Ανδρέας ΜΑΡΑΒΑΣ 1, Γεώργιος ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ 2, Δημήτρης Λ. ΚΑΡΑΜΠΑΛΗΣ 3

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 008 Άρθρο 1903 Ελαστοδυναμικές Λύσεις Αλληλεπίδρασης Εδάφους- Κατασκευής για Βάθρα Γεφυρών Εδραζόμενων σε Πασσάλους ή Θεμέλια. Elatodynamic SSI Solution for Bridge Pier on Pile and Footing Ανδρέας ΜΑΡΑΒΑΣ 1, Γεώργιος ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ, Δημήτρης Λ. ΚΑΡΑΜΠΑΛΗΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην παρούσα εργασία παρατίθενται νέες αναλυτικές επιλύσεις για συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας, τα οποία θεμελιώνονται σε μεμονωμένα θεμέλια και σε πασσάλους. Πρώτον παράγονται ακριβείς μαθηματικές εκφράσεις για την θεμελιώδη περίοδο της υπερκατασκευής, λαμβάνοντας υπόψη την συνάρτηση των διαφόρων όρων δυναμικής δυσκαμψίας από την συχνότητα. Δεύτερον παράγονται κλειστές εκφράσεις για τους αντίστοιχους λόγους απόσβεσης. Τρίτον υπολογίζεται η επιρροή της μάζας της θεμελίωσης στην περίοδο και την απόσβεση του συστήματος. Τέταρτον συγκρίνεται το ποσό της απόσβεσης, λόγω ακτινοβολίας, που δημιουργείται από έναν μεμονωμένο πάσσαλο και ένα θεμέλιο. Αυτό γίνεται εφικτό, με την εισαγωγή της έννοιας των στατικά και γεωμετρικά ισοδυνάμων συστημάτων εδάφους-κατασκευής. Αποδεικνύεται, πως μια κατασκευή θεμελιωμένη σε πάσσαλο, ακτινοβολεί ως και διπλάσια ποσότητα ενέργειας, σε σχέση με την ίδια κατασκευή θεμελιωμένη σε μεμονωμένο θεμέλιο. Τέλος παρέχονται αριθμητικά αποτελέσματα σε μορφή διαγραμμάτων, τα οποία διασαφηνίζουν τα ιδιαίτερα σημεία του προβλήματος και μπορούν να εφαρμοστούν στο σχεδιασμό κατασκευών. Το παρόν άρθρο, συμπληρώνει και επεκτείνει τις πρωτοποριακές εργασίες πάνω στο θέμα των Veleto, Bielak, Wolf και των συνεργατών τους. ABSTRACT : In thi paper, novel analytical olution are preented for ingle degree-offreedom (SDOF) ocillator founded on footing and pile on compliant oil. Firt, eact formula for the fundamental natural period of the above tructure, encompaing the frequency dependence of the variou impedance term, are derived. Second, cloed-form olution for the correponding damping coefficient are derived. Third, the influence of foundation ma on the period and damping of the ytem i etimated. Fourth, the amount of radiation damping generated from a ingle pile and a footing are compared. To thi end, the concept of tatically and geometrically equivalent SSI ytem i introduced. It i hown that a tructure founded on a pile may generate a much a twice the amount of radiation damping of a imilar tructure on a pread footing. The paper complement and etend the eminal tudie in the ubject by Veleto, Bielak, Wolf and their co-worker. 1 Μεταπτυχιακός Φοιτητής, Mc. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, email: anmarav@upatra.gr Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, email: mylo@upatra.gr 3 Καθηγητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, email: karabali@upatra.gr

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η γνώση πάνω στο θέμα της δυναμικής Αλληλεπίδρασης Εδάφους-Κατασκευής έχει προέλθει κυρίως από μελέτες απλών κατασκευών εδραζόμενων σε επιφανειακές θεμελιώσεις, κατά την διάρκεια των τελευταίων σαράντα ετών. Η σεισμική απόκριση κατασκευών θεμελιωμένων σε πασσάλους, έχει λάβει σημαντικά μικρότερη προσοχή από τους ερευνητές διεθνώς. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός, πως τα αποτελέσματα αυτών των προσπαθειών δεν έχουν οδηγήσει ακόμη στην καθιέρωση μεθόδων σχεδιασμού ή κανονισμών, όπως συμβαίνει στην περίπτωση επιφανειακών θεμελίων, όπου έχουν αναπτυχθεί αρκετές απλές μέθοδοι υπολογισμού (NEHRP-03, EC-8). Αυτό σημαίνει πως υπάρχουν αρκετοί παράμετροι του φαινομένου, οι οποίοι πρέπει να διερευνηθούν ώστε να κατανοηθεί πλήρως ο ρόλος τους στη σεισμική απόκριση συστημάτων θεμελιωμένων σε πασσάλους. Οι στόχοι του άρθρου είναι: (1) η ανασκόπηση των διαθέσιμων μεθόδων για την επίλυση του προβλήματος, με έμφαση στις λύσεις των Veleto & Meek (1974), Veleto & Nair (1975), Veleto (1977) και Wolf (1985), που είναι προσανατολισμένες στο σχεδιασμό συστημάτων εδάφους-κατασκευής, () η επίλυση του προβλήματος για την περίπτωση ενός μονοβάθμιου συστήματος, θεμελιωμένου σε επιφανειακό θεμέλιο, με χρήση ενός νέου τρόπου υπολογισμού της θεμελιώδους ιδιοπεριόδου του και του λόγου απόσβεσής του, (3) η επέκταση αυτής της επίλυσης στην περίπτωση ενός συστήματος θεμελιωμένου σε πάσσαλο, (4) η παρουσίαση αποτελεσμάτων για διάφορα κατασκευαστικά συστήματα εδραζόμενα σε παραμορφώσιμο έδαφος, και (5) η σύγκριση της απόσβεσης λόγω ακτινοβολίας που προκύπτει από ένα επιφανειακό θεμέλιο και έναν πάσσαλο. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΠΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟΥ ΘΕΜΕΛΙΟΥ Η κλασσική προσέγγιση για την δυναμική ανάλυση της αλληλεπίδρασης εδάφουςκατασκευής στοχεύει στην αντικατάσταση της πραγματικής κατασκευής με ένα ισοδύναμο σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας, το οποίο εδράζεται σε ελατήρια και αποσβεστήρες εξαρτώμενα από τη συχνότητα διέγερσης. Τα ελατήρια αντιστοιχούν στην δυσκαμψία του εδαφικού υλικού ενώ οι αποσβεστήρες αντιστοιχούν στην απόσβεση του. Αυτό το προσομοίωμα έχει υιοθετηθεί από πολλούς ερευνητές διεθνώς (Parmelee, 1967; Veleto & Meek, 1974; Veleto & Nair, 1975; Veleto, 1977; Jenning & Bielak, 1973; Wolf, 1985; Avile et al, 1996; 1998). Παρακάτω γίνεται μια σύντομη αναφορά σε διαθέσιμες μεθόδους, οι οποίες οδηγούν σε αναλυτική επίλυση του προβλήματος της αλληλεπίδρασης. Με βάση αυτές τις μεθόδους αναπτύσσεται, μια νέα, πιο ακριβής και άμεση μεθοδολογία για την επίλυση του προβλήματος. Κλασσικές μέθοδοι επίλυσης Το υπό μελέτη σύστημα παρουσιάζεται στο Σχήμα 1. Αποτελείται από έναν απλό ταλαντωτή εδραζόμενο σε εύκαμπτη βάση. Το σύστημα αυτό, ενός δυναμικού βαθμού ελευθερίας, αντιστοιχεί είτε σε μια μονώροφη κατασκευή, είτε σε μια πολυώροφη κατασκευή της οποίας η μάζα συγκεντρώνεται στο σημείο δράσης της συνισταμένης των αδρανειακών δυνάμεων.

Το προσομοίωμα αποτελείται από μια γραμμικά ελαστική κατασκευή με μάζα m, ύψος h, συνολική πλευρική δυσκαμψία k και λόγο απόσβεσης ζ, η οποία θεμελιώνεται σε κυκλικό άκαμπτο θεμέλιο ακτίνας r. Το έδαφος θεμελίωσης θεωρείται πως αποτελείται από ένα ομοιογενές, ιξωδοελαστικό υλικό, το οποίο χαρακτηρίζεται από το μέτρο ελαστικής διάτμησης G, την πυκνότητα του ρ, τον λόγο του Poion ν, και τον λόγο υστερητικής απόσβεσης ζ. Οι σταθερές ελατηρίων Κ και Κ θ αντιστοιχούν στην δυσκαμψία της θεμελίωσης για μεταφορική και λικνιστική κίνηση αντίστοιχα. Οι σταθερές C και C θ εκφράζουν την απόσβεση ενέργειας λόγω ακτινοβολίας των κυμάτων που δημιουργούνται στην επιφάνεια επαφής θεμελίου-ελαστικού ημίχωρου (γεωμετρική απόσβεση) καθώς και λόγω υστερητικής φύσης του εδαφικού υλικού. Η δυναμική δυσκαμψία με τη παρακάτω σχέση K ( ω ) για κάθε βαθμό ελευθερίας του συστήματος ορίζεται σύμφωνα K ( ω) = K + iωc = K(1+ iζ) (1) όπου K είναι το πραγματικό μέρος της δυναμικής δυσκαμψίας, ω C είναι το φανταστικό μέρος της δυναμικής δυσκαμψίας, ω είναι η κυκλική συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης και i είναι η φανταστική μονάδα. Επίσης ζ είναι μια παράμετρος που εκφράζει απώλεια ενέργειας και είναι ανάλογη με το συντελεστή ιξώδους απόσβεσης ενός απλού ταλαντωτή. K ωc ζ( ω ) = = K Im( ) Re( K ) () m u u1 h k C K r u4 Cθ u3 Kθ K C (β) m u (α) Σχήμα 1. (α) Διακριτό προσομοίωμα συστήματος εδάφους-κατασκευής (β) Ισοδύναμος μονοβάθμιος ταλαντωτής 3

Για το προσομοίωμα του Σχήματος 1α, τα ελατήρια και οι αποσβεστήρες που χρησιμοποιούνται για το θεμέλιο, μπορούν να εκφραστούν με βάση τους τύπους που πρότειναν οι Veleto και Meek (1974): K = a K, K = a K (3) C t θ θ t Ktr Ktr = χ, Cθ = χθ V V όπου V είναι η ταχύτητα διάδοσης διατμητικών κυμάτων στον εδαφικό ημίχωρο και Κ t είναι η στατική οριζόντια ή μεταφορική δυσκαμψία του θεμελίου, η οποία δίνεται από τη σχέση: (4) K t 8 = Gr ν (5) Οι όροι α, α θ, χ και χ θ δηλώνουν αδιάστατους συντελεστές που εξαρτώνται από τον λόγο Poion του εδαφικού υλικού και από την επίσης αδιάστατη συχνότητα: ωr a 0 = V (6) Υπό σεισμική διέγερση, το σύστημα εδάφους-κατασκευής παραμορφώνεται όπως φαίνεται στο Σχήμα. Η μεταφορική κίνηση της μάζας σε σχέση με το έδαφος αποτελείται από τρία μέρη: (1) την οριζόντια μετακίνηση λόγω της πλευρικής κίνησης του θεμελίου u, () την οριζόντια μετακίνηση λόγω της λικνιστικής κίνησης του θεμελίου u θ και (3) της οριζόντιας παραμόρφωσης της κατασκευής u c. P m u u θ uc h k C r θ K C θ K θ Σχήμα. Διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το σύστημα εδάφους-κατασκευής 4

Με βάση αυτούς τους ορισμούς, η δυναμική δυσκαμψία του συστήματος (Σχήμα ) μπορεί να οριστεί ως εξής: % P = % + u + u h+ u ( 1 % ζ ) K K i θ c (7) όπου K % και ζ % δηλώνουν την συνολική δυσκαμψία και απόσβεση του συστήματος στο ύψος h. Η δυναμική απόκριση του συστήματος εδάφους-κατασκευής εξαρτάται από τις μηχανικές ιδιότητες της θεμελίωσης, του εδάφους, της ανωδομής καθώς και από τα χαρακτηριστικά της διέγερσης. Τα παραπάνω συνοψίζονται στους ακόλουθους αδιάστατους συντελεστές (Veleto et al, 1974, 1975, 1977) (i) Η παράμετρος κύματος σ = V f h c (8) Όπου f c είναι φυσική ιδιοσυχνότητα της πακτωμένης κατασκευής. (ii) Η σχετική αδράνεια εδάφους-κατασκευής m γ = πρ hr (9) (iii) Ο λόγος απόσβεσης ζ της πακτωμένης κατασκευής. (iv) Ο λόγος λυγηρότητας h/r. (vi) Ο λόγος υστερητικής απόσβεσης ζ του εδαφικού υλικού. Επίλυση με τη μέθοδο Veleto et al (1974, 1975, 1977) Ο στόχος αυτής της μεθόδου είναι η σύνδεση των ιδιοτήτων του πλήρους συστήματος εδάφους-κατασκευής ( T %, % ζ ) με τις ιδιότητες της πακτωμένης κατασκευής ( T, ζ ), ώστε να γίνει δυνατός ο υπολογισμός της επίδρασης του φαινομένου στην δυναμική συμπεριφορά της κατασκευής. Αυτή η σύνδεση εκφράζεται από το ακόλουθο ζεύγος εξισώσεων (Veleto, 1977): 3 k K h ν π γ 1 ν a h T% = T 1+ 1+ = T 1+ 1+ 3 K K a ( h θ σ ) ν aθ r r ( ) 3 ζ% = ζ% T 0 + % ζ T (10) (11) όπου ζ % 0 είναι η απόσβεση λόγω ακτινοβολίας του επιφανειακού θεμελίου. Η απόσβεση της κατασκευής ζ θεωρείται πως είναι αποκλειστικά ιξώδης. Ο λόγος απόσβεσης λόγω ακτινοβολίας του θεμελίου δίνεται από (Veleto and Nair, 1975): % ( ) 4 3 π γ T ( ν ) χ r 3(1 ν ) χ θ ζ% 0 = 3 T + σ a( a + ia 0χ ) h aθ ( aθ + ia 0χθ ) (1) 5

Η μέθοδος βασίζεται στην εξίσωση της περιόδου (ή συχνότητας) συντονισμού και της μέγιστης τιμής της ψεύδο-επιτάχυνσης του πραγματικού συστήματος εδάφους-κατασκευής (απείρων βαθμών ελευθερίας) με τα αντίστοιχα μεγέθη του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Επίλυση με τη μέθοδο του Wolf (1985) Το σύστημα που αναλύεται από τον Wolf είναι ταυτόσημο με αυτό που παρουσιάζεται στα Σχήματα 1,. Η βασική διαφορά αυτής της επίλυσης σε σχέση με την προσέγγιση του Veleto, είναι η χρήση δυναμικών συντελεστών ανεξάρτητων της συχνότητας διέγερσης για τις σταθερές ελατηρίων και αποσβεστήρων του θεμελίου. Οι συντελεστές αυτοί έχουν σταθερές τιμές που είναι a = 1, χ = 0.575, a θ = 0.15, χ θ = 0.15. Επίσης, η μέθοδος διαφέρει και στον τρόπο εύρεσης της απόκρισης του πλήρους συστήματος, καθώς αυτή προκύπτει από άμεση επίλυση του συστήματος των εξισώσεων κίνησης του πλήρους συστήματος εδάφους-κατασκευής. Οι ιδιότητες του ισοδύναμου μονοβάθμιου ταλαντωτή δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: k kh % ω = ω c 1 + + K K θ (13) ω ω ω ω ζ% % % % % = ζ + 1 ζ + ζ + ζ ωc ωc ω ω θ Στις παραπάνω εξισώσεις, ωθ = Kr θ / mh, ω = K / m, ωc = k/ m είναι οι ασύζευκτες κυκλικές συχνότητες του συστήματος για λικνιστική ταλάντωση του θεμελίου (υποθέτοντας την υπερκατασκευή άκαμπτη), μεταφορική ταλάντωση του θεμελίου και μεταφορική ταλάντωση της υπερκατασκευής (υποθέτοντας το θεμέλιο άκαμπτο), αντίστοιχα. Αξίζει να σημειωθεί ότι η εξίσωση (14) είναι απλούστερη από την αντίστοιχη εξίσωση (11) της μεθόδου του Veleto et al (1974, 1975, 1977). θ (14) Παρά την πρωτοποριακή τους σημασία, και την θεωρητική και πρακτική τους αξία, οι ανωτέρω μέθοδοι παρουσιάζουν ορισμένα μειονεκτήματα: (α) Και στις δύο μεθόδους, οι όροι απόσβεσης ανώτερης τάξης (ζ i ζ j ) αμελούνται. Αυτή η προσέγγιση είναι αμφισβητήσιμη για συστήματα εδάφους-κατασκευής με υψηλή απόσβεση (β) Η απόσβεση του συστήματος στην μέθοδο του Veleto, προκύπτει από μια προσεγγιστική διαδικασία, η οποία οδηγεί σε μια έκφραση που περιέχει φανταστικούς όρους (Εξίσωση 1). Το γεγονός αυτό δυσχεραίνει τη χρήση της μεθόδου σε πρακτικές εφαρμογές (γ) Οι δυναμικές δυσκαμψίες που χρησιμοποιούνται στην μέθοδο του Wolf, είναι ανεξάρτητες της συχνότητας διέγερσης (δ) Η απόσβεση της κατασκευής στην μέθοδο του Veleto θεωρείται αποκλειστικά ιξώδους φύσεως (ε) Και στις δύο μεθόδους η μάζα και η στροφική ροπή αδράνειας του θεμελίου αμελούνται. 6

Προτεινόμενη ακριβής διαδικασία επίλυσης Σε αυτή την ενότητα, παρουσιάζεται μια απλή διαδικασία υπολογισμού της επιρροής του φαινομένου της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής για την περίπτωση του επιφανειακού θεμελίου. Η μέθοδος αυτή επιλύει το σύστημα εδάφους κατασκευής που παρουσιάζεται στο στα Σχήματα 1 και, χωρίς στην διαδικασία της επίλυσης να υπεισέρχονται προσεγγίσεις στον υπολογισμό της θεμελιώδους ιδιοπεριόδου και της απόσβεσης του ισοδύναμου συστήματος (όπως γίνεται στον Veleto και στον Wolf). Επιπλέον, γίνεται χρήση των ακριβών συναρτήσεων δυναμικής δυσκαμψίας, οι οποίες είναι συναρτήσεις της συχνότητας διέγερσης. Όπως προαναφέρθηκε η συνολική οριζόντια μετακίνηση του συστήματος εδάφουςκατασκευής (Σχήμα ), μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών επιμέρους μετακινήσεων ως εξής: ut = uc+ u+ u θ (15) Αυτό συνεπάγεται πως για το σύστημα του Σχήματος, οι μετακινήσεις αυτές μπορούν να εκφραστούν με χρήση μιγαδικών ελατηρίων, τα οποία είναι τοποθετημένα εν σειρά. Έτσι η δυναμική δυσκαμψία του συστήματος προκύπτει με εφαρμογή του κανόνα του αθροίσματος και δίνεται από: 1 1 1 h 1 = + + K% K K r k θ (16) όπου οι δυναμικές δυσκαμψίες είναι μιγαδικές λόγω της διαφοράς φάσης μεταξύ της απόκρισης των ελατηρίων. Αντικαθιστώντας κάθε μιγαδική δυναμική δυσκαμψία στην εξίσωση (16) σύμφωνα με την εξίσωση (1), προκύπτει η ακριβής έκφραση για την ιδιοσυχνότητα και την απόσβεση του συστήματος (Marava, 006): ζ% = % ω ζ ζ ζ + + ω ζ ω ζ ω ζ 1 1 1 + + ω ζ ω ζ ω ζ θ c ( 1+ 4 ) θ ( 1+ 4 θ ) ( 1+ 4 ) ( 1+ 4 ) θ ( 1+ 4 θ ) ( 1+ 4 ) c 1+ 4ζ% 1+ 4ζ% 1+ 4ζ% = + + ω ζ ω ζ ω ζ ( 1+ 4 ) θ ( 1+ 4 θ ) ( 1+ 4 ) c Οι παραπάνω εξισώσεις είναι ακριβείς λύσεις του προβλήματος, με την έννοια ότι δεν υπεισέρχεται καμία προσέγγιση στους υπολογισμούς, πέρα από αυτές που τυπικά υπάρχουν στον αριθμητικό υπολογισμό των δυναμικών δυσκαμψιών. Με δεδομένο το ότι οι δυναμικές δυσκαμψίες είναι συναρτήσεις της συχνότητας, απαιτείται μια επαναληπτική διαδικασία για την εφαρμογή των εξισώσεων (17) και (18). Τέλος, εάν παραλειφθούν οι όροι ζ ι, τότε οι εξισώσεις (17), (18) ταυτίζονται με τις εξισώσεις (14) και (13) αντίστοιχα. 1 (17) (18) 7

Επιρροή της μάζας του θεμελίου Η επιρροή της μάζας και της αδράνειας του θεμελίου (m f, I f ) στην δυναμική συμπεριφορά του συστήματος των Σχημάτων 1 και, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τροποποιημένες σταθερές Κ χ και Κ θ. Αυτές δίνονται από τις εξής σχέσεις: K K m ω = f (19) K θ Kθ f ω = Ι (0) όπου Κ χ και Κ θ δίνονται από την εξίσωση (3). Αυτή η τροποποίηση μπορεί εύκολα να χρησιμοποιηθεί σε συνδυασμό με την προτεινόμενη διαδικασία επίλυσης, που παρουσιάστηκε προηγουμένως, καθώς δεν αλλάζει τις εξισώσεις (17) και (18), παρά το γεγονός ότι εισάγει μια επιπλέον αδιάστατη ποσότητα. Η ποσότητα αυτή, μ, εκφράζει το λόγο της μάζας του θεμελίου προς τη μάζα της υπερκατασκευής: μ = m f m (1) του οποίου η τιμή κυμαίνεται μεταξύ των τιμών 0 και 1. Παραμετρική ανάλυση και σύγκριση με κλασσικές μεθόδους Στην παρούσα ενότητα παρατίθενται αποτελέσματα παραμετρικών αναλύσεων υπό τη μορφή διαγραμμάτων. Ειδικότερα, στο Σχήμα 3 παρουσιάζονται συγκριτικά διαγράμματα της μεταβολής του λόγου T% / T (αντίστροφο του % ω / ωc ) και της απόσβεσης % ζ συναρτήσει του λόγου λυγηρότητας h/r. Χρησιμοποιώντας την προτεινόμενη ακριβή διαδικασία επίλυσης, υπολογίζεται η επιρροή της σχετικής αδράνειας εδάφους-κατασκευής γ, και ο λόγος υστερητικής απόσβεσης ζ του εδάφους στη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος (Σχήμα 4). Για τη παρούσα παραμετρική ανάλυση, οι τιμές των όρων α, α θ, χ και χ θ, αντιστοιχούν σε τιμή του ν = 0.45. Είναι προφανές από το Σχήμα 3(α, β), ότι τα αποτελέσματα από την μέθοδο του Veleto είναι σε συμφωνία με αυτά που προκύπτουν από την προτεινόμενη διαδικασία. Επίσης, στο Σχήμα 3(γ, δ), παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα από την μέθοδο του Wolf, παρουσιάζουν σημαντικές διαφορές με αυτά της προτεινόμενης διαδικασίας. Το γεγονός αυτό, οφείλεται κυρίως στη θεώρηση δυναμικών δυσκαμψιών ανεξάρτητων της συχνότητας στη μέθοδο του Wolf. Η παραπάνω παρατήρηση, αιτιολογείται από το γεγονός πως για χαμηλές τιμές του λόγου (χαμηλές τιμές του ω c ) τα αποτελέσματα των δύο μεθόδων είναι ουσιαστικά ταυτόσημα. Τα αποτελέσματα αποκλίνουν περισσότερο καθώς μειώνεται ο λόγος λυγηρότητας. Στα διαγράμματα του Σχήματος 4(α, β), παρατηρούμε πως η μεταβολή της σχετικής αδράνειας γ, επηρεάζει σημαντικά την περίοδο και την απόσβεση του συστήματος. Ειδικότερα, αύξηση του γ, οδηγεί σε πιο εύκαμπτα συστήματα και υψηλότερες τιμές του λόγου απόσβεσης. Ο λόγος απόσβεσης του εδαφικού υλικού ζ, δεν επηρεάζει την περίοδο του συστήματος εδάφους-κατασκευής, ειδικά για ψηλές κατασκευές (h/r = 5), όπως φαίνεται στο Σχήμα 4(γ). Αντίθετα, επηρεάζει σημαντικά την απόσβεση του συστήματος (Σχήμα 4δ). 8

..0 h/r=5 h/r=3 h/r=1 0.4 0.3 0. h/r=1 T% Τ 1.8 1.6 1.4 Προτεινόμενη Veleto (1977) ζ % 0.1 0.05 0.04 0.03 0.0 Προτεινόμενη - - - - - Veleto (1977) h/r= 1. 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.01 h/r=5 0.005 0.0 0.05 0.10 0.5 0.50 0.75 0 % ω ωc (α) ζ = 0.05, ν = 0.45, γ = 0.15, ζ = 0 (β) ζ = 0.05, ν = 0.45, γ = 0.15, ζ = 0 0.8 0.6 0.4 0. Προτεινόμενη Wolf (1985) h/r=5 h/r=1 h/r= h/r=0.33 ζ % 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 Προτεινόμενη Wolf (1985) h/r=0.33 h/r=1 h/r= h/r=5 0.0 0.1 1 0.0 0.1 1 (γ) ζ = 0.0, ν = 0.45, γ = 0.15, ζ = 0.05 (δ) ζ = 0.0, ν = 0.45, γ = 0.15, ζ = 0.05 Σχήμα 3. Σύγκριση της προτεινόμενης ακριβούς διαδικασίας επίλυσης με τις μεθόδους του Veleto (1977) και του Wolf (1985) 3.5 0.7 3.0 T% Τ.5.0 1.5 γ = 0 0.10 0.0 0.30 0.60 1 ζ % 0.1 γ = 0 0.10 0.0 0.30 0.60 1 0.5 0. 0.4 0.6 0.8 0.01 0.1 1 (α) ζ = 0.0, ν = 0.45, h/r = 1, ζ = 0.05 (β) ζ = 0.0, ν = 0.45, h/r = 1, ζ = 0.05 3.5 h/r=5 0.5 T% Τ 3.0.5.0 h/r=1 ζ % i 0.1 ζ = 0 0.05 0.0 1.5 ζ = 0 0.05 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 0.01 0.1 1 (γ) ζ = 0.0, ν = 0.45, γ = 0.15 (δ) ζ = 0.0, ν = 0.45, h/r = 5, γ = 0.15 Σχήμα 4. Αποτελέσματα παραμετρικής ανάλυσης χρησιμοποιώντας την προτεινόμενη ακριβή διαδικασία. (α) Περίοδος του συστήματος συναρτήσει του γ, (β) Απόσβεση του συστήματος συναρτήσει του γ, (γ) Περίοδος του συστήματος συναρτήσει του ζ και (δ) Απόσβεση του συστήματος συναρτήσει του ζ. 9

Στα διαγράμματα του Σχήματος 5(α, β), γίνεται εμφανές, πως η μεταβολή του λόγου μαζών μ, επηρεάζει την ιδιοπερίοδο και την απόσβεση συστημάτων εδάφους-κατασκευής, τα οποία έχουν χαμηλό λόγο λυγηρότητας (χαμηλές κατασκευές). Αντίθετα, δεν επηρεάζει συστήματα με υψηλές τιμές του λόγου λυγηρότητας (ψηλές κατασκευές), όπως φαίνεται στο Σχήμα 5(γ, δ)..5 0.9 0.8 T% Τ.0 ζ % 0.7 0.6 0.5 1.5 μ = 0 0.0 0.50 0.80 1 0. 0.4 0.6 0.8 0.4 0.3 0. 0.1 0.0 μ = 0 0.0 0.50 0.80 1 0. 0.4 0.6 0.8 (α) ζ = 0.0, ν = 0.45, h/r = 0.33, ζ = 0.05 (β) ζ = 0.0, ν = 0.45, h/r = 0.33, ζ = 0.05.5 0.14 T% Τ.0 ζ % 0.1 0.10 0.08 1.5 μ = 0 0.0 0.50 0.80 1 0. 0.4 0.6 0.8 0.06 0.04 0.0 0.00 μ = 0 0.0 0.50 0.80 1 0. 0.4 0.6 0.8 (γ) ζ = 0.0, ν = 0.45, h/r =, γ = 0.15, ζ =0.05 (δ) ζ = 0.0, ν = 0.45, h/r =, γ = 0.15, ζ = 0.05 Σχήμα 5. Επιρροή της μάζας του θεμελίου στην δυναμική συμπεριφορά του συστήματος εδάφουςκατασκευής. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΠΙ ΠΑΣΣΑΛΟΥ Σε αυτή την ενότητα μελετάται η περίπτωση της έδρασης μιας απλής κατασκευής σε μεμονωμένο πάσσαλο. Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται χρησιμοποιώντας μια επέκταση της μεθόδου που παρουσιάστηκε προηγουμένως για την περίπτωση του επιφανειακού θεμελίου. Με εφαρμογή της μεθόδου, συγκρίνονται τα ποσά ενέργειας που ακτινοβολούνται από μια κατασκευή εδραζόμενη σε επιφανειακό θεμέλιο και σε πάσσαλο. Για να επιτευχθεί αυτό, παρουσιάζεται σε αυτή την εργασία, η έννοια των <<στατικά ισοδύναμων>> συστημάτων εδάφους-κατασκευής. Σύστημα εδάφους-πασσάλου-κατασκευής και μεθοδολογία ανάλυσης Το σύστημα που αναλύεται φαίνεται στο Σχήμα 6. Αποτελείται από μια γραμμικά ελαστική κατασκευή, όμοια με αυτή που περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα, η οποία εδράζεται σε ένα μεμονωμένο εύκαμπτο πάσσαλο, κυκλικής συμπαγούς διατομής διαμέτρου d και μήκους L, το οποίο είναι μεγαλύτερο από το ενεργό μήκος L e. Έτσι ο πάσσαλος θεωρείται απείρου μήκους. Το υλικό του πασσάλου χαρακτηρίζεται από το μέτρο ελαστικότητας Ε p, τη 10

u m u1 P m m h k h k k u4 u3 K Kr P e I = 8 K Krr L EpIp K θ d (α) (β) (γ) Σχήμα 6. (α) Διακριτό προσομοίωμα του συστήματος εδάφους-πασσάλου-κατασκευής, (β) Κατανομή των εδαφικών αντιδράσεων λόγω οριζόντιας φόρτισης, (γ) Προσομοίωμα με δύο δυναμικές δυσκαμψίες. μάζα ανά μονάδα μήκους m p και τη πυκνότητα ρ p. Το εδαφικό υλικό θεωρείται γραμμικά ελαστικό και ομογενές, όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη ενότητα. Το σύστημα εδάφους-πασσάλου μπορεί να αντικατασταθεί από τρείς δυναμικές δυσκαμψίες K, K rr και K r, οι οποίες προσομοιώνουν μεταφορική, λικνιστική και συζευγμένη μεταφορική-λικνιστική ταλάντωση της κεφαλής του πασσάλου, αντίστοιχα. Σε αυτή τη μελέτη, χρησιμοποιούνται αναλυτικές εκφράσεις για αυτές τις δυναμικές δυσκαμψίες, οι οποίες αναπτύχθηκαν από τον Novak (1974) και Mylonaki (1995): 3 = 4 p p, r = p p, rr = p p K EIλ K EIλ K EIλ 1/4 k mpω iωc λ = + 4EI p p όπου λ είναι παράμετρος κύματος, Ι p είναι η ροπή αδράνειας της διατομής του πασσάλου και k, c είναι οι σταθερές των κατανεμημένων ελατηρίων και αποσβεστήρων κατά μήκος του πασσάλου. Οι τιμές αυτών των σταθερών δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις (Gazeta & Dobry, 1984): () (3) -1/4 ζ k k, 6aop = δe c = ρvd + ω όπου a op = a o (εδώ αντικαθίσταται η ακτίνα του θεμελίου r από την διάμετρο του πασσάλου d) και δ είναι ο συντελεστής Winkler, η οποία δίνεται σαν συνάρτηση του λόγου στιφρότητας πασσάλου-εδάφους Ε p /E (Dobry et al, 198): (4) 11

E p δ = 1.67 E 0.053 (5) Υπό οριζόντια φόρτιση στο έδαφος αναπτύσσονται αντιδράσεις, των οποίων η κατανομή φαίνεται στο Σχήμα 6(β). Η συνισταμένη των κατανεμημένων αντιδράσεων ασκείται σε βάθος e από την κεφαλή του πασσάλου. Το σύστημα αναφοράς για το συγκεκριμένο σύστημα, θεωρείται αγκυρωμένο στην κεφαλή του πασσάλου, οπότε η ύπαρξη της συζευγμένης μεταφορικής-λικνιστικής δυναμικής δυσκαμψίας K % r είναι απαραίτητη για την προσομοίωση της ενδοτικότητας του πασσάλου. Αυτός ο όρος δεν είναι συμβατός με την ανάλυση, που προηγήθηκε για το επιφανειακό θεμέλιο. Εάν όμως το σύστημα αναφοράς μεταφερθεί από την κεφαλή του πασσάλου σε βάθος e, όπου ασκείται η συνισταμένη των εδαφικών αντιδράσεων, ο όρος K r μηδενίζεται με αποτέλεσμα το μητρώο δυναμικών δυσκαμψιών να γίνει διαγώνιο, ακριβώς όπως στην περίπτωση του επιφανειακού θεμελίου (Σχήμα 6γ). Αυτή η διαδικασία είναι προσεγγιστική, καθώς θεωρείται πως ο πάσσαλος είναι άκαμπτος από βάθος z = 0 και z = e. Ωστόσο, το σφάλμα που προκύπτει είναι ελάχιστο, καθώς το βάθος e είναι πολύ μικρό (λίγες διάμετροι πασσάλου) σε σχέση με το συνολικό μήκος του πασσάλου. Οι μετασχηματισμένες δυναμικές δυσκαμψίες στο βάθος e K e και K rre δίνονται από τις εκφράσεις: K = K, K = K K e+ K e, K = 0 e rre rr r re (6) όπου είναι η προαναφερθείσα εκκεντρότητα. K 1 e = = K λ r (7) Η μετατροπή που παρουσιάζεται στο Σχήμα 6(γ), επιτρέπει την χρήση της ακριβούς διαδικασίας επίλυσης, που χρησιμοποιήθηκε για την ανάλυση των επιφανειακών θεμελίων, και στην περίπτωση της αλληλεπίδρασης εδάφους-πασσάλου-κατασκευής. Έτσι, οι κυκλικές συχνότητες ω i που απαιτούνται για την εφαρμογή των εξισώσεων (17) και (18) δίνονται από (Marava, 006): K Krr ω =, ω θ = m m( h+ e) (8) όπου K = ( 4E I ) ( k m ω ) + ( ωc ) co φ 4 1/4 3/8 3 p p p 3/4 1/8 1 1 4 rr p p p co K = ( E I ) ( k m ω ) + ( ωc ) φ 4 4 ωc φ = Arc tan k mpω Οι αντίστοιχοι λόγοι απόσβεσης ζ i, δίνονται από (Marava, 006): 1 3 1 1 ζ = tan φ, ζθ = tan φ 4 4 (9) (30) (31) (3) 1

Αποτελέσματα παραμετρικών αναλύσεων Η δυναμική απόκριση του συστήματος εδάφους-πασσάλου-κατασκευής εξαρτάται από τις ιδιότητες του πασσάλου, του εδάφους θεμελίωσης, της υπερκατασκευής και της διέγερσης. Αυτές οι ιδιότητες περιέχονται στις αδιάστατες ποσότητες, που ορίστηκαν για την περίπτωση κατασκευής εδραζόμενης σε επιφανειακό θεμέλιο. Στο Σχήμα 7, παρουσιάζονται αποτελέσματα από την εφαρμογή της προτεινόμενης ακριβούς διαδικασίας. Ειδικότερα, στο Σχήμα 7(α), παρουσιάζεται η επίδραση του λόγου λυγηρότητας (h/d) στην ιδιοπερίοδο του συστήματος εδάφους-πασσάλου-κατασκευής. Προκύπτει πως η συμπεριφορά είναι παρόμοια με αυτή του συστήματος εδάφους-θεμελίου-κατασκευής, που παρουσιάστηκε προηγουμένως. Το ίδιο ισχύει και για την απόσβεση του συστήματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7 (β). 3.0 0.30 T% Τ.5.0 ζ % 0.5 0.0 0.15 h/d = 1 5 10 0.10 T% Τ 1.5 h/d = 1 5 10 0. 0.4 0.6 0.8 0. 0.4 0.6 0.8 (α) ζ = 0.0, ν = 0.45, γ = 0.15, ζ = 0.05, ρ p /ρ = 1.40, E p /E = 100 (β) ζ = 0.0, ν = 0.45, γ = 0.15, ζ = 0.05, ρ p /ρ = 1.40, E p /E = 100.5.0 E p /E = 100 1000 10000 ζ % 0.05 0.00 0.1 0.10 0.08 0.06 1.5 0. 0.4 0.6 0.8 0.04 0.0 0.00 E p /E = 100 1000 10000 0. 0.4 0.6 0.8 (γ) ζ = 0.0, ν = 0.45, γ = 0.15, ζ = 0.05, ρ p /ρ = 1.40, h/d = 5 (δ) ζ = 0.0, ν = 0.45, γ = 0.15, ζ = 0.05, ρ p /ρ = 1.40, h/d = 5 Σχήμα 7. (α) Περίοδος του συστήματος συναρτήσει του h/d, (β) Απόσβεση του συστήματος συναρτήσει του h/d, (γ) Περίοδος του συστήματος συναρτήσει του Ε p /Ε, (δ) Απόσβεση του συστήματος συναρτήσει του Ε p /Ε. Η επιρροή του λόγου στιφρότητας πασσάλου-εδάφους Ε p /Ε, στις ιδιότητες του συστήματος εδάφους-πασσάλου-κατασκευής είναι σημαντική όπως φαίνεται στα Σχήματα 7(γ, δ). Για σχετικά εύκαμπτους πασσάλους (χαμηλές τιμές του Ε p /Ε ), το σύστημα είναι πιο εύκαμπτο και καταναλώνει μεγαλύτερα ποσά ενέργειας. Σύγκριση των δύο συστημάτων αλληλεπίδρασης Σε αυτή την ενότητα, εισάγεται η έννοια της στατικής και γεωμετρικής ισοδυναμίας μεταξύ των δύο συστημάτων αλληλεπίδρασης που παρουσιαστήκαν προηγουμένως, ώστε να κατά- 13

στεί δυνατή η σύγκριση της ενέργειας που καταναλώνεται από τα δύο συστήματα αλληλεπίδρασης. Για να επιτευχθεί αυτό, θα πρέπει η συνολική πλευρική δυσκαμψία των δύο συστημάτων να είναι συγκρίσιμη στο επίπεδο που βρίσκεται η μάζα m. Σύμφωνα με αυτό, τα δύο συστήματα είναι γεωμετρικά ισοδύναμα (h/d = h/r), όταν ο λόγος των μέτρων ελαστικότητας του εδάφους θεμελίωσης κάθε συστήματος ικανοποιεί την παρακάτω σχέση (Marava, 006) ( ) 1/4 1/4 ( f ) 3 1 E ( v)(1 v ) 1 4 h / d E πδ p + + = ( p ) ( p ) 1/4 1/4 E 16 E 16δ E p h 1 + 1 + ( p ) π E d Στην παραπάνω εξίσωση, το σύμβολο f δηλώνει εδαφικό υλικό για την περίπτωση του επιφανειακού θεμελίου και το σύμβολο p δηλώνει εδαφικό υλικό για αυτή του πασσάλου. Επειδή ο πάσσαλος είναι πολύ πιο στιφρός από το επιφανειακό θεμέλιο, το έδαφος ( f ) θεμελίωσης του δεύτερου θα πρέπει να έχει μέτρο ελαστικότητας E σημαντικά ( p) μεγαλύτερο από το μέτρο ελαστικότητας E του εδάφους έδρασης του πασσάλου. Εφαρμόζοντας την προτεινόμενη ακριβή διαδικασία επίλυσης, υπολογίζονται οι λόγοι απόσβεσης των δύο συστημάτων για διάφορες τιμές των λόγων h/d και Ε p /Ε. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται για τα δύο συστήματα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8(α, β). Περαιτέρω, συγκρίνεται η απόσβεση ακτινοβολίας των δύο ειδών θεμελίωσης, όπως φαίνεται στα Σχήματα 8(γ, δ). Είναι προφανές πως μια κατασκευή εδραζόμενη σε πάσσαλο έχει έως και τρείς φορές μεγαλύτερη απόσβεση σε σχέση με την ίδια κατασκευή επί επιφανειακού θεμελίου (Σχήμα 8α). Το φαινόμενο αυτό αιτιολογείται από το γεγονός της δισδιάστατης (33) 0.8 0.1 0.4 0.0 0.16 0.1 0.08 Πάσσαλος Θεμέλιο ζ % ζ % 0.10 0.08 ζ 0.06 0.04 Πάσσαλος Θεμέλιο 0.04 0.00 0.1 0. 0.3 0.4 1 σ ( f ) 0.0 0.00 0.0 0.04 0.08 0.1 0.16 (α) ζ = 0.0, ν = 0.45, h/d = 1, ζ = 0.05, ρ p /ρ = 1.40, E p /E = 1000 (β) ζ = 0.0, ν = 0.45, h/d = 5, ζ = 0.05, ρ p /ρ = 1.40, E p /E = 1000 ζ (p) 0.0 () 1 f σ ( f ) 0.8 0.6 ζ Πάσσαλος Θεμέλιο ζ θ 0.15 0.10 Πάσσαλος Θεμέλιο 0.4 0. ζ (f) 0.05 0.0 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1. 1.4 1.6 1.8.0 (γ) ν = 0.45, ζ = 0.05, ρ p /ρ = 1.40, E p /E = 1000 (a 0 ) p 0.00 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1. 1.4 1.6 1.8.0 (δ) ν = 0.45, ζ = 0.05, ρ p /ρ = 1.40, E p /E = 1000 Σχήμα 8. (α, β) Απόσβεση κατασκευής εδραζόμενης σε πάσσαλο και επιφανειακό θεμέλιο, (γ) Απόσβεση ακτινοβολίας πασσάλου και επιφανειακού θεμελίου λόγω μεταφορικών ταλαντώσεων, (δ) Απόσβεση ακτινοβολίας πασσάλου και επιφανειακού θεμελίου λόγω λικνιστικών ταλαντώσεων. (a 0 ) p 14

διάδοσης κυμάτων γύρω από έναν πάσσαλο, που συνεπάγεται πολύ μεγαλύτερη κατανάλωση ενέργειας. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σε αυτή την εργασία, παρουσιάστηκε μια νέα αναλυτική διαδικασία για τον καθορισμό των δυναμικών χαρακτηριστικών απλών κατασκευών εδραζόμενων σε επιφανειακό θεμέλιο και πάσσαλο. Χρησιμοποιώντας την προτεινόμενη μεθοδολογία, διερευνήθηκε η επιρροή κοινών παραδοχών στον υπολογισμό των μηχανικών ιδιοτήτων συστημάτων εδάφους-κατασκευής. Τα αποτελέσματα αυτής της έρευνας, παρουσιάστηκαν σε μορφή διαγραμμάτων, τα οποία μπορούν εύκολα να χρησιμοποιηθούν για το σχεδιασμό τέτοιων συστημάτων. Τέλος, εισάγοντας την έννοια της στατικής και γεωμετρικής ισοδυναμίας μεταξύ δύο συστημάτων εδάφους-κατασκευής, συγκρίνονται οι αποσβέσεις ακτινοβολίας που παράγεται από έναν πάσσαλο και από ένα επιφανειακό θεμέλιο. Συνοπτικά τα συμπεράσματα αυτής της έρευνας είναι: (1) Η προτεινόμενη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος είναι απλούστερη, ακριβέστερη και γενικότερη από τις κλασσικές μεθόδους των Veleto, Bielak και συνεργατών τους. () Η παραδοχή πως οι όροι απόσβεσης ανώτερης τάξης μπορούν να αμελούνται κατά την επίλυση του προβλήματος της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, δεν είναι ακριβής για συστήματα που καταναλώνουν μεγάλα ποσά ενέργειας. (3) Η μάζα της θεμελίωσης επηρεάζει σημαντικά την δυναμική απόκριση συστημάτων εδάφους-κατασκευής, τα οποία έχουν υψηλές τιμές του λόγου λυγηρότητας. (4) Η προτεινόμενη μέθοδος ανάλυσης είναι εύκολα εφαρμόσιμη και στην περίπτωση εγκιβωτισμένων θεμελιώσεων. (5) Μια κατασκευή θεμελιωμένη σε πάσσαλο έχει έως και 100% μεγαλύτερη απόσβεση ακτινοβολίας από την ίδια κατασκευή θεμελιωμένη σε επιφανειακό θεμέλιο. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα εργασία συγχρηματοδοτήθηκε από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από Εθνικές πηγές-(επεακ ΙΙ) ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ. Οι συγγραφείς του παρόντος άρθρου θα ήθελαν να εκφράσουν την ευγνωμοσύνη τους για αυτή τη βοήθεια. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Avile J., and Perez-Rocha L. E (1998). Effect of foundation embedment during buildingoil interaction, Earthquake Engineering & Structural Dynamic, 7(1), 153-15400. Jenning P.C., Bielak J.(1973). "Dynamic of building-oil interaction", Bulletin of the Seimological Society of America, 63(1) 9-48. Marava A. (006). Dicrete model for dynamic oil-tructure interaction of tructure on rigid urface or pile foundation, MS. Thei, Univerity of Patra, (in Greek). Mylonaki G. (1995). Contribution to the tatic and eimic analyi of pile-upported bridge pier, Ph.D. Diertation, SUNY-Buffalo. 1995 15

Nikolaou S., Mylonaki G., Gazeta G., and Tazoh T. (001). Kinematic Pile Bending During Earthquake: Analyi and Field Meaurement, Geotechnique, 51(5), 45-440, Novak M. (1974) Dynamic tiffne and damping of pile, Canadian Geotech. Journal, 11, 574-591. Parmelee R. (1967). Building-foundation interaction effect, Journal of Engineering Mechanic Diviion, ASCE, 93(EM), 131-15. Veleto A.S., and Meek J.W. (1974). Dynamic behavior of building-foundation ytem, Earthq, Engng & Struct, Dyn,, 3(), 11-138. Veleto A.S., and Nair V.V. (1975) Seimic interaction of tructure on hyteretic foundation, Journal of Structural Engineering, ASCE, 101(1), 109-19. Veleto A. S. (1977) Dynamic of Structure-Foundation Sytem, in: Hall, W. J. (ed.), Structural & Geotechnical Mech., Prentice-Hall. Wolf J. P. (1985). Dynamic Soil-Structure Interaction, Prentice Hall. 16