τα βιβλία των επιτυχιών

Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Β Τό μ ο ς 2η Εκ δ ο σ η

Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Β Λυκείου Γενικής Παιδείας, Β Τόμος Νίκος Τάσος Θεώρηση κειμένου: Κυριάκος Εμμανουηλίδης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση, εξώφυλλο: Γεωργία Λαμπροπούλου Υπεύθυνος έκδοσης: Αποστόλης Αντωνόπουλος Στοιχεία επικοινωνίας συγγραφέα: 6944 343 415 nikotaso@yahoo.gr Copyright 2012 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο ISBN: 978-960-6881-41-1 SET: 978-960-6881-36-7 Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Σωτήρος και Αλκιβιάδου 132, Τ.Κ. 185 35 Πειραιάς Τηλ.: 210 4112507 Fax: 210 4116752 www.poukamisas.gr publications@poukamisas.gr

Στον πατέρα μου Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη της Άλγεβρας, αφετέρου δε να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συναδέλφους. Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες, καθεμία από τις οποίες περιέχει: Ι. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Πλήρης θεωρία η οποία συνοδεύεται από σχόλια και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα «σκοτεινά» σημεία της. ΙΙ. Μεθοδολογίες Εφαρμογές Έγινε προσπάθεια ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις αλλά μόνο ασκήσεις οι οποίες μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε (για πρώτη φορά στα ελληνικά βιβλιογραφικά δεδομένα) κατηγορίες οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας. ΙΙΙ. Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Κάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνεται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να αποκτήσει μεγαλύτερη εμπειρία. ΙV. Ερωτήσεις κατανόησης Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος, πολλαπλής επιλογής και αντιστοίχισης οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής. V.Φύλλα αξιολόγησης Στο τέλος κάθε παραγράφου υπάρχει φύλλο αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν. Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις υποδείξεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των διαγωνισμάτων. Ευελπιστώντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει το στόχο της, παραδίδουμε το πόνημα αυτό στην αυστηρή κρίση των μαθητών και συναδέλφων καθηγητών. Νίκος Τάσος Μαθηματικός M.Sc.

Περιεχόμενα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 13. Πολυώνυμα Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 11 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 14 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης... 32 Ερωτήσεις κατανόησης... 37 Φύλλο αξιολόγησης... 47 14. Διαίρεση Πολυωνύμων Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 43 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 47 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης... 73 Ερωτήσεις κατανόησης... 78 Φύλλο αξιολόγησης... 81 15. Πολυωνυμικές Εξισώσεις & Ανισώσεις Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 83 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 85 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης... 122 Ερωτήσεις κατανόησης... 126 Φύλλο αξιολόγησης... 129 16. Εξισώσεις & Ανισώσεις που Ανάγονται σε Πολυωνυμικές Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 131 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 131 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης... 152 Φύλλο αξιολόγησης στα Πολυώνυμα... 155

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 17. Εκθετική Συνάρτηση Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 159 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 162 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης... 202 Ερωτήσεις κατανόησης... 209 Φύλλο αξιολόγησης... 213 18. Λογάριθμοι Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 215 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 218 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης... 232 Ερωτήσεις κατανόησης... 236 Φύλλο αξιολόγησης... 239 19. Λογαριθμική Συνάρτηση Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων... 241 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 243 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης... 285 Ερωτήσεις κατανόησης... 293 Φύλλο αξιολόγησης... 297 Φύλλο αξιολόγησης στην Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση... 299 Θέματα Επανάληψης... 303 Επαναληπτικά Διαγωνίσματα... 317 Απαντήσεις Υποδείξεις Λύσεις... 323

Κεφάλαιο 4 Πολυώνυμα Πολυωνυμικές Εξισώσεις

13 Πολυώνυμα Θεωρια Σε Μορφη Ερωτησεων-Απαντησεων 1 i. Τι ονομάζουμε μονώνυμο του x; ii. Τι ονομάζουμε πολυώνυμο του x; Απάντηση i. Κάθε παράσταση της μορφής αx ν όπου α είναι πραγματικός αριθμός και ν * λέγεται μονώνυμο του x. π.x. 2x 2, 3 x 8, 3 1 14 x ii. Κάθε παράσταση της μορφής P(x) = α ν x ν + α ν 1 x ν 1 + + α 1 x + α 0, όπου ν * και α 0, α 1,, α ν 1, α ν λέγεται πολυώνυμο του x. π.x. P(x) = 2x 4 3x 3 + 3 x 2 + 3 1 x 7 i. Το α 0 λέγεται σταθερός όρος και οι αριθμοί α 0, α 1,, α ν 1, α ν λέγονται συντελεστές του Ρ(x). Στο προηγούμενο παράδειγμα ο σταθερός όρος είναι το 7 και οι συντελεστές είναι του x 4 το 2, του x 3 το 3, του x 2 το 3 και του x το 3 1. ii. Τα μονώνυμα α ν x ν, α ν 1 x ν 1,, α 1 x, α 0 λέγονται όροι του πολυωνύμου Ρ(x). 2 Ποιο πολυώνυμο ονομάζεται: i. Σταθερό; ii. Μηδενικό; Απάντηση i. Κάθε πολυώνυμο της μορφής Ρ(x) = α 0 λέγεται σταθερό πολυώνυμο. ii. Tο σταθερό πολυώνυμο Ρ(x) = 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 11

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 Έστω το πολυώνυμο P(x) = α ν x ν + α ν 1 x ν 1 + + α 1 x + α 0. Τι ονομάζουμε βαθμό του P(x); Απάντηση Αν P(x) = α ν x ν + α ν 1 x ν 1 + + α 1 x + α 0 και α ν 0, τότε το P(x) λέμε ότι είναι νιοστού βαθμού, δηλαδή ο βαθμός του P(x) είναι ν. π.x. Αν P(x) = 2x 4 3x 3 + 3 x 2 + 3 1 x 7, τότε ο βαθμός του είναι 4. i. Αν P(x) = α, με α 0, τότε λέμε ότι το σταθερό πολυώνυμο Ρ(x) είναι μηδενικού βαθμού. ii. Για το μηδενικό πολυώνυμο P(x) = 0 δεν ορίζεται βαθμός. iii. Αν το άθροισμα δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δύο αυτών πολυωνύμων. π.x. Αν P(x) = x 3 + x 1 με βαθμό 3 και Q(x) = 7x 6 3x 2 + 2x + 7 με βαθμό 6 τότε το R(x) = P(x) + Q(x) = 7x 6 + x 3 3x 2 + 3x + 6 με βαθμό 6 όσο και του Q(x) που έχει μεγαλύτερο βαθμό από το P(x). iv. Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων ισούται με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. π.x. Αν P(x) = x 3 + x 1 με βαθμό 3 και Q(x) = 7x 6 3x 2 με βαθμό 6 τότε το R(x) = P(x) Q(x) = (x 3 + x 1)(7x 6 3x 2 ) = = 7x 9 + 7x 7 7x 6 3x 5 3x 3 + 3x 2 με βαθμό 9 που είναι το άθροισμα των βαθμών των P, Q. v. Αν βαθμός Ρ(x) = ν και βαθμός Q(x) = μ, τότε: βαθμός [Ρ(x)] 2 = 2ν βαθμός Ρ(Q(x)) = ν μ βαθμός Ρ(P(x)) = ν 2 vi. Η μορφή μερικών πολυωνύμων που συναντάμε συχνότερα είναι: βαθμός Ρ(x) = 0 Ρ(x) = α 0, α 0 0 βαθμός Ρ(x) = 1 Ρ(x) = αx + β, α 0 βαθμός Ρ(x) = 2 Ρ(x) = αx 2 + βx + γ, α 0 βαθμός Ρ(x) = 3 Ρ(x) = αx 3 + βx 2 + γx + δ, α 0 vii. Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι προτάσεις: α. Ένα πολυώνυμο νιοστού βαθμού έχει ν το πολύ πραγματικές ρίζες. β. Αν ένα πολυώνυμο νιοστού βαθμού έχει περισσότερες από ν ρίζες τότε είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 12 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

13. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 4 Έστω τα μη μηδενικά πολυώνυμα: P(x) = α ν x ν + α ν 1 x ν 1 + + α 1 x + α 0 και Q(x) = β μ x μ + β μ 1 x μ 1 + + β 1 x + β 0 με μ ν Πότε λέμε ότι τα P(x), Q(x) είναι ίσα; Απάντηση Δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x) είναι ίσα, όταν οι συντελεστές των αντίστοιχων ομοβάθμιων όρων είναι ίσοι. Δηλαδή: α ν x ν + α ν 1 x ν 1 + + α 1 x + α 0 = β μ x μ + β μ 1 x μ 1 + + β 1 x + β 0 (μ ν) (α 0 = β 0, α 1 = β 1, α ν 1 = β ν 1, α ν = β ν ) και (β ν+1 = β ν+2 = = β μ = 0) 5 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = α ν x ν + α ν 1 x ν 1 + + α 1 x + α 0. i. Τι ονομάζουμε αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του P(x) για x = ρ ; ii. Πότε λέμε ότι ένας αριθμός ρ είναι ρίζα του P(x); Απάντηση i. Αν αντικαταστήσουμε το x με το ρ, θέσουμε δηλαδή x = ρ, τότε ο πραγματικός αριθμός P(ρ) = α ν ρ ν + α ν 1 ρ ν 1 + + α 1 ρ + α 0 λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου P(x) για x = ρ. π.x. Αν Ρ(x) = 2x 3 3x 2 + 6x 2, τότε Ρ(2) = 3 2 3 3 2 2 + 6 2 2 = 22. ii. Αν Ρ(ρ) = 0, τότε ο αριθμός ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου P(x). Είναι φανερό ότι για να βρούμε τις ρίζες ενός πολυωνύμου P(x), λύνουμε την εξίσωση P(x) = 0. π.x. Αν Ρ(x) = x 2 3x + 2 τότε ο αριθμός x = 2 είναι ρίζα του P(x) διότι P(2) = 2 2 3 2 + 2 = 0. Ισχύουν οι εξής χρήσιμες ισότητες: Ρ(0) = α 0, δηλαδή η τιμή του P(x) για x = 0 ισούται με τον σταθερό όρο του. P(1) = α ν + α ν 1 + + α 1 + α 0, δηλαδή η τιμή του P(x) για x = 1 ισούται με το άθροισμα των συντελεστών του. 6 Πώς προσθέτουμε πολλαπλασιάζουμε δύο πολυώνυμα; Απάντηση Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός πολυωνύμων γίνεται εντελώς ανάλογα προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των ακεραίων αριθμών. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 13

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (Εδώ εμφανίζεται η επιμεριστική και η προσεταιριστική ιδιότητα). π.x. Αν P(x) = x 3 + x 1, Q(x) = 7x 6 3x 2 + 2x + 7 και Η(x) = 7x 6 3x 2 τότε R(x) = P(x) + Q(x) = 7x 6 + x 3 3x 2 + 3x + 6 και S(x) = P(x) H(x) = (x 3 + x 1)(7x 6 3x 2 ) = 7x 9 + 7x 7 7x 6 3x 5 3x 3 + 3x 2 Οι βασικότερες έννοιες της παραγράφου συνοψίζονται στο παρακάτω διάγραμμα. Όροι λέγονται τα μονώνυμα α ν x ν, α ν 1 x ν 1,, α 0 Συντελεστές λέγονται οι πραγματικοί αριθμοί α 0, α 1,, α ν Σταθερός όρος είναι ο α 0. Βαθμός είναι ο εκθέτης ν. P(x) = α ν x ν + α ν 1 x ν 1 + + α 1 x + α 0, α ν 0 Αριθμητική τιμή P(x 0 ) λέγεται ο αριθμός P(x) = α ν x 0 ν + α ν 1 x 0 ν 1 + + α 1 x 0 + α 0 που προκύπτει αν στο P(x) αντικαταστήσουμε το x με x 0. Ρίζα του P(x) λέγεται ένας αριθμός ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. Μεθοδολογίες Εφαρμογές Κατηγορία 1 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να ελέγξουμε αν κάποιες παραστάσεις είναι πολυώνυμα και στη συνέχεια να προσδιορίσουμε κάποια βασικά χαρακτηριστικά τους. Μέθοδος Ελέγχουμε αν εμφανίζονται αθροίσματα παραστάσεων με μορφή: αx ν, α, ν Τα βασικά χαρακτηριστικά που μπορεί να ζητηθούν είναι ο βαθμός, οι συντελεστές, ο σταθερός όρος και η αριθμητική του πολυωνύμου. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε το σχήμα που αναπτύξαμε στη θεωρία: 14 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

13. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Όροι λέγονται τα μονώνυμα α ν x ν, α ν 1 x ν 1,, α 0 Συντελεστές λέγονται οι πραγματικοί αριθμοί α 0, α 1,, α ν Σταθερός όρος είναι ο α 0. Βαθμός είναι ο εκθέτης ν. P(x) = α ν x ν + α ν 1 x ν 1 + + α 1 x + α 0, α ν 0 Αριθμητική τιμή P(x 0 ) λέγεται ο αριθμός P(x) = α ν x 0 ν + α ν 1 x 0 ν 1 + + α 1 x 0 + α 0 που προκύπτει αν στο P(x) αντικαταστήσουμε το x με x 0. Ρίζα του P(x) λέγεται ένας αριθμός ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. 13.1 Εφαρμογή Να εξετάσετε ποιες από τις πάρακάτω πάραστάσεις είναι πολυώνυμα. i. P 1 (x) = 2 x 3 4x 2 + 1 3 x + 7 ii. P 2(x) = 7x 4 x 3 + 1 3 x 1 + 7 iii. P 3 (x) = x 3 4 x 1 2 + 6x iv. P 4 (x) = x 7 ημα x 3 + 6x συν α, α 2 v. P 5 (x) = (x 2 2x + 3) 2 vi. P 6 (x) = x(x 1 + 3x 2 ) ( 2 x 1 3 ) 3 i. Λύση Είναι πολυώνυμο. ii. iii. iv. Δεν είναι πολυώνυμο λόγω του εκθέτη 1. 1 Δεν είναι πολυώνυμο λόγω του εκθέτη 2. Είναι πολυώνυμο. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 15

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ v. Το P5(x) γράφεται: P 5 (x) = (x 2 ) 2 + (2x) 2 + 3 2 2x 2 2x + 2 3 x 2 2 3 2x = = x 4 + 4x 2 + 9 4x 3 + 6x 2 12x = x 4 4x 3 + 10x 2 12x + 9 Άρα είναι πολυώνυμο. vi. To P6(x) γράφεται: P 6 (x) = x x 1 + x 3x 2 2 3 ( x 1 3 ) 3 = x 0 + 3x 3 8 x 3 3 = 1 + 3x 2 8x Άρα είναι πολυώνυμο. 13.2 Εφαρμογή Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = 6x 5 + 2 x 3 1 4 x 2 x + 5 Να βρείτε: i. το βαθμό του P(x), ii. τους όρους του P(x), iii. τους συντελεστές του P(x), iv. τον σταθερό όρο του P(x), v. την τιμή P(1). i. Λύση Το πολυώνυμο γράφεται: P(x) = 6x 5 + 0 x 4 + 2 x 3 4 1 x 2 x + 5 ii. iii. iv. v. vi. Ο βαθμός του P(x) είναι 5. Οι όροι του P(x) είναι οι: 6x 5, 0 x 4, 2 x 3, 4 1 x 2, x, 5 Οι συντελεστές του P(x) είναι οι: 6, 0, 2, 4 1, 1, 5 Ο σταθερός όρος του P(x) είναι ο αριθμός 5. Το P(1) προκύπτει αντικαθιστώντας στο P(x) όπου x τον αριθμό 1. Τότε: Ρ(1) = 6 1 5 + 0 1 4 + 2 1 3 4 1 12 1 + 5 = = 6 + 0 + 2 4 1 1 + 5 = 2 9 4 16 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ