ΙΣΤΟΡΙΚΟ Το θεώρημα διατυπώθηκε το 1853 και δημοσιεύτηκε το 1860 στο βιβλίο του Κarl Pohlke «Darstellende Geometrie» χωρίς απόδειξη. Η απόδειξη έγινε πρώτα το 1863 από τον Hermann Amandus Schwarz (1843-1922) και αργότερα από τους: Th.Reye (1866), F.Schur (1885), Fr. Schilling (1903), E.Kruppa (1907), G.Loria (1909), Th.Schmidt (1918), G.Scheffers (1930) και άλλους
ΣΧΗΜΑ 1 ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΔΙΑΜΕΤΡΟΙ ΕΛΛΕΙΨΗΣ (Α 1 Α 2, Β 1 Β 2 ) κύριοι άξονες (ΗΘ, ΙΛ) ζεύγος συζυγών διαμέτρων Από ένα τυχαίο ζεύγος συζυγών διαμέτρων, με κατασκευή Rytz, δημιουργείται το μοναδικό ζεύγος κυρίων αξόνων της έλλειψης
ΣΧΗΜΑ 2
ΣΧΗΜΑ 3
ΣΧΗΜΑ 4 δ: Διεύθυνση προβολής σφαίρας Στη σφαίρα δημιουργείται κύκλος περιγράμματος και κύλινδρος περιγράμματος Επίπεδο κύκλου κάθετο στη δ Έλλειψη: Ερριμμένο περίγραμμα σφαίρας
ΣΧΗΜΑ 5
ΣΧΗΜΑ 6 Το προηγούμενο σχήμα 5 παριστάνεται εδώ με τη Μέθοδο Παράστασης Monge Η ορθή προβολή δ στο επίπεδο προβολής e 1 της διεύθυνσης προβολής δ, είναι πάντοτε κάθετη στο μικρό άξονα Α 1 Β 1 της έλλειψης του ερριμμένου περιγράμματος της σφαίρας
ΣΧΗΜΑ 7 δ ο προβάλλουσα ευθεία του σημείου Ο ΟΑΑ 1 Ο 1 προβάλλον επίπεδο του τμήματος ΟΑ Δίνονται στο χώρο τα μη μηδενικά ευθύγραμμα τμήματα ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ, κάθετα ανά δύο. Προβάλλονται κατά διεύθυνση δ στο τυχαίο επίπεδο e 1. Δημιουργούνται τρία τυχαία τμήματα Ο 1 Α 1, Ο 1 Β 1, Ο 1 Γ 1.
ΣΧΕΣΗ ΜΗΚΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΗΣ Η γωνία φ 1 είναι η γωνία κλίσης της διεύθυνσης δ με το επίπεδο προβολής 2 2 2 Ο1Α 1 Ο1Β 1 Ο1Γ 1 1 1 2 2 ΟΑ ημ φ1
ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ ΚΑΤΑ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ δ ΓΕΝΙΚΗ (τυχαία) ΟΡΘΗ (η δ κάθετη στο επίπεδο προβολής e 1 ) δ//σε τμήμα π.χ. ΟΓ Τότε Ο 1 συμπίπτει με Γ 1 δ//σε επίπεδο π.χ. ( ΟΑ,ΟΒ ) Τότε Ο 1 Α 1,Ο 1 Β 1 συνευθειακά
ΣΧΗΜΑ 8 ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (ΤΥΧΑΙΑ) ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΗΣ ΤΟΥ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ e1 Σφαίρα με κέντρο Ο περιέχει σημεία Α,Β,Γ Ακτίνες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ Προβάλλουμε κατά διεύθυνση δ Δημιουργούνται: α. Κύκλος περιγράμματος σφαίρας με επίπεδο κάθετο στην δ β. Κύλινδρος περιγρ. σφαίρας γ. Έλλειψη: ερριμμένο περίγρ. σφαίρας στο επίπεδο προβολής e 1 δ. Τρία τυχαία τμήματα Ο 1 Α 1,Ο 1 Β 1,Ο 1 Γ 1 στο e 1
ΣΧΗΜΑ 9 ΠΡΟΒΟΛΗ ΚΥΚΛΟΥ (ΟΑ, ΟΒ) Ο Κύκλος τομής της σφαίρας από το επίπεδο ( ΟΑ, ΟΒ ): α. Έχει επίπεδο κάθετο στο τμήμα ΟΓ β. Προβάλλεται σε έλλειψη με συζυγείς διαμέτρους ( ΟΑ 1, ΟΒ 1 ) γ. Τέμνει τον κύκλο περιγράμματος σφαίρας στα σημεία Μ, Ν Οι ευθείες ε, μ : α. Είναι αντίστοιχα εφαπτόμενες στον κύκλο περιγράμματος και στον κύκλο (ΟΑ, ΟΒ) β. Προβάλλονται στην ίδια ευθεία ε 1 = μ 1, κοινή εφαπτομένη των δύο ελλείψεων(έχουν το ίδιο προβάλλον επίπεδο) Το προβάλλον επίπεδο της ΟΓ δίνει Ο 1 Γ 1 // ε 1 = μ 1 (άρα το Ο 1 Γ 1 ανήκει στον φορέα της συζυγούς διαμέτρου της Ο 1 Ν 1 )
ΣΧΗΜΑ 10 ΠΡΟΒΟΛΗ ΚΥΚΛΟΥ f ΤΟΥ ΠΡΟΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΓ Το προβάλλον επίπεδο του ΟΓ τέμνει τη σφαίρα σε κύκλο f που ορίζει: Στον κύκλο περιγράμματος τα Η,Θ Στον κύκλο (ΟΑ,ΟΒ) το Δ (και το συμμετρικό του Δ) Αφού το τμήμα ΟΓ είναι κάθετο στο επίπεδο (ΟΑ,ΟΒ), είναι κάθετο και στο τμήμα ΟΔ. Προβάλλουμε τα Η,Δ,Θ. Βρίσκουμε Η 1,Δ 1,Θ 1. Ισχύει: (Ο 1 Γ 1 ) 2 +(Ο 1 Δ 1 ) 2 = (Ο 1 Η 1 ) 2 Ορίζεται το Η 1 και οι συζυγείς ημιδιάμετροι (Ο 1 Ν 1,Ο 1 Η 1 ) Ισχύει: ημω=r/(ο 1 Η 1 ) Είναι: 2R=2β, όπου R ακτίνα σφαίρας και β μικρός ημιάξονας ερριμμένου περιγράμματος Προφανώς ισχύει: ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=R
ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ (Ο 1 Γ 1 ) 2 +(Ο 1 Δ 1 ) 2 = (Ο 1 Η 1 ) 2 Κατακλίνουμε το επίπεδο του κύκλου f στο επίπεδο προβολής
ΣΧΗΜΑ 11 ΕΛΛΕΙΨΗ ΕΡΡΙΜΜΕΝΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Η έλλειψη του ερριμμένου περιγράμματος είναι περιβάλλουσα τριών ελλείψεων
ΘΕΩΡΗΜΑ KARL POHLKE ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Δίνονται τα τυχαία συνεπίπεδα μη μηδενικά τμήματα Ο 1 Α 1, Ο 1 Β 1, Ο 1 Γ 1. Να βρεθούν στον χώρο τρία ίσα και ανά δύο κάθετα τμήματα ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ώστε με κατάλληλη προβολή δ να προβάλλονται στα Ο 1 Α 1, Ο 1 Β 1, Ο 1 Γ 1.
ΛΥΣΗ
ΣΧΗΜΑ 13 ΒΗΜΑ 1: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ κ 1 Κατασκευάζεται η έλλειψη κ 1 με συζυγείς ημιδιαμέτρους (Ο 1 Α 1, Ο 1 Β 1 ) Βρίσκουμε: Το σημείο Δ 1 στην κ 1 Την Ν 1 Μ 1, ως συζυγή διάμετρο της ημιδιαμέτρου Ο 1 Δ 1.
ΣΧΗΜΑ 14 ΒΗΜΑ 2: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ c 1 Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο, με κάθετες Ο 1 Γ 1 και Ο 1 Δ 1. Έχει υποτείνουσα την Ο 1 Η 1. Τοποθετούμε την υποτείνουσα στον φορέα της Ο 1 Δ 1 και ορίζουμε το σημείο Η 1. Σχεδιάζουμε έλλειψη c 1 με συζυγείς ημιδιαμέτρους (Ο 1 Η 1, Ο 1 Ν 1 ). Ο μικρός άξονας 3 1 4 1 =2R όπου 2R διάμετρος της ζητούμενης σφαίρας στον χώρο Άρα: ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=R
ΣΧΗΜΑ 15 ΒΗΜΑ 3: ΤΕΛΙΚΗ ΦΑΣΗ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ MONGE (ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ) Η δ είναι κάθετη στο μικρό άξονα 3 1 4 1. Κατακλίνουμε το προβάλλον επίπεδο της ΟΓ στο e 1. Επειδή ημω=r/ο 1 Η 1, η ευθεία Η 1 Η*, εφαπτομένη στον κύκλο, δίνει την διεύθυνση της δ Η σε κατάκλιση. Βρίσκουμε το Γ 0 (2 λύσεις)
ΣΧΗΜΑ 16 ΒΗΜΑ 4 Βρίσκουμε Γ και Ο Με ανάκλιση, με μέθοδο αλλαγής, βρίσκουμε τα υψόμετρα των Ο και Γ. Ορίζουμε Ο και Γ.
ΣΧΗΜΑ 17 ΒΗΜΑ 5 Με αλλαγή, φέρνουμε κάθετο επίπεδο στην ΟΓ. Βρίσκουμε Α(Α,Α,Α ),Β (Β,Β,Β ) στο επίπεδο αυτό. 4 ΛΥΣΕΙΣ α.δύο συμμετρικές ως πρός το επίπεδο που είναι κάθετο στη διεύθυση δ από το Ο. β. Δύο συμμετρικές ως πρός το επίπεδο προβολής.
ΣΧΗΜΑ 18 ΟΡΘΗ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΩΡΗΜΑ POHLKE- SCHWARZ Αν η προβολή είναι ορθή, τα τμήματα (ΟΑ,ΟΒ,ΟΓ) του χώρου προβάλλονται στα τμήματα Ο 1 Α 1, Ο 1 Β 1, Ο 1 Γ 1 στο επίπεδο προβολής, έτσι ώστε κάθε τμήμα στην προβολή να έχει ως φορέα, τον φορέα του μικρού άξονα της έλλειψης, πού ορίζεται με συζυγείς ημιδιαμέτρους τα άλλα δύο τμήματα. Το μήκος τμήματος αυτού ισούται με γ, όπου 2γ η εστιακή απόσταση της έλλειψης. ΔΕΔΟΜΕΝΑ Δύο τμήματα (Ο 1 Α 1,Ο 1 Β 1 ) Κατασκευάζουμε το τρίτο τμήμα Ο 1 Γ 1 (με το θεώρημα Pohlke-Schwarz)
ΣΧΗΜΑ 19 ΛΥΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ MONGE (ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ)
ΣΧΗΜΑ 20 ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: δ//ογ ΛΥΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ MONGE (ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ) Η λύση γίνεται με την μέθοδο Monge (παραστατική γεωμετρία) Σ 12 τυχαίο. Το επίπεδο των (ΟΑ,ΟΒ) στο χώρο είναι πρόσθιο. 4 ΛΥΣΕΙΣ Όπως στη γενική περίπτωση.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΝ. Δ. ΛΑΔΟΠΟΥΛΟΥ «Στοιχεία Παραστατικής Γεωμετρίας», σελ. 199, Αθήνα 1976 ΓΡ. ΤΣΑΓΚΑ «Μαθήματα Παραστατικής Γεωμετρίας», σελ. 273, Θεσ/νίκη 1979 E. MULLER E.KRUPPA «Lehrbuch der darstellenden Geometrie», σελ. 243, Wien 1961, Eκδόσεις Springer-Verlag MARIO DOCCI RICCARDO MIGLIARI «Scienza della rappresentazione (Fondamenti e applicazioni della geometria descrittiva)», σελ. 237, Roma 1996, Εκδόσεις La Nuova Italia Scientifica Ι. Δ. ΧΑΤΣΟΠΟΥΛΟΥ «Μαθήματα Παραστατικής και Προβολικής Γεωμετρίας», Μέρος Α, τεύχος τρίτον, σελ. 277 ΓΕΩΡΓΙΟΥ Ε. ΛΕΥΚΑΔΙΤΗ «Μέθοδοι Παραστάσεων ( Αξονομετρία Υψομετρία Σκιαγραφία)», σελ. 26 και σελ. 250 Σημείωση 17, Αθήνα 2006
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΕΥΚΑΔΙΤΗΣ Θεωρητική λύση και σχέδια ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΟΥΚΟΦΙΚΗΣ Προγραμματισμός Παρουσίαση σχεδίων Θερμές ευχαριστίες στον ΓΙΩΡΓΟ ΕΞΑΡΧΑΚΟ για το Animation