1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος Το τετράγωο του αθροίσματος δύο όρω είαι ίσο με το τετράγωο του πρώτου όρου συ το διπλάσιο γιόμεο του πρώτου όρου επί το δεύτερο όρο συ το τετράγωο του δεύτερου όρου δηλαδή: α β α α.β β Τετράγωο διαφοράς Το τετράγωο της διαφοράς δύο όρω είαι ίσο με το τετράγωο του πρώτου όρου μείο το διπλάσιο γιόμεο του πρώτου όρου επί το δεύτερο όρο συ το τετράγωο του δεύτερου όρου δηλαδή: α β α α.β β π. χ η ισότητα () είαι μια ταυτότητα γιατί για τη τιμή μας δίει ( ) δηλαδή 00 (αληθής). Για παράδειγμα α θέσουμε στη ταυτότητα όπου α και β 4y Έχουμε ότι: ( 4y) ( ) 4y ( 4y) 4 6y 6y Για παράδειγμα α θέσουμε στη ταυτότητα όπου α 5 και β Έχουμε ότι: ( 5 ) ( 5) 5 0 5 Γεωμετρική ερμηεία της (α β) α αβ β H ταυτότητα (α β) α αβ β για θετικούς αριθμούς α και β ερμηεύεται και γεωμετρικά ως εξής. Το τετράγωο ΑΒΓΔ έχει πλευρά α β, οπότε το εμβαδό του είαι α α (ΑΒΓΔ) (α β) Το εμβαδό όμως του τετραγώου ΑΒΓΔ προκύπτει ακόμη κι α προσθέσουμε τα εμβαδά τω σχημάτω που το αποτελού. Δηλαδή (ΑΒΓΔ) α αβ αβ β ή β αβ (ΑΒΓΔ) α αβ β Από τις παραπάω ισότητες και προκύπτει ότι (α β) α αβ β Δ α A B αβ β β Γ

68 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Γιόμεο αθροίσματος επί διαφορά Το γιόμεο του αθροίσματος δύο όρω επί τη διαφορά τους είαι ίσο με το τετράγωο του μειωτέου της διαφοράς μείο το τετράγωο του αφαιρετέου της διαφοράς δηλαδή: α β α β α β Κύβος αθροίσματος Ο κύβος του αθροίσματος δύο όρω είαι ίσος με το κύβο του πρώτου ό- ρου συ το τριπλάσιο γιόμεο του τετραγώου του πρώτου όρου επί το δεύτερο όρο συ το τριπλάσιο γιόμεο του πρώτου όρου επί το τετράγωο του δεύτερου όρου συ το κύβο του δεύτερου όρου δηλαδή: ( α β) α α β αβ β Κύβος διαφοράς Ο κύβος της διαφοράς δύο όρω είαι ίσος με το κύβο του πρώτου όρου μείο το τριπλάσιο γιόμεο του τετραγώου του πρώτου όρου επί το δεύτερο όρο συ το τριπλάσιο γιόμεο του πρώτου όρου επί το τετράγωο του δεύτερου όρου μείο το κύβο του δεύτερου όρου δηλαδή: ( α β) α α β αβ β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ισχύου i) αβγ α β γ αβαγβγ ii) iii) iv) α v) α ( α β γ) ( αβ γ) β β α α β β ( αβ)( α αββ ) ( α β)( α αββ ) γ γ αβ αγβγ αβ αγ βγ Για παράδειγμα α θέσουμε στη ταυτότητα όπου α και β Έχουμε ότι: ()()() 9 Για παράδειγμα α θέσουμε στη ταυτότητα όπου α και β y Έχουμε ότι: (y).y..(y) (y) 6 y.4y 8y 6 yy 8y Για παράδειγμα α θέσουμε στη ταυτότητα όπου α και β y Έχουμε ότι: (-) () - ()... - 8 -.4...9-7 8-6 54-7

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 69 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! α ± β α ± β, α ± β α ± β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είαι ταυτότητες ; α) 0 0 β) y 0 γ) α α α δ) ( ) 6 9 ε) α β 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είαι ταυτότητα γιατί ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό. Για παράδειγμα 0.0, 0. 0 κ.τ.λ. γ) Είαι ταυτότητα γιατί ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό α. Είαι α. α α α. δ) Είαι ταυτότητα γιατί ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό. Είαι ( ).. 6 9. Όλες οι άλλες ισότητες δε είαι ταυτότητες. Για παράδειγμα η ισότητα y 0 για και y δε δίει άθροισμα μηδέ 5 0. Επίσης η ισότητα α.β0 για α και β- δε δίει γιόμεο μηδέ (-)- 0.. Να επιλέξετε τη σωστή απάτηση. i) To αάπτυγμά του ( α) είαι: α) α β) α α γ) α α δ) α α ii) To αάπτυγμά του (α ) είαι: α) α 4α β) 4α γ) 4α 4α δ) 4α α iii) To αάπτυγμά του (y ) είαι: α) y y 4 β) y 4 γ) y 4y 4 δ) y 4y 4 ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα i) ( α) α α ( α β) α αβ β Είαι το δ. α α.α. ii) 4α 4α y - y..y iii) y 4y 4 ii) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα ( α β) α αβ β Είαι το γ. iii) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α - β α αβ β Είαι το γ.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με ( Σ ), α είαι σωστές ή με ( Λ ), α είαι λαθασμέες. α) ( y) ( y) ( y) β) ( α β) α α β β γ) (5ω 4) 5ω 6 δ) ( y) y y ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ( y) -yy ( y) ( y) yy β) ( α β) (β-α) β -αβα α) παρατηρούμε ότι η πρώτη δε είαι σωστή (Λ) β) παρατηρούμε ότι η δεύτερη είαι σωστή (Σ) γ) παρατηρούμε ότι η τρίτη δε είαι σωστή

70 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α α β β (Λ) γ) (5ω 4) (5ω).5ω.44 5ω 40ω6 5ω 6 δ) ( y) () y y 4. Να επιλέξετε τη σωστή απάτηση. i) To αάπτυγμά του ( ) είαι α) β) γ) δ) ii) To αάπτυγμά του (β ) είαι α) β β β) β γ) β β β δ) β β β ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα i).... ii) β - β β. β. δ) παρατηρούμε ότι η τέταρτη είαι σωστή (Σ) ( α β) α α β αβ β οπότε είαι σωστή η γ i) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα β 6β β 8 α β α α β αβ β οπότε είαι σωστή η δ 5. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με ( Σ ), α είαι σωστές ή με ( Λ ), α είαι λαθασμέες. α) ( y) y y y β) () γ)( ) () () () δ) () 6 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α) y y y y ( ) ( ). ( )... ( -) ( ) ( )... ( ).. β ) γ) δ) 6 8 6. Να επιλέξετε τη σωστή απάτηση. i) To αάπτυγμά του (y )(y) είαι: α) y β) 9 y γ) y 9 δ) y ii) To αάπτυγμά του (y)(-y) είαι: α) y β) y γ) ( y) δ) y iii) To αάπτυγμά του (ω α)(ω α) είαι: α) ω α β) ω 4α γ) 4α ω δ) ω 4α ( α β) α α β αβ β οπότε είαι λάθος (Λ) β) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β οπότε είαι λάθος (Λ) γ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β οπότε είαι λάθος (Λ) δ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β οπότε είαι σωστή (Σ)

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 7 iv) To αάπτυγμά του (5 )(5 5 ) είαι α) 5 β) 5 γ) 5 δ) 5 v) To αάπτυγμά του ( α)( α 4α ) είαι: α) α β) (α) γ) - α δ) 8α ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) y - y y y ii) iii iv) v) 9 ( y )( y) ( y)( y) y )( ω α)( ω α) ω ( α) ω 4α ( 5 - )( 5 5 ) 5 ( α)( α 4α ) ( α) 8α i) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α β α β η γ. ii) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α β α β η β. iii) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α β α β η δ. iv) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α β α αβ β σωστή η γ v) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α β α αβ β ( ) σωστή η δ 7. Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα ατιστοιχίζοτας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αάπτυγμά της από τη στήλη Β Στήλη Α α. (y)(y ) β. (y) γ. (y ) δ. ( y)( y y ) ε. (y)( y y ) στ. ( y) Στήλη Β. y y. y. y y y 4. y 5. y y 6. y 7. y 8. y y y α 4 β 5 γ δ ε 7 στ 8 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τα ααπτύγματα α) ( ) β) (y 5) γ) ( ω ) δ) (κ λ) ε) (y β) στ) ( ) ζ) (y y) η) ( ) θ) ( ) i ) ( y) 4 iα) α iβ) ω ω

7 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α) β) ( ). 4 4 ( y 5) y.y.5 5 y 0y 5 ( ω ) ( ω).ω. γ) 4ω 4ω δ) κ λ κ.κ.λ ( λ) κ 4κλ 4λ ε) ( y β) ( y).y β ( β) 9y στ) ζ) y η) θ) ι) yβ 4β ( ) ( ) 4 ( y y) ( y ) 4 ( ) ( ).. ( ) 4 ( ) y 4 ( y ) ( ) y ( y ) 4 ιβ) ω ω ω 6 ω 8 ω ια) α α α 4 y y y 9 α 4 ω. ω y.y y α. 4 ω α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. β) Ομοίως αy, β5. γ) Ομοίως αω, β. δ) Ομοίως ακ, βλ. ε) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. αy, ββ. στ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. α, β. ζ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. αy, βy. η) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. α, β. θ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. α, β. ι) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. α, β y. ια) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. αα, β. ιβ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. αω, β. ω

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 7 ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τα ααπτύγματα: α) β) y 5 ε) θ) γ) ( ω ) δ) ( κ λ) ( y β) στ) ( ) ζ) ( y y) η) ( 5) ( - ) ι) ( y ) α) ( ) 6 9 β) (y 5) y _ 0y 5 γ) ( ω ) 9ω _ 6ω δ) ( κ λ) 4κ _ 4κλ λ ε) (y β) 9y _ yβ 4β στ) ( ) 4 _ 4 4 ζ) (y y) y 4_ y y η) ( 5) 4 4_ 0 5 θ) ( ) i ) ( y ) _ y y ια) α - ιβ) ω - iα) α α _ 9 ια) Ομοίως για αα και β α 4 iβ) ω ω _ 4 ιβ) Ομοίως για αω και β 4. ω ω ω ΑΣΚΗΣΗ Χρησιμοποιώτας τη κατάλληλη ταυτότητα α υπολογίσετε τις παραστάσεις α) ( ) β) ( 6 5) γ) ( ) δ ) ( 7 ) ω α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α - β α αβ β. β) Ομοίως για αy και β5. γ) Ομοίως για αω και β. δ) Ομοίως για ακ και βλ. ε) Ομοίως για αy και ββ. στ) Ομοίως για α και β. ζ) Ομοίως για αy και βy. η) Ομοίως για α και β5. θ) Ομοίως για α και β. ι) Ομοίως για α και β y..

74 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α) ( ) 4, β) ( 6 5) 6 6 5 5 0 γ) ( ) _ 6, δ ) ( 7 ) _ 7 7 8 _ 7. α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α αβ β. Για α, β. β) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα ( α β) α αβ β γ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α - β α αβ β για α, β.. α 6, β 5. δ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α - β α αβ β για α, β 7. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να συμπληρώσετε τις ισότητες α) (...)... 9 β) ( _... 4) y......... : γ) (.. ) 6.. 8α...... δ) (... ω)... 4 ω..... α) ( ) 6 9 β) (y _ 4) y 8y6 γ) (4 α) 6-8α α δ) ( - ω) 4 4 ω 4ω Εφαρμόζουμε τις ταυτότητες α β α αβ β ( α - β) α αβ β. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρείτε τα ααπτύγματα α) ( ) β) (y4) γ) (α) δ) (αβ) ε) ( ) στ) (y y) ζ) ( ) η) (y 5) θ) (α ) i ) ( y) iα) (y ) i β) (ω ω) α) () β) (y4) y y 4y4 4 y y 48y64 γ) (α) (α) (α) (α) 8α (4α )6α8α α 6α δ) (αβ) (α) (α) (β)(α)(β) (β) 7α (9α )(β)(α)(4β )8β 7α 54α β6αβ 8β ε) ( ) ( ) ( ).. 6 9 4 7 7 α) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα αβ α α βαβ β με α, β. β) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β με αy, β4. γ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β με αα, β. δ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 75 στ) (y y) (y ) (y ) y y y y y 6 y 5 y 4 y. ζ) ( ) _ 6 _ 8 η) (y 5) y _ y 5 y 5 _ 5 y _ 5y 75y _ 5. θ) (α ) (α) _ (α) (α) _ 7α _ 7α 9α _. i ) ( y) () _ () (y) ()(y) _ (y) 8 _ 6 y 54y _ 7y. iα) (y ) (y ) _ (y ) y _ y 6 _ 6y 4 y _ 8. i β) (ω ω) (ω ) _ (ω ) (ω) ω (ω) _ (ω) ω 6 _ 6ω 5 ω 4 _ 8ω. ( α β) α α β αβ β με αα, ββ ε) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β με α, β. στ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β με αy, βy. ζ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α - β α α β αβ β με α, β. η) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α - β α α β αβ β με αy, β5. θ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α - β α α β αβ β με αα, β. ΑΣΚΗΣΗ 6 Να βρείτε τα ααπτύγματα α) ( )( ) β) (y )(y ) γ) ( ω)( ω) δ) ( 4)(4 ) ε) ( y) ( y) στ) ( y)( y) y ζ) (7y)( 7y) η) ( ) θ) ( y) α) ( )( ) _. β) (y )(y ) y _ y _ 4. γ) ( ω)( ω) _ ω 9 _ ω. δ) ( 4)(4 ) (4 )(4 ) 6 _. ε) ( y) ( y) ( _ y)[ _ ( y )] _ ( _ y)( y) _ ( _ y ) _ y. στ) ( y)( y) [ _ ( _ y)][ _ (y)] ( _ y)(y) _ y ζ) (7y)( 7y) () _ (7y) 4 _ 49y. η) ( )( ) _ ( ) _. y y ( ) _ ( y ) _ y θ) α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α - β α β με α, β β με αy, β. γ) με α, β ω. δ)με α4, β. ε) με α,βy αφού βγάλουμε κοιό παράγοτα το -. στ) με α,βy αφού βγάλουμε κοιό παράγοτα το - και από τις δύο παρεθέσεις. ζ) με α και β7y. η) με α και β θ) με α και β y

76 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 7 Να αποδείξετε ότι το πολυώυμο P() ( ) ( ) 0( )() είαι σταθερό. Είαι : P() ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ή P() _ 6 9 9 6 _ 0( _ ) ή P() 0 0 _ 0 0 0 δηλαδή σταθερό Εφαρμόζουμε τις ταυτότητες ( α - β) α αβ β, α β α - β α β ΑΣΚΗΣΗ 8 α) Να αποδείξετε ότι (α β)(α β)(α β )(α 4 β 4 ) α 8 β 8. β) Να υπολογίσετε το γιόμεο 9 0 000 α) Θεωρούμε τη παράσταση : (α β)(α β)(α β )(α 4 β 4 ) (α _ β )(α β )(α 4 β 4 ) (α 4_ β 4 ) (α 4 β 4 ) α 8 _ β 8. β) Είαι : 9 0 000 (0 )(0 )(00 )(0000 ) (0 )(0 )(0 )(0 4 ) 0 8 _ 8 00000000 _ 99999999 α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα ( α β)( α - β) α β με αα και ββ πρώτα και με αα 4 και ββ 4 κατόπι. β) Γράφουμε το 90- το 0 το 000 και το 0000000. Παρατηρούμε ότι διαμορφώεται η ταυτότητα που αποδείξαμε στο πρώτο ερώτημα και τη χρησιμοποιούμε εφόσο τη αποδείξαμε. ΑΣΚΗΣΗ 9 Nα μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα, που έχου άρρητους παροομαστές, σε.ισοδύαμα κλάσματα με ρητούς παροομαστές. 6 5 α) β) γ) δ) 5 7 6 α) 5 5 ( 5 )( 5 ) 5 5 5 ( 5) 5 4 6 β) 7 ( 6( 7 7 )( ) 7 ) α) Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με 5 για α εφαρμόσουμε τη ταυτότητα ( α β)( α - β) α β. β) Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με 7 για α εφαρμόσουμε τη ταυτότητα α β α - β α β.

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 77 6( 7 ) ( 7) 6( γ) 7 4 5 5( ( δ) ( ) 6( 7 7 ( 7 ) ) ) 5( ) ( )( ) ) 5( ) 5( 9 7 6 ( ( 6) 6) ( 6)( ( 6 6) 6) ( 6) ( 6 6). ΑΣΚΗΣΗ 0 Να βρείτε τα ααπτύγματα α) ( )( 9 ) β) (y )(y y 4) γ) (ω )(4ω ω ) δ) ( α)( α α ) ) 6) α) ( )( 9 ) ( _ )( ) 7 β) (y )(y y 4) (y)(y _ y ) y y 8 γ) (ω )(4ω ω ) (ω)[(ω) _ ω] (ω) 8ω δ) ( α)( α α ) _ α -α γ) Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με α εφαρμόσουμε τη ταυτότητα α β α - β α β. για δ) Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με 6 για α εφαρμόσουμε τη ταυτότητα ( α β)( α - β) α β α) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα. ( α β)( α αββ ) ( αβ)( α αββ ) ( αβ)( α αββ ) ( α β)( α αββ ) α β β) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β γ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β δ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β Να κάετε τις πράξεις ΑΣΚΗΣΗ α) ( 4) ( 5) β) ( ) ( )( ) γ) (y) ( y)(y)( y) δ) ( 4) ( 4) ( 4)( 4) ε) (α ) (α ) στ) (α ) (α )( α α 4) ζ) (α α) (α α) η) (4α ) α (8α )(8α )

78 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α) ( 4) ( 5) _ 8 4 () 05-8 64 05 5 4. β) ( ) ( )( ) ( ) [( ) _ ] 4 4 9 _ 0 γ) (y) ( y)(y) ( y) y y _ [ _ (y) ]() _ 4y y y y _ 4y 4 _ 4y y 4 _ y 6y δ) ( 4) ( 4) ( 4)( 4) [( _ 4) _ ( 4)] ( _ 4 4) ( _ 8) 64 ε) (α ) (α ) (α) (α). (α) (α) _ (α) (α) _ 8α α 6α 8α _ α 6α 6α α στ) (α ) (α )( α α 4) α α α. _ (α )(α _ α ) α 6α α 8 _ (α ) α 6α α 8 _ α _ 8 6α α. ζ) (α α) (α α) (α ) (α ). α α. α α _ [(α ) _ (α ). α α. α _ α ] α 6 α 5 α 4 α _ α 6 α 5 _ α 4 α 6α 5 α. η) (4α ) α (8α )(8α ) (4α) _ (4α). (4α). α[(4α) _ ] 64α _ (6α ) α α(6α _ ) 64α _ (6α ) α 6α α 48α _ 48α α _ α) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α - β) α αβ β ( α β) α αβ β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω. β) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α - β) α αβ β ( α β)( α - β) α β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω. γ) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α - β) α αβ β ( α β) α αβ β ( α β)( α - β) α β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω. δ) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α β) α α β αβ β ( α - β) α α β αβ β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω στ) ) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α β) α α β αβ β και α β ( αβ)( α αββ ) κάουμε ααγωγή όμοιω όρω ζ) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α β) α α β αβ β ( α - β) α α β αβ β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω η) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α - β) α α β αβ β ( α β)( α - β) α β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω Να αποδείξετε ότι ΑΣΚΗΣΗ α) ( y) ( y) y β)(α β) (αβ)(α-β) (α β) α 4β γ) ( )() ( )() 4 δ) (α β ) (αβ) (α β ) ε) (α 4) (α ) α (α 5) στ) ( ) () ( )

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 79 Θεωρούμε ατίστοιχα τις παραστάσεις : α) ( y) ( y) _ (y)(y) _ [() _ ()yy ] _ 4y 4y _ (4 _ 4y y ) _ 4y 4y _ 4 4y _ y y β)(α β) (αβ)(α-β) (α β) α _ α(β)(β) (α) _ (β) _ [(α) _ (α)β β ] α _ 6αβ 9β 9α _ 4β _ (9α _ 6αβ β ) 0α _ 6αβ 5β _ 9α 6αβ β α 4β γ) ( )() ( )() ( _ )( ) ( ) 4 4 δ) (α β ) (αβ) (α ) α β (β ) 4α β (α ) α β (β ) (α β ) ε) (α 4) (α ) α 8α (4 ) (α) α α 8α6(α) α9α [(α) 0α5] α [ (α) (α). 5 5 ] α (α 5) στ)θεωρούμε το ο μέλος της δοσμέης ισότητας : ( ) ( ) ( ) ( )() () () (). 4 4 8 4 4 4.Οπότε έχουμε : ( ) () 4 4 8 8 4 σχέση () Θεωρούμε το ο μέλος της δοσμέης ισότητας : ( ) [( )] ( ) ( ) ( ) ( )() 4 4 4 4 8 4 4 4.Παρόμοια έχουμε : ( ) 4 4 8 8 4 σχέση () Από τις σχέσεις () και () οι οποίες έχου τα δεύτερα μέλη τους ίσα προκύπτει ότι ( ) ( ) ( ). α) Ξεκιάμε από το πρώτο μέλος και χρησιμοποιώτας τη ταυτότητα ( α - β) α αβ β καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος. β) Ξεκιάμε από το πρώτο μέλος και χρησιμοποιώτας τις ταυτότητες ( α - β) α αβ β ( α β)( α - β) α β καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος. γ) Ξεκιάμε από το πρώτο μέλος και χρησιμοποιώτας τις ταυτότητες ( α β) α α β αβ β ( α β)( α - β) α β καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος. δ) ) Ξεκιάμε από το πρώτο μέλος και χρησιμοποιώτας τη ταυτότητα ( α β) α αβ β καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος. ε) Ξεκιάμε από το πρώτο μέλος και χρησιμοποιώτας τη ταυτότητα ( α β) α αβ β καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος. στ) Δουλεύουμε και στα δύο μέλη και καταλήγουμε στη ίδια παράσταση άρα τα δύο μέλη είαι ίσα με τη ίδια παράσταση είαι και μεταξύ τους ίσα (μεταβατική ιδιότητα) ΑΣΚΗΣΗ Α 5 και y 5, α υπολογίσετε τις παραστάσεις α) y β) y γ) y δ) y α) y ( 5 )( 5) ( 5) Ατικαθιστούμε τις τιμές τω, y που μας δώσαε.

80 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 5 4 β) y ( 5) ( 5). 5( 5) [. 5 ( 5) ] 9 6 55 (9 6 5 5) 9 6 55 96 5 5 5. γ) y ( 5) ( 5). 5 ( 5). 5 ( 5) 9 6 5 5 9 6 5 5 8. δ) y ( 5) ( 5). 5. ( 5) ( 5). 5. ( 5) ( 5) 7 7 5 45 5 5 7 7 5 45 5 5 44 ΑΣΚΗΣΗ 4 α) Να αποδείξετε ότι 5 5 α α α α 0 Εφαρμόζουμε τις ταυτότητες α β α - β α β α) β) ( α β)( α - β) α β γ). ( α β) α αβ β δ) ( α β) α α β αβ β ( α - β) α α β αβ β β) Να υπολογίσετε το αριθμό 005 005 40 40 α) Είαι : α α 5 α α 5 α 5 5 α α α α α 5 α 5 α α 5 0 α 5 0 0. a a β) Επειδή 5 40 005 έχουμε : 005 005 40 40 5 5 005 005 0, 005 005 α) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες α - β α αβ β ( α β) α αβ β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω. β) Χρησιμοποιούμε το συμπέρασμα του πρώτου ερωτήματος για α υπολογίσουμε τη αριθμητική παράσταση που μας δόθηκε. αφού σύμφωα με το ο ερώτημα της άσκησης το αποτέλεσμα είαι σταθερό και αεξάρτητο της μεταβλητής α

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 8 ΑΣΚΗΣΗ 5 Α το τρίγωο ΑΒΓ είαι ορθογώιο, α αποδείξετε ότι και το τρίγωο ΒΓΔ είαι ορθογώιο. ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ ( ) ( 4 ) 9 5 ( 5 ) 5 6 0 0 4 5 8 0 Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωο ΑΒΓ επειδή αυτό το τρίγωο είαι ορθογώιο. Για α είαι και το τρίγωο ΒΓΔ ορθογώιο θα πρέπει α βρούμε για το ΒΓ τη ίδια αλγεβρική παράσταση. Πράγματι α η ΒΓ θεωρηθεί κάθετη πλευρά στο ΒΓΔ τρίγωο με υποτείουσα τη ΒΔ βρίσκουμε τη ίδια αλγεβρική παράσταση. ΑΣΚΗΣΗ 6 Σκεφτείτε δύο αριθμούς διαφορετικούς από το μηδέ. Βρείτε το τετράγωο του αθροίσματός τους. Βρείτε το τετράγωο της διαφοράς τους. Αφαιρέστε τα δύο αποτελέσματα που βρήκατε. Διαιρέστε το τελικό αποτέλεσμα με το γιόμεο τω δύο αριθμώ που αρχικά σκεφτήκατε. Το αποτέλεσμα που βρήκατε είαι 4 αεξάρτητα από τους αριθμούς που επιλέξατε. Μπορείτε α το εξηγήσετε; Η εξήγησή του είαι αυτή που ακολουθεί. Εά συμβολίσουμε και y τους δύο αριθμούς που πρέπει α σκεφθούμε τότε.το τετράγωο του αθροίσματός τους είαι : ( y) y y Το τετράγωο της διαφοράς τους είαι : ( y) y y Η διαφορά τω δύο αυτώ αποτελεσμάτω είαι : ( y) ( y) ( y y ) ( y y ) y y y y 4y Το πηλίκο του αποτελέσματος αυτού δια του γιομέου τω δύο α- ριθμώ είαι : y y 4y 4 y y

8 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 7 ( β γ) β γ α) Nα αποδείξετε ότι βγ. β) Να υπολογίσετε το εμβαδό ορθογωίου τριγώου, που έχει υποτείουσα 0 cm, και οι κάθετες πλευρές του διαφέρου κατά cm. ( β γ) β γ α) βγ βγ β γ ( β βγ γ ) βγ β γ β βγ γ βγ βγ ισχύει β) Το εμβαδό του ορθογωίου τριγώου είαι β γ ( β γ) β.γ E β γ ( β γ) α ( β γ) 4 4 0 00 4 96 4 cm 4 4 4 ΑΣΚΗΣΗ 8 Έας πατέρας μοίρασε έα οικόπεδο στα δύο παιδιά του, όπως φαίεται στο σχήμα.τα δύο οικόπεδα είχα το ίδιο εμβαδό ή κάποιο από τα παιδιά αδικήθηκε; Να αιτιολογήσετε τη απάτησή σας. E Ε ( α β)( α β) α β α β α) Κάουμε απαλοιφή παροομαστώ Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α - β α αβ β Κάουμε ααγωγή ομοίω όρω και προκύπτει μια αληθής ισότητα. β) Ατικαθιστούμε το βγ με το ίσο του από το συμπέρασμα του προηγούμεου ερωτήματος. Ατικαθιστούμε το άθροισμα τω τετραγώω τω δύο καθέτω πλευρώ με το α λόγω του πυθαγορείου θεωρήματος και τη διαφορά τω καθέτω πλευρώ με το αριθμό που μας δίει και κάουμε τις πράξεις. Το πρώτο παιδί πήρε οικόπεδο εμβαδού α -β όπως αυτό προκύπτει από το εμβαδό του ορθογωίου με διαστάσεις αβ και α-β.το δεύτερο παιδί πήρε οικόπεδο εμβαδού α -β όπως αυτό προκύπτει από το εμβαδό του τετραγώου με πλευρά α α αφαιρέσουμε το εμβαδό εός τετραγώου με πλευρά β. Άρα όπως φαίεται και τα δύο παιδιά πήρα το ίδιο εμβαδό και δε αδικήθηκε καέα.

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 8 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. (Αάλογο είαι το πρόβλημα 6 της σελίδας 50 του βιβλίου) Σκεφτείτε έα διψήφιο αριθμό και βρείτε το τετράγωο του. Βρείτε στη συέχεια το τετράγωο του αθροίσματος τω ψηφίω του αριθμού που σκεφτήκατε και αφαιρέστε τα δύο αποτελέσματα. Ο αριθμός που βρήκατε διαιρείται με το 9. Μπορείτε α το εξηγήσετε; Ας υποθέσουμε ότι ο διψήφιος είαι ο αριθμός. Βρίσκουμε το τετράγωό του που είαι 44. Στη συέχεια βρίσκουμε το τετράγωο του αθροίσματος τω ψηφίω του () 9. Αφαιρώτας τα δύο αποτελέσματα έχουμε 44-95 το οποίο διαιρείται ακριβώς με το 9 (5:95). Η εξήγηση είαι η εξής: Έστω y ο διψήφιος αριθμός τότε σύμφωα με τη εκφώηση του προβλήματος έχουμε: 0 y y 00 0y y y y ( y) 99 8y 9 Άρα η τελευταία παράσταση διαιρείται ακριβώς με το 9.. Πόσα από το κάθε είδος τω διπλαώ σχημάτω πρέπει α χρησιμοποιήσετε για α σχηματίσετε έα τετράγωο με πλευρά: α),β) α) Όπως φαίεται από το διπλαό σχήμα θα χρειαστούμε έα τετράγωο πλευράς και έξι ορθογώια διαστάσεω, και εέα τετράγωα πλευράς. β) Όπως φαίεται από το διπλαό σχήμα θα χρειαστούμε τέσσερα τετράγωα πλευράς και τέσσερα ορθογώια διαστάσεω, και έα τετράγωο πλευράς.

84 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α)5 5... β) 8 05 95... 0 98...... 005 995... 00 998... Χρησιμοποιώτας τη ταυτότητα της διαφοράς τετραγώω έχουμε α)5 5 5 5 5 5 0.0 00 05 005 β) 0 95-8 995-98 00-998 4. α) Να αποδείξετε ότι: 5 4 5 4, ( 05 95)( 05 95) ( 005 995)( 005 995) ( - 8)( 8) 4.0 80 ( 0-98)( 0 98) 4.00 ( 00-998)( 00 998) 0.00.000 0.000 0.000 800 4.000 8.000 65 64 65 64, 4 4 β) Με βάση τις προηγούμεες ισότητες α συμπληρώσετε τη φράση: «Η διαφορά τω τετραγώω δύο φυσικώ αριθμώ ισούται με το.τω αριθμώ αυτώ». γ) Να συμπληρώσετε τη ισότητα: 4568 -..... Χρησιμοποιώτας τη ταυτότητα της διαφοράς τετραγώω έχουμε 5 4 5 4 5 4 5 4, 65 64 ( )( ) ( 65 64)( 65 64 ) 65 64, ( 4 )( 4 ) 4 4 β) Από τα παραπάω αποτελέσματα διαπιστώουμε ότι έχουμε πάτα διαφορά τετραγώω δύο διαδοχικώ φυσικώ αριθμώ και αυτή είαι πάτα ίση με το άθροισμά τους οπότε έχουμε: «Η διαφορά τω τετραγώω δύο διαδοχικώ φυσικώ αριθμώ ισούται με το άθροισμα τω αριθμώ αυτώ». γ) Σύμφωα με τις παραπάω διαπιστώσεις έχουμε: 4568-4567 45684567

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 85 5. α) Να αποδείξετε τη ταυτότητα για β) Να αποδείξετε ότι κάθε περιττός αριθμός γράφεται ως διαφορά τετραγώω δύο αριθμώ. α) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα της διαφοράς τετραγώω. Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις Απλοποιούμε τα κλάσματα β) Α είαι περιττός αριθμός τότε έχει τη μορφή κ με κ ακέραιο και χρησιμοποιώτας τις διαπιστώσεις του ερωτήματος α έχουμε: κ κ κ κ κ Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα της διαφοράς τετραγώω. Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις Απλοποιούμε τα κλάσματα Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα (αβ) α αββ

86 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ 0 Α. Να συμπληρώσετε το πίακα ατιστοιχίζοτας σε κάθε παράσταση της στήλης Α το αάπτυγμά της από τη στήλη Β. Στήλη Α α. (α4) β. (-4α) γ. (4α-)(4α) δ (α-)(α α) ε. (α-) Στήλη Β. α -. α -αα -. α 8α8 4. 4α -9 5. α -α α- 6. α -8α6 7. 6α -9 8. α 8α6 α β γ δ ε Β. Να αποδείξετε ότι α β α α β αβ β. ΘΕΜΑ 0 Να αποδείξετε ότι y y y y 9 4y. ΘΕΜΑ 0 Στο τρίγωο ΑΒΓ είαι ΑΓ4 -, ΑΒ4, ΒΓ4 Να αποδείξετε ότι το τρίγωο είαι ορθογώιο 4 B 4 A 4 - Γ