Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ανατροφοδότηση Κατάστασης Παρατηρητές και Ανατροφοδότηση Εξόδου Βέλτιστος Έλεγχος Υλοποίηση Συστημάτων Ελέγχου?? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3. Ελεγξιμότητα Συστημάτων Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

Η Έννοια της Ελεγξιμότητας Βασικό Ερώτημα: Ένα συγκεκριμένο δυναμικό σύστημα, μπορούμε - ασκόντας κατάλληλα σήματα εισόδου - να το οδηγήσουμε σε οιοδήποτε σημείο του χώρου κατάστασης, ξεκινώντας από οιοδήποτε σημείο του χώρου κατάστασης και εντός πεπερασμένου χρόνου? Το ερώτημα ΔΕΝ ασχολείται ούτε με τη μορφή της τροχιάς απο την αρχή στο τέλος, ούτε με το χρόνο εκτέλεσης της τροχιάς! Αναφέρεται απλά στην ύπαρξη σημάτων οδήγησης απο οιαδήποτε αρχή σε οιοδήποτε προορισμό εντός πεπερασμένου χρόνου! Αυτό το ερώτημα είναι σημαντική προαπαίτηση για τη σχεδίαση συστημάτων ελέγχου... Το ερώτημα ορίζεται γενικά για κάθε δυναμικό σύστημα αλλά εδώ θα αντιμετωπισθεί για ΓΧΑΣ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

Ορισμός & Συνθήκη Ελεγξιμότητας Για το ΓΧΑΣ : η κατάσταση xr n είναι ελέγξιμη προς την αρχή των αξόνων (controllable to the origin) αν για κάθε αρχική στιγμή t 0, υπάρχει ένα τελικός χρόνος t f > t 0 και μία κατά τμήματα συνεχής συνάρτηση εισόδου u() ορισμένη επί του [t f, t 0 ], έτσι ώστε για αρχική κατάσταση x(t 0 )=x 0, για την τελική κατάσταση να ισχύει To ΓΧΑΣ είναι ελέγξιμο (controllable) αν κάθε κατάσταση xr n είναι «ελέγξιμη προς την αρχή των αξόνων». Για ένα ΓΧΑΣ πώς μπορεί όμως να πιστοποιηθεί ότι είναι ελέγξιμο? Ας ορίσουμε πρώτα τον πίνακα ελεγξιμότητας (controllability matrix): P = όπου b i i=1,, m είναι οι στήλες του πίνακα Β. Τι διαστάσεις Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ έχει? 5

Ορισμός & Συνθήκη Ελεγξιμότητας To ΓΧΑΣ είναι ελέγξιμο αν και μόνο αν rank P rank P A, B n Στη γενική περίπτωση: P R n (n m). Άρα αρκεί n από τις nm στήλες να είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Αν έχουμε μόνο μία είσοδο στο σύστημα, τότε ο Β έχει μόνο μία στήλη και m=1 οπότε P R n n (τετράγωνικος), και αρκεί να ελεγχθεί αν ο P είναι μη-ιδιόμορφος. (Πως το ελέγχουμε αυτό?) Σχετικός με πολλά ζητήματα που άπτονται της ελέγξιμότητας είναι ο πίνακας Controllability Grammian για τον οποίο ισχύουν: T nn W. t : τετραγωνικός - συμμετρικός 0, t f W t0, t f T x. W t, 0 : θετικά ημι-ορισμένος 0 t f x Πότε ένας πίνακας ειναι θετικά (ημι-)- ορισμένος? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 1 Επομένως το σύστημα δεν είναι πλήρως ελέγξιμο. Έστω σύστημα που προκύπτει απο διαφορετική θεώριση της κατάστασης: Δηλαδή προκύπτει από το μετασχηματισμό ομοιότητας: P 0 Δηλαδή: z 2 Που δείχνει ότι το δεν εξαρτάται ούτε από την είσοδο ούτε από άλλη ελέγξιμη κατάσταση, οπότε η δεν είναι ελέγξιμη. z 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 2 Επομένως:...και για την ελεγξιμότητα... μη ελέγξιμο! Όμως η ορίζουσα του υποπίνακα είναι μη μη-μηδενική και η τάξη του P είναι Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Σταθεροποίηση 8

Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 3 Παρατηρούμε ότι: Ο πίνακας ελεγξιμότητας P είναι ανεξάρτητος των συντελεστών b i του πίνακα εξόδου. Η ορίζουσα του πίνακα ελεγξιμότητας είναι P = -1 άρα το σύστημα είναι ελέγξιμο. Η ορίζουσα του πίνακα ελεγξιμότητας είναι ανεξάρτητη των συντελεστών a i του πίνακα δυναμικής Α. Επομένως: Η δομή του παραπάνω συστήματος συνεπάγεται την ελεγξιμότητα ανεξαρτήτως των συντελεστών a i και b i. (Περαιτέρω συζήτηση θα ακολουθήσει...) Οι ιδιότητες του δυαδικού (θα εξηγηθεί ό όρος) σχετίζονται με την παρατηρησιμότητα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 4 Επιλέγοντας τις παραπάνω στήλες (και μόνο) βρίσκουμε ότι το σύστημα είναι ελέγξιμο Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

Ελεγξιμότητα : Παράδειγμα - 5 Επιλέγοντας τις παραπάνω στήλες, διαπιστώνεται η ελεγξιμότητα. Αυτή την φορά, υπάρχουν πολλοί συνδυασμοί επιλογών... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Το ΓΧΑΣ υπο το μετασχηματισμό ομοιότητας μετατρέπεται (δηλ. εμφανίζεται «υπό άλλη οπτική γωνία») στο Όπου. Υπενθυμίζουμε ότι εξ ορισμού: η κατάσταση xr n είναι ελέγξιμη προς την αρχή των αξόνων (controllable to the origin) αν για κάθε αρχική στιγμή t 0, υπάρχει ένα τελικός χρόνος t f > t 0 και μία κατά τμήματα συνεχής συνάρτηση εισόδου u() ορισμένη επί του [t f, t 0 ], έτσι ώστε για αρχική κατάσταση x(t 0 )=x, για την τελική κατάσταση να ισχύει Παρατηρώντας ότι Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Αυτό το συμπέρασμα δείχνει ότι: αν η κατάσταση x του αρχικού ΓΧΑΣ 1 είναι «ελέγξιμη προς την αρχή των αξόνων», τότε και η z T x του μετασχηματισμένου ΓΧΑΣ είναι: «ελέγξιμη προς την αρχή των αξόνων», υπό το ίδιο χρονικό διάστημα [t f, t 0 ], και με χρήση του ιδίου σήματος εισόδου u(). Ισχύει και το αντίστροφο. Συντεταγμένων Τα δύο προηγούμενα συμπεράσματα οδηγουν στο ότι : Το μετασχηματισμένο σύστημα είναι ελέγξιμο αν και μονο αν το αρχικό σύστημα είναι ελέγξιμο. Συμπέρασμα: Η ελεγξιμότητα είναι αμετάβλητη ως προς τους μετασχηματισμούς ομοιότητας, Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

Αν Τότε Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Θεωρίσουμε τον πίνακα ελεγξιμότητας του μετασχηματισμένου συστήματος, και Χρησιμοποιήσουμε την (εύκολα αποδεικνυόμενη) σχέση: Οπότε (δεδομένου ότι ο Τ -1 είναι τετραγωνικός & μηιδιόμορφος) Για την controllability Grammian ισχύει: T 1 όπου T T T T T 1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : SISO - Διαγωνοποίηση Για τη Διαγώνια Κανονική Μορφή η εξέταση της ελεγξιμότητας μέσω του πίνακα ελεγξιμότητας προαπαιτεί τη εύρεση όρων του τύπου: Επομένως: Ως γνωστόν ο Vandermonde πίνακας είναι μη-διόμορφος όταν και μόνο όταν οι ιδιοτιμές λ i (του πίνακα Α) είναι διακριτές. Κατά συνέπεια, η (μη) ελεγξιμότητα της Διαγώνιας Κανονικής Μορφής πιστοποιείται με την θεώριση των b i : εφόσον κανένα b i δεν είναι (κάποιο, είναι) μηδενικό το σύστημα (δεν) είναι ελέγξιμο. Άρα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : SISO - Διαγωνοποίηση Αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ελεγξιμότητα ενός διαγωνοποιήσιμου ΓΧΑΣ είναι: οι ιδιοτιμές του Α που εμφανίζονται επί της διαγωνίου του A DCF να είναι διακριτές και κανένα στοιχείου του B DCF να μην είναι μηδενικό. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Ελέγξιμες Υλοποιήσεις Συνάρτησης Μεταφοράς Έστω ότι τα 2 SISO ΓΧΑΣ είναι n-διάστατες ελέγξιμες υλοποιήσεις της ίδιας ΣΜ. nn Λήμμα: Αν P P A, B, P P A, B τότε 1 1 1 1 2 2 2 2 x t T x t όπου 1 2 T P P 1 1 2 Κανονική Μορφή τύπου-ελεγκτή ή Μεταβλητών Φάσης (Controller or Phase Variable Canonical Form - CCF) Αυτη η μορφή μας απασχόλησε και στο παρελθόν όπου προσέγγισθηκε άμεσα από θεώρηση της Σ.Μ Σε αυτή τη φάση θα κατανοήσουμε τίς ιδιότητες της δομής της που οδηγούν και στην σχετική ονοματολογία. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Θεωρούμε την δομή της υλοποίησης CCF: Όπου Αυτή η υλοποίηση, όπως φάνηκε και σε προηγούμενο παράδειγμα, είναι εκ κατασκευής ελέγξιμη. Λήμμα : ο Πίνακας Ελεγξιμότητας της CCF είναι συμμετρικός: Αυτό το αποτέλεσμα θα χρησιμοποιηθεί παρακάτω. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Με βάση το πρόσφατο Λήμμα, από μία ελέγξιμη υλοποίηση της ΣΜ με κατάσταση xt και πίνακα ελεγξιμότητας P (προηγ. σελ.) μπορούμε να λάβουμε την CCF μορφή με χρήση του μετασχηματισμού 1 x t T x t T P P CCF CCF CCF CCF Από τα επαναληπτικά μαθήματα Γραμ. Αλγ. υπενθυμίζουμε και εφαρμόζουμε για τον την ικανή συνθήκη διαγωνοποίησης: A CCF nn Ο πίνακας A CCF είναι διαγωνοποιήσιμος μέσω μετασχηματισμού ομοιότητας αν έχει n διακριτές ιδιοτιμές. Αντιστρόφως, αν η CCF (εγγενώς ελέγξιμη) μπορεί να μετατραπεί στην DCF τότε αυτή είναι ελέγξιμη και όπως αποδείχθηκε νωρίτερα (που?) η πρέπει να έχει διακριτές ιδιοτιμές. Προφανώς οι ιδιοτιμές δεν είναι ζήτημα επιλογής αλλά απορέουν από τη ΣΜ (από την οποία ξεκινήσαμε). Επομένως: Η CCF μπορεί να μετατραπεί στην DCF όταν και μόνο όταν η έχει διακριτές ιδιοτιμές. Ο σχετικός μετασχημα- -τισμός είναι ο ανάστροφος Vandermode πίνακας (μη-ιδιόμορφος). A CCF A CCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

Ελεγξιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : Ειδικές Περιπτώσεις Παράδειγμα: 3 2 ΧΠ: Ιδιοτιμές: +2i, -2i, -2 si A s 2s 4s 8 Το σύστημα είναι ελέγξιμο οπότε έχει νόημα ο μετασχηματισμός: Δεδομένου ότι οι ιδιοτιμές των A και A ταυτίζονται CCF οπότε 1 1 1 1 1 1 TDCF 1 2 3 2i 2i 2 2 2 2 1 2 3 4 4 4 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

Μη-Ελέγξιμες Εξισώσεις Κατάστασης Αν για ένα ΓΧΑΣ ισχύει : τότε υπάρχει μετασχηματισμός έτσι ώστε το μετασχηματισμένο σύστημα να είναι της μορφής με το ζεύγος να ορίζει ένα q-διάστατο ελέγξιμο σύστημα. Κατάλληλος μετασχηματισμός είναι ο όπου οι στήλες είναι από τον πίνακα ελεγξιμότητας P και οι υπόλοιπες,, επιλέγονται ώστε όλες οι στήλες του Τ να συνιστούν βάση στον R n. Τα ανωτέρω θα χρησιμοποιηθούν και στη ανάλυση των «μηπαρατηρήσιμων εξισώσεων κατάστασης», παρακάτω. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21

Μη-Ελέγξιμες Εξισώσεις Κατάστασης : Παράδειγμα Το ΓΧΑΣ ΔΕΝ είναι πλήρως ελέγξιμο, δηλ. ο πίνακας ελεγξιμότητάς του έχει τάξη 2. Επιλέγοντας τις 2 πρώτες στήλες του (γραμμικά ανεξάρτητες) και παραθέτοντας το «3 ο διάνυσμα της κανονικής βασης», λαμβάνουμε τον πίνακας μετασχηματισμού... Αυτός οδηγεί στο μετασχηματισμένο σύστημα Προφανώς, το σύστημα είναι ελέγξιμο. Αυτό το σύστημα θα μας απασχολήσει και στο κεφ. της παρατηρησιμότητας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Σταθεροποίηση 22

4. Παρατηρησιμότητα Συστημάτων Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

Η Έννοια της Παρατηρησιμότητας Έστω το ΓΧΑΣ Γενικά όπου x, y, u n p m p n, m n «Εσωτερική Ποσότητα» του Δυναμικού Συστήματος, οδηγούμενο από το σήμα εισόδου & οδηγεί το σήμα εξόδου Αυτοί οι μαθηματικοί περιορισμοί σχετίζονται με την πρακτική δυσκολία του να μετρήσουμε (και επενεργήσουμε σε) κάθε μεταβλητή κατάστασης Μπορούμε εύκολα να μετρούμε μόνο την είσοδο & έξοδο. Θέλουμε όμως, με βάση αυτές τις μετρήσεις, να μπορούμε να «εκτιμούμε» την κατάσταση, πράγμα που, όπως θα φανεί παρακάτω, είναι απαραίτητο στο έλεγχο. Εκτίμηση της κατάστασης είναι (μαθηματικά) δυνατή αν γνωρίζουμε την είσοδο αλλά και την αρχική κατάσταση. Αυτό σχετίζεται με την ιδιότητα της παρατηρησιμότητας (observability): την δυνατότητα εκτίμησης της αρχικής κατάστασης με βάση τις «ιστορικές» παρατηρήσεις των εισόδων & εξόδων. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

Ορισμός & Συνθήκη Παρατηρησιμότητας Εστω το n-διάστατο ΓΧΑΣ: Έστω ότι μπορούμε να μετρήσουμε και καταγράψουμε τα ut, yt για ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα t t. Πρόθεσή μας, σύμφωνα με τα προηγούμενα, είναι ή εύρεση του x 0 γιατί αυτό θα μας επιτρέψει να υπολογίσουμε όλη την εξέλιξη της κατάστασης, βάσει της 0, f Εύκολα βλέπουμε ότι Δηλαδή η γνώση της u(t) μας επιτρέπει την εύρεση της «απόκρισης αρχικής κατάστασης», δηλαδή την απόκριση μηδενικής εισόδου. Μπορούμε δηλαδή, χωρίς απώλεια της γενικότητας, να θεωρήσουμε και ως σύστημα το 0 0 u t t t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

Ορισμός & Συνθήκη Παρατηρησιμότητας Η κατάσταση x 0 R n είναι μη-παρατηρήσιμη (unobservable) αν η απόκριση μηδενικής εισόδου του συστήματος με αρχική κατάσταση x(t 0 )= x 0 είναι y(t) 0 για όλα τα t t 0. Σημ-1: Το 0 R n είναι προφανώς μία μη-παρατηρήσιμη κατάσταση (x(t 0 )=0 y(t) 0) Σημ-2: Μία μη-μηδενική, μη-παρατηρήσιμη κατάσταση είναι μη-διακριτή από το 0 R n Το ΓΧΑΣ είναι παρατηρήσιμο (observable) αν το x 0 =0 R n είναι η μοναδική μη-παρατηρήσιμη κατάσταση. Ορίζουμε τον πίνακα παρατηρησιμότητας (observability matrix): Ένα ΓΧΑΣ είναι ελέγξιμο αν και μόνο άν rank Q A, C n Στη γενική περίπτωση: Q R (n p) n. Άρα αρκεί n από τις np γραμμές να είναι γραμμικά ανεξάρτητες. C CA 2 Q Q A, C CA n 1 CA Αν έχουμε μόνο μία έξοδο από το σύστημα, τότε ο C έχει μόνο μία στήλη και p=1 οπότε Q R n n (τετράγωνικος), και αρκεί να ελεγχθεί αν ο Q είναι μη-ιδιόμορφος (μημηδενική ορίζουσα). Οι μη-παρατηρήσιμες καταστασεις x 0 του ΓΧΑΣ βρίσκονται στο null space του Q. Δηλαδή ισχύει: Qx 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

Ορισμός & Συνθήκη Παρατηρησιμότητας Σχετικός με πολλά ζητήματα που άπτονται της παρατηρησιμότητας είναι ο πίνακας Observability Grammian για τον οποίο ισχύουν: T nn M. t : τετραγωνικός - συμμετρικός 0, t f M t0, t f T. x M t, 0 t 0 f x : θετικά ημι-ορισμένος. rank Q A, C n M t, t 0 t t f 0 f 0 Πως μπορούμε να βρούμε το x(t 0 )= x 0? Ισχύει ότι: x0 όπου: Απόδειξη: Δεδομένου ότι x 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 1... οπότε......και... Τό σύστημα ΔΕΝ είναι παρατηρήσιμο γιατί Κάνοντας το μετασχηματισμό ομοιότητας: Παίρνουμε το σύστημα : Q 0, rank Q 1, nullity Q 1 Παρατηρούμε ότι η έξοδος y(t) είναι. ανεξάρτητη από την z 1 (t), εξαρτάται. μόνο από την z 2 (t) η όποία είναι και. αυτή ανεξάρτητη από την z 1 (t) Η απόκριση μηδενικής εισόδου είναι που δείχνει ότι δεν μπορεί να ευρεθεί η z 1 (0). Από την Qx 0 0παρατηρούμε ότι η είναι μη παρατηρήσιμη κατάσταση. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 2 Επομένως 0 1 1 3 0 rank Q = 2, nullity Q = 1 Κάθε μη-μηδενική λύση της Qx 0 0 θα είναι μη-μηδενική, μηπαρατηρήσιμη κατάσταση. Μία τέτοια λύση που μπορεί να ληφθεί από την., με. τον άνω τριγωνικό πίνακα, είναι x0 2 3 1 T. Τα βαθμωτά πολλαπλάσια της, είναι μη-μηδενικές & μη-παρατηρήσιμες καταστάσεις. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Παρατηρητές 29

Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 3 Αυτό το ΓΧΑΣ είναι μία. υλοποίηση της ΣΜ Επομένως Παρατηρήσεις: Ο πίνακας Q είναι ανεξάρτητος από τον αριθμητή της ΣΜ Είναι Q 1, επομένως η υλοποίηση είναι πάντα παρατηρήσιμη ανεξάρτητα από τον παρονομάστή. Αύτό, όπως θα αποδειχθεί, ισχύει για κάθε n. Ο πίνακας παρατηρησιμότητας Q της εν λόγω υλοποίησης είναι ίδιος με τον πίνακα ελεγξιμότητας P της παρακάτω υλοποίησης (την έχουμε εξετάσει στο παρελθόν) της ΣΜ. Πως σχετίζονται αυτά τα δύο (2) συστήματα? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 4 1 2 3 4 6 rank Q 5 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

Παρατηρησιμότητα : Παράδειγμα - 5 rank Q 5 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

Δυαδικότητα (Duality) : Ελεγξιμότητα & Παρατηρησιμότητα dual ΣΜ: ΣΜ- SISO: T H s Gs 1 1 H s C si A B D H s G s G s B si A C D T T T T Ελεγξιμότητα: Παρατηρησιμότητα: P A, B T T P A, C Q A, C T T Q A, B Κάθε ένα απο τα συστήματα είναι: Ελέγξιμο, αν και μόνο αν το δυαδικό του είναι Παρατηρήσιμο: Παρατηρήσιμο, αν και μόνο αν το δυαδικό του είναι Ελέγξιμο:, T T, T P A B Q A B, T T, T Q A C P A C Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

Παρατηρησιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Το ΓΧΑΣ υπο το μετασχηματισμό ομοιότητας μετατρέπεται (δηλ. εμφανίζεται «υπό άλλη οπτική γωνία») στο... όπου. Προφανώς Αν η x 0 είναι μη παρατηρήσιμη κατάσταση τότε t t 0 και από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι η z 0 είναι μη παρατηρήσιμη. Ισχύει και το αντίστροφο. Τα δύο προηγούμενα συμπεράσματα οδηγουν στο : Το μετασχηματισμένο σύστημα είναι παρατηρήσιμο αν και μονο αν το αρχικό σύστημα είναι παρατηρήσιμο. Συμπέρασμα: Η παρατηρησιμότητα είναι αμετάβλητη ως προς τους μετασχηματισμούς ομοιότητας. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

Παρατηρησιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Δεδομένου ότι Τότε, και (εύκολα αποδεικνυόμενη) Οπότε (δεδομένου ότι ο Τ είναι τετραγωνικός & μηιδιόμορφος) Για την Observability Grammian ισχύει: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Παρατηρήσιμες Υλοποιήσεις Συνάρτησης Μεταφοράς Έστω ότι τα 2 SISO ΓΧΑΣ είναι n-διάστατες παρατηρήσιμες υλοποιήσεις της ίδιας ΣΜ. nn Λήμμα: Αν Q τότε 1 Q1 A1, C1, Q2 Q2 A2, C2 x t T x t όπου 1 2 T Q Q 1 1 2 Κανονική Μορφή τύπου-παρατηρητή (Observer Canonical Form - OCF) Ξεκινάμε από τη θεώρηση της Σ.Μ που μας απασχόλησε για την μελέτη του CCF αλλά και πρόσφατα (σε παράδειγμα). Ας θεωρήσουμε τη δομή OCF : θα κατανοήσουμε τίς ιδιότητες της που οδηγούν και στην σχετική ονοματολογία... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Η OCF είναι το ΓΧΑΣ Επομένως η OCF είναι δυαδική της CCF και, επειδή είναι SISO, θα έχουν τις ίδιες συναρτήσεις μεταφοράς (σύμφωνα με τα περί δυαδικότητας...). Επειδή όμως η CCF είναι υλοποίηση της H(s), το ίδιο θα ισχύει και για την OCF. Παρομοίως, η εξ ορισμού ελεγξιμότητα της CCF εξασφαλίζει (σύμφωνα με τα περί δυαδικότητας...) την παρατηρησιμότητα της OCF: T Δυαδικότητα QOCF P CCF QOCF PCCF Συμμετρικότητα του P CCF T PCCF PCCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

Επομένως Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Με βάση το πρόσφατο Λήμμα, από μία ελέγξιμη υλοποίηση της ΣΜ με κατάσταση x(t) και πίνακα παρατηρησιμότητας Q μπορούμε να λάβουμε την OCF μορφή με χρήση του μετασχηματισμού 1 1 1 x t T x t T Q Q Q Q OCF OCF OCF OCF OCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

Παρατηρησιμότητα & Μετ/σμοί Συντεταγμένων: Ειδικές Περιπτώσεις Παράδειγμα: ΧΠ: 3 2 Ιδιοτιμές: +2i, -2i, -2 si A s 2s 4s 8 1 T Q Q Q Q 1 1 OCF OCF OCF Το σύστημα είναι παρατηρήσιμο οπότε έχει νόημα ο μετασχηματισμός: Δεδομένου ότι βρήκαμε σε παρελθόν παράδειγμα ότι Είναι φανερό ότι η OCF μορφή είναι δυαδική της CCF. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39

Q DCF Παρατηρησιμότητα & Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων : SISO - Διαγωνοποίηση 0 0 k 1 k k 0 0 k k k DCF DCF 1 2 n 11 22 nn Για τη DCF η 2 εξέταση της k παρατηρησιμότητας 0 0 0 n μέσω του σχετικού πίνακα προαπαιτεί τη εύρεση όρων του τύπου: Επομένως: C A c c c c c c n T n c1 c2 cn c1 c1 1 c1 1 c1 0 0 1 1 1 n n 11 22 n n 2 22 22 0 2 0 1 2 2 n 1 1 1 c1 0 0 n c c c c c c c 1 2 2 0 c2 0 n n n n n c1 1 c22 cnn cn cnn cn n n 0 0 0 cn 1 n n 1 n n 0 0 0 cn Ως γνωστόν ο Vandermonde πίνακας είναι μη-διόμορφος εφόσον οι ιδιοτιμές λ i (του πίνακα Α) είναι διακριτές. Κατά συνέπεια, η (μη) παρατηρησιμότητα της Διαγώνιας Κανονικής Μορφής πιστοποιείται με την θεώριση των c i : εφόσον κανένα c i δεν είναι (κάποιο, είναι) μηδενικό το σύστημα (δεν) είναι ελέγξιμο. Άρα: Αναγκαία και ικανή συνθήκη για την παρατηρησιμότητα ενός διαγωνοποιήσιμου ΓΧΑΣ είναι: οι ιδιοτιμές του Α που εμφανίζονται επί της διαγωνίου του A DCF να είναι διακριτές και T T να μήν υπάρχει μηδενικό στοιχείο του C DCF Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40

Μη-Παρατηρήσιμες Εξισώσεις Κατάστασης T Αν για ένα ΓΧΑΣ ισχύει : rank C T A T C T A n C T q n τότε υπάρχει μετασχηματισμός έτσι ώστε το μετασχηματισμένο σύστημα να είναι της μορφής T με το ζεύγος να ορίζει ένα q-διάστατο ελέγξιμο σύστημα. Απόδειξη: Από τη δυαδικότητα, T T, T T T Q A C P A C και, Με χρήση προηγούμενων αποτελεσμάτων, διαγωνοποιούμε το δυαδικό rank P A C q n όπου ελέγξιμο ( q-διάστατο). Παίρνουμε τις ανάστροφες σχέσεις:. και κάνουμε τις αντιστοιχίσεις: Η δυαδικότητα μας οδηγεί στο ότι,από το οποίο καταλήγουμε στο ζητούμενο αποτέλεσμα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 41

Εστω το ΓΧΑΣ Το δυαδικό του ευρέθη μη πλήρως ελέγξιμο, γιατί ο πίνακας ελεγξιμότητας του δυαδικού έχει τάξη 2. Επιλέξαμε τις 2 πρώτες στήλες (γραμμικά ανεξάρτητες) του πίνακα ελεγξιμότητας και προσθέτοντας το «3 ο διάνυσμα της κανονικής βασης», πήραμε τον πίνακα μετασχηματισμού... Αυτός οδηγεί στο μετασχηματισμό Που δίνει Μη-Παρατηρήσιμες Εξισώσεις Κατάστασης : Παράδειγμα Αυτό υποδεικνύει ότι το σύστημα έχει μία μη-παρατηρήσιμη κατάσταση επειδή το ζεύγος είναι παρατηρήσιμο. -3 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Παρατηρητές 42

5. Ευστάθεια Συστημάτων Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 43

Εισαγωγή στην Ευστάθεια Η Ευστάθεια (Stability) θα προσεγγισθεί από 2 «κατευθύνσεις» : Εσωτερικα (Internal Stability): Αναλύεται η συμπεροφορά της «απόκρισης μηδενικής εισόδου» Εξωτερικά (External /input-output Stability): Εξετάζεται αν η «απόκριση μηδενικής αρχικής κατάστασης» είναι φραγμένη στη περίπτωση που το σύστημα διεγείρεται από φραγμένο σήμα εισόδου (Bounded Input Bounded Output Stability - BIBO). Οι 2 παραπάνω προσεγγίσεις θα συσχετισθούν. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 44

Εσωτερική Ευστάθεια Είναι ενδιαφέρον να εξετάσουμε την εσωτερική ευστάθεια θεωρόντας μιά πιο γενική κατηγορία από τα ΓΧΑΣ, δηλαδή ένα n-διάστατο, μη-γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο σύστημα n Ένα σημείο x είναι σημείο ισορροπίας (equilibrium point) του συστήματος αν ισχύει f x Παράδειγμα: θεώρούμε το εκκρεμές που διέπεται από Δ.Ε. της μορφής και το οποίο μετασχηματίζεται σε x2 x2 0 f x x Αυτό σημαίνει ότι τα Σημεία Ισορροπίας (ΣΙ) : (μαθηματικά) είναι άπειρα, τον αριθμό, έχουν όλα μηδενική γωνιακή ταχύτητα, και 0 k sin x1 sin x1 0 0 ευρίσκονται στο κατώτερο και ανώτερο σημεία της τροχιάς. Από φυσικής απόψεως, υπάρχουν 2 ΣΙ: ένα στο κατώτερο και ένα στο ανώτερο σημείο της τροχιάς. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 45

Εσωτερική Ευστάθεια Η ύπαρξη πολλών (για ένα μηγραμμικό σύστημα), απομονωμένων ή μη, ΣΙ μας οδηγεί στην θεώρηση της ευστάθειας γύρω από κάθε ΣΙ. Επομένως, αναφερόμαστε στην ευστάθεια γύρω από συγκεκριμένο ΣΙ και όχι σε αυτή ενός συστήματος Στο διπλανό σχήμα, αν θεωρήσουμε ως κατάσταση μόνο την θέση (και όχι και την ταχύτητα) και την ύπαρξη τριβών, τότε οι περιπτώσεις: a. Πρόκειται περί ασταθούς (unstable) ΣΙ. Η παραμικρή διαταραχή θα το οδηγήσει μακράν του ΣΙ. b. Πρόκειται περί ευσταθούς (stable) ΣΙ. Η όποια φραγμένη διαταραχή το οδηγεί σε θέση φραγμένη, σε σχέση με το ΣΙ. c. Πρόκειται περί ασυμπτωτικά ευσταθούς (asymptotically stable) ΣΙ. Η όποια φραγμένη διαταραχή το οδηγεί εν τέλει στο ΣΙ. (αν δεν υπάρχει τριβή?) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 46

Τύποι Ευστάθειας Με κατάλληλη μεταφορά αξόνων, μπορούμε γενικά να θέσουμεοιοδήποτε ΣΙ στην αρχή των αξόνων και να αναφερόμαστε σε ΣΙ x 0. Το Σημείο Ισορροπίας x 0 του συστήματος xt f xt x0 x είναι: 0 Ευσταθές (Stable) αν 0 x xt t 0 Ασταθές (Unstable) αν δεν είναι ευσταθές. Ασυμπτωτικά Ευσταθές (Asymptotically Stable) αν 0, T T, x0. x t t 0 x t t T δηλαδή αν είναι ευσταθές και lim xt 0 0 Συνολικά Ασυμπτωτικά Ευσταθές (Globally Asymptotically Stable) αν., M 0 T T, M x0 M xt t T δηλαδη είναι ευσταθές και lim xt 0 t γιά κάθε αρχική κατάσταση. t Εκθετικά Ευσταθές (Exponentially Stable) αν,, 0 x0 x t e x0 t 0 Συνολικά Εκθετικά Ευσταθές (Globally Exponentially Stable) αν t., 0 xt e x0 t 0 γιά κάθε αρχική τιμή x. 0 t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 47

Τύποι Ευστάθειας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 48

Τύποι Ευστάθειας : ΓΧΑΣ Για το ΓΧΑΣ το προφανές ΣΙ είναι Αυτό το Σημείο Ισορροπίας είναι: Ευσταθές αν 0 x t x0 x 0 x0, t 0 Ασταθές αν δεν είναι ευσταθές. (Συνολικά) Ασυμπτωτικά Ευσταθές αν 0 T T 0 x t x0 x 0 x0, t T t (Συνολικά) Εκθετικά Ευσταθές αν, 0 x t e x x 0 x, t 0 Παρατηρούμε ότι At Προφανώς x0 ei x t e At (δηλ. η i-th στήλη τού πίνακα e ). Γι αυτή i την i-th στήλη, από τούς ορισμούς : της ευστάθειας, συνάγεται το «φραγμένον» της, και της ασυμπτωτικής ευστάθειας, συναγεται ότι τείνει στο μηδενικό διάνυσμα. Επομένως αν το ΣΙ : είναι Ευσταθές: τότε κάθε στοιχείο της i-th στήλης είναι φραγμένο, και Ασυμπτωτικά Ευσταθές: τότε κάθε στοιχείο της i-th στήλης τείνει ασυμπτωτικά στο μηδεν. At Τα ανωτέρω ισχύουν i και επομένως για κάθε στοιχείο του e. Εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο... 0 0 At 0 0 x t A x t x t x x t e x Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 49

Ανάλυση της Ευστάθειας ΓΧΑΣ Ως γνωστόν ΑR n Τ R n 1, Τ 0 J T AT όπου ο J είναι blockδιαγώνιος με κάθε block να είναι της μορφής : Κάθε τέτοιο block σχετίζεται με μία ιδιοτιμή λ. A t J t. A T J T e T e T 1 1 Jt J block-διαγώνιος e block-διαγώνιος με blocks μορφής: Ενα Jordan block που σχετίζεται με μία ιδιοτιμή λ είναι βαθμωτό (μονοδιάστατο) όταν και μόνο όταν οι σχετικές γεωμετρικές και αλγεβρικές πολλαπλότητες της ιδιοτιμές είναι ίσες. Σε αυτή τη περίπτωση: Jk t t Jk, e e Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 50

Ευστάθεια ΓΧΑΣ Το Σ.Ι. του είναι: Ευσταθές: αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του Α έχουν μη θετικό πραγματικό τμήμα και γιά κάθε φανταστική ιδιοτιμή η γεωμετρική και αλγεβρική πολλαπλότητα είναι ίσες. (Συνολικά) Ασυμπτωτικά Ευσταθές : αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του Α έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό τμήμα. Στο διπλανό σχήμα, οι ιδιοτιμές : «1» : έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό τμήμα και αντιστοιχούν σε ασυμπτωτικά ευσταθές σύστημα «2» : είναι μη επαναλαμβανόμενες, επόμένως η γεωμετρική και αλγεβρική πολλαπλότητα τους είναι ίσες (=1) και αντιστοιχούν σε ευσταθές σύστημα «3» : έχουν θετικό πραγματικό τμήμα και αντιστοιχούν σε ασταθές σύστημα Στις περιπτώσεις που θέλουμε να αντιδιαστείλουμε την Ασυμπτωτική Ευστάθεια από την Ευστάθεια αναφερόμαστε στη δεύτερη ως «οριακή ευστάθεια» (marginal stability). Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 51

Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια Βασική Ιδέα: σύνδεση των εννοιών ευστάθειας με την ενέργεια... Έστω σύστημα του οποίου η συνολική ενέργεια ορίζεται ως συνάρτηση της κατάστασής του Αν Τότε Αν Τότε Το ΣΙ αντιστοιχεί σε (τοπικό) ελάχιστο της συνάρτησης ενέργειας, και Η ενέργεια δεν αυξάνει κατά την εξέλιξη οιασδήποτε πορείας που αρχίζει στην γειτονιά του ΣΙ Η πορεία παραμένει κοντά στο ΣΙ, δηλ. έχουμε ευσταθές ΣΙ. Το σύστημα απορροφά ενέργεια κατά την εξέλιξη οιασδήποτε πορείας που αρχίζει στην γειτονιά του ΣΙ, και επομένως η ενέργεια συγκλίνει σε τοπικό ελάχιστο έχουμε ασυμπτωτικά ευσταθές ΣΙ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 52

Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα Στο παρελθόν είδαμε τη ΔΕ που περιγράφει το φυσικο φαινόμενο Προφανώς η θεώριση : f (t) = 0 οδηγεί την αρχική ΔΕ στην μορφή Συνολική Ενέργεια Δυναμική Ενέργεια - Ελατήριο Κινητική Ενέργεια - Μάζα, 0 0 0,, 0 0 0 T T T T T E x x x x E x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Η εξέλιξη της ενέργειας κατά την τροχιά του συστήματος είναι Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 53

Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα Αν c 0 de dt 0 E const. που σημαίνει ότι έχουμε συνεχή εναλλαγή μεταξύ κινητικής & δυναμικής ενέργειας. Επομένως Υπενθυμίζουμε ότι για το ΓΧΑΣ το προφανές ΣΙ. είναι Ευσταθές αν 0 xt x0 x 0 x0, t 0 Παράμετροι: m = 1 kg, k = 10 N/m, c = 0 x 0 = [1 2] T λ 1,2 = ± j 3.16 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 54

Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα 2 Αν c 0 τότε, επειδή de dt cx2 t, x2 t 0 x. Επίσης (από την 2 η 1 t x2 t 0 x1 t y0 const. εξ. Καταστ.) Αυτό συνεπάγεται ότι η σχετική τροχιά αντιστοιχεί στο ΣΙ: xt x Αν το x t δεν είναι μηδενικό καθόλη τη διάρκεια μίας τροχιάς, τότε Αν καθόλη τη διάρκεια μίας τροχιάς, τότε (από την 1 η εξ. καταστ.) k x1 t k y0 0 y0 0 0 0 T 2 Η σύγκλιση της Ενέργειας στο μηδέν συνεπάγεται Επίσης, ισχύει de dt 0 E 0 t 2 min km, max km, T 0 E x t, x t E x 0, x 0 t T 1 2 1 2 που αποδεικνύει ότι το ΣΙ ασυμπτωτικά ευσταθές x x t 0 0 T είναι c=1 N s/m λ 1,2 = - 0.5 ± j 3.12 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 55

Ενεργειακή Προσέγγιση στην Ευστάθεια : Παράδειγμα 2 Αν c 0 τότε, επειδή de dt cx2 t, Αν x καθόλη τη διάρκεια μίας τροχιάς, τότε (από την 1 η εξ. καταστ.) 2 t 0 x. Επίσης (από την 2 η 1 t x2 t 0 x1 t y0 const. εξ. Καταστ.) Αυτό συνεπάγεται ότι η σχετική τροχιά αντιστοιχεί στο ΣΙ: xt x 0 0 T Αν το x δεν είναι μηδενικό καθόλη τη διάρκεια μίας τροχιάς, τότε 2 t de dt 0 Μπορεί να αποδειχθεί ότι οιαδήποτε αρχική συνθήκη πριν της μηδενικής οδηγεί σε αποκλίνουσα τροχιά. c= - 1 N s/m λ 1,2 = + 0.5 ± j 3.12 k x t k y 0 y 0 1 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 56

Ανάλυση Ευστάθειας κατά Lyapunov Βασική Ιδέα: Θεώριση, όπως και προηγουμένως, της εξέλιξης μιας συνάρτησης - που μοιάζει με ενέργεια του συστήματος - επι της τροχιάς του συστήματος. Για το σύστημα θεωρούμε μία συνάρτηση n V. : που είναι θετικά ορισμένη σε μία τουλάχιστον γειτονιά του 0 ΣΙ, δηλ. 0 V x 0 x 0, V x 0 x 0 x x και VC δηλ. παντού στο πεδίο ορισμού της είναι συνεχώς παραγωγίσιμη x1 x V V V V V V V V,,, n n x x x x x xn x x xn 2 x V x x x V x x x x x x x x x x x x x f x 1 2 1 2 1 2 n 1 2 1 n Ευθεία Μέθοδος Lyapunov: είναι μία (μόνο) ικανή συνθήκη. Το ΣΙ είναι: Ευσταθές, αν η Vx είναι Lyapunov, δηλ. η Vx είναι αρνητικά ημιορισμένη σε μία τουλάχιστον γειτονιά του ΣΙ, δηλ. 0V x 0 x x Ασυμπτωτικά Ευσταθής, αν η Vx είναι αρνητικά ορισμένη σε μία τουλάχιστον γειτονιά του ΣΙ, δηλ. 0V x 0 x x Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 57

Ανάλυση Ευστάθειας κατά Lyapunov : ΓΧΑΣ Στη περίπτωση ΓΧΑΣ αν υιοθετηθεί ως υποψήφια n T Lyapunov η τετραγωνική μορφή V x x P x pij xi x j, τότε η γενική i, j1 μορφή της χρονικής παραγώγου της γίνεται : V x Παράρτημα V x x f x 2x T P Ax x T PAx x T PAx x T A T Px x T PAx x T A T P P A x Επομένως,σύμφωνα με τα προηγούμενα, για να είναι αυτή η τετραγωνική T μορφή αρνητικά ορισμένη θα πρέπει A P PA : αρνητικά ορισμένος. nn T Θεώρημα: Q : Q Q 0η Μητρωική Εξίσωση Lyapunov T (Lyapunov Matrix Equation -LΜΕ) A P P A Q έχει μία μοναδική T λύση PP. 0, αν και μόνο αν Rei 0 i A nn Ο πίνακας P είναι συμμετρικός επομένως θα εμπεριέχει 1+2+...+n = = n(n+1)/2 άγνωστους παράγοντες. nn Αυτοί, επειδή ο πίνακας Q είναι συμμετρικός, θα ευρεθούν από τις 1+2+...+n = n(n+1)/2 ανεξάρτητες εξισώσεις που υπάρχουν στην LME. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 58

Ανάλυση Ευστάθειας ΓΧΑΣ κατά Lyapunov : Παράδειγμα Αν τότε, έχουμε δηλαδή 2 (2+1) / 2 = = 3 αγνώστους. Αν Q = Ι, η LME είναι : T A P P A Q Έχουμε δηλαδή 2 (2+1) / 2 = 3 αγνώστους, τους p 11, p 12, p 22 που ευρίσκονται από την «αναδόμιση» της LME ως: Καταλήγουμε έτσι στον Το κριτήριο Sylvester δίνει ότι P > 0 γιατί Επομένως ο Α είναι ασυμπτωτικά ευσταθής, πράγμα που πιστοποιείται από τό ότι το έχει Χ.Ε.: και ιδιοτιμές Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 59

Εκθετική Ευστάθεια ΓΧΑΣ Παρόλο που στη γενική (μη-γραμμική) περίπτωση η εκθετική και η ασυμπτωτική ευστάθεια ΔΕΝ είναι ισοδύναμες, στη περίπτωση των ΓΧΑΣ είναι. Αυτό είναι αναμενόμενο γιατί αν ο πίνακας Α έχει ιδιοτιμές με αρνητικό πραγματικό μέρος, αυτό αντιστοιχεί σε εκθετική σύγκλιση στο 0. T T T Αν V x x P x τότε V x x A P P A x και αν στην LME T A. P P A Q επιλέξουμε Q = I τότε με χρήση της ανισότητας Rayliegh-Ritz T 1 T 1 1 max P max P max P Η ΔΕ V x x x x P x V x w t V x t V x t 0 t 0 έχει τη μοναδική λύση Μη-θετικός όρος Και κατά συνέπεια Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 60

Εκθετική Ευστάθεια ΓΧΑΣ Εφαρμόζοντας και πάλι την ανισότητα Rayliegh-Ritz Επειδή P 0 P 0 min T και x x x x 2 Διαιρώντας την ανίσωση κατά μέλη με P παίρνουμε min 0 Η Εκθετική Ευστάθεία απαιτεί Μέχρι στιγμής έχουμε προσεγγίσει την «εσωτερική ευστάθεια»: Αναλύθηκε η συμπεριφορά της «απόκρισης μηδενικής εισόδου» Τώρα θα προσεγγίσουμε την «εξωτερική ευστάθεια» : Εξετάζεται αν η «απόκριση μηδενικής αρχικής κατάστασης» είναι φραγμένη αν το σύστημα διεγείρεται από φραγμένο σήμα εισόδου. t, 0 x t e x x 0 x, t 0 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 61

Ευστάθεια τύπου: «Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου» Ευστάθεια Φραγμένη Εισόδου Φραγμένης Εξόδου (Bounded Input Bounded Output BIBO Stability): είδος εξωτερικής ευστάθειας Εξετάζεται αν η «απόκριση μηδενικής αρχικής κατάστασης» είναι φραγμένη αν το σύστημα διεγείρεται από φραγμένο σήμα εισόδου. Ορισμός: Το ΓΧΑΣ είναι ΒΙΒΟ ευσταθές αν υπάρχει πεπερασμένη σταθερά η τέτοια ώστε για κάθε είσοδο u(t) η έξοδος ικανοποιεί την Max/sup Θεώρημα: Το ΓΧΑΣ είναι ΒΙΒΟ ευσταθές αν και μόνο αν ο πίνακας κρουστικής απόκρισης At H t C e B D t. ικανοποιεί την ανίσωση Νόρμες Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 62

Παράδειγμα: Ευστάθεια Ασυμπτωτική και ΒΙΒΟ Εστω το ΓΧΑΣ : που έχει ΧΠ: Το ΓΧΑΣ δεν είναι ασυμπτωτικά ευσταθές Αυτό μπορεί να φανεί και από τον πίνακα μεταβατικής απόκρισης: Και για την ΣΜ : Η απαλοιφή των πόλων οφείλεται στο ότι το σύστημα είναι... ΒΙΒΟ Ευσταθές Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 63

Παράδειγμα: Ευστάθεια Ασυμπτωτική και ΒΙΒΟ T B 1 1 1 1 P A, B 0 1 1 1 rank P 1 A 1 0 0 1 rank Q 2 Q A, C C 0 1 1 0 Μη (πλήρως) Ελέγξιμο Παρατηρήσιμο Επειδή έγινε απαλοιφή του ασταθούς πόλου, ενώ το σύστημα είναι εσωτερικά ασταθές εμφανίζεται να είναι BIBO-ευσταθές... At x zi zi 0 Αν τότε 0 1 1 T y t C x t C e x e t Επίσης αν u(t)=1 τότε 1 1 1 Yzs s H s yzs t 1 e s s s 1 Το οποίο είναι φανερό ότι αποκλείνει, επειδή το σύστημα είναι εσωτερικά ασταθές... Προσοχή λοιπόν στην απαλοιφή πόλων... t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 64

Σχέση Ασυμπτωτικής και ΒΙΒΟ Ευστάθειας Θεώρημα: Για το ΓΧΑΣ : 1. Ασυμπτωτική ευστάθεια πάντοτε συνεπάγεται ΒΙΒΟ-ευστάθεια. 2. Εάν το σύστημα είναι «ελάχιστης παράστασης» (minimal) τότε η ΒΙΒΟευστάθεια συνεπάγεται ασυμπτωτική ευστάθεια. Η έννοια του minimality σχετίζεται με την απαλοιφή πόλων-μηδενιστών, κάτι που προκαλεί πρόβλημα ιδιαίτέρως όταν είναι ασταθείς... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 65

Παράρτημα: Θετικά Ορισμένοι Πίνακες T Η τετραγωνική μορφή V x x P x pij xi x j είναι θετικά ορισμένη n i, j1 (positive definite) για κάθε x αν και μόνο αν ο πίνακας P είναι ένας θετικά ορισμένος συμμετρικός πίνακας (συμβολίζεται P > 0). O n n T P, P P (συμμετρικός) είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν έχει ιδιοτιμές πραγματικές και θετικές, δηλ. A, ή Κριτήριο Sylvester: ισχύει για τις υποορίζουσες 0 0 0 0 n i i Παρατηρούμε ότι αν τότε Ανισότητα Rayliegh- Ritza Ένας πίνακας Q είναι αρνητικά ορισμένος αν και μόνο αν ο πίνακας Q είναι θετικά ορισμένος Από τη δομή (τον ορισμό) της Vx συνάγεται ότι: V 2 x T P x T Αν P P τότε δεδομένου ότι η τετραγωνική μορφή είναι βαθμωτή, ισχύει: T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ T T T T T 66 x A P x x A P x x P A x

Παράρτημα: Maximum vs Supremum Ένα διανυσματικό «σήμα» (δηλ. συνάρτηση στο χρόνο) u(t) είναι φραγμένο άν υπάρχει πεπερασμένη, θετική σταθερά ν τέτοια ώστε u t t Αν υπάρχει ένα τέτοιο ανω φράγμα, το ελάχιστο άνω φράγμα (supremum) αναπαρίσταται ως Προφανώς, αν δεν υπάρχει ένα τέτοιο φράγμα, τότε Πρέπει να επισημανθεί η σαφής διάκριση μεταξύ supremum και maximum της u(t) : Στο πεδίο ορισμού της 0, κάποια στιγμή πρέπει να πάρει ως τιμή το maximum αν υπάρχει, ενώ το supremumείναι απλά ένα όριο... 0 Παράδειγμα: Η συνάρτηση είμαι γνήσίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της 0, και δεν έχει maximum. Όμως: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ ΒΙΒΟ 67