Προσεγγιστικός υπολογισµός άνωσης και επαγόµενης αντίστασης µε θεωρία φέρουσας γραµµής.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ Υ ΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ιδάσκοντες: Γ Τριανταφύλλου και Κ Μπελιµπασάκης (kbel@fluidmechntuagr) Ροές µε δυναµικό σε δύο και τρεις διαστάσεις Χρήση µιγαδικών συναρτήσεων, θεωρήµατα Blasius ιδιάστατη ροή γύρω από υδροτοµές Εξισώσεις στροβιλότητας Νόµοι των στροβίλων Τριδιάστατη ροή γύρω από πτέρυγα: ίνες ακροπτερυγίων, επαγόµενη αντίσταση Προσεγγιστικός υπολογισµός άνωσης και επαγόµενης αντίστασης µε θεωρία φέρουσας γραµµής υνάµεις σε επιταχυνόµενα σώµατα Γραµµική θεωρία κυµατισµών στην επιφάνεια της θάλασσας Απλοί αρµονικοί κυµατισµοί, εξίσωση διασποράς, ενέργεια κυµατισµών Τρισδιάστατα κύµατα και γενική κίνηση της θάλασσας 4

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ -- Θεµελιώδη πεδιακά µεγέθη Βασικές παραδοχές { } Το υλικό πεδίο ροής { δ m} = δ m ( t ), D( t) και άρα διέπεται από τους γενικούς νόµους της µηχανικής Κάθε υλικό στοιχείο, χαρακτηρίζεται από - Την ταχύτητα του U = U( r;t ) = U ( x, y,z;t ), - Την πυκνότητά του ρ = ρ( r ;t ) = ρ( x, y,z;t ), και άλλες ιδιότητες, οι οποίες δεν θα µας απασχολήσουν εδώ r r, ως σύνολο υλικών στοιχείων, είναι ένα µηχανικό σύστηµα Πρέπει να τονισθεί ότι η ταχύτητα U( r ;t ), η πυκνότητα ρ( r ;t ) κλπ αναφέρονται (από φυσική άποψη) στο υλικό σηµείο δ m r ( t ), και όχι στο γεωµετρικό σηµείο r Γενικώς, πάνω στα υλικά στοιχεία αναπτύσσονται δυνάµεις µε ένταση (ανά µονάδα µάζας) F = F ( r;t ) = F ( x, y,z;t ) ολ ολ ολ Οι δυνάµεις αυτές αποτελούνται τόσο από εξωτερικές δυνάµεις (ασκούµενες από διάφορα αίτια ανεξάρτητα του ρευστού), όσο και από εσωτερικές δυνάµεις, οφειλόµενες στην αλληλεπίδραση των υλικών στοιχείων του ρευστού: 5

Fολ ( r;t ) = Fεξ ( r;t ) + Fεσ ( r ;t ) Συνήθως στη ρευστοµηχανική λαµβάνουµε υπ όψιν µόνο την επιφανειακή αλληλεπίδραση των υλικών στοιχείων, οπότε οι εσωτερικές δυνάµεις εκφράζονται µε τη βοήθεια του τανυστή των τάσεων σ = σ ( r ;t ) = σ ( x, y,z;t ), i,j = 1,, 3 ij ij ij, σε κάθε σηµείο του γεωµετρικού πεδίου ροής Οι γενικές εξισώσεις κίνησης οποιουδήποτε ρευστού διατυπώνονται µε τη βοήθεια των ανωτέρω (και, σε ορισµένες περιπτώσεις, και άλλων) πεδιακών µεγεθών, και εκφράζουν τους ακόλουθους γενικούς φυσικούς νόµους: - Ισολογισµό της µάζας - Ισολογισµό της ορµής - Ισολογισµό της ενέργειας - Ισολογισµό της στροφορµής - Ισολογισµό (ή ρυθµό αύξησης) της εντροπίας του κάθε υλικού στοιχείου Πέραν των ανωτέρω, απαιτούνται επίσης και - Καταστατικές εξισώσεις οι οποίες συνδέουν τις παραµορφώσεις (ή/και τους ρυθµούς των παραµορφώσεων) των υλικών στοιχείων µε τις αναπτυσσόµενες εσωτερικές δυνάµεις, δηλαδή µε τον τανυστή των τάσεων σ ij 6

Bασικές παραδοχές Οι βασικές παραδοχές, οι οποίες θα καθορίσουν τη µορφή των εξισώσεων κίνησης του ρευστού που θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια, είναι οι ακόλουθες: Το ρευστό θεωρείται - Υγρό, και άρα µπορεί να έχει ελεύθερη επιφάνεια, - Ασυµπίεστο, και µάλιστα έχει σταθερή πυκνότητα, - Μη-συνεκτικό, οπότε οι εσωτερικές δυνάµεις οφείλονται µόνο σε ορθές τάσεις, δηλαδή σ ij = pδ ij, όπου δ ij είναι το δέλτα του Kronecker Η κυριότερη συνέπεια των ανωτέρω παραδοχών είναι ότι Οι θερµοδυναµικές ιδιότητες του ρευστού (θερµοκρασία, εντροπία) αποσυζεύγνυνται από τις µηχανικές ιδιότητές του, και δεν χρειάζεται πλέον να ληφθούν υπ όψιν Επίσης 7

- Ο ισολογισµός της ενέργειας αναφέρεται µόνο στη µηχανική ενέργεια, και είναι συνέπεια των εξισώσεων της ορµής (και όχι ανεξάρτητη εξίσωση) - Ο ισολογισµός της στροφορµής ισχύει ταυτοτικά - Οι παραδοχές του ασυµπίεστου και του µη-συνεκτικού αποτελούν καταστατικές παραδοχές, οι οποίες υποκαθιστούν τις καταστατικές εξισώσεις Εποµένως, οι φυσικές εξισώσεις που αποµένουν να χρησιµο-ποιηθούν εν προκειµένω είναι µόνο οι εξής δύο: - Ισολογισµός της ορµής, και - Ισολογισµός της µάζας, των υλικών στοιχείων του ρευστού Αντιστοίχως, τα πεδιακά µεγέθη τα οποία ενδιαφέρουν και εµπλέκονται στις εξισώσεις αυτές είναι επίσης δύο: - Η ταχύτητα U = U( r;t ) = ( u( r;t ),v( r;t ),w( r ;t )), και - Η πίεση p= p( r ;t ) Τέλος, όσον αφορά τις εσωτερικές δυνάµεις (ανά µονάδα όγκου του ρευστού) έχουµε πλέον F ( r;t ) = p( r ;t ) Fολ( r;t ) = p( r;t ) + F( r ;t ) εσ 8

Γραµµές ροής του πεδίου ροής και τροχιές των υλικών στοιχείων του υγρού Μία γραµµή γ, κειµένη εντός του πεδίου ροής σε µια δεδοµένη χρονική στιγµή t o, θα λέγεται γραµµή ροής αν, σε κάθε σηµείο r αυτής ( γ ) Ο ανωτέρω ορισµός οδηγεί στη σχέση d γ U( r ;t ), r, το διάνυσµα της πεδιακής ταχύτητας U = U( r ;t ) εφάπτεται στη γ όπου dγ είναι το στοιχειώδες τόξο επί της γ Η σχέση (1) γράφεται αναλυτικότερα στη µορφή dx dy dz = = u( x, y,z;t= t ) v( x, y,z;t= t ) w( x, y,z;t= t ) o o o Οι εξισώσεις (1 ) αποτελούν ένα σύστηµα δύο συνήθων διαφορικών εξισώσεων, µε τη βοήθεια των οποίων µπορούµε να εκφράσουµε δύο από τις τρείς πεδιακές µεταβλητές x,y,z, ως συναρτήσεις της τρίτης dy v( x, y( x ),z( x );t o ) dz w( x, y( x ),z( x );t o ) =, = dx u( x, y( x ),z( x );t ) dx u( x, y( x ),z( x );t ) o o 9

Εάν το πεδίο είναι µόνιµο, δηλαδή εάν U = U( r ) για κάθε t, τότε προφανώς οι γραµµές ροής είναι ανεξάρτητες του χρόνου Εάν το πεδίο είναι µη-µόνιµο, τότε οι γραµµές ροής αλλάζουν από χρονική στιγµή σε χρονική στιγµή Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις επιλύονται για κάθε χρονική στιγµή t, δηλαδή ο χρόνος θεωρείται ως µια παράµετρος από την οποία εξαρτώνται τόσο οι εξισώσεις, όσο και οι λύσεις τους: y= y( x;t ), z= z( x;t ) Σύµφωνα µε τα παραπάνω, οι γραµµές ροής δίδουν µια συνολική εικόνα του πεδίου ροής, σε κάθε χρονική στιγµή 10

Τροχιές υλικών στοιχείων Σε αντίθεση µε τα ανωτέρω, η τροχιά ενός υλικού στοιχείου του υγρού, αναφέρεται σε συγκεκριµένο υλικό στοιχείο (και όχι στο πεδίο ροής γενικά), και ορίζεται, όπως και στην κλασσική µηχανική, ως το σύνολο των διαδοχικών θέσεων του υλικού στοιχείου δ m r στο χώρο, καθώς εξελίσσεται η ροή Ο ανωτέρω ορισµός οδηγεί στην ακόλουθη εξίσωση της τροχιάς του υλικού στοιχείου dr ( ;t ) dt = U r, δ m r : όπου r = r ( t ) είναι η αναλυτική αναπαράσταση της τροχιάς Η εξίσωση γράφεται αναλυτικότερα ως εξής: dx( t ) dy( t ) = u( x( t ), y( t ),z( t );t ), = v( x( t ), y( t ),z( t );t ), dt dt dz( t ) = w( x( t ), y( t ),z( t );t ) dt Όταν η ροή είναι µόνιµη, οι τροχιές των υλικών στοιχείων του υγρού ταυτίζονται µε τις γραµµές ροής Όταν η ροή είναι µη-µόνιµη, τότε οι τροχιές είναι διαφορετικές από τις γραµµές ροής του πεδίου Πάντοτε όµως οι τροχιές των υλικών στοιχείων, εφάπτονται των γραµµών ροής που αντιστοιχούν στη χρονική στιγµή t= t o 11

1

Χρονικός ρυθµός µεταβολής φυσικών χαρακτηριστικών του πεδίου ροής Υλική παράγωγος Έστω a= a( r ;t ) = a( x, y,z;t ) ένα οποιοδήποτε βαθµωτό φυσικό µέγεθος (πχ πίεση), το οποίο αναφέρεται στο υλικό στοιχείο δ m r ( t ), δηλστο υλικό στοιχείο που κατέχει τη θέση r = ( x, y,z ), τη χρονική στιγµή t Ενδιαφερόµαστε να υπολογίσουµε το χρονικό ρυθµό µεταβολής του µεγέθους a( δ m r ( t )) Μετά πάροδο χρόνου δ t, το υλικό στοιχείο θα βρίσκεται στη θέση r+ δ r δ t δ m ( t ) δ m ( t+ δ t ) r r+ δ r 13

Κατά συνέπεια, ο ρυθµός µεταβολής του µεγέθους a( m ( t )) m στοιχείο δ ) θα δίδεται από τη σχέση δ r (αναφερόµενου στο συγκεκριµένο υλικό Da( r;t ) Dt a( δ m r+ δ r( t+ δ t ) a( δ m r( t )) = lim = δ t 0 δ t a( r+ δ r;t+ δ t ) a( r;t ) = lim = δ t 0 δ t 1 a( r;t ) a( r;t ) = lim a( r;t ) + δ r+ δ t+ a( r;t ), δ t 0δ t r t = i + j + k = όπου r x y z Παίρνοντας το όριο για δ t 0, η ανωτέρω σχέση γίνεται Da( r;t ) a( r;t ) dr a( r;t ) a( r;t ) = + = + U( r;t ) a( r;t ) Dt t dt r t 14

Από την τελευταία βλέπουµε ότι ο χρονικός ρυθµός µεταβολής βαθµωτών πεδιακών µεγεθών, αναφερόµενων στα υλικά στοιχεία του υγρού, προκύπτει µε εφαρµογή στο πεδιακό µέγεθος του διαφορικού τελεστή D( ) ( ) = + ( U( r ;t ) ) ( ) Dt t Ο διαφορικός τελεστής λέγεται υλική παράγωγος (material derivative) Ο χρονικός ρυθµός µεταβολής διανυσµατικού µεγέθους V = V( r ;t ), αναφερόµενου στα υλικά στοιχεία του υγρού, βρίσκεται εύκολα, είτε εφαρµόζοντας τη σχέση σε κάθε συνιστώσα του Το αποτέλεσµα είναι D V( r;t ) V( r;t ) = + ( U( r;t ) ) V( r ;t ) Dt t Μια πρώτη συνέπεια είναι ότι η επιτάχυνση του υλικού στοιχείου δ m r ( t ) δίνεται από τη σχέση D U( r;t ) U( r;t ) = + ( U( r;t ) ) U( r ;t ) Dt t 15

Εξισώσεις κίνησης ασυµπίεστου µη-συνεκτικού υγρού Οι θεµελιώδεις φυσικοί νόµοι που διέπουν την κίνηση του ασυµπίεστου, µη-συνεκτικού υγρού είναι: ο ισολογισµός της ορµής (εξισώσεις Euler), και ο ισολογισµός της µάζας (εξίσωση συνέχειας) Εξισώσεις Euler: προκύπτουν µε εφαρµογή του νόµου του Newton d r m d t F = σε κάθε υλικό στοιχείο του υγρού Εάν δv = δ xδ yδ z είναι ο όγκος του εξεταζόµενου υλικού στοιχείου (στοιχειώδους κύβου) και ρ η πυκνότητά του, τότε έχουµε DU ρδv = pδv + δv Dt F, όπου F είναι η συνολική εξωτερική δύναµη ανά µονάδα όγκου που ασκείται στο στοιχειώδη κύβο ιαιρώντας δια ρ παίρνουµε DU p F U p F = + + ( U ) U = + Dt ρ ρ, t ρ ρ Με τη βοήθεια της διανυσµατικής ταυτότητας ( a b ) = a ( b ) + b ( a ) + ( a ) b+ ( b ) a βρίσκουµε, θέτοντας a= b= U = + U U ( U ) ( U ) U και άρα U t 1 ( ) p F ρ ρ + U U U = + 16

F = ρ F( r ;t ) προκύπτουν 1 1 Στη συνέχεια θα υποθέσουµε ότι οι εξωτερικές δυνάµεις ανά µονάδα µάζας από ένα συντηρητικό πεδίο και άρα εκφράζονται µε τη βοήθεια ενός δυναµικού (δυναµικής ενέργειας) F( r;t ) ρ = Ω( r;t ) Ειδικότερα, για τη µοντελοποίηση και µελέτη των υδάτινων επιφανειακών κυµάτων θεωρούµε ότι οι εξωτερικές δυνάµεις προέρχονται αποκλειστικά από ένα οµογενές πεδίο βαρύτητας (g) ρ gz Ω = και άρα Ω = gk O νόµος διατήρησης της ορµής γράφεται λοιπόν στη µορφή U t 1 p ρ + U U ( U ) = Ω παραγωγή του Θεωρήµατος του Bernoulli 17

Εξίσωση συνέχειας Θεωρούµε ένα στοιχειώδη κύβο του υγρού ο οποίος, κατά τη χρονική στιγµή t, έχει πλευρές δ x( t ), δ y( t ), δ z( t ) και όγκο δv( t ) = δ x( t ) δ y( t ) δ z( t ) εδοµένου ότι δ m= ρδv( t ) και ρ = ρ = σταθερή, ο ισολογισµός (εξίσωση διατήρης) της µάζας εκφράζεται από τη σχέση ο D( ρδv ) Dt D( δv ) = 0 ή 0 Dt = Όµως, σύµφωνα µε τη φυσική έννοια της υλικής παραγώγου (βλ εδάφιο 4), θα είναι D( δv ) δv( t+ δ t ) δv( t ) lim Dt δ t 0 δ t =, + είναι ο όγκος του στοιχείου στο οποίο µετασχηµατίζεται ο αρχικός στοιχειώδης κύβος, µετά πάροδο χρόνου δ Σε πρώτη τάξη προσέγγισης ισχύει η σχέση όπου δv( t δ t ) t δv( t+ δ t ) = δ x( t+ δ t ) δ y( t+ δ t ) δ z( t+ δ t ), 18

Όµως, το µήκος των ακµών δ x, δ y, δ z, µεταβάλλεται αποκλειστικά και µόνο λόγω της διαφοράς των αντίστοιχων πεδιακών ταχυτήτων στα άκρα των ακµών Οι διαφορές αυτές δίνονται, σε πρώτη τάξη, από δ u u δ x x =, δυ = υ δ y y Με τη βοήθεια των ανωτέρω σχέσεων βρίσκουµε, δ w u u δ x( t + δ t ) = δ x( t ) + δ x( t ) δ t ( 1 δ t ) δ x( t ) x = + x, υ υ δ y( t+ δ t ) = δ y( t ) + δ y( t ) δ t = ( 1+ δ t ) δ y( t ) y y w w δ z( t + δ t ) = δ z( t ) + δ z( t ) δ t ( 1 δ t ) δ z( t ) z = + z w δ z z =, Κατά συνέπεια u υ w δv( t+ δ t ) δv( t ) = ( 1+ δ t )( 1+ δ t )( 1+ δ t ) δv( t ) δv( t ) x y z u υ w δ δ δ δ δ δ δ x y z D( δv ) u υ w = + + δ V( t ) = Uδ V( t ) Dt x y z V( t+ t ) V( t ) = + + V( t ) t + V( t ) 0( t ), 19

Άρα η εξίσωση συνέχειας παίρνει τη µορφή U = 0 Με τη βοήθεια της σχέσεως είναι πολύ εύκολο να διατυπώσουµε την εξίσωση διατήρησης της µάζας και στη γενική περίπτωση, όπου η πυκνότητα του υγρού µεταβάλλεται Πράγµατι, στην περίπτωση αυτή η πρωτογενής εξίσωση διατήρησης της µάζας γράφεται στη µορφή Dρ DδV( t ) δv( t ) + ρ = 0 Dt Dt ή 1 Dρ 1 D( δv( t ) ) + = 0 ρ Dt δv( t ) Dt Εισάγοντας τη D( δv ) u υ w = + + δ V( t ) = Uδ V( t ) Dt x y z στην τελευταία παίρνουµε 1 Dρ + U = ρ Dt 0 Dρ Dt ρ + = 0 ρ U ( ρ ) 0 t + U = 0

Συνέπειες των εξισώσεων κίνησης: Θεώρηµα Kelvin, αστρόβιλη ροή, Θεώρηµα Bernoulli Στις εξισώσεις Euler περιέχεται η στροβιλότητα rot U = U του πεδίου ροής Το µέγεθος αυτό έχει πολύ µεγάλη φυσική σηµασία, και χαρακτηρίζει σε µεγάλο βαθµό τη δυναµική συµπεριφορά του πεδίου ροής Κατ αρχήν, µέσω του θεωρήµατος του Stokes βλέπουµε ότι η στροβιλότητα U συνδέεται µε την κυκλοφορία του πεδίου ταχύτητας U σε κλειστές καµπύλες S ( U ) n ds= U dl l, Ένα άµεσο πόρισµα της σχέσης είναι ότι, σε ένα οµαλό πεδίο ροής, η στροβιλότητα είναι µηδέν αν και µόνον αν η κυκλοφορία κατά µήκος κάθε κλειστής καµπύλης που βρίσκεται µέσα στο πεδίο είναι µηδέν Στη συνέχεια θα µελετήσουµε το ρυθµό µεταβολής της κυκλοφορίας κατά µήκος µιας υλικής κλειστής καµπύλης l 1

Θεώρηµα Kelvin Εάν l είναι µια οποιαδήποτε υλική κλειστή καµπύλη, ευρισκόµενη εξ ολοκλήρου µέσα σε πεδίο ροής ρευστού το οποίο διέπεται από τις εξισώσεις Euler, µε συντηρητικές εξωτερικές δυνάµεις ( F = Ω ), τότε D Dt U dl = 0 l ηλαδή, η τιµή της κυκλοφορίας κατά µήκος κάθε υλικής καµπύλης του πεδίου ροής διατηρείται σταθερή

Για να αποδείξουµε τη σχέση παρατηρούµε ότι παρακολουθώντας την κίνηση των υλικών στοιχείων: U dl= udx+ υdy+ wdz l l D( udx ) Du D( dx ) = dx+ u Dt Dt Dt Du 1 = p Όµως, βάσει των εξισώσεων Euler έχουµε,x Ω,x Dt ρ D( dx ) Eπειδή το στοιχείο d l = ( dx,dy,dz ) κινείται µαζί µε τα υλικά στοιχεία του ρευστού = du Dt D( udx ) 1 D( υdy ) 1 = p Ετσι,x Ω,x dx+ udu = p Dt ρ Οµοίως,y Ω,y dy+ υdυ Dt ρ, D( wdz ) 1 = p και,z Ω,z dz+ wdw Dt ρ D Dt D 1 1 udx+ υdy+ wdz U dl = p dl Ω dl+ du Dt ρ Αθροίζοντας ( ) ( ) 3

Ολοκληρώνοντας κατά µήκος της καµπύλης l, µεταξύ των σηµείων Α και Β, βρίσκουµε D Dt B U A p d = + 1 l Ω ρ U, A B δεδοµένου ότι p dl= p l είναι η παράγωγος της πίεσης κατά µήκος της καµπύλης l, και οµοίως για το Ω Αν φανταστούµε τώρα ότι το σηµείο Β επανέρχεται στο Α έχοντας διατρέξει την καµπύλη l, τότε A 1 dl = Ω+ = DΓ D p 0 Dt Dt U ρ U, l A Το γεγονός ότι το πεδίο εξωτερικών δυνάµεων είναι συντηρητικό, είναι ουσιώδες για την ισχύ του θεωρήµατος του Kelvin 4

Αστρόβιλη ροή, εξίσωση Laplace Μια ροή (ένα πεδίο ροής) λέγεται αστρόβιλη (αστρόβιλο) αν ισχύει η σχέση ( ;t ) = 0 µέσα στο πεδίο U r παντού Για ένα πεδίο ροής που διέπεται από τις εξισώσεις Euler µε συντηρητικές εξωτερικές δυνάµεις, ισχύει η συνεπαγωγή U( r;t= t ) = 0 U( r ;t ) = 0, για κάθε t o ηλαδή, αν το πεδίο είναι αστρόβιλο σε µια χρονική στιγµή t= t, τότε θα παραµένει διαρκώς αστρόβιλο o Στη συνέχεια θα περιορίσουµε τη µελέτη µας σε αστρόβιλα πεδία ροής Η χαρακτηριστική ιδιότητα κάθε αστρόβιλου πεδίου είναι ότι µπορεί να αναπαρασταθεί ως κλίση (gradient) ενός βαθµωτού πεδίου U( r;t ) = Φ( r ;t ) Αν θυµηθούµε τώρα την εξίσωση συνέχειας οµογενούς και ασυµπίεστου ρυστού (υγρού) ( ;t ) = 0 + + = x y z ( Φ( r;t ) Φ( r;t ) Φ( r;t ) Φ( ;t ) 0 r U r, ηλαδή, το δυναµικό Φ( r ;t ) κάθε αστρόβιλης και ασυµπίεστης ροής ικανοποιεί την εξίσωση Laplace 5

Θεώρηµα Bernoulli Στην περίπτωση αστρόβιλης ροής (η ιδιότητα του ασυµπίεστου δεν είναι σηµαντική εν προκειµένω), οι εξισώσεις Euler µπορούν να ολοκληρωθούν ως προς την πίεση, οδηγώντας σε µια κλειστή έκφραση της τελευταίας συναρτήσεις του δυναµικού ταχύτητας Φ t 1 p ρ + ( Φ ) + + Ω = 0 Φ t 1 Φ p ρ Ω + ( ) + + = 0 Η τελευταία, ολοκληρωνόµενη κατά µήκος οποιασδήποτε καµπύλης µέσα στο πεδίο ροής, µας δίνει Φ 1 p + + + = = t ρ ( Φ ) Ω C C( t ) Η σταθερά C= C( t ) εξαρτάται από το χρόνο, και µπορεί πάντοτε να επανορισθεί Φ1( r;t ) Φ( r ;t ) C( τ )dτ = + t Φ t 1 p ρ 1 + ( Φ1 ) + + Ω = 0, και το δυναµικό Φ ( r ;t ) 1 είναι ισοδύναµο, µε το αρχικό δυναµικό Φ( r ;t ), διότι Φ1 Φ = = u x x, κλπ 6

7

8

9

30

31

3

33

ΜΙΓΑ ΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (D ΡΟΕΣ) Μιγαδικές συναρτήσεις Αναλυτικές y z=x+iy x-path z-path x CAUCHY-RIEMANN 0 και 0 Φ= Φ= Ψ= Ψ= 34