( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1

Transcript

1 76 Παραδείγµατα και εφαρµογές )Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα C ) καµπύλη Αποδείξτε ότι το εµβαδόν Α ( D) του D δίνεται από τους τύπους Α D = d = d Απόδειξη (Ι) Αποδεικνύουµε πρώτα τον τύπο ( D) ( p, q) ( 0, q) ( 0, ) Α = d Εδώ έχουµε ότι, = = Συνεπώς από το θεώρηµα του Green pd+ qd = dd D Άρα θα έχουµε ( 0) d = dd = dd = Α( D) Α = d, παρατηρούµε ότι ( p, q) = ( p,0 ) = (,0) Από το D D (ΙΙ) Για τον τύπο ( D) θεώρηµα του Green λαµβάνουµε ( 0) ( ( d = d = dd = dd = Α D D D ) Έστω D τετράγωνο και η ( θετικά προσανατολισµένη ) περίµετρος του D d+ + d, εξαρτάται µόνο Αποδείξτε ότι το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα από την πλευρά του τετραγώνου και όχι από την θέση του στο επίπεδο Λύση Έστω p(, =, q, = + Παρατηρούµε ότι οι p, q είναι C συναρτήσεις ( ως πολυωνυµικές ) και =, = + Από το θεώρηµα του Green λαµβάνουµε pd+ qd = d+ ( + ) d = dd = dd D D = dd = Α( D) D Έπεται ότι δεν έχει σηµασία η θέση του τετραγώνου στο επίπεδο αλλά το εµβαδόν του, ισοδύναµα η πλευρά του Παρατήρηση Αν είναι κλειστή απλή (κατά τµήµατα C ) καµπύλη του επιπέδου τότε πρέπει να είναι σαφές ότι αν D είναι το εσωτερικό της, θα ισχύει Α D = d+ + d, δηλαδή έχουµε έναν ακόµη τύπο για την εύρεση του εµβαδού του εσωτερικού καµπύλης Στην πραγµατικότητα υπάρχει µια απειρία τέτοιων τύπων Πράγµατι αν F είναι ένα C διανυσµατικό πεδίο F : R R µε F = ( p, q), ώστε = k 0

2 77 ( k σταθερά ) τότε, συντηρητικό ) R ( Αν = 0 Α D = pd+ qd k, για κάθε κλειστή απλή καµπύλη του, τότε από το θεώρηµα το διανυσµατικό πεδίο F είναι ) Έστω απλή κλειστή καµπύλη του επιπέδου να υπολογιστούν τα επικαµπύλια 4 ολοκληρώµατα 4 d+ d, d + d p, = 4 και Λύση Για το πρώτο ολοκλήρωµα παρατηρούµε ότι αν, 4 (, ) q = τότε συντηρητικό στο = 4 =, εποµένως το διανυσµατικό πεδίο ( p, q ) είναι R και συνεπώς το δοθέν ολοκλήρωµα ισούται µε µηδέν Για το δεύτερο ολοκλήρωµα, θέτοµε p(, = και q(, = 0 = ολοκλήρωµα ισούται πάλι µε µηδέν 4) Μια συνάρτηση D, αν είναι = Εποµένως, έτσι το διανυσµατικό πεδίο ( p, q ) είναι συντηρητικό στο R και το : f D R R, όπου D ανοικτό σύνολο, λέγεται αρµονική στο C και ικανοποιεί την εξίσωση του Laplae, απλή κλειστή καµπύλη του f f µια περιοχή του D Αποδείξτε ότι d d = 0 Λύση Έστω f p = και f f + = 0 Έστω R, µε εσωτερικό το D και f αρµονική συνάρτηση σε f q =, τότε οι p και q είναι C σε µια περιοχή του D και το θεώρηµα του Green µπορεί να εφαρµοσθεί Έτσι έχουµε: f f f f pd+ qd = d d = dd = dd 0 = D D 5) Έστω D φραγµένος τόπος του R, ο οποίος φράσσεται από δύο καµπύλες Jordan Έστω ακόµη µια καµπύλη Jordan στον D ( D F = p, q είναι C ) Αν διανυσµατικό πεδίο στον D µε =, πόσες διαφορετικές τιµές µπορεί να λάβει το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα Ι = pd+ qd ; Λύση Το D είναι ένας τόπος του R που φράσσεται από δύο ( κατά τµήµατα καµπύλες Jordan, 0 ( εξωτερική ) και ( εσωτερική ) Εποµένως έχει µία «τρύπα» ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις C ) (Ι) Η καµπύλη δεν περιβάλλει την «τρύπα» Στην περίπτωση αυτή και επειδή το πεδίο F είναι συντηρητικό σε µια περιοχή του G, όπου G το

3 78 εσωτερικό της, έπεται από το θεώρηµα του Green ότι Ι = pd+ qd = dd = 0 G (ΙΙ) Έστω ότι η καµπύλη περιβάλλει την «τρύπα» Έστω G ο τόπος που φράσσεται από τις καµπύλες και (α) Υποθέτουµε ότι η είναι θετικά προσανατολισµένη Τότε εφαρµόζουµε το θεώρηµα του Green στον τόπο G και G = Ι = pd+ qd = pd+ qd έχουµε: G pd+ qd = dd = 0 (β) Υποθέτουµε ότι η είναι αρνητικά προσανατολισµένη Στην περίπτωση αυτή θεωρούµε την αντίθετη καµπύλη της και εφαρµόζουµε πάλι όπως προηγουµένως το θεώρηµα του Green στον τόπο G, παρατηρώντας ότι, G = Εποµένως pd+ qd = dd = 0 G Ι = pd+ qd = pd+ qd pd+ qd pd+ qd = 0 Άρα στην περίπτωση που η είναι αρνητικά προσανατολισµένη το pd+ qd λαµβάνει την αντίθετη της προηγούµενης τιµής Εποµένως υπάρχουν τρεις πιθανές τιµές για το ζητούµενο επικαµπύλιο ολοκλήρωµα 6) Υπολογίστε τα ακόλουθα επικαµπύλια ολοκληρώµατα µε την βοήθεια του θεωρήµατος του Green sin d e d τοξεϕ d d +

4 79 Λύση (α) Έστω p(, = sin και q(, sin d e d = dd = 0dd = 0 D D = e τότε έχουµε (β) Έστω p(, = τοξεϕ και q(, = ( υπενθυµίζουµε ότι + π π τοξεϕ : R, και π, π τοξεϕ = και εϕ = Επίσης ότι, τοξ ' εϕ =, R η παράγωγος της τοξεϕ ) + Επειδή η είναι αρνητικά προσανατολισµένη απλή κλειστή καµπύλη και το p, q είναι C στο R, το θεώρηµα του Green εφαρµόζεται: διανυσµατικό πεδίο τοξεϕ d d = ( τοξεϕ dd + + D = d d d = 0 = 0 0 ( Απευθείας εφαρµογή του θεωρήµατος Fubini στο τετράγωνο D ) 7) Έστω D φραγµένος τόπος του προσανατολίζεται θετικά ) (α) Αν f, g : R R είναι ολοκλήρωµα Ι = + D d = 4d = 8 R µε κατά τµήµατα οµαλό σύνορο D ( το οποίο C συναρτήσεις να υπολογιστεί το επικαµπύλιο f d g d (β) Αν k και h είναι πραγµατικές σταθερές να υπολογιστεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα Ι = kd + hd είναι D Λύση (α) Οι συναρτήσεις p(, = f και q(, = g(, (, R C στο R και = = 0 στο (, ) (, ) (, ), R ηλαδή το διανυσµατικό πεδίο, F = p q = f g F = f g είναι συντηρητικό στο R Έπεται αµέσως από το θεώρηµα του Green ότι Ι = 0 p, = k και q(, = h, (, R Οι συναρτήσεις p και q είναι (β) Έστω C D στο kd + hd = R και το θεώρηµα του Green εφαρµόζεται: ( h) ( k dd = ( h k ) dd = ( h k ) Α ( D ) D D

5 80 (*) 8) Έστω D R (,0] { 0} = Ορίζουµε την συνάρτηση f, = log +,arg,,, D, όπου ( = τοξεϕ arg, + + Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f είναι ολόµορφη στο D ( Υπενθυµίζουµε ότι η γωνία arg (, ( π, π ) για (, D είναι το πρωτεύον όρισµα του (, = + i ες και την παρατήρηση () µετά τον Ορισµό 44 Για τον ορισµό της ολόµορφης συνάρτησης, δες την εφαρµογή 4 µετά το Θεωρηµα ) Λύση Επειδή οι u(, = log + και v(, = arg (, είναι C συναρτήσεις στο D, είναι αρκετό να αποδείξουµε τις εξισώσεις Cauh-Riemann στο D ηλαδή, θέτοντας u = log + και v = arg (, τότε, = και = Πράγµατι, = ( log + ) = ( + ) = = u Αντικαθιστώντας το µε το βρίσκουµε = + arg = = τοξεϕ () + + Έπεται τοξεϕ = = ( + + ) ( + + ) ( + + ) = ( + + ) + ( + + ) ( + + ) + Παρατηρούµε ότι: ( + ) + = + = Εποµένως, arg = = () ( + + ) + + ( + + ) + ότι

6 8 Κάνουµε τώρα πράξεις στον παρανοµαστή αυτής της συνάρτησης: = = + ( ) = ( + ) + + ( + ) = ( + )( + + ) () Αντικαθιστώντας την () στην () ( και εν συνεχεία στην () ) βρίσκουµε arg arg = = Αναλόγως, υπολογίζουµε = = Έπεται ότι οι + + εξισώσεις Cauh-Riemann ισχύουν και η συνάρτηση f είναι ολόµορφη στον τόπο D 9) Έστω f : R R : f (, e ( os,sin, (, R ολόµορφη στο R και συνεπώς τα διανυσµατικά πεδία g(, e ( sin,os f (, = e ( os, sin είναι συντηρητικά στο 44) C στο = Τότε η f είναι Λύση Οι συνιστώσες u(, = e os και = και R ( πρβλ και εφαρµογή 4 σελίδα v, = e sin είναι προφανώς R Αρκεί να εξακριβώσουµε τις εξισώσεις Cauh-Riemann στο u και v ( e sin ) = ( e os = e os = = u v = ( e os = e sin = ( e sin = Εποµένως οι εξισώσεις Cauh-Riemann ισχύουν και η f είναι ολόµορφη στο 0) είξτε ότι το διανυσµατικό πεδίο F ( 0 z,4,5 4 z ) R για τις R = + + είναι συντηρητικό στο R και βρείτε µια συνάρτηση δυναµικού για το F Λύση Το F είναι C διανυσµατικό πεδίο στο R αφού οι συνιστώσες του είναι C στο R Σύµφωνα µε την παρατήρηση 55- και εφόσον το R είναι απλά συνεκτικό σύνολο- για να αποδείξουµε ότι το F είναι συντηρητικό ( πρέπει και ) αρκεί να αποδείξουµε ότι είναι αστρόβιλο Έτσι έχουµε i j k urlf = z 0 z z 4 = 0 0 i 0 0 j k = 0 Εποµένως το F είναι αστρόβιλο και άρα συντηρητικό Έστω f : R R µια συνάρτηση δυναµικού για το πεδίο F, άρα f f f 4 = 0 z +, = 4, = 5 + z z Ολοκληρώνοντας την πρώτη εξίσωση ως προς ( και κρατώντας τα και z σταθερά ) βρίσκουµε

7 8 4 (,, ) = ( 0 + ) = (, ) () όπου η (, ) f z z d z g z σταθερή ως προς την ολοκλήρωση ως προς f Επειδή = 4 διαφορίζοντας την παραπάνω έκφραση της g g βρίσκουµε 4 + = 4 Εποµένως, = 0 και g(, z) h( z) είναι σταθερή ως προς την ολοκλήρωση ως προς και Από τις () και () συµπεραίνουµε ότι, f (,, z) 5 4 z h( z) g z είναι f ως προς = () όπου η h( z ) = + + () ιαφορίζοντας την () ως προς z και εξισώνοντας µε την f = 5 + z z ότι h' ( z) = z ή h '( z) = z ή h( z) = z dz = z + 4 Έπεται ότι κάθε συνάρτηση της µορφής 4 πραγµατική σταθερά είναι µια συνάρτηση δυναµικού για την F βρίσκουµε f,, z = 5 z + + z + όπου Ασκήσεις ()Υπολογίστε το divf και το urlf για κάθε διανυσµατικό πεδίο στο δοσµένο σηµείο (α) F (,, z) i j k στο (,, ), (γ) (,, ) = + + στο (,,) z z F z e i e j e k, (β) (,, ) ( sin ) ( os ) = + + στο F z = e i + e j + k,,0 )Βρείτε το divf και το urlf για το καθένα από τα διανυσµατικά πεδία: (α) F = i + j, (β) F = ( e sin i + ( e os j + k, + + (γ) F = zi + z j + z k, (δ) F = i + j + zk + + z )Ελέγξτε ποια από τα ακόλουθα διανυσµατικά πεδία είναι συντηρητικά και F =,, οποτεδήποτε είναι βρείτε µια συνάρτηση δυναµικού: (α) (β) ( F =, ), (γ) F = ( + e sin, ( + ) e os, (δ) ( F =,+ ), (ε) F = ( e sin, e os 4)Ένα πεδίο δυνάµεων (, ) ( 6 ) ( 6 4 ) F = + i + + k µετακινεί ένα αντικείµενο στο επίπεδο είξτε ότι το F είναι συντηρητικό και βρείτε µια συνάρτηση δυναµικού για το F Υπολογίστε το έργο που παράγεται όταν το 0, πάνω σε οποιαδήποτε καµπύλη που αντικείµενο µετακινείται από το (,0 ) στο συνδέει αυτά τα σηµεία 5) Υπολογίστε µε την βοήθεια του θεωρήµατος του Green τα ακόλουθα επικαµπύλια ολοκληρώµατα και εν συνεχεία ελέγξτε τα αποτελέσµατα µε απ ευθείας υπολογισµό αυτών των ολοκληρωµάτων αφού παραµετρικοποιήσετε τις καµπύλες

8 8 (α) d+ d, όπου είναι η περίµετρος του τετραγώνου µε κορυφές τα (,0 ),(, ),( 0, ),( 0,0 ) (β) d d, όπου (γ) 4d d (δ) {, : } = + =, όπου είναι η έλλειψη {, : + = 4} sin d e d, όπου είναι το τρίγωνο µε κορυφές τα σηµεία (, ),(,5 ),(, ) (ε) τοξεϕ d d, όπου είναι η περίµετρος του τετραγώνου µε κορυφές + τα ( 0,0 ),(,0 ),(, ) και 0, 6)Υπολογίστε, χρησιµοποιώντας έναν από τους τύπους για τον υπολογισµό εµβαδού που προκύπτουν από το θεώρηµα του Green, τα εµβαδά των ακόλουθων χωρίων: Β a, r, όπου a R και r > 0 (α) Του δίσκου (β) Του τριγώνου µε κορυφές τα ( 0,0 ),(, ) και ( 0, ) (γ) Του τραπεζίου µε κορυφές ( 0,0 ),( 4,0 ),(, ) και (δ) Του ηµιδίσκου που περιβάλλει το ηµικύκλιο 0, = 4 d+ d = 5Α όπου 7)Αν είναι καµπύλη Jordan, αποδείξτε ότι, Α είναι το εµβαδόν του χωρίου που περιβάλλει η 8) Υπολογίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα: d+ d (α), όταν η είναι θετικά προσανατολισµένη καµπύλη Jordan στο + εσωτερικό της οποίας δεν περιέχεται το σηµείο ( 0,0 ) και κατόπιν όταν το ( 0,0 ) περιέχεται στο εσωτερικό της d + ( ) d (β), όπου είναι θετικά προσανατολισµένη καµπύλη Jordan στο + εσωτερικό της οποίας δεν ανήκει το σηµείο (,0 ) ( + ) d+ ( ) d (γ) + + στο εσωτερικό της οποίας δεν ανήκει το σηµείο (, ), όπου είναι θετικά προσανατολισµένη καµπύλη Jordan 9) Για ποια απλή κλειστή θετικά προσανατολισµένη καµπύλη το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα d+ ( ) d λαµβάνει την µέγιστη τιµή του;

9 84 0) Έστω D R ανοικτό και f :( u, v) : D R C συνάρτηση, αποδείξτε ότι: (ι) η f είναι ολόµορφη ( δηλαδή ισχύουν οι εξισώσεις Cauh-Riemann = και = ) αν και µόνο αν τα διανυσµατικά πεδία g = v, u και f = ( u, v) είναι αστρόβιλα Αν επί πλέον το D είναι απλά συνεκτικό τότε η f είναι ολόµορφη αν και µόνο αν τα g και f είναι συντηρητικά (ιι) Συµπεράνατε από το (ι) ότι τα διανυσµατικά πεδία (, ), και (, ), F = G = είναι αστρόβιλα D = R 0,0 { } στο (ιιι) Αν η f είναι ολόµορφη τότε οι u και v είναι αρµονικές στο D ) Έστω D απλό πολύγωνο του επιπέδου, δηλαδή το εσωτερικό µιας απλής κλειστής πολυγωνικής γραµµής Αποδείξτε ότι το D µπορεί να χωρισθεί σε τρίγωνα χρησιµοποιώντας τις διαγωνίους του n 4 Αν το D είναι κυρτό θεωρούµε [ Υπόδειξη Έστω ότι το D έχει n κορυφές µια κορυφή P του D και φέρουµε n διαγωνίους από το P, µια σε κάθε κορυφή η οποία είναι διαφορετική και µη διαδοχική µε την P Αν το D είναι µη κυρτό, προχωρούµε µε επαγωγή στο n Θεωρούµε µια κορυφή Pτου D ώστε η γωνία του D µε κορυφή το P να είναι µη κυρτή ( δηλαδή µεγαλύτερη του π ) είξτε ότι P, Q ( εκτός των άκρων υπάρχει κορυφή Q του D ώστε το ευθύγραµµο τµήµα [ ] P, Q ) να περιέχεται στο D Έτσι το D χωρίζεται µε την διαγώνιο [, ] P Q σε δύο απλά πολύγωνα D, D µε λιγότερες κορυφές από το D Τα πολύγωνα D, D µπορούν να χωρισθούν σε τρίγωνα από την επαγωγική υπόθεση]