ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Transcript

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F', για κάθε Σχόλια : Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό 6 Θεώρημα Β,, Β Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, να αποδείξετε ότι : Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G F c, c R,είναι παράγουσες της στο Δ Κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G F c, c R Απόδειξη : Κάθε συνάρτηση της μορφής G F c, όπου c R, είναι μια παράγουσα της στο Δ, αφού G' F c' F ', για κάθε Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της στο Δ Τότε, για κάθε ισχύουν οι σχέσεις F και G, οπότε : G' F', για κάθε Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G F c, για κάθε Παρατηρήσεις : Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε η έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό Το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης δεν ισχύει, διότι υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι συνεχείς σε ένα διάστημα Δ, αλλά έχουν παράγουσα στο διάστημα αυτό, Για παράδειγμα η συνάρτηση δεν είναι συνεχής, αλλά,, έχει παράγουσα στο την F, Αν μια συνάρτηση δεν έχει παράγουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η δεν είναι συνεχής στο διάστημα αυτό ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 87

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Πίνακας των παραγουσών βασικών συναρτήσεων Απάντηση : Συνάρτηση Παράγουσα F c, c F c, c F ln c, c F c, c, F c, c F c, c F c, c F c, c, c F c, c ln F c Σχόλια : Οι τύποι αυτού του πίνακα ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του που εμφανίζονται έχουν νόημα Αν οι συναρτήσεις F και G είναι παράγουσες των και g αντιστοίχως και ο λ είναι ένας πραγματικός αριθμός, τότε : i Η συνάρτηση F+G είναι μια παράγουσα της συνάρτησης +g ii Η συνάρτηση λf είναι μια παράγουσα της συνάρτησης λ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 88

3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F', για κάθε ΘΕΩΡΗΜΑ : Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, να αποδείξετε ότι : Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G F c, c R,είναι παράγουσες της στο Δ Κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G F c, c R ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ c c c, ln,, lna ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 89

4 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης και μετά, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, Είναι : c c c c F,, H F C διέρχεται από το, άρα : c c F Άρα : F, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : Παράγουσες Βασικών Συναρτήσεων i 6 ii, iii,, g g g g g g g ln v v v πχ

5 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9 iv, i c F 6 c F,, c ii c F ln c F ln, ln c F, c : ή iii c F c F c F 6,, c : ή iv Είναι :, άρα : c F c F ln ln, c Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : Παράγουσες Συναρτήσεων με εφαρμογή κανόνων παραγώγισης i ii, iii ln, i Άρα : c F,, c ii Άρα : c F, c

6 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii ln ln Άρα : F ln c, c ln ln ln Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : Παράγουσες Σύνθετων Συναρτήσεων i ii 6 iii 7 iv i ii iii iv, άρα : F c, c Άρα : F 7 c 7, c 7 ln Άρα : F ln 7 c, c Άρα : F c, c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης και μετά, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, 6 Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης και μετά, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, 7 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : v vi, vii, viii, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

7 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i ii, iii iv 9 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i, ii,, iii, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i, ii,, iii,, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i, ii, iii,, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii, iv v ln vi ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

8 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii iv v vi vii viii i i ii iii iv v vi vii,, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΛΕΤΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ Α ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δίνεται συνάρτηση :,, με 7 και F μια αρχική της στο,, για την οποία ισχύει : F για κάθε Να βρείτε τον τύπο της Δίνεται συνάρτηση :, με F όπου F μια αρχική της, για την οποία ισχύει : F για κάθε i Να βρείτε τον τύπο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

9 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii Να βρείτε την ασύμπτωτη της C στο Β ΜΕΛΕΤΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΞΗΣ 6 Δίνεται η συνάρτηση και F μια αρχική της στο με F i Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να δείξετε ότι η εξίσωση F F έχει μοναδική ρίζα iii Να δείξετε ότι η F είναι κυρτή iv Να δείξετε ότι : F F F για κάθε 7 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : και F μια αρχική της, για την οποία ισχύει : F F για κάθε i Να βρείτε τις τιμές, ii Να αποδείξετε ότι η C τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο,, με, iii Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,,, με, ώστε : 8 Έστω : μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και F μια παράγουσα της F Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : F στο [,] με έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, 9 Έστω :, μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής και F μια παράγουσα της στο, με F Αν ισχύει F ln C διέρχεται από το σημείο,, για κάθε, να δείξετε ότι Γ ΟΡΙΑ Έστω : μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής με και Αν F μια παράγουσα της στο με F, να βρείτε τα όρια : F i lim F ii lim F iii lim F iv lim ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

10 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 6 Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] Απάντηση : Έστω μια συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς στο [, ] Με τα σημεία χωρίζουμε το διάστημα [, ] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα [, ], για κάθε {,,, }, και σχηματίζουμε το άθροισμα S το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής: S Το όριο του αθροίσματος S, δηλαδή το ν lim ξ κ ν κ Δ υπάρχει στο R και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων Το παραπάνω όριο ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης από το α στο β, συμβολίζεται με d και διαβάζεται ολοκλήρωμα της από το α στο β Δηλαδή : d lim Σχόλιο : Το σύμβολο οφείλεται στον Libniz και ονομάζεται σύμβολο ολοκλήρωσης Αυτό είναι επιμήκυνση του αρχικού γράμματος S της λέξης Summa άθροισμα Οι αριθμοί α και β ονομάζονται όρια της ολοκλήρωσης Η έννοια όρια εδώ δεν έχει την ίδια έννοια του ορίου του ου κεφαλαίου y O a= ξ ξ y= ξk v- ξv v=β Στην έκφραση d το γράμμα είναι μια μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα Έτσι, για παράδειγμα, οι εκφράσεις d, t dt συμβολίζουν το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμα και είναι πραγματικός αριθμός Γεωμετρική ερμηνεία ορισμένου ολοκληρώματος : Αν για κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωμα d δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της τον άξονα και τις ευθείες και Σχ Δηλαδή : α β d E Ω Επομένως, y y= Ω O α β Αν, τότε d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 96

11 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Να γράψετε τις ιδιότητες του ολοκληρώματος d Απάντηση : α Ισχύει ότι : d d d Αν για κάθε [, ], τότε d β Έστω, g συνεχείς συναρτήσεις στο [, ] και, R Τότε ισχύουν: d d [ g]d d gd και γενικά [ g]d d gd γ Αν η είναι συνεχής σε διάστημα Δ και,,, τότε ισχύει : d d d Για παράδειγμα, αν d και d 7, τότε d d d d d 7 Σημείωση : Αν και Σχ, η παραπάνω ιδιότητα δηλώνει ότι: αφού και d, d d y O α Ω γ y= Ω β δ Έστω μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] Αν για κάθε [, ] και η συνάρτηση δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε d ε Αν c ορθογωνίου με βάση, τότε το cd εκφράζει το εμβαδόν ενός και ύψος c Σχ y y=c Δηλ α β c d c β α O α β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 97

12 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 6 Έστω F t dt,, όπου είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα a Ποια είναι η σχέση της F με την ; Απάντηση : Η συνάρτηση F t dt,, είναι συνεχής και είναι μια παράγουσα της στο Δ a 66 ΘΕΩΡΗΜΑ Θεμελιώδης θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού, 8 Β,, Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [, ] Αν G είναι μια παράγουσα της στο [, ], να αποδείξετε ότι : tdt G G Απόδειξη : Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα, η συνάρτηση F tdt είναι μια παράγουσα της στο [, ] Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της στο [, ], θα υπάρχει c τέτοιο, ώστε : G F c Από την, για, έχουμε G F c tdt c c, οπότε c G Επομένως, G F G, οπότε, για, έχουμε : G F G tdt G και άρα tdt G G 67 Να γράψετε τους τύπους της παραγοντικής ολοκλήρωσης και της αντικατάστασης για το ορισμένο ολοκλήρωμα Απάντηση : α Ισχύει ότι : g d [g] gd, όπου,g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [, ] u β Ισχύει ότι: gg d udu u, όπου,g είναι συνεχείς συναρτήσεις, u g, du g d και u g, u g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 98

13 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού ΘΘΟΛ ισχύει : I II d d III d ln IV d V d VI d VII d d VIII F F F d ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Αν d, d και d, να βρείτε τα ολοκληρώματα : i d ii iii iv 7 7 d d d i d d ii iii iv d d d d d d d d 7 d d d d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 99

14 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d iii d iv d i d ii d iii iv d d d d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : d Αν d, d και d, να βρείτε τα ολοκληρώματα : 7 i d ii iii d d 7 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d iii d iv d v d vi d viii 7 vii 8 d d i d d i d ln ii d Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii t dt iii d iv d v d vi d vii d i d d i d viii d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

15 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α, ώστε να ισχύει : d 9 7 d ύ ή Άρα 7 Δίνεται συνάρτηση * : με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύει Να υπολογίσετε την παράσταση : d d I d d I d d d d d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ, ώστε να ισχύει : 9 d d 9 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ, ώστε να ισχύει : d d d Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α, ώστε να ισχύει : d Β ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ - ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

16 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται η συνάρτηση με,,, για την οποία ισχύει d, ενώ η εφαπτομένη της : y Να βρείτε τα α,β,γ C στο σημείο της, έχει εξίσωση Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύει : και d Να βρείτε : i την τιμή ii το ολοκλήρωμα d Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει : και d Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της, C στο σημείο της Γ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι πραγματικός αριθμός ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται συνεχής συνάρτηση : Να βρείτε τα ολοκληρώματα : i t dt ii t d dt i Έχω t dt d ii Έστω για την οποία ισχύει : t dt d t dt d t dt τότε : Η γίνεται : t dt d d Δηλ t dt t d dt t d dt i t 6t dt t 6 dt ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

17 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις, g : i Αν ισχύει ότι : d dt ii Αν επιπλέον ισχύει ότι d 6 Αν ισχύει ότι d t, τότε να βρείτε το d g, τότε να βρείτε το : t g dt d, τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : I t dt d 7 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : I dt d και I 6t dt d 8 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : y dy d 6 d 9 Να βρείτε τα ολοκληρώματα : i d ii t dt d Δ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι πραγματικός αριθμός ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει t dt Να αποδείξετε ότι = +6 ο 8 Έστω t dt, τότε Άρα d d Άρα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : t dt για κάθε Να βρείτε τον τύπο της Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 9 t dt για κάθε Να βρείτε τον τύπο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

18 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ε ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ Όταν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής :,, υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα d με, εργαζόμαστε ως εξής : τότε για να Εξετάζουμε αν η είναι συνεχής στο, καθώς για να έχει νόημα το d, πρέπει η να είναι συνεχής στο [α,β] άρα και στο Στη συνέχεια έχουμε : d d d ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :, Δίνεται η συνάρτηση Να δείξετε ότι η είναι συνεχής και στη, συνέχεια να υπολογίσετε το d Για η είναι συνεχής ως πολυωνυμική, Για η είναι συνεχής ως τριγωνομετρική, Στο είναι : lim lim, lim lim και άρα η είναι συνεχής στο επομένως η είναι συνεχής για κάθε άρα και στο [-π,π] Έτσι : d d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση d στη συνέχεια να υπολογίσετε το d Δίνεται η συνάρτηση d d, Να δείξετε ότι η είναι συνεχής και,, Να δείξετε ότι η είναι συνεχής και 6 8, στη συνέχεια να υπολογίσετε το d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

19 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d d Έχω : - + Άρα : έστω,, Δεν χρειάζεται να εξετάσουμε αν η είναι συνεχής, καθώς από την αρχική της μορφή η, είναι συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων Άρα : d d d d d 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d ii d iv d ln v d ΣΤ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Συνήθως συναντάμε τη μορφή d Αρχικά λύνω την εξίσωση, βρίσκουμε το πρόσημο της με πινακάκι, βγάζουμε την απόλυτη τιμή, αν είναι απαραίτητο χωρίζουμε το [α,β], και υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα

20 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d iii d iv d v d i d d 6 d ii d d d iii d d 7 ln ln ln d iv d d 8 d v d d d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ I d II d III ln d IV d V d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Αν το ολοκλήρωμα μας θυμίζει κάποια από τις παραπάνω μορφές ολοκληρωμάτων σύνθετων συναρτήσεων, τότε εφαρμόζουμε απευθείας τον αντίστοιχο τύπο Συνήθως όμως οι συναρτήσεις μοιάζουν πολύ αλλά δεν είναι ίδιες Τότε φτιάχνουμε την με κάποια απλή πράξη πχ πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με ένα αριθμό ώστε να αναχθούμε σε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις

21 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d iii d iv d v d vi d vii d viii d i d d 9 i d ii d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ A : ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ όπου και g g g d g d είναι συνεχής συναρτήσεις στο [α,β] Για να εφαρμόσουμε παραγοντική ολοκλήρωση, πρέπει το ολοκλήρωμα να έχει τη μορφή g d ή να το φέρουμε εμείς στη μορφή αυτή η προς ολοκλήρωση συνάρτηση να μπορεί να πάρει τη μορφή γινομένου δυο συναρτήσεων και στη συνέχεια η μια από τις δυο συναρτήσεις να γραφεί με τη μορφή παραγώγου Ουσιαστικά χρειαζόμαστε την παράγουσα μιας εκ των δυο συναρτήσεων ώστε το ολοκλήρωμα να πάρει την επιθυμητή μορφή Με παραγοντική ολοκλήρωση υπολογίζονται ολοκληρώματα της μορφής : η Περίπτωση : d εδώ χρησιμοποιούμε την παράγουσα της η Περίπτωση : d, d εδώ χρησιμοποιούμε την παράγουσα της και της αντίστοιχα η Περίπτωση : ln d εδώ χρησιμοποιούμε την παράγουσα της η Περίπτωση : d, d εδώ χρησιμοποιούμε την παράγουσα της Σε αυτή την περίπτωση εμφανίζεται η ιδιομορφία ότι κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος εμφανίζεται σε κάποιο στάδιο ξανά το αρχικό ολοκλήρωμα Έτσι θέτουμε το αρχικό ολοκλήρωμα με ένα γράμμα πχ Ι και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς Ι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

22 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d i d d d d ii d d d d d d d d Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d d d d d d Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i ln d ii d ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8 i ln d ln d ln ln d ii 8 ln d ln d ln ln ln ln d ln d ln ln d ln ln d d Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d Έχω : I d d d d d d d d I Άρα : I I I I

23 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d iii d iv d v d vi d vii d viii Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : α d β d d γ d iv d Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : α ln d β ln d γ ln d δ ln d 6 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : α d β d γ d δ d B ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή δεύτερη παράγωγο για την οποία ισχύει : d Επίσης η εφαπτομένη της έχει εξίσωση : y Να βρείτε : i τις τιμές, και ii το ολοκλήρωμα : d C στο σημείο της, i Η ευθεία : y : y είναι εφαπτομένη της C στο σημείο της, αν : Επίσης : ος τρόπος : d d d d d d d d d d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

24 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ d d d d ος τρόπος : d d d d d d d d ii d d d 8 Έστω F μια παράγουσα στο της συνάρτησης υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : Είναι : F,, με F Να F d Ολοκλήρωμα Παράγουσας F Έχουμε : F d F d F F d F d d d d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 9 Δίνεται η συνάρτηση : με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύει και d Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d Έστω οι συναρτήσεις, g, με, g συνεχείς στο [, ] Αν g και g, να αποδείξετε ότι : g g d g g Έστω F μια παράγουσα στο της συνάρτησης υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : F d, με F Να ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

25 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή δεύτερη παράγωγο Οι εφαπτομένες της C στα σημεία της Α, και Β,9 τέμνονται στο σημείο Γ, Να βρείτε : i τις τιμές, ii το ολοκλήρωμα : d Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή δεύτερη παράγωγο για την οποία ισχύει : dtd t Επίσης η εφαπτομένη της εξίσωση : y Να υπολογίσετε : i τις τιμές, ii το d iii το d Δίνεται το ολοκλήρωμα : ln d με λ> i Να υπολογίσετε το ii Να βρείτε το όριο lim Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : ln d C στο σημείο της, ln 6 Δίνεται το ολοκλήρωμα : d με λ> i Να υπολογίσετε το ii Να βρείτε το όριο lim έχει Γ ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Θεωρούμε το ολοκλήρωμα d, με * v N i Να αποδείξετε ότι για κάθε ii Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα d και 8 Θεωρούμε το ολοκλήρωμα d, με d * v N i Να αποδείξετε ότι για κάθε ii Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d t 9 Αν I dt, Ν, t i Να υπολογίσετε το άθροισμα I, Ν ii Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα I, I, I ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

26 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ I d Q η περιπτωση : Αν Q τότε : I lnq η περιπτωση : Αν ό ό Q τότε : Αν ό ό Q έχουμε : ln I d Αν ό ό Q με Q και, τότε : I d d d d η περιπτωση : Αν ό ό Q τότε εκτελούμε την ευκλείδεια διαίρεση : Q και έτσι έχουμε : Q ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d iiii d iv 6 i d ln ln ln d ii d ln 7 d 6 d ln ln ln d ln iii d 6 Έχω 6 6 άρα 7 και 7 Άρα d 6 d 7 d ln 7ln ln ln 7ln ln ln ln 7ln ln ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

27 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iv 7 d 6 Εκτελούμε τη διαίρεση : 7 : 6 και έχω : 7 6 Έτσι : d d 6 d 6 d 6 i d ln ln ln ln 6 d 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d iii d iv d Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d iii d iv ln d Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d iii d iv d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

28 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α : ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ g g d ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : u u u du, du g d και u g, u g όπου και g είναι συνεχής συναρτήσεις, u g Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή g g d ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ : Αν d,, θέτουμε u Αν, g d, θέτουμε u g Αν,, d, θέτουμε u οπού, a Αν d θέτουμε a u Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i 6 d ii d iii d iv ln d i d θέτω u άρα du d Για είναι u Για είναι u Άρα : 6 u u 6 uu d u du u u du u u du ii d θέτω u u άρα udu d Για είναι u u u άρα u Για είναι u u Άρα : d udu u du u u u u du u 8 iii 6 d θέτω 6 u άρα u, Για είναι u 6 u και u άρα 6 u du d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

29 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για 6 είναι u 6 u Άρα : d 9 u u u u 6 8 6u du 6u u u du 6u 6u du iv ln du d θέτω u άρα du d d Για είναι u ln Για ln είναι u ln u du u du u Άρα : d u du u u u u Εκτελώ τη διαίρεση : u : u u και εχω : u u u u u u u u u u u Άρα : I du u u du u u du u u du u u u du du u u u u u du du u u u u Για το ολοκλήρωμα I u du u έχω : u u u u u u u u u u u Άρα : I u u du u u du du lnu lnu u u u u 9 ln ln ln ln9 ln ln ln 9 Τελικά : I I ln Συνδυαστικό παραγοντικής αλλαγής μεταβλητής Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : ln 9 d θέτω u Για είναι u 9 9 άρα ln 9 d du du d d Για είναι u άρα έχω : ln 9 d lnu lnudu 9 u lnudu 9 du u lnu ulnu du ln 9ln9 du ln 9ln9 u ln 9ln9 9 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

30 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : 6 i d ii d iii d ln iv d v d vi d vii d viii d 7 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : 99 i d ii d iii d iv d 6 v d vi 6 d vii d viii Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d ln iii d iv d v d vi d vii d ln 9 viii d 6 ln d i d ii ln d iii 6 i d d 9 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : 6 / i d ii [ημσυν ημ ημσυν ] d iii d 6 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : d 6 Να υπολογίσετε το I d 6 Δίνεται συνάρτηση :,, με συνεχή πρώτη παράγωγο, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α, και Β,9 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : I d 6 Δίνεται συνάρτηση :, με συνεχή δεύτερη παράγωγο, η οποία παρουσιάζει ακρότατο στο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, Αν 9 d ισχύει : d 6 τότε : i Να βρείτε την τιμή ii Να βρείτε το d iii Να αποδείξτε ότι υπάρχει,, ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

31 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Β ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ u Αν έχουμε ολοκλήρωμα d το οποίο δεν υπολογίζεται με κάποια από τις γνωστές μεθόδους, τότε ίσως μπορεί να υπολογιστεί με αντικατάσταση : u ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να δείξετε ότι d d και στη συνέχεια να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : i I d ii I ln d Στο d θέτω u, άρα d u du d du Για Για Άρα : είναι u u είναι u u d u du d i Στο I d θέτω u u, άρα d du Για είναι u Για είναι u u u u u Άρα : I d du du du u u d u Έτσι : I I d d I d I I I d I d ii Στο I ln d θέτω u u, άρα d du Για είναι u Για είναι u u Άρα : u I ln d ln du ln du u u ln d Έτσι : I I ln d ln d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

32 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ I I ln d ln d ln d ln d I I ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : i d ii ln d iii d 6 Γ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Χαρακτηριστικό γνώρισμα της συγκεκριμένης περίπτωσης είναι η ολοκλήρωση σε συμμετρικό διάστημα :,, d, δηλ το ολοκλήρωμα έχει αντίθετα άκρα Θα αποδείξουμε ότι : Αν η είναι άρτια, τότε : d d Αν η είναι περιττή, τότε : d ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Έστω μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [, ] i Αν η είναι περιττή, τότε να δείξετε ότι ισχύει : d ln ii Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : d i H :[, ] είναι περιττή, άρα για κάθε [, ] ισχύει ότι : Στο Για Για d, θέτω u, άρα d du είναι u είναι u Έτσι : I d u du a a u du a a u du a a d I ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

33 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ I I d ln ii Έστω, με, Για κάθε, και, ln ln ln ln ln ln, άρα η είναι περιττή οπότε από i d d 66 Έστω μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [, ] i Αν η είναι άρτια, τότε να δείξετε ότι ισχύει d d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9 ii Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d i H :[, ] είναι άρτια, άρα για κάθε [, ] ισχύει ότι : Έτσι : Στο a a d d d d θέτω u, άρα d du Για είναι u Για είναι u Έτσι : d u du u du u du Άρα : a a d d d a a d d d ii Είναι I d d d Έστω :, με, και,,, άρα η είναι περιττή και g, με, και,, g g, άρα η g είναι άρτια Έτσι : I d d I d g d [,] I d I d I d I ln I ln ln

34 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 67 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : i d ii ln d iii d 6 iv d 68 Δίνεται παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση : Η εφαπτομένη της C στο σημείο της, έχει εξίσωση y Να βρείτε : i τις τιμές και ii την εφαπτομένη της, C στο σημείο της iii το ολοκλήρωμα : I d Δ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής : o αν το ημ είναι υψωμένο σε περιττή δύναμη τότε θέτουμε u o αν το συν είναι υψωμένο σε περιττή δύναμη τότε θέτουμε u o Αν και το ημ και το συν είναι υψωμένα σε άρτια δύναμη, τότε χρησιμοποιούμε τους τύπους αποτετραγωνισμου : και ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : d, 69 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d iii d i d, θέτω u, άρα Για είναι u Για είναι u du d d du Έτσι : d d d u u du u ii d u du ii d d d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

35 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii d, θέτω u, άρα Για είναι u Για είναι u Έτσι : d u u du d du du d d u u du u u d u u du ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d / 7 Αν I ημ d, J συν d, να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : I J, I J, Ι, J / Ε ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής :, d θέτουμε ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i d ii d iii u με u, Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής :, d θέτουμε u με u, Αν σε ολοκλήρωμα εμφανίζεται σε παρανομαστή η παράσταση συνήθως θέτουμε : d iv u με u, d v d vi ln ln d, τότε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

36 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να υπολογίσουμε ολοκλήρωμα της μορφής d, και δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της, τότε εργαζόμαστε ως εξής : i Θέτουμε u u άρα είναι d u du ii Βρίσκουμε τα νέα άκρα ολοκλήρωσης και τελικά το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται : d u u du [ u u] u du ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Δίνεται η συνάρτηση :, με τύπο : i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d i D, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο D, άρα η είναι - και άρα είναι και αντιστρέψιμη Το πεδίο ορισμού της, είναι το σύνολο τιμών της Η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο D, άρα lim, lim, lim lim lim, lim Άρα, D lim ii Στο ολοκλήρωμα d θέτουμε u u : u Για είναι u u : u Για είναι u u Άρα : u u d u u du άρα είναι lim u u du u u du ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : d u du 7 Δίνεται η συνάρτηση :, με τύπο : i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d 7 Δίνεται η συνάρτηση, με 6 i Να αποδείξετε ότι η είναι - και να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

37 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 76 Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει :, για κάθε Να υπολογίσετε το d 77 Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει και : ln για κάθε i Να βρείτε τον τύπο της ii Να ορίσετε την iii Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I d d ln 78 Δίνεται η συνάρτηση :[,] με i Να ορίσετε την ii Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : I d d ln 79 Δίνεται η συνάρτηση : με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει για κάθε, η C διέρχεται από τα σημεία, και, και ισχύει : d i Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο της Β ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ώστε iii Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : I d 8 Θεωρούμε τη συνάρτηση : ln, με, i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, ii ln Να βρεθούν τα όρια : lim, lim και lim iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση στο, iv Έστω d d Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ln ο Ομογενείς ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

38 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Αν έχουμε μια συναρτησιακή σχέση : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,] για την οποία ισχύει : 6 για κάθε [, ] Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d Για κάθε [, ] είναι : 6 6 Άρα : Δηλ g h d 6 d d 6 d 6 d 6 d d 6 d Για το 6 d θέτω 6 u άρα d du d du Όταν το u, ενώ όταν το u Άρα 6 d u du u du d Τελικά η γίνεται : d d d 6 6 d d d 8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d Για κάθε είναι Θέτω y y άρα η γίνεται : y y y y ή Άρα : Δηλ και θέλουμε να υπολογίσουμε το I d ή να δείξουμε μια σχέση που περιέχει αυτό, τότε λύνουμε την ως προς, ολοκληρώνουμε και αλλάζουμε μεταβλητή και άκρα ολοκλήρωσης h h h τότε θέτουμε y h και η γίνεται y g y h y ή g h d d d d d d d d Για το d θέτω u άρα d du d du Όταν το u, ενώ όταν το u Άρα d u du u du d Τελικά η γίνεται : d d που είναι η d d d d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

39 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d 8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Στα ολοκληρώματα ισχύουν οι παρακάτω ανισοτικές σχέσεις : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Αν, τότε d αν η δεν είναι παντού τότε d ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Αν g, τότε d g d αν η, g δεν είναι ισες τότε d g d ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : m d Απόδειξη : Έστω :[, ] μια συνεχής συνάρτηση και m, M η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή αντίστοιχα της στο a, Τότε ισχύει ότι : m M για κάθε a, Οπότε : md d Md δηλαδή : m d M Για να αποδείξουμε ανισότητες στα ολοκληρώματα, συχνά χρησιμοποιούμε : Τις βασικές ανισότητες : ln,, Τις ανισότητες min ma, [, ] Τις ανισότητες που προκύπτουν από τη μονοτονία της και τις σχέσεις Τις ανισότητες που προκύπτουν από το ΘΜΤ και τη μονοτονία της Την ανισότητα που προκύπτει από την κυρτότητα μιας συνάρτησης και την εφαπτομένη της σε ένα σημείο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

40 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : : για την οποία ισχύει : Να αποδείξετε ότι : i 6 9 d d ii d 8 i Παρατηρούμε ότι : 6 9 Η συνάρτηση : d d g είναι συνεχής στο [,] και ισχύει : g για κάθε [, ] Επίσης η g δεν είναι παντού ίση με το μηδέν στο [,], καθώς g, επομένως : g d 6 9d 8 ii Έχουμε : d d συνάρτηση : d d 8 Η ανισότητα αυτή ισχύει, καθώς η h είναι συνεχής στο [,] και ισχύει : h για κάθε [,] Επίσης η h δεν είναι παντού ίση με το μηδέν στο [,], καθώς h * Γενικά ισχύει ότι : c d 8 8 d d c, άρα εδώ 86 Θεωρούμε τη συνάρτηση :, με τύπο Να αποδείξετε ότι : i για κάθε Πότε ισχύει η ισότητα; ii d i ος Τρόπος : για κάθε, Για κάθε, + + Παρατηρούμε ότι η παρουσιάζει ελάχιστο στο, το, δηλαδή για κάθε, για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για min * ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

41 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ος Τρόπος : κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για που ισχύει για ii Είναι για κάθε και το '' '' ισχύει μόνο για Έτσι : d d d d d d d d 87 Έστω η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα 7 ii Να αποδείξετε ότι d 8 i, και για κάθε έχουμε : Για κάθε, + + Παρατηρούμε ότι η παρουσιάζει ελάχιστο στο, το, δηλαδή για κάθε, για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για min ii Για κάθε, έχουμε : με την ισότητα να ισχύει μόνο για με την ισότητα να ισχύει μόνο για, εδώ το, Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις και και έχουμε για κάθε, και η ισότητα δεν ισχύει ούτε για, άρα : d d d d 7 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

42 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 88 Να αποδείξετε ότι : i Να αποδείξετε ότι ln για κάθε ii Να αποδείξετε ότι ln d i ii Για κάθε ισχύει η ανισότητα ln Αν θέσω όπου το για κάθε, έχω ln ln, για κάθε iii Στην ανισότητα ln το '' '' ισχύει μόνο για Άρα για κάθε [,], ln και το '' '' ισχύει μόνο για έτσι : ln d 89 Να αποδείξετε ότι : d d ln d Είναι αδύνατον να υπολογίσουμε το ln d d, για αυτό θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής g και μετά να ολοκληρώσουμε Για [,] κάθε άρα και για [,] ισχύει :, έτσι έχουμε : d d d [ ] d ln 9 Έστω η συνάρτηση : [, ] με τύπο i Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα ii Να αποδείξετε ότι ln d ln i H είναι συνεχής στο [, ] και για κάθε, άρα η,, οπότε στο η παρουσιάζει ελάχιστο το, ενώ στο η παρουσιάζει μέγιστο το ii Για κάθε [, ], είναι : min ma, άρα ln d d d d d d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

43 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 9 Έστω η συνεχής συνάρτηση : [,] για την οποία ισχύει : d i Να αποδείξετε ότι : για κάθε [,] ii d 9 Έστω η συνεχής συνάρτηση : [,] για την οποία ισχύει : d i Να αποδείξετε ότι : για κάθε [,] ii d 9 Να αποδείξετε ότι : i για κάθε [,] ii d 9 Δίνεται η συνάρτηση : με τύπο : d i Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ii Να αποδείξετε ότι d 9 Δίνεται η συνάρτηση :, με τύπο : i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της στο [,] iii Να αποδείξετε ότι d 96 Δίνεται η συνάρτηση : [,] ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να αποδείξετε ότι ln d ln 97 Να αποδείξετε ότι d με τύπο : 98 Με τη βοήθεια της ανισότητας εφ για κάθε,, να αποδείξετε ότι η ημ συνάρτηση,, είναι γνησίως φθίνουσα και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: ημ i για κάθε, και 6 / ημ ii d / 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

44 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 99 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο [, και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της ανισότητας ότι: i για κάθε [,] και ii d για κάθε, να αποδείξετε ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Αν και d, τότε : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται συνεχής συνάρτηση : :[,] για την οποία ισχύει : d d 6 78 Να βρείτε : i 9 d ii τον τύπο της i 9 d d ii Έχουμε : d 6 d d H συνάρτηση : κάθε [, ] d 6 d 9 d g είναι συνεχής στο [,], ισχύει : g για και d g d Άρα για κάθε [, ] είναι : g, [, ] Αυτό ισχύει καθώς έστω ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα [, ] τέτοιο, ώστε να είναι g Τότε επειδή η g είναι συνεχής στο [,] και για κάθε [, ] είναι g g, προκύπτει ότι d g Απόδειξη : Έστω ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα [, ] τέτοιο, ώστε να είναι Τότε επειδή η είναι συνεχής στο [, ] και για κάθε [, ] είναι, προκύπτει ότι d που είναι αδύνατο Άρα για κάθε [, ] είναι που είναι αδύνατο Άρα για κάθε [, ] είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

45 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις, g : [,] για τις οποίες ισχύει g d g d Να αποδείξετε ότι g για κάθε [,] g d g d g d g d g d g d g g d g d, η συνάρτηση h g ισχύει g είναι συνεχής στο [,] και h για κάθε [,] και h d, άρα για κάθε [,] είναι h g g για κάθε [,] ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : v * Δίνεται η συνάρτηση,, v N i Να μελετήσετε την, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και τα σημεία καμπής ii Να αποδείξετε ότι v v v d 99 v Έστω συνάρτηση ορισμένη στο R, δυο φορές παραγωγισιμη, με για κάθε Έστω, με α<β Να αποδείξετε ότι : i, για κάθε [, ] ii d 997 t Δίνεται η συνάρτηση t, t [, ] t i Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα t dt Έστω η συνάρτηση g t dt, > t ii Να αποδείξετε ότι, για κάθε t [, ] και > iii Να υπολογίσετε το lim g 999 ln Να δείξετε ότι dt ln lnt t, για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

46 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε [, ] και η συνάρτηση είναι συνεχής Απάντηση : Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα [, ] και για κάθε [, ], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα είναι E d y O α y= Ω β 6 69 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των,g τις ευθείες,, όταν g για κάθε [, ] και οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς Απάντηση : Έστω δυο συνεχείς συναρτήσεις και g, στο διάστημα [, ] με g για κάθε [, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και Σχ 8α y y y y= y= 8 Ω y=g O α Ω O β y=g Ω O γ Παρατηρούμε ότι d g d g d Επομένως, E g d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

47 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Να αποδείξετε ότι αν για τις συναρτήσεις,g είναι g για κάθε [, ], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των,g και τις ευθείες, δίνεται από τον τύπο:e gd Απόδειξη : Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς στο [, ], θα υπάρχει αριθμός c R τέτοιος, ώστε c g c, για κάθε [, ] Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω Σχ α έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο y y y=+c y= Ω Ω α O β α O y=g α y=g+c β Επομένως, θα έχουμε: [ c g c]d gd Άρα E gd β 7 Να αποδείξετε ότι όταν η διαφορά g δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [, ], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των,g και τις ευθείες και είναι ίσο με E g d Απόδειξη : Όταν η διαφορά g δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [,, ] όπως στο Σχήμα, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων, και Δηλαδή, y O α Ω γ y=g Ω δ y= Ω β g d g d g d g d g d g d Επομένως, Σχόλιο E g d g d Σύμφωνα με τα παραπάνω το d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα Σχ y Ο a + + β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

48 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα, τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, με g για κάθε [, ] και τις ευθείες και είναι ίσο με: E gd Απόδειξη : Πράγματι, επειδή ο άξονας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, έχουμε E gd [ g]d gd Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g για κάθε [, ], τότε: E gd y O α Ω β y=g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΕΤΑΞΥ d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα C,,, Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν που περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις κατακόρυφες ευθείες,, εργαζόμαστε ως εξής : ον Αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο [α,β] ον Βρίσκουμε το πρόσημο της στο [α,β], λύνοντας την εξίσωση στο [α,β] και σχηματίζοντας πίνακα με το πρόσημο της στο [α,β], με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζουμε το αντίστοιχο εμβαδόν Για άκρα ολοκλήρωσης παίρνουμε τα α,β Σε άλλες περιπτώσεις μπορούμε να υπολογίσουμε το πρόσημο της με τη βοήθεια της μονοτονίας της συνάρτησης Αν για κάθε a, Αν για κάθε, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω ισούται με: d a,, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω ισούται με: d Αν η δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α,β], τότε βρίσκουμε τις ρίζες,,, της εξίσωσης στο [α,β], και από τον πίνακα προσήμων το ζητούμενο εμβαδόν είναι : d d d d d d d Αν δεν δίνονται οι κατακόρυφες ευθείες,, τότε υπολογίζω το αντίστοιχο εμβαδόν ανάμεσα στις ρίζες της δηλ για άκρα ολοκλήρωσης παίρνω τις ρίζες Αν δίνεται μόνο μια κατακόρυφη ευθεία, τότε : Αν η μεγαλύτερη ρίζα Αν η μικρότερη ρίζα d d

49 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση 8 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις ευθείες, ή Το ζητούμενο εμβαδόν είναι d d d d 8 d 8 d 8 d Δίνεται η συνάρτηση και F μια παράγουσα της στο με F i Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C F, την ευθεία και τους άξονες και y y Εμβαδόν Παράγουσας i F παραγωγίσιμη για κάθε με F για κάθε, άρα F FF ii F F F F Για F F F F Για F F F Έτσι : Το ζητούμενο εμβαδόν είναι F d F d F d F F d F d d d d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : F - + Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις ευθείες, Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις ευθείες, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

50 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C και τον άξονα 6 Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα και τον άξονα y y 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 8 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, και, και 9 Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο που τέμνει τον άξονα y y ii Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της iii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένα σημείο της C στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα, και την ευθεία, όπου είναι θέση τοπικού ακρότατου της ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, Δίνεται η συνάρτηση : ln, i Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

51 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ a, Δίνεται η συνάρτηση :, i Αν η είναι συνεχής να αποδείξετε ότι a 9 ii Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Μ, iii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τη C, τον άξονα τις ευθείες, ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, και ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΕΤΑΞΥ C, C g, g d, Έστω,g δυο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α,β] Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν που περικλείεται από τις C, C και τις κατακόρυφες ευθείες,, g εργαζόμαστε ως εξής : ον θεωρούμε τη συνάρτηση h g ον λύνουμε την εξίσωση h στο [α,β] ον σχηματίζουμε πίνακα με το πρόσημο της h στο [α,β], με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζουμε το αντίστοιχο εμβαδόν Για άκρα ολοκλήρωσης παίρνουμε τα α,β Αν δεν δίνονται οι κατακόρυφες ευθείες,, τότε υπολογίζω το αντίστοιχο εμβαδόν ανάμεσα στις ρίζες της h δηλ για άκρα ολοκλήρωσης παίρνω τις ρίζες ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνονται οι συναρτήσεις χωρίου περικλείεται από τις και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του C, C g και τις ευθείες, Έστω h g h, με h άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι το h d Έχω h, παρατηρώ ότι η είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης h, και για κάθε, h, άρα η h ά, οπότε και η είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης h h - Τα πρόσημα του παραπάνω πίνακα προκύπτουν ως εξής : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

52 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h o h h h h o h h h Άρα τελικά : h d h d h d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : d d Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις C, C g και τις ευθείες, Δίνονται οι συναρτήσεις ln και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις C, C g και τις ευθείες, 6 Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου περικλείεται από τις C, C g 7 Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει : Στη συνέχεια αν δίνονται τμ και g, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείετε από τη C, τη C, τον άξονα y y και την ευθεία g 8 Δίνεται η συνάρτηση όπου μια σταθερά με, Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C και την ευθεία με εξίσωση y ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

53 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΕΤΑΞΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C στο σημείο της, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε και τον άξονα y y i [,, και, άρα Άρα η εφαπτομένη ε της, θα έχει εξίσωση : ii C στο σημείο της : y : y : y C, : y και y y δηλ η ευθεία Έστω h y h, χρειαζόμαστε άλλη μια κατακόρυφη ευθεία η οποία θα προκύψει από τη λύση της εξίσωσης : h y, καθώς η C και η ε έχουν μοναδικό κοινό σημείο το, Έτσι το ζητούμενο εμβαδόν είναι h d Για το πρόσημο της h ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9, θα χρησιμοποιήσουμε την κυρτότητα της Για κάθε είναι και η είναι συνεχής στο, άρα η είναι 9 κοίλη στο [, και άρα η εφαπτομένη της C βρίσκεται πάνω από τη C, με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλαδή για κάθε [, ισχύει ότι : y h Τελικά : h d h d d d τμ C ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ η Αν η συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε εφαπτομένη : y της C στο, βρίσκεται κάτω από τη C, με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλαδή για κάθε ισχύει ότι : Αν η συνάρτηση είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε η εφαπτομένη : y της C στο, βρίσκεται πάνω από τη C, με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλαδή για κάθε ισχύει ότι :

54 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C στο σημείο της, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε και τον άξονα y y Δίνεται η συνάρτηση 6 i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C που είναι κάθετη στην ευθεία : y ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε και τον άξονα y y Δίνεται η συνάρτηση με i Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C και τις ευθείες y= και y= Δίνεται η συνάρτηση, με Αν η εφαπτομένη ε της C στο σημείο τομής της με την ευθεία =, τέμνει τον άξονα y y στο y, τότε : i Να βρείτε το α και την εξίσωση της εφαπτομένης ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε, τον άξονα και την ευθεία Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C στο Μ, ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ε, τους άξονες και y y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

55 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΚΛΕΙΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΡΕΙΣ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Για να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που σχηματίζεται από τις γραφικές παραστάσεις τριών ή περισσοτέρων συναρτήσεων, εργαζόμαστε ως εξής : ον βρίσκουμε τα σημεία που τέμνονται ανά δυο οι γραφικές παραστάσεις ον σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων ον χωρίζουμε το χωρίο Ω με κατακόρυφες ευθείες σε επιμέρους χωρία τα οποία σχηματίζονται από δυο μόνο γραφικές παραστάσεις ον υπολογίζουμε το εμβαδόν καθενός από τα παραπάνω χωρία και το άθροισμα τους είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, ln τον άξονα των και την εφαπτομένη της C στο σημείο, Η εξίσωση της εφαπτομένης της Επειδή ln, έχουμε Έχω εμβαδόν ανάμεσα στη ln, g, h Για σημεία τομής C και Για σημεία τομής C και Για σημεία τομής C g και C στο σημείο, είναι : y Επομένως, : y : y C, την C g : h : y και τον δηλ τρεις συναρτήσεις, g δηλ,, C : h ln δηλ,, C h : g h δηλ, g, Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

56 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ d ln d ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ln d d d ln d ln d 6 Δίνονται οι συναρτήσεις, g και h Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων 7 Δίνονται οι συναρτήσεις, με, g και h Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων 8 Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σχήματος 9 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σχήματος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

57 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται η συνάρτηση ημ i Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C στα σημεία, και, ii Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική O, παράσταση της και τις εφαπτόμενες στα σημεία Ο και Α y Aπ, Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ln, g ln και την ευθεία y ln ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η είναι -, οπότε ορίζεται η Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη ευθείες, είναι : d προκύπτει ότι : Επειδή οι d u u du C, τον άξονα, και τις Αν θέσουμε u, u u du C και C είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=, το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται μεταξύ των του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της d d C και C είναι διπλάσιο από το εμβαδόν C και της ευθείας y= Ισχύει λοιπόν ότι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

58 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τις ευθείες, και τον άξονα i Για κάθε, είναι, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε είναι - άρα και αντιστρέψιμη ii Το ζητούμενο εμβαδόν είναι : d Θέτω u άρα d u du Για είναι u u : u : Για είναι u u u Άρα τελικά : d u u u du u du u u u du u du u u u du u[, ] τμ Δίνεται η συνάρτηση :, με τύπο i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C και C i Η είναι συνεχής στο,, και για κάθε, είναι : Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,, άρα είναι και - και άρα αντιστρέψιμη ii Επειδή οι C και C είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=, για να βρω τα κοινά σημεία της των C και C, αρκεί να βρω τα κοινά σημεία των C και y= Έτσι έχουμε : πρέπει Έτσι : ή δεκτές Επειδή οι C και C είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=, το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται μεταξύ των C και C είναι διπλάσιο από το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της C και της ευθείας y= Ισχύει λοιπόν ότι : d, έστω h, είναι h ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

59 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h d h d h d d d τμ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C και τους άξονες και y y Δίνεται η συνάρτηση 6 6 i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C και C 6 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τις ευθείες, και τον άξονα 7 Έστω η συνάρτηση = + + i Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η έχει αντίστροφη συνάρτηση ii Να αποδείξετε ότι + για κάθε IR iii Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο, είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της και της iv Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα των και την ευθεία με εξίσωση = ο 8 Θεωρούμε τη συνάρτηση =+- με i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση - της και να βρείτε τον τύπο της iii Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και - με την ευθεία y= iv Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και - Θέμα ο Πανελλήνιες 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα