ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης, διαιρετέος, υπόλοιπο, παράγοντας. Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.11 Αναπαριστούν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, τέλειας και ατελούς διαίρεσης, χρησιμοποιώντας υλικό όπως κύβους Dienes, εικόνες, εφαρμογίδια και σύμβολα. Αρ2.14 Χρησιμοποιούν σε πράξεις και προβλήματα: (α) το ένα ως ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού (β) το μηδέν ως το απορροφητικό στοιχείο του πολλαπλασιασμού (γ) την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού (δ) την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού (ε) την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αρ2.15 Χρησιμοποιούν και διατυπώνουν στρατηγικές εκτέλεσης νοερών υπολογισμών με αριθμούς μέχρι το 1000. Αρ2.16 Εκτιμούν το αποτέλεσμα μιας πράξης, εφαρμόζοντας στρατηγικές στρογγυλοποίησης ακέραιων αριθμών στην πλησιέστερη δεκάδα, εκατοντάδα και χιλιάδα. 1
Αρ2.17 Διατυπώνουν και επιλύουν προβλήματα διαδικασίας και λεκτικά προβλήματα με περισσότερες από μία πράξεις και ελέγχουν τη λογικότητα της απάντησής τους. ΑΛΓΕΒΡΑ Διερεύνηση σχέσεων και μοτίβων Α2.1 Αναγνωρίζουν, περιγράφουν και επεκτείνουν μοτίβα. Α2.2 Κατασκευάζουν μοτίβα χρησιμοποιώντας διαφορετικά μέσα αναπαράστασης. Α2.3 Χρησιμοποιούν λεκτικές και αλγεβρικές εκφράσεις, για να αναπαραστήσουν αθροιστικές και πολλαπλασιαστικές σχέσεις. Α2.4 Χρησιμοποιούν γραφικές παραστάσεις, για να αναπαραστήσουν αριθμητικές σχέσεις. Διερεύνηση εξισώσεων Α2.5 Χρησιμοποιούν κατάλληλα τα σύμβολα της ισότητας και ανισότητας, συμπληρώνουν, ερμηνεύουν και εκφράζουν ισότητες, για να δείξουν αριθμητικές σχέσεις. Α2.6 Κατασκευάζουν εξισώσεις για την επίλυση προβλημάτων και επιλύουν απλές εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή αναπαρίσταται με διαφορετικούς τρόπους (π.χ. τετράγωνο, κενό). Α2.7 Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική), για να απλοποιήσουν νοερούς υπολογισμούς και να ελέγχουν τα αποτελέσματά τους. 2
Α2.8 Επιλύουν προβλήματα ρουτίνας και διαδικασίας, χρησιμοποιώντας ποικιλία στρατηγικών. Α2.9 Επιλύουν προβλήματα λογικής σκέψης. Α2.10 Κατασκευάζουν προβλήματα χρησιμοποιώντας δεδομένα από πίνακες, εικόνες και γραφικές παραστάσεις. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 48-52): Πρόσθεση με υπερπήδηση δεκάδας μέχρι το 20 Μαθήματα 3 και 4 (σελίδες 53-56): Πρόσθεση και αφαίρεση με υπερπήδηση ή χάλασμα δεκάδας μέχρι το 20 Μάθημα 5 (σελίδες 57-59): Πρόσθεση και αφαίρεση διψήφιων αριθμών χωρίς υπερπήδηση ή χάλασμα δεκάδας Μαθήματα 6 και 7 (σελίδες 60-63): Πρόσθεση αριθμών μέχρι το 100 με υπερπήδηση δεκάδας (κατακόρυφος αλγόριθμος) Μάθημα 8 (σελίδες 64-65): Πρόσθεση αριθμών μέχρι το 100 με υπερπήδηση δεκάδας (νοεροί υπολογισμοί) Μάθημα 9 (σελίδες 66-67): Πρόσθεση αριθμών μέχρι το 100 με υπερπήδηση δεκάδας (νοεροί υπολογισμοί) Μαθήματα 10 και 11 (σελίδες 68-70): Πρόσθεση και αφαίρεση αριθμών μέχρι το 100 Μαθήματα 12 και 13 (σελίδες 71-76): Αφαίρεση διψήφιων αριθμών με χάλασμα δεκάδας Μαθήματα 14 και 15 (σελίδες 77-80): Αφαίρεση διψήφιων αριθμών με χάλασμα δεκάδας Μαθήματα 16 και 17 (σελίδες 81-84): Μοτίβα πρόσθεσης και αφαίρεσης Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας μπορούν να αξιοποιηθούν 18 διδακτικές ώρες. 3
ΣΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΟΧΗΣ Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 48-52) Διερεύνηση (σελ. 48) Στη διερεύνηση αυτή αναμένεται να δοθεί έμφαση στα διπλά (π.χ. 6 + 6 = 12) και στα αθροίσματα που προκύπτουν από τα διπλά (π.χ. 6 + 7 = 13). Δραστηριότητα 4 (σελ. 51) Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις. Μαθήματα 3 και 4 (σελίδες 53-56) Διερεύνηση (σελ. 53) Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις. Το ζητούμενο άθροισμα μπορεί να σχηματιστεί με δύο ή με τρεις προσθετέους. Διερεύνηση (σελ. 56) Εφαρμόζοντας τη διαδικασία που περιγράφεται στη διερεύνηση αυτή τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι το άθροισμα που προκύπτει είναι διψήφιος αριθμός στον οποίο το ψηφίο των μονάδων και των δεκάδων είναι το ίδιο. Ζητείται από τα παιδιά να εξετάσουν κατά πόσο η παρατήρηση αυτή ισχύει για όλους τους διψήφιους αριθμούς. Στην περίπτωση που το άθροισμα που προκύπτει είναι τριψήφιος αριθμός (π.χ. 57 + 75 = 132) τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι το άθροισμα του ψηφίου των μονάδων και του ψηφίου των εκατοντάδων είναι ίσο με το ψηφίο των δεκάδων. Στη διερεύνηση αυτή μπορεί να αξιοποιηθεί η υπολογιστική μηχανή. Μάθημα 5 (σελίδες 57-59) Διερεύνηση (σελ. 57) Στη διερεύνηση αυτή τα παιδιά καλούνται να χρησιμοποιήσουν τα ψηφία που δίνονται, για να σχηματίσουν δύο διψήφιους αριθμούς κάθε φορά και να υπολογίσουν το άθροισμά τους. Σε σχέση με το ερώτημα (β) αναμένεται να παρατηρήσουν ότι το 4
άθροισμα 94 («το μεγαλύτερο άθροισμα») μπορεί να προκύψει με δύο διαφορετικούς τρόπους (53 + 41 ή 51 + 43). Δραστηριότητα 2 (σελ. 58) Στην περίπτωση της τρίτης υπολογιστικής μηχανής τα παιδιά θα πρέπει να χρησιμοποιήσουν δύο φορές ένα από τα ψηφία που δίνονται, ώστε να προκύψει το ζητούμενο αποτέλεσμα. Μαθήματα 6 και 7 (σελίδες 60-63) Διερεύνηση (σελ. 60) Στόχος της διερεύνησης αυτής είναι τα παιδιά να συζητήσουν διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούν να εργαστούν για τον υπολογισμό του ίδιου αθροίσματος (π.χ. κύβοι Dienes, ανάλυση αριθμού, κατακόρυφη παρουσίαση). Μέσα από τη συζήτηση αναμένεται να διαφανούν ομοιότητες και διαφορές ανάμεσα στους τρόπους που παρουσιάζονται. Μάθημα 8 (σελίδες 64-65) Εξερεύνηση (σελ. 64) Στόχος της εξερεύνησης αυτής είναι να αναδυθούν ελεύθερα οι στρατηγικές των παιδιών για τον νοερό υπολογισμό του αθροίσματος διψήφιων αριθμών με υπερπήδηση δεκάδας. Μερικοί από τους τρόπους που μπορούν να εισηγηθούν τα παιδιά για τον υπολογισμό του αθροίσματος 38 + 47 είναι: (α) 30 + 40 = 70, 8 + 7 = 15, άρα 70 + 15 = 85 (β) 47 + 30 = 77, 77 + 8 = 85 (γ) Ξέρω ότι 40 + 47 = 87, άρα 38 + 47 = 85 5
Μάθημα 9 (σελίδες 66-67) Διερεύνηση (σελ. 66) Στόχος της διερεύνησης αυτής είναι να αντιληφθούν τα παιδιά ότι μπορούν να υπολογίσουν ένα άθροισμα με διάφορους τρόπους. Σε κάθε περίπτωση παρατηρούν τους προσθετέους και επιλέγουν τον κατάλληλο τρόπο. Μαθήματα 10 και 11 (σελίδες 68-70) Διερεύνηση (σελ. 68) Στη διερεύνηση αυτή θα πρέπει τα παιδιά να αντιληφθούν ότι υπάρχει δυνατότητα σε οποιοδήποτε δωμάτιο να τοποθετηθεί μικρότερος αριθμών ατόμων από τον αριθμό των κρεβατιών. Για παράδειγμα, με βάση τις πληροφορίες που δίνονται, στο κόκκινο δωμάτιο υπάρχουν 10 κρεβάτια. Κατά την κατανομή των ατόμων σε δωμάτια μπορεί στο κόκκινο δωμάτιο να τοποθετηθούν 9 ή λιγότερα άτομα. Για το πρόβλημα υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις. Μαθήματα 14 και 15 (σελίδες 77-80) Διερεύνηση (σελ. 77) Στη διερεύνηση αυτή αναμένεται τα παιδιά να αξιοποιήσουν το γεγονός ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίθετες πράξεις. Δραστηριότητα 1 (σελ. 78) Αξιοποιώντας το γεγονός ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίθετες πράξεις, τα παιδιά κάνουν επαλήθευση. Δραστηριότητες Εμπλουτισμού Δραστηριότητα 14 (σελ. 93) Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις σε κάθε περίπτωση. Για να ισχύει η ισότητα των αθροισμάτων οριζόντια και κατακόρυφα, θα πρέπει στο κουτί που βρίσκεται στο κέντρο του διαγράμματος να τοποθετηθεί ένας από τους περιττούς αριθμούς που δίνονται. 6
Δραστηριότητα 21 (σελ. 98) Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις στα ερωτήματα (γ) και (δ). Δραστηριότητα 24 (σελ. 99) Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις. Δραστηριότητα 38 (σελ. 108) Τα παιδιά μπορούν να κατασκευάσουν μοτίβα όπου παρουσιάζεται αύξηση ή μείωση. Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις. 7
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Γίνεται εισήγηση όπως χρησιμοποιούνται σε διάφορες περιπτώσεις εφαρμογίδια, όπως τα πιο κάτω: 1. Εφαρμογίδια για πρόσθεση αριθμών 1.1 Ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_154_g_1_t_1.html?from=category_g_1_t_1.html Τα παιδιά αναπαριστούν μαθηματικές προτάσεις πρόσθεσης με κύβους Dienes. Για διψήφιους αριθμούς ρυθμίζουμε τον αριθμό των στηλών. Columns=2 8
1.2 Ιστοσελίδα http://www.iboard.co.uk/iwb/adding-2digit-numbers-298 Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα ανάλυσης των προσθετέων σε δεκάδες και μονάδες. 1.3 Ιστοσελίδα http://www.harcourtschool.com/activity/add/add.html Τα παιδιά καλούνται να τοποθετήσουν τον αριθμό που δίνεται στην κατάλληλη θέση του πίνακα ως άθροισμα δύο προσθετέων (π.χ. 12=7+5). 9
1.4 Ιστοσελίδα http://www.amblesideprimary.com/ambleweb/mentalmaths/pyramid.html Το άθροισμα δύο αριθμών που βρίσκονται σε γειτονικά κουτιά πρέπει να γραφτεί πάνω από αυτά. Το πρώτο επίπεδο ( easy ) περιλαμβάνει πρόσθεση αριθμών με άθροισμα μέχρι το 20. Το δεύτερο επίπεδο ( medium ) περιλαμβάνει πρόσθεση αριθμών με άθροισμα μέχρι το 100. 1.5 Ιστοσελίδα http://www.kenttrustweb.org.uk/kentict/content/games/magic_square_v4.html Τα παιδιά συμπληρώνουν το μαγικό τετράγωνο, ώστε οι 3 αριθμοί σε κάθε γραμμή (οριζόντια, κατακόρυφα και διαγώνια) να έχουν ως άθροισμα τον αριθμό που βγαίνει από το καπέλο. 10
1.6 Ιστοσελίδα http://www.mathsframe.co.uk/resources/order_calculations.aspx Τα παιδιά καλούνται να σειροθετήσουν τα αθροίσματα που παρουσιάζονται. 1.7 Ιστοσελίδα http://www.mathsframe.co.uk/resources/number_bonds.aspx Τα παιδιά καλούνται να εντοπίσουν αριθμούς που έχουν συγκεκριμένο άθροισμα. Από την αρχική σελίδα επιλέγουμε με ποιους αριθμούς θα εργαστούμε (π.χ. ζεύγη αριθμών που έχουν άθροισμα 100). 11
1.8 Ιστοσελίδα http://www.iboard.co.uk/iwb/dodge-the-asteroids-addition-next-steps-923 Τα παιδιά εξασκούνται με προσθέσεις αριθμών μέχρι το 100 σε διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας: Επίπεδο 1: Πρόσθεση διψήφιων αριθμών χωρίς υπερπήδηση δεκάδας (άγνωστο το άθροισμα) Επίπεδο 2: Πρόσθεση διψήφιων αριθμών χωρίς υπερπήδηση δεκάδας (άγνωστος ο ένας προσθετέος) Επίπεδο 3: Πρόσθεση διψήφιου αριθμού με μονοψήφιο αριθμό της μορφής Δ 1 Μ 1 + Μ 2, όπου Μ 1 + Μ 2 = 10 Επίπεδο 4: Πρόσθεση διψήφιων αριθμών της μορφής Δ 1 Μ 1 + Δ 2 Μ 2, όπου Μ 1 + Μ 2 = 10 12
2. Εφαρμογίδια για αφαίρεση αριθμών 2.1 Ιστοσελίδα http://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cresource.dspdetail&resourceid =1021 Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης της αφαίρεσης αριθμών με χάλασμα δεκάδας. Τα παιδιά καλούνται να φορτώσουν προμήθειες σε ένα διαπλανητικό φορτηγό και στη συνέχεια να ξεφορτώσουν κάποια ποσότητα προμηθειών σε διάφορους πλανήτες. Οι προμήθειες τοποθετούνται σε κιβώτια καθένα από τα οποία περιέχει μέχρι 10 δοχεία. Ο αριθμός του αρχικού φορτίου και η ποσότητα που ξεφορτώνεται σε κάθε πλανήτη μπορούν να καθοριστούν από τον/την εκπαιδευτικό. 2.2 Λογισμικό «Παίζω με τους αριθμούς» - Αφαίρεση Το εφαρμογίδιο υποστηρίζει τη διδασκαλία της αφαίρεσης ως συμπληρωματική πρόσθεση. Οι πράξεις που εμφανίζονται είναι τυχαίες μέσα στο εύρος που επιλέγει ο χρήστης (π.χ. «επίπεδο 3» για αριθμούς μέχρι το 100. 13
2.3 Ιστοσελίδα http://www.iboard.co.uk/iwb/hare-race-how-much-faster-seconds-100-2626 Τα παιδιά καλούνται να υπολογίσουν τη διαφορά ανάμεσα στον χρόνο του πρώτου και του δεύτερου αθλητή. 2.4 Ιστοσελίδα http://www.sheppardsoftware.com/mathgames/fruitshoot/fruitshoot_subtraction.htm Τα παιδιά εξασκούνται με αφαιρέσεις αριθμών σε διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας. Για παράδειγμα: Επίπεδο 4: Αφαίρεση μονοψήφιου από διψήφιο αριθμό χωρίς χάλασμα δεκάδας Επίπεδο 5: Αφαίρεση μονοψήφιου από διψήφιο αριθμό με χάλασμα δεκάδας Επίπεδο 6: Αφαίρεση διψήφιου από διψήφιο αριθμό χωρίς χάλασμα δεκάδας 14
3. Εφαρμογίδια για πρόσθεση και αφαίρεση αριθμών 3.1 Ιστοσελίδα http://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cresource.dspdetail&resourceid =1022 Επιλέγοντας τα εικονίδια add και subtract ο βάτραχος κινείται στην αριθμητική γραμμή με στόχο να πιάσει τις μύγες. Με το jump size καθορίζεται το μέγεθος του βήματος που θα κάνει ο βάτραχος. Επιλέγοντας το εικονίδιο add fly εμφανίζονται μύγες στην αριθμητική γραμμή. 3.2 Ιστοσελίδα http://www.sadlier-oxford.com/math/enrichment/gr1/ch3/0103b.htm Τα παιδιά καλούνται να χρησιμοποιήσουν 3 δεδομένους αριθμούς, για να σχηματίσουν μαθηματικές προτάσεις πρόσθεσης και αφαίρεσης. 15
3.3 Ιστοσελίδα http://www.sadlier-oxford.com/math/enrichment/gr2/ch5/0205.htm Τα παιδιά καλούνται να επιλέξουν ποιες μαθηματικές προτάσεις έχουν ως αποτέλεσμα έναν συγκεκριμένο αριθμό. 3.4 Ιστοσελίδα http://www.iboard.co.uk/iwb/number-targets-set-a-target-660 Καθορίζουμε έναν αρχικό αριθμό και έναν αριθμό-στόχο. Τα παιδιά καλούνται να επιλέξουν τις κατάλληλες πράξεις που θα τους επιτρέψουν τη μετάβαση από τον αρχικό αριθμό στον αριθμό-στόχο. 16