για τον υπολογισμό των οποίων ωστόσο θα θεωρήσουμε τη χαμηλότερη τιμή πυκνότητας για την άμμο, δεδομένου ότι αυτή στραγγίζει εύκολα. Η νέα τιμή είναι: σ (-3 m) = σ ολ (-3 m) = 3*18 = 54 kpa, οπότε έχουμε αύξηση. Στην άσκηση δίνεται η καμπύλη μονοδιάστα συμπίεσης για την άμμο του προβλήματος, από την οποία βρίσκουμε ότι για μεταβολή από τα 30 στα 54 kpa, η ογκομετρική παραμόρφωση ε ν μεταβάλλεται από την τιμή 0.016 που είχε αρχικά στην τιμή 0.026, δηλ. η μεταβολή στην τιμή είναι 0.010. Για να υπολογιστεί από τη μεταβολή αυτή η μεταβολή στην τιμή του λόγου κενών χρειάζεται μία σχέση που να τις συνδέει. Πράγματι όπως είδαμε και στην απόδειξη στα πλαίσια προηγούμενης άσκησης η σχέση αυτή είναι: Δε ν = -Δe / (1 + e o ) Γνωρίζοντας λοιπόν τη διαφορά Δε ν και την αρχική τιμή του λόγου κενών υπολογίζουμε τη διαφορά Δe = -0.017, οπότε η τελική τιμή του λόγου κενών είναι e 2 = e ο + Δe = 0.70 + (-0.017) = 0.683 Να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στα εξής: 1. Ταπείνωση στάθμης του υπόγειου ορίζοντα οδηγεί σε αύξηση των ενεργών τάσεων, όπως και η επιβολή ενός εξωτερικού φορτίου. 2. Αύξηση των ενεργών τάσεων σημαίνει συμπίεση του εδαφικού υλικού, η οποία μεταφράζεται σε αύξηση των ογκομετρικών παραμορφώσεων αφού αυτές είναι θετικές όταν είναι θλιπτικές όπως αντίστοιχα και οι τάσεις (κατά τη σύμβαση προσήμων που ισχύει στην εδαφομηχανική) αλλά σε μείωση τιμής του λόγου κενών. ΑΣΚΗΣΗ 6.4 Απάντηση (Σημαντικό σημείο στην άσκηση: Λόγω μη γραμμικότητας σχέσης που συνδέει τις τάσεις με τις παραμορφώσεις κατά τη μονοδιάστατη παραμόρφωση, χωρίζουμε σε ζώνες τις στρώσεις των αργίλων όταν θέλουμε να υπολογίσουμε καθιζήσεις για ολόκληρη την στρώση) Η άσκηση ζητά τον υπολογισμό καθίζησης που θα προκληθεί αποκλειστικά λόγω του καταβιβασμού στάθμης του υπόγειου ορίζοντα. Ταπείνωση του υπόγειου ορίζοντα όπως είδαμε και στην άσκηση 6.3 προκαλεί αύξηση των ενεργών τάσεων, δηλ. συμπίεση. Με δεδομένο ότι η άμμος που βρίσκεται κάτω από τη στρώση αργίλου είναι πολύ πυκνή, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η συνολική καθίζηση θα οφείλεται πρακτικά μόνο στη συμπίεση αργίλου με ελάχιστη συμμετοχή στρώσης άμμου. Για την επίλυση άσκησης λοιπόν θα υπολογιστεί μόνο η καθίζηση στρώσης αργίλου (για την οποία άλλωστε δίνονται και δεδομένα) και θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος του διαχωρισμού αργιλικής στρώσης σε ζώνες μικρότερου πάχους. Γενικά σε όσο περισσότερες ζώνες χωρίζουμε τη στρώση αργίλου σε τέτοιους υπολογισμούς τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια του υπολογισμού καθίζησης αλλά σε πρακτικά χωρίζουμε σε ζώνες πάχους μεταξύ 10 και 20 % του συνολικού 4

πάχους στρώσης. Η μέθοδος αποσκοπεί στην καλύτερη προσέγγιση μη γραμμικής καμπύλης μονοδιάστα συμπίεσης και προσφέρεται για την κατάστρωση σε λογισμικά φύλλα (με τη βοήθεια των οποίων μπορούμε να χωρίζουμε σε πολλές ζώνες αν θέλουμε, παρά το μικρό κέρδος από πλευράς ακριβείας). Ένα σημείο που πρέπει να δοθεί προσοχή είναι ότι τυχόν σημεία μεταβολής κλίσης στα διαγράμματα κατανομής των κατακόρυφων ενεργών τάσεων πρέπει να αποτελούν όρια μεταξύ ζωνών. Ο πίνακας που ακολουθεί περιέχει υπόδειγμα με τη μεθοδολογία υπολογισμού καθίζησης με τη μέθοδο του διαχωρισμού σε ζώνες. Ζώνη Πάχος Βάθος στο μέσο Αρχική τιμή στο μέσο Αρχική τιμή παραμόρφωσης από την καμπύλη μονοδιάστα συμπίεσης και την αρχική τιμή Τελική τιμή στο μέσο Τελική τιμή παραμόρφωσης από την καμπύλη μονοδιάστα συμπίεσης και την αρχική τιμή Διάφορα στην παραμόρφωση για το μέσο Καθίζηση 1 H 1 D 1 σ v(d 1 ) ο ε v (D 1 ) ο σ v(d 1 ) τελ ε v (D 1 ) τελ Δε 1 = ε v (D 1 ) τελ ρ 1 =Η 1 Δε 1 - ε v (D 1 ) ο i H i D i σ v(d i ) ο ε v (D i ) ο σ v(d i ) τελ ε v (D i ) τελ Δε i = ε v (D i ) τελ ρ i =Η i Δε i - ε v (D i ) ο Σημειώνεται ότι τόσο κατά την παράδοση άσκησης όσο και στα αποτελέσματα που παρουσιάζονται εδώ η στρώση αργίλου χωρίστηκε μόνο σε δύο ζώνες απλώς για να επιδειχθεί η μέθοδος. Ζώνη Πάχος Βάθος στο μέσο Αρχική τιμή στο μέσο Αρχική τιμή παραμόρφωσης από την καμπύλη μονοδιάστα συμπίεσης και την αρχική τιμή Τελική τιμή στο μέσο Τελική τιμή παραμόρφωσης από την καμπύλη μονοδιάστα συμπίεσης και την αρχική τιμή Διάφορα στην παραμόρφωση για το μέσο Καθίζηση 1 1.00 0.5 65 0.044 59.5 0.047 0.003 0.003 2 1.00 1.5 65 0.049 74 0.054 0.005 0.005 Και κατά συνέπεια η συνολική καθίζηση είναι το άθροισμα καθίζησης κάθε, δηλ. εν προκειμένω: ρ ολ = 0.003 + 0.005 = 0.008 m ΑΣΚΗΣΗ 6.5 Απάντηση (Σημαντικό σημείο στην άσκηση: Λόγω μη γραμμικότητας σχέσης που συνδέει τις τάσεις με τις παραμορφώσεις κατά τη μονοδιάστατη παραμόρφωση, χωρίζουμε σε ζώνες τις στρώσεις των αργίλων όταν θέλουμε να υπολογίσουμε καθιζήσεις για ολόκληρη την στρώση) Στην άσκηση αυτή η λογική είναι ακριβώς ίδια με αυτή προηγούμενης αλλά αποσκοπεί στην εξοικείωση με τη μέθοδο υπολογισμού των καθιζήσεων με το διαχωρισμό των στρώσεων σε 5

ζώνες και ακόμα ένα σημείο που είναι η εξοικείωση με την μετατροπή δυνάμεων που μεταβιβάζουν πραγματικές κατασκευές στο έδαφος σε τάσεις και υπό ποιες πραγματικες συνθήκες μπορούμε να θεωρούμε ότι έχουμε συνθήκες μονοδιάστα παραμόρφωσης. Έτσι λοιπόν εν προκειμένω η τάση που έχει υποβληθεί στο έδαφος με το υπάρχον κτίριο (θεωρώντας ότι αυτό εδράζεται επί γενικής κοιτόστρωσης οπότε το φορτίο του ισοκατανέμεται στην επιφάνεια που καταλαμβάνει το κτίριο) είναι 120000 / (40*40) = 75 kpa η οποία αυξάνεται στα 75 + 80000 / (40*40) = 137.5 kpa με την κατασκευή προσθήκης του κτιρίου. Θεωρώντας λοιπόν τώρα ότι μεταξύ κάθε σταδίου έχει παρέλθει αρκετός χρόνος για την ολοκλήρωση στερεοποίησης (δηλαδή την αποτόνωση των πιέσεων πόρων που αναπτύσσονται αρχικά) μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος του διαχωρισμού των στρώσεων σε επιμέρους ζώνες όπως και στην προηγούμενη άσκηση. Σημειώνεται ότι τόσο κατά την παράδοση άσκησης όσο και στα αποτελέσματα που παρουσιάζονται εδώ η στρώση αργίλου χωρίστηκε μόνο σε δύο ζώνες απλώς για να επιδειχθεί η μέθοδος. Ζώνη Πάχος Βάθος στο μέσο Αρχική τιμή στο μέσο Αρχική τιμή παραμόρφωσης από την καμπύλη μονοδιάστα συμπίεσης και την αρχική τιμή Τελική τιμή στο μέσο Τελική τιμή παραμόρφωσης από την καμπύλη μονοδιάστα συμπίεσης και την αρχική τιμή Διάφορα στην παραμόρφωση για το μέσο Καθίζηση 1 2.50 1.25 87.5 0.023 137.5 0.032 0.009 0.0225 2 2.50 3.75 112.5 0.029 167.5 0.037 0.008 0.0200 Και κατά συνέπεια η συνολική καθίζηση είναι το άθροισμα καθίζησης κάθε, δηλ. εν προκειμένω: ρ ολ = 0.0225 + 0.0200 = 0.0425 m ΑΣΚΗΣΗ 6.6 Απάντηση (Σημαντικό σημείο στην άσκηση: Το μέτρο μονοδιάστα παραμόρφωσης είναι πολύ μεγαλύτερο κατά την αποφόρτιση παρά κατά τη φόρτιση) α) Για τον υπολογισμό καθίζησης στρώσης αργίλου ζητείται από την άσκηση να μη γίνει διαίρεση σε ζώνες, χάριν απλοποίησης, οπότε θα υπολογίσουμε τις μεταβολές που προκαλούνται σε εδαφικό στοιχείο στη μέση στρώσης αργίλου. Αρχικά: σ ολ = 4*20 + 4*19 = 156 kpa u = 8*10 = 80 kpa σ = σ ολ u = 156 80 = 76 kpa 6

Τελικά (μετά από πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα οπότε έχει ολοκληρωθεί η στερεοποίηση): σ ολ = 100 + 4*20 + 4*19 = 256 kpa u = 8*10 = 80 kpa σ = σ ολ u = 256 80 = 176 kpa Για μεταβολή τάσης λοιπόν από τα 76 kpa στα 176 kpa η τιμή του λόγου κενών e μεταβάλλεται βάσει καμπύλης μονοδιάστα συμπίεσης που δίνεται (επί του κλάδου φόρτισης) από 1.17 σε 1.09, δηλαδή μεταβολή 1.09 1.17 = -0.08. Με χρήση σχέσης Δε ν = -Δe / (1 + e o ) Που αποδείχτηκε πιο πριν και για e ο = 1.17 έχουμε Δε ν = -[-0.08 / (1 + 1.17)] = 0.0369 και με δεδομένο ότι κατά τη μονοδιάστατη παραμόρφωση είναι Δε ν = -ΔΗ / Η ο οπότε για Η ο = 8 m έχουμε ΔΗ = 0.295 m. β) Κατά το δεύτερο στάδιο που αφαιρείται το φορτίο των 100 kpa η άργιλος αναμένεται να διογκωθεί. Κατά την αποφόρτιση μιας αργίλου η μεταβολή του όγκου δεν είναι η ίδια με τη μεταβολή που προκαλεί ισόποση μεταβολή τάσης κατά τη φόρτιση αφού το υλικό έχει πλέον στερεοποιηθεί και το νερό των διπλών στρώσεων των αργιλικών πλακιδίων έχει διαφύγει οδηγώντας σε αύξηση των ηλεκτροχημικών δυνάμεων μεταξύ των πλακιδίων αργίλου, χωρίς να μπορεί να τις υπερνικήσει κατά την αποφόρτιση και να εισέλθει και πάλι μεταξύ των πλακιδίων. Γι αυτό κατά τους κύκλους φόρτισης - αποφόρτισης έχουμε πλαστικές (παραμένουσες) παραμορφώσεις και το μέτρο μονοδιάστα συμπίεσης κατά την αποφόρτιση είναι μεγαλύτερο από ότι κατά τη φόρτιση. Αυτή τη φορά λοιπόν η αρχική τιμή τάσης είναι 176 kpa και μετά την αφαίρεση του φορτίου q = 100 kpa και την παρέλευση του απαιτούμενου χρόνου για την ολοκλήρωση στερεοποίησης η τελική τιμή τάσης θα είναι 76 kpa. Αντίθετα ωστόσο από την προηγούμενη φορά, η αρχική τιμή του λόγου κενών τώρα είναι 1.09 και η τιμή του τελικού λόγου κενών βρίσκεται θεωρώντας ότι από την τιμή τάσης 176 kpa επί του κλάδου φόρτισης γίνεται αποφόρτιση παράλληλα με τον κλάδο αποφόρτισης CD. Προκύπτει λοιπόν ότι η τιμή του τελικού λόγου κενών αυτή τη φορά είναι 1.11 και η μεταβολή του λόγου κενών είναι -0.02. Είναι λοιπόν τότε Δε ν = -Δe / (1 + e o ) = -[-0.02 / (1 + 1.09)] = 0.00957. Συνεπώς είναι ΔH = -H o * Δε ν = -8 * 0.00957 = -0.0766 m, δηλαδή ανύψωση κατά 7.66 cm κατά τη σύμβαση των προσήμων εδαφομηχανικής αλλά και την φυσική εμπειρία ότι αποφόρτιση οδηγεί σε διόγκωση (ανύψωση εν προκειμένω) στρώσης αργίλου. Στον προηγούμενο υπολογισμό θα μπορούσε να υπολογίσει κάποιος την ανύψωση με αρχική τιμή του πάχους 8 0.295 = 7.705 m, βρίσκοντας ανύψωση 7.37 cm. Με δεδομένες τις παραδοχές που υπεισέρχονται ωστόσο κατά την επίλυση τέτοιων προβλημάτων με προφανές παράδειγμα στην περίπτωση μας την θεώρηση μίας χάριν απλοποίησης η επιδίωξη αύξησης ακρίβειας κατ αυτό τον τρόπο δεν έχει ιδιαίτερο νόημα. ΑΣΚΗΣΗ 6.7 Απάντηση (Σημαντικό σημείο στην άσκηση: Συμπεριφορά εδαφικού υλικού υπό αστράγγιστες συνθήκες για διάφορα είδη φορτίσεων. Αστράγγιστες συνθήκες, ν = 0.5 και ισόογκες μεταβολές) α) Η εκφώνηση άσκησης περιέχει ένα λάθος σε ό,τι αφορά το πρώτο ερώτημα και αυτό είναι ότι η οριζόντια διάσταση του δοκιμίου έχει γίνει 10.1 cm. 7

Με δεδομένο αυτό πλέον μπορούμε να αρχίσουμε τον υπολογισμό των παραμέτρων που μας χρειάζονται για την εύρεση των διαφόρων μεγεθών που ζητά η άσκηση. Από την εργαστηριακή δοκιμή που περιγράφεται στην περίπτωση (α) έχουμε: Ε xx = σ xx / ε xx = 100 / 0.002 = 5000 kpa (θεωρούμε ότι το υλικό είναι ισότροπο οπότε Ε xx = Ε yy = Ε zz = Ε) ν xy = ε yy / ε xx = (0.001/0.1) / (0.002/0.1) = 0.5 (θεωρούμε ότι το υλικό είναι ισότροπο οπότε ν xy = ν xz = ν yz = ν) Η τιμή του λόγου του Poisson ν = 0.5 είναι μία χαρακτηριστική του τιμή η οποία αντιστοιχεί στις αστράγγιστες συνθήκες φόρτισης. Κατά τις αστράγγιστες συνθήκες φόρτισης δεν επιτρέπεται η στράγγιση δηλαδή η εκροή νερού από το εδαφικό δοκίμιο και γι αυτό παρά τη δυνατότητα παραμόρφωσής του, οποιαδήποτε παραμόρφωση γίνεται χωρίς μεταβολή του όγκου του δοκιμίου. Πράγματι τη μεταβολή του μήκους των ακμών του δοκιμίου άσκησης προκύπτει ότι η μείωση του όγκου λόγω συμπίεσης στον κατακόρυφο άξονα είναι 0.2*10*10 = 20 cm 3 και είναι ίση με 2*(0.1*10*10) που είναι η αύξηση του όγκου λόγω πλευρικής διόγκωσης και στους δύο άξονες του δοκιμίου. Γι αυτό λοιπόν η παραμόρφωση που προκαλείται από φόρτιση υπό αστράγγιστες συνθήκες λέγεται και ισόογκη παραμόρφωση. β) Γνωρίζοντας πλέον τις τιμές του Ε και του ν για τις συνθήκες φόρτισης υπό τις οποίες του επιβάλλονται τα διάφορα είδη φόρτισης. Γνωρίζοντας τα Ε, ν και αντικαθιστώντας τα στις σχέσεις 6.1 σελ. 137: Δε xx = (1/Ε) [Δσ xx - ν (Δσ yy + Δσ zz )] Δε yy = (1/Ε) [Δσ yy - ν (Δσ zz + Δσ xx )] Δε zz = (1/Ε) [Δσ zz - ν (Δσ xx + Δσ yy )] βρίσκουμε ότι Δε xx = Δε yy = Δε zz = 0, δηλαδή κατά την εφαρμογή ισότροπης συμπίεσης (σ 1 = σ 2 = σ 3) υπό αστράγγιστες συνθήκες το υλικό παραμένει απαραμόρφωτο. Πράγματι αυτό είναι λογικό καθώς η ισότροπη τάση που ασκείται στο έδαφος παραλαμβάνεται όλη από το νερό των πόρων χωρίς να μπορεί να αποτονωθεί αφού βρισκόμαστε υπό αστράγγιστες συνθήκες και δεν μπορεί να διαφύγει το νερό των πόρων. γ) Στην περίπτωση αυτή περίπτωση αυτή είναι σ 1 = σ 3 = 150 kpa αλλά σ 2 = 0. Χρησιμοποιώντας τις προαναφερθείσες σχέσεις μπορούμε να υπολογίσουμε τις ζητούμενες παραμορφώσεις. Πράγματι: Δε 1 = Δε xx = (1/Ε) [Δσ xx - ν (Δσ yy + Δσ zz )] = [150 0.5*150] / 5000 = 0.015 Θλιπτική Δε 2 = Δε yy = (1/Ε) [Δσ yy - ν (Δσ zz + Δσ xx )] = [0 0.5*(150 + 150)] = -0.03 Εφελκυστική Δε 3 = Δε zz = (1/Ε) [Δσ zz - ν (Δσ xx + Δσ yy )] = [150 0.5*150] / 5000 = 0.015 Θλιπτική και από τις τιμές των υπολογισθεισών παραμορφώσεων βλέπουμε και πάλι ότι η παραμόρφωση είναι ισόογκη όπως αναμέναμε αφού έγινε υπό αστράγγιστες συνθήκες. δ) Καταρχάς υπολογίζουμε το μέτρο διάτμησης G το οποίο δίνεται από τη σχέση G = Ε / [2 (1 + ν)] = 5000 / [2 (1 + 0.5)] = 1667 kpa 8

Μπορεί κατά συνέπεια να υπολογιστεί τώρα η διατμητική παραμόρφωση Δγ που προκαλεί η επιβαλλόμενη διατμητική τάση: Δγ = Δτ / G = 200 / 1667 = 0.12 Με δεδομένο ότι οι συνθήκες φόρτισης είναι αστράγγιστες η παραμόρφωση του δοκιμίου είναι ισόογκη και κατά συνέπεια θα πρέπει ο όγκος μετά την επιβολή φόρτισης να είναι ο ίδιος με τον όγκο πριν την επιβολή (η παραμόρφωση κάθετα στο επίπεδο που απεικονίζεται το δοκίμιο είναι 0) έχουμε τη σχέση: 10*(10 Α) = 10*10 από την οποία προκύπτει εύκολα ότι Α = 0. Κατά συνέπεια με Α = 0 είναι: γ = Β / 10 οπότε Β = 1.2 cm ε) Γνωρίζοντας το Ε και το ν μπορούμε (υποθέτοντας ότι το εδαφικό υλικό του δοκιμίου είναι ελαστικό) να υπολογίσουμε το μέτρο μονοδιάστα συμπίεσης D. Πράγματι: D = Ε (1 ν) / [(1 + ν) (1 2ν)] Από την παραπάνω σχέση ωστόσο για ν = 0.5 διαπιστώνουμε ότι το D απειρίζεται. Αυτό φυσικά σημαίνει ότι κατά την επιβολή μονοδιάστα συμπίεσης υπό αστράγγιστες συνθήκες το υλικό δεν συμπιέζεται αφού η παραμόρφωση είναι ισόογκη. Ακριβώς αυτή η ισόογκη παραμόρφωση σημαίνει εν προκειμένω ότι ακόμα και αν το υλικό δεν ήταν ελαστικό και υποβάλλετο σε μονοδιάστατη συμπίεση υπό αστράγγιστες συνθήκες πάλι δεν θα παραμορφωνόταν (οπότε πάλι θα ήταν Γ = 0) και άρα το μέτρο μονοδιάστα συμπίεσής του D θα ήταν άπειρο. ΑΣΚΗΣΗ 6.8 Απάντηση (Σημαντικό σημείο στην άσκηση: Υπερστερεοποίηση και συντελεστής ωθήσεων γαιών ηρεμίας Κ ο. Συνθήκες μονοδιάστα παραμόρφωσης στην πράξη) α) Πράγματι στις υπερστερεοποιημένες αργίλους ο συντελεστής ωθήσεων γαιών ηρεμίας Κ ο = σ h / σ ν, είναι μεγαλύτερος από ότι στις κανονικά στερεοποιημένες αργίλους λόγω μη ελαστικής συμπεριφοράς κατά τους κύκλους φόρτισης-αποφόρτισης υπό μονοδιάστατες συνθήκες παραμόρφωσης. Όπως φαίνεται και από την καμπύλη μονοδιάστα παραμόρφωσης που δίνεται στην Άσκηση 6.6, κατά την αποφόρτιση έχουμε σημαντικές πλαστικές παραμορφώσεις και η οριζόντια ενεργός τάση δεν παρακολουθεί τη μείωση με αποτέλεσμα ο συντελεστής Κ ο να αυξάνεται. Στις κανονικά στερεοποιημένες αργίλους η τιμή του συντελεστή ωθήσεων γαιών ηρεμίας Κ ο κυμαίνεται μεταξύ 0.5 και 0.7 ενώ στις υπερστερεοποιημένες αργίλους η τιμή του γίνεται μεγαλύτερη μονάδας, έως και πολύ μεγαλύτερη (2, 3 ή και μεγαλύτερη) για εδάφη με γεωλογική ιστορία που δεν απαντάται στην Ελλάδα. (το πολύ μεγάλο φορτίο κατά το παρελθόν υπήρξε αποτέλεσμα σημαντικής παγετωνικής δράσης). β) Καταρχάς σε κάθε περίπτωση που η μεταβολή είναι πολύ μικρή, αφού όπως έχουμε δει από τις καμπύλες μονοδιάστα συμπίεσης που δόθηκαν στις 9

διάφορες ασκήσεις αυτής σειράς, η μη γραμμικότητά τους γίνεται έντονη για μέτριες έως μεγάλες αυξήσεις τάσης. Επίσης κατά την αποφόρτιση που το μέτρο μονοδιάστα συμπίεσης είναι μεγαλύτερο αλλά και κατά την επαναφόρτιση που το μέτρο μονοδιάστα συμπίεσης είναι πάλι μεγάλο (και περίπου το ίδιο με το μέτρο μονοδιάστα παραμόρφωσης κατά την αποφόρτιση). Τέλος όταν το έδαφος βρίσκεται ήδη υπό πολύ μεγάλη τιμή τάσης (ακόμα και αν πρόκειται για φόρτιση και όχι επαναφόρτιση) οπότε η τιμή του μέτρου μονοδιάστα συμπίεσης έχει γίνει ήδη πολύ μεγάλη (και άρα οι μεταβολές τάσης είναι μικρές ως προς αυτό). γ) Σε όλες τις περιπτώσεις που ενδιαφέρει ο υπολογισμός καθιζήσεων υπό το φορτίο κατασκευών πολύ μεγάλων διαστάσεων σε σχέση με την υποκείμενη στρώση του εδαφικού υλικού για το οποίο ενδιαφέρει ο υπολογισμός καθίζησης του. Κατά τάξη μεγέθους όταν το πάχος στρώσης του εδαφικού υλικού που ενδιαφέρει είναι μικρότερο από το 25% μικρότερης διάστασης κατασκευής μπορούμε με πολύ καλή προσέγγιση να υποθέσουμε ότι σε μία κεντρική περιοχή κάτω από την κατασκευή ισχύουν συνθήκες μονοδιάστα παραμόρφωσης. ΑΣΚΗΣΗ 6.9 Απάντηση (Επανάληψη κύριων σημείων προηγούμενων ασκήσεων σειράς. Κατακόρυφες και οριζόντιες ενεργές τάσεις για υπερστερεοποιημένες και κανονικά στερεοποιημένες αργίλους.) Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζονται τα ζητούμενα διαγράμματα και ακολουθεί η θεωρητική τους επεξήγηση. 100 kpa 250-350 kpa 500 kpa σ ν, σ h ε vol,2 ε vol,1 ε vol σ ν - ε vol Θεωρούμε ότι το δοκίμιο άμμου δεν έχει φορτιστεί κατά σ h το - επαρελθόν. vol Η καμπύλη ογκομετρικής παραμόρφωσης κατά τη φόρτισή του στα 500 kpa και την κατοπινή αποφόρτισή του στα 100 kpa φαίνονται στο παραπάνω σχήμα με τη συνεχή γραμμή. Όπως έχουμε ήδη δει στις καμπύλες μονοδιάστα συμπίεσης των προηγούμενων ασκήσεων σειράς, μία ποιοτική παρουσίαση ζητούμενης καμπύλης πρέπει να 10

περιλαμβάνει δύο κύρια ποιοτικά χαρακτηριστικά: τη μη γραμμικότητα (κατά τρόπο που αρχικά οι ίδιες μεταβολές στην κατακόρυφη τάση να αντιστοιχούν σε μεγαλύτερες μεταβολές ογκομετρικής παραμόρφωσης απ ότι αργότερα) και την ύπαρξη παραμενουσών παραμορφώσεων μετά από την αποφόρτιση. Σε ό,τι αφορά τώρα την καμπύλη ορθής αναπτυσσόμενης πλευρικής τάσης ογκομετρικής παραμόρφωσης, για τη χάραξή θα χρησιμοποιηθεί η γνώση μας για το συντελεστή Κ ο κατά την φόρτιση (όπου με δεδομένο ότι θεωρήσαμε ότι το δοκίμιο άμμου δεν έχει φορτιστεί κατά το παρελθόν, η άμμος έχει συμπεριφορά αντίστοιχη μιας κανονικά στερεοποιημένης αργίλου 1 ) και την αποφόρτιση (οπότε η άμμος έχει συμπεριφορά αντίστοιχη μιας υπερστερεοποιημένης αργίλου). Ο συντελεστής Κ ο κατά τη φόρτιση για πρώτη φορά είναι μεταξύ 0.5 και 0.7 και πρακτικά σταθερός όσο συνεχίζεται η φόρτιση για πρώτη φορά. Κατά συνέπεια στο τέλος φόρτισης η ορθή πλευρική τάση θα είναι περίπου 250-350 kpa (0.5-0.7*σ ν) με τον ίδιο λόγο ως προς την κατακόρυφη ενεργό τάση για κάθε τιμή ογκομετρικής παραμόρφωσης. Κατά την αποφόρτιση ωστόσο, η άμμος όσο μειώνεται το φορτίο, τόσο πιο προφορτισμένη γίνεται (δηλ. τόσο μικρότερο γίνεται το τωρινό φορτίο σε σχέση με το μέγιστο που είχε υποστεί στη ιστορία φόρτισής ) οπότε προοδευτικά ο συντελεστής Κ ο θα αυξάνει και μάλιστα με δεδομένο το σημαντικό μέγεθος αποφόρτισης, κάποια στιγμή θα ξεπεράσει και τη μονάδα, οπότε στο τέλος αποφόρτισης η ορθή πλευρική τάση θα είναι μεγαλύτερη ορθής επιβαλλόμενης τάσης, όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα για την τελική τιμή ογκομετρικής παραμόρφωσης. ΑΣΚΗΣΗ 6.10 Απάντηση (Επανάληψη κύριων σημείων προηγούμενων ασκήσεων σειράς. Χάριν απλοποίησης το μέτρο μονοδιάστα συμπίεσης θεωρείται σταθερό.) Στην άσκηση αυτή, αντί να δοθεί καμπύλη μονοδιάστα συμπίεσης με κλάδο φόρτισης και κλάδο αποφόρτισης, δίνεται μόνο μία τιμή του μέτρου μονοδιάστα συμπίεσης υπονοώντας να θεωρήσουμε ουσιαστικά ότι η σχέση τάσεων παραμορφώσεων είναι γραμμική. Με την εμπειρία που έχει αποκτηθεί από τις ασκήσεις αυτής σειράς, η ανύψωση στάθμης του υπόγειου ορίζοντα μέσα στη μάζα ενός εδαφικού υλικού συνιστά αποφόρτιση αφού οδηγεί σε μείωση των ενεργών τάσεων. Κατά συνέπεια λοιπόν το μέτρο μονοδιάστα συμπίεσης το οποίο δίνεται θα θεωρήσουμε ότι είναι το ίδιο και κατά την αποφόρτιση. Με βάση λοιπόν και τη θεωρητική αιτιολόγηση που έχει δοθεί στην απάντηση Άσκησης 6.8 σχετικά με το πότε μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμική ελαστική συμπεριφορά (σε ένα αργιλικό υλικό ρωτάει εκείνη η άσκηση, το συγκεκριμένο μπορούμε να το δεχτούμε και για άμμους), θεωρούμε ότι η άμμος που δίνεται στην άσκηση συμπεριφέρεται γραμμικά ελαστικά. 1 Οι όροι «κανονικά στερεοποιημένη» και «υπερστερεοποιημένη» άργιλος δηλώνουν εκτός από την ιστορία φόρτισης αργίλου και τον τρόπο με τον οποίο παραλαμβάνει μία άργιλος κάθε εξωτερικά επιβαλλόμενο φορτίο. Λόγω πολύ μικρής διαπερατότητας του υλικού, αρχικά όλο το εξωτερικό φορτίο αναλαμβάνεται με την ανάπτυξη πίεσης πόρων ίδιου μεγέθους, η οποία αποτονούμενη οδηγεί στην αύξηση των ενεργών τάσεων. Ο μηχανισμός αυτός παραλαβής των φορτίων ονομάζεται στερεοποίηση και αποτελεί χαρακτηριστικό μόνο των εδαφών με πολύ μικρή διαπερατότητα. Στις άμμους αντίθετα, οι οποίες έχουν μεγαλύτερη διαπερατότητα, κάθε εξωτερικά επιβαλλόμενο φορτίο οδηγεί αμέσως σε αύξηση των ενεργών τάσεων, χωρίς να μεσολαβεί ο μηχανισμός στερεοποίησης (ή σε κάθε περίπτωση η στερεοποίηση ολοκληρώνεται πρακτικά «ακαριαία»). Γι αυτό καλό είναι να αποφεύγεται για άμμους η χρήση των όρων αυτών, που περιγράφουν και την ιστορία φόρτισης και το μηχανισμό ανάληψης φορτίων, και να χρησιμοποιούνται οι αντίστοιχοι όροι «κανονικά φορτισμένη ή μη προφορτισμένη άμμος» και «προφορτισμένη άμμος» που περιγράφουν απλώς την ιστορία φόρτισης και όχι το μηχανισμό ανάληψης φορτίου. 11

α) Με δεδομένο ότι θεωρούμε γραμμική συμπεριφορά άμμου, δεν έχει νόημα ο διαχωρισμός στρώσης σε ζώνες, αφού η μεθοδολογία αυτή χρησιμοποιείται ακριβώς λόγω μη γραμμικότητας των καμπυλών μονοδιάστα συμπίεσης. Υπολογίζουμε κατά συνέπεια την αρχική τιμή στη μέση στρώσης άμμου: σ ολ = 4*20 = 80 kpa u = 2*10 = 20 kpa σ = σ ολ u = 80 20 = 60 kpa Η τελική τιμή στη μέση στρώσης άμμου είναι: σ ολ = 4*20 = 80 kpa u = 4*10 = 20 kpa (αφού η στάθμη του υδροφόρου ορίζοντα ανήλθε στην επιφάνεια του εδάφους) σ = σ ολ u = 80 40 = 40 kpa Άρα Δσ = 40 60 = -20 kpa Αποφόρτιση Ως γνωστόν D = Δσ zz / Δε zz οπότε: Δε zz = Δσ zz / D = -20 / 50000 = 4*10-4 το οποίο για πάχος στρώσης άμμου 8 m σημαίνει 3.2 mm ανύψωση (με δεδομένη τη σύμβαση προσήμων εδαφομηχανικής το «-» σημαίνει ανύψωση). β) Με βάση την ήδη αποκτηθείσα εμπειρία από τις προηγούμενες ασκήσεις ξέρουμε ότι μεταβολές στάθμης υδάτινων αποθέσεων (ανυψώσεις ή καταβιβασμοί) πάνω από την επιφάνεια του εδάφους δεν οδηγούν σε μεταβολές και κατά συνέπεια δεν μπορούν να προκαλέσουν μεταβολές παραμορφωσιακών μεγεθών. Πράγματι: σ αρχ = 40 kpa και σ τελ = (4*20+10*10) 14*10 = 40 kpa δηλ. καμιά μεταβολή. γ) Όπως παραπάνω στο ερώτημα (β). 12