Ολοκληρωτικός Λογισμός

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα o Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος o Βασικά Αόριστα ολοκληρώματα o Τεχνικές Ολοκλήρωσης o Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Εφαρμογές Ολοκληρώματος Διπλά Ολοκληρώματα Τριπλά Ολοκληρώματα 1

Αόριστο Ολοκλήρωμα Δίνεται μία συνάρτηση y=f(x) Αν υπάρχει μία άλλη συνάρτηση F(x) με την ιδιότητα F (x) = f(x) τότε η F(x) λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση της f(x). Π.χ. αν f(x) = x 3 τότε η αρχική συνάρτηση της θα είναι F(x) = x 4 /4 διότι: Είναι προφανές ότι και η συνάρτηση F(x) = x 4 /4 + c (c: σταθερά) Είναι επίσης αρχική συνάρτηση της f(x). Συμπέρασμα: Η αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση μίας συνάρτησης f(x) δεν είναι ΜΙΑ συνάρτηση αλλά μία οικογένεια συναρτήσεων της μορφής F(x) + c. 2

Αόριστο Ολοκλήρωμα Ορισμός: Το σύνολο των παραγουσών της συνάρτησης f(x) ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της f και συμβολίζεται με f(x)dx. Δηλ: f(x)dx = F(x) +c Παρατηρήσεις: Η παράγουσα μίας συνάρτησης δεν ορίζεται μονοσήμαντα σε αντίθεση με την παράγωγο. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό*. Αν είναι F (x)=f(x), τότε γράφουμε συμβολικά : η συνάρτηση df(x) όπως είναι γνωστό ονομάζεται διαφορικό της συνάρτησης f στο σημείο x. 3

Αόριστο Ολοκλήρωμα Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος 4

Ολοκληρώματα Στοιχειωδών Συναρτήσεων 1 0dx = c 2 ημ x dx = 2 (1+σφ x)dx=-σφx+c 1dx x c = + x e x dx = e + c λdx = λx+c 1 dx x = ln x + c xdx 2 x 1 = + c 2 ν dx x = -ν+1 x +c -ν+1 α x dx α+1 x = +c α+1 ν x μ dx = μ x ν μ 1 x ν + dx = +c μ +1 ν 1 dx x = 2 x + c x α x α dx = +c lnα ημxdx συνxdx =ημx+c 1 2 συν x dx = = -συνx+c ln xdx = xln x x + c 2 (1+εφ x)dx=εφx+c εφxdx = -ln συνx + c σφxdx = ln ημx + c 5

Ολοκληρώματα Στοιχειωδών Συναρτήσεων 6

Αόριστο Ολοκλήρωμα Ασκήσεις - Παραδείγματα (υπολογισμός ολοκληρώματος με εφαρμογή ολοκληρωμάτων απλών συναρτήσεων και ολοκλήρωσης αθροίσματος) 7

Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Υπολογισμού Αόριστου Ολοκληρώματος Παραδείγματα: 8

Αόριστο Ολοκλήρωμα 9

Αόριστο Ολοκλήρωμα Παραδείγματα: Ασκήσεις: 11

Αόριστο Ολοκλήρωμα Με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης υπολογίζονται ολοκληρώματα της μορφής: Όπου φ(x): πολυωνυμική συνάρτηση και F(x), σ(x): ρητές συναρτήσεις 12

Αόριστο Ολοκλήρωμα Παραδείγματα: 13

Αόριστο Ολοκλήρωμα * 14

Αόριστο Ολοκλήρωμα * Παράδειγμα 15

Αόριστο Ολοκλήρωμα * Ομοίως υπολογίζονται και τα ολοκληρώματα: φ(x)ημβxdx Παράδειγμα: 16

Αόριστο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα Ρητών Συναρτήσεων Ανάλυση ρητής συνάρτησης σε άθροισμα απλών παραγόντων 17

Αόριστο Ολοκλήρωμα παράδειγμα: 18

Αόριστο Ολοκλήρωμα παράδειγμα: παράδειγμα: 20

Αόριστο Ολοκλήρωμα * θα δούμε πως υπολογίζονται τα ολοκληρώματα των συναρτήσεων αυτών: υπολογισμός: υπολογισμός: υπολογισμός: 22

Αόριστο Ολοκλήρωμα υπολογισμός: παραδείγματα: 23

Αόριστο Ολοκλήρωμα υπολογισμός: Το ολοκλήρωμα ανάλογα με τις τιμές των συν/των α, β και ν εμφανίζει τις παρακάτω μορφές: είναι της μορφής (3) 24

Αόριστο Ολοκλήρωμα σχηματίζουμε στον αριθμητή την παράγωγο του παρονομαστή 25

Αόριστο Ολοκλήρωμα Το Ολοκλήρωμα υπολογίζεται με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης 27

Αόριστο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα Άρρητων Συναρτήσεων υπολογισμός: αν έχουμε διαφορετικής τάξης ριζικά θέτουμε : όπου ν ρ το ΕΚΠ των ριζικών. 28

Ορισμένο Ολοκλήρωμα 30

Ορισμένο Ολοκλήρωμα 31

Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμός 32

Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ιδιότητες: * 33

Ορισμένο Ολοκλήρωμα Εφαρμογές Ορισμένου Ολοκληρώματος Υπολογισμός Εμβαδών Επίπεδων Χωρίων 34

Εφαρμογές Ορισμένου Ολοκληρώματος 35

Εφαρμογές Ορισμένου Ολοκληρώματος Παραδείγματα: 1. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραβολή y=x 2-3x και την ευθεία y=x. 2. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη x=2-y-y 2 και την ευθεία x=0. 40

Εφαρμογές Ορισμένου Ολοκληρώματος Ασκήσεις: 3. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες x=-2y 2 και x=1-3y 2. 4. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις ευθείες x=0, x=2 και τις καμπύλες y=2 x και y=2x-x 2. 5. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες y=x+1, y=συνx και τον άξονα xx. 6. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραβολή y 2 =4x και την ευθεία y=2x-4. 7. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραβολή y 2 =8x και την κάθετη ευθεία στην εφαπτόμενη της παραβολής στο σημείο Α(2,4). 41

Εφαρμογές Ορισμένου Ολοκληρώματος Μήκος Τόξου Καμπύλης 42

Εφαρμογές Ορισμένου Ολοκληρώματος Παραδείγματα: 1. Να υπολογιστεί το μήκος του τόξου που περικλείεται από την καμπύλη y 2 =9x 3 και τα σημεία Α(0,0) και Β(1,3). 2. Να υπολογιστεί το μήκος του τόξου που περικλείεται από την καμπύλη y 2 =x 3 και τα σημεία Α(0,0) και Β(1,1). 3. Να υπολογιστεί το μήκος του τόξου της καμπύλης με εξίσωση που περιορίζεται από τις ευθείες y=1 και y=2. 4. Να υπολογιστεί το μήκος της περιφέρειας του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=3. 43

Εφαρμογές Ορισμένου Ολοκληρώματος Εμβαδά επιφανειών από περιστροφή 45

Εφαρμογές Ορισμένου Ολοκληρώματος Παραδείγματα 1 2. 46

Εφαρμογές Ορισμένου Ολοκληρώματος Όγκος Στερεού από περιστροφή 47

Εφαρμογές Ορισμένου Ολοκληρώματος Παραδείγματα 1 2. 49

Διπλό Ολοκλήρωμα Θεωρούμε το ολοκλήρωμα: Η έννοια του διπλού Ολοκληρώματος Αν θεωρήσουμε y=y o τότε έχουμε το απλό ολοκλήρωμα: που δίδει το εμβαδόν του χωρίου της συνάρτησης και του διαστήματος [α,β] στη θέση y=y o Διαμερίζοντας το διάστημα στο σημείο y o +ε και παίρνοντας ν λωρίδες καλύπτουμε το ορθογώνιο Π και τότε, αν το ν αυξάνει το άθροισμα των επιμέρους όγκων συγκλίνει στο ολοκλήρωμα: 50

Διπλό Ολοκλήρωμα Το οποίο είναι το Διπλό Ολοκλήρωμα της συνάρτησης στο ορθογώνιο Π. Για να υπολογίσουμε το διπλό ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης (αν υπάρχει) τότε ολοκληρώνουμε τη συνάρτηση πρώτα ως προς x διατηρώντας το y σταθερό και στη συνέχεια ολοκληρώνουμε το αποτέλεσμα που βρήκαμε ως προς y. Για τον υπολογισμό του διπλού ολοκληρώματος χρειάζεται ο ακριβής προσδιορισμός των διαστημάτων μεταβολών των x και y. 51

Διπλό Ολοκλήρωμα Παραδείγματα: 1. Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα: 2. Ομοίως το ολοκλήρωμα όπου όπου 52

Διπλό Ολοκλήρωμα Παραδείγματα: 1. Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα: όπου D το χωρίο που περικλείεται από τις ευθείες x=1, y=0, x=y ή 53

Διπλό Ολοκλήρωμα Παραδείγματα: 1. Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα: όπου D το χωρίο που περικλείεται από τις ευθείες y=0, y=1, y=x και x=-1. 54

Τριπλό Ολοκλήρωμα 55