ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θέμα Α) Να δείξετε ότι αν f μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ και F μια παράγουσα της f στο Δ τότε: α) όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(χ) = F ( ) +c, c είναι παράγουσες της f στο Δ β) κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G ( ) = F ( ) + c, c Μονάδες 6 B) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και G() μια αρχική συνάρτηση της f Να δείξετε ότι: f ( ) d G( ) G( ) G( ) Μονάδες 6 Γ) Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β ; Μονάδες 3 Δ) Να χαρακτηρίσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] με f( ) και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό,τότε f ( ) d β) Το ορισμένο ολοκλήρωμα f ( ) d μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα χ χ συν το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα χ χ γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] με f()< για κάθε [, ] τότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα χ'χ και τις ευθείες =α, =β είναι E( ) f ( ) d δ) Για δύο συνεχείς συναρτήσεις f,g ισχύει : f ( ) g( ) d f ( ) d f ( ) d ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής, διάφορη του μηδενός στο διάστημα [α,β] και f ( ) d τότε f( ) a Θέμα Έστω f : R R μια παραγωγίσιμη και κυρτή συνάρτηση στο R η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις f( ) για κάθε R f () 5 και 5 f ( ) d Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση g( ) [ f ( t ) f ( t)] dt α) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η g είναι κυρτή ή κοίλη και τις θέσεις των σημείων καμπής της Μονάδες

2 γ) Να βρείτε το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω που περικλείεται από τη και την ευθεία = δ) Να δείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο,ώστε f Θέιια 3 ( ) f ( ) d Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : R R οι οποίες ικανοποιούν τις σχέσεις g( ) ln tdt και t ( ) ( ) f f t dt α) Να δείξετε ότι f( ) β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g και να δείξετε ότι g( ) ln γ) Να δείξετε ότι ln και στη συνέχεια ότι Αν επιπλέον 3t ( ) f (t)dt G δ) Να υπολογίσετε τα όρια : i) lim G ( ) ii) lim g ( ) d G( ) Cg τους άξονες ', y'y Μονάδες ( ) Θέιια 4 Μονάδες ( ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν : 3 ( ) (t) 9 ln( ) 3 f dt, για κάθε > 3 f 5 ( ) f d d f d Να δείξετε ότι : α) f ( ) d 5 β) 3 f ( ) d 9 γ) υπάρχει β (,) τέτοιο ώστε f ( ) 3 δ) υπάρχει γ (,3) τέτοιο ώστε f(γ) =4 3 ε) lim f ( u) du Μονάδες ( ) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

3 ΛΥΣΕΙΣ Θέμα Α) Κάθε συνάρτηση της μορφής G( ) F( ) c, όπου c, είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού G( ) ( F( ) c) F( ) f ( ), για κάθε Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ Τότε για κάθε ισχύουν F( ) f ( ) και G( ) f ( ), οπότε G( ) F( ), για κάθε Άρα, σύμφωνα με το πόρισμα της 6, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G( ) F( ) c, για κάθε B) Η συνάρτηση F() f (t)dt είναι μια παράγουσα της f στο [, ] Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο [, ], θα υπάρχει c τέτοιο, ώστε G() F() c () Από την (), για, έχουμε G( ) F( ) c f (t)dt c c, οπότε c G( ) Επομένως, G() F() G( ),οπότε, για, έχουμε και άρα f (t)dt G( ) G( ) G( ) F( ) G( ) f (t)dt G( ) Γ) Με τα σημεία χωρίζουμε το διάστημα [, ] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους y y=f() Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα [, ], για κάθε {,,, }, και σχηματίζουμε το άθροισμα O a= ξ ξ k v- ξ v v =β ξ S f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής: S f ( ) Αποδεικνύεται ότι, ν Το όριο του αθροίσματος S, δηλαδή το lim f ( ξκ ) Δ () υπάρχει στο και είναι ν κ ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων Το παραπάνω όριο () ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β, συμβολίζεται με στο β Δηλαδή, β f d α () και διαβάζεται ολοκλήρωμα της f από το α f ()d lim f ( )

4 Δ) ΣΛΛΛΣ Θέμα α) η συνάρτηση f είναι συνεχής στο αφού είναι παραγωγίσιμη στο και f( ) για κάθε οπότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο Επειδή f () 5 έχουμε f( ) για κάθε g( ) f ( ) f ( ) Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο g(-)= To - μοναδική ρίζα της g αφού η g είναι γνησίως αύξουσα στο και - g[ g() g() g( ) Άρα g()> για >- και g()< για <- β) g ( ) f ( ) f ( ) g ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Άρα η g είναι κοίλη στο (,],κυρτή στο [, ) και παρουσιάζει σημείο καμπής στο γ) Επειδή g( ),το ζητούμενο εμβαδόν είναι το 5 g( t) dt f ( t ) f ( t) dt f ( t ) dt f ( t) dt f ( u) du 5 u t dudt f ( t ) dt f (u) du και tu tu δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h t dhdt f ( t) dt f ( h) dh f ( h) dh f (u) du th tu h( ) f ( ) f ( ) d H συνάρτηση f είναι συνεχής άρα η συνάρτηση f () t dt είναι παραγωγίσιμη οπότε και συνεχής στο [-,] Άρα η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [-,] σαν πράξεις συνεχών h( ) f( ) (f()>) h() f () f ( t) dt 5 Άρα h( ) h() Επομένως ισχύει το θεώρημα Bolzano άρα υπάρχει (,) τέτοιο,ώστε Θέιια 3 h( ) f ( ) f ( ) d + g () + g ( ) 4 Σ Κ 3 α) ( ) ( ) t t t f ( ) f ( t) dt f ( ) f ( t) dt f ( ) f ( t) dt t t t ( f ( )) f ( t) dt f ( t) dt f ( t) dt c, c ()

5 ( ) t t () () c οπότε f ( t) dt f ( t) dt t H συνάρτηση f () t είναι συνεχής σαν γινόμενο συνεχών οπότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση Επίσης η συνάρτηση Παραγωγίζουμε τη σχέση () και έχουμε t f () t dt είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f β) Θεωρούμε h( t) ln t Tο πεδίο ορισμού της h είναι το (, ) Τα, (, ) οπότε (, ) g ( ) ln g tdt t ln tdt [ tln t] t dt ln dt ln t γ) g( ) ln ln g( ) ln ln + g ( ) + () g > O E [ H g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το g() Άρα g( ) g() ln ln g( ) g( ) d αφού η g δεν είναι η μηδενική συνάρτηση και < δ) 3 t t t t t t G( ) dt ( t) dt ( ) ( t) dt [ ( t)] ( ) dt t t ( ) [ ] ( ) ( ) Άρα: D L H i) lim G( ) lim ( ) αφού lim ( ) lim lim lim G( ) ( ) ii) lim lim αφού ( ) ( ) u lim lim lim ( ) και lim u lim D L H u u u Θέιια 4 () α) 3 ( ) f (t) dt 9 ln( ) 3 3 ( ) f (t) dt 9 ln( ) 3

6 ut dudt f (t) dt f ( u) du f ( u) du () t u t u () () 3 ( ) f ( u) du 9 ln( ) 3 (3) Θεωρούμε g( ) 3 ( ) f ( u) du 9 ln( ) 3,> g()=3-9+6= Από την (3) g( ) g() οπότε η g παρουσιάζει ελάχιστο στο,το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του g H συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σαν πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων ( η f () t dt παραγωγίσιμη αφού η f συνεχής) με τύπο Επομένως ισχύει το θεώρημα Frmat δηλαδή β) g( ) 3 f ( t) dt ( ) f ( ) 3 άρα και στο g() 3 f ( t) dt 3 f ( t) dt 5 ) f f d d 5 f ( ) d f 5d f d f d 4 Άρα 3 3 f ( ) d f ( ) d f ( ) d γ) Θεωρούμε συνάρτηση h( ) f ( ) d H h συνεχής στο [,] σαν πράξεις συνεχών συναρτήσεων Η h παραγωγίσιμη με τύπο h( ) f ( ) 3 στο (,) h() h() f ( ) d Eπομένως ισχύει το θεώρημα Roll δηλαδή υπάρχει (,) τέτοιο ώστε h( ) f ( ) 3 f ( ) 3 δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση F( ) f ( ) d Όπως είδαμε από το ερώτημα (β) η συνάρτηση F ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο [,3] F(3) F() 3 οπότε υπάρχει (,3) τέτοιο ώστε F( ) f ( ) f ( ) d f ( ) d ε) f ( u) du ( ) 3 ( ) f ( u) du 9 ln( ) 3 3 ( ) f ( u) du 9 ln( ) ln( ) 3

7 9 ln( ) 3 9 ln( ) 3 9 ln( ) 3 lim lim lim 9 ln( ) lim, lim, lim lim lim και D L H lim lim D L H 3 Eπομένως lim f ( u) du αφού Μονάδες ( ) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ